切线的判定和性质
切线的性质与判定
P 图1切线的性质与判定直线与圆相切是直线与圆的特殊位置关系，有关的性质与判定也是圆中重点知识，现举例说明，供大家参考．一、切线性质的应用例1如图1，AB 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于A ，OP 交⊙O 于C ，连BC ．若∠P=30º，求∠B 的度数．分析：要求∠B 周角的2倍”，因此∠AOC=2∠B ，所以只要求出∠AOC 的度数，而PA 是⊙O 切线，根据圆的切线性质知△PAO 是直角三角形，而∠P 知，这样根据“直角三角形两锐角互余”即可求出∠B 的度数． 解：因为PA 切⊙O 于A ，AB 是⊙O 的直径，所以OA ⊥PA ，即∠PAO=90º．因为∠P=30º，所以∠AOC =90º－∠P=90º－30º=60º．又因为∠AOC=2∠B ，所以∠B=30º．点评：“圆的切线垂直于经过切点的半径”，这一性质在求角的度数和线段长度中有着广泛的应用．二、切线的判定例2（兴义）如图2，AB 是⊙O 的直径，点P 在BA ∠BPC=30°．求证：PC 是⊙O 的切线．分析：由于题目中没有明确直线PC 与⊙O 因为∠BPC=30°，所以OD=12OP ．因为AP=12AB AP=OA=12OP ．所以OD= OA ，即圆心O 到直线PC O 的切线．点评：圆的切线的判定常见方法有两种类型：一当已知条件中已明确给出直线与圆的公共点时，常采用连接这点和圆心这条辅助线，去证明这个半径垂直于已知直线．这种方法简称“连半径，证垂直”．二当已知条件中没有明确给出直线与圆的公共点时，常采用过圆心作直线的垂线段这条辅助线，去证明垂线段的长度等于圆的半径长．这种方法简称“作垂直，证半径”．本例属于第二种类型．。
切线的判定和性质
情景导入
1、当你在下雨天快速转动雨伞时水飞出的方向 是什么方向？ 2、砂轮打磨零件飞出火星的方向是什么方向？
下雨天转动雨伞时飞出的水，以及在砂轮上打 磨工件飞出的火星，均沿着圆的切线的方向飞出。
自探1：
请在⊙O上任意取一点A，连接OA，
过点A作直线l⊥OA。思考：
（1）圆心O到直线l的距离和 圆的半径有什么数量关系?
∴ l ⊥OA
O
l A
总结:
切线的性质定理：圆的 切线垂直于过切点的半径。
O
l A
比较：
切线判定定理：
①过半径外端; ②垂直于这条半径.
切线性质定理：
①圆的切线; ②过切点的半径.
O
切线
l
A
切线垂直于半径
通过本节课的学习你还有什么疑问， 请大胆提出来，我们共同解决。
运用拓展：
1、判断：
(1)过半径的外端的直线是圆的切线（×） (2)与半径垂直的的直线是圆的切线（×）
O
A
B
C
分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，
只要证明AB⊥OC即可。
例2 如图，已知：O为∠BAC平分线上一
点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为半径作
⊙O。
求证：⊙O与AC相切。
A
B D
O
EC
自探2：
如图，如果直线l是⊙O的切线，切点为A， 那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢？
∵ l是⊙O的切线，切点为A
辅助线作法：连接圆心与切点可得半径与切线垂直。即 “连半径，得垂直”。
经过圆的半径的外端且垂直于
这条半径的直线是圆的切线。
定理的几何语言表达：
O
∵ OA是半径， l ⊥OA于A
切线的性质
切线的判定方法: 1.利用切线的定义:与圆有唯一公共点的直线是圆
的切线。 2.利用d与r的关系作判断:到圆心的距离等于半径 （即d＝r）的直线是圆的切线。 3.利用切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直 于这条半径的直线是圆的切线。
A 、经过圆上的一点； B、 垂直于半径；
2. 证切线常用的添辅助线方法有哪些？
C
A
O
B
D
4、已知，如图在⊙O中，AB为直径，AD为弦，
过B点的切线与AD的延长线交于点C且 AD=DC，
则
45˚∠ABD= 。
A
O D
C
B
已知：AB是直径，AD是切线，判 断弦切角∠DAC与圆周角∠ABC之 间的关系
B
C
AD
小结：
1、如何判定一条直线是已知圆的切线？ (1)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；
AD
∵AB=8cm,AC=4cm. ∴∠B=30°
┐
C
B
∴∠A=60°
因此,当半径长为 2 3 cm时,AB与⊙C相切.
切线的性质
圆的切线： 经过半径的外端且垂直于这条半径的直 线是圆的切线。
●O
┐
l
A
切线的性质定理：
圆的切线垂直于经过切点的半径。
几何语言：
已知直线CD和⊙O相切，
●O
点A为切点 则OA⊥CD
C
┐
A
D
1、如图，∠MAB=30°，Ｐ为ＡＢ上的点，
且ＡＰ＝６，圆Ｐ与ＡＭ相切，则圆Ｐ的
半径为
。
M
A
P
B
2.如图，已知ＰＡ是⊙O的切线，Ａ是切点，Ｐ
Ｃ是过圆心的一条割线，点Ｂ，Ｃ是它与⊙O的
切线的判定与性质
〖例2〗
已知： BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以 为圆心，OD为 已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为 平分线上一点 B 半径作⊙ 半径作⊙O。 D 求证： AC相切 相切。 求证：⊙O与AC相切。 O
A
证明： OE⊥AC于 证明：过O作OE⊥AC于E。
E C
∵ ∴ ∵ ∴
改变切线判定定理的题设与结论
如果直线l是 如果直线 是⊙O的切线，切点为A, 的切线，切点为A, 那么半径OA与直线l是不是一定垂直 那么半径OA与直线 是不是一定垂直 OA与直线 呢？ O ．
l
切线的性质定理： 切线的性质定理： A 圆的切线垂直于过切点的半径。 圆的切线垂直于过切点的半径。
几何符号表达： 几何符号表达：
AO平分∠BAC， AO平分∠BAC，OD⊥AB, OE⊥AC 平分 OE＝ OE＝OD OD是 OD是⊙O的半径 AC是 的切线。 AC是⊙O的切线。
小结
与例2的证法有何不同? 例1与例2的证法有何不同?
D O B O
连接OC 连接
A C B
A
已给出） （交点C已给出） 交点 已给出
过O作OE⊥AC 作 ⊥ 交点E未给出 未给出） 于E（交点 未给出）
垂直于这条半径的直线是圆的切线。 垂直于这条半径的直线是圆的切线。 的外端点A 的外端点A 条件二：直线l 垂直于半径OA 条件二：直线 垂直于半径OA
切线的判定定理 经过半径的外端并且
垂直于这条半径的直线是圆的切线。 垂直于这条半径的直线是圆的切线。
几何符号表达： 几何符号表达：
O
∵ OA是半径， ⊥l 于A OA OA是半径 OA⊥ 是半径， 的切线。 ∴ l是⊙O的切线。
切线的判定和性质
切线的判定和性质
切线的性质与判定
1.主要性质
（1）切线和圆只有一个公共点；
（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；
（3）切线垂直于经过切点的半径；
（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点；
（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心；
（6）从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
其中（1）是由切线的定义得到的，（2）是由直线和圆的位置关系定理得到的，（6）是由相似三角形推得的，也就是切割线定理。
2.判定
切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
圆的切线垂直于这个圆过切点的半径。
切线的性质及判定
B
O
C 断弦切角∠DAC与圆周角∠ABC 之间的关系 B
C A D
已知：AB是直径，AD是切线，判 断弦切角∠DAC与圆周角∠ABC 之间的关系 B E
O
C D
A
已知AB是直径，BC是切线，AC交圆 O于点D，点E是BC的中点。 C 求证：DE是圆O 的切线 D E B
A
●
O
拓展应用： 1.在Rt△ABC 中,∠B=90°,∠A的平分线交 BC于D,以D为 圆心,DB长为半径作⊙D.试说 明:AC是⊙D的切线.
F
2.AB是⊙O的弦,C是 ⊙O外一点,BC是⊙O的 切线,AB交 过C点的直径于点 D,OA⊥CD,试判断 △BCD的形状,并 说明你的理由.
3.AB是⊙O的直径,AE平分 ∠BAC交⊙O于点E,过点E 作⊙O的切线交AC的延长 线于点D,试判断△AED的 形状,并说明理由.
∴L是⊙ O 的切线
A
切点
1、定义法：和圆有且只有一个公共点的 直线是圆的切线。 2、数量法（d=r）：和圆心距离等于半 径的直线是圆的切线。
3、判定定理：经过半径外端且垂直于这 条半径的直线是圆的切线。
即：若直线与圆的一个公共点已指明，则连 接这点和圆心，说明直线垂直于经过这点的 半径；若直线与圆的公共点未指明，则过圆 心作直线的垂线段，然后说明这条线段的长 等于圆的半径．
.
切点A
l
.O
l
二、用圆心o到直线l的距离d与圆的半 径r的关系来区分
．Ｏ r d
1、直线和圆相离
d > r
┐
l
2、直线和圆相切 3、直线和圆相交
d = r
．ｏ d r ┐
l
d < r
切线的判定和性质
（打印3份）圆----切线的性质和判定（11月12）A、知识点、方法归纳总结知能点1：切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线的识别方法有三种：（1）和圆只有一个公共点的直线是圆的切线。
（2）和圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线。
（3）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线辅助线的作法：证明一条直线是圆的切线的常用方法：当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来,则得到半径，然后证明直线垂直于这条半径，记为“连半径，证垂直。
”知能点2：切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。
辅助线的作法：有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直半径。
记为“见切线，连半径，得垂直。
”中考考点点击：切线的判定和性质在中考中是重点内容，试题题型灵活多样，填空、选择、作图、解答题较多。
B、证明圆的切线方法及例题一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.例1 如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，交AC 于E ，B 为切点的切线交OD 延长线于F.求证：EF 与⊙O 相切. 证明：连结OE ，AD. ∵AB 是⊙O 的直径， ∴AD ⊥BC. 又∵AB=BC ， ∴∠3=∠4.∴BD=DE，∠1=∠2. 又∵OB=OE ，OF=OF ， ∴△BOF ≌△EOF （SAS ）. ∴∠OBF=∠OEF. ∵BF 与⊙O 相切， ∴OB ⊥BF. ∴∠OEF=900. ∴EF 与⊙O 相切.说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的例2 如图，AD 是∠BAC 的平分线，P 为BC 延长线上一点，且PA=PD.求证：PA 与⊙O 相切. 证明一：作直径AE ，连结EC. ∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠DAB=∠DAC. ∵PA=PD ， ∴∠2=∠1+∠DAC. ∵∠2=∠B+∠DAB ， ∴∠1=∠B. 又∵∠B=∠E ， ∴∠1=∠E∵AE 是⊙O 的直径， ∴AC ⊥EC ，∠E+∠EAC=900. ∴∠1+∠EAC=900.⌒ ⌒即OA ⊥PA.∴PA 与⊙O 相切.说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用. 变式练习： 如图，AB=AC ，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 于D ，DM ⊥AC 于M 求证：DM 与⊙O 相切.例3 如图，已知：AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，且∠CAB=300，BD=OB ，D 在AB 的延长线上.求证：DC 是⊙O 的切线 证明：连结OC 、BC. ∵OA=OC ， ∴∠A=∠1=∠300. ∴∠BOC=∠A+∠1=600. 又∵OC=OB ，∴△OBC 是等边三角形. ∴∠CBO=600. OB=BC. ∵OB=BD ， ∴BC=BD.∴∠CDO=300∴∠OCD=180°-300-600=900. ∴OC ⊥CD.∴DC 是⊙O 的切线.变式练习：如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F.求证：CE与△CFG的外接圆相切.二、若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”例4 如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.求证：AC与⊙D相切.证明一：连结DE，作DF⊥AC，F是垂足.∵AB是⊙D的切线，∴DE⊥AB.∵DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=900.∵AB=AC，∴∠B=∠C.又∵BD=CD，∴△BDE≌△CDF（AAS）∴DF=DE.∴F在⊙D上.∴AC是⊙D的切线变式练习： 已知：如图，AC ，BD 与⊙O 切于A 、B ，且AC ∥BD ，若∠COD=900. 求证：CD 是⊙O 的切线.C 、作业部分1、如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C ，交AB 的延长线于D ，且CO=CD ，则∠PCA=（ ）A ．30° B ．45° C ．60° D ．67.5°2、O ，并使较长边与O 相切于点C .假设角尺的较长边足够长，角尺的顶点B ，较短边8cm AB .若读得BC 长为cm a ，则用含a 的代数式表示r 为 .3、如图，已知AB 是⊙O 的一条直径，延长AB 至C 点，使得AC=3BC ，CD 与⊙O 相切，切点为D.若CD=3，则线段BC 的长度等于__________.4、如图，已知AB是⊙O的直径，锐角∠DAB的平分线AC交⊙O于点C，作CD⊥AD，垂足为D，直线CD与AB的延长线交于点E．（1）求证：直线CD为⊙O的切线；（2）当AB＝2BE，且CE＝3时，求AD的长．5如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，O、D分别为AB、BC上的点．经过A、D两点的⊙O分别交AB、AC于点E、F，且D为弧EF的中点．求证：BC与⊙O相切；6、如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 是AB 延长线上一点，BC ＝OB ，CE 是⊙O 的切线，切点为D ，过点A 作AE ⊥CE ，垂足为E ，求CD ：DE 的值7、如图，AB 是半圆O 的直径，点C 是⊙O 上一点（不与A ，B 重合），连接AC ，BC ，过点O 作OD ∥AC 交BC 于点D ，在OD 的延长线上取一点E ，连接EB ，使∠OEB=∠ABC ． ⑴求证：BE 是⊙O 的切线；⑵若OA=10，BC=16，求BE 的长．EB8、如图，⊙ O经过点B、D、E，BD是⊙ O的直径，∠C＝90°，BE 平分∠ABC. (1)试说明直线AC是⊙ O的切线；(2)当AE＝4，AD＝2时，求⊙ O的半径及BC的长．9、如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦，过点C作CD⊥AB 与点D，将△ACD沿AC翻折，点D落在点E处，AE交⊙O于点F ,连接OC、(1）求证：CE是⊙O的切线。
初中数学切线的性质和判定
图29－3
线的性质和判定
解 析 (1)由切线的性质，即可得OA⊥PA，OB⊥PB，又由圆周角 定理，求得∠AOB的度数，继而求得∠APB的大小； (2)由切线长定理，可求得∠APO的度数，继而求得∠AOP的度数，易得 PO是AB的垂直平分线，然后利用三角函数的性质，求得AD与OD的长．
┃ 切线的性质和判定
切线的性质和判定
中考预测
如图 29－6，△ABC 内接于⊙O，∠B＝60°，
CD 是⊙O 的直径，点 P 是 CD 延长线上的一点，
且 AP＝AC.
(1)求证：PA 是⊙O 的切线；
(2)若 PD＝ 3，求⊙O 的直径．
图29－6
切线的性质和判定
解
(1)证明：连接 OA, ∵∠B＝60°，
∴∠AOC＝2∠B＝120°.
切线的性质和判定
[方法点析] 解三角形内切圆问题，主要是切线长定理的运 用．解决此类问题，常转化到直角三角形中，利用勾股定理或 直角三角形的性质及三角函数等解决．
┃ 切线的性质和判定
回归教材
切线问题中必需的半径
教材母题
如图 29－5，设 AB 是⊙O 的直径，如 果圆上点 D 恰使∠ADC＝∠B，那么直线 CD 与⊙O 相切吗？若相切，请给出证明．
∴S△AOB＝12×AB×OD＝12×10 3×5＝25 3(cm2)．
切线的性质和判定
[方法点析] (1)利用过圆外一点作圆的两条切线，这两条切 线的长相等，是解题的基本方法．(2)利用方程思想求切线长常 与勾股定理，切线长定理，圆的半径相等紧密相连．
切线的性质和判定
探究四 三角形的内切圆
命题角度： 1. 三角形的内切圆的定义； 2. 求三角形的内切圆的半径．
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切线的判定和性质的教学设计
教材分析：
“切线的判定和性质”是人教版九年义务教育三年制初级中学几何九年级上第24章第二节的内容，是学生已经学习了直线和圆的三种位置关系之后提出来的。
切线的判定定理、性质定理是研究三角形的内切圆、切线长定理以及后面研究两圆的位置关系和正多边形与圆的关系的基础。
学好它，对今后数学、物理等学科的学习会有很大的帮助。
针对义务教材弹性特点和我我所教学生的实际水平，本着因材施教的教学原则，本节课在重点处理完本课内容切线的判定定理和例1后，我引导学生进行例2的探究，与例1结合起来，构成了有关切线证明问题中常见的一种类型，以及常用的辅助线作法。
设计理念：
为将新课程标准真正落实到本课的教学中，我改变了“复习引入—讲授新知—巩固新知—课堂小结—布置作业”这种传统的教学模式。
对本课的教学内容进行开放性设计，注重引导学生在小组合作学习中探究和体验，落实在“做中学”。
教学目标：
1、通过学生自己探究（猜想、类比、演绎）过程，让学生发现切线的判定定理，并能说明方法的正确性。
2、在定理的发现过程中，让学生体验“观察—猜想—论证—归纳”的数学研究的方法。
3、通过这节内容的教学，使学生获得猜想的认识过程以及“添加辅助线”的解决问题的方法。
4、培养学生动手操作的能力，激发学生学习几何的主动性和积极性。
教学重点：发现并证明切线的判定定理，认识切线在实际生活中的应用。
教学难点：体验圆的切线证明问题中辅助线的添加方法。
教学准备：
教师课前制作的多媒体课件。
教学过程
一、问题的提出：（多媒体显示问题）
.直线与圆有哪三种位置关系？判断的标准是什么？
2.什么叫圆的切线？怎样判定一条直线是不是圆的切线？（学生先观察、猜想，进行演示）
通过以上演示探究，我们发现可以用切线的定义来判定一条直线是不是圆的切线，但有时使用起来很不方便。
为此，我们有必要学习切线的判定定理。
（多媒体显示课题）：切线的判定定理
二、定理的发现
上节课学习了“圆心到一条直线的距离等于该圆的半径，则该直线就是圆的一条切线”这一定义。
活动1 ：下面请同学们把我们刚刚的实验操作用作图步骤归纳出来：
画出⊙O；在⊙O上任取一点A；连接OA；过点A作直线l⊥OA.（完成后，请同学们猜想，直线l是不是⊙O的切线？它满足哪些条件？）。
学生猜想：一条直线满足：经过半径的外端；垂直于这条半径，那么这条直线是圆的切线。
（让学生试图用文字语言加以概括）
结合所画图形，引导学生分析：因为直线l⊥OA，所以圆心O到直线l的距离等于OA，而OA正好是圆O的半径，根据“当圆心到直线的距离等于该圆的半径时，直线就是圆的一条切线”可知直线l是圆O的切线。
(多媒体显示)切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（分析两个条件及板书）
问题：生活中你看到哪些现象是直线和圆相切的位置关系的？（学生回答，教师补充）如：下雨天，转动雨伞，雨伞上的水滴会沿着什么方向飞出？车轮和笔直的公路；磨砂轮上的火花等。
提问：判断一条直线是圆的切线，共有几种方法？（学生讨论后，请学生代表陈述，再用多媒体显示）
方法1：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线。
方法2：与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线。
方法3：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
其中方法1是切线的定义；方法2和方法3本质相同，只是表达形式不同。
可根据问题的特点选择适当的判定方法。
三、例题学习：活动2：（多媒体显示）例1已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA＝CB．求证：直线AB是⊙O的切线．
引导学生分组讨论得出：本题已知直线AB与⊙O有一个公共点C，要证明AB是⊙O的切线，只需连接这个公共点AC与圆心O，得到半径OC,再证明半径OC与直线AB垂直即可。
（学生口述证明过程，多媒体演示书写格式例2.已知直线AB经过经过⊙O上的点A，且AB=OA，∠OBA=45度。
直线AB是圆O的切线吗？为什么？（学生口述证明过程，多媒体演示书写格式）
四、定理的发现：活动3.已知直线l 是⊙O的切线，切点为A，连接0A，你发现了什么？
结论：圆的切线垂直于过切点的半径。
（板书及强调条件）
学生讨论、归纳：当直线与圆有明确的公共点时，应连接圆心和公共点，即得到“半径”，再证明“直线与半径垂直”。
简称为“连半径，证垂直”。
五、练一练：1.已知：AB是⊙O的直径,∠B=45°, AT=AB. 求证：AT是⊙O的切线.
2.已知，AB是⊙O的直径,直线l1、l2是⊙O的切线，A、B是切点，l1、l2有怎样的关系？证明你的结论．
（学生在规定的时间内独立完成。
有困难的学生举手示意，教师给予指导，两学生分别先板演，后师生共同评析）
六、课堂小结
. 判定切线的判断定理，用符号表示
切线的性质的判断定理，用符号表示
七、课外作业：课本101页相应的练习。