小波变换及其应用_李世雄
小波变换及应用(图像识别)
基于小波分析的视觉检测技术研究
不同特征的字符识别效果比较
特征
Hu矩 小波系数表示的矩 Zernike矩
所用特征数
7 7 26
识别准确率
75.4％ 73.7％ 98.7％
26
小波矩 37
99.4％
100％
基于小波分析的视觉检测技术研究
相似汉字识别样本
基于小波分析的视觉检测技术研究
相似汉字的识别结果
旋转不变性小波矩
• Zernike矩中的径向多项式 {Rnm ( )} 是一 个定义在变量 全局范围内的函数，因 而其所提取的特征也是图像的全局特征； 如果我们能够定义一个在变量 局部范 围内的函数，则其所提取的特征也应是 图像的局部特征 。 • 小波分析是一种多分辨率分析。因此局 部函数可以取为小波函数
55 50 45 40 35 30 25 20 15 10
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14
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22
24
26
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30
小波矩特征 ◇：mip00002的特征； * ：mip000021的特征； + ：mip00003的特征； ○ ：mip000031的特征； △：mip00004的特征； □ ：mip000041的特征；
基于小波分析的视觉检测技术研究
旋转不变性小波矩的推导
母小波
( , ) g ( )e
1 2
j
( s ,s )( , ) ( , ) s1 g (s1 ( )) s2 e
js2 ( )
旋转后的信号
f ( , )
f ( , )
Wf 0 ((s1 , s2 ), ( , )) Wf 1 ((s1 , s2 ), ( , ))
小波变换及其应用
小波变换及其应用小波变换是一种数学工具，可以将时间或空间上的信号分解成不同频率的成分。
它广泛应用于信号处理、图像压缩、模式识别、金融分析等领域。
本文将介绍小波变换的基本原理、算法和应用。
一、基本原理小波变换采用一组基函数，称为小波基。
小波基是一组具有局部化和可逆性质的基函数。
它们具有一个中心频率和一定的时间或空间长度，可以表示不同频率范围内的信号。
小波基函数可以表示为：y(t) = A * ψ(t - τ)/s其中，y(t)是信号的值，A是尺度系数，ψ是小波基函数，τ是位移参数，s是伸缩系数。
通过改变A、τ、s的值，可以得到不同频率、不同尺度的小波基。
小波变换的基本思想是将信号分解成不同频率的小波基函数，在不同尺度上进行分解，得到信号的多尺度表示。
具体来说，小波变换包括两个步骤：分解和重构。
分解：将信号按照不同频率和尺度进行分解，得到信号的局部频谱信息。
分解通常采用多层小波分解，每一层分解都包括高频和低频分量的计算。
重构：将小波分解得到的频域信息反变换回时域信号，得到信号的多尺度表示。
重构也采用多层逆小波变换，从小尺度到大尺度逐层反变换。
二、算法小波变换的算法有多种，包括离散小波变换（DWT）、连续小波变换（CWT）和快速小波变换（FWT）等。
其中离散小波变换最常用，具有计算速度快、计算量小、精度高等优点。
下面简要介绍DWT算法。
离散小波变换是通过滤镜组将信号进行分解和重构的过程。
分解使用高通和低通滤波器，分别提取信号的高频和低频成分。
重构使用逆滤波器，恢复信号的多尺度表示。
DWT的算法流程如下：1. 对信号进行滤波和下采样，得到低频和高频分量；2. 将低频分量进一步分解，得到更低频和高频分量；3. 重复步骤1和2，直到达到最大分解层数；4. 逆小波变换，将多尺度分解得到的信号重构回原始信号。
三、应用小波变换在信号和图像处理中有广泛应用。
其中最常见的应用是压缩算法，如JPEG2000和MPEG-4等。
小波变换
小波变换(WT)一、小波变换的原理小波(Wavelet)这一术语，顾名思义，“小波”就是小的波形。
所谓“小”是指它具有衰减性；而称之为“波”则是指它的波动性，其振幅正负相间的震荡形式。
小波变换继承和发展了Garbor 变换的局部化思想它除了窗口大小随频率增高而缩小 以外还存在着离散的正交基等优良的性质小波的原始概念最早是法国的地质学家J.Mrolet 和AGrossman 在70年代分析处理地质数据时引进的（1）。
与Fourier 变换相比，小波变换是时间(空间)频率的局部化分析，它通过伸缩平移运算对信号(函数)逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解决了Fourier 变换的困难问题，成为继Fourier 变换以来在科学方法上的重大突破。
有人把小波变换称为“数学显微镜”。
小波变换在时域和频域都具有很好的局部化性质，较好地解决了时域和频域分辨率的矛盾，对于信号的低频成分采用宽时窗，对高频成分采用窄时窗。
二、小波变换的定义及方法（2）(3)(1) 基本思想小波变换的基本思想是：非均匀地划分时间轴和频率轴，通常对高频成分分析时采用相对短的时间窗，对低频成分分析时采用相对长的时间窗。
这样就可以在服从式(1)的Heisenberg 不等式前提下，在不同的时频区都能获得比较实用的时间和频率分辨率。
…………….（1） △ t 时间分辨率△f 频率分辨(2)定义小波变换是对一个信号与某个核函数的修正形式乘积的一种积分运算，这个核函数称为小波(小波基)。
用作小波基的函数，它必须是可允许的，即满足 (2)其中()h ω∧是()h t 的傅里叶变换，则()h t 叫做允许小波(AdmissibleWavelet)，而式(2) 称为允许条件(AdmissibleCondition)。
信号x(t)的连续小波变换定义为 (3)这里的a 称为尺度因子，其定义如下 (4)其中，f是带通滤波器h(t)的中心频率，而f认为是信号x(t)中要分析的频率，与h(t)无关。
小波分析课程简介
《小波分析》课程简介06191120小波分析3Wavelet Analysis Theory 3-0预修要求：微积分，实变函数，泛函分析，复变函数面向对象：三、四年级本科生内容简介：小波变换是80年代后期发展起来的新的数学分支，在函数论、微分方程、信号分析与传输、图象处理方面有着重要的应用。
本课程作为小波分析理论的入门课程，主要介绍了小波变换，包括离散小波变换和连续小波变换理论，同时介绍了Gabor变换及测不准原理。
本课程还介绍了Mallat的迭代算法，Daubechies 的紧支集正交小波构造理论及小波包理论。
最后介绍了小波用于刻画函数空间及在微分方程中的应用。
选用教材或参考书：《小波变换及其应用》，李世雄，高等教育出版社，1997年《小波与算子》，Y. 迈耶著，尤众译，世界图书出版公司，1992年《小波分析》教学大纲06191120小波分析3Wavelet Analysis Theory 3-0预修要求：微积分，实变函数，泛函分析，复变函数面向对象：三、四年级本科生一、教学目的和基本要求：让学生掌握小波分析基本知识，了解小波分析的工程背景及与数学其他分支的联系；培养与开拓他们的视野。
二、主要内容及学时分配：1. 绪论 2学时小波分析基本概念、课程内容、组织与安排；2.Fourier 级数与 Fourier积分的基本概念、窗口Fourier变换、Gabor变换、连续小波变换 6学时温习Fourier 级数与 Fourier积分的基本性质；掌握窗口Fourier变换；掌握连续小波变换的内容。
课后练习：连续小波变换的性质，重构公式。
3. 离散的小波变换与正交小波 8学时：学习多尺度分析的概念；掌握Riesz基的概念；掌握函数稳定性的概念。
课后练习：找正交小波的例子。
4.紧支集正交小波的构造 6学时：了解Riesz引理；函数光滑性刻画。
课后练习：紧支集正交小波的构造关键技术。
5. 小波的光滑性6学时：刻画细分函数的光滑性；了解I.Daubechies正交小波。
图像处理中的小波变换算法及应用
图像处理中的小波变换算法及应用随着计算机技术的不断进步和发展，图像处理技术也得到了极大地提升和拓展。
小波变换作为一种新颖、实用的信号分析方法，已经广泛地应用于各种领域，特别是在图像处理领域中更是如此。
本文将介绍小波变换算法的基本概念、原理和应用。
一、小波变换算法的基本概念小波变换（Wavelet Transform）是一种基于时间-频率分析的数学工具，起源于哈尔小波，它可以将时间和频率分隔开来，可以生成比傅里叶变换更加精细的图像，更加精确地反映了信号的时间和频率信息。
小波分析的关键是选用不同的小波基函数（Wavelet Function）。
小波基函数是一个数学函数，通过不同的小波基函数的组合可以快速地对信号进行分解和重构。
小波基函数通常有多种不同的类型，如海涅小波、Daubechies小波、Symmlet小波等，每个类型又包含了不同的级别，即小波基函数的阶数，用于调整小波分析的分辨率和精度。
二、小波变换算法的原理小波变换算法包括离散小波变换（DWT）和连续小波变换（CWT）两种类型。
离散小波变换是对离散信号进行分析的，而连续小波变换则是用于连续信号分析。
在这里，我们主要介绍离散小波变换算法。
离散小波变换将原始信号分解成一组小波基函数的线性组合，每个小波基函数对应一个不同的频率，这样可以对信号进行不同尺度的分析。
小波分解的过程可以采用多层分解的方式，每一层分解后得到的是一个低频分量和一个高频分量，然后将低频分量再进行分解，直到分解到指定的层数为止。
连续小波变换通过将信号与窗口函数进行卷积得到小波系数，进而得到频谱。
它的计算方式与傅里叶变换类似，但连续小波变换可以同时提供时间和频率信息，更加适合于非平稳信号的分析。
三、小波变换算法的应用小波变换算法在图像处理中的应用非常广泛，例如：1. 压缩。
小波变换可以将信号分解为不同的频率分量，可以通过选择保留重要的分量来达到压缩的效果。
小波变换的压缩效果比傅里叶变换更加优秀，同时也可以将信号进行逐步近似，得到不同精度的压缩结果。
Hilbert_Huang变换与地震信号的时频分析
Hilbert_Huang变换与地震信号的时频分析[⽂章编号]100124683(2005)022207209[收稿⽇期]2004206208;[修定⽇期]2005203230。
[项⽬类别]北京市⾃然科学基⾦项⽬(8041001)、地震科学联合基⾦项⽬(604022)、中国地震局三结合项⽬。
[第⼀作者简介]武安绪,男,⽣于1967年,副研究员,研究⽅向为地震预报、地震波形处理与应⽤。
Hilbert 2Huang 变换与地震信号的时频分析武安绪1),2) 吴培稚1) 兰从欣1) 徐 平1),3) 林向东1)1)北京市地震局,北京市苏州街28号 1000802)中国地震局地球物理研究所,北京 1000813)中国科学院地质与地球物理研究所,北京 100029摘要 本⽂介绍了HHT 时频分析⽅法及瞬时频率的概念,给出了已知信号的经验模态分解及其时频分布,并对实际地震波形信号进⾏了HHT 时频处理与剖析。
结果表明,HHT ⽅法能准确描述地震波形信号的⾮线性时变特征,是地震信号时频分析的有效⼯具。
关键词: H ilbert 2H u ang 变换 瞬时频率 地震波形 时频分析[中图分类号]P315 [⽂献标识码]A0 引⾔随着数字化地震台⽹的不断建设,采⽤新⽅法对⾼精度、⾼采样率地震数据的分析研究具有重要的现实意义(吴书贵等,2003)。
地震波形是具有时变特性(或称⾮稳态性质)的典型信号(沈萍等,1999;刘希强等,2000),对于这类信号,不仅需要从总体上了解它的频率成分,⽽且还需要了解每⼀时刻信号中所包含的频率成分。
⽬前对地震信号进⾏分析的主要⼯具是傅⾥叶变换(胡⼴书,1997;郑治真,1998)、现代谱估计(皇甫堪等,2003)、G abor 变换(郑治真等,1996;科恩,1988)、Wigner 2Ville 分布(沈萍等,1999;科恩,1988;郑治真等,1993)、⼩波变换(刘希强等,2000;章珂等,1996;李宪优等,1999;Mallat ,1989;Daubechies ,1988;C oifman ,1990)等。
小波变换及其应用_续三_李世雄
现代数学讲座小波变换及其应用(续三)李世雄 (安徽大学数学系 合肥 230039)两维正交小波基 在许多实际问题中,经常会遇到多维的信号(如图像等),因此只有一维小波基是不够的。
不难证明(见[1])若 (t )与 (t )是小波标准正交基的尺度函数与母函数, j m (x )=2j 2 (2j x -m ), jm (x )=2j 2 (2j x -m ),则{ j n (x ) j m (y ), jn (x )jm (y ), j n (x ) jm (y )}j ,m ,n z 构成两维平方可积函数空间(即满足∫∞-∞∫∞-∞ f (x ,y ) 2d x d y <∞的全体函数所构成的线性空间)的一组标准正交基(见图12(a )(b ))图12(六)离散小波变换的应用举例(1)消除信号中的噪音信号在生成和传输过程不可避免地会混入各种噪音。
在混有噪音的信号中如何消除噪音求得真实的信号,是信号加工处理的一项重要任务。
含噪音的信号f (t )可表示成如下的形式。
f (t )=s (t )+n (t )这里s (t )是真实信号,n (t )为噪声。
当s (t )主要是由低频成份组成的平稳的信号,而噪声n (t )则主要由高频组成时,利用傅里叶变换在频率域上可将信号与噪音基本分开而达到去噪的目的。
但当信号包含突变部份时(如图13(a ),t =t 1,t 2处),其频谱必然包含高频成份,因而在频率域上就难以发挥作用。
但小波变换由于它在时间域与频率域上均有局部性,因此它可同时在时、频域中对信号进行分析处理,从而有效地区分信号中的突变部份和噪音(见图13d ).(2)图像数据压缩一张图像经模数转换离散化以后的数据量是非常巨大的。
以黑白图像为例,首先要将它分解成由小正方形构成的像素。
为了使图像具有较清晰的分辨率,一张图片需分成像素的个数应为105-106的数量级,而每一个像素的灰度根据人眼的分辨能力,通常分为102个等级,若采用二进制102≈27,因此每一像素需用一个7位二进制数来表示其灰度,所以一张黑白图片离散化后的数据量为7×105～7×106。
小波变换及其在信号处理中的应用
小波变换及其在信号处理中的应用在现代信号处理领域，小波变换是一种广泛应用的数学工具。
小波变换是一种时频分析方法，可以在时域和频域之间进行转换，并在分析许多信号处理问题方面显示出显着优越性。
本文将介绍小波变换的原理以及其在信号处理中的应用。
一、小波变换的原理小波变换由一系列的计算组成，通过在时间和频率上缩放(op)和平移(shifting)一个小波函数，来表示一个信号。
小波函数可以描述各种复杂信号，包括单调、渐变、突变等等。
这些小波函数是母小波，其次级小波位于不同的时间和频率处。
当一个信号通过小波变换时，小波函数与信号进行卷积，从而产生一组小波系数。
这些小波系数可以表示信号在不同时间和频率上的变化。
二、小波变换的应用小波变换的广泛应用是因为其能解决许多问题。
以下是小波变换的几个应用。
1. 图像压缩。
小波变换通常用于图像压缩，因为小波系数对图像中的高频噪声进行了优化，并消除了冗余数据。
这种方式的图像压缩使得信息能够被更好地存储和传输。
2. 声音处理。
小波变换对于消除音频信号中的杂波和干扰非常有效。
通过小波分析，可以感知音频信号的本质，使得信号更清晰，更易被识别和理解。
3. 生物医学工程。
小波变换可以辅助医学工程师分析大量数据以确保更佳的医学模型。
例如，心电图通常用于监测心率，并且小波变换可以用于去除来自主动肌肉或其他噪音源的信号噪声。
4. 金融分析。
小波分析也在金融分析中广为应用，经常用于首次预测未来的信号行为及其趋势。
小波变换不仅在以上几个领域中应用广泛，而且在各种信号处理领域中都可以被广泛应用，是一个非常有用的工具。
三、总结小波变换是一种强大的数学工具，它可以在信号处理和其他领域中提供有价值的信息来源。
小波变换的优越性表现在将复杂信号分解成多个不同的频率成分上。
通过小波分析，可以在不同时间和频率上分析信号，从而更加深入地理解和处理。
小波变换在图像压缩、声音处理、生物医学工程和金融分析等领域都有广泛的应用，显然，这一工具未来将更加广泛应用。
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现代数学讲座
小波变换及其应用
李世雄 (安徽大学数学系 合肥 230039)
科学技术的迅速发展使人类进入了信息时代。
在信息社会中人们在各种领域中都会涉及各种信号(语音,音乐,图像,金融数据,……)的分析、加工、识别、传输和存储等问题。
长期以来,傅里叶变换一直是处理这方面问题最重要的工具,并且已经发展了一套内容非常丰富并在许多实际问题中行之有效的方法。
但是,用傅里叶变换分析处理信号的方法也存在着一定的局限性与弱点,傅里叶变换提供了信号在频率域上的详细特征,但却把时间域上的特征完全丢失了。
小波变换是80年代后期发展起来的新数学分支,它是傅里叶变换的发展与扩充,在一定程度上克服了傅里叶变换的弱点与局限性。
本文从信号分析与处理的角度来介绍小波变换的基本理论与应用,使具有微积分基础的读者通过本文能对这一新的数学分支有一初步了解。
小波变换在函数论、微分方程、数值计算等方面也有着重要的应用,有兴趣的读者可参看[1][4]。
(一)从傅里叶变换谈起
数学中经常用变换这一技巧将问题由繁难化为简易,初等数学中用对数将较繁难的乘除法化为简易的加减法就是很典型的一个例子。
而傅里叶变换(简称FT )则是利用积分将一个函数f (t )(-∞<t <∞)变为另一个函数f ( )(-∞< <∞):
FT :f (t )→f ( )=
∫∞-∞f (t )e -i t dt (1.1)当f (t )满足适当条件时,它有逆变换(FT -1):
FT -1:f ( )→f (t )=12 ∫∞-∞f ( )e i t d
(1.2)
我们常将函数f (t )看作信号,所以在本文中将函数与信号看作同义词而不加以区别,且总假
定f (t )是平方可积或能量有限的,即
∫∞
-∞ f (t ) 2
dt <∞。
今后,我们亦称f ( )为f (t )的频谱。
傅里叶变换有两条非常重要的性质:(1)它将对函数f (t )的求导运算转化为对其傅里叶变换f ( )的乘
法运算:FT :d dt
f (t )→i f ( )。
(2)它将两个函数f (t )与
g (t )的卷积运算转化为乘法运算:FT :∫∞-∞f (u )g (t -u )du →f ( )g ( )。
而很大一类信号分析与处理系统可以利用(或近似地用)线性常
系数微分算子或卷积算子来描写其输入与输出之间的关系。
对这类系统研究输入输出信号的频谱之间的关系要比直接研究信号本身要简单方便得多。
这就是所谓在频率域上考虑问题或频谱分析的方法。
长期以来,这方面已发展了一套内容非常丰富并在许多实际问题中行之有效的方法。
但由傅里叶变换的定义(1.1)可见,f ( )取决于f (t )在实轴(-∞,∞)上的整体性质,因此它不能反映出信号在局部时间范围中的特征。
而在许多实际问题中,我们所关心的恰是信号在局部时间范围中的特征。
例如,在音乐和语言信号中,人们关心的是什么时刻奏什么音符,发出什么样的音节。
对雷43Vo l.5,N o.1M ar.,2002 高等数学研究
S TUDIES IN C OLL EGE M ATHEM ATICS 收稿日期:2001-01-02
达和地震信号人们关心的是在什么位置出现什么样的反射波,这正是傅里叶变换或频谱分析难以奏效的弱点。
(二)“窗口傅里叶变换”或Gabor 变换
针对傅里叶变换的这一弱点,在40年代法国学者D.Gabor 提出了“窗口傅里叶变换”的概念。
为了研究一个函数f (t )在一个长度为2 的区间上的性质,可以先引进一个光滑的函数g (t ),称为窗口函数,它在区间(- + , - )上恒等于1,而在区间( - , + )及(- - , + )上光滑地由1变换为0(这里 是一个适当小的正数)。
见图1(a)。
图1
用函数g (t - )(见图1(b))乘f (t ),相当于以t = 为中心开了一个宽度为2 的窗口。
(当然,这样截下的一段f (t )g (t - )与f (t )在区间( - , + )上的值相比在t = - 及 + 附近会有一些变形)(见图2(a)(b))。
图2
称G f ( , )=∫∞
-∞
f (t )
g (t - )e -i t d t (2.1)为函数f (t )关于窗口函数g (t )的“窗口”傅里叶变换或Gabor 变换。
由上面的定义可见,f (t )的Gabor 变换G f ( , )反映了信号f (t )在t = 附近的频谱特征,而且由于有反演公式:f (t )=12 ∫∞-∞d ∫∞-∞e i t g (t - )G f ( , )d (2.2)
可见G f ( , )(-∞< <∞,-∞< <∞)确实包括了f (t )的全部信息。
而且Gabor 变换的窗口位置随 而变(平移),符合研究信号不同位置局部性质的要求。
这是它比傅里叶变换优越之处,因此在通信理论中发挥过一定作用。
但是,Gabo r 变换窗口的形状和大小一经选定就保持不变,与频率无关。
熟知在研究高频信号的局部性质时窗口应开得小一些,而在研究低频信号的局部性质时窗口应开的大一些(见图3),也就是说窗口大小应随频率而变。
窗口大小不随频率而变,这是Gabor 变换的一个严重缺点。
(三)连续小波变换的定义与基本性质
44 高等数学研究S TUDIES IN C OLL EGE M ATHEM ATICS V ol.5,N o.1M ar.,2002
图3
80年代后期发展起来的小波变换继承和发展了Gabor 变换局部化的思想,同时又克服了窗口大小不随频率变化的缺点。
为此,首先引入一个基本小波或小波母函数 (t ),它具有以下性质:
(A) (t )在有限区间外恒等于零或很快地趋于零。
(这一要求使 (t )具有“窗口”的作用,我们称这种函数具有较好的局部性)
(B)∫∞
-∞ (t )dt =0。
(这一要求使 (t )的函数值必然正负交替具有波动的特点,同时也是使小波变换有反演公式的必要条件)
令 ab (t )=1 a
t -b a a ,b 为实数,且a ≠0(3.1)称为由母函数 (t )生成的依赖于参数a ,b 的连续小波。
定义函数(或信号)f (t )的连续小波变换(简记为W T)为:
WT :f (t )→W f (a ,b )=1 a ∫∞
-∞f (t ) t -b a dt (3.2)
由上面的定义可见连续小波 ab (t )之作用与Gabo r 变换中的函数g (t - )e i t 相类似。
参数b 与 都
起着将“窗口”平移的作用,本质不同的是参数a 与参数 ,后者的变化不改变“窗口”g (t )的形状和大小,而前者的变化不仅改变连续小波的频谱特征结构,而且也改变其“窗口”的大小与形状。
(未完待续)45
第5卷第1期 李世雄:小波变换及其应用 。