2006年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)文科数学试题及解答(WORD版)
2006年一般高等学校招生全国统一考试数学试题 文（辽宁卷，含解析）新人教A版(1)
2006年一般高等学校招生全国统一考试数学试题 文（辽宁卷，含解析）新人教A版第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1．函数1sin 32y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是（ ） Ａ．π2Ｂ．π Ｃ．2π Ｄ．4π2．设集合{}12A =，，那么知足{}123A B =，，的集合B 的个数是（ ）Ａ．1Ｂ．3Ｃ．4Ｄ．83．设()f x 是R 上的任意函数，以下表达正确的选项是（ ） Ａ．()()f x f x -是奇函数 Ｂ．()()f x f x -是奇函数Ｃ．()()f x f x +-是偶函数Ｄ．()()f x f x --是偶函数()F x -的关系不能确信，即函数()()()F x f x f x =-的奇偶性不确信，4．1234566666C C C C C ++++的值为（ ）Ａ．61Ｂ． 62 Ｃ．63 Ｄ．645．方程22520x x -+=的两个根可别离作为（ ） Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率 Ｂ．两抛物线的离心率 Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率Ｄ．两椭圆的离心率6．给出以下四个命题：①垂直于同一直线的两条直线相互平行 ②垂直于同一平面的两个平面相互平行 ③假设直线12l l ，与同一平面所成的角相等，那么12l l ，相互平行④假设直线12l l ，是异面直线，那么与12l l ，都相交的两条直线是异面直线其中假命题的个数是（ ） Ａ．1Ｂ．2Ｃ．3Ｄ．47．双曲线224x y -=的两条渐近线与直线3x =围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是（ ）Ａ．0003x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩，，≥≥≤≤ Ｂ．0003x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩，，≥≤≤≤ Ｃ．0003x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩，，≤≤≤≤ Ｄ．0003x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩，，≤≥≤≤8．设⊕是R 上的一个运算，A 是V 的非空子集，假设对任意a b A ∈，，有a b A ⊕∈，那么称A 对运算⊕封锁．以下数集对加法、减法、乘法和除法（除数不等于零）四那么运算都封锁的是（ ） Ａ．自然数集Ｂ．整数集Ｃ．有理数集Ｄ．无理数集9．ABC△的三内角A B C ，，所对边的长别离为a b c ，，．设向量p ()=+，a c b ，q ()=--，b a c a ．假设p q ∥，那么角C 的大小为（ ）Ａ．π6 Ｂ．π3 Ｃ． π2 Ｄ．2π310．已知等腰ABC △的腰为底的2倍，那么顶角A 的正切值是（ ）Ａ．32Ｂ．3Ｃ．158Ｄ．15711．与方程221(0)x x y e e x =-+≥的曲线关于直线y x =对称的曲线的方程为（ ）Ａ．ln(1)y x =+ Ｂ．ln(1)y x =- Ｃ．ln(1)y x =-+Ｄ．ln(1)y x =--12．曲线221(6)106x y m m m +=<--与曲线221(59)59x y n n n +=<<--的（ ）Ａ．离心率相等 Ｂ．焦距相等 Ｃ．焦点相同 Ｄ．准线相同第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题4分，总分值16分，将答案填在答题纸上） 13．方程22log (1)2log (1)x x -=-+的解为________．【答案】5 【解析】 试题分析：22log (1)2log (1)x x -=-+224log (1)log 1x x -=+即411x x -=+解得5x =±（负值舍去）14．设0()ln 0x e x g x x x ⎧=⎨>⎩ ，， ，≤则12g g ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_____．15．如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P ABCDEF -，那么此正六棱锥的侧面积是______．16．5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从当选出3名队员排成1，2，3号参加集体竞赛，那么入选的3名队员中至少有1名老队员，且1，2号中至少有1名新队员的排法有____种．（以数作答） 三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤.） 17．（本小题总分值12分）已知函数22()sin 2sin cos 3cos f x x x x x x =++∈，R ，求 （1）函数()f x 的最大值及取得最大值的自变量x 的集合； （2）函数()f x 的单调增区间．18．（本小题总分值12分）甲、乙两班各派2名同窗参加年级数学竞赛，参赛同窗成绩合格的概率都为，且参赛同窗的成绩彼此之间没有阻碍，求：（1）甲、乙两班参赛同窗中各有1名同窗成绩合格的概率；（2）甲、乙两班参赛同窗中至少有1名同窗成绩合格的概率．【答案】（1）；（2）．【解析】19．（本小题总分值12分）已知正方形ABCD ，E F ，别离是边AB CD ，的中点，将ADE △沿DE 折起，如下图，记二面角A DE C --的大小为θ（0πθ<<）．（1）证明BF ∥平面ADE（2）假设ACD △为正三角形，试判定点A 在平面BCDE 内的射影G 是不是在直线EF 上，证明你的结论，并求角θ的余弦值． 20．（本小题总分值12分） 已知等差数列{}n a 的前n 项和为22()=-+∈R ，n S pn n q p q ，n ∈+N ．（1）求q 的值； （2）假设1a 与5a 的等差中项为18，nb 知足22log n a b=，求数列{}n b 的前n 项和．21．（本小题总分值12分）已知函数321()()(2)3f x ax a d x a d x d =+++++，2()2(2)4=++++g x ax a d x a d ，其中00a d >>，，设0x 为()f x 的极小值点，1x 为()g x 的极值点，23()()0g x g x ==，而且23x x <，将点001123(())(())(0)(0)，，，，，，，x f x x g x x x 依次记为AB C D ，，，． （1）求x 的值；（2）假设四边形APCD 为梯形且面积为1，求a d ，的值． 22．（本小题总分值14分） 已知点112212()()(0)A x yB x y x x ≠，，，是抛物线22(0)y px p =>上的两个动点，O 是坐标原点，向量OA OB ，知足||||OA OB OA OB =+-，设圆C 的方程为221212()()0x y x x x y y y +-+-+=．（1）证明线段AB 是圆C 的直径；（2）当圆C 的圆心到直线20x y -=的距离的最小值为5时，求p 的值．【答案】（1）详观点析；（2） 2.p = 【解析】。
2006年全国统一高考数学试卷(文科)(全国卷ⅱ)
2006年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷Ⅱ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知向量=（4，2），向量=（x，3），且∥，则x=（）A．9 B．6 C．5 D．32．（5分）已知集合M={x|x＜3}，N={x|log2x＞1}，则M∩N=（）A．∅B．{x|0＜x＜3}C．{x|1＜x＜3}D．{x|2＜x＜3}3．（5分）函数y=sin2x•cos2x的最小正周期是（）A．2πB．4πC．D．4．（5分）如果函数y=f（x）的图象与函数y′=3﹣2x的图象关于坐标原点对称，则y=f（x）的表达式为（）A．y=2x﹣3 B．y=2x+3 C．y=﹣2x+3 D．y=﹣2x﹣35．（5分）已知△ABC的顶点B，C在椭圆+y2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（）A．B．6 C．D．126．（5分）已知等差数列{a n}中，a2=7，a4=15，则前10项的和S10=（）A．100 B．210 C．380 D．4007．（5分）如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和．过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB：A′B′=（）A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：38．（5分）已知函数f（x）=lnx+1（x＞0），则f（x）的反函数为（）A．y=e x+1（x∈R）B．y=e x﹣1（x∈R）C．y=e x+1（x＞1）D．y=e x﹣1（x＞1）9．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．10．（5分）若f（sinx）=2﹣cos2x，则f（cosx）等于（）A．2﹣sin2x B．2+sin2x C．2﹣cos2x D．2+cos2x11．（5分）过点（﹣1，0）作抛物线y=x2+x+1的切线，则其中一条切线为（）A．2x+y+2=0 B．3x﹣y+3=0 C．x+y+1=0 D．x﹣y+1=012．（5分）5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有（）A．150种B．180种C．200种D．280种二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）在的展开式中常数项为（用数字作答）．14．（4分）圆O1是以R为半径的球O的小圆，若圆心O1到球心O的距离与球半径面积S1和球O的表面积S的比为S1：S=2：9，则圆心O1到球心O的距离与球半径的比OO1：R=．15．（4分）过点的直线l将圆（x﹣2）2+y2=8分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k=．16．（4分）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2500，3000）（元）月收入段应抽出人．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）在△ABC中，∠B=45°，AC=，cosC=，（1）求BC的长；（2）若点D是AB的中点，求中线CD的长度．18．（12分）设等比数列{a n}的前n项和为S n，S4=1，S8=17，求通项公式a n．19．（12分）某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意出取2件产品进行检验．设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．（1）用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及ξ的数学期望；（2）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝的概率．20．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC，D、E分别为BB1、AC1的中点．（I）证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线；（II）设，求二面角A 1﹣AD﹣C1的大小．21．（14分）设a∈R，二次函数f（x）=ax2﹣2x﹣2a．若f（x）＞0的解集为A，B={x|1＜x＜3}，A∩B≠∅，求实数a的取值范围．22．（12分）已知抛物线x2=4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M．（Ⅰ）证明为定值；（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出S=f（λ）的表达式，并求S的最小值．2006年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知向量=（4，2），向量=（x，3），且∥，则x=（）A．9 B．6 C．5 D．3【分析】本题考查向量共线的充要条件，坐标形式的充要条件容易代错字母的位置，只要细心，这是一道送分的题目，但一些考试中会考到．【解答】解：∥，∴4×3﹣2x=0，∴x=6，故选：B．【点评】向量平行、垂直是经常考到的问题，掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题．2．（5分）已知集合M={x|x＜3}，N={x|log2x＞1}，则M∩N=（）A．∅B．{x|0＜x＜3}C．{x|1＜x＜3}D．{x|2＜x＜3}【分析】解出集合N，结合数轴求交集．【解答】解：N={x|log2x＞1}={x|x＞2}，用数轴表示可得答案D故选：D．【点评】考查知识点有对数函数的单调性，集合的交集，本题比较容易3．（5分）函数y=sin2x•cos2x的最小正周期是（）A．2πB．4πC．D．【分析】将函数化简为：y=Asin（ωx+φ）的形式即可得到答案．【解答】解：所以最小正周期为，故选：D．【点评】考查知识点有二倍角公式，最小正周期公式本题比较容易4．（5分）如果函数y=f（x）的图象与函数y′=3﹣2x的图象关于坐标原点对称，则y=f（x）的表达式为（）A．y=2x﹣3 B．y=2x+3 C．y=﹣2x+3 D．y=﹣2x﹣3【分析】先假设函数f（x）上的点（x，y），∵（x，y）关于原点对称的点为（﹣x，﹣y）在函数y′=3﹣2x上代入即可得到答案．【解答】解：设（x，y）为函数f（x）上的点，∵（x，y）关于原点对称的点为（﹣x，﹣y）在函数y′=3﹣2x上∴以﹣y，﹣x代替函数y'=3﹣2x中的y′，x，得y=f（x）的表达式为y=﹣2x﹣3故选：D．【点评】本题主要考查根据函数对称性求函数解析式的问题．根据求谁设谁的原则，先假设函数f（x）上的点，根据对称性找关系式即可得到答案．5．（5分）已知△ABC的顶点B，C在椭圆+y2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（）A．B．6 C．D．12【分析】由椭圆的定义：椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a，可得△ABC的周长．【解答】解：由椭圆的定义：椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a，可得△ABC的周长为4a=，故选：C．【点评】本题主要考查数形结合的思想和椭圆的基本性质，难度中等6．（5分）已知等差数列{a n}中，a2=7，a4=15，则前10项的和S10=（）A．100 B．210 C．380 D．400【分析】由第二项和第四项的值可以求出首项和公差，写出等差数列前n项和公式，代入n=10得出结果．【解答】解：d=，a1=3，∴S10==210，故选：B．【点评】若已知等差数列的两项，则等差数列的所有量都可以求出，只要简单数字运算时不出错，问题可解．7．（5分）如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和．过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB：A′B′=（）A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：3【分析】设AB的长度为a用a表示出A'B'的长度，即可得到两线段的比值．【解答】解：连接AB'和A'B，设AB=a，可得AB与平面α所成的角为，在Rt△BAB'中有AB'=，同理可得AB与平面β所成的角为，所以，因此在Rt△AA'B'中A'B'=，所以AB：A'B'=，故选：A．【点评】本题主要考查直线与平面所成的角以及线面的垂直关系，要用到勾股定理及直角三角形中的边角关系．有一定的难度8．（5分）已知函数f（x）=lnx+1（x＞0），则f（x）的反函数为（）A．y=e x+1（x∈R）B．y=e x﹣1（x∈R）C．y=e x+1（x＞1）D．y=e x﹣1（x＞1）【分析】本题考查反函数的概念、求反函数的方法、指数式与对数式的互化，求函数的值域；将y=lnx+1看做方程解出x，然后由原函数的值域确定反函数的定义域即可．【解答】解：由y=lnx+1解得x=e y﹣1，即：y=e x﹣1∵x＞0，∴y∈R所以函数f（x）=lnx+1（x＞0）反函数为y=e x﹣1（x∈R）故选：B．【点评】由于是基本题目，解题思路清晰，求解过程简捷，所以容易解答；解答时注意函数f（x）=lnx+1（x＞0）值域的确定，这里利用对数函数的值域推得．9．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【分析】由题意设出双曲线的方程，得到它的一条渐近线方程y=x即y=x，由此可得b：a=4：3，结合双曲线的平方关系可得c与a的比值，求出该双曲线的离心率．【解答】解：∵双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，∴设双曲线的方程为，（a＞0，b＞0）由此可得双曲线的渐近线方程为y=±x，结合题意一条渐近线方程为y=x，得=，设b=4t，a=3t，则c==5t（t＞0）∴该双曲线的离心率是e==．故选：A．【点评】本题给出双曲线的一条渐近线方程，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程、基本概念和简单几何性质等知识，属于基础题．10．（5分）若f（sinx）=2﹣cos2x，则f（cosx）等于（）A．2﹣sin2x B．2+sin2x C．2﹣cos2x D．2+cos2x【分析】本题考查的知识点是函数解析式的求法，根据已知中f（sinx）=2﹣cos2x，结合倍角公式对解析式进行凑配，不难得到函数f（x）的解析式，然后将cosx 代入，并化简即可得到答案．【解答】解：∵f（sinx）=2﹣（1﹣2sin2x）=1+2sin2x，∴f（x）=1+2x2，（﹣1≤x≤1）∴f（cosx）=1+2cos2x=2+cos2x．故选：D．【点评】求解析式的几种常见方法：①代入法：即已知f（x），g（x），求f（g （x））用代入法，只需将g（x）替换f（x）中的x即得；②换元法：已知f（g （x）），g（x），求f（x）用换元法，令g（x）=t，解得x=g﹣1（t），然后代入f （g（x））中即得f（t），从而求得f（x）．当f（g（x））的表达式较简单时，可用“配凑法”；③待定系数法：当函数f（x）类型确定时，可用待定系数法．④方程组法：方程组法求解析式的实质是用了对称的思想．一般来说，当自变量互为相反数、互为倒数或是函数具有奇偶性时，均可用此法．在解关于f（x）的方程时，可作恰当的变量代换，列出f（x）的方程组，求得f（x）．11．（5分）过点（﹣1，0）作抛物线y=x2+x+1的切线，则其中一条切线为（）A．2x+y+2=0 B．3x﹣y+3=0 C．x+y+1=0 D．x﹣y+1=0【分析】这类题首先判断某点是否在曲线上，（1）若在，直接利用导数的几何意义，求函数在此点处的斜率，利用点斜式求出直线方程（2）若不在，应首先利用曲线与切线的关系求出切点坐标，进而求出切线方程．此题属于第二种．【解答】解：y'=2x+1，设切点坐标为（x0，y0），则切线的斜率为2x0+1，且y0=x02+x0+1于是切线方程为y﹣x02﹣x0﹣1=（2x0+1）（x﹣x0），因为点（﹣1，0）在切线上，可解得x0=0或﹣2，当x0=0时，y0=1；x0=﹣2时，y0=3，这时可以得到两条直线方程，验正D正确．故选：D．【点评】函数y=f（x）在x=x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f（x）在点P（x0，y0）处的切线的斜率，过点P的切线方程为：y﹣y0=f′（x0）（x﹣x0）12．（5分）5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有（）A．150种B．180种C．200种D．280种【分析】根据题意，分析可得人数分配上有两种方式即1，2，2与1，1，3；分别计算两种情况下的情况数目，相加可得答案．【解答】解：人数分配上有两种方式即1，2，2与1，1，3若是1，1，3，则有=60种，若是1，2，2，则有=90种所以共有150种，故选：A．【点评】本题考查组合的运用，难点在于分组的情况的确定．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）在的展开式中常数项为45（用数字作答）．【分析】利用二项式的通项公式（让次数为0，求出r）就可求出答案．【解答】解：要求常数项，即40﹣5r=0，可得r=8代入通项公式可得T r=C108=C102=45+1故答案为：45．【点评】二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．14．（4分）圆O1是以R为半径的球O的小圆，若圆心O1到球心O的距离与球半径面积S1和球O的表面积S的比为S1：S=2：9，则圆心O1到球心O的距离与球半径的比OO1：R=1：3．【分析】利用两个圆的面积之比，推出半径比，结合圆心O1到球心O的距离与球半径、圆心O1的半径满足勾股定理，即可求出结果．【解答】解：设圆O1的半径为r，则S1=πr2，S=4πR2，由S1：S=2：9得r：R=：3又r2+OO12=R2，可得OO1：R=1：3故答案为：1：3【点评】本题考查球的表面积，球的截面知识，考查计算能力，是基础题．15．（4分）过点的直线l将圆（x﹣2）2+y2=8分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k=．【分析】由劣弧所对的圆心角最小弦长最短，及过圆内一点最短的弦与过该点的直径垂直，易得到解题思路．【解答】解：由题意，点P（1，）在圆（x﹣2）2+y2=8的内部，圆心为C（2，0），要使得劣弧所对的圆心角最小，只能是直线l⊥CP，所以k=﹣=，故答案为．【点评】垂径定理及其推论是解决直线与圆关系时常用的定理，要求大家熟练掌握，垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧．相关推论，过圆内一点垂直于该点直径的弦最短，且弦所在的劣弧最短，优弧最长，弦所对的圆心角、圆周角最小．16．（4分）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2500，3000）（元）月收入段应抽出25人．【分析】直方图中小矩形的面积表示频率，先计算出[2500，3000）内的频率，再计算所需抽取人数即可．【解答】解：由直方图可得[2500，3000）（元）月收入段共有10000×0.0005×500=2500人按分层抽样应抽出人故答案为：25【点评】本题主要考查直方图和分层抽样，难度不大．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）在△ABC中，∠B=45°，AC=，cosC=，（1）求BC的长；（2）若点D是AB的中点，求中线CD的长度．【分析】（1）先由cosC求得sinC，进而根据sinA=sin（180°﹣45°﹣C）求得sinA，再由正弦定理知求得BC．（2）先由正弦定理知求得AB，进而可得BD，再在△ACD中由余弦定理求得CD．【解答】解：（1）由由正弦定理知（2）由余弦定理知=【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用．属基础题．18．（12分）设等比数列{a n}的前n项和为S n，S4=1，S8=17，求通项公式a n．【分析】设出数列的公比，由题意知公比不为0，根据题目所给的两个前几项的和，列出方程求出公比有两个值，对于这两种情况分别写出数列的通项公式．【解答】解：设{a n}的公比为q，由S4=1，S8=17知q≠1，∴得①②由①和②式整理得解得q4=16所以q=2或q=﹣2将q=2代入①式得，∴将q=﹣2代入①式得，∴，综上所述或【点评】本题是一个等比数列的基本量的运算，这种问题是数列中最容易出的一种小型题目，多出在选择和填空中，是考查数列的基础知识的一道送分的题目，只要解题认真就可以得分．19．（12分）某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意出取2件产品进行检验．设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．（1）用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及ξ的数学期望；（2）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝的概率．【分析】（1）由取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品可知变量ξ的取值，结合变量对应的事件做出这四个事件发生的概率，写出分布列和期望．（2）由上一问做出的分布列可以知道，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=，这两个事件是互斥的，根据互斥事件的概率公式得到结果．【解答】解（1）由题意知抽检的6件产品中二等品的件数ξ=0，1，2，3==，∴ξ的分布列为∴ξ的数学期望E（ξ）=（2）∵P（ξ=2）=，P（ξ=3）=，这两个事件是互斥的∴P（ξ≥2）=【点评】本题主要考查分布列的求法以及利用分布列求期望和概率，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，题目做起来不难，运算量也不大．20．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC，D、E分别为BB1、AC1的中点．（I）证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线；（II）设，求二面角A 1﹣AD﹣C1的大小．【分析】（Ⅰ）设O为AC中点，连接EO，BO，欲证ED为异面直线AC1与BB1的公垂线，只需证明ED与直线AC1与BB1都垂直且相交，根据线面垂直的性质可知ED⊥CC1，而ED⊥BB1，即可证得；（Ⅱ）连接A1E，作EF⊥AD，垂足为F，连接A1F，根据二面角的平面角定义可知∠A1FE为二面角A1﹣AD﹣C1的平面角，在三角形A1FE中求出此角即可．【解答】解：（Ⅰ）设O为AC中点，连接EO，BO，则EO C1C，又C1C B1B，所以EO DB，EOBD为平行四边形，ED∥OB．（2分）∵AB=BC，∴BO⊥AC，又平面ABC⊥平面ACC1A1，BOÌ面ABC，故BO⊥平面ACC1A1，∴ED⊥平面ACC1A1，ED⊥AC1，ED⊥CC1，∴ED⊥BB1，ED为异面直线AC1与BB1的公垂线．（6分）（Ⅱ）连接A1E，由AA1=AC=AB可知，A1ACC1为正方形，∴A1E⊥AC1，又由ED⊥平面ACC1A1和EDÌ平面ADC1知平面ADC1⊥平面A1ACC1，∴A1E⊥平面ADC1．作EF⊥AD，垂足为F，连接A1F，则A1F⊥AD，∠A1FE为二面角A1﹣AD﹣C1的平面角．不妨设AA1=2，则AC=2，AB=，ED=OB=1，EF==，tan∠A1FE=，∴∠A1FE=60°．所以二面角A1﹣AD﹣C1为60°．（12分）【点评】本题主要考查了异面直线公垂线的证明，二面角的度量，以及空间想象能力和推理能力，属于基础题．21．（14分）设a∈R，二次函数f（x）=ax2﹣2x﹣2a．若f（x）＞0的解集为A，B={x|1＜x＜3}，A∩B≠∅，求实数a的取值范围．【分析】解：注意到△=4+8a2＞0，则函数有两个零点，由a的正负，确定不等式解集的形式．结合着数轴分类讨论．【解答】解：由题意可知二次函数a≠0，令f（x）=0解得其两根为由此可知x1＜0，x2＞0（i）当a＞0时，A={x|x＜x1}∪{x|x＞x2}，则A∩B≠ϕ的充要条件是x2＜3，即解得（ii）当a＜0时，A={x|x1＜x＜x2}A∩B≠ϕ的充要条件是x2＞1，即解得a＜﹣2综上，使A∩B≠ϕ成立的a的取值范围为【点评】在对集合的相关问题进行求解时，分类讨论时经常考查到的思想方法，另外对于一元二次不等式的解法也是一个基本的知识点，要熟练掌握．22．（12分）已知抛物线x2=4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M．（Ⅰ）证明为定值；（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出S=f（λ）的表达式，并求S的最小值．【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x o，y o），根据抛物线方程可得焦点坐标和准线方程，设直线方程与抛物线方程联立消去y，根据判别式大于0求得x1+x2和x1x2，根据曲线4y=x2上任意一点斜率为y′=，可得切线AM和BM的方程，联立方程求得交点坐标，求得和，进而可求得•的结果为0，进而判断出AB⊥FM．（2）利用（1）的结论，根据x1+x2的关系式求得k和λ的关系式，进而求得弦长AB，可表示出△ABM面积．最后根据均值不等式求得S的范围，得到最小值．【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x o，y o），焦点F（0，1），准线方程为y=﹣1，显然AB斜率存在且过F（0，1）设其直线方程为y=kx+1，联立4y=x2消去y得：x2﹣4kx﹣4=0，判别式△=16（k2+1）＞0．x1+x2=4k，x1x2=﹣4于是曲线4y=x2上任意一点斜率为y′=，则易得切线AM，BM方程分别为y=（）x1（x﹣x1）+y1，y=（）x2（x﹣x2）+y2，其中4y1=x12，4y2=x22，联立方程易解得交点M坐标，x o==2k，y o==﹣1，即M（，﹣1）从而，=（，﹣2），（x2﹣x1，y2﹣y1）•=（x1+x2）（x2﹣x1）﹣2（y2﹣y1）=（x22﹣x12）﹣2[（x22﹣x12）]=0，（定值）命题得证．这就说明AB⊥FM．（Ⅱ）由（Ⅰ）知在△ABM中，FM⊥AB，因而S=|AB||FM|．∵，∴（﹣x1，1﹣y1）=λ（x2，y2﹣1），即，而4y1=x12，4y2=x22，则x22=，x12=4λ，|FM|====．因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y=﹣1的距离，所以|AB|=|AF|+|BF|=y1+y2+2=+2=λ++2=（）2．于是S=|AB||FM|=（）3，由≥2知S≥4，且当λ=1时，S取得最小值4．【点评】本题主要考查了抛物线的应用．抛物线与直线的关系和抛物线的性质等都是近几年高考的热点，故应重点掌握．。
2006年普通高等学校招生全国统一考试理参考答案(辽宁卷)
2006年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（供理科考生使用）试题答案与评分参考说明：一．本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则． 二．对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分60分. （1）Ｃ （2）Ｄ （3）Ｄ （4）Ａ （5）Ｃ （6）Ｂ （7）Ａ （8）Ａ （9）Ｃ （10）Ｄ （11）Ｃ （12）Ｂ 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．（13）12（14）1-（15）48（16三、解答题（17）本小题考查三角公式、三角函数的性质及已知三角函数值求角等基础知识，考查综合运用三角函数有关知识的能力．满分12分．（I ）解法一：()()31cos 21cos 2sin 222x xf x x +-=++2sin 2cos 2x x =++π224x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ································ 4分∴当ππ22π+42x k +=，即()ππ+8x k k =∈Z 时，()f x 取得最大值2 因此，()f x 取得最大值的自变量x 的集合是ππ+8x x k k ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭Z ，． ············· 8分解法二：()()222sin cos sin 22cos f x x x x x =+++π1sin 21cos 2224x x x ⎛⎫=+++=+ ⎪⎝⎭， ······························· 4分∴当ππ22π+42x k +=，即()ππ+8x k k =∈Z 时，()f x 取得最大值2 因此，()f x 取得最大值的自变量x 的集合是ππ+8x x k k ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭Z ，． ············· 8分（II ）解：()π224f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 由题意得()πππ2π22π+242k x k k -+∈Z ≤≤，即()3ππππ+88k x k k -∈Z ≤≤． 因此，()f x 的单调增区间是()3ππππ+88k k k ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦Z ，． ································· 12分 （18）本小题主要考查空间中的线面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力和思维能力．满分12分．（I ）证明：E ，F 分别是正方形ABCD 的边AB ，CD 的中点，EB FD ∴∥，且EB FD =，∴四边形EBFD 是平行四边形，BF ED ∴∥． ED ⊂ 平面AED ，而BF ⊄平面AED ，BF ∴∥平面AED ．······················· 4分 （II ）解法一：点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上． 过点A 作AG ⊥平面BCDE ， 垂足为G ，连结GC ，GD ．ACD △为正三角形，AC AD ∴=，GC GD ∴=， G ∴在CD 的垂直平分线上，又EF 是CD 的垂直平分线，∴点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上． ················································· 8分 过G 作GH ED ⊥，垂足为H ，连结AH ，则AH DE ⊥， AHG ∴∠是二面角A DE C --的平面角，即AHG θ=∠． 设原正方形ABCD 的边长为2a ，连结AF ．在折后图的AEF △中，AF =，22EF AE a ==，AEF ∴△为直角三角形，AG EF AE AF =，2AG a ∴=．在Rt ADE △中，AH DE AD AE = ，AH ∴=，GH ∴=1cos 4GH AH θ∴==． ······························································································· 12分 解法二：点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上．连结AF ，在平面AEF 内过点A 作AG EF '⊥，垂足为G '．ACD △为正三角形，F 为CD 的中点，AF CD ∴⊥． 又EF CD ⊥，CD ∴⊥平面AEF ．AG '⊂ 平面AEF ，CD AG '∴⊥． 又AG EF ' ⊥，且CD EF F = ，CD ⊂平面BCDE ，EF ⊂平面BCDE ， AG '∴⊥平面 BCDE ，G '∴为A 在平面BCDE 内的射影G ，∴点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上． ················································· 8分 过G 作GH ED ⊥，垂足为H ，连结AH ，则AH DE ⊥，A B EGH D F C A BEG 'HDFCAHG ∴∠是二面角A DE C --的平面角，即AHG θ=∠．设原正方形ABCD 的边长为2a ．在折后图的AEF △中，AF =，22EF AE a ==，AEF ∴△为直角三角形，AG EF AE AF = ，2AG a ∴=． 在Rt ADE △中，AH DE AD AE = ，AH ∴=GH ∴=，1cos 4GH AH θ∴==． ···································································· 12分 解法三：点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上．连结AF ，在平面AEF 内过点A 作AG EF '⊥，垂足为G '． ACD △为正三角形，F 为CD 中点，AF CD ∴⊥．又EF CD ⊥，CD ∴⊥平面AEF ．CD ⊂ 平面BCDE ，∴平面AEF ⊥平面BCDE 又 平面AEF 平面BCDE EF =，AG EF '⊥，AG '∴⊥平面BCDE ，即G '为A 在平面BCDE 内的射影G ，∴点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上． ················································· 8分 过G 作GH DE ⊥，垂足为H ，连结AH ，则AH DE ⊥， AHG ∴∠是二面角A DE C --的平面角，即AHG θ=∠． 设原正方形ABCD 的边长为2a ．在折后图的AEF △中，AF =，22EF AE a ==，AEF ∴△为直角三角形，AG EF AE AF = ，AG ∴=． 在Rt ADE △中，AH DE AD AE = ，AH ∴=GH ∴=，1cos 4GH AH θ∴==． ···································································· 12分 （19）本小题主要考查二项分布、分布列、数学期望等基础知识，考查学生运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分． （I ）解法一：1ξ的概率分布为1 1.2 1.18 1.17623E ξ=⨯+⨯+⨯ 1.18=． ··························································· 3分由题设得()~2B p ξ，，即ξ的概率分布为故2ξ的概率分布为···································································································································· 6分 所以2ξ的数学期望为()()222 1.31 1.25210.2E p p p p ξ=⨯-+⨯-+⨯()()2221.312 2.50.2p p p p p =⨯-++⨯-+⨯20.1 1.3p p =--+． ························································································ 9分 解法二：1ξ的概率分布为1 1.2 1.18 1.17623E ξ=⨯+⨯+⨯ 1.18=． ··························································· 3分设i A 表示事件“第i 次调整，价格下降”()12i =，，则()()()()21201P P A P A P ξ===-，()()()()()21121P P A P A P A P A ξ==+()21p p =-，()()()2122P P A P A p ξ===．故2ξ的概率分布为···································································································································· 6分 所以2ξ的数学期望为()()222 1.31 1.25210.2E p p p p ξ=⨯-+⨯-+⨯ ()()2221.312 2.50.2p p p p p =⨯-++⨯-+⨯20.1 1.3p p =--+． ································································································ 9分 （II ）解：由12E E ξξ<，得20.1 1.3 1.18p p --+>，整理得()()0.40.30p p +-<， 解得0.40.3p -<<．因为01p <<，所以，当12E E ξξ<时，p 的取值范围是00.3p <<． ············ 12分 （20）本小题主要考查平面向量的基本运算，圆与抛物线的方程，点到直线的距离等基础知识，以及综合运用解析几何知识解决问题的能力．满分14分．（I ）证法一：OA OB OA OB +=- ，()()22OA OBOA OB ∴+=-，即222222OA OA OB OB OA OA OB OB ++=-+ ，整理得0OA OB =， 12120x x y y ∴+=．① ······························································································· 3分 设点()M x y ，是以线段AB 为直径的圆上的任意一点，则0MA MB = ，即()()()()12120x x x x y y y y --+--=．展开上式并将①代入得()()2212120x y x x x y y y +-+-+=．故线段AB 是圆C 的直径． ······················································································ 6分证法二：OA OB OA OB +=- ，()()22OA OBOA OB ∴+=- ，即222222OA OA OB OB OA OA OB OB ++=-+ ，整理得0OA OB =， 12120x x y y ∴+=．② ······························································································· 3分 若点()x y ，在以线段AB 为直径的圆上，则12121y y y y x x x x --=--- ，()12x x x x ，≠≠ 去分母得()()()()12120x x x x y y y y --+--=．点()11x y ，，()12x y ，，()21x y ，，()22x y ，满足上方程，展开并将①代入得()()2212120x y x x x y y y +-+-+=．所以线段AB 是圆C 的直径． ·················································································· 6分证法三：OA OB OA OB +=- ，()()22OA OBOA OB ∴+=-，即222222OA OA OB OB OA OA OB OB ++=-+ ，整理得0OA OB =， 12120x x y y ∴+=．① ······························································································· 3分 以AB 为直径的圆的方程是()()2222121212121224x x y y x y x x y y ++⎛⎫⎛⎫⎡⎤-+-=-+- ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭， 展开，并将①代入得()()2212120x y x x x y y y +-+-+=，所以线段AB 是圆C 的直径． ·················································································· 6分（II ）解法一：设圆C 的圆心为()C x y ，，则121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，．2112y px = ，()22220y px p =>， 22121224y y x x p ∴=，又12120x x y y += ，1212x x y y ∴=-，22121224y y y y p ∴-=， 120x x ≠，12y y ∴≠0，2124y y p ∴=-． ······················································· 9分 ()221212124x x x y y p +∴==+()221212121242y y y y y y p p =++-()2212y p p=+， 所以圆心的轨迹方程为：222y px p =-． ····························································· 11分 设圆心C 到直线20x y -=的距离为d ，则d ===．当y p=时，d=2p ∴=． ······················ 14分 解法二：设圆C 的圆心为()C x y ，，则121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，．2112y px = ，()22220y px p =>，22121224y y x x p ∴=，又12120x x y y += ， 1212x x y y ∴=-，12x x ≠0，2124y y p ∴=-． ·················································· 9分 122x x x +=()()()2222221212121211122442y y y y y y y y y p p p p p=+=++-=+， 所以圆心的轨迹方程为222y px p =-． ································································· 11分设直线20x y m -+=与20x y -=的距离为5，则2m =±． 因为220x y -+=与222y px p =-无公共点，所以当220x y --=与222y px p =-仅有一个公共点时，该点到20x y -=的距离最小，222202x y y px p --=⎧∴⎨=-⎩，．将②代入③得222220y py p p -+-=，有()2244220p p p =--=△．0p > ，2p ∴=． ································································································ 14分解法三：设圆C 的圆心为()C x y ，，则12122.2x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，若圆心C 到直线20x y -=的距离为d ，那么d =2112y px = ，()22220y px p =>，22121224y y x x p∴=， 又12120x x y y += ，1212x x y y ∴=-，12x x ≠0，2124y y p ∴=-． ············ 9分d∴==② ③2224y y p p +-+=．当122y y p +=时，d 5=，2p ∴=． ··········· 14分 （21）本小题考查函数的导数，函数极值的判定，闭区间上二次函数的最值，等差数列等基础知识的综合运用，考查用数形结合的数学思想分析问题，解决问题的能力．满分12分． （I ）解：2b a c =+ ，()()()()2221f x ax bx c ax a c x c x ax c '∴=++=+++=++．令()0f x '=，得1x =-或cx a=-． ····································································· 2分 0a > ，0d >，0a b c ∴<<<，1c a ∴>，1ca-<-．当1cx a-<<-时，()0f x '<，当1x >-时，()0f x '>，所以()f x 在1x =-处取得极小值，即01x =-． ·················································· 6分（II ）解法一：()22f x ax bx c '=++ ，0a >，()f x '∴的图象开口向上，对称轴方程是bx a=-，由1b a >，知210b b b a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---<-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()f x '∴在210b a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的最大值为()0f c '=，即10x =． 又由1b a >，知210b b a a ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，， ∴当b x a =-时()f x '取得最小值2b d f a a ⎛⎫'-=- ⎪⎝⎭，即2b x a =-．()()0113f x f a =-=- ，113A a ⎛⎫∴-- ⎪⎝⎭，，()0B c ，，2b d C a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． ···················································· 9分 由ABC △有一条边平行于x 轴，得AC 平行于x 轴，所以213d a a-=-，即223a d =． ①又由ABC △的面积为211223b a c a ⎛⎫⎛⎫-++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭利用b a d =+，2c a d =+，得2223d d a+= ②联立①，②可得3d =，a =． ········································································ 12分 解法二：()22f x ax bx c '=++ ，0a >，210b f a ⎛⎫'∴-= ⎪⎝⎭，()0f c '=． 由0c >知()f x '在210b a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的最大值为()0f c '=．即10x =． 由1b a >，知210b b a a ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，， ∴当b x a =-时，()f x '取得最小值2b d f a a ⎛⎫'-=- ⎪⎝⎭，即2b x a =-．()()0113f x f a =-=- ，113A a ⎛⎫∴-- ⎪⎝⎭，．，()0B c ，，2b d C a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． ················································ 9分 由ABC △有一条边平行于x 轴，得AC 平行于x 轴，所以213d a a-=-，即223a d =． ①又由ABC △的面积为211223b a c a ⎛⎫⎛⎫-++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭利用b a d =+，2c a d =+，得2223d d a+= ②联立①，②可得3d =，a =． ········································································ 12分 （22）本小题主要考查导数的基本计算，函数的性质，绝对值不等式及组合数性质等基础知识，考查归纳推理能力以及综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力．满分12分． （I ）解：由已知推得()()1n kk f x n k x -=-+，从而有()11k f n k =-+． ········· 3分（II ）证法一：当11x -≤≤时，()()()()()()21222212121121n n n k n k n n n n n F x x nC x n C x n k C x C x ----=++-++-++++ ，当0x >时，()0F x '>，所以()F x 在[]01，上是增函数． 又()F x 是偶函数，所以()F x 在[]10-，上是减函数．所以对任意的1x ，[]211x ∈-，，恒有()()()()1210F x F x F F --≤． ············ 7分 ()()()()012110112k n n n n n n F F C nC n C n k C C --=++-++-+++ ()()1210112n n n k n n n n nnC n C n k C C C ---=+-++-++++ ． ()()1n k n k n kn n nn k C n k C C ----+=-+ ()()!!!kn n n k C n k k =-+- ()()1!1!!k nn n C n k k -=+--()1121k kn n nC C k n -=+=- ，，，， ········································································· 10分 ()()()()121121011110n n n n n n n n n F F n C C C C C C C -----∴-=++++++++()12121n n n -=-+-()1221n n n -=+--．因此结论成立． ········································································································· 12分 证法二：当11x -≤≤时，()()()()()()21222212121121n n n k n k n n n n n F x x nC x n C x n k C x C x ----=++-++-++++ ，当0x >时，()0F x '>，所以()F x 在[]01，上是增函数． 又()F x 是偶函数，所以()F x 在[]10-，上是减函数．所以对任意的1x ，[]211x ∈-，，恒有()()()()1210F x F x F F --≤． ············ 7分 ()()()()012110112k n n n n n nF F C nC n C n k C C --=++-++-+++ ， 又()()1211023n n n nnF F C C nC C --=++++ ， ()()()()()12121022n n n n F F n C C C -∴-=+++++ ， ······································ 10分 ()()()()121110212n n n n F F n C C C -∴-=+++++ ()()122212212n n n n n --=++=+-- ．因此结论成立． ································· 12分证法三：当11x -≤≤时，()()()()()()21222212121121n n n k n k n n n n n F x x nC x n C x n k C x C x ----=++-++-++++ ，当0x >时，()0F x '>，所以()F x 在[]01，上是增函数．又()F x 是偶函数，所以()F x 在[]10-，上是减函数．所以对任意的1x ，[]211x ∈-，，恒有()()()()1210F x F x F F --≤． ············ 7分 ()()()221n k k k n k n C f x n k C x -=-+()()()()2212-1n k n k n k n k n n n k C x C x k n ----=-+= ，，，， 由()()()()()111!!!!1!!n k n k n n n n n k C n k n nC n k k n k k ------=-==--- ，得 ()()()()2223212230210111n n n n n n n n n n n n F x nx C x C x C x C x C ---------⎡⎤=+++++++⎣⎦()()()12122211n n n nx x x x --⎡⎤=+-++⎢⎥⎣⎦． ································································ 10分 ()()()()11102121221n n n F F n n n --∴-=-+-=+--．因此结论成立． ········································································································· 12分 证法四：当11x -≤≤时，()()()()()()21222212121121n n n k n k n n n n n F x x nC x n C x n k C x C x ----=++-++-++++ ，当0x >时，()0F x '>，所以()F x 在[]01，上是增函数．又()F x 是偶函数，所以()F x 在[]1,0-上是减函数．所以对任意的1x ，[]211x ∈-，，恒有()()()()1210F x F x F F --≤． ········································································· 7分()112222111nn n n k n k n n n n n n n x x x x C x C x C x C x C x -----⎡⎤⎡⎤+-=+++++++⎣⎦⎣⎦ 12112312n n k n k n n n n n n n C x C x C x C x C x x --+--=+++++++对上式两边求导，得()()1111n n n n x x x n x nx --⎡⎤⎡⎤+-++-⎣⎦⎣⎦()()112222111321n n k n k n n n n n n n nC x n C x n k C x C x C x -----=+-++-+++++ ， ()()1111n n n x x n x nx --⎡⎤∴+++-⎣⎦()()112222111321n n n k n k n n n n n n n x nC x n C x n k C x C x C x -----=++-++-+++++ ， ()()()()12122211n n n F x x x n x nx --⎡⎤∴=+++-⎢⎥⎣⎦． ··············································· 10分 ()()()110221n F F n n -∴-=+--．因此结论成立． ········································································································· 12分。
2006年高考辽宁卷
（19）本小题主要考查二项分布、分布列、数学期望等基础知识，考查 学生运用概率知识解决实际问题的能力.满分 12 分. （I）解法一：的概率分布为
1.2
1.18
1.17
P 由题设的，即的概率分布为
……………3 分
0
1
2
P 故的概率分布为
……………6 分
1.3
1.25
0.2
P
所以的数学期望为
……………9 分 解法二：的概率分布为
（I）求、的概率分布和数学期望、; （II）当时,求的取值范围. （20）（本小题满分14分） 已知点,是抛物线上的两个动点,是坐标原点,向量,满足.设圆的方程 为 （I）证明线段是圆的直径; （II）当圆C的圆心到直线X-2Y=0的距离的最小值为时，求P的值。
（21）（本小题满分12分） 已知函数f（x）=,其中a , b , c是以d为公差的等差数列，，且a＞0,d ＞0.设［1-］上，，在，将点A， B， C （I）求 （II）若⊿ABC有一边平行于x轴，且面积为，求a ,d的值 （22）（本小题满分12分） 已知,其中,设,. （I）写出; （II）证明:对任意的,恒有.
2006年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）
数学
（供理科考生使用）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么
球的表面积公式
P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件A、B相互互斥，那么
球的表面积公式
P(AB)=P(A)P(B)
如果时间A在一次试验中发生的概率P，
那么n次独立重复试验中恰好发生次的概率 其中R表示球的半径
程或演算步骤.
（17）（本小题满分12分）
2006年高考.辽宁卷.文科数学试题及详细解答
2006年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（供文科考生使用） 第Ⅰ卷（选择题共60分）参考公式：如果事件A B ，互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A B ，相互独立，那么()()()P A B P A P B =·· 球的表面积公式24πS R =，其中R 表示球的半径球的体积公式34π3V R =，其中R 表示球的半径 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()(1)k kn k n n P k C P P -=-一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数1sin 32y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是（ ） Ａ．π2Ｂ．πＣ．2πＤ．4π2．设集合{}12A =，，则满足{}123A B =，，的集合B 的个数是（ ）Ａ．1Ｂ．3Ｃ．4Ｄ．83．设()f x 是R 上的任意函数，下列叙述正确的是（ ） Ａ．()()f x f x -是奇函数 Ｂ．()()f x f x -是奇函数 Ｃ．()()f x f x +-是偶函数Ｄ．()()f x f x --是偶函数4．1234566666C C C C C ++++的值为（ ）Ａ．61Ｂ．62 Ｃ．63 Ｄ．645．方程22520x x -+=的两个根可分别作为（ ） Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率 Ｂ．两抛物线的离心率 Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率 Ｄ．两椭圆的离心率6．给出下列四个命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行 ②垂直于同一平面的两个平面互相平行③若直线12l l ，与同一平面所成的角相等，则12l l ，互相平行 ④若直线12l l ，是异面直线，则与12l l ，都相交的两条直线是异面直线 其中假命题的个数是（ ） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3Ｄ．47．双曲线224x y -=的两条渐近线与直线3x =围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是（ ）Ａ．0003x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩，，≥≥≤≤Ｂ．0003x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩，，≥≤≤≤Ｃ．0003x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩，，≤≤≤≤ Ｄ．0003x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩，，≤≥≤≤8．设⊕是R 上的一个运算，A 是R 的非空子集，若对任意a b A ∈，，有a b A ⊕∈，则称A 对运算⊕封闭．下列数集对加法、减法、乘法和除法（除数不等于零）四则运算都封闭的是（ ） Ａ．自然数集 Ｂ．整数集Ｃ．有理数集Ｄ．无理数集9．ABC △的三内角A B C ，，所对边的长分别为a b c ，，．设向量p ()=+，a c b ，q ()=--，b a c a ．若p q ∥，则角C 的大小为（ ）Ａ．π6Ｂ．π3 Ｃ．π2 Ｄ．2π310．已知等腰ABC △的腰为底的2倍，则顶角A 的正切值是（ ）Ａ．2Ｃ．8Ｄ．711．与方程221(0)xx y e e x =-+≥的曲线关于直线y x =对称的曲线的方程为（ ）Ａ．ln(1y =+Ｂ．ln(1y =Ｃ．ln(1y =-+Ｄ．ln(1y =--12．曲线221(6)106x y m m m +=<--与曲线221(59)59x y n n n+=<<--的（ ） Ａ．离心率相等Ｂ．焦距相等 Ｃ．焦点相同 Ｄ．准线相同2006年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数 学（供文科考生使用）第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13．方程22log (1)2log (1)x x -=-+的解为 ．14．设0()ln 0x e x g x x x ⎧=⎨>⎩ ，，，≤则12g g ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ．15．如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P ABCDEF -，则此正六棱锥的侧面积是________．16．5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员排成1，2，3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1，2号中至少有1名新队员的排法有________种．（以数作答）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知函数22()sin 2sin cos 3cos f x x x x x x =++∈，R ，求 （1）函数()f x 的最大值及取得最大值的自变量x 的集合；（2）函数()f x 的单调增区间． 18．（本小题满分12分）甲、乙两班各派2名同学参加年级数学竞赛，参赛同学成绩及格的概率都为0.6，且参赛同学的成绩相互之间没有影响，求：（1）甲、乙两班参赛同学中各有1名同学成绩及格的概率； （2）甲、乙两班参赛同学中至少有1名同学成绩及格的概率． 19．（本小题满分12分）已知正方形ABCD ，E F ，分别是边AB CD ，的中点，将ADE △沿DE 折起，如图所示，记二面角A DE C --的大小为θ（0πθ<<）． （1）证明BF ∥平面ADE ；（2）若ACD △为正三角形，试判断点A 在平面BCDE 内的射影G 是否在直线EF 上，证明你的结论，并求角θ的余弦值．FC DA B C DEF20．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为22()=-+∈R ，n S pn n q p q ，n ∈+N ．（1）求q 的值；（2）若1a 与5a 的等差中项为18，n b 满足22log n a b =，求数列{}n b 的前n 项和． 21．（本小题满分12分） 已知函数321()()(2)3f x ax a d x a d x d =+++++，2()2(2)4=++++g x ax a d x a d ，其中00a d >>，，设0x 为()f x 的极小值点，1x 为()g x 的极值点，23()()0g x g x ==，并且23x x <，将点001123(())(())(0)(0)，，，，，，，x f x x g x x x 依次记为A B C D ，，，．（1）求0x 的值；（2）若四边形APCD 为梯形且面积为1，求a d ，的值．22．（本小题满分14分）已知点112212()()(0)A x y B x y x x ≠，，，是抛物线22(0)y px p =>上的两个动点，O 是坐标原点，向量OAOB ，满足||||OA OB OA OB =+-，设圆C 的方程为221212()()0x y x x x y y y +-+-+=．（1）证明线段AB 是圆C 的直径；（2）当圆C 的圆心到直线20x y -=的距离的最小值为5时，求p 的值．2006年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（供文科考生使用） 第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数1sin 32y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是（ D ） Ａ．π2Ｂ．π Ｃ．2π Ｄ．4π解：2412T ππ==，选D2．设集合{}12A =，，则满足{}123A B =，，的集合B 的个数是（C ）Ａ．1Ｂ．3Ｃ．4Ｄ．8解：{1,2}A =，{1,2,3}A B ⋃=，则集合B 中必含有元素3，即此题可转化为求集合{1,2}A =的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B 共有224=个。
2006年高考辽宁卷文科数学试题及参考答案
2006年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数 学（供文科考生使用）第I 卷（选择题 共60分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A +B ）=P （A ）+P （B ）如果事件A 、B 相互独立，那么 P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n kk n n P P C k P --=)1()(一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项. （1）函数)321sin(+=x y 的最小正周期是 （A ）2π （B ）π（C ）2π（D ）4π （2）设集合A ={1,2}，则满足A ∪B ={1,2,3}的集合B 的个数是（A ）1（B ）3（C ）4（D ）8（3）设)(x f 是R 上的任意函数，则下列叙述正确的是 （A ）)(x f )(x f -是奇函数 （B ）)(x f |)(x f -| 是奇函数（C ）)(x f －)(x f -是偶函数 （D ）)(x f +)(x f -是偶函数（4）5646362616C C C C C ++++的值为 （A ）61（B ）62 （C ）63 （D ）64（5）方程02522=+-x x 的两个根可分别作为（A ）一椭圆和一双曲线的离心率（B ）两抛物线的离心率 （C ）一椭圆和一抛物线的离心率（D ）两椭圆的离心率球的表面积公式24R S π=球的体积公式334R V π=球其中R 表示球的半径（6）给出下列四个命题： ①垂直于同一直线的两条直线互相平行. ②垂直于同一平面的两个平面互相平行.③若直线21,l l 与同一平面所成的角相等，则21,l l 互相平行. ④若直线21,l l 是异面直线，则与21,l l 都相交的两条直线是异面直线. 其中假．命题的个数是（A ）1 （B ）2（C ）3 （D ）4（7）双曲线422=-y x 的两条渐近线与直线3=x 围成一个三角形区域，表示该区域的不等式 组是（A ）⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+≥-3000x y x y x （B ）⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤+≥-3000x y x y x （C ）⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤+≤-3000x y x y x （D ）⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+≤-3030x y x y x（8）设○+是R 上的一个运算，A 是R 的非空子集. 若对任意A b a A b a ∈⊕∈有,,，则称A 对运 算○+封闭. 下列数集对加法、减法、乘法和除法（除数不等于零）四则运算都封闭的是 （A ）自然数集 （B ）整数集 （C ）有理数集 （D ）无理数集（9）△ABC 的三内角A ，B ，C ，所对边的长分别为c b a ,,，设向量p ),(b c a +、q =).,(a c a b -- 若p ∥q ，，则角C 的大小为（A ）6π （B ）3π （C ）2π （D ）32π （10）已知等腰△ABC 的腰为底的2倍，顶角的正切值是（A ）23 （B ）3（C ）815 （D ）715 （11）与方程)0(22≥+-=x e e y x x的曲线关于直线x y =对称的曲线的方程为（A ）)1ln(x y += （B ）)1ln(x y -=（C ）)1ln(x y +-=（D ）)1ln(x y --=（12）曲线)6(161022<=-+-m m y m x 与曲线)95(19522<<=-+-n ny n x 的（A ）离心率相等 （B ）焦距相等 （C ）焦点相同（D ）准线相同绝密★启用前2006年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（供文科考生使用）第II 卷（非选择题 共90分）二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.（13）方程)1(log 2)1(log 22--=-x x 的解为 .（14）设⎩⎨⎧>≤=,0,ln ,0,)(x x x e x g x 则=))21((g g .（15）如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P —ABCDEF ， 则此正六棱锥的侧面积是 .（16）5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员，现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1、2号中至少有1名新队员的排法有 种.（以数作答）三．解答题：本大题共小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2006年全国统一高考数学试卷(文科)(全国卷一)及答案
2006年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知向量、满足||=1，||=4，且•=2，则与夹角为（）A．B．C．D．2．（5分）设集合M={x|x2﹣x＜0}，N={x||x|＜2}，则（）A．M∩N=∅ B．M∩N=M C．M∪N=M D．M∪N=R3．（5分）已知函数y=e x的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称，则（）A．f（2x）=e2x（x∈R）B．f（2x）=ln2•lnx（x＞0）C．f（2x）=2e x（x∈R）D．f（2x）=lnx+ln2（x＞0）4．（5分）双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m=（）A．B．﹣4 C．4 D．5．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若S7=35，则a4=（）A．8 B．7 C．6 D．56．（5分）函数的单调增区间为（）A．B．（kπ，（k+1）π），k∈ZC．D．7．（5分）从圆x2﹣2x+y2﹣2y+1=0外一点P（3，2）向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（）A．B．C．D．08．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（）A．B．C．D．9．（5分）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A．16πB．20πC．24πD．32π10．（5分）在的展开式中，x4的系数为（）A．﹣120 B．120 C．﹣15 D．1511．（5分）抛物线y=﹣x2上的点到直线4x+3y﹣8=0距离的最小值是（）A．B．C．D．312．（5分）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（）A．B．C．D．20cm2二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）已知函数f（x）=a﹣，若f（x）为奇函数，则a=．14．（4分）已知正四棱锥的体积为12，底面对角线长为，则侧面与底面所成的二面角等于°．15．（4分）设z=2y﹣x，式中变量x、y满足下列条件：，则z的最大值为．16．（4分）安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日．不同的安排方法共有种（用数字作答）．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）已知{a n}为等比数列，，求{a n}的通项公式．18．（12分）ABC的三个内角为A、B、C，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值．19．（12分）A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为．（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；（Ⅱ）观察3个试验组，用ξ表示这3个试验组中甲类组的个数，求ξ的分布列和数学期望．20．（12分）如图，l1、l2是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段．点A、B在l1上，C在l2上，AM=MB=MN．（Ⅰ）证明AC⊥NB；（Ⅱ）若∠ACB=60°，求NB与平面ABC所成角的余弦值．21．（12分）设P是椭圆=1（a＞1）短轴的一个端点，Q为椭圆上一个动点，求|PQ|的最大值．22．（14分）设a为实数，函数f（x）=x3﹣ax2+（a2﹣1）x在（﹣∞，0）和（1，+∞）都是增函数，求a的取值范围．2006年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）已知向量、满足||=1，||=4，且•=2，则与夹角为（）A．B．C．D．【分析】本题是对向量数量积的考查，根据两个向量的夹角和模之间的关系，用数量积列出等式，变化出夹角的余弦表示式，代入给出的数值，求出余弦值，注意向量夹角的范围，求出适合的角．【解答】解：∵向量a、b满足，且，设与的夹角为θ，则cosθ==，∵θ∈【0π】，∴θ=，故选C．2．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）设集合M={x|x2﹣x＜0}，N={x||x|＜2}，则（）A．M∩N=∅ B．M∩N=M C．M∪N=M D．M∪N=R【分析】M、N分别是二次不等式和绝对值不等式的解集，分别解出再求交集合并集．【解答】解：集合M={x|x2﹣x＜0}={x|0＜x＜1}，N={x||x|＜2}={x|﹣2＜x＜2}，∴M∩N=M，故选：B．3．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）已知函数y=e x的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称，则（）A．f（2x）=e2x（x∈R）B．f（2x）=ln2•lnx（x＞0）C．f（2x）=2e x（x∈R）D．f（2x）=lnx+ln2（x＞0）【分析】本题考查反函数的概念、互为反函数的函数图象的关系、求反函数的方法等相关知识和方法．根据函数y=e x的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称可知f（x）是y=e x 的反函数，由此可得f（x）的解析式，进而获得f（2x）．【解答】解：函数y=e x的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称，所以f（x）是y=e x的反函数，即f（x）=lnx，∴f（2x）=ln2x=lnx+ln2（x＞0），选D．4．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m=（）A．B．﹣4 C．4 D．【分析】由双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，可求出该双曲线的方程，从而求出m的值．【解答】解：双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，∴m＜0，且双曲线方程为，∴m=，故选：A．5．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若S7=35，则a4=（）A．8 B．7 C．6 D．5【分析】充分运用等差数列前n项和与某些特殊项之间的关系解题．【解答】解：S n是等差数列{a n}的前n项和，若S7=×7=7a4=35，∴a4=5，故选D．6．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）函数的单调增区间为（）A．B．（kπ，（k+1）π），k∈ZC．D．【分析】先利用正切函数的单调性求出函数单调增时x+的范围i，进而求得x 的范围．【解答】解：函数的单调增区间满足，∴单调增区间为，故选C7．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）从圆x2﹣2x+y2﹣2y+1=0外一点P（3，2）向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（）A．B．C．D．0【分析】先求圆心到P的距离，再求两切线夹角一半的三角函数值，然后求出结果．【解答】解：圆x2﹣2x+y2﹣2y+1=0的圆心为M（1，1），半径为1，从外一点P （3，2）向这个圆作两条切线，则点P到圆心M的距离等于，每条切线与PM的夹角的正切值等于，所以两切线夹角的正切值为，该角的余弦值等于，故选B．8．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（）A．B．C．D．【分析】根据等比数列的性质，可得b=a，将c、b与a的关系结合余弦定理分析可得答案．【解答】解：△ABC中，a、b、c成等比数列，则b2=ac，由c=2a，则b=a，=，故选B．9．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A．16πB．20πC．24πD．32π【分析】先求正四棱柱的底面边长，然后求其对角线，就是球的直径，再求其表面积．【解答】解：正四棱柱高为4，体积为16，底面积为4，正方形边长为2，正四棱柱的对角线长即球的直径为2，∴球的半径为，球的表面积是24π，故选C．10．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）在的展开式中，x4的系数为（）A．﹣120 B．120 C．﹣15 D．15【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为4求出x4的系数【解答】解：在的展开式中x4项是=﹣15x4，故选项为C．11．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）抛物线y=﹣x2上的点到直线4x+3y﹣8=0距离的最小值是（）A．B．C．D．3【分析】设抛物线y=﹣x2上一点为（m，﹣m2），该点到直线4x+3y﹣8=0的距离为，由此能够得到所求距离的最小值．【解答】解：设抛物线y=﹣x2上一点为（m，﹣m2），该点到直线4x+3y﹣8=0的距离为，分析可得，当m=时，取得最小值为，故选B．12．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（）A．B．C．D．20cm2【分析】设三角形的三边分别为a，b，c，令p=，则p=10．海伦公式S=≤=故排除C，D，由于等号成立的条件为10﹣a=10﹣b=10﹣c，故“=”不成立，推测当三边长相等时面积最大，故考虑当a，b，c三边长最接近时面积最大，进而得到答案．【解答】解：设三角形的三边分别为a，b，c，令p=，则p=10．由海伦公式S=知S=≤=＜20＜3由于等号成立的条件为10﹣a=10﹣b=10﹣c，故“=”不成立，∴S＜20＜3．排除C，D．由以上不等式推测，当三边长相等时面积最大，故考虑当a，b，c三边长最接近时面积最大，此时三边长为7，7，6，用2、5连接，3、4连接各为一边，第三边长为7组成三角形，此三角形面积最大，面积为，故选B．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（2006•全国卷Ⅰ）已知函数f（x）=a﹣，若f（x）为奇函数，则a=．【分析】因为f（x）为奇函数，而在x=0时，f（x）有意义，利用f（0）=0建立方程，求出参数a的值．【解答】解：函数．若f（x）为奇函数，则f（0）=0，即，a=．故答案为14．（4分）（2006•全国卷Ⅰ）已知正四棱锥的体积为12，底面对角线长为，则侧面与底面所成的二面角等于60°．【分析】先根据底面对角线长求出边长，从而求出底面积，再由体积求出正四棱锥的高，求出侧面与底面所成的二面角的平面角的正切值即可．【解答】解：正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为，底面边长为2，底面积为12，所以正四棱锥的高为3，则侧面与底面所成的二面角的正切tanα=，∴二面角等于60°，故答案为60°15．（4分）（2006•全国卷Ⅰ）设z=2y﹣x，式中变量x、y满足下列条件：，则z的最大值为11．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2y﹣x表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．【解答】解：，在坐标系中画出图象，三条线的交点分别是A（0，1），B（7，1），C（3，7），在△ABC中满足z=2y﹣x的最大值是点C，代入得最大值等于11．故填：11．16．（4分）（2006•全国卷Ⅰ）安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日．不同的安排方法共有2400种（用数字作答）．【分析】本题是一个分步计数问题，先安排甲、乙两人在假期的后5天值班，有A52种排法，其余5人再进行排列，有A55种排法，根据分步计数原理得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，首先安排甲、乙两人在假期的后5天值班，有A52=20种排法，其余5人再进行排列，有A55=120种排法，∴根据分步计数原理知共有20×120=2400种安排方法．故答案为：2400三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）已知{a n}为等比数列，，求{a n}的通项公式．【分析】首先设出等比数列的公比为q，表示出a2，a4，利用两者之和为，求出公比q的两个值，利用其两个值分别求出对应的首项a1，最后利用等比数列的通项公式得到即可．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，则q≠0，a2==，a4=a3q=2q所以+2q=，解得q1=，q2=3，当q1=，a1=18．所以a n=18×（）n﹣1==2×33﹣n．当q=3时，a1=，所以a n=×3n﹣1=2×3n﹣3．18．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）ABC的三个内角为A、B、C，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值．【分析】利用三角形中内角和为π，将三角函数变成只含角A，再利用三角函数的二倍角公式将函数化为只含角，利用二次函数的最值求出最大值【解答】解：由A+B+C=π，得=﹣，所以有cos=sin．cosA+2cos=cosA+2sin=1﹣2sin2+2sin=﹣2（sin﹣）2+当sin=，即A=时，cosA+2cos取得最大值为故最大值为19．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B 有效的概率为．（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；（Ⅱ）观察3个试验组，用ξ表示这3个试验组中甲类组的个数，求ξ的分布列和数学期望．【分析】（1）由题意知本题是一个独立重复试验，根据所给的两种药物对小白鼠有效的概率，计算出小白鼠有效的只数的概率，对两种药物有效的小白鼠进行比较，得到甲类组的概率．（2）由题意知本试验是一个甲类组的概率不变，实验的条件不变，可以看做是一个独立重复试验，所以变量服从二项分布，根据二项分布的性质写出分布列和期望．【解答】解：（1）设A i表示事件“一个试验组中，服用A有效的小鼠有i只“，i=0，1，2，B i表示事件“一个试验组中，服用B有效的小鼠有i只“，i=0，1，2，依题意有：P（A1）=2××=，P（A2）=×=．P（B0）=×=，P（B1）=2××=，所求概率为：P=P（B0•A1）+P（B0•A2）+P（B1•A2）=×+×+×=（Ⅱ）ξ的可能值为0，1，2，3且ξ～B（3，）．P（ξ=0）=（）3=，P（ξ=1）=C31××（）2=，P（ξ=2）=C32×（）2×=，P（ξ=3）=（）3=∴ξ的分布列为：ξ0123P∴数学期望Eξ=3×=．20．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）如图，l1、l2是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段．点A、B在l1上，C在l2上，AM=MB=MN．（Ⅰ）证明AC⊥NB；（Ⅱ）若∠ACB=60°，求NB与平面ABC所成角的余弦值．【分析】（1）欲证AC⊥NB，可先证BN⊥面ACN，根据线面垂直的判定定理只需证AN⊥BN，CN⊥BN即可；（2）易证N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心，连接BH，∠NBH 为NB与平面ABC所成的角，在Rt△NHB中求出此角即可．【解答】解：（Ⅰ）由已知l2⊥MN，l2⊥l1，MN∩l1=M，可得l2⊥平面ABN．由已知MN⊥l1，AM=MB=MN，可知AN=NB且AN⊥NB．又AN为AC在平面ABN内的射影．∴AC⊥NB（Ⅱ）∵AM=MB=MN，MN是它们的公垂线段，由中垂线的性质可得AN=BN，∴Rt△CAN≌Rt△CNB，∴AC=BC，又已知∠ACB=60°，因此△ABC为正三角形．∵Rt△ANB≌Rt△CNB，∴NC=NA=NB，因此N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心，连接BH，∠NBH为NB与平面ABC所成的角．在Rt△NHB中，cos∠NBH===．21．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）设P是椭圆=1（a＞1）短轴的一个端点，Q为椭圆上一个动点，求|PQ|的最大值．【分析】依题意可知|PQ|=，因为Q在椭圆上，所以x2=a2（1﹣y2），|PQ|2=a2（1﹣y2）+y2﹣2y+1=（1﹣a2）y2﹣2y+1+a2=（1﹣a2）（y﹣）2﹣+1+a2．由此分类讨论进行求解．【解答】解：由已知得到P（0，1）或P（0，﹣1）由于对称性，不妨取P（0，1）设Q（x，y）是椭圆上的任一点，则|PQ|=，①又因为Q在椭圆上，所以，x2=a2（1﹣y2），|PQ|2=a2（1﹣y2）+y2﹣2y+1=（1﹣a2）y2﹣2y+1+a2=（1﹣a2）（y﹣）2﹣+1+a2．②因为|y|≤1，a＞1，若a≥，则||≤1，所以如果它包括对称轴的x的取值，那么就是顶点上取得最大值，即当﹣1≤＜0时，在y=时，|PQ|取最大值；如果对称轴不在y的取值范围内的话，那么根据图象给出的单调性来求解．即当＜﹣1时，则当y=﹣1时，|PQ|取最大值2．22．（14分）（2006•全国卷Ⅰ）设a为实数，函数f（x）=x3﹣ax2+（a2﹣1）x在（﹣∞，0）和（1，+∞）都是增函数，求a的取值范围．【分析】先对函数f（x）进行求导得到一个二次函数，根据二次函数的图象和性质令f'（x）≥0在（﹣∞，0）和（1，+∞）成立，解出a的值．【解答】解：f'（x）=3x2﹣2ax+（a2﹣1），其判别式△=4a2﹣12a2+12=12﹣8a2．（ⅰ）若△=12﹣8a2=0，即a=±，当x∈（﹣∞，），或x∈（，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）在（﹣∞，+∞）为增函数．所以a=±．（ⅱ）若△=12﹣8a2＜0，恒有f'（x）＞0，f（x）在（﹣∞，+∞）为增函数，所以a2＞，即a∈（﹣∞，﹣）∪（，+∞）（ⅲ）若△12﹣8a2＞0，即﹣＜a＜，令f'（x）=0，解得x1=，x2=．当x∈（﹣∞，x1），或x∈（x2，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）为增函数；当x∈（x1，x2）时，f'（x）＜0，f（x）为减函数．依题意x1≥0且x2≤1．由x1≥0得a≥，解得1≤a＜由x2≤1得≤3﹣a，解得﹣＜a＜，从而a∈[1，）综上，a的取值范围为（﹣∞，﹣]∪[，+∞）∪[1，），即a∈（﹣∞，﹣]∪[1，+∞）．。
2006年普通高等学校招生全国统一考试(全国Ⅰ.文)含详解
2006年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅰ）数学（文）试题一、选择题：1、 已知向量a 、b 满足|a | = 1，|b | = 4，且2a b =，则a 与b 夹角为A 、6π B 、4π C 、3π D 、2π 2、 设集合M= {x|2x x -0<},N = { x | |x|2<},则A 、M∩N=ΦB 、M∩N=M 、C 、M ∪N=MD 、M ∪N=R 3、已知函数y = e x 的图像与函数y = f （x ）的图像关于直线 y =x 对称，则A 、2(2)()x f x ex R =∈ B 、(2)ln 2ln (0)f x x x => C 、(2)2()xf x ex R =∈ D 、(2)ln 2ln (0)f x x x =+>4、双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m =A 、14-B 、- 4C 、4D 、145、设n S 是等差数列{n a }的前n 项和，若735S =，则4a =A 、8B 、7C 、6D 、5 6、函数()tan()4f x x π=+的单调增区间为A 、(,),22k k k Z ππππ-+∈ B 、(,(1)),k k k Z ππ+∈ C 、3(,),44k k k Z ππππ-+∈ D 、3(,),44k k k Z ππππ-+∈7、从圆222210x x y y -+-+=外一点P （3，2）向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为A 、12B 、35 C、2 D 、08、△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 。
若a 、b 、c 成等比数列，且c = 2a ，则cosB =A 、14 B 、34CD9、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是A 、16πB 、20πC 、24πD 、32π 10、在101()2x x-的展开式中，x 的系数为 A 、- 120 B 、120 C 、- 15 D 、15 11、抛物线2y x =-上的点到直线4x + 3y - 8 =0距离的最小值是A 、14 B 、34C 、85D 、312、用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm ）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但是不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为A、 cm 2 B、cm 2 C、 cm 2 D 、20cm 2 二、填空题：13、已知函数1()21x f x a =-+，若f （x ）为奇函数，则a = 14、已知正四棱锥的体积为12，底面对角线长为，则侧面与底面所成的二面角等于15、设 z = 2y – x ，式中变量x 、y 满足条件2132231x y x y y -≥-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则z 的最大值为NC16、安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日。
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2006年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学(文史类) 第I 卷（选择题共60分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式 P （A+B ）=P （A ）+P （B ）24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径 P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率P ，那343V R π=么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)kn k n n P k C P P -=-一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项.（1）函数1sin(3)2y x =+的最小正周期是 （A ）2π（B ）π （C ）2π （D ）4π （2）设集合A={1,2}，则满足A ∪B={1,2,3}的集合B 的个数是 （A ）1 （B ）3 （C ）4 （D ）8（3）设()f x 是R 上的任意函数，则下列叙述正确的是 （A ）()()f x f x -是奇函数 （B ）()()f x f x -是奇函数 （C ）()()f x f x +-是偶函数 （D ）()()f x f x --是偶函数（4）1234566666C C C C C ++++的值为 （A ）61 （B ）62 （C ）63 （D ）64 （5）方程22520x x -+=的两个根可分别作为 （A ）一椭圆和一双曲线的离心率 （B ）两抛物线的离心率（C ）一椭圆和一抛物线的离心率 （D ）两椭圆的离心率 （6）给出下列四个命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行. ②垂直于同一平面的两个平面互相平行.③若直线12,l l 与同一平面所成的角相等，则12,l l 互相平行. ④若直线12,l l 是异面直线，则与12,l l 都相交的两条直线是异面直线. 其中假命题的个数是（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（7）双曲线224x y -=的两条渐近线与直线3x =围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是（A ）0,0,03x y x y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩ （B ）0,0,03x y x y x -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤≤⎩ （C ）0,0,03x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≤≤⎩ （D ）0,0,03x y x y x -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩（8）设○+是R 上的一个运算，A 是R 的非空子集.若对任意,a b A ∈有a ○+b A ∈，则称A 对运算○+封闭.下列数集对加法、减法、乘法和法（除数不等于零）四则运算都封闭的是（A ）自然数集 （B ）整数集 （C ）有理数集 （D ）无理数集（9）ABC 的三内角,,A B C ，所对边的长分别为,,a b c ，设向量p (,),a c b =+q (,).b a c a =--若p ∥q ，则角C 的大小为 （A ）6π （B ）3π （C ）2π （D ）23π（10）已知等腰ABC 的腰为底的2倍，则顶角A 的正切值是 （A）2 （B（C）8 （D）7（11）与方程221(0)xx y ee x =-+≥的曲线关于直线y x =对称的曲线的方程为（A）ln(1y = （B）ln(1y = （C）ln(1y =- （D）ln(1y =-（12）曲线221(6)106x y m m m +=<--与曲线221(59)59x y n n n+=<<--的 （A ）离心率相等 （B ）焦距相等 （C ）焦点相同 （D ）准线相同第Ⅱ卷（非选择题共90分）二填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.（13）方程(1)(1)22log 2log x x -+=-的解为____________.（14）设,0,()ln ,0,x e x g x x x ⎧≤=⎨>⎩则1(())2g g =__________（15）如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P ABCDEF -，则此正六棱锥的侧面积是___________.（16）5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员，现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛，则入选的3名队员至少有1名老队员，且1、2号中至少有1名新队员的排法有__________种。
（以数作答）三解答题：本大题共6小题，共74分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分） 已知函数22()sin 2sin cos 3cos ,f x x x x x x R =++∈.求： （Ⅰ）求函数()f x 的最大值及取得最大值的自变量x 的集合； （Ⅱ）函数()f x 的单调增区间.（18）（本小题满分12分）甲、乙两班各派2名同学参加年级数学竞赛，参赛同学成绩及格的概率都为0.6，且参赛同学的成绩相互之间没有影响.求：（Ⅰ）甲、乙两班参赛同学中各有1名同学成绩及格的概率； （Ⅱ）甲、乙两班参赛同学中至少有1名同学成绩及格的概率.（19）（本小题满分12分）已知正方形,ABCD E 、F 分别是边AB ，CD 的中点，将ADE 沿DE 折起，如图所示，记二面角A DE C --的大小为(0)θθπ<<.（Ⅰ）证明//BF 平面ADE ；（Ⅱ）若ACD 为正三角形，试判断点A 在平面BCDE 内的射影G 是否在直线EF 上，证明你的结论，并求角θ的余弦值.（20）（本小题满分12分） 已知等差数列{}n a 的前n 项和为22(,),n S pn a q p q R n N =-+∈∈ （Ⅰ）求q 的值；（Ⅱ）若a 1与a 5的等差中项为18，b n 满足22log n n a b =，求数列的{b n }前n 项和.（21）（本小题满分12分） 已知函数3221()()(2),()2(2)43f x ax a d x a d x dg x ax a d x a d =+++++=++++其中0,0a d >>，设0x 为()f x 的极小值点，1x 为()g x 的极值点，()()230g x g x ==并且23x x <，将点()()()()()()001123,,,,,0,,0x f x x g x x x 依次记为,,,A B C D（Ⅰ）求0x 的值；（Ⅱ）若四边形ABCD 为梯形，且面积为1，求,a d 的值.22.（本小题满分4分）已知点()()1122,,,A x y B x y ()120x x ≠是抛物线()220y px p =>上的两个动点O 是坐标原点，向量5,OA OB满足||||O AO B O A O B +=- ，设圆C 的方程为()()2212120x y x x x y y +-+-+=（Ⅰ）证明线段AB 是圆C 的直径；（Ⅱ）当圆C 的圆心到直线20x y -=时，求p 的值.2006年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学(文史类)答案与评分参考说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继续部分的解答严重的错误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.一．选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题分，满分60分. （1）D （2）C （3）C （4）B （5）A （6）D （7）A （8）C （9）B （10）D （11）A （12）B二．填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分.（1314）12（15）16）48 三、解答题（17）本小题考查三角公式、三角函数的性质及已知三角函数值求角等基础知识，考查综合运用三角函数有关知识的能力.满分12分 （I ）解法一： ()1cos 23(1cos 2)sin 222x f x x θ-+=++2sin 2cos 2x x =++2)4x π=++……4分∴当2242x k πππ+=+，即()8x k k Z ππ=+∈时，()f x 取得最大值2因此，()f x 取得最大值的自变量x 的集合是,8x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭.……8分 解法二：222()(sin cos )sin 22cos f x x x x x =+++1sin 21cos 2x x =+++2)4x π=+……4分∴当2242x k πππ+=+，即()8x k k Z ππ=+∈时，()f x 取得最大值2因此，()f x 取得最大值的自变量x 的集合是,8x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭……8分（Ⅱ）解：()2)4f x x π=++由题意得222()242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，即3()88k x k k Z ππππ-≤≤+∈.因此，()f x 的单调增区间是()3,88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.…………12分（18）本小题主要考查相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法等基础知识，考查学生运用概率知识解决实际问题的能力，满分12分.（Ⅰ）解：甲班参赛同学恰有1名同学成绩及格的概率为120.60.40.48C ⨯⨯= 乙班参赛同学中恰有一名同学成绩及格的概率为120.60.40.48C ⨯⨯=故甲、乙两班参赛同学中各有1名同学成绩几个的概率为 0.480.480.2304P =⨯=…………………………6分（Ⅱ）解法一：甲、乙两班4名参赛同学成绩都不及格的概率为40.40.0256,= 故甲、乙两班参赛同学中至少有一名同学成绩都不及格的概率为 10.02560.9744P =-=…………………………12分解法二：甲、乙两班参赛同学成绩及格的概率为140.60.40.1536C ⨯⨯=甲、乙两班参赛同学中恰有2名同学成绩及格的概率为22240.60.40.3456C ⨯⨯= 甲、乙两班参赛同学中恰有3名同学成绩及格的概率为22240.60.40.3456C ⨯⨯=甲、乙两班4同学参赛同学成绩都及格的概率为40.60.1296=故甲、乙两班参赛同学中至少有1名同学成绩及格的概率为0.15360.34560.34560.12960.9744P =+++=……………………12分（19）本小题主要考查空间中的线面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力和思维能力.满分12分（Ⅰ）证明：E 、F 分别是正方形ABCD 的边AB 、CD 的中点.//,ED FD ∴且EB FD ＝，∴四边形EBFD 是平行四边形//BF ED ∴ED ∴⊂平面AED ，而BF ⊄平面AED //BF ∴平面AED（Ⅱ）解法一：点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上，过点A 用AG ⊥平面,BCDE垂足为,G 连接,.GC GDACD 为正三角形 AC AD ∴= GC GD ∴＝，G ∴在CD 的垂直平分线上。