第八章 分离变量法
第八章分离变量法_数学物理方法
第八章分离变量法_数学物理方法分离变量法是数学物理方法中的一种重要技术，通常用于求解偏微分方程。
在这一方法中，我们将多元函数表示为一系列单变量函数的乘积形式，然后将其代入到偏微分方程中，从而将多元偏微分方程转化为一系列常微分方程。
接下来，我将详细介绍分离变量法的思想和应用。
1.分离变量法的思想当我们面对一个多元偏微分方程时，通常很难找到它的解析解。
分离变量法的思想就是将多元函数表示为单变量函数的乘积形式，然后将其代入到偏微分方程中，从而将多元偏微分方程转化为一系列常微分方程。
具体来说，设有一个n元函数u(x1, x2, ..., xn)，我们希望将其表示为n个单变量函数的乘积形式u(x1, x2, ..., xn) =u1(x1)u2(x2)...un(xn)。
代入偏微分方程后，我们可以得到一系列等式，将等式两边同时除以对应的单变量函数后，得到n个只依赖于一个变量的常微分方程。
然后我们可以分别求解这些常微分方程，得到对应的单变量函数的解析解。
2.分离变量法的应用分离变量法在物理学中有广泛的应用，特别是在描述传热、传质、波动等现象的偏微分方程的求解中。
以下是几个典型的例子：(1)热传导方程热传导方程是描述物体内部温度分布随时间变化的方程。
假设物体的温度分布函数为u(x,t)，其中x表示位置，t表示时间。
热传导方程可以写成如下形式：∂u/∂t=a²∇²u其中a是热传导系数。
我们可以将温度分布函数表示为u(x,t)=X(x)T(t)，然后代入热传导方程，得到两个常微分方程X''/X=T'/a²T。
分别解这两个方程，可以得到温度分布函数的解析解。
(2)线性波动方程线性波动方程是描述波动现象的方程。
假设波动函数为u(x,t)，其中x表示位置，t表示时间。
∂²u/∂t²=v²∇²u其中v是波速。
我们可以将波动函数表示为u(x,t)=X(x)T(t)，然后代入线性波动方程，得到两个常微分方程X''/X=v²T''/T。
分离变量法
X C1 cos x C2 sin x
而由边界条件
C1 0
C2 sin
因为
l 0
所以 sin
C2 0
l 0
l n
n
2 2
l
2
有
X C2 sin
n
x
l 《数学物理方ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ》
n
2
2
l
2
称为本征值
X C2 sin
n l
x
是Furier级数的基本函数族
utt a 2u xx 0 (0 x l , t 0) (4) u x ( x, t ) x 0 0 ，u ( x, t ) x l 0 (t 0) u ( x, t ) t 0 ( x) ，u ( x, t ) t 0 ( x ) (0 x l )
初始条件
u t 0 u0 x / l
驻波的一般式
u ( x, t ) X ( x)T (t )
分离变量
《数学物理方法》
ut a u xx 0
2
边界条件
u ux
x 0 x l
0 0
2
u ( x, t ) X ( x)T (t )
代入泛定方程
X ( x)T ' (t ) a X " ( x)T (t ) 0
T ' (t ) a T (t ) 0
以下求X
（1）、 < 0， = 0
仅得无意义的解
（2）、 > 0
X 0
X " X 0
0
k l
d n l d
《数学物理方法》
数学物理方法课件第八章------分离变量法
由傅里叶正弦级数展开 式系数公式可求出
2 l 2 (2n 1) 32l 2 An ( x 2lx) sin xdx 0 l 2l (2n 1)3 3 Bn 0
故定解问题的最终解为
u( x, t ) 32l 2
3
1 (2n 1)a ( 2n 1 )π cos t sin x 3 2l 2l n 1 (2n 1)
齐次方程+齐次边界条件
非齐次方程+齐次边界条件 非齐次方程+非齐次边界条件
2
8.1 有界弦的自由振动
定解问题1 研究两端固定的弦的自由振动
(0 x l , t 0)
2 泛定方程： utt a uxx 0
边界条件： u( x, t ) 初始条件： u
t 0
x 0
0
u( x, t )
C1 C 2 0
同样只有零解，不合题意；
(3)
0
X ( x) C1 cos x C2 sin x
X (0) C1 0
非零解 C2 0
X (l ) C2 cos l 0
cos l 0
(2n 1) 2 2 则n , 2 4l (n 1,2,...)
第三步：求出全部特解，并叠加出一般解（形式解）； n n n u ( x, t ) (Cn cos at Dn sin at )sin x l l l n 1
第四步：代入初始条件，运用特征函数的正交性确定叠加系数.
注意本征函数问题：
本征值问题 边界条件
X (0) X (l ) 0 X (0) X (l ) 0 X (0) X (l ) 0
分离变量法
分离变量法分离变量法又称Fourier 级数方法，而在波动方程情形也称为驻波法。
它是解决数学物理方程定解问题中的一种基本方法，这个方法建立在叠加原理的基础上，其基本出发点是物理学中的机械振动或电磁振动总可分解为一些简谐振动的叠加。
思想：把偏微分方程的求解问题转化为常微分方程的求解。
常微分方程求解：()()()()()P x dx P x dx P x dx y x Ce e Q x e dx−−∫∫∫=+∫一阶非齐次的常微分方程：()(),dy P x y Q x dx+=它的通解为二阶非齐次的常微分方程：()()()y P x y Q x y f x ′′′++=它的通解为21112212()y f y f y x C y C y y dx y dx W W=+−+∫∫其中1212,0.,y y W y y =≠′′12()()0.y P x y y Q x y y ′′′++=两个线性是无关的解和并且常系数齐次的常微分方程：0y py qy ′′′++=它的特征方程20r pr q ++=，假设特征方程的根为12.r r ，(1)特征方程有两个不等的实根:齐次方程通解为：12.r x r xy Ae Be =+(2)特征方程有两个相等的实根:(3)特征方程有一对共轭的复根:12,,r i r i αβαβ=+=−齐次方程通解为()(cos sin ).xy x e A x B x αββ=+1().r xy A Bx e =+第一节有界弦的自由振动22222,(0,),0(,0)(),(,0)(),[0,](0,)(,)0,0t u u a x l t t x u x x u x x x l u t u l t t ϕψ⎧∂∂=∈>⎪∂∂⎪⎪==∈⎨⎪==≥⎪⎪⎩一根长为l 的弦，两端固定，给定初始位移和速度，在没有强迫外力作用下的振动.物理解释：•求解的基本步骤2XT a X T′′′′=第一步：求满足齐次方程和齐次边界条件的变量分离形式的解(,)()()u x t X x T t =把分离形式的解代入方程可得即2()()()()T t X x a T t X x ′′′′=以及上述等式左端是t 的函数，右端是x 的函数，由此可得两端只能是常数，记为()()0(0)()0X x X x X X l λ′′+=⎧⎨==⎩X (x ):2()()0T t a T t λ′′+=T (t ):固有值问题(0)()()()0X T t X l T t ==.λ−从而有情形(A)下对λ的三种情况讨论固有值问题：0λ<(),x x X x AeBe λλ−−−=+0,A B +=其通解为代入边界条件可得0l l Ae Be λλ−−−+=0A B ==只有零解。
第八章-分离变量法(1)
d
0
l
定解问题
utt a2uxx 0
u x0 0
u 0 xl
u t0 (x)
ut t0 (x)
答案
u( x, t )
n1
( An
cos
n at
l
Bn
sin
n at
l
) sin
n
l
x
2
An l
l
( )sin
n
d
u u
x0 xl
0 0
方程 边界条件
线性、齐次
叠加原理
u( x, t )
n1
( An
cos
n at
l
Bn
sin
n at
l
) sin
n
l
x
一般解
An，Bn —— 任意常数
确定解？ An，Bn 初始条件
u t0 (x) ut t0 (x)
选取适当的叠加系数 An 和 Bn ，满足初始条件 :
傅里叶 正弦级数
n1
An
sin
n
l
x
(x)
n1
Bn
n
l
a
sin
n
l
x
(x)
0 x l
把右边展开为傅里叶正弦级数，然后比较两边的系数
An
傅里叶系数n
2 l
l
( )sin
n
d
0
l
Bn
l
n
a
傅里叶系数 n
2
数学物理方法：第八章-分离变量法-4
柱坐标系中拉普拉斯方程的一般解为
(,,)()()()
m m n n m u r z R r Z z ϕϕ∞
==Φ∑∑其中对于不同的边界条件函数)的形式不样其中对于不同的边界条件，函数R m (r )Z n (z ) 的形式不一样。
结论：
(1) 如果柱的侧面上是齐次边界条件，由此可以确定出本征值μ，而且径向函数所遵从的方程为贝塞尔方程；
（2）如果两端为齐次边界条件，由此可以确定出本征值μ = -ν 2，而且径向函数所遵从的方程为虚宗量贝塞尔方程。
因此，在求解柱坐标系中的拉普拉斯方程时，首先要分辨清楚是柱侧面为齐次边界条件，还是两端为齐次边界条件，以便确定本征值问题。
思考μ = 0????
方程的一般解：
()(,,,)()()()
m m n nj u r z t R r Z z T t ϕϕ∞
∞
=Φ∑∑∑10n
j m ==可见：对于波动方程在柱坐标系中的定解问题，存在三个本征值，即λ , ν 2，及μ= k 2-ν 2，它们分别由周期性条件，圆柱两端的齐次边界条件和圆柱侧面的齐次边界条件来确定。
对于输运方程，也可以得到类似的解：
()2210
(,,,)()()n
k a t m m n n
j m u r z t R r Z z e
ϕϕ∞
∞
-===Φ∑∑∑。
《分离变量法》课件
目 录
• 分离变量法简介 • 分离变量法的步骤 • 分离变量法的应用实例 • 分离变量法的优缺点 • 分离变量法的改进方向 • 分离变量法的未来展望
01
分离变量法简介
定义与特点
定义
分离变量法是一种求解偏微分方 程的方法，通过将多变量问题转 化为多个单变量问题，从而简化 求解过程。
交叉学科应用
探索分离变量法在交叉学 科中的应用，如生物医学 工程、环境科学等。
与其他方法的结合使用
与数值方法的结合
将分离变量法与其他数值方法（如有限元法、有限差分法等）结 合使用，形成更有效的数值计算方法。
与机器学习算法的结合
将分离变量法与机器学习算法相结合，用于数据分析和模式识别等 领域。
与优化算法的结合
工程与技术领域
分离变量法在解决工程与技术领域中的偏微 分方程问题方面具有优势，如结构分析、电 磁波传播、信号处理等。随着工程与技术的 不断发展，分离变量法有望在解决实际问题 中发挥更大的作用。
THANK YOU
感谢观看
立。
近似解
分离变量法得到的解是近似解，而 不是精确解。因为这种方法忽略了 各个变量之间的相互作用和影响。
数值稳定性
分离变量法在数值计算中可能存在 数值稳定性问题，例如数值误差的 累积和传播可能导致计算结果失真 或误差较大。
05
分离变量法的改进方向
算法优化
01
02
03
算法效率提升
通过改进算法结构，减少 计算复杂度，提高分离变 量法的计算速度。
精度控制
优化算法中的数值计算方 法，提高结果的精度和稳 定性，减少误差。
自适应调整
根据不同问题的特性，自 适应地调整算法参数，提 高分离变量法的适用性和 可靠性。
8-分离变数法
第八章分离变数法分离变量法的基本思想是,先求出方程具有变量分离形式且满足边界条件的特解, 然后根据叠加原理作出这些解的线性叠加, 最后由其余的定解条件确定待定系数, 得到定解问题的解.分离变量法的特点是把偏微分方程化为常微分方程来处理,使问题化难为简.分离变量法的关键步骤是求解本征值问题,即求解含有参量λ的齐次常微分方程的边值问题.其边界条件分别为齐次边界条件、周期性边界条件和自然边界条件(有界性边界条件)分离变量法适用于波动问题、输运问题和稳定场问题在特殊域矩形、长方体(直角坐标系)圆、圆柱体(柱坐标系)圆球(球坐标系)中的定解问题, 因为这些特殊域正好常常在实际问题中出现, 这是分离变量法有广泛的应用的原因.二阶常系数齐次线性常微分方程及其解法：2122,)(2,,(*)0)(1,0(*)r r y y y r r q pr r q p qy y p y 式的两个根、求出的系数；式中的系数及常数项恰好是，，其中、写出特征方程：求解步骤：为常数；，其中∆'''=++∆=+'+''式的通解：出的不同情况，按下表写、根据(*),321r r 的形式，21r r(*)式的通解 两个不相等实根)04(2>-q p x r x r e c e c y 2121+= 两个相等实根)04(2=-q p x r e x c c y 1)(21+=一对共轭复根)04(2<-q p4221p q pi r i r -=-=-=+=βαβαβα，，)sin cos (21x c x c e y x ββα+=§8.1 齐次方程的分离变数法驻波法（一）分离变数法介绍求：两端固定弦的自由振动(p143)。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====<<=-====)3.1.8()(),()2.1.8(0,0)1.1.8()0(00002x u x u u u l x u a u t t t l x x xx tt ψϕ解：定解问题是特点：方程和边界条件都是线性齐次的,初始条件为非齐次的。
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x
c2 e
x
c1 c2 0 c1e l c2e
l
0
b
a
n ( x ) ( x )dx 0 ，
* m
m n,
b
a
n ( x ) ( x )dx n ( x ) dx 1,
* n b 2 a
正交归一关系可记为：
b
a
n ( x ) ( x )dx mn
* m
0, 1,
m n, m n.
例：①
1,cos n x,sin n x
(n 1,2)
为定义在[-T/2, T/2]上的正交函数系. ②
1 , 2 cos n x , 2 sin n x T T T 1 e in x T
(n 1, 2)
和
(n 0, 1, 2)
为定义在[-T/2, T/2]上的正交归一函数系.
l
l
步骤三. 求出特解 2 2 n 2 将 n 2 代入 T '' a T 0 l n a n a 得： Tn ( t ) an cos t bn sin t l l
n a n a n un ( x , t ) An cos t Bn sin t sin x l l l n a n 2 2 An Bn sin( t n ) sin x l l
n x 由初始条件: u t 0 ( x ) An sin l n 1 n a n ut t 0 y ( x ) Bn sin x l l n 1 2 l n 待定系数为： An 0 ( x )sin l x dx l 2 l n Bn 0 y ( x )sin l x dx n a
线性方程组系数行列式不为0
c1 c2 0
X ( x) 0
即 0 时，为平凡解.
2. 若 0 , 得通解为： 由 X (0) X ( l ) 0 即
X ( x ) c1 c2 x
c1 c2 0
0 时，仍为平凡解.
X (0) 0 X (l ) 0
0 xl l x0
再作周期延拓, 可展为傅氏余弦级数. 此时, f '(0) = 0
若，先作奇延拓:
f ( x ), f1 ( x ) f ( x ),
0 xl l x0
再作周期延拓, 可展为傅氏正弦级数. 此时, f (0) = 0
注: 在 x0 点作偶延拓, 则 f '( x0 ) 0; 作奇延拓, 则 f ( x0 ) 0 . 需根据题意，作适当的延拓. 例8.2 将函数 f ( x ) x, x (0, l )展开成傅里叶级数， 并使 . f '(0) 0, f ( l ) 0 y
§8.2 一般混合问题的简化 §8.5 齐次化原理
utt a 2 uxx f1 ( x , t ) (0 x l , t 0) 例： ( t 0) u x 0 u1 ( t ), u x l u2 ( t ) u t 0 1 ( x ), ut t 0 y 1 ( x ) (0 x l )
上的正交函数系 作展开. How: 由傅里叶级数正交关系, 计算展开系数? ◆ 物理意义：周期信号可分解为直流成分、
1,cos n x,sin n x
( n 1, 2)
基波成分 () 和高次谐波 (n) 成分之和
◆ 若T = 2l ，则
a0 n x n x f ( x ) (an cos bn sin ) 2 n 1 l l
n ( x) n ( x)
(n 1, 2,)
例: 对正交函数系 1,cos n x,sin n x ，归一化得:
1 2 2 , cos n x , sin n x ( n 1, 2) T T T
■
正交函数系展开
[a, b]上的函数 f (x), 由正交函数系 n ( x) 展开为:
f ( x ) C n n ( x )
n
则展开系数为：
Cn
1
n ( x) ( x )dx
* n ( x) 已归一化，则 Cn a f ( x )n ( x )dx ★ 若 b
二. 傅里叶级数
狄利克莱定理 设函数 f (x) 以 T 为周期, 在
O
l
x
Tips: 同一个函数可以延拓为不同周期的函数，
进而给出函数的不同的级数表达式. 对有限区间上函数的傅里叶级数展开, 首先应注意 延拓的周期 T；亦即，要注意所采用的正交函数系
是定义在哪个区间上的.
2 周期 T 展开频率： T T T 常用展开区间： [ , ] 2 2 2 展开系数计算中的常数： T
2
1 a 例8.1 将函数 f ( x ) (a 1) 2 1 2a cos x a
展开为傅里叶级数，并写出复数形式.
三. 有限区间上函数的傅里叶展开
对定义在有限区间[ 0, l ] 上的函数 f (x),可先
将函数延拓为周期函数, 再展为傅里叶级数.
例：先作偶延拓:
f ( x ), f1 ( x ) f ( x ),
每一个特解对应于弦上的一个驻波. 特解
特解只满足边界条件(本征解), 不满足初始条件.
步骤四. 叠加得通解,并由初始条件确定待定系数
该问题的通解为：
n a n a n u( x , t ) An cos t Bn sin t sin x l l l n 1
两端固定的弦的振动形成驻波.
驻波可表示成空间变量函数 X (x) 与
时间变量函数 T (t) 之积. 即
u( x , t ) X ( x )T ( t )
步骤一. 分离变量
令 u( x , t ) X ( x )T ( t ) 1. 对泛定方程： X T '' a X ''T 0
2
T '' X '' 2 aT X
T '' a 2T 0 即： X '' X 0
2. 对边界条件：
X (0)T ( t ) 0, X ( l )T ( t ) 0 X (0) 0, X ( l ) 0
步骤二. 求解本征值问题 X '' X 0 X (0) 0, X ( l ) 0
u( x , t ) A0 B0t n a n a n An cos t Bn sin t cos x l l l n1
Compare: 两端固定的弦的自由振动问题
n a n a n u( x , t ) An cos t Bn sin t sin x l l l n1
n ( x ) ( x )dx
* n
b
a
n ( x ) dx
2
m , n n ( x ) ( x )dx 0, a
* m
(m n)
n 1
Schwartz不等式
b
a
n ( x ) ( x )dx m
* m
2
2
n
2
☆ 对正交函数系 n ( x) ，作归一化(单位化)得 正交归一函数系：
例：两端自由的弦的自由振动问题及其通解
utt a 2uxx 0 (0 x l , t 0) ( t 0) ux x 0 0, ux x l 0 u t 0 ( x ), ut t 0 y ( x ) (0 x l )
◆ 若傅里叶级数的正交函数系选为复函数
e in x ( n 0, 1, 2)
则有复数形式的傅里叶级数：
f ( x)
其中，
n
c
n
exp in x
1 cn T
T /2
T / 2
f ( x )exp in x dx ( n 0, 1, 2)
区间 [-T/2,T/2] 上满足狄利克莱条件, 即在该
区间上，至多存在有限个第一类间断点和极限点，
则 f (x) 可展开为傅里叶级数:
a0 f ( x ) (an cos n x bn sin n x ) 2 n 1
其中,
2 T /2 an T T / 2 f ( x )cos n x dx 2 T /2 b n T / 2 f ( x )sin n x dx T
c1 0
c2 sin l 0 c2 0, sin l 0
3. 若 0 , 通解为： X ( x ) c1 cos x c2 sin x 由
要得非零解，则
l n , ( n 1, 2,) n n2 2 本征值： n 2 本征函数： X n ( x ) cn sin x
内积
x, y x1 y1 x2 y2 xn yn xT y
长度(范数) x 正交 归一
x, x
2 2 2 x1 x2 xn
x, y 0,
x 1
[ x, y] arccos x y 2
Schwartz不等式 基的单位化
§8.3 分离变量法的解题步骤