高中数学11空间几何体111构成空间几何体的基本元素优化训练新人教B版2!
高中数学1.1空间几何体1.1.1构成空间几何体的基本元素学案新人教B版必修2
1.1.1 构成空间几何体根本元素1．理解平面抽象特征，并会表示平面．2．知道构成几何体根本元素，并能从运动角度理解点、线、面、体之间关系．3．了解简单几何体中点、线、面位置关系．1．几何体如果我们只考虑一个物体占有空间局部________与________，而不考虑其他因素，那么这个空间局部叫做一个几何体．2．构成空间几何体根本元素(1)长方体由______个矩形(包括它内部)围成，围成长方体各个矩形，叫做长方体______；相邻两个面公共边，叫做长方体______；棱与棱公共点，叫做长方体________．(2)长方体有______个面，______条棱，______个顶点．(3)______、______、______是构成几何体根本元素．点运动成线，如果把点看成元素，那么直线与曲线可以看作是点集合，平面与曲面也可以看作是点集合，这样从集合角度来看，线、面就统一成点构成“集合〞了；线运动成面，因此线面关系就可以看作“集合〞与“集合〞关系了．【做一做1】正方体有__________个面，__________条棱，__________个顶点，且它棱长均__________．3．空间点、线、面特征(1)线有直线(段)与__________之分，面有__________与曲面(局部)之分．平面是________面，而曲面不是处处平直．(2)在立体几何中，平面是________，通常画一个__________来表示一个平面，并把它想象成________．平面一般用希腊字母α，β，γ，…来命名，还可以用表示它平行四边形对角顶点字母来命名，如图中平面α、平面β、平面ABCD 或平面AC等．(3)在几何中，可以把线看成点运动轨迹，如果点运动方向始终不变，那么它轨迹就是______________；如果点运动方向时刻在变化，那么运动轨迹就是__________．(4)一条线运动轨迹可以是一个______，面运动轨迹(经过空间局部)可以形成一个________．(5)直线平行移动，可以形成__________．固定射线端点，让其绕着一个圆弧转动，可以形成________．立体几何中平面与平面几何中平面图形是有区别．平面图形如三角形、正方形、梯形等是有大小之分；而立体几何中所说平面是无大小、厚薄之分，它类似于以前学过直线，它可以无限延展，是不可度量．【做一做2－1】以下说法中错误是( )．A．平面用一个希腊字母就可以表示B．平面可用表示平面平行四边形对角顶点两个英文字母表示C．三角形ABC所在平面不可以写成平面ABCD．一条直线与一个平面可能没有公共点【做一做2－2】关于平面以下说法正确是( )．A．平行四边形是一个平面B．平面是有大小C．平面是无限延展D．长方体一个面是平面【做一做2－3】飞机飞行表演在空中留下漂亮“彩带〞，用数学知识解释为__________．4．空间中线与面、面与面位置关系及距离【做一做3－1】以下说法中：①将一个矩形沿竖直方向平移一段距离可形成一个长方体；②长方体中相对面都互相平行；③长方体两底面之间棱相互平行且等长；④点运动轨迹是线，一条线运动轨迹是面．其中正确命题个数为( )．A．1 B．2 C．3 D．4【做一做3－2】垂直于同一个平面两个平面位置关系是( )．A．互相平行B．互相垂直C．相交但不一定垂直D．可能相交，也可能平行1．对平面概念理解剖析：(1)平面是绝对平．(2)平面没有厚度，也可理解成其厚度为零．(3)平面是无限延展．(4)平面与点、直线一样，是我们以后研究空间图形根本对象之一，也是空间图形一个重要组成局部．(5)有限图形．如：三角形、平行四边形等，用平行四边形表示平面，只是一种形式上表示方法，绝对不能认为平行四边形就是平面．(6)无限平面．平面将无限空间分成两局部，如果想从平面一侧到另一侧，必须穿过这个平面．(7)平面可以看作是空间中点集合，它当然是一个无限集．(8)用希腊字母α，β，γ等表示平面时，在不会引起混淆情况下，“平面〞二字可以省略不写；但用英文字母表示平面时，如平面AC，“平面〞二字不可省略，甚至在一些复杂图形中为了区别起见，还要表示为平面ABCD．表示三角形所在平面，一般将三个顶点字母都写出来，如平面ABC、平面ABD等．(9)在平面几何中，但凡后引辅助线都画成虚线．立体几何那么不然，但凡被平面遮住线(简称暗线)都画成虚线或不画；但凡不被遮住线(简称明线，无论是题中原有还是后引辅助线)都画成实线．在立体几何中，我们通常画平行四边形来表示平面，如图(1)，但是应注意：①所画平行四边形只是平面一局部，但是表示整个平面．需要时，可以向四周延伸．如同画直线一样，画一条线段来表示即可，需要时，可将线段向两方延伸．②“通常〞二字意思是：有时根据需要，我们也可画其他平面图形表示平面．例如用三角形表示，如图(2)；用多边形表示，如图(3)；用椭圆表示，如图(4)．2．“点动成线、线动成面、面动成体〞含义剖析：点、线、面是构成几何体根本元素，点是最小元素，它没有大小，是构成线根本元素；而面可以看成由许多线组成，由于直线是无限延伸，没有长短，没有粗细之分，所以它构成面就是无限延展，且一个面都会由无数条直线构成．几何体是我们生活中接触到物体抽象概括，它不但有大小，也有固定形状，每个面也具有一定形状与大小，因此几何体每个面都是平面一局部．在实际中，我们从运动变化观点来看这些关系就形成了“点动成线、线动成面、面动成体〞意识．(1)点动成线：自然现象中流星划过夜空，给我们一种“点动成线〞视觉感受．几何中，可以把线看成是点运动轨迹．如果点运动方向始终不变，那么它轨迹是一条直线或线段，如果点运动方向时刻在变化，那么运动轨迹是一条曲线或曲线一局部．(2)线动成面：直线平行移动，可以形成平面或曲面；直线绕定点转动，可以形成锥面．(3)面动成体：面运动轨迹(经过空间局部)可形成一个几何体．如长方体，我们可看作是水平放置一个矩形在铅垂线方向上运动一段距离形成几何体．题型一平面概念【例1】以下判断正确是__________．(1)平面是无限延展；(2)一个平面长3 cm，宽4 cm；(3)两个平面重叠在一起，比一个平面厚；(4)通过改变直线位置，可以把直线放在某个平面内．反思：平面是立体几何中一个不加定义概念，一定要与平面图形区别开来，注意平面是无大小、无厚度．题型二几何体形成【例2】(2021·福建福州高一期末)图甲所表示简单组合体，可由下面某个图形绕虚线旋转而成，这个图形是( )．反思：如果直线与旋转轴平行，那么形成旋转面是圆柱面；如果直线与旋转轴斜交，那么形成旋转面是圆锥面；如果一个圆与旋转轴在同一平面内且不相交，那么形成旋转面是环面．题型三几何体中根本元素位置关系【例3】如下图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，如果把它12条棱延伸为直线，6个面延展为平面，那么在这12条直线与6个平面中，答复以下问题：(1)与直线B1C1平行平面有哪几个？(2)与直线B1C1垂直平面有哪几个？(3)与平面BC1平行平面有哪几个？(4)与平面BC1垂直平面有哪几个？分析：仔细观察图形，且根据线与面，面与面平行与垂直定义进展判断．反思：此题实质是考察直观与抽象能力．解决这类问题关键是先识别好图形，再结合有关概念与定义进展判断，这就需要大家平时注重对生活中常见物体观察．题型四平面图形与空间几何体【例4】能用12根火柴组成5个正方形吗？能组成6个正方形吗？分析：假设将12根火柴组成5个正方形，放在同一平面内可以做到，但在同一平面内组成6个正方形是不可能，故可以结合一些几何体找原型．反思：正方体与长方体是生活中最常见两种几何体，通过对它们认识可以加深对几何体概念理解．多观察它们特点，学会分析一般几何体特点，这就要求我们在生活中多留心一些实物，加深对感官世界认识．题型五易错辨析【例5】能正确表示点A在直线l上且直线l在平面α内是( )．错解：B错因分析：只清楚直线是无限延伸，而无视了平面也是无限延展，在平面内直线一定要画在平面内部．反思：点、线、面这三个原始概念各自具有三大特征：(1)点：①最根本元素；②只有位置；③没有大小．(2)直线：①没有粗细；②绝对直；③向两方无限延伸．(3)平面：①没有厚度；②绝对平；③向周围无限延展．1以下四个结论：①铺得很平一张白纸是一个平面；②平面是矩形或平行四边形形状；③一个平面面积可以等于1 m2.其中正确结论个数是( )．A．0 B．1 C．2 D．32在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与对角线BD1既不相交又不平行棱有( )．A．3条B．4条C．6条D．8条3如图，平面α，β，γ可将空间分成( )．A．5局部B．6局部C．7局部D．8局部4以下说法：①长方体是由六个平面围成几何体；②长方体可以看作一个矩形ABCD(水平放置)上各点沿铅垂线方向向上移动一样距离到矩形A′B′C′D′所形成几何体；③长方体一个面上任一点到对面距离相等．其中正确命题序号是__________．5在正方体ABCD－A1B1C1D1中，判断平面AB1D1与平面BC1D位置关系．答案：根底知识·梳理1．形状大小2．(1)6 面棱顶点(2)6 12 8 (3)点线面【做一做1】6 12 8 相等3．(1)曲线(段) 平面(局部) 处处平直(2)无限延展平行四边形无限延展(3)一条直线或线段一条曲线或曲线一段(4)面几何体(5)平面或曲面锥面【做一做2－1】C 三角形ABC所在平面可表示为平面ABC.【做一做2－2】C【做一做2－3】点动成线4．没有公共点AB∥α没有公共点α∥β任意一条直线l⊥α一个平面通过另一个平面一条垂线α⊥β【做一做3－1】C ①不正确，当矩形水平放置时，沿竖直方向平移时，才可得到一个长方体，当不是水平放置时，沿竖直方向平移不能得到长方体；②③④正确，应选C.【做一做3－2】D 通过观察正方体可知，垂直于同一个平面两个平面可能相交(包括垂直相交)，也可能平行．典型例题·领悟【例1】(1)(4) 利用平面所具有特征进展判断．(1)(4)正确，(2)(3)不正确．【例2】C 由图甲所表示几何体分析知，该几何体是由一个圆锥与一个圆柱组合而成．再根据“线动成面〞规律可知形成圆锥可由直角三角形绕直角边旋转而成，而圆柱那么可由长方形绕其中一边旋转而成，应选C.【例3】解：(1)与直线B1C1平行平面有：平面AD1，平面AC.(2)与直线B1C1垂直平面有：平面AB1，平面CD1.(3)与平面BC1平行平面有：平面AD1.(4)与平面BC1垂直平面有：平面AB1，平面A1C1，平面CD1，平面AC.【例4】解：能用12根火柴组成5个正方形，如图(1)所示，包括中间4个小正方形与外面一个大正方形；联想正方体有12条棱，6个面都是正方形，故用12根火柴组成6个正方形情况如图(2)所示．【例5】C 正解：选项A只表示点A在直线l上；选项D表示直线l与平面α相交于点A；选项B中直线l伸到四边形外面去了，所以不能表示直线在平面α内，应选C.随堂练习·稳固1．A 在立体几何中，平面是无限延展，所以①③错误；通常我们画一个平行四边形或矩形来表示一个平面，但并不是说平面就是矩形或平行四边形，故②错．2．C 在平面A1B1C1D1上四条棱中有A1B1，B1C1，在平面ABCD上四条棱中有AD，CD，上下两底面之间四条棱中，有AA1，CC1，故与BD1既不相交又不平行棱共有6条．3．B 平面α，β，γ是无限延展，所以可画出此图一个截面图，如下图，可知将空间分成了六局部．4．②③①是错误，面与矩形是有区别．5．解：因为平面AB1D1与平面BC1D不管怎样延展都是没有交点，所以它们互相平行．。
2021年高中数学 1.1.1构成空间几何体的基本元素课时作业(含解析)新人教B版必修2
2021年高中数学 1.1.1构成空间几何体的基本元素课时作业（含解析）新人教B版必修2一、选择题1．构成空间几何体的基本元素为( )A．点B．线C．面D．点、线、面[答案]D[解析]点、线、面共同构成空间几何体．2．下列说法：①任何一个几何体都必须有顶点、棱和面；②一个几何体可以没有顶点；③一个几何体可以没有棱；④一个几何体可以没有面．其中正确的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4[答案] B[解析]球只有一个曲面围成，故①错，②对，③对，由于几何体是空间图形，故一定有面，④错．故选B.3．如图所示，下面空间图形画法错误的是( )[答案] D[解析]D项中的两个平面没有按照实虚线的画法规则作图，故选D.4．下列是几何体的是( )A．方砖B．足球C．圆锥D．魔方[答案] C[解析]几何体是一个几何图形，它只考虑物体占有空间部分的形状和大小，而不是实实在在的物体．5．在长方体ABCD－A1B1C1D1六个面中，与面ABCD垂直的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个[答案] D[解析]与面ABCD垂面的有面A1ADD1、面ABB1A1、面BCC1B1和面CDD1C1共4个．6．如图所示是平行四边形ABCD所在的平面，下列表示方法中不正确的是( )①平面ABCD；②平面BD；③平面AD；④AC；⑤平面α.A．④B．③⑤C．②③④D．③④[答案] D[解析]③④不能表示平行四边形ABCD所在的平面．二、填空题7．在立体几何中，可以把线看成________运动的轨迹．如果点运动的方向始终不变，则其运动的轨迹为__________________；如果点运动的方向时刻变化，则其运动的轨迹为__________________．[答案]点一条直线或一条线段一条曲线或曲线的一段8．一个正方体去掉一个“角”后减少了一个顶点，这个几何图形是________(填序号)．[答案]③[解析]正方体共有8个顶点，去掉一个“角”后减少了一个顶点即有7个顶点．三、解答题9．试分别画出满足下列条件的直线和平面：(1)直线a在平面β内；(2)直线a在平面β上方；(3)直线a穿过平面β.[解析](1)如图①.(2)如图②.(3)如图③或④.10．指出如图所示的瓷器，是由什么曲线绕轴旋转而成的．[解析]观察实物图可知，该瓷器是由下图所示的曲线绕轴旋转一周形成的．一、选择题1．下列四个长方体中，由图中的纸板折成的是( )[答案] A[解析]根据图中纸板的折叠情况及特殊面的阴影部分可以判断选项A正确．2．一个正方体的六个面上分别标有字母A、B、C、D、E、F，如图是此正方体的两种不同的放置状态，如果与C面相对的面上的字母是E，则与D面相对的面上的字母是( )A．A B．BC．E D．F[答案] B[解析]与D面相对的面上的字母为B.二、填空题3．如图表示两个相交平面，其中正确的是________．[答案]④[解析]对于①，没有画出两个平面的交线；对于②和③，被遮住的线没有画成虚线；对于④，符合相交平面的画法．4．下列关于长方体的说法中，正确的是________．①长方体中有3组对面互相平行；②长方体ABCD－A1B1C1D1中，与AB垂直的只有棱AD、BC和AA1；③长方体可看成是由一个矩形平移形成的；④长方体ABCD－A1B1C1D1中，棱AA1、BB1、CC1、DD1平行且相等．[答案]①③④[解析]如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面ADD1A1∥平面BCC1B1，平面ABB1A1∥平面CDD1C1，故①正确；与AB垂直的棱除了AD、BC、AA1外，还有B1C1、A1D1、BB1、CC1和DD1，故②错误；这个长方体可看成由它的一个面ABCD上各点沿竖直方向向上移动相同距离AA1所形成的几何体，故③正确；棱AA1、BB1、CC1、DD1的长度是长方体中面ABCD和面A1B1C1D1的距离，因此它们平行且相等，故正确的是①③④.三、解答题5．请将下列各图补上适当的虚线，使它们能比较直观地看出是立体图形．[解析]用虚线把被平面遮住的部分画出，如下图的立体图形．6．根据图中给出的平面图形，折叠几何模型．[解析]7．下图为一个正方体表面的一种展开图，图中的线段AB、CD、EF和GH在原正方体中不在同一平面内的共有多少对？[解析]如图，将展开图恢复为正方体，则有AB与CD，AB与GH，EF与GH共3对不在同一平面内的线段．{29561 7379 獹1E28752 7050 灐|PX26435 6743 权32602 7F5A 罚29646 73CE 珎36343 8DF7 跷39469 9A2D 騭31347 7A73 穳35004 88BC 袼。
人教B版高中数学必修第四册课后习题 第十一章 立体几何初步 构成空间几何体的基本元素 (2)
第十一章11.1.2 构成空间几何体的基本元素1.[探究点二·宁夏高一单元测试]在长方体ABCD-A1B1C1D1的侧面中,与平面ABCD垂直的平面的个数为( )A.1B.2C.3D.42.[探究点二]两平面α,β平行,a⊂α,下列四个结论:①直线a与平面β内的所有直线平行;②直线a与平面β内无数条直线平行;③直线a与平面β内任何一条直线都不垂直;④直线a与平面β没有公共点.其中正确的个数是( )A.1B.2C.3D.43.[探究点二]以下四个结论:①若a⊂α,b⊂β,则a,b为异面直线;②若a⊂α,b⊄α,则a,b为异面直线;③没有公共点的两条直线是平行直线;④两条不平行的直线一定相交.其中正确的个数是( )A.0B.1C.2D.34.[探究点二]如果两个平面分别经过两条平行线中的一条,那么这两个平面( )A.平行B.相交C.平行或相交D.以上都不可能A.平面α内有两条直线和平面β平行,那么这两个平面不一定平行B.平面α内有无数条直线和平面β平行,则α与β平行C.平面α内一个三角形的三个顶点到平面β的距离相等,则α与β平行D.若两个不重合平面有无数个公共点,则这两个平面的位置关系是相交6.[探究点二·山东高一练习]若a和b是异面直线,b和c是异面直线,则a和c的位置关系是( )A.异面或平行B.异面或相交C.异面D.相交、平行或异面7.[探究点二、三·山西高一课时练习]在如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中,下列说法正确的是(填序号).①直线AA1与直线CC1平行;②直线AA1与平面C1D1DC相交;③直线AA1与平面A1B1C1D1垂直;④点A1与点B1到平面ABCD的距离相等.8.[探究点二·安徽师范大学附属中学]如图是一个正方体的平面展开图,则在正方体中直线AB与CD的位置关系为.9.[探究点一·辽宁高一]根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的位置关系.(1)点P与直线AB;(2)点C与直线AB;(3)点M与平面ABCD;(4)点A1与平面ABCD;(5)直线AB与直线BC;(6)直线AB与平面ABCD;(7)平面A1ABB1与平面ABCD.11.1.2 构成空间几何体的基本元素1.D 如图,在长方体中,侧棱与底面ABCD均垂直,所以长方体侧面与底面ABCD垂直. 即平面A1ABB1、平面BCC1B1、平面CDD1C1、平面DAA1D1均与平面ABCD垂直. 故选D.2.B 由题知,α∥β,且a⊂α,则直线a不是与平面β内的所有直线平行,而是与平面β内的无数条直线平行,故①错误,②正确;直线a与平面β内无数条直线垂直,故③错误;根据定义,直线a与平面β没有公共点,故④正确.3.A 对于①,若满足a⊂α,b⊂β的直线a,b可能是异面直线,可能是平行直线,也可能是相交直线,所以①错误.对于②,根据直线和平面的位置关系可知,平面内的直线和平面外的直线,可能是异面直线,可能是平行直线,也可能是相交直线,所以②错误.对于③,在空间中,没有公共点的两条直线是平行直线或者是异面直线,所以③错误.对于④,在空间中,两条不平行的直线可能是异面直线,所以④错误.故选A.4.C 由题意,如图所示,直线a∥直线b,a⊂平面α,b⊂平面β,易知两平面可能平行或相交,故选C.6.D a和b是异面直线,b和c是异面直线,根据异面直线的定义可得a,c可以是异面直线,如图1所示.图1也可以相交,如图2所示.图2也可以平行,如图3所示.图3故选D.7.①③④在长方体ABCD-A1B1C1D1中,侧棱互相平行,所以①正确.侧棱AA1与侧面C1D1DC、侧面C1B1BC平行,所以②不正确.侧棱AA1与底面A1B1C1D1、底面ABCD垂直,所以③正确.由A1B1∥平面ABCD,则点A1与点B1到平面ABCD的距离相等,所以④正确.8.异面由题可得正方体的直观图,如图所示.则在正方体中直线AB与CD 的位置关系为异面.9.解(1)点P在直线AB上,所以P∈AB;(2)点C不在直线AB上,所以C∉AB;(3)点M在平面ABCD上,所以M∈平面ABCD;(4)点A1不在平面ABCD上,所以A1∉平面ABCD;(5)直线AB与直线BC交于点B,所以AB∩BC=B;(6)直线AB在平面ABCD上,所以AB⊂平面ABCD;(7)平面A1ABB1与平面ABCD交于直线AB,所以平面A1ABB1∩平面ABCD=AB.。
人教版数学高一B版必修二作业 1.1.1构成空间几何体的基本元素
1.1.1构成空间几何体的基本元素一、选择题1．下列不属于构成空间几何体的基本元素的是()A．点B．线段C．曲面D．多边形(不包括内部的点)答案 D解析空间中的几何体是由点、线、面构成的，而线有直线和曲线之分，面有平面和曲面之分，只有多边形(不包括内部的点)不属于构成几何体的基本元素．2．下列说法正确的是()A．水平放置的平面是大小确定的平行四边形B．平面ABCD即平行四边形ABCD的四条边围起来的部分C．一条直线和一个平面一定会有公共点D．平面是光滑的，可向四周无限延展答案 D解析平面可以用平行四边形来表示，但平行四边形只是平面的一部分，不能理解为平面，A错；平面是一个抽象的概念，是无限延展的，没有大小、厚薄之分，B错；直线和平面可以没有公共点，此时直线和平面平行，C错．故选D.3．下列关于长方体的叙述中不正确的是()A．将一个矩形沿竖直方向平移一段距离一定能形成一个长方体B．长方体中相对的面互相平行C．长方体某一底面上的高就是这一面与其所对面的距离D．两相对面之间的棱互相平行且等长答案 A解析A选项中，若矩形斜放，则不会形成长方体，故选A.4．下列四个长方体中，由图中的纸板折成的是()答案 A解析根据题图中纸板的折叠情况及特殊面的阴影部分可以判断B，C，D不正确，故选A.5.某同学制作了一个对面图案相同的正方体礼品盒(如图)，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为()答案 A解析两个☆不能并列相邻，B、D错误；两个※不能并列相邻，C错误，故选A.也可通过实物制作检验来判定．6．两个平面可以将空间分成()A．3部分B．4部分C．2或4部分D．3或4部分答案 D解析当两平面平行时，将空间分成3部分；当两平面相交时，将空间分成4部分，故选D.二、填空题7．下列说法：①任何一个几何体都必须有顶点、棱和面；②一个几何体可以没有顶点；③一个几何体可以没有棱；④一个几何体可以没有面．其中正确的是________．(填序号)答案②③解析球只有一个曲面围成，故①错，②③对，由于几何体是空间图形，故一定有面，④错．8.在如图所示的长方体ABCD－A′B′C′D′中，互相平行的平面共有________对，与A′A 垂直的平面是________________．答案3平面ABCD，平面A′B′C′D′解析平面ABCD与平面A′B′C′D′平行，平面ABB′A′与平面CDD′C′平行，平面ADD′A′与平面BCC′B′平行，共3对．与AA′垂直的是平面ABCD，平面A′B′C′D′.9．线段AB的长为5 cm，在水平面上向右移动4 cm后记为CD，将CD沿铅垂线方向向下移动3 cm后记为C′D′，再将C′D′沿水平方向向左移动4 cm后记为A′B′，依次连接构成长方体ABCD－A′B′C′D′.(1)该长方体的高为________ cm.(2)平面A′B′BA与平面CDD′C′间的距离为________ cm.(3)点A到平面BCC′B′的距离为________ cm.答案(1)3(2)4(3)5解析如图，(1)该长方体的高为3 cm.(2)平面A′B′BA与平面CDD′C′间的距离为4 cm.(3)A到平面BCC′B′的距离为5 cm.10．一个正方体去掉一个“角”后减少了一个顶点，这个几何图形是________．(填序号)答案③解析正方体共有8个顶点，去掉一个“角”后减少了一个顶点即有7个顶点．11．如图是一个正方体的表面展开图，A，B，C均为所在棱的中点，D为正方体的顶点．若正方体的棱长为2，则封闭折线ABCDA的长为________．答案2＋25＋ 6解析如图，AB＋BC＋CD＋DA＝2＋6＋5＋ 5＝2＋25＋6，即折线ABCDA的长为2＋25＋ 6.AB＋BC＋CD＋DA＝2＋6＋5＋5＝2＋25＋ 6.三、解答题12．如图所示，指出几何体的点、线、面．解其中的点有A，B，C，D，M，N.其中的线有AB，BC，CD，DA，MA，MB，MC，MD，NA，NB，NC，ND.其中的平面有平面MAD，平面MAB，平面MBC，平面MDC，平面NAB，平面NAD，平面NDC，平面NBC.13．如图所示是一个正方体表面的展开图，图中四条线段AB，CD，EF和GH在原正方体中的位置关系是什么？解选择一个面为底面，将图形向上折成正方体，如图，点G与点C重合，点F与点B重合，则线段AB与EF相交，线段HG与CD相交，线段EF与CD平行．四、探究与拓展14．如图，模块①－⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成．现从模块①－⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体，则下列选择方案中，能够完成任务的为()A．模块①，②，⑤B．模块①，③，⑤C．模块②，④，⑤D．模块③，④，⑤答案 A解析先将⑤放入⑥中的空缺部分，然后在上层放入①②，可得正方体，而可验证其余不合题意．故选A.15．如图是边长为1 m的正方体，有一蜘蛛潜伏在A处，B处有一小虫被蜘蛛网粘住，请制作出模型，将正方体剪开，描述蜘蛛爬行的最短路线．解通过正方体的展开图(如图所示)，可以发现，AB间的最短距离为A，B两点间的线段的长，为22＋12＝5(m)．由展开图可以发现，C点为其中一条棱的中点．爬行的最短路线如图(1)～(6)所示．。
高中数学1.1空间几何体1.1.1构成空间几何体的基本元素优化训练新人教B版必修2
构成空间几何体根本元素5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，与对角线BD1异面棱有( )解析：把正方体几条棱分为三类，在平面A1B1C1D1上四条棱中有A1B1、B1C1与BD1异面，在平面ABCD上四条棱中有AD、CD与BD1异面，上下两底面之间四条棱中，有AA1、CC1与BD1是异面直线，故与BD1异面棱共6条.答案：C2.飞机飞行表演在空中留下漂亮“彩带〞，用数学知识解释为__________________________.答案：点运动成线3.在长方体外表中，互相平行面共有_______________对.答案：310分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.以下四个结论:①铺得很平一张白纸是一个平面;②平面是矩形或平行四边形形状;③一个平面面积可以等于1 m2;④两个平面叠在一起比一个平面厚.其中正确结论个数是( )B.1C.2解析：在立体几何中,平面是无限延展,所以①③错误;通常我们画一个平行四边形或矩形来表示一个平面,但并不是说平面就是矩形或平行四边形,故②错;平面是没有厚度,所以④错. 答案：A2.以下说法正确是( )解析：空间四边形不是平面图形，故A说法不正确；假设三个公共点在一条直线上，那么两个平面不一定重合，B也是错误；C中两两相交三条直线可能会经过同一点，此时三条直线不一定在同一个平面内，因此选D.答案：D3.异面直线是指( )解析：注意对异面直线概念理解，区别B、D两种说法，C中两条平行线也没有公共点，所以错误.答案：D4.过平面外一条直线且与这个平面垂直平面有( )解析：当这条直线与这个平面垂直时，经过这条直线与平面垂直平面有无数个；当这条直线与这个平面不垂直时，那么满足条件平面只有一个.答案：D5.多面体上，位于同一条棱两端顶点称为相邻，如图1-1-1-1，正方体一个顶点A在平面α内，其余顶点在α同侧，正方体上与顶点A相邻三个顶点到α距离分别为1、2和4，P 是正方体其余四个顶点中一个，那么P到平面α距离可能是:①3；②4；③5；④6；⑤7.图1-1-1-1以上结论正确为_______________.〔写出所有正确结论编号〕解：如题图，B 、D 、A 1到平面α距离分别为1、2、4，那么DA 1中点到平面α距离为3，所以D 1到平面α距离为6；BA 1中点到平面α距离为25，所以B 1到平面α距离为5；DB 中点到平面α距离为23，所以C 到平面α距离为3；CA 1中点到平面α距离为27，所以C 1到平面α距离为7；而P 为C 、C 1、B 1、D 1中一点，所以选①③④⑤.答案：①③④⑤30分钟训练(稳固类训练,可用于课后)1-1-1-2，点P 是△ABC 所在平面外一点，连结PA 、PC ，那么图中共有异面直线( )图1-1-1-2解析：由异面直线定义，可知图中异面直线有PA 与BC ，PC 与AB ，故共有2对异面直线. 答案：A2.平行于同一个平面两条直线位置关系是( )答案：D3.垂直于同一个平面两个平面位置关系是( )D.可能相交，也可能平行解析：垂直于同一个平面两个平面可能相交〔包括垂直相交〕，也可能平行.答案：D4.假设空间三个平面两两相交，那么它们交线条数是( )3 C.1或3解析：假设三个平面经过同一条直线，那么有1条交线；假设三个平面不过同一条直线，那么有3条交线〔共点或互相平行〕.答案：C5.点P 、Q 、R 、S 分别在正方体四条棱上，且是所在棱中点，那么直线PQ 与RS 是异面直线一个图是( )图1-1-1-3解析：据正方体性质，不难发现A 中PQ∥RS，B 中PQ∥RS，D 中SR 和QP 延长后必交于一点，属相交直线，而C 中RS 与PQ 不同在任何一个平面内.答案：C6.一条直线与两条平行线中一条异面，那么它与另一条位置关系是( )解析：由题意a∥b，l与a异面，那么l与b可能异面，还可能相交，应选C.答案：C_____________条直线与α平行；假设直线a∥平面α，那么在α内与a平行直线有_____________条.解析：经过平面α外一点可以作无数条直线与平面α平行，而且这无数条直线在过该点同一个平面内；假设直线a∥平面α，那么在α内与a平行直线有无数条，而且这无数条直线相互平行.答案：无数无数8.正方体ABCD—A1B1C1D1中，平面AB1D1和平面BC1D位置关系为_____________.解析：画图或通过身边模型来分析都可行，会发现这两个平面不管怎么样延展都是没有交点，所以它们互相平行.答案：平行9.判断以下说法是否正确：〔1〕如果两个平面平行，那么一个平面内直线平行于另一个平面.( )〔2〕如果两个平面平行，那么分别在两个平行平面内两条直线平行.( )解析：〔1〕根据两个平面平行及直线和平面平行定义可知两个平面平行，其中一个平面内直线必定平行于另一个平面.〔2〕分别在两个平行平面内直线必定没有公共点，所以只能判定它们平行或异面.答案：〔1〕√ 〔2〕×10.两个平面把空间分成几个局部三个平面呢？解析：两个平面划分空间情况如下图.三个平面划分空间情况比拟复杂，可自己设计模型探索.答案：两个平面将空间分成3或4局部，三个平面可以把空间分成4或6或7或8局部.。
高中数学1.1空间几何体1.1.1构成空间几何体的基本元素自主训练新人教B版必修2
1.1.1 构成空间几何体的基本元素自主广场我夯基我达标1.下列说法正确的是（）A.一个平面面积为4 m2B.一条直线长为5 cmC.正方体的面是平面的一部分,而不是整个平面D.三角形是一个平面思路解析：直线是无限延伸的,没有长短;平面是无限延展的,没有面积,没有厚度.根据这些性质,逐项进行排除可知选C.答案：C2.下列叙述中,一定是平面的是（）A.一条直线平行移动形成的面B.三角形经过延展得到的平面C.组成圆锥的面D.正方形围绕一条边旋转形成的面思路解析：直线平行移动可以形成平面或曲面,只有在方向不变的情况下才能得到平面. 答案：B3.长方体中棱的条数是（）A.6B.8C.12D.16思路解析：长方体有六个面,12条棱.故选C.答案：C4.一个棱锥至少含有的面的个数为（）A.2B.3C.4D.6思路解析:本题考查棱锥的特征，棱锥至少是三棱锥,有三个侧面和一个底面,共4个面.故选C.答案：C5.请叙述一下立体几何中平面的基本特征.思路解析:立体几何中的平面具有其特有的性质,要结合概念加以理解.答案：立体几何中的平面是平的、无限延展的,没有大小和厚度,现实中所说的平面都是立体几何中平面的一部分,立体几何中的平面只能想象.在实际中通常用一个平行四边形来表示平面.我综合我发展6.如图1-1-1-4所示,画中的一朵花,有五片花瓣.下列叙述不正确的是（）图1-1-1-4A.花瓣由曲线组成B.图中组成花瓣的曲线相交于一点C.图中只有花柄是直线段组成的D.组成花瓣的曲线是无限延伸的思路解析:观察图中的花朵我们发现花瓣是由曲线组成的,而花柄是一条线段,这里所有的曲线也都是有一定长度的,而不是无限延伸的.故选D.答案：D7.下列说法正确的是（）A.生活中的几何体都是由平面组成的B.曲面都是有一定大小的C.直线是无限个点组成的,而线段是由有限个点组成的D.直线平移时不改变方向一定不可能形成曲面思路解析:组成几何体的面既可以是平面,也可以是曲面;曲面也可以是无限延展的;直线和线段都是由无数个点组成的.故选D.答案：D8.把如图1-1-1-5的平面沿虚线折叠可以折叠成的几何体是_____________.图1-1-1-5思路解析:图1-1-1-5由六个正方形组成,可以实际进行折叠试验得出结论是正方体.答案：正方体9.动手制作一个熟悉的几何体,观察它的每个面的特点.思路解析:(略)答案：(略)。
新教材高中数学第11章立体几何初步11 1 2构成空间几何体的基本元素学案含解析新人教B版必修第四册
11.1.2 构成空间几何体的基本元素最新课程标准：1.以长方体的构成为例，认识构成几何体的基本元素，体会空间中的点、线、面与几何体之间的关系．(重点) 2.初步了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系．(重点) 3.理解平面的无限延展性，学会判断平面的方法．(难点)知识点一长方体长方体可以看作由________(包括它的内部)所围成的几何体．(1)长方体的面：围成长方体的________，叫做长方体的面，它共有________个面．(2)长方体的棱：相邻两个面的公共边，叫做长方体的棱，它共有________条棱．(3)长方体的顶点：棱和棱的________，叫做长方体的顶点，它共有________个顶点．知识点二构成空间几何体的基本元素________、________、________是构成空间几何体的基本元素．知识点三平面及其表示方法(1)平面的概念：平面是处处平直的面，它是向四面八方无限延展的．知识点四用运动的观点理解空间基本图形之间的关系(1)(2)(3)面动成体：面运动的轨迹(经过的空间部分)可以形成一个几何体．知识点五空间中直线与直线的位置关系空间中直线与直线有________、________与______________三种位置关系．知识点六空间中直线与平面的位置关系(1)直线在平面内；(2)直线与平面平行：直线与平面________公共点；(3)直线与平面相交：直线与平面____________公共点．①直线与平面垂直：如图，观察直线AA1和平面AC，我们看到直线AA1和平面内的两条相交直线AB和AD 都垂直，容易想象，当AD在平面AC内绕点A旋转到任何位置时，都会与AA1垂直．直线AA1给我们与平面AC垂直的形象，这时我们说直线AA1和平面AC垂直，点A为________．记作____________．直线AA1称作平面AC的垂线，平面AC称作直线AA1的垂面．②点到平面的距离：在上图中，容易验证，线段AA1为点A1到平面AC内的点所连线段的________的一条．________称作点A1到平面AC的距离．知识点七空间中平面与平面的位置关系(1)两个平面相交：两个平面相交于________，此时我们说这两个平面相交．如果两个平面相交，并且其中一个平面通过另一个平面的________，这两个平面就给我们互相垂直的形象，这时，我们就说两个平面互相垂直．(2)两个平面平行：如果两个平面____________，则说这两个平面平行．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，如果面ABCD和面A1B1C1D1分别作为长方体的底面，则棱AA1，BB1，CC1，DD1都与底面____________，我们知道它们都是这个底面上的高，它们的________称作两个底面间的距离．〖基础自测〗1．下列说法：①任何一个几何体都必须有顶点、棱和面；②一个几何体可以没有顶点；③一个几何体可以没有棱；④一个几何体可以没有面．其中正确的个数是()A．1B．2C．3D．42．下列关于长方体的叙述不正确的是()A．将一个矩形沿竖直方向平移一段距离可形成一个长方体B．长方体中相对的面都相互平行C．长方体中某一底面上的高的长度就是两平行底面间的距离D．两底面之间的棱互相平行且等长3．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)几何体不仅包括它的外表面，还包括外表面围起的内部部分．()(2)直线的移动只能形成平面．()(3)平静的太平洋就是一个平面．()4．下列说法正确的是________．(1)长方体是由六个平面围成的几何体；(2)长方体可以看作一个矩形ABCD上各点沿铅垂线向上移动相同距离到矩形A′B′C′D′所围成的几何体；(3)长方体一个面上的任一点到对面的距离相等.题型一平面概念的理解例1下列判断正确的是________．①平面是无限延展的；②一个平面长3 cm，宽4 cm；③两个平面重叠在一起，比一个平面厚；④通过改变直线的位置，可以把直线放在某个平面内．方法归纳(1)准确理解平面与平面图形的区别与联系是解题的关键．(2)平面是无限延展的、无厚薄、无大小的图形，但平面图形，如三角形、平行四边形、圆等是有大小的．(3)可以用三角形、平行四边形、圆等平面图形表示平面，但不能说它们是平面．跟踪训练1已知下列四个结论：①铺得很平的一张白纸是一个平面；②平面的形状是平行四边形；③一个平面的面积可以等于1 m2.其中正确结论的个数是()A．0B．1C．2 D．3题型二从运动观点认识几何体例2如图所示，请画出①②③中线段AB绕着直线l旋转一周形成的空间图形．状元随笔线的运动可以形成平面或曲面，观察AB和l的位置关系及旋转的方式和方向，可以尝试画出形成的图形．〖解〗方法归纳(1)点、线、面运动形成怎样的图形与其运动的形式和方向有关，如果直线与旋转轴平行，那么形成圆柱面，如果与旋转轴斜交，那么形成圆锥面．(2)在判断点、线、面按一定规律运动形成的几何体的形状时，可以借助身边的实物来模拟．跟踪训练2如图所示，AB与l有如图所示的关系，请画出旋转一周形成的几何图形．题型三长方体中基本元素之间的关系状元随笔 1.射线运动后的轨迹是什么？〖提示〗水平放置的射线绕顶点在水平面内旋转一周，可形成平面．其他情况，可形成曲面．2．如图所示，该几何体是某同学课桌的大致轮廓，请你从这个几何体里面寻找一些点、线、面，并将它们列举出来．〖提示〗面可以列举如下：平面A1A2B2B1，平面A1A2D2D1，平面C1C2D2D1，平面B1B2C2C1，平面A1B1C1D1，平面A2B2C2D2；线可以列举如下：直线AA1，直线BB1，直线CC1，直线DD1，直线A2B2，直线C2D2等；点可以列举如下：点A，点A1，点B，点B1，点C，点C1，点D，点D1，点A2，点B2，点C2，点D2；它们共同组成了课桌这个几何体．例3在长方体ABCD－A′B′C′D′中，把它的12条棱延伸为直线，6个面延展为平面，那么在这12条直线与6个平面中，(1)与直线B′C′平行的平面有哪几个？(2)与平面BC′平行的平面有哪几个？状元随笔观察图形，结合定义，利用运动的观点来分析图形中的线面位置关系．跟踪训练3在长方体ABCD－A′B′C′D′中，把它的12条棱延伸为直线，6个面延展为平面，那么在这12条直线与6个平面中，(1)与直线B′C′垂直的平面有哪几个？(2)与平面BC′垂直的平面有哪几个？跟踪训练4本例中与棱A′D′相交的棱有哪几条？它们与棱A′D′所成的角是多少？跟踪训练5本例中长方体的12条棱中，哪些可以用来表示面A′B与面D′C之间的距离？方法归纳1．平行关系的判定(1)直线与直线的平行关系：如图，在长方体的12条棱中，分成“长”“宽”“高”三组，其中“高”AA1，BB1，CC1，DD1相互平行；“长”AB，DC，A1B1，D1C1相互平行；“宽”AD，BC，A1D1，B1C1相互平行．(2)直线与平面的平行关系：在长方体的12条棱及表面中，若棱所在的直线与某一平面不相交或不在平面内，就平行．(3)平面与平面的平行关系：长方体的对面相互平行．2．垂直关系的判定(1)直线与平面的垂直关系：在长方体的棱所在直线与各面中，若直线与平面有且只有一个公共点，则二者垂直．(2)平面与平面的垂直关系：在长方体的各表面中，若两平面有公共点，则二者垂直.教材反思1．本节课的重点是认识构成空间几何体的基本元素及其之间的关系和直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系，难点是理解平面的无限延展性．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)平面与平面图形的区别与联系；(2)用运动的观点认识几何体；(3)平行与垂直关系的直观判断．3．本节课的易错点是对平面的概念理解.11．1.2构成空间几何体的基本元素新知初探·自主学习知识点一六个矩形(1)各个矩形6(2)12(3)公共点8知识点二点线面知识点三(2)一个平行四边形α，β，γ对角顶点知识点四(1)曲线曲线的一段(2)平面曲面知识点五相交平行既不相交也不平行知识点六(2)没有(3)有且只有一个垂足直线AA1⊥平面AC最短线段AA1的长知识点七(1)一条直线一条垂线(2)没有公共点垂直且等长长度〖基础自测〗1．〖解析〗球只由一个曲面围成，故①错，②对，③对，由于几何体是空间图形，故一定有面，④错．〖答案〗B2．〖解析〗A中只有移动相同距离才能形成长方体．〖答案〗A3．〖解析〗(1)正确．(2)直线移动可能形成曲面，故错误．(3)平面是没有大小的，故错误．〖答案〗(1)√(2)×(3)×4．〖解析〗(1)错．因长方体由6个矩形(包括它的内部)围成，注意“平面”与“矩形”的本质区别；(2)正确；(3)正确．〖答案〗(2)(3)课堂探究·素养提升例1〖解析〗①正确．平面是无限延展的．②不正确．平面没有大小．③不正确．平面没有厚薄．④正确．平面可以看成是直线平行移动形成的，所以直线通过改变其位置，可以放在某个平面内．〖答案〗①④跟踪训练1〖解析〗在立体几何中，平面是无限延展的，所以①③错误；通常我们画一个平行四边形来表示一个平面，但并不是说平面就是平行四边形，故②错．〖答案〗A跟踪训练2解：例3〖解〗(1)与直线B′C′平行的平面有平面ABCD，平面ADD′A′.(2)与平面BC′平行的平面为平面AD′.跟踪训练3解：(1)有平面AB′，平面CD′.(2)有平面AB′，平面A′C′，平面CD′，平面AC.跟踪训练4解：有A′A，A′B′，D′D，D′C′.由于长方体六个面都是矩形，所以它们与棱A′D′所成角都是90°.跟踪训练5解：A′D′，B′C′，BC，AD的长均可以表示．。
新教材数学人教B版必修第四册练习：11.1.2 构成空间几何体的基本元素Word版含解析
必备知识基础练进阶训练第一层知识点一三种语言的相互转化.若点A在直线b上，b在平面β内，则点A，直线b，平面β之间的关系用符号可以记作________．．根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1)A∈α，B∉α；(2)l⊂α，m∩α＝A，A∉l；(3)P∈l，P∉α，Q∈l，Q∈α.知识点二空间中直线与直线的位置关系.若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是()．平行B．异面．相交D．平行、相交或异面．如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________；知识点三空间中直线与平面、平面与平面的位置关系.下列命题中正确的个数是()如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α.．0B．1．2D．3．如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是()．平行B．相交．平行或相交知识点四直线与平面垂直.下列说法中，正确的有()如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；②如果一条直线与一个平面相交，那么这条直线与平面内无数条直线相交；③过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行；④一条直线上有两点到平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面．．0个B．1个．2个D．3个．以下四个命题中，正确的命题有()在平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；在平面α内有无数条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一侧且到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行；平面α内有无数个点到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行或相交．．③④B．②③④．②④D．①④．如图所示，Rt△BMC中，斜边BM＝5，它在平面ABC上的射影AB长为4，则直线MA与平面关键能力综合练进阶训练第二层、选择题．如果a⊂α，b⊂α，l∩a＝A，l∩b＝B，那么下列关系成立的是()．l⊂αB．l∉α．l∩α＝A D．l∩α＝B．长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有()．2对B．3对．6对D．12对．两平面α，β平行，a⊂α，下列四个命题：a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；直线a与β内任何一条直线都不垂直；④a与β没有公共点．中正确的个数是()．1B．2．3D．4．直线c、d与异面直线a、b都相交，则c、d的位置关系是()．平行B．相交．异面D．相交于一点或异面．若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是()．α内的所有直线均与a异面．α内不存在与a平行的直线．α内的直线均与a相交．直线a与平面α有公共点．(易错题)与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是()．都平行．都相交．在两个平面内．至少与其中一个平面平行、填空题．若点A∈α，B∉α，C∉α，则平面ABC与平面α的位置关系是________．．在四棱锥PABCD中，各棱所在的直线互相异面的有________对．．如果空间的三个平面两两相交，则下列判断正确的是________(填序号)．不可能只有两条交线；必相交于一点；必相交于一条直线；必相交于三条平行线．、解答题0．(探究题)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中M，N分别是A1B1和BB1的中点，则下列直线、平面间的位置关系是什么？1)AM所在的直线与CN所在的直线的位置关系；2)CN所在的直线与平面ABCD的位置关系；3)AM所在的直线与平面CDD1C1的位置关系；4)平面11学科素养升级练进阶训练第三层．(多选)若两个平面相交，则分别在这两个平面内的两条直线可能的位置关系为()．平行B．异面．相交D．垂直．在三棱柱ABCA1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，且AD＝2，则直线AB到平面A1B1C1的距离是________．．(学科素养——直观想象)如图，ABCDA1B1C1D1是正方体，在图1中，E，F分别是C1D1，BB1的中点，画出图1，图2中有阴影的平面与平面ABCD的交线，并给出证明．1图211．1.2构成空间几何体的基本元素必备知识基础练．答案：A∈b，b⊂β，A∈β．解析：(1)点A在平面α内，点B不在平面α内，如图①；2)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上，如图②；3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q，如图③.．答案：D析：可借助长方体来判断．图，在长方体ABCDA′B′C′D′中，A′D′所在直线为a，AB所在直线为b，已知a和b 是异面直线，b和c是异面直线，则c可以是长方体ABCDA′B′C′D′中的B′C′，CC′，DD′.故a和c可以平行、相交或异面．．答案：(1)平行(2)异面(3)相交(4)异面析：(1)在长方体ABCDA1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，∴四边形A1BCD1为平行四边形，A1B∥D1C.2)直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内．3)直线D1D与直线D1C相交于点D1.4)直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内．．答案：B析：如图，在正方体ABCDA′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′在过BB′的平面ABB′A′内，故命题①不正确；AA′∥平面BCC′B′，BC⊂平面BCC′B′，但AA′不平行于BC，故命题②不正确；假设b与α相交，因为a∥b，所以a与α相交，这与a∥α矛盾，故b∥α，即命题③正确．故选B.．答案：C析：根据题意作图，把自然语言转化为图形语言，即可得出两平面的位置关系．如图所示．．答案：B析：如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的直线平行或异面，所以①错；如果一条直线与一个平面相交，在这个平面内作过交点的直线都与这条直线相交，有无数条，所以②正确；对于③显然有无数条；而④，也有可能相交，所以错误．．答案：A析：当两个平面相交时，一个平面内有无数条直线平行于它们的交线，即平行另一个平面，所以①②错误．．答案：垂直3析：由射影的定义知，MA⊥平面ABC，由勾股定理，得MA＝3，所以点M到平面ABC的距离为MA＝3.关键能力综合练．答案：A析：∵l∩a＝A又a⊂α，∴A∈l且A∈α.同理B∈l且B∈α.∴l⊂α.．答案：C析：如图所示，在长方体中没有与体对角线平行的棱，要求与长方体体对角线AC1异面的棱所在的直线，只要去掉与AC1相交的六条棱，其余的都与体对角线异面，∴与AC1异面的棱有BB1，A1D1，A1B1，BC，CD，DD1，∴长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有6对，故选C.．答案：B析：①错误，a不是与β内的所有直线平行，而是与β内的无数条直线平行，有一些是异面；②正确；③错误，直线a与β内无数条直线垂直；④根据定义，a与β没有公共点，正确．．答案：D析：已知直线a与b是异面直线，设直线c与直线d分别与两条异面直线a与直线b相交于点A，B，C，D，点B与点C重合时，两条直线c与d相交，当点B与点D不重合时，两条直线c与d异面．．答案：D析：若直线a不平行于平面α，则a∩α＝A或a⊂α，故D项正确．．答案：D析：一条直线与两个平面的交线平行，有两种情形，其一是分别与这两个平面平行，其二是在一个平面内且平行于另一个平面，符合至少与其中一个平面平行．．答案：相交析：∵点A∈α，B∉α，C∉α，平面ABC与平面α有公共点，且不重合，平面ABC与平面α的位置关系是相交．．答案：8析：以底边所在直线为准进行考察，因为四边形ABCD是平面图形，4条边在同一平面内，不可能组成异面直线，而每一边所在直线能与2条侧棱组成2对异面直线，所以共有4×2＝8(对)异面直线．．答案：①析：空间的三个平面两两相交，可能只有一条交线，也可能有三条交线，这三条交线可能交于一点．0．解析：(1)AM所在的直线与CN所在的直线异面；2)CN 所在的直线与平面ABCD 相交；3)AM 所在的直线与平面CDD 1C 1平行；4)平面ABCD 与平面CDD 1C 1相交．学科素养升级练．答案：ABCD析：平面α、β相交于直线l ，如图所示，a ⊂α，a ∥l ，b ⊂β，b ∥l ，此时a ∥b ；a ⊂α，c ⊂β，a 、c 异面；c ⊂β，d ⊂α，c 、d 相交；a ⊂α，c ⊂β，c ⊥α，a 与c 垂直． 以分别在这两个平面内的两条直线可能平行，也可能异面，也可能相交，也可能垂直． ．答案：2析：如图，取BC 的中点E ，连接AE ，则AE ⊥BC .各棱长为a ，则AE ＝32a ，DE ＝12a . 侧棱垂直于底面，∴DE ⊥平面ABC, DE ⊥AE ，AE 2＋DE 2＝AD 2＝22，∴a ＝2.BB 1⊥平面A 1B 1C 1，直线AB 到平面A 1B 1C 1的距离是BB 1＝2DE ＝a ＝2.．解析：在图1中，设N 为CD 的中点，连接NE ，NB ，则EN ∥BF ，∴B ，N ，E ，F 四点共面．∴EF 与NB 的延长线相交，设交点为M ，连接AM .∵M ∈EF ，且M ∈NB ，EF ⊂平面AEF ，NB ⊂平面ABCD ，∴M 是平面ABCD 与平面AEF 的公共点，又∵点A 是平面ABCD 和平面AEF 的公共点，∴AM 为两平面的交线．图2中，延长DC 到点M ，使CM ＝DC ，连接BM ，C 1M ，则C 1M ∥D 1C ∥A 1B ，∴M 在平面A 1BC 1内．∵M在平面ABCD内，∴M是平面A1BC1与平面ABCD的公共点，又B是平面A1BC1与平面ABCD的公共点，∴BM是平面A1BC1与平面ABCD的交线．1图2。
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1.1.1 构成空间几何体的基本元素
5分钟训练(预习类训练,可用于课前)
1.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，与对角线BD1异面的棱有( )
A.3条
B.4条
C.6条
D.8条
解析：把正方体的几条棱分为三类，在平面A1B1C1D1上的四条棱中有A1B1、B1C1与BD1异面，在平面ABCD上的四条棱中有AD、CD与BD1异面，上下两底面之间的四条棱中，有AA1、CC1与BD1是异面直线，故与BD1异面的棱共6条.
答案：C
2.飞机飞行表演在空中留下漂亮的“彩带”，用数学知识解释为__________________________.
答案：点运动成线
3.在长方体的表面中，互相平行的面共有_______________对.
答案：3
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.已知下列四个结论:
①铺得很平的一张白纸是一个平面;②平面是矩形或平行四边形的形状;③一个平面的面积可以等于1 m2;④两个平面叠在一起比一个平面厚.
其中正确结论的个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
解析：在立体几何中,平面是无限延展的,所以①③错误;通常我们画一个平行四边形或矩形来表示一个平面,但并不是说平面就是矩形或平行四边形,故②错;平面是没有厚度的,所以④错.
答案：A
2.下列说法正确的是( )
A.四边形是平面图形
B.有三个公共点的两个平面必重合
C.两两相交的三条直线必在同一个平面内
D.三角形是平面图形
解析：空间四边形不是平面图形，故A说法不正确；若三个公共点在一条直线上，则两个平面不一定重合，B也是错误的；C中两两相交的三条直线可能会经过同一点，此时三条直线不一定在同一个平面内，因此选D.
答案：D
3.异面直线是指( )
A.分别在两个平面内的两条直线
B.不同在某一平面内的两条直线
C.没有公共点的两条直线
D.不同在任何一个平面内的两条直线
解析：注意对异面直线概念的理解，区别B、D两种说法，C中两条平行线也没有公共点，所以错误.
答案：D
4.过平面外的一条直线且与这个平面垂直的平面有( )
A.一个
B.无数个
C.不存在
D.一个或无数个
解析：当这条直线与这个平面垂直时，经过这条直线与已知平面垂直的平面有无数个；当这条直线与这个平面不垂直时，则满足条件的平面只有一个.
答案：D
5.多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图1-1-1-1，正方体的一个顶点A在平面α内，其余顶点在α的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到α的距离分别为
1、2和4，P 是正方体的其余四个顶点中的一个，则P 到平面α的距离可能是:①3；②4；③5；④6；⑤7.
图1-1-1-1
以上结论正确的为_______________.（写出所有正确结论的编号）
解：如题图，B 、D 、A 1到平面α的距离分别为1、2、4，则DA 1的中点到平面α的距离为3，所以D 1到平面α的距离为6；BA 1的中点到平面α的距离为
25，所以B 1到平面α的距离为5；DB 的中点到平面α的距离为
23，所以C 到平面α的距离为3；CA 1的中点到平面α的距离为2
7，所以C 1到平面α的距离为7；而P 为C 、C 1、B 1、D 1中的一点，所以选①③④⑤. 答案：①③④⑤
30分钟训练(巩固类训练,可用于课后)
1.如图1-1-1-2，点P 是△ABC 所在平面外一点，连结PA 、PC ，则图中共有异面直线( )
图1-1-1-2
A.2对
B.3对
C.4对
D.6对
解析：由异面直线定义，可知图中异面的直线有PA 与BC ，PC 与AB ，故共有2对异面直线. 答案：A
2.平行于同一个平面的两条直线的位置关系是( )
A.平行
B.相交
C.异面
D.平行或相交或异面 答案：D
3.垂直于同一个平面的两个平面的位置关系是( )
A.互相平行
B.互相垂直
C.相交但不一定垂直
D.可能相交，也可能平行
解析：垂直于同一个平面的两个平面可能相交（包括垂直相交），也可能平行.
答案：D
4.若空间三个平面两两相交，则它们的交线条数是( )
A.1或2
B.2或3
C.1或3
D.1或2或3
解析：若三个平面经过同一条直线，则有1条交线；若三个平面不过同一条直线，则有3条交线（共点或互相平行）.
答案：C
5.点P 、Q 、R 、S 分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ 与RS 是异面直线的一个图是( )
图1-1-1-3
解析：据正方体的性质，不难发现A中PQ∥RS，B中PQ∥RS，D中SR和QP延长后必交于一点，属相交直线，而C中RS与PQ不同在任何一个平面内.
答案：C
6.一条直线与两条平行线中的一条异面，那么它与另一条的位置关系是( )
A.相交
B.异面
C.相交或异面
D.平行
解析：由题意a∥b，l与a异面，则l与b可能异面，还可能相交，故选C.
答案：C
7.经过平面α外一点可以作_____________条直线与α平行；若直线a∥平面α，则在α内与a平行的直线有_____________条.
解析：经过平面α外一点可以作无数条直线与平面α平行，而且这无数条直线在过该点的同一个平面内；若直线a∥平面α，则在α内与a平行的直线有无数条，而且这无数条直线相互平行.
答案：无数无数
8.正方体ABCD—A1B1C1D1中，平面AB1D1和平面BC1D的位置关系为_____________.
解析：画图或通过身边的模型来分析都可行，会发现这两个平面不论怎么样延展都是没有交点的，所以它们互相平行.
答案：平行
9.判断下列说法是否正确：
（1）如果两个平面平行，则一个平面内的直线平行于另一个平面.( )
（2）如果两个平面平行，则分别在两个平行平面内的两条直线平行.( )
解析：（1）根据两个平面平行及直线和平面平行的定义可知两个平面平行，其中一个平面内的直线必定平行于另一个平面.（2）分别在两个平行平面内的直线必定没有公共点，所以只能判定它们平行或异面.
答案：（1）√ （2）×
10.两个平面把空间分成几个部分?三个平面呢？
解析：两个平面划分空间的情况如图所示.
三个平面划分空间的情况比较复杂，可自己设计模型探索.
答案：两个平面将空间分成3或4部分，三个平面可以把空间分成4或6或7或8部分.。