小波变换及其应用_李世雄

现代数学讲座
小波变换及其应用
李世雄　(安徽大学数学系　合肥　230039)
科学技术的迅速发展使人类进入了信息时代。

在信息社会中人们在各种领域中都会涉及各种信号(语音,音乐,图像,金融数据,……)的分析、加工、识别、传输和存储等问题。

长期以来,傅里叶变换一直是处理这方面问题最重要的工具,并且已经发展了一套内容非常丰富并在许多实际问题中行之有效的方法。

但是,用傅里叶变换分析处理信号的方法也存在着一定的局限性与弱点,傅里叶变换提供了信号在频率域上的详细特征,但却把时间域上的特征完全丢失了。

小波变换是80年代后期发展起来的新数学分支,它是傅里叶变换的发展与扩充,在一定程度上克服了傅里叶变换的弱点与局限性。

本文从信号分析与处理的角度来介绍小波变换的基本理论与应用,使具有微积分基础的读者通过本文能对这一新的数学分支有一初步了解。

小波变换在函数论、微分方程、数值计算等方面也有着重要的应用,有兴趣的读者可参看[1][4]。

(一)从傅里叶变换谈起
数学中经常用变换这一技巧将问题由繁难化为简易,初等数学中用对数将较繁难的乘除法化为简易的加减法就是很典型的一个例子。

而傅里叶变换(简称FT )则是利用积分将一个函数f (t )(-∞<t <∞)变为另一个函数f ( )(-∞< <∞):
FT :f (t )→f ( )=
∫∞-∞f (t )e -i t dt (1.1)当f (t )满足适当条件时,它有逆变换(FT -1):
FT -1:f ( )→f (t )=12 ∫∞-∞f ( )e i t d
(1.2)
我们常将函数f (t )看作信号,所以在本文中将函数与信号看作同义词而不加以区别,且总假
定f (t )是平方可积或能量有限的,即
∫∞
-∞ f (t ) 2
dt <∞。

今后,我们亦称f ( )为f (t )的频谱。

傅里叶变换有两条非常重要的性质:(1)它将对函数f (t )的求导运算转化为对其傅里叶变换f ( )的乘
法运算:FT :d dt
f (t )→i f ( )。

(2)它将两个函数f (t )与
g (t )的卷积运算转化为乘法运算:FT :∫∞-∞f (u )g (t -u )du →f ( )g ( )。

而很大一类信号分析与处理系统可以利用(或近似地用)线性常
系数微分算子或卷积算子来描写其输入与输出之间的关系。

对这类系统研究输入输出信号的频谱之间的关系要比直接研究信号本身要简单方便得多。

这就是所谓在频率域上考虑问题或频谱分析的方法。

长期以来,这方面已发展了一套内容非常丰富并在许多实际问题中行之有效的方法。

但由傅里叶变换的定义(1.1)可见,f ( )取决于f (t )在实轴(-∞,∞)上的整体性质,因此它不能反映出信号在局部时间范围中的特征。

而在许多实际问题中,我们所关心的恰是信号在局部时间范围中的特征。

例如,在音乐和语言信号中,人们关心的是什么时刻奏什么音符,发出什么样的音节。

对雷43Vo l.5,N o.1M ar.,2002 高等数学研究
S TUDIES IN C OLL EGE M ATHEM ATICS 收稿日期:2001-01-02
达和地震信号人们关心的是在什么位置出现什么样的反射波,这正是傅里叶变换或频谱分析难以奏效的弱点。

(二)“窗口傅里叶变换”或Gabor 变换
针对傅里叶变换的这一弱点,在40年代法国学者D.Gabor 提出了“窗口傅里叶变换”的概念。

为了研究一个函数f (t )在一个长度为2 的区间上的性质,可以先引进一个光滑的函数g (t ),称为窗口函数,它在区间(- + , - )上恒等于1,而在区间( - , + )及(- - , + )上光滑地由1变换为0(这里 是一个适当小的正数)。

见图1(a)。

图1
用函数g (t - )(见图1(b))乘f (t ),相当于以t = 为中心开了一个宽度为2 的窗口。

(当然,这样截下的一段f (t )g (t - )与f (t )在区间( - , + )上的值相比在t = - 及 + 附近会有一些变形)(见图2(a)(b))。

图2
称G f ( , )=∫∞
-∞
f (t )
g (t - )e -i t d t (2.1)为函数f (t )关于窗口函数g (t )的“窗口”傅里叶变换或Gabor 变换。

由上面的定义可见,f (t )的Gabor 变换G f ( , )反映了信号f (t )在t = 附近的频谱特征,而且由于有反演公式:f (t )=12 ∫∞-∞d ∫∞-∞e i t g (t - )G f ( , )d (2.2)
可见G f ( , )(-∞< <∞,-∞< <∞)确实包括了f (t )的全部信息。

而且Gabor 变换的窗口位置随 而变(平移),符合研究信号不同位置局部性质的要求。

这是它比傅里叶变换优越之处,因此在通信理论中发挥过一定作用。

但是,Gabo r 变换窗口的形状和大小一经选定就保持不变,与频率无关。

熟知在研究高频信号的局部性质时窗口应开得小一些,而在研究低频信号的局部性质时窗口应开的大一些(见图3),也就是说窗口大小应随频率而变。

窗口大小不随频率而变,这是Gabor 变换的一个严重缺点。

(三)连续小波变换的定义与基本性质
44 高等数学研究S TUDIES IN C OLL EGE M ATHEM ATICS V ol.5,N o.1M ar.,2002
图3
80年代后期发展起来的小波变换继承和发展了Gabor 变换局部化的思想,同时又克服了窗口大小不随频率变化的缺点。

为此,首先引入一个基本小波或小波母函数 (t ),它具有以下性质:
(A) (t )在有限区间外恒等于零或很快地趋于零。

(这一要求使 (t )具有“窗口”的作用,我们称这种函数具有较好的局部性)
(B)∫∞
-∞ (t )dt =0。

(这一要求使 (t )的函数值必然正负交替具有波动的特点,同时也是使小波变换有反演公式的必要条件)
令 ab (t )=1 a
t -b a a ,b 为实数,且a ≠0(3.1)称为由母函数 (t )生成的依赖于参数a ,b 的连续小波。

定义函数(或信号)f (t )的连续小波变换(简记为W T)为:
WT :f (t )→W f (a ,b )=1 a ∫∞
-∞f (t ) t -b a dt (3.2)
由上面的定义可见连续小波 ab (t )之作用与Gabo r 变换中的函数g (t - )e i t 相类似。

参数b 与 都
起着将“窗口”平移的作用,本质不同的是参数a 与参数 ,后者的变化不改变“窗口”g (t )的形状和大小,而前者的变化不仅改变连续小波的频谱特征结构,而且也改变其“窗口”的大小与形状。

(未完待续)45
第5卷第1期 李世雄:小波变换及其应用 。