六年级数学培优提高-圆与组合图形(含答案)
六年级数学拓展讲义第7讲——圆与组合图形及答案
(1)(2)(1)CBA第七讲——圆与组合图形圆的周长：2C R D ππ== 圆的面积：2S R π= 扇形面积：2360nr π【例题讲解】1、如下图（1），在一个正方形内，以正方形的三条边为直径向内作三个半圆，求阴影部分的面积。
2、如下图，正方形ABCD 的边长为4厘米，分别以B 、D 为圆心以4厘米为半径在正方形内画圆，求阴影部分面积。
3、如下图，矩形ABCD 中，AB=6厘米，BC=4厘米，扇形ABE 半径AE=6厘米，扇形CBF 的半径CB=4厘米。
求阴影部分的面积。
4、如下图，直角三角形ABC 中，AB 是圆的直径，且AB=20厘米，如果阴影（1）的面积比阴影（2）的面积大7平方厘米，求BC 长。
IIISDC BA 5、 如下图，两个正方形边长分别是10厘米和6厘米，求阴影部分的面积。
6、 如下图，将直径AB 为3的半圆绕A 逆时针旋转60°，此时AB 到达AC 的位置，求阴影部分的面积（取3π=）。
7、如下图，ABCD 是正方形，且FA=AD=DE=1，求阴影部分的面积。
8、如下图，ABC 是等腰直角三角形，D 是半圆周上的中点，BC 是半圆的直径，且AB=BC=10，求阴影部分面积。
9、如下图，大圆的直径为4厘米，求阴影部分的面积。
10、如下图，大扇形半径是6厘米，小扇形半径是3厘米，求阴影部分的面积。
11、如下图，三个同心圆的半径分别是2、6、10，求图中阴影部分面积占大圆面积的百分之几？12、如下图，正方形ABCD边长为1厘米，依次以A、B、C、D为圆心，以AD、BE、CF、DG为半径画出扇形，求阴影部分的面积。
13、如下图（a），求阴影部分的面积。
14、如下图（b），把OA分成6个等分，以O为圆心画出六个扇形，已知最小的扇形面积是10平方厘米，求阴影部分的面积。
15、如下图（a），△ABC是等腰直角三角形，直角边AB=2厘米，求阴影部分的面积。
16、如下图（b），半径OA=OB=OC=9厘米，∠1=∠2=15°，求阴影部分的面积。
圆与正方形的组合图形
课题名称：圆的面积3（圆与正方形的组合图形）
姓名：
李娜
工作单位：
蓝山县所城学校
学科年级：
数学六年级
教材版本：
人教版
一、教学内容分析
圆：本章的主要内容包括圆的认识、圆的周长，在学习了什么是圆，圆的特征后，引进了圆的周长，从而进一步学习探索圆的面积。而本节课内容，则是在掌握圆面积和正方形面积计算方法的基础上进行教学的，是关于圆与正方形这两种平面图形的组合图形的面积计算问题。学生通过自主探究和积极验证，感受到数学图形与实际生活的紧密联系，并掌握好本节课的重难点，体会到数学的应用价值。
师生共同探究，采用以学生为主体的课堂模式。
4、类比求解“外圆内方”图形的面积。
（1）求正方形和圆之间部分的面积，实际上是求什么？（S阴影=S圆形—S正方形）
（2）思考：已知圆的半径是1m，但不知道正方形的边长，如何求出正方形的面积呢？
小组分组讨论，教师巡视，适当点拨。
（3）生分小组探究，列式计算，派代表汇报。
（2）思考：圆的半径是1m，可根据圆面积计算公式求出圆的面积，那正方形面积如何计算？
（3）生自主探究，列式计算，指明学生上台板演，集体订正。
（1）学生同桌间讨论、交流。
生回答：实际上是求正方形比圆多的面积。
（2）生回答：要求正方形的面积必须知道正方形的边长，这里的边长就是圆的直径。
（3）列式计算：2x2-3.14x12=0.86m2
五、教学策略选择与信息技术融合的设计
教师活动
预设学生活动
设计意图
1、谈话导入
生活中常常会看到由圆和其他图形组成的组合，这节课我们将利用已有的知识一起来研究与圆和正方形组合的图形的面积计算。
2、探索新知
2020北师大版小学数学六年级上册培优试题附答案(全册)
()，周长扩大到原来的()，面积扩大到原来的
()。
二、我会选。(每题2分，共14分)
1．一个圆的半径是2m，那么它的周长和面积相比，()。
A．面积大B．周长大
C．同样大D．无法比较
2．把一张圆形纸片沿半径平均分成若干份，拼成一个近似的长方
形，其周长与圆的周长相比，()。
式用字母表示是()。
2．画圆时，圆规两脚之间叉开得越大，画出的圆越()；如果
圆规两脚间的距离为3cm，所画圆的面积为() cm2，周
长为()cm。
3．将2个大小不同的圆拼成组合图形，这个图形至少有()条
对称轴，最多有()条对称轴。
4．用一根长6.28m的绳子围成一个圆，这个圆的半径是()m，
面积是()m2。
A．等于圆的周长
B．大于圆的周长
7/76
C．小于圆的周长
D．无法比较
2的图形是()。3．面积是12.56 cm
4．在圆形花坛周围铺1m宽的小路，就是大圆的()比小圆的
()大1m。
A．直径直径B．半径半径
C．周长周长D．直径半径
5．把一张周长是25.12 dm的圆形纸片沿直径剪成两个半圆形，每
个半圆形的周长是() dm。
2．画一画。
(1)画一个半径是2 cm的圆，并用字母标出圆心、半径和直径。
3/76
(2)生活中许多美丽的图案都是轴对称图形，下面的轴对称图形各
有几条对称轴？写一写，并画出来。
①②
()条()条
③④
()条()条
(3)下面的图形都是由圆组成的，分别画出它们的对称轴。
3．按要求做一做。
4/76
(1)如图，作其关于虚线a的轴对称图形。
数学六年级-圆的组合图形面积计算
辅导讲义案例1：有一个著名的希波克拉蒂月牙问题．如图：以AB为直径作半圆，C是圆弧上一点，（不与A、B重合），以AC、BC为直径分别作半圆，围成两个月牙形（阴影部分）．已知直径AC为6cm，直径BC为8cm，直径AB为10cm．（1）将直径分别为AB、AC、BC所作的半圆面积分别记作S AB、S AC、S BC．分别求出三个半圆的面积。
（2）请你猜测：这两个月牙形（阴影部分）的面积与三角形ABC的面积之间的数量关系，并说明理由。
案例2：归纳总结以下基本图面积计算方法（1）扇形：扇形的面积=扇形中的弧长部分=扇形的周长（2）弓形面积：弓形面积=（3）“弯角”面积：如图：（4）“谷子”面积：如图：例题1：如图，直径AB为3厘米的半圆以A点为圆心逆时针旋转60°，使AB到达AC的位置，求图中的阴影部分的面积。
例题2：如图，三角形ABC是等腰直角三角形，腰AB长为4厘米，求阴影部分的面积？试一试：如图，三角形ABC是直角三角形，AC=20，阴影（1）的面积比阴影（2）的面积小23，求BC的长？例题3：如图，ABCD 是一个正方形，2ED DA AF ===，阴影部分的面积是多少？试一试：下图中，cm DC DB AD 10===，求阴影部分的面积．例题4：如图，ABCD是平行四边形，8cm∠=︒，高4cmCH=，弧BE、DF分DABAB=，30AD=，10cm别以AB、CD为半径，弧DM、BN分别以AD、CB为半径，则阴影部分的面积为多少？(精确到0.01)例题5：如图所示，直角三角形ABC的斜边AB长为10厘米，60ABC∠=︒，此时BC长5厘米．以点B为中心，将ABC∆顺时针旋转120︒，点A、C分别到达点E、D的位置．求AC边扫过的图形即图中阴影部分的面积．试一试：如下图，Rt△CAB中，AB=3，AC=4，将它以A点为中心逆时针旋转60°，得到Rt△EAD，求阴影部分面积是多少？1．有8个半径为1的小圆，用它们圆周的一部分连成一个花瓣图形（如图阴影所示），图中黑点是这些圆的圆心，那么花瓣图形的面积是（）（A）16（B）16π+（C）1162π+（D）162π+2．如图，一只羊被4米长的绳子拴在长为3米，宽为2米的长方形水泥台的一个顶点上，水泥台的周围都是草地，问这头羊能吃到草的草地面积是多少？（结果精确到0.01平方米）3．如图，已知正方形ABCD的边长为5，正方形CEFG的边长为3，求图中阴影部分的面积．（π为3.14）4．如图，ABCD是正方形，边长是8厘米，BE=4厘米，其中圆弧BD的圆心是C点，那么图中阴影部分的面积等于多少平方厘米？5．如图，两个正方形的边长分别是6和5．求图形中阴影部分的面积．6．7．8．如图所示，已知半圆的直径AB=12，BC所对的圆心角∠CAB=30°，并且小阴影面积为3.26，求大阴影的面积.7．如图，正方形的边长为10，那么图中阴影部分的面积是多少？8．如图，矩形的长为4，宽为5，求阴影部分的面积？A BDCA1．如图是以边长为40米的正方形ABCD 的顶点A 为圆心，AB 长为半径的弧与以CD 、BC 为直径的半圆构成的花坛（图中阴影部分）．小杰沿着这个花坛边以相同的速度跑了6圈，用去了8分钟，求（1）花坛（图中阴影部分）面积；（2）小杰平均每分钟跑多少米？2．某同学用所学过的圆与扇形的知识设计了一个问号，如图中阴影部分所示，已知图中的大圆半径为4，两个小圆半径均为2，求图中阴影部分的面积。
六年级数学培优(13)：圆问题
六年级数学培优(13)：圆的问题(1)
1、用一根绳索能够围成一个长10米，宽5.7米的长方形(接头不计)。
假如用这根绳索围成一个圆形，这个圆形的直径是多少米？
2、晨晨用一根线围成一个长方形，长与宽的和是18.84厘米，假如用这根线围成一个圆形，这个圆形的半径是多少米？
3、王大爷用一批篱笆能够围成一个直径是10米的羊圈，此刻他想把羊圈改围成一个面积最大的长方形羊圈，新羊圈的边各是多少？
4、下列图是一个部件的横截面，求这个横截面的周长(单位：厘米)。
5、正方形的边长是8厘米，以正方形的极点A、B、C、D为圆心，以3厘米为半径分别画弧截去四个角后的部分面积是多少？
6、求下边图形的周长(单位：厘米)
7、把3根基面直径为6厘米的圆柱形钢管用铁丝牢牢的捆在一同，捆一圈起码要用多长的铁丝(假如接头要用8厘米)？
8、把3根基面直径为8厘米的圆柱形钢管用铁丝牢牢的捆在一同，捆两圈起码要用多长的铁丝(假如接头不计)？
9、将两个完整相同的圆紧靠在一同，半径都是 2.5厘米，求暗影部分的周长。
10、有4段相同的圆木，横截面圆的半径都是10厘米，用绳索将它们捆起来（如图），只要要捆一圈，打结处
需要15厘米的绳索。
问：共需要多少厘米长的绳索？
11、求图中暗影部分的面积。
12、图中两个圆完整相同，半径20厘米，求这个组合图形的周长。
13、求下列图形的周长。
14、如图，地面上平躺着一个底面半径为0.5米的圆柱形油桶。
假如要将这两个油桶滚到墙边，需要转动几圈？
思虑题：
有A、B两个圆，A的半径是1厘米，B圆的半径为5厘米，假如B圆不动，A圆在B圆外沿B圆的圆周转动，当A圆滚到原处时，A圆自己转动了多少圈？。
北师大版六年级上册数学同步奥数培优
第一讲圆的周长与面积（一）【知识概述】圆是由曲线围成的平面图形。
在日常生活和学习中我们经常会遇到与圆的周长和面积有关的问题。
圆的周长除以它的直径的商是一个固定不变的数,这个结果被称为“圆周率".圆周率是一个无限不循环的小数，用字母“π"表示，圆的周长=圆周率x直径,即C=πd或C=2πr。
圆的面积等于圆周率与半径平方的乘积，即S=2r .下图圆的阴影部分是一个扇形，它的面积是一个圆的面积的四分之一，它的周长是圆周长的四分之一再加上两条半径的长。
【例题精学】例1:把4个啤酒瓶扎在一起(如图所示）捆4圈至少用绳子多少厘米? (接头部分用去15厘米）思路点拨：用绳子捆4圈的长度就是指周长的4倍。
这个图形的周长可分为两类:线段的长度和弧的长度。
而这四条弧正好可以拼成一个圆，每条线段的长正好是圆的直径的长。
所以绳子捆1圈的长度就是图中一个圆的周长加上4条直径的长度之和。
【同步精炼】1、计算下图中阴影部分的周长.（单位：厘米）2、一个街心花园如下图的形状，中间正方形的边长是 20 米,四周为半圆形,这个街心花园的周长是多少米?3、在学校200米的跑道中,每条跑道宽1.2米。
由于有弯道,为了公平,外道和内道选手的起跑线不在同一地点.如：A点处是小明的起跑线,B是小强的起跑线，AB两点的距离是? 例2：如下图，从点A到点B沿着大圆走和沿着中，小圆周走的路程相同吗?思路点拨:从点A到点B有两种走法：第一种是大圆的周长的一半；第二种是由A到C的中圆周长的一半与C到B的小圆周长的一半的和。
设小圆的直径为a，中原的直径为b，则大圆的直径为a+b。
那么第一种走法的路程为C1=πa÷2+πb÷2；第二种走法的路程为C2=πa÷2+πb÷2，所以C1=C2。
【同步精炼】1、下图中，从A点到B点沿着大圆周走和沿着小圆周走，路程相同吗?2、已知AB=50cm，求圆中各圆的周长总和.3、已知一个大圆中紧紧的排列着三个半径不同的小圆（如图），并且这四个圆的圆心恰好在同一条直线上。
六年级上册数学培优辅差记录表
六年级上册数学培优辅差记录表一、培优辅差对象。
1. 培优对象。
- 姓名：[学生姓名1]- 基本情况：数学基础扎实，对数学有浓厚的兴趣，思维敏捷，在课堂上能够快速掌握新知识，但在一些拓展性题目上还需要进一步提高解题技巧和思维深度。
2. 辅差对象。
- 姓名：[学生姓名2]- 基本情况：数学基础知识掌握不牢固，计算能力较弱，对数学学习缺乏信心，在解决较复杂的数学问题时存在较大困难。
二、培优辅差目标。
1. 培优目标。
- 在本学期内，使学生能够熟练运用所学知识解决各类拓展性数学问题，包括较复杂的分数应用题、圆的组合图形面积与周长计算等。
- 提高学生的数学思维能力，如逻辑推理、空间想象、创新思维等，使其能够在数学竞赛或学校组织的数学活动中取得优异成绩。
2. 辅差目标。
- 巩固学生的数学基础知识，如分数的乘除法、比和比例等概念和运算。
- 提高学生的计算能力，将计算准确率提升到[X]%以上。
- 帮助学生建立学习数学的信心，逐步提高解决数学问题的能力，使本学期期末考试成绩提高[X]分以上。
三、培优辅差内容。
（一）培优内容。
1. 分数乘法与除法的拓展应用。
- 复杂的分数乘法应用题，如涉及多个量之间的分数关系的问题。
- 分数除法中的工程问题，包括工作效率、工作时间和工作量之间的复杂关系，以及工程问题的变形。
2. 圆的相关知识深化。
- 圆与其他图形组合后的面积和周长计算，如圆与三角形、矩形等组合图形。
- 利用圆的知识解决实际生活中的问题，如圆形场地的规划、圆形物体的用料计算等。
3. 比和比例的高级应用。
- 比例在几何图形中的应用，如相似图形的边长比例与面积比例关系。
- 利用比和比例解决溶液浓度、经济利润等实际问题。
4. 数学思维训练。
- 逻辑推理题，如根据条件推理出数字或图形的规律。
- 空间想象题，如正方体、长方体的展开图与立体图之间的转换，以及复杂的立体图形组合后的视图分析。
（二）辅差内容。
1. 分数的乘除法基础巩固。
六年级上册秋季奥数培优讲义——6-03-组合图形(二)3-讲义-学生
第3讲组合图形求面积（二）【学习目标】1、复习圆的面积计算；2、熟练掌握组合图形的面积计算。
【知识梳理】1、容斥法：利用容斥原理求解图形面积；2、分组法：把要求的图形平均分组，然后进行计算；3、拆分法：把不规则图形拆分成几个规则的可以直接计算的图形；4、差不变：两个图形同时加上或者减去同一部分，差不变。
【典例精析】【例1】如图，在三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC=10cm，A为扇形AEF的圆心且阴影部分①与②面积相等，求扇形所在圆的面积。
【趁热打铁-1】如图，以直角三角形的直角边长20厘米为直径画一个半圆，阴影部分①的面积比②的面积小16平方厘米，求BC的长。
(π取3.14)【例2】如图所示，圆的周长为12.56cm,A,C两点把圆周分成相等的两段弧，阴影部分①的面积与阴影部分②的面积相等。
求平行四边形ABCD 的面积。
【趁热打铁-2】如图所示，圆的半径OA=OB=5cm,AC=CD=8cm,AC 垂直于CD,BC=6cm 。
求IV III II I S S S S -++。
【例3】如图所示，两圆的半径都是2厘米，且图中两个阴影部分的面积相等，长方形21O ABO 的面积是_____平方厘米。
【趁热打铁-3】如图，两个半径相等的圈A 和圆B 相交三角形DBC 是等腰直角三角形，面积是100平方厘米，四边形ABCD 是平行四边形。
图中阴影部分的面积是_______平方厘米。
【例4】如图、两个小圆和三个小半圆的半径都是1. 求阴影那分的面积。
(π取3) 【趁热打铁-4】如图每个小圆的面积都是7平方厘米，则阴影部分的面积是。
【例5】如图,三个圆的半径都是2cm,则阴影部分的面积____cm2 。
【趁热打铁-5】下图中大圆的直径是10厘米，四个小圆完全相同，阴影部分的面积是。
【例6】如图，长方形的宽正好是大扇形半径的一半，求阴影部分的面积。
（单位：厘米）【趁热打铁-6】图中正方形的边长是6厘米，求阴影部分的面积。
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圆与组合图形
一、思想方法和方法归纳
数量代换法。
有些图形，数量关系比较隐蔽，可以利用题中数量间的关系，相互代换，求出其中一个数量，把未知条件转化成已知条件。
旋转平移变形法。
面积的大小具有恒定性，有时图形的位置或方向不利于解题，可以把某一部分能力旋转平移来使条件之间有关联，从而为解题创造条件。
等积变形法。
在三角形中，如果两个三角形（或平行四边形）等底等高，则这两个三角形（或平行四边形）面积相等。
除去这两个图形的公共部分，则它们剩余部分面积相等。
我们经常要用到这种思想方法。
等腰直角三角形的特殊性。
在等腰直角三角形中，两直角边相等。
斜边上的高等于斜边的一半。
斜边上的高恰好是等腰直角三角形的对称轴。
二、经典例题
例1、已知正方形ABCD的对角线AC长为10厘米，求阴影部分的面积。
例2、如图，已知下图中阴影部分面积为200平方厘米，求两圆之间的环形面积。
62.8平方厘米
例3、如图，已知大正方形边长为10分米，求阴影部分的面积。
例4、如图，已知等腰直角三角形ABC的面积为12平方厘米，求阴影部分的面积。
例5、如图是个对称图形，求阴影部分的面积。
巩固练习
1、如图，已知三角形ABC为等腰直角三角形，BC为圆的直径且BC=12
厘米，求阴影部分的面积。
2、已知正方形的边长为10厘米，求阴影部分的面积。
3、已知直角三角形ABC，其中AC=20厘米。
求阴影部分的面积是多少。
4、如图，已知阴影部分的面积为30平方厘米，求圆环的面积。
5、如图，求阴影部分的面积。
6、如图中，正方形面积为50，求阴影部分的面积。
7、如图，已知AB为小圆的直径，AB垂直CO，∠ACB=90°，三角形
ABC的面积为29平方分米，求阴影部分的面积。
8、如图，已知平行四边形面积为40平方厘米，求阴影部分的面积。
9、在羊圈外面的一角用长30米的绳子拴着一只羊（见下图）。
问：这
只羊能够活动的范围有多大？（π取3.14）
答案与解析
经典例题
例1、利用R2代换
解答提示：作四个同样的ADC扇形，则可以拼成一个完整的圆，中间有一个正方形。
正方形的面积容易求出来，正方形面积除以4容易得到一个三
角形的面积。
又因为三角形面积也可以等于半径乘以半径再除以2，由此容易求出半径的平方。
继而容易求出扇形的面积。
再就容易求出阴影面积。
答案：14.25
例2、解答提示：作如图的辅助线，则辅助线将阴影部分分成了4个部分，则每个部分阴影面积为50平方厘米，每个阴影部分面积恰好等于R2-r2。
由此问题可解。
答案为62.8平方厘米
例3、利用等积变形求面积
解答提示：连结DB，则三角形DBG与三角形DBE等底等高，所以面积相等，所以三角形DHG面积等于BEH。
所以求阴影面积等于求扇形BEG的面积。
答案：78.5
例4、解答提示：连结OC，设圆的半径为r厘米，则有2r×r÷2=12
所以可以得r2=12，由此容易求出半圆面积，进而容易求出阴影部分面积。
专家点评：同一个三角形，它的面积有三种不同的表达方式（因为它有三条底和三条对应的高），这种思想在数学中要经常用到。
例5、利用平移与旋转来求面积
解答提示：将右半边图形以中心点顺时针旋转180度，则刚好可以拼成一个半圆。
阴影部分刚好是半圆减去一个等腰直角三角形。
答案：107
巩固练习答案
1、18
2、57
3、60.5
4、94.2
5、28.5
6、28.5
7、29
8、5.7
9、2512。