高中数学人教A版必修四 章末综合测评3 含解析答案

所以 f(x)在区间－π3 ，π4 上的最大值为 43，最小值为－12.
21.(本小题满分 12 分)(2016·金陵中学第四次模拟)如图 1 所示，已知 α 的终
边所在直线上的一点 P 的坐标为(－3，4)，β的终边在第一象限且与单位圆的交
点
Q
的纵坐标为
2 10 .
图1
(1)求 tan(2α－β)的值；
2x＝12sin2x－π6 .
所以 f(x)的最小正周期 T＝2π2 ＝π. (2)因为 f(x)在区间－π3 ，－π6 上是减函数，在区间－π6 ，π4 上是增函数，
且 f－π3 ＝－14，f－π6 ＝－12，fπ4 ＝ 43，
【答案】 D
9．(2016·铁岭高一检测)已知 cosx＋π6 ＝35，x∈(0，π)，则 sin x 的值为(
)
A．－4
3－3 10
B．4
3－3 10
C．12
D．
3 2
【解析】 由 cosx＋π6 ＝35，且 0＜x＜π，
得π6 ＜x＋π6 ＜π2 ，
所以 sinx＋π6 ＝45，
＝cos2π8 －sin2π8 ＝cosπ4 ＝
2 2.
【答案】 B
6．已知函数 y＝tan(2x＋φ)的图象过点π12，0，则 φ 的值可以是(
)
π A．－ 6
π B． 6
π C．－12
π D．12
【解析】 由题得 tan2³π12＋φ＝0，
即 tanπ6 ＋φ＝0，
【答案】 3 16．(2016·苏州高一检测)已知 A，B，C 皆为锐角，且 tan A＝1，tan B＝2，
tan C＝3，则 A＋B＋C 的值为________．
【解析】 因为 tan(A＋B)＝1t－antAan＋AttaannBB＝11＋－22＝－3<0，①
π
π
又 0<A< 2 ，0<B< 2 ，∴0<A＋B<π，②
所以 f(x)的最小正周期为 2π.
(2)因为 0≤x≤2π3 ，所以π3 ≤x＋π3 ≤π.
当
π x＋ 3 ＝π，即
x＝2π3 时，f(x)取得最小值．
所以 f(x)在区间0，2π3 上的最小值为 f2π3 ＝－ 3.
18．(本小题满分 12 分)(2016·南通高一检测)已知锐角 α，β满足 tan(α－β)
⇒5sin2 α＋2sin α－3＝0， 解得 sin α＝35或－1，又 α∈0，π2 ， 所以 sin α＝35，cos α＝45，tan α＝34， 所以 tanα－π4 ＝t1a＋n tαan－α1＝341－＋134＝－17.
【答案】 B
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请将答案填在题中的
(1)求 f(x)的最小正周期和最大值； (2)讨论 f(x)在π6 ，2π3 上的单调性． 【解】 (1)f(x)＝sinπ2 －xsin x－ 3cos2x ＝cos xsin x－ 23(1＋cos 2x)
＝12sin 2x－ 23cos 2x－ 23＝sin2x－π3 － 23，
π
π
(2)若 2 ＜α＜π，0＜β＜ 2 ，求 α＋β.
【解】 (1)由三角函数的定义知 tan α＝－43，
∴tan 2α＝12－³－－43432＝274.又由三角函数线知 sin β＝ 102，∵β为第一象限
π 由①②知， 2 <A＋B<π，
又 tan[(A＋B)＋C]＝1t－an（tanA（＋AB＋）B＋）ttaannCC＝1－（－－3＋3）3 ³3＝0，
又∵0<C<π2 ，∴π2 <A＋B＋C<32π， ∴A＋B＋C＝π. 【答案】 π
三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出必要的文字说明，证明 过程或演算步骤)
y＝f(x)与直线 y＝1 的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3 ，则 f(x)的最小正周
期为( )
π A． 2
B．2π3
C．π
D．2π
【解析】
由曲线
f(x)＝2sinwx＋π6 与
y＝1
π 交点中相邻交点最小值为 3 正
好等于 f(x)的周期的13倍，设 f(x)的最小正周期为 T，则13T＝π3 ，故有 T＝π.
3tanπ6 －θtanπ6 ＋θ.
【答案】 3
15．(2015·江苏高考)已知 tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则 tan β的值为 ________．
【解析】 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝1t＋an（tanα（＋αβ＋）β－）ttaann αα＝1＋17－17³（（－－2）2） ＝3.
因此 f(x)的最小正周期为π，最大值为2－2
3 .
(2)当 x∈π6 ，2π3 时，0≤2x－π3 ≤π，从而 当 0≤2x－π3 ≤π2 ，即π6 ≤x≤51π2 时，f(x)单调递增， 当π2 ≤2x－π3 ≤π，即51π2 ≤x≤2π3 时，f(x)单调递减． 综上可知，f(x)在π6 ，51π2 上单调递增；在51π2 ，2π3 上单调递减． 20．(本小题满分 12 分)(2015·天津高考)已知函数 f(x)＝sin2x－sin2x－π6 ，x
A．2－ 2
B．2＋ 2
C．3
D．1
【解析】 由 y＝ 2sinx＋π4 ＋2，且 0≤x≤π2 ， 所以π4 ≤x＋π4 ≤34π，
所以 22≤sinx＋π4 ≤1，
所以 3≤y≤ 2＋2.
【答案】 C
11．(2014·天津高考)已知函数 f(x)＝ 3sin wx＋cos wx(w＞0)，x∈R.在曲线
tan ＝
tan
α＋tanπ5 α－tanπ5 .
ππ 又∵tan α＝2tanπ5 ，∴原式＝22ttaannπ55 ＋－ttaannπ55 ＝3.
【答案】 C
4．(2016·大连高一检测)2cos
10°－sin cos 20°
20°的值为(
)
A． 3 C．1
B．
6 2
D．12
【解析】 原式＝2cos（30°c－os202°0°）－sin 20°
14．tanπ6 －θ＋tanπ6 ＋θ＋ 3tanπ6 －θ²tanπ6 ＋θ的值是________． 【解析】 ∵tanπ3 ＝tanπ6 －θ＋π6 ＋θ ＝1t－antaπ6n－π6θ－＋θttaannπ6π6＋＋θθ＝ 3， ∴ 3＝tanπ6 －θ＋tanπ6 ＋θ＋
横线上)
13．(2016·鞍山高一检测)函数 f(x)＝sin x－ 3cos x(x∈R)的最小正周期为
________，最大值为________．
【解析】 因为 f(x)＝2sinx－π3 ， 所以 f(x)＝2sinx－π3 的最小正周期为 T＝2π，最大值为 2.
【答案】 2π 2
章末综合测评(三) 三角恒等变换
(时间 120 分钟，满分 150 分)
一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四
个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2016·日照高一检测)已知 cos(α＋β)＋cos(α－β)＝13，则 cos αcos β的
值为( )
17．(本小题满分 10 分)(2015·北京高考)已知函数 f(x)＝sin x－2 3sin22x. (1)求 f(x)的最小正周期； (2)求 f(x)在区间0，2π3 上的最小值．
【解】 (1)因为 f(x)＝sin x＋ 3cos x－ 3
＝2sinx＋π3 － 3，
C．－52
D．－75
【解析】 由 tan(π＋α)＝2，得 tan α＝2，
∴ sin
1 αcos
α＝ssinin2αα＋cocos s2αα＝tatna2nαα＋1＝52.
【答案】 A
3．(2015·重庆高考)若 tan α＝2tanπ5 ，则csoisnαα－－3π15π0＝(
整理得：tan α＝3tan1－βta＋n2tβan3β. 所以 tan α＋tan β
＝3tan
β＋tan3β＋tan 1－tan2β
β－tan3β
＝21³－2ttaann2ββ＝2tan 2β.
19．(本小题满分 12 分)(2015·重庆高考)已知函数 f(x)＝sinπ2 －xsin x－ 3 cos2x.
因此，cos 2θ＝－ 23，故选 B．
【答案】 B
8．已知 sinπ4 －x＝45，则 sin 2x 的值为(
)
A．1295
B．275
C．1245 【解析】
D．－275 sin 2x＝cosπ2 －2x＝cos 2π4 －x
＝1－2sin2π4 －x ＝1－2³452＝－275.
＝2（cos
30°cos
20°＋sin 30°sin cos 20°
20°）－sin
20°
＝ c3ocsos202°0°＝ 3.
【答案】 A
5．(2016·锦州高一检测)cos4π8 －sin4π8 等于(
)
A．0
B．
2 2
C．1
D．－
2 2
【解析】 原式
＝cos2π8 －sin2π8 cos2π8 ＋sin2π8
π 6 ＋φ＝kπ，k∈Z，
φ＝kπ－π6 ，k∈Z，
当 k＝0 时，φ＝－π6 ，故选 A．
【答案】 A
7．若 θ∈0，π2 ，sin θ－cos θ＝ 22，则 cos 2θ等于(
)
A．
3 2
B．－
3 由 sin θ－cos θ＝ 22两边平方得，sin 2θ＝12， 又 θ∈0，π2 ，且 sin θ>cos θ， 所以π4 <θ<π2 ，所以π2 <2θ<π，