北师大版七年级下册数学培优压轴题(含答案)

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七年级下压轴题专题训练北师大版

七年级下压轴题专题训练北师大版七年级数学下学期试题七年级下压轴题专题训练11．如图，四边形中，AB⊥BC，CD⊥BC，E为BC上一点，且AB=CE，CD=．求证：∠=90°；若EN平分∠交AD于N，试判断△的形状并证明；在问的条件下，猜想：△与四边形的面积有何数量关系？并说明理由．证明：∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠=∠=90°，∵在△和△中，AB=CE ∠=∠ CD= ，∴△≌△，∴∠=∠，∵∠+∠=90°，∴∠+∠=90°，∴∠=90°；解：△为等腰直角三角形，证明：∵△≌△，∴AE=DE，∠=∠，∵∠=90°，∴△为等腰直角三角形，∵EN平分∠，∴∠=∠=45°，EN⊥AD，∴∠=∠，=EN，∵在△和△中，AB=EC ∠=∠ =EN ，∴△≌△，∴NB=NC，∠=∠，∵∠+∠=90°，∴∠+∠=90°，∴△为等腰直角三角形；解：2S△=S梯形．理由如下：作NM⊥BC，∵△为等腰直角三角形，EN平分∠，∴N点为AD的中点，∵AB⊥BC，CD⊥BC，NM⊥BC，∴AB∥CD∥MN，∴M点为BC的中点，1∴MN为梯形的中位线，NE⊥BC，∴S△=BC•NE•1/ 2 ， S梯形=BC•NE，∴2S△=S梯形．2．已知x，y满足=-5(y-求；x+y-xy．解：∵=-5，∴x-4y=-5y+6，∴x2+y2=6，∵2x+4=0，∴2xy-2x+2x-4=0，∴xy=2， 2=x2+y2-2xy=6-4=2；x4+y4-x2y2=2-2x2y2-x2y2 =2-3x2y2=36-3×4=24．3．如图1，在等腰梯形中，BC∥AD，BC=8，AD=20，AB=DC=10，点P从A点出发沿AD 边向点D移动，点Q自A点出发沿A→B→C的路线移动，且PQ∥DC，若AP=x，梯形位于线段PQ右侧部分的面积为S．分别求出点Q位于AB、BC上时，S与x之间函数关系式，并写出自变量x的取值范围；当线段PQ将梯形分成面积相等的两部分时，x的值是多少？在的条件下，设线段PQ 与梯形的中位线EF交于O点，那么OE与的长度有什么关系？借助备用图2说明理由；并进一步探究：对任何一个梯形，当一直线l经过梯形中位线的中点并满足什么条件时，其一定平分梯形的面积？解：等腰梯形中，∠A=∠D，因为PQ∥DC，所以QP=AQ，当x≤12时，=1 2 x×2 3 x=1 3 x2，当x＞12时，S梯形=+S平行四边形=48+×8，所以S△= 1 3 x2(x≤12) S梯形=S△+S平行四边形=48+(x-12)×8(12＜x≤20) ；S梯形=1 2 ×8=，当线段PQ将梯形分成面积相等的两部分时，即48+•8=56，解之得，x=13．如图所示，①过点B作BM∥PQ，由得，PD=7=OE，在△中，FN=1 2 =6，=PM=1，所以=7=OE．222224422261)，2x(y-1)+4( x-1)=0． 52研究发现，当直线L经过梯形中位线的中点且与较短的底相交时，它一定平分梯形的面积．4．平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系如图a，若AB∥CD，点P在AB、CD 外部，则有∠B=∠，又因∠是△的外角，故∠=∠+∠D，得∠=∠B-∠D．将点P移到AB、CD内部，如图b，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则∠﹑∠B﹑∠D﹑∠之间有何数量关系？根据的结论求图d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数． 5．已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△和△，且CA=CD，CB=CE，∠=∠，直线AE与BD交于点F，如图1，若∠=60°，则∠= ；如图2，若∠=90°，则∠= ；如图3，若∠=°，则∠= ；如图4，若∠=α，则∠= ．3解：如图1，CA=CD，∠=60° 所以△是等边三角形∵CB=CE，∠=∠=60° 所以△是等边三角形∵AC=DC，∠=∠+∠，∠=∠+∠ 又∵∠=∠ ∴∠=∠ ∵AC=DC，CE=BC ∴△≌△ ∴∠=∠∠是△的外角∴∠=∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠=° 如图2，∵AC=CD，∠=∠=90°，EC=CB ∴△≌△ ∴∠=∠，又∵∠=∠，∠=90° ∴∠=90° ∴∠=90°如图3，∵∠=∠∴∠-∠=∠-∠ ∴∠=∠ 又∵CA=CD，CE=CB ∴△≌△∴∠=∠∵∠+∠=°-∠=°-=° ∴∠+∠=° ∴∠=60°故填°，90°，60° ∵∠=∠∴∠+∠=∠+∠ ∴∠=∠ ∴∠=∠ ∴∠=∠∴∠=°-∠=°-∠=°-α．6、如图1所示：∥DN，AE、DE分别平分∠和∠，并交于E点过点E的直线分别交、DN于B、C 如图2，当点B、C分别位于点AD的同侧时，猜想AD、AB、CD之间的存在的数量关系：_______________________________4试证明你的猜想若点B、C分别位于点AD的两侧时，试写出AD、AB、CD之间的关系，并选择一个写出证明过程图1图26、(1)AD=AB+CD………(2)证明：在AD上截取AF=AB连接EF∵AE平分∠∴∠=∠在△和△中AB=AF ∠=∠ AE=AE∴△≌△…∴∠=∠ ∵ AB∥CD ∴∠+∠=°又∵∠+∠=° ∴∠=∠C ∵DE平分∠∴∠=∠ 在△和△中∠=∠C ∠=∠ DE=DE∴△≌△… ∴DF=CD ∴AF+DF=AB+CD 即AD=AB+CD 证明：第一种情况：当点B位于点A左侧，点C位于点D右侧时，DC=AD+AB 在CD上截取DF=AD连接EF5∵DE平分∠ ∴∠=∠ 在△和△中DA=DF ∠=∠ DE=DE∴△≌△ ∴EA=EF ∠=∠ ∵AE平分∠ ∴∠=∠ ∴∠=∠ 又∵∠+∠=°∠+∠=° ∴∠=∠ ∵∥DN ∴∠=∠ 在△和△中∠=∠∠=∠ EA=EF∴△≌△ ∴AB=FC ∵DC=DF+FC∴DC=AD+AB第二种情况：当点B位于点A右侧，点C位于点D左侧时，AB=AD+CD………………5分在AB 上截取AF=AD连接EF ∵AE平分∠ ∴∠=∠ 在△和△中AF=AD∠=∠ AE=AE∴△≌△ ∴EF=ED ∴∠=∠ ∵DE平分∠ ∴∠=∠ ∴∠=∠ 又∵∠+∠=° ∠+∠=° ∴∠=∠ ∵∥DN ∴∠=∠ 在△和△中∠=∠∠=∠ DE=EF ∴△≌△ ∴CD=BF ∵AB=AF+FB∴AB=AD+CD67、如图，在Rt△中，∠C=90°，AC=BC，点P是斜边中点，将一个等腰直角三角板绕点P旋转，三角板的两条直角边与AC、BC交于点D、E，连结PC．求证：PC平分∠ ；图中有个等腰直角三角形，分别是；求证：PD=PE．CP平分∠∵AB=AC ，点P是斜边中点∴CP平分∠(三线合一) 3个分别为：△、△、△78、如图，在△中，AD平分∠若AC=BC，∠B︰∠C=2︰1，试写出图中的所有等腰三角形，并给予证明．若＝AC，求∠B︰∠C 的比值．等腰三角形有3个：△，△，△ 证明：∵AC=BC ∴△是等腰三角形∴∠B=∠∵∠B︰∠C=2︰1 ∠B+∠+∠C=° ∴∠B=∠=72°，∠C=36°∵∠=∠=∠=36° ∴∠B=∠=72° ∠=∠C=36°∴△和△是等腰三角形方法1：在AC上截取AE=AB连接DE 又∠=∠，AD＝AD ∴△≌△∴∠=∠B ， BD＝DE ∵AB＋BD＝AC ∴BD＝EC ∴DE＝EC ∴∠=∠C ∴∠B=∠=∠+∠C=2∠C 即∠B︰∠C=2︰1方法2：延长AB到E，使AE=AC连接DE证明△≌△再类似证明得到∠B=2∠=2∠C利用“截长法”或“补短法”添加辅助线，将 AC－AB或AB＋BD转化成一条线段89、已知：如图，中，，于，平分，且于，与相交于点。

北师大版数学七年级下册压轴大题练习(含解析)

北师大版数学七年级下册压轴大题练习1、如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．（1）当∠BDA＝115°时，∠EDC＝°，∠DEC＝°（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数．若不可以，请说明理由．2、【问题背景】如图1，在等边△ABC中，D、E分别为边BC、AC上任意一点，连接AD、BE，AD与BE相交于点O，且BD＝CE．请直接写出线段AD与BE之间的数量关系：；∠AOE＝．【推广探究】如图2，在等边△ABC中，P、M分别为边AB、AC上的点，且AM＝BP，过点P作PQ∥BE交AC于点Q，过点M作MN∥AD交BC于点N，PQ与MN交于点F．（1）∠MFQ＝；（2）求证：PQ＝MN．【深入探究】如图3，在“推广探究”的条件下，令四边形APFM的周长为C1，四边形CNFQ的周长为C2，MF＝a，FQ＝b，FN＝c，则C1﹣C2＝（请用含有a、b的代数式表示）．3、如图（1），AB＝7cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为A、B，AC＝5cm．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．（1）AP＝cm，BP＝cm（用含t的代数式表示）；（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ 是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；（3）如图（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q的运动速度为x cm/s，其它条件不变，当点P、Q运动到何处时有△ACP与△BPQ 全等，求出相应的x的值．4、在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为AC上一动点．（1）如图1，点E、点F均是射线BD上的点并且满足AE＝AF，∠EAF＝90°．求证：△ABE≌△ACF；（2）在（1）的条件下，求证：CF⊥BD；（3）由（1）我们知道∠AFB＝45°，如图2，当点D的位置发生变化时，过点C作CF⊥BD于F，连接AF．那么∠AFB的度数是否发生变化？请证明你的结论．5、如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CF，垂足为F．（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）若AC＝10，求四边形ABCD的面积；（3）求∠F AE的度数．6、已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，点C重合）．以AD为边作等边三角形ADE，连接CE．（1）如图1，当点D在边BC上时．①求证：△ABD≌△ACE；②直接判断结论BC，DC，CE的关系__________（不需证明）；（2）如图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，请写出BC，DC，CE之间存在的数量关系，并写出证明过程．7、【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是．A．SSS B．SAS C．AAS D．HL（2）求得AD的取值范围是．A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F 且AE＝EF求证：AC＝BF．8、如图1，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD、BE相交于点M，连接CM．（1）求证：BE＝AD；（2）用含α的式子表示∠AMB的度数（直接写出结果）；（3）当α＝90°时，取AD，BE的中点分别为点P、Q，连接CP，CQ，PQ，如图2，判断△CPQ的形状，并加以证明．9、如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，D为△ABC边AC上一点，BC＝CD，点M在BC的延长线上，CE平分∠ACM，且AC＝CE．连接BE交AC于F，G 为边CE上一点，满足CG＝CF，连接DG交BE于H．（1）△ABC≌△EDC吗？为什么？（2）求∠DHF的度数；（3）若EB平分∠DEC，则BE平分∠ABC吗？请说明理由．10、已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上的一点，BE＝BA．（1）AD与CB相等吗？请证明你的结论．（2）若∠BCD＝75°，求∠ACE的度数；（3）若∠BCE＝α，∠ACE＝β，则α、β之间满足一定的数量关系，请直接写出这个结论．11、问题情境：如图1，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，可知：∠BAD＝∠C（不需要证明）；特例探究：如图2，∠MAN＝90°，射线AE在这个角的内部，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，且AB＝AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D．证明：△ABD≌△CAF；归纳证明：如图3，点B，C在∠MAN的边AM、AN上，点E，F在∠MAN 内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠BAC．求证：△ABE≌△CAF；拓展应用：如图4，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD ＝2BD，点E、F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC．若△ABC的面积为15，则△ACF与△BDE的面积之和为．12、如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AC边上一动点，CE⊥BD于E．（1）如图（1），若BD平分∠ABC时，①求∠ECD的度数；②延长CE交BA的延长线于点F，补全图形，探究BD与EC的数量关系，并证明你的结论；（2）如图（2），过点A作AF⊥BE于点F，猜想线段BE，CE，AF之间的数量关系，并证明你的猜想．13、（1）如图①，已知：△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥m于D，CE⊥m于E，求证：DE＝BD+CE；（2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：△ABC中，AB＝AC，D、A、E 三点都在直线m上，并且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，α为任意锐角或钝角，请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）应用：如图③，在△ABC中，∠BAC是钝角，AB＝AC，∠BAD＞∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，直线m与BC的延长线交于点F，若BC＝2CF，△ABC的面积是12，求△ABD与△CEF的面积之和．14、如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是AB边上的一动点．（1）如图1，连接DC并延长使CE＝CD，过点E作EF∥AB交AC的延长线于点F，试说明：AD＝FE；（2）如图2，当点D运动到AB中点时，点E是DC延长线上的一点，连接AE、BE，BE与AC延长交于点Q．①试说明：∠CBE＝∠CAE；②点P是AC延长线上的点，且PE＝BE，连接BP，若△BPQ的面积为26，AE＝8，求EQ的长．15、△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，点D在AB边上（不与点A、B重合），以CD为腰作等腰直角△CDE，∠DCE＝90°．（1）如图1，作EF⊥BC于F，求证：△DBC≌△CFE；（2）如图1，在（1）的条件下，连接AE交BC于M，求的值；（3）如图2，过点E作EH⊥CE交CB的延长线于点H，过点D作DG⊥DC，交AC于点G，连接GH当点D在边AB上运动时，式子的值会发生变化吗？若不变，求出该值；若变化请说明理由．16、如图，在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线．动点D在直线AM上时，以CD为一边在CD的下方作等边△CDE，连结BE．（1）求∠CAM的度数；（2）若点D在线段AM上时，求证：△ADC≌△BEC；（3）当动点D在直线AM上时，设直线BE与直线AM的交点为O，试判断∠AOB是否为定值？并说明理由．北师大版数学七年级下册压轴大题练习参考答案1、解：（1）25°，115°（2）当DC＝2时，△ABD≌△DCE，理由如下：∵∠BAD+∠ADB＝140°∠CDE+∠ADB＝140°∴∠BAD＝∠CDE在△ABD和△DCE 中，∠B＝∠C＝40°，AB＝DC＝2，∠BAD＝∠CDE∴△ABD≌△DCE（3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形，理由如下：当∠BDA＝110°时，∵∠B＝∠C＝40°∴∠BAD＝180°﹣40°﹣110°＝30°∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°∴∠DAC＝100°﹣30°＝70°∴∠AED＝180°﹣40°﹣70°＝70°∴∠DAC＝∠AED∴△ADE的形状是等腰三角形当∠BDA＝80°时，∴∠BAD＝180°﹣40°﹣80°＝60°∴∠DAC＝100°﹣60°＝40°∴∠DAC＝∠ADE＝40°∴△ADE的形状是等腰三角形2、【问题背景】AD＝BE；60°【推广探究】（1）60（2）证明：∵∠APQ+∠P AQ+∠PQA＝180°∠MFQ+∠MQF+∠FMQ＝180°∠P AQ＝∠MFQ＝60°∴∠APQ＝∠FMQ∵AM＝BP∴AP＝CM在△P AQ和△MCN中，∠P AQ＝∠C，AP＝CM，∠APQ＝∠FMQ ∴△P AQ≌△MCN∴PQ＝MN【深入探究】2a﹣2b3、解：（1）2t，7﹣2t．（2）△CAP≌△PBQ，PC⊥PQ．证明：由题意，得t＝1时，AP＝BQ＝2（cm），BP＝7﹣2＝5（cm）∵AC＝5（cm），∠A＝∠B＝90°在△CAP和△PBQ中，BP＝AC＝5，∠A＝∠B，AP＝BQ∴△CAP≌△PBQ∴∠ACP＝∠BPQ∵∠ACP+∠CP A＝90°∴∠BPQ+∠CP A＝90°∴PC⊥PQ（3）①当AC＝PB，AP＝BQ时，△ACP与△BPQ全等此时AC＝PB＝5，AP＝BQ＝7﹣5＝2（cm）∴AP＝BQ＝2（cm）x＝2cm/s②当AC＝BQ，AP＝PB时，△ACP与△BPQ全等此时AC＝BQ＝5，AP＝PB＝（cm），∴AP＝2t＝（cm）解得t＝s∴BQ＝x＝5（cm）∴x＝cm/s4、（1）证明：∵∠BAC＝∠BAE+∠EAD＝90°∠EAF＝∠CAF+∠EAD＝90°∴∠BAE＝∠CAF在△ABE和△ACF中，AB＝AC，∠BAE＝∠CAF，AE＝AF ∴△ABE≌△ACF（1）证明：∵△ABE≌△ACF∴∠ABE＝∠ACF又∵∠ADB＝∠CDF∴∠DFC＝∠BAD＝90°∴CF⊥BD（2）不变，理由如下：过A作AE⊥AF 交BM于E∵∠BAC＝∠BAE+∠EAD＝90°∠EAF＝∠CAF+∠EAD＝90°∴∠BAE＝∠CAF由题意，得∠DFC＝∠BAC＝90°又∵∠ADB＝∠CDF∴∠ABD＝∠ACF在△ABE和△ACF中，∠ABD＝∠ACF，AB＝AC，∠BAE＝∠CAF ∴△ABE≌△ACF∴AE＝AF又∵∠EAF＝90°∴∠AFB＝∠AEF＝45°5、证明：（1）∵∠BAD＝∠CAE＝90°∴∠BAD﹣∠CAD＝∠CAE﹣∠CAD∴∠BAC＝∠DAE在△ABC和△ADE中，AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，AC＝AE∴△ABC≌△ADE（2）∵△ABC≌△ADE∴AE＝AC＝10S△ABC＝S△ADE∴S 四边形ABCD ＝S △ABC +S △ACD ＝S △ADE +S △ACD ＝S △ACE ＝×10×10＝50（3）∵AF ⊥BC∴∠AFC ＝90°∵∠CAE ＝90°，AC ＝AE∴∠E ＝∠ACE ＝45°∵△ABC ≌△ADE∴∠BCA ＝∠E ＝45°∴∠F AC ＝90°﹣45°＝45°∴∠F AE ＝∠CAE+∠F AC ＝90°+45°＝135°6、解：（1）①证明：∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形∴AB ＝BC ＝AC ，AD ＝DE ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ＝60°∴∠BAC ﹣∠DAC ＝∠DAE ﹣∠DAC即∠BAD ＝∠EAC在△ABD 和△ACE 中，AB ＝AC ，∠BAD ＝∠EAC ，AD ＝AE ∴△ABD ≌△ACE②BC ＝CE +CD（2）BC +CD ＝CE证明：∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形∴AB ＝BC ＝AC ，AD ＝DE ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ＝60°∴∠BAC +∠DAC ＝∠DAE +∠DAC即∠BAD ＝∠EAC在△ABD和△ACE中，AB＝AC，∠BAD＝∠EAC，AD＝AE ∴△ABD≌△ACE∴BD＝CE∵BD＝BC+CD∴CE＝BC+CD7、（1）B（2）C（3）证明：如图，延长AD到M，使AD＝DM，连BM∵AD是△ABC中线∴CD＝BD∵在△ADC和△MDB中，∴△ADC≌△MDB∴BM＝AC，∠CAD＝∠M∵AE＝EF∴∠CAD＝∠AFE＝∠BFD∴∠BFD＝∠M∴BF＝BM＝AC8、（1）证明：∵∠ACB＝∠DCE＝α∴∠ACD+∠BCD＝∠BCE+∠BCD即∠ACD＝∠BCE在△ACD和△BCE中，AC＝CB，∠ACD＝∠BCE，CD＝CE ∴△ACD≌△BCE∴BE＝AD（2）如图，∵△ACD≌△BCE∴∠CAD＝∠CBE在△AOC和△BOM中，∠CAD＝∠CBE，∠AOC＝∠BOM ∴∠AMB＝∠ACB＝α（3）证明：如图，∵AD，BE的中点分别为点P、Q∴AP＝DP，BQ＝BE∵△ACD≌△BCE（已证）∴∠CAP＝∠CBQBE＝AD∴AP＝BQ在△ACP和△BCQ中，CA＝CB，∠CAP＝∠CBQ，AP＝BQ ∴△ACP≌△BCQ∴CP＝CQ，∠ACP＝∠BCQ∵∠ACB＝∠ACP+∠PCB＝90°∴∠BCQ+∠PCB＝90°即∠PCQ＝90°∴△CPQ为等腰直角三角形9、解：（1）△ABC≌△EDC．理由如下：∵CA平分∠BCE∴∠ACB＝∠ACE在△ACE和△BED中，BC＝CD，∠ACB＝∠ACE，AC＝CE ∴△ABC≌△EDC（2）∵∠ACB＝60°,CA平分∠BCE∴∠ACB＝∠ACE＝∠ECM＝60°在△CDG和△CBF中，FC＝CG，∠FCB＝∠DCG＝60°，BC＝CD ∴△CDG≌△CBF∴∠CBF＝∠CDG∵∠DFH＝∠BFC∴∠DHF＝∠BCF＝60°（2）BE平分∠ABC．理由如下：∵EB平分∠DEC∴∠DEH＝∠BEC∵∠ECM＝∠BEC+∠CBE＝60°∠DHF＝∠DEH+∠EDG＝60°∴∠CBE＝∠EDG由（2）知∠CBF＝∠CDG∴∠EDG＝∠CDG＝∠CBE∴∠EDC＝2∠CDG＝2∠CBE由（1）知△ABC≌△EDC∴∠ABC＝∠EDC＝2∠CBE∴∠ABE＝∠CBE∴BE平分∠ABC10、解：（1）AD≠CB，理由如下：∵BD为△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠CBE在△ABD和△EBC中∴△ABD≌△EBC∴AD＝CE由题意，得CB≠CE∴AD≠CB（2）∵BD＝BC∴∠BCD＝∠BDC＝75°∴∠DBC＝∠ABD＝180°﹣75°﹣75°＝30°∵△ABD≌△EBC∴∠BAD＝∠BEC在△ABD和△CDE中∠BAD＝∠DEC，∠ADB＝∠EDC∴∠ACE＝∠ABD＝30°（3）由（1）得，△ABD≌△EBC∴∠BAD＝∠BEC在△ABD和△CDE中∠BAD＝∠DEC，∠ADB＝∠EDC∴∠ACE＝∠ABD＝β∵BD为△ABC的角平分线∴∠DBC＝∠ABD＝β∵BD＝BC，∠BCE＝α∴∠BCD＝∠BDC＝α﹣β∴在△DBC中，β+（α﹣β）+（α﹣β）＝180°∴2α﹣β＝180°11、证明：图②∵CF⊥AE，BD⊥AE，∠MAN＝90°∴∠AFC＝∠BDA＝90°∴∠ABD+∠BAD＝90°∠CAF+∠BAD＝90°∴∠ABD＝∠CAF在△ABD和△CAF中∴△ABD≌△CAF图③∵∠1＝∠2＝∠BAC∠1＝∠BAE+∠ABE∠BAC＝∠BAE+∠CAF∴∠ABE＝∠CAF∠AEB＝∠AFC在△ABE和△CAF中，∠AEB＝∠AFC，∠ABE＝∠CAF，AB＝AC ∴△ABE≌△CAF图④512、解：（1）①∵∠BAC＝90°，AB＝AC∴∠CBA＝45°∵BD平分∠ABC∴∠DBA＝∠DBC＝22.5°∵CE⊥BD∴∠CED＝∠BAD＝90°又∵∠CDE＝∠BDA∴∠ECD＝∠DBA＝22.5°②BD＝2CE．证明：如图1∵BD平分∠ABC，CE⊥BD∠CBE＝∠FBE在△CBE与△FBE中，，BE＝BE，∠CEB＝∠FEB＝90°∴△CBE≌△FBE∴CE＝FE在△ABD与△ACF中，∠DBA＝∠ACF，∠BAD＝∠CAF＝90°，BA＝AC ∴△ABD≌△ACF∴BD＝CF＝2CE（2）结论：BE﹣CE＝2AF证明：如图（2），过A作AH⊥AE，交BE于H∴∠HAE＝90°∴∠HAC+∠CAE＝90°∠HAC+∠BAH＝90°∴∠BAH＝∠CAE在△ABH与△ACE中，∠BAH＝∠CAE，BA＝CA，∠HBA＝∠ECA ∴△ABH≌△ACE∴CE＝BH，AH＝AE∴△AEH是等腰直角三角形又∵AF⊥BE∴EF＝HF∴BE﹣CE＝HE＝2AF13、（1）证明：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m∴∠BDA＝∠CEA＝90°∵∠BAC＝90°∴∠ABD+∠BAD＝90°∠CAE+∠BAD＝90°∴∠ABD＝∠CAE在△ADB和△CEA中，∠ABD＝∠CAE，∠BDA＝∠CEA，BA＝CA ∴△ADB≌△CEA∴AE＝BD，AD＝CE∴DE＝AE+AD＝BD+CE（2）解：成立；理由如下∵∠BDA ＝∠BAC ＝α∴∠BAD +∠CAE+α＝180°∠BAD +∠DBA+α＝180°∴∠CAE ＝∠ABD在△ADB 和△CEA 中，∠ABD ＝∠CAE ，∠BDA ＝∠CEA ，BA ＝CA ∴△ADB ≌△CEA∴AE ＝BD ，AD ＝CE∴DE ＝AE +AD ＝BD +CE（3）解：∵∠BAD ＞∠CAE ，∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC∠BAD +∠CAE+∠BAC ＝180°∠BAD +∠ABD+∠BDA ＝180°∴∠CAE ＝∠ABD在△ABD 和△CEA 中，∠ABD ＝∠CAE ，∠BDA ＝∠CEA ，BA ＝CA ∴△ABD ≌△CEA∴S △ABD ＝S △CEA如图，过A 作AG 垂直BF 于G则S △ABC ＝BC •AG ，S △ACF ＝CF •AG又∵BC ＝2CF∴S △ACF ＝S △ABC ＝×12＝6∴S △ACF ＝S △CEF +S △CEA ＝6∵S △ABD ＝S △CEA∴S △CEF +S △ABD ＝6∴△ABD与△CEF的面积之和为614、（1）证明：∵EF∥AB∴∠A＝∠F，在△ACD和△FCE中，∠A＝∠F，∠ACD＝∠FCE，CE＝CD ∴△ACD≌△FCE∴AD＝FE（2）①证明：∵∠ACB＝90°，AC＝BC ，D为AB中点∴AD＝DB，CD⊥AB∴∠CAB＝∠CBACD垂直平分AB∴EA＝EB∴∠EAB＝∠EBA∴∠EAB﹣∠CAB＝∠EBA﹣∠CBA∴∠CBE＝∠CAE②解：∵EA ＝EB ，EB ＝EP∴EP ＝EB ＝EA ＝8∴∠EAP ＝∠EP A∵∠CBE ＝∠CAE∴∠CBE ＝∠EP A∵∠BQC ＝∠PQE∴∠PEB ＝∠PCB ＝90°∴S △BEP ＝×8×8＝32∵S △BPQ ：S △BEP ＝26：32＝13：16∴BQ ：BE ＝13：16∵BE ＝8∴BQ ＝∴EQ ＝8﹣＝ 15、（1）证明：由题意，得CD ＝CE ，∠DCE ＝∠DCB +∠ECF ＝90° ∵EF ⊥BC∴∠CEF +∠ECF ＝90°∴∠DCB ＝∠CEF在△DBC 和△CEF 中，∠DBC ＝∠CFE ＝90°，∠DCB ＝∠CEF ，CD ＝CE ∴△DBC ≌△CFE（2）解：如图1，连AE 交BC 于M∵△DBC≌△CFE∴BD＝CF，BC＝EF∵△ABC为等腰直角三角形，∴AB＝BC∴AB＝EF，AD＝BF在△ABM和△EFM中，∠AMB＝∠EMF，∠ABM＝∠EFM，AB＝EF ∴△ABM≌△EFM∴BM＝MF∴BF＝2BM＝2MF∴AD＝2MF∴（3）解：不变．＝2，理由如下：如图，在EH上取EQ＝DG∵DG⊥DC∴∠CDG＝90°在△CDG和△CEQ中，EQ＝DG，∠CDG＝∠CEQ＝90°，CD＝CE ∴△CDG≌△CEQ∴CG＝CQ，∠DCG＝∠ECQ∵∠DCG+∠DCB＝45°∴∠ECQ+∠DCB＝45°∴∠HCQ＝90°- 45°＝45°∴∠HCQ＝∠HCG＝45°在△HCG和△HCQ中，CG＝CQ，∠HCQ＝∠HCG，HC＝HC ∴△HCG≌△HCQ∴HG＝HQ∴16、解：（1）∵△ABC是等边三角形∴∠BAC＝60°∵线段AM为BC边上的中线∴∠CAM＝∠BAC＝30°（2）∵△ABC与△DEC为等边三角形∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°∴∠DCB+∠ACD＝60°∠DCB+∠BCE＝60在△ADC和△BEC中，CD＝CE，∠ACD＝∠BCE，AC＝BC ∴△ACD≌△BCE（3）∠AOB是定值60°，理由如下：如图，当D在线段AM上时∵△ACD≌△BCE （已证明）∴∠CBE＝∠CAD＝30°∵∠ABC＝60°∴∠ABO＝60°+30°＝90°又∵∠CAM＝∠BAM＝30°∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°如图2，当D在线段AM的延长线上时∵△ABC与△DEC都是等边三角形∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°∴∠DCB+∠ACB＝60°∠DCB+∠DCE＝60°在△ACD和△BCE中，CD＝CE，∠ACD＝∠BCE，AC＝BC ∴△ACD≌△BCE∴∠CBE＝∠CAD＝30°∴∠ABO＝60°+30°＝90°∵线段AM为BC边上的中线∴∠BMO＝90°∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°如图3，当D在线段MA的延长线上时∵△ABC与△DEC都是等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°∴∠ACD+∠ACE＝60°∠BCE+∠ACE＝60°∴∠ACD＝∠BCE在△ACD和△BCE中，CD＝CE，∠ACD＝∠BCE，AC＝BC ∴△ACD≌△BCE∴∠CBE＝∠CAD又∵∠CAM＝∠BAM＝30°∴∠CBE＝∠CAD＝180°﹣30°＝150°∴∠CBO＝180°﹣150°＝30∵线段AM为BC边上的中线∴∠BMO＝90°∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°综上，当动点D在直线AM上时，∠AOB是定值，∠AOB＝60°．。

期末复习(压轴题49题)—2023-2024学年七年级数学下学期期末考点(北师大版)(解析版)

z 期末复习（压轴题49题20个考点）一．规律型：数字的变化类（共1小题）1．为了求1+2+22+23+…+22011+22012的值，可令S ＝1+2+22+23+…+22011+22012，则2S ＝2+22+23+24+…+22012+22013，因此2S ﹣S ＝22013﹣1，所以1+22+23+…+22012＝22013﹣1．仿照以上方法计算1+5+52+53+…+52012的值是（）A ．52013﹣1B ．52013+1C ．D ．【答案】D【解答】解：令S ＝1+5+52+53+ (52012)则5S ＝5+52+53+…+52012+52013，5S ﹣S ＝﹣1+52013，4S ＝52013﹣1，则S ＝．故选：D ．二．同底数幂的乘法（共1小题） 2．阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22013的值．解：设S ＝1+2+22+23+24+…+22012+22013，将等式两边同时乘2得：2S ＝2+22+23+24+25+…+22013+22014 将下式减去上式得2S ﹣S ＝22014﹣1即S ＝22014﹣1即1+2+22+23+24+…+22013＝22014﹣1请你仿照此法计算：（1）1+2+22+23+24+…+210（2）1+3+32+33+34+…+3n （其中n 为正整数）．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设S ＝1+2+22+23+24+ (210)将等式两边同时乘2得：2S ＝2+22+23+24+…+210+211，将下式减去上式得：2S ﹣S ＝211﹣1，即S ＝211﹣1，则1+2+22+23+24+…+210＝211﹣1；z （2）设S ＝1+3+32+33+34+…+3n ①，两边同时乘3得：3S ＝3+32+33+34+…+3n +3n +1②，②﹣①得：3S ﹣S ＝3n +1﹣1，即S ＝（3n +1﹣1），则1+3+32+33+34+…+3n ＝（3n +1﹣1）．三．多项式乘多项式（共1小题）3．如图，正方形卡片A 类，B 类和长方形卡片C 类若干张，如果要拼一个长为（a +2b ），宽为（a +b ）的大长方形，则需要C 类卡片张．【答案】见试题解答内容【解答】解：（a +2b ）（a +b ）＝a 2+3ab +2b 2．则需要C 类卡片3张．故答案为：3．四．完全平方公式（共3小题）4．已知a ﹣b ＝b ﹣c ＝，a 2+b 2+c 2＝1，则ab +bc +ca 的值等于．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵a ﹣b ＝b ﹣c ＝，∴（a ﹣b ）2＝，（b ﹣c ）2＝，a ﹣c ＝， ∴a 2+b 2﹣2ab ＝，b 2+c 2﹣2bc ＝，a 2+c 2﹣2ac ＝， ∴2（a 2+b 2+c 2）﹣2（ab +bc +ca ）＝++＝， ∴2﹣2（ab +bc +ca ）＝， ∴1﹣（ab +bc +ca ）＝， ∴ab +bc +ca ＝﹣＝﹣．故答案为：﹣．z 5．请看杨辉三角（1），并观察下列等式（2）：根据前面各式的规律，则（a +b ）6＝．【答案】见试题解答内容【解答】解：（a +b ）6＝a 6+6a 5b +15a 4b 2+20a 3b 3+15a 2b 4+6ab 5+b 6故本题答案为：a 6+6a 5b +15a 4b 2+20a 3b 3+15a 2b 4+6ab 5+b 66．回答下列问题（1）填空：x 2+＝（x +）2﹣ ＝（x ﹣）2+（2）若a +＝5，则a 2+＝；（3）若a 2﹣3a +1＝0，求a 2+的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）2、2．（2）23．（3）∵a ＝0时方程不成立，∴a ≠0，∵a 2﹣3a +1＝0两边同除a 得：a ﹣3+＝0，移项得：a +＝3，∴a 2+＝（a +）2﹣2＝7．五．平方差公式的几何背景（共1小题）7．如图，边长为m +4的正方形纸片剪出一个边长为m 的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形，若拼成的矩形一边长为4，则另一边长为．z【答案】见试题解答内容【解答】解：设拼成的矩形的另一边长为x ，则4x ＝（m +4）2﹣m 2＝（m +4+m ）（m +4﹣m ），解得x ＝2m +4．故答案为：2m +4．六．整式的混合运算（共1小题）8．7张如图1的长为a ，宽为b （a ＞b ）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD 内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S ，当BC 的长度变化时，按照同样的放置方式，S 始终保持不变，则a ，b 满足（）A ．a ＝bB ．a ＝3bC ．a ＝bD ．a ＝4b 【答案】B 【解答】解：左上角阴影部分的长为AE ，宽为AF ＝3b ，右下角阴影部分的长为PC ，宽为a ，∵AD ＝BC ，即AE +ED ＝AE +a ，BC ＝BP +PC ＝4b +PC ，∴AE +a ＝4b +PC ，即AE ﹣PC ＝4b ﹣a ，∴阴影部分面积之差S ＝AE •AF ﹣PC •CG ＝3bAE ﹣aPC ＝3b （PC +4b ﹣a ）﹣aPC ＝（3b ﹣a ）PC +12b 2﹣3ab ，则3b ﹣a ＝0，即a ＝3b ．解法二：既然BC 是变化的，当点P 与点C 重合开始，然后BC 向右伸展，设向右伸展长度为X ，左上阴影增加的是3bX ，右下阴影增加的是aX ，因为S 不变，∴增加的面积相等，z ∴3bX ＝aX ，∴a ＝3b ．故选：B ．七．函数的图象（共4小题）9．如图，某电信公司提供了A ，B 两种方案的移动通讯费用y （元）与通话时间x （分）之间的关系，则下列结论中正确的有（）（1）若通话时间少于120分，则A 方案比B 方案便宜20元；（2）若通话时间超过200分，则B 方案比A 方案便宜12元；（3）若通讯费用为60元，则B 方案比A 方案的通话时间多；（4）若两种方案通讯费用相差10元，则通话时间是145分或185分．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解答】解：依题意得A ：（1）当0≤x ≤120，y A ＝30，（2）当x ＞120，y A ＝30+（x ﹣120）×[（50﹣30）÷（170﹣120）]＝0.4x ﹣18；B ：（1）当0≤x ＜200，y B ＝50，当x ＞200，y B ＝50+[（70﹣50）÷（250﹣200）]（x ﹣200）＝0.4x ﹣30，所以当x ≤120时，A 方案比B 方案便宜20元，故（1）正确；当x ≥200时，B 方案比A 方案便宜12元，故（2）正确；z 当y ＝60时，A ：60＝0.4x ﹣18，∴x ＝195，B ：60＝0.4x ﹣30，∴x ＝225，故（3）正确；当B 方案为50元，A 方案是40元或者60元时，两种方案通讯费用相差10元，将y A ＝40或60代入，得x ＝145分或195分，故（4）错误；故选：C ．10．在物理实验课上，小明用弹簧秤将铁块A 悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起（不考虑水的阻力），直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧秤的读数y （单位N ）与铁块被提起的高度x （单位cm ）之间的函数关系的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解答】解：因为小明用弹簧秤将铁块A 悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度．则露出水面前读数y 不变，出水面后y 逐渐增大，离开水面后y 不变．故选：C ．11．“龟兔首次赛跑”之后，输了比赛的兔子没有气馁，总结反思后，和乌龟约定再赛一场．图中的函数图象刻画了“龟兔再次赛跑”的故事（x 表示乌龟从起点出发所行的时间，y 1表示乌龟所行的路程，y 2表示兔子所行的路程）．有下列说法：①“龟兔再次赛跑”的路程为1000米；②兔子和乌龟同时从起点出发；③乌龟在途中休息了10分钟；z ④兔子在途中750米处追上乌龟．其中正确的说法是．（把你认为正确说法的序号都填上）【答案】见试题解答内容【解答】解：根据图象可知：龟兔再次赛跑的路程为1000米，故①正确；兔子在乌龟跑了40分钟之后开始跑，故②错误；乌龟在30﹣﹣40分钟时的路程为0，故这10分钟乌龟没有跑在休息，故③正确；y 1＝20x ﹣200（40≤x ≤60），y 2＝100x ﹣4000（40≤x ≤50），当y 1＝y 2时，兔子追上乌龟，此时20x ﹣200＝100x ﹣4000，解得：x ＝47.5，y 1＝y 2＝750米，即兔子在途中750米处追上乌龟，故④正确．综上可得①③④正确．故答案为：①③④．12．小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点A ，再走上坡路到达点B ，最后走下坡路到达工作单位，所用的时间与路程的关系如图所示．下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致，那么他从单位到家门口需要的时间是分钟．【答案】见试题解答内容【解答】解：先算出平路、上坡路和下坡路的速度分别为、和（千米/分），z 所以他从单位到家门口需要的时间是（分钟）．故答案为：15．八．二次函数的图象（共1小题） 13．如图，正方形ABCD 的边长为4，点P 、Q 分别是CD 、AD 的中点，动点E 从点A 向点B 运动，到点B 时停止运动；同时，动点F 从点P 出发，沿P →D →Q 运动，点E 、F 的运动速度相同．设点E 的运动路程为x ，△AEF 的面积为y ，能大致刻画y 与x 的函数关系的图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解答】解：当F 在PD 上运动时，△AEF 的面积为y ＝AE •AD ＝2x （0≤x ≤2），当F 在AD 上运动时，△AEF 的面积为y ＝AE •AF ＝x （6﹣x ）＝﹣x 2+3x （2＜x ≤4），图象为：故选：A ．z 九．平行线的性质（共2小题）14．如图，将长方形ABCD 沿线段EF 折叠到EB 'C 'F 的位置，若∠EFC '＝100°，则∠DFC '的度数为（）A ．20°B ．30°C ．40°D ．50°【答案】A【解答】解：由翻折知，∠EFC ＝∠EFC '＝100°，∴∠EFC +∠EFC '＝200°，∴∠DFC '＝∠EFC +∠EFC '﹣180°＝200°﹣180°＝20°，故选：A ．15．珠江流域某江段江水流向经过B 、C 、D 三点拐弯后与原来相同，如图，若∠ABC ＝120°，∠BCD ＝80°，则∠CDE ＝度．【答案】见试题解答内容【解答】解：过点C 作CF ∥AB ，已知珠江流域某江段江水流向经过B 、C 、D 三点拐弯后与原来相同，∴AB ∥DE ，∴CF ∥DE ，∴∠BCF +∠ABC ＝180°，∴∠BCF ＝60°，∴∠DCF ＝20°，∴∠CDE ＝∠DCF ＝20°．故答案为：20．z十．三角形的面积（共4小题）16．在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点A 、B 是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个5×5的方格纸中，找出格点C 使△ABC 的面积为2个平方单位，则满足条件的格点C 的个数是（）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】A【解答】解：满足条件的C 点有5个，如图平行于AB 的直线上，与网格的所有交点就是．故选：A ． 17．如图，△ABC 三边的中线AD 、BE 、CF 的公共点为G ，若S △ABC ＝12，则图中阴影部分的面积是．【答案】见试题解答内容【解答】方法1解：∵△ABC 的三条中线AD 、BE ，CF 交于点G ，∴S △CGE ＝S △AGE ＝S △ACF ，S △BGF ＝S △BGD ＝S △BCF ，∵S △ACF ＝S △BCF ＝S△ABC＝×12＝6，z ∴S △CGE ＝S △ACF ＝×6＝2，S △BGF ＝S △BCF ＝×6＝2，∴S 阴影＝S △CGE +S △BGF ＝4．故答案为4．方法2设△AFG ，△BFG ，△BDG ，△CDG ，△CEG ，△AEG 的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，S 5，S 6，根据中线平分三角形面积可得：S 1＝S 2，S 3＝S 4，S 5＝S 6，S 1+S 2+S 3＝S 4+S 5+S 6①，S 2+S 3+S 4＝S 1+S 5+S 6② 由①﹣②可得S 1＝S 4，所以S 1＝S 2＝S 3＝S 4＝S 5＝S 6＝2，故阴影部分的面积为4．故答案为：4．18．如图，A 、B 、C 分别是线段A 1B ，B 1C ，C 1A 的中点，若△ABC 的面积是1，那么△A 1B 1C 1的面积．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，连接AB 1，BC 1，CA 1，∵A 、B 分别是线段A 1B ，B 1C 的中点，∴S △ABB 1＝S △ABC ＝1，S △A 1AB 1＝S △ABB 1＝1，∴S △A 1BB 1＝S △A 1AB 1+S △ABB 1＝1+1＝2，同理：S △B 1CC 1＝2，S △A 1AC 1＝2，∴△A 1B 1C 1的面积＝S △A 1BB 1+S △B 1CC 1+S △A 1AC 1+S △ABC ＝2+2+2+1＝7．故答案为：7．z 19．如图，对面积为s 的△ABC 逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB 、BC 、CA 至点A 1、B 1、C 1，使得A 1B ＝2AB ，B 1C ＝2BC ，C 1A ＝2CA ，顺次连接A 1、B 1、C 1，得到△A 1B 1C 1，记其面积为S 1；第二次操作，分别延长A 1B 1、B 1C 1、C 1A 1至点A 2、B 2、C 2，使得A 2B 1＝2A 1B 1，B 2C 1＝2B 1C 1，C 2A 1＝2C 1A 1顺次连接A 2、B 2、C 2，得到△A 2B 2C 2，记其面积为S 2；…；按此规律继续下去，可得到△A n B n ∁n ，则其面积S n ＝．【答案】见试题解答内容【解答】解：连接A 1C ；S △AA 1C ＝3S △ABC ＝3S ，S △AA 1C 1＝2S △AA 1C ＝6S ，所以S △A 1B 1C 1＝6S ×3+1S ＝19S ；同理得S △A 2B 2C 2＝19S ×19＝361S ； S △A 3B 3C 3＝361S ×19＝6859S ，S △A 4B 4C 4＝6859S ×19＝130321S ， S △A 5B 5C 5＝130321S ×19＝2476099S ，从中可以得出一个规律，延长各边后得到的三角形是原三角形的19倍，所以延长第n 次后，得到△A n B n ∁n ，则其面积Sn ＝19n •S ．十一．三角形内角和定理（共3小题）20．已知△ABC，（1）如图1，若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠P＝90°+∠A；（2）如图2，若P点是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，则∠P＝90°﹣∠A；（3）如图3，若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠P＝90°﹣∠A．上述说法正确的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】C【解答】解：（1）若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB则∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）z在△BCP中利用内角和定理得到：∠P＝180﹣（∠PBC+∠PCB）＝180﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A，故成立；（2）当△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°时，结论不成立；（3）若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠PBC＝∠FBC＝（180°﹣∠ABC）＝90°﹣∠ABC，∠BCP＝∠BCE＝90°﹣∠ACB∴∠PBC+∠BCP＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）又∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠Az 在△BCP 中利用内角和定理得到：∠P ＝180﹣（∠PBC +∠PCB ）＝180﹣（180°+∠A ）＝90°﹣∠A ，故成立．∴说法正确的个数是2个．故选：C ．21．已知△ABC 中，∠A ＝α．在图（1）中∠B 、∠C 的角平分线交于点O 1，则可计算得∠BO 1C ＝90°+；在图（2）中，设∠B 、∠C 的两条三等分角线分别对应交于O 1、O 2，则∠BO 2C ＝；请你猜想，当∠B 、∠C 同时n 等分时，（n ﹣1）条等分角线分别对应交于O 1、O 2，…，O n ﹣1，如图（3），则∠BO n ﹣1C ＝（用含n 和α的代数式表示）．【答案】见试题解答内容【解答】解：在△ABC 中，∵∠A ＝α，∴∠ABC +∠ACB ＝180°﹣α，∵O 2B 和O 2C 分别是∠B 、∠C 的三等分线，∴∠O 2BC +∠O 2CB ＝（∠ABC +∠ACB ）＝（180°﹣α）＝120°﹣α；∴∠BO 2C ＝180°﹣（∠O 2BC +∠O 2CB ）＝180°﹣（120°﹣α）＝60°+α；在△ABC 中，∵∠A ＝α，∴∠ABC +∠ACB ＝180°﹣α，∵O n ﹣1B 和O n ﹣1C 分别是∠B 、∠C 的n 等分线，∴∠O n ﹣1BC +∠O n ﹣1CB ＝（∠ABC +∠ACB ）＝（180°﹣α）＝﹣． ∴∠BO n ﹣1C ＝180°﹣（∠O n ﹣1BC +∠O n ﹣1CB ）＝180°﹣（﹣）＝+．z 故答案为：60°+α；+．22．如图，在△ABC 中，∠A ＝m °，∠ABC 和∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1；∠A 1BC 和∠A 1CD 的平分线交于点A 2，得∠A 2；…∠A 2012BC 和∠A 2012CD 的平分线交于点A 2013，则∠A 2013＝度．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵A 1B 平分∠ABC ，A 1C 平分∠ACD ，∴∠A 1BC ＝∠ABC ，∠A 1CA ＝∠ACD ，∵∠A 1CD ＝∠A 1+∠A 1BC ，即∠ACD ＝∠A 1+∠ABC ，∴∠A 1＝（∠ACD ﹣∠ABC ），∵∠A +∠ABC ＝∠ACD ，∴∠A ＝∠ACD ﹣∠ABC ，∴∠A 1＝∠A ，∴∠A 1＝m °，∵∠A 1＝∠A ，∠A 2＝∠A 1＝∠A ， …以此类推∠A 2013＝∠A ＝°．故答案为：．十二．全等图形（共1小题）23．如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，其中∠1+∠2等于（）A．150°B．180°C．210°D．225°【答案】B【解答】解：在△ABC与△EDC中，，∴△ABC≌△EDC（SAS），∴∠BAC＝∠1，∠1+∠2＝180°．故选：B．z十三．全等三角形的判定（共3小题）24．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是（）A．1对B．2对C．3对D．4对【答案】D【解答】解：∵AB＝AC，D为BC中点，在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD；（SSS）∵EF垂直平分AC，∴OA＝OC，AE＝CE，在△AOE和△COE中，，∴△AOE≌△COE（SSS；在△BOD和△COD中，，∴△BOD≌△COD（SAS）；在△AOC和△AOB中，，∴△AOC≌△AOB（SSS）；故选：D．25．如图EB交AC于M，交FC于D，AB交FC于N，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF．给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF；③△ACN≌△ABM；④CD＝DN．其中正确的结论有 ①②③（填序z号）．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵∠B+∠BAE＝90°，∠C+∠CAF＝90°，∠B＝∠C∴∠1＝∠2（①正确）∵∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF∴△ABE≌△ACF（ASA）∴AB＝AC，BE＝CF（②正确）z ∴△ACN ≌△ABM （ASA ）（③正确）∴CN ＝BM （④不正确）．所以正确结论有①②③．故填①②③．26．如图所示，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，DE ∥BC ，如图①，然后将△ADE 绕A 点顺时针旋转一定角度，得到图②，然后将BD 、CE 分别延长至M 、N ，使DM ＝BD ，EN ＝CE ，得到图③，请解答下列问题：（1）若AB ＝AC ，请探究下列数量关系：①在图②中，BD 与CE 的数量关系是；②在图③中，猜想AM 与AN 的数量关系、∠MAN 与∠BAC 的数量关系，并证明你的猜想；【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）①BD ＝CE ；②AM ＝AN ，∠MAN ＝∠BAC ，∵∠DAE ＝∠BAC ，∴∠CAE ＝∠BAD ，在△BAD 和△CAE 中∵∴△CAE ≌△BAD （SAS ），∴∠ACE ＝∠ABD ，z ∵DM ＝BD ，EN ＝CE ，∴BM ＝CN ，在△ABM 和△ACN 中，∵∴△ABM ≌△ACN （SAS ），∴AM ＝AN ，∴∠BAM ＝∠CAN ，即∠MAN ＝∠BAC ；十四．全等三角形的判定与性质（共12小题） 27．如图，AE ⊥AB 且AE ＝AB ，BC ⊥CD 且BC ＝CD ，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S 是（）A ．50B ．62C ．65D ．68 【答案】A【解答】解：∵AE ⊥AB 且AE ＝AB ，EF ⊥FH ，BG ⊥FH ，∴∠EAB ＝∠EF A ＝∠BGA ＝90°，∵∠EAF +∠BAG ＝90°，∠ABG+∠BAG＝90°，z ∴∠EAF ＝∠ABG ，在△EF A 和△AGB 中，，∴△EF A ≌△AGB （AAS ），∴AF ＝BG ，AG ＝EF ．同理证得△BGC ≌△CHD 得GC ＝DH ，CH ＝BG ．故FH ＝F A +AG +GC +CH ＝3+6+4+3＝16故S ＝（6+4）×16﹣3×4﹣6×3＝50．故选：A ．28．如图，点E 在正方形ABCD 的对角线AC 上，且EC ＝2AE ，直角三角形FEG 的两直角边EF 、EG 分别交BC 、DC 于点M 、N ．若正方形ABCD 的边长为a ，则重叠部分四边形EMCN 的面积为（）A ．a 2B ．a 2C ．a 2D ．a 2【答案】D【解答】解：过E 作EP ⊥BC 于点P ，EQ⊥CD 于点Q ，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，又∵∠EPM＝∠EQN＝90°，∴∠PEQ＝90°，∴∠PEM+∠MEQ＝90°，∵三角形FEG是直角三角形，∴∠NEF＝∠NEQ+∠MEQ＝90°，∴∠PEM＝∠NEQ，∵AC是∠BCD的角平分线，∠EPC＝∠EQC＝90°，∴EP＝EQ，四边形PCQE是正方形，在△EPM和△EQN中，，∴△EPM≌△EQN（ASA）∴S△EQN＝S△EPM，∴四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积，∵正方形ABCD的边长为a，∴AC＝a，z∵EC＝2AE，∴EC＝a，∴EP＝PC＝a，∴正方形PCQE的面积＝a×a＝a2，∴四边形EMCN的面积＝a2，故选：D．29．如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD，△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q，连接PQ，BM，下面结论：①△ABE≌△DBC；②∠DMA＝60°；③△BPQ为等边三角形；④MB 平分∠AMC ，其中结论正确的有（）zA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【解答】解：∵△ABD 、△BCE 为等边三角形，∴AB ＝DB ，∠ABD ＝∠CBE ＝60°，BE ＝BC ，∴∠ABE ＝∠DBC ，∠PBQ ＝60°，在△ABE 和△DBC 中，， ∴△ABE ≌△DBC （SAS ），∴①正确；∵△ABE ≌△DBC ，∴∠BAE ＝∠BDC ，∵∠BDC +∠BCD ＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠DMA ＝∠BAE +∠BCD ＝∠BDC +∠BCD ＝60°，∴②正确；在△ABP 和△DBQ 中，， ∴△ABP ≌△DBQ （ASA ），∴BP ＝BQ ，∴△BPQ 为等边三角形，∴③正确；∵∠DMA ＝60°，∴∠AMC ＝120°，∴∠AMC +∠PBQ ＝180°，∴P 、B 、Q 、M 四点共圆，z ∵BP ＝BQ ，∴，∴∠BMP ＝∠BMQ ，即MB 平分∠AMC ；∴④正确；综上所述：正确的结论有4个；故选：D ．30．如图，在正方形ABCD 中，如果AF ＝BE ，那么∠AOD 的度数是．【答案】见试题解答内容【解答】解：由ABCD 是正方形，得AD ＝AB ，∠DAB ＝∠B ＝90°．在△ABE 和△DAF 中，， ∴△ABE ≌△DAF （SAS ），∴∠BAE ＝∠ADF ．∵∠BAE +∠EAD ＝90°，∴∠OAD +∠ADO ＝90°，∴∠AOD ＝90°，故答案为：90°．31．如图，△ABC 和△EBD 中，∠ABC ＝∠DBE ＝90°，AB ＝CB ，BE ＝BD ，连接AE ，CD ，AE 与CD 交于点M ，AE 与BC 交于点N ．（1）求证：AE ＝CD ；（2）求证：AE ⊥CD ；（3）连接BM ，有以下两个结论：①BM 平分∠CBE ；②MB 平分∠AMD ．其中正确的有 ② （请写序号，少选、错选均不得分）．z【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵∠ABC ＝∠DBE ，∴∠ABC +∠CBE ＝∠DBE +∠CBE ，即∠ABE ＝∠CBD ，在△ABE 和△CBD 中，，∴△ABE ≌△CBD ，∴AE ＝CD ．（2）∵△ABE ≌△CBD ，∴∠BAE ＝∠BCD ， ∵∠NMC ＝180°﹣∠BCD ﹣∠CNM ，∠ABC ＝180°﹣∠BAE ﹣∠ANB ，又∠CNM ＝∠ANB ，∵∠ABC ＝90°，∴∠NMC ＝90°，∴AE ⊥CD ．（3）结论：②理由：作BK ⊥AE 于K ，BJ ⊥CD 于J ．z∵△ABE ≌△CBD ，∴AE ＝CD ，S △ABE ＝S △CDB ，∴•AE •BK ＝•CD •BJ ，∴BK ＝BJ ，∵作BK ⊥AE 于K ，BJ ⊥CD 于J ，∴BM 平分∠AMD ．不妨设①成立，则△CBM ≌△EBM ，则AB ＝BD ，显然不可能，故①错误．故答案为②．32．（1）如图1，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝90°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝∠BAD ．求证：EF ＝BE +FD ；（2）如图2，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B +∠D ＝180°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝∠BAD ，（1）中的结论是否仍然成立？（3）如图3，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B +∠ADC ＝180°，E 、F 分别是边BC 、CD 延长线上的点，且∠EAF ＝∠BAD ，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．【答案】见试题解答内容【解答】证明：（1）延长EB 到G ，使BG ＝DF ，连接AG ．z∵∠ABG ＝∠ABC ＝∠D ＝90°，AB ＝AD ，∴△ABG ≌△ADF ．∴AG ＝AF ，∠1＝∠2．∴∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠EAF ＝∠BAD ．∴∠GAE ＝∠EAF ．又∵AE ＝AE ，∴△AEG ≌△AEF ．∴EG ＝EF ．∵EG ＝BE +BG ．∴EF ＝BE +FD（2）（1）中的结论EF ＝BE +FD 仍然成立．（3）结论EF ＝BE +FD 不成立，应当是EF ＝BE ﹣FD ．证明：在BE 上截取BG ，使BG ＝DF ，连接AG ．∵∠B +∠ADC ＝180°，∠ADF +∠ADC ＝180°，∴∠B ＝∠ADF ．∵AB ＝AD ，∴△ABG≌△ADF．∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF＝∠BAD．∴∠GAE＝∠EAF．∵AE＝AE，∴△AEG≌△AEF．∴EG＝EF∵EG＝BE﹣BG∴EF＝BE﹣FD．33．如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为，线段CF、BD的数量关系为；②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；（2）如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF⊥BC（点C、F不重合），并说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】证明：（1）①正方形ADEF中，AD＝AF，∵∠BAC＝∠DAF＝90°，∴∠BAD＝∠CAF，又∵AB＝AC ，∴△DAB≌△F AC，∴CF＝BD，∠B＝∠ACF，∴∠ACB+∠ACF＝90°，即CF⊥BD．②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．由正方形ADEF得AD＝AF，∠DAF＝90度．∵∠BAC＝90°，∴∠DAF＝∠BAC，∴∠DAB＝∠F AC，又∵AB＝AC，∴△DAB≌△F AC，∴CF＝BD，∠ACF＝∠ABD．∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝45°，∴∠ACF＝45°，∴∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90度．即CF⊥BD．（2）当∠ACB＝45°时，CF⊥BD（如图）．理由：过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G，则∠GAC＝90°，∵∠ACB＝45°，∠AGC＝90°﹣∠ACB，∴∠AGC＝90°﹣45°＝45°，∴∠ACB＝∠AGC＝45°，∴AC＝AG，∵∠DAG＝∠F AC（同角的余角相等），AD＝AF，∴△GAD≌△CAF，∴∠ACF＝∠AGC＝45°，∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝45°+45°＝90°，即CF⊥BC．z34．（本题有3小题，第（1）小题为必答题，满分5分；第（2）、（3）小题为选答题，其中，第（2）小题满分3分，第（3）小题满分6分，请从中任选1小题作答，如两题都答，以第（2）小题评分．）在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ．（1）当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①△ADC ≌△CEB ；②DE ＝AD +BE ；（2）当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，求证：DE ＝AD ﹣BE ；（3）当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．【答案】见试题解答内容【解答】证明：（1）①∵∠ADC ＝∠ACB ＝∠BEC ＝90°，∴∠CAD +∠ACD ＝90°，∠BCE +∠CBE ＝90°，∠ACD +∠BCE ＝90°． ∴∠CAD ＝∠BCE ．∵AC ＝BC ，∴△ADC ≌△CEB （AAS ）．②∵△ADC ≌△CEB ，∴CE ＝AD ，CD ＝BE ．∴DE ＝CE +CD ＝AD +BE ．解：（2）∵∠ADC ＝∠CEB ＝∠ACB ＝90°，∴∠ACD ＝∠CBE．又∵AC ＝BC ，∴△ACD ≌△CBE （AAS ）．∴CE ＝AD ，CD ＝BE ．∴DE ＝CE ﹣CD ＝AD ﹣BE ．（3）当MN 旋转到图3的位置时，AD 、DE 、BE 所满足的等量关系是DE ＝BE ﹣AD （或AD ＝BE ﹣DE ，BE ＝AD +DE 等）．∵∠ADC ＝∠CEB ＝∠ACB ＝90°，∴∠ACD ＝∠CBE ，又∵AC ＝BC ，∴△ACD ≌△CBE （AAS ），∴AD ＝CE ，CD ＝BE ，∴DE ＝CD ﹣CE ＝BE ﹣AD ．35．（1）如图1，已知：在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D 、E ．证明：DE ＝BD +CE ．（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC 中，AB ＝AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE ＝BD +CE 是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图3，D 、E 是D 、A 、E 三点所在直线m 上的两动点（D 、A 、E 三点互不重合），点F 为∠BAC 平分线上的一点，且△ABF 和△ACF 均为等边三角形，连接BD 、CE ，若∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ，试判断△DEF 的形状．【答案】见试题解答内容【解答】证明：（1）∵BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，∴∠BDA ＝∠CEA ＝90°，∵∠BAC ＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°，∵∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠CAE＝∠ABD，∵在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AE+AD＝BD+CE；（2）成立．∵∠BDA＝∠BAC＝α，∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，∴∠CAE＝∠ABD，∵在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE＝BD，AD＝CE，z∴DE＝AE+AD＝BD+CE；（3）△DEF是等边三角形．由（2）知，△ADB≌△CEA，BD＝AE，∠DBA＝∠CAE，∵△ABF和△ACF均为等边三角形，∴∠ABF＝∠CAF＝60°，∴∠DBA+∠ABF＝∠CAE+∠CAF，∴∠DBF＝∠F AE，∵BF＝AF在△DBF和△EAF中，，∴△DBF≌△EAF（SAS），∴DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，∴∠DFE＝∠DF A+∠AFE＝∠DF A+∠BFD＝60°，∴△DEF为等边三角形．36．在课外小组活动时，小慧拿来一道题（原问题）和小东、小明交流．原问题：如图1，已知△ABC，∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，分别以AB、BC为边向外作△ABD与△BCE，且DA＝DB，EB＝EC，∠ADB＝∠BEC＝90°，连接DE交AB于点F．探究线段DF与EF的数量关系．小慧同学的思路是：过点D作DG⊥AB于G，构造全等三角形，通过推理使问题得解．小东同学说：我做过一道类似的题目，不同的是∠ABC＝30°，∠ADB＝∠BEC＝60°．小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况．请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题：（1）写出原问题中DF与EF的数量关系；（2）如图2，若∠ABC＝30°，∠ADB＝∠BEC＝60°，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；（3）如图3，若∠ADB＝∠BEC＝2∠ABC，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）DF＝EF．（2）猜想：DF＝FE．证明：过点D作DG⊥AB于G，则∠DGB＝90°．∵DA＝DB，∠ADB＝60°．∴AG＝BG，△DBA是等边三角形．z ∴DB ＝BA ．∵∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，∴AC ＝AB ＝BG ．在Rt △DBG 和Rt △BAC 中，∴Rt △DBG ≌Rt △BAC （HL ）．∴DG ＝BC ．∵BE ＝EC ，∠BEC ＝60°，∴△EBC 是等边三角形．∴BC ＝BE ，∠CBE ＝60°．∴DG ＝BE ，∠ABE ＝∠ABC +∠CBE ＝90°．∵∠DFG ＝∠EFB ，∠DGF ＝∠EBF ，在△DFG 和△EFB 中，∴△DFG ≌△EFB （AAS ）．∴DF ＝EF ．（3）猜想：DF ＝FE ．过点D 作DH ⊥AB 于H ，连接HC ，HE ，HE 交CB 于K ，则∠DHB ＝90°．∵DA ＝DB ， ∴AH ＝BH ，∠1＝∠HDB ．∵∠ACB ＝90°，∴HC ＝HB ．在△HBE 和△HCE 中，∴△HBE ≌△HCE （SSS ）．∴∠2＝∠3，∠4＝∠BEH ．∴HK ⊥BC ．∴∠BKE ＝90°．∵∠ADB ＝∠BEC ＝2∠ABC ，z ∴∠HDB ＝∠BEH ＝∠ABC ．∴∠DBC ＝∠DBH +∠ABC ＝∠DBH +∠HDB ＝90°，∠EBH ＝∠EBK +∠ABC ＝∠EBK +∠BEK ＝90°．∴DB ∥HE ，DH ∥BE ．∴四边形DHEB 是平行四边形．∴DF ＝EF ．37．（1）操作发现：如图①，D 是等边△ABC 边BA 上一动点（点D 与点B 不重合），连接DC ，以DC 为边在BC 上方作等边△DCF ，连接AF ．你能发现线段AF 与BD 之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．（2）类比猜想：如图②，当动点D 运动至等边△ABC 边BA 的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF 与BD 在（1）中的结论是否仍然成立？（3）深入探究：Ⅰ．如图③，当动点D 在等边△ABC 边BA 上运动时（点D 与点B 不重合）连接DC ，以DC 为边在BC上方、下方分别作等边△DCF 和等边△DCF ′，连接AF 、BF ′，探究AF 、BF ′与AB 有何数量关系？并证明你探究的结论．Ⅱ．如图④，当动点D 在等边△ABC 边BA 的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论．【答案】见试题解答内容z 【解答】解：（1）AF ＝BD ；证明如下：∵△ABC 是等边三角形（已知），∴BC ＝AC ，∠BCA ＝60°（等边三角形的性质）；同理知，DC ＝CF ，∠DCF ＝60°；∴∠BCA ﹣∠DCA ＝∠DCF ﹣∠DCA ，即∠BCD ＝∠ACF ；在△BCD 和△ACF 中，， ∴△BCD ≌△ACF （SAS ），∴BD ＝AF （全等三角形的对应边相等）；（2）证明过程同（1），证得△BCD ≌△ACF （SAS ），则AF ＝BD （全等三角形的对应边相等），所以，当动点D 运动至等边△ABC 边BA 的延长线上时，其他作法与（1）相同，AF ＝BD 仍然成立；（3）Ⅰ．AF +BF ′＝AB ；证明如下：由（1）知，△BCD ≌△ACF （SAS ），则BD ＝AF ；同理△BCF ′≌△ACD （SAS ），则BF ′＝AD ，∴AF +BF ′＝BD +AD ＝AB ；Ⅱ．Ⅰ中的结论不成立．新的结论是AF ＝AB +BF ′；证明如下：在△BCF ′和△ACD 中，，∴△BCF ′≌△ACD （SAS ）， ∴BF ′＝AD （全等三角形的对应边相等）；又由（2）知，AF ＝BD ；∴AF ＝BD ＝AB +AD ＝AB +BF ′，即AF ＝AB+BF ′．z 38．操作：如图①，△ABC 是正三角形，△BDC 是顶角∠BDC ＝120°的等腰三角形，以D 为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB 、AC 边于M 、N 两点，连接MN ．探究：线段BM 、MN 、NC 之间的关系，并加以证明．说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明．注意：选取①完成证明得10分；选取②完成证明得5分．AN ＝NC （如图②）；②DM ∥AC （如图③）．附加题：若点M 、N 分别是射线AB 、CA 上的点，其它条件不变，再探线段BM 、MN 、NC 之间的关系，在图④中画出图形，并说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）BM +CN ＝MN证明：如图，延长AC 至M 1，使CM 1＝BM ，连接DM 1由已知条件知：∠ABC ＝∠ACB ＝60°，∠DBC ＝∠DCB ＝30°，∴∠ABD ＝∠ACD ＝90°．∵BD ＝CD ，∴Rt △BDM ≌Rt △CDM 1，∴∠MDB ＝∠M 1DC ，DM ＝DM 1∴∠MDM 1＝（120°﹣∠MDB ）+∠M 1DC ＝120°．又∵∠MDN ＝60°，∴∠M 1DN ＝∠MDN ＝60°．∴△MDN ≌△M 1DN ．∴MN ＝NM 1＝NC+CM 1＝NC +MB ．z （2）附加题：CN ﹣BM ＝MN证明：如图，在CN 上截取CM 1，使CM 1＝BM ，连接MN ，DM 1∵∠ABC ＝∠ACB ＝60°，∠DBC ＝∠DCB ＝30°，∴∠DBM ＝∠DCM 1＝90°．∵BD ＝CD ，∴Rt △BDM ≌Rt △CDM 1，∴∠MDB ＝∠M 1DC ，DM ＝DM 1∵∠BDM +∠BDN ＝60°，∴∠CDM 1+∠BDN ＝60°．∴∠NDM 1＝∠BDC ﹣（∠M 1DC +∠BDN ）＝120°﹣60°＝60°．∴∠M 1DN ＝∠MDN ． ∵ND ＝ND ，∴△MDN ≌△M 1DN ． ∴MN ＝NM 1＝NC ﹣CM 1＝NC ﹣BM，即MN ＝NC ﹣BM ．z 十五．角平分线的性质（共1小题）39．如图，△ABC 的三边AB 、BC 、CA 长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O ，则S △ABO ：S △BCO ：S △CAO ＝．【答案】见试题解答内容【解答】解：过点O 作OD ⊥AB 于点D ，作OE ⊥AC 于点E ，作OF ⊥BC 于点F ，∵OA ，OB ，OC 是△ABC 的三条角平分线，∴OD ＝OE ＝OF ，∵△ABC 的三边AB 、BC 、CA 长分别为40、50、60，∴S △ABO ：S △BCO ：S △CAO ＝（AB •OD ）：（BC •OF ）：（AC •OE ）＝AB ：BC ：AC ＝40：50：60＝4：5：6．故答案为：4：5：6．十六．线段垂直平分线的性质（共1小题） 40．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝54°，点D 为AB 中点，且OD ⊥AB ，∠BAC 的平分线与AB 的垂直平分线交于点O ，将∠C 沿EF （E 在BC 上，F 在AC 上）折叠，点C 与点O 恰好重合，则∠OEC 为度．【答案】见试题解答内容z 【解答】解：法一：如图，连接OB 、OC ，∵∠BAC ＝54°，AO 为∠BAC 的平分线，∴∠BAO ＝∠BAC ＝×54°＝27°，又∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝（180°﹣∠BAC ）＝（180°﹣54°）＝63°，∵DO 是AB 的垂直平分线，∴OA ＝OB ，∴∠ABO ＝∠BAO ＝27°，∴∠OBC ＝∠ABC ﹣∠ABO ＝63°﹣27°＝36°，∵AO 为∠BAC 的平分线，AB ＝AC ，∴△AOB ≌△AOC （SAS ），∴OB ＝OC ，∴点O 在BC 的垂直平分线上，又∵DO 是AB 的垂直平分线，∴点O 是△ABC 的外心，∴∠OCB ＝∠OBC ＝36°，∵将∠C 沿EF （E 在BC 上，F 在AC 上）折叠，点C 与点O 恰好重合，∴OE ＝CE ， ∴∠COE ＝∠OCB ＝36°，在△OCE 中，∠OEC ＝180°﹣∠COE ﹣∠OCB ＝180°﹣36°﹣36°＝108°．法二：证明点O 是△ABC 的外心，推出∠BOC ＝108°，根据OB ＝OC ，推出∠OCE ＝36°可得结论．故答案为：108．z 十七．等腰三角形的性质（共4小题）41．如图，在△ABC 中，AB ＝20cm ，AC ＝12cm ，点P 从点B 出发以每秒3cm 的速度向点A 运动，点Q 从点A 同时出发以每秒2cm 的速度向点C 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当△APQ 是以PQ 为底的等腰三角形时，运动的时间是（）A ．2.5秒B ．3秒C ．3.5秒D ．4秒【答案】D【解答】解：设运动的时间为x cm ，在△ABC 中，AB ＝20cm ，AC ＝12cm ，点P 从点B 出发以每秒3cm 的速度向点A 运动，点Q 从点A 同时出发以每秒2cm 的速度向点C 运动，当△APQ 是等腰三角形时，AP ＝AQ ，AP ＝20﹣3x ，AQ ＝2x即20﹣3x ＝2x ，解得x ＝4（cm ）．故选：D ．42．如图，∠BOC ＝9°，点A 在OB 上，且OA ＝1，按下列要求画图：以A 为圆心，1为半径向右画弧交OC 于点A 1，得第1条线段AA 1；再以A 1为圆心，1为半径向右画弧交OB 于点A 2，得第2条线段A 1A 2；再以A 2为圆心，1为半径向右画弧交OC 于点A 3，得第3条线段A 2A 3；…这样画下去，直到得第n 条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n ＝ 9 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：由题意可知：AO ＝A 1A ，A 1A ＝A 2A 1，…，则∠AOA 1＝∠OA 1A ，∠A 1AA 2＝∠A 1A 2A，…，∵∠BOC ＝9°，z ∴∠A 1AB ＝18°，∠A 2A 1C ＝27°，∠A 3A 2B ＝36°，∠A 4A 3C ＝45°，…，∴9°n ＜90°，解得n ＜10．由于n 为整数，故n ＝9．故答案为：9．43．如图所示，AOB 是一钢架，且∠AOB ＝10°，为了使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF ，FG ，GH …，添加的钢管长度都与OE 相等，则最多能添加这样的钢管根．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵添加的钢管长度都与OE 相等，∠AOB ＝10°，∴∠GEF ＝∠FGE ＝20°，…从图中我们会发现有好几个等腰三角形，即第一个等腰三角形的底角是10°，第二个是20°，第三个是30°，四个是40°，五个是50°，六个是60°，七个是70°，八个是80°，九个是90°就不存在了．所以一共有8个．故答案为：8．44．如图，△ABC 中AB ＝AC ，BC ＝6，点P 从点B 出发沿射线BA 移动，同时，点Q 从点C 出发沿线段AC 的延长线移动，已知点P 、Q 移动的速度相同，PQ 与直线BC 相交于点D ．（1）如图①，当点P 为AB 的中点时，求CD 的长；（2）如图②，过点P 作直线BC 的垂线垂足为E ，当点P 、Q 在移动的过程中，线段BE 、DE 、CD 中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图，过P 点作PF ∥AC 交BC 于F ，∵点P 和点Q 同时出发，且速度相同，∴BP ＝CQ ，∵PF∥AQ，∴∠PFB＝∠ACB，∠DPF＝∠CQD，又∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠B＝∠PFB，∴BP＝PF，∴PF＝CQ，又∠PDF＝∠QDC，∴证得△PFD≌△QCD，∴DF＝CD＝CF，又因P是AB的中点，PF∥AQ，∴F是BC的中点，即FC＝BC＝3，∴CD＝CF＝；（2）分两种情况讨论，得ED为定值，是不变的线段，如图，如果点P在线段AB上，过点P作PF∥AC交BC于F，z∵△PBF为等腰三角形，∴PB＝PF，BE＝EF，∴PF＝CQ，∴FD＝DC，∴ED＝EF+FD＝BE+DC＝BC＝3，∴ED为定值，同理，如图，若P 在BA的延长线上，z作PM ∥AC 的延长线于M ，∴∠PMC ＝∠ACB ，又∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB ，∴∠B ＝∠PMC ，∴PM ＝PB ，根据三线合一得BE ＝EM ，同理可得△PMD ≌△QCD ，所以CD ＝DM ，∵BE ＝EM ，CD ＝DM ，∴ED ＝EM ﹣DM ＝﹣DM ＝+﹣DM ＝3+DM ﹣DM ＝3，综上所述，线段ED 的长度保持不变．十八．等边三角形的性质（共1小题）45．图①是一块边长为1，周长记为P 1的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉如图正三角形纸板边长的）后，得图③，④，…，记第n （n ≥3）块纸板的周长为P n ，则P n﹣P n ﹣1的值为（）zA ．B ．C ．D ．【答案】C【解答】解：P 1＝1+1+1＝3，P 2＝1+1+＝，P 3＝1+++×3＝，P 4＝1+++×2+×3＝， …∴P 3﹣P 2＝﹣＝＝， P 4﹣P 3＝﹣＝＝，则Pn ﹣Pn ﹣1＝＝．故选：C ．十九．轴对称-最短路线问题（共3小题）46．如图，点P 是∠AOB 内任意一点，OP ＝5cm ，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，△PMN 周长的最小值是5cm ，则∠AOB 的度数是（）。

北师大版2020七年级数学下册期末综合复习培优测试题1(附答案)

北师大版 2020 七年级数学下册期末综合复习培优测试题1（附答案）1 ．下列说法中正确的是（）A．8 的立方根是±2B ．是一个最简二次根式C ．函数的自变量x 的取值范围是 x>1D ．在平面直角坐标系中，点P（2，3）与点Q（﹣ 2，3）关于 y 轴对称2．已知 AD 是△ABC 的中线，BE 是△ABD的中线，若△ABC 的面积为18，则△ABE 的面积为（）B．4.5C．4 D．3．下列各式正确的是A ． a2·a3=a6B． a3÷a2=aC．(a3)2=a5 D ． a2+a2=2a44．如图， AB ∥ CD ，用含∠1，∠2，∠3的式子表示∠4，则∠4 的值为A ．∠1+∠2﹣∠3B ．∠1+∠3﹣∠2 C．180°+∠3﹣∠1﹣∠2 D．∠2+∠3 ﹣∠1﹣180°C．△ACD ≌△BCDBD ＝CD ，则可推出（B．△ ABD≌△ACDD．△ ACE≌△BDE6．计算 2x3÷x2的结果是（）B．2x D．2x6C．A ．x2x19．如图， a∥ b ， ∠1=30 °，则 ∠2=8．计算 x 3?4x 2的结果是（）5 6 6 5A ． 4x 5B ． 5x 6C ． 4x 6D ． 5x 59．如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系是（）A ．相等B ．互余C ．互补或相等D ．不相等 10．下列计算正确的是（）A ． (xy) 3=x 3yB ．(2xy)3=6x 3y 3C ．(-3x 2)3=27x 5 D ．(a 2b)n =a 2n b n11．如图，在 3×3 的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑．再将图中其余小正方形任意涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形的方法有种．12．如图，三角形纸片 ABC ，AB=11cm ，BC=7cm ，AC=6cm ，沿过点 B 的直线折叠这个三角形，使顶点 C 落在 AB 边上的点 E 处，折痕为 BD ，则△AED 的周长为 __________________________________________________________________ cm ．13．若 m 2+n 2－ 6n ＋4m ＋ 13＝0， m 2－ n 2= ；14．在 Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝8cm ，AC ＝6cm ，在射．线．BC 上一动点 D ，从点 B 出发，以 2 厘米每秒的速度匀速运动，若点 D 运动 t 秒时，以 A 、D 、B 为顶点的三角形恰为等腰三角形，则所用时间 t 为 _秒. 15．在△ABC 中，若 ∠A ﹣∠B=∠C ，则此三角形是 ___三角形． 16 ．若 x 2+（m-2）x+9 是一个完全平方式，则 m 的值是 .17．随机抛掷三枚均匀的硬帀，则 “只有一枚正面向上 ”的概率是． 18．如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上．若 ∠1＝65°，则 ∠2 的度数为20 ．某商店进了一批货，每件进价为 4 元，售价为每件 6 元，如果售出 x 件，售出 x 件的总利润为 y 元，则 y 与 x 的函数关系式为 __．21．已知 ∠ MON=90° ，有一根长为 10的木棒 AB 的两个端点 A 、B 分别在射线 OM,ON 上滑动， ∠OAB 的角平分线 AD 交OB 于点 D ．（ 1）如图（ 1），若 OA=6 ，则 OB= ， OD=；（ 2）如图（ 2），过点 B 作BE ⊥AD,交AD 的延长线于点 E,连接 OE,在 AB 滑动的过程中，线段 OE,BE 有何数量关系，并说明理由；（3）若点 P 是∠MON 内部一点，在（ 1）的条件下，当 △ABP 是以 AB 为斜边的等腰直角三角形时， OP 2=；（ 4）在 AB 滑动的过程中， △AOB 面积的最大值为 .（1）求证： CAF= EFD（2）若 MCD =80o ，求 NFE 的度数。

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北师大版七年级下册数学培优压轴题一．解答题（共8 小题）1．已知四边形 ABCD中， AB=BC，∠ ABC=120°，∠ MBN=60°，∠ MBN 绕 B 点旋转，它的两边分别交 AD，DC（或它们的延长线）于 E，F．当∠ MBN 绕 B 点旋转到 AE=CF时（如图 1），易证 AE+CF=EF；当∠ MBN 绕 B 点旋转到 AE≠CF时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．2．（1）如图，在四边形 ABCD中， AB=AD，∠ B=∠ D=90°，E、F 分别是边BC、CD上的点，且∠ EAF= ∠BAD．求证： EF=BE+FD；（2）如图，在四边形 ABCD中， AB=AD，∠ B+∠D=180°，E、F 分别是边 BC、CD 上的点，且∠ EAF= ∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？（ 3）如图，在四边形ABCD中， AB=AD，∠ B+∠ADC=180°， E、 F 分别是边 BC、CD延长线上的点，且∠ EAF= ∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．3．如图 1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和 DEC重合放置，其中∠ C=90°，∠B=∠E=30°．（ 1）操作发现如图 2，固定△ ABC，使△ DEC绕点 C 旋转，当点 D 恰好落在 AB 边上时，填空：①线段 DE与 AC的位置关系是；②设△ BDC的面积为 S1，△ AEC的面积为 S2，则 S1与 S2的数量关系是．（ 2）猜想论证当△ DEC绕点 C 旋转到如图 3 所示的位置时，小明猜想（ 1）中 S1与 S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△ AEC中 BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．（ 3）拓展探究已知∠ ABC=60°，点 D 是角平分线上一点， BD=CD=4，DE∥AB 交 BC于点 E（如图 4）．若在射线 BA 上存在点 F，使 S△DCF=S△BDE，请直接写出相应的 BF的长．4．如图 1，已知线段 AB 的长为 2a，点 P 是 AB上的动点（ P 不与 A，B 重合），分别以 AP、PB为边向线段 AB 的同一侧作正△ APC和正△ PBD．（ 1）当△ APC与△ PBD的面积之和取最小值时，AP=；（直接写结果）（2）连接 AD、BC，相交于点 Q，设∠ AQC=α，那么α的大小是否会随点 P 的移动而变化？请说明理由；（3）如图 2，若点 P 固定，将△ PBD绕点 P 按顺时针方向旋转（旋转角小于180°），此时α的大小是否发生变化？（只需直接写出你的猜想，不必证明）5．如图 1，Rt△ ABC中 AB=AC，点 D、E 是线段 AC 上两动点，且 AD=EC，AM 垂直BD，垂足为 M，AM 的延长线交 BC于点 N，直线 BD 与直线 NE 相交于点F．试判断△ DEF的形状，并加以证明．说明：（ 1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写 3 步）；（ 2）在你经历说明（ 1）的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或者更换已知条件，完成你的证明．1、画出将△ BAD沿 BA 方向平移 BA 长，然后顺时针旋转90°后图形；2、点 K 在线段 BD 上，且四边形 AKNC为等腰梯形（ AC∥KN，如图 2）．附加题：如图 3，若点 D、 E 是直线 AC 上两动点，其他条件不变，试判断△DEF的形状，并说明理由．6．如图，已知等边三角形ABC中，点 D， E， F 分别为边 AB，AC， BC的中点，M 为直线 BC上一动点，△ DMN 为等边三角形（点 M 的位置改变时，△ DMN 也随之整体移动）．（ 1）如图 1，当点 M 在点 B 左侧时，请你判断 EN 与 MF 有怎样的数量关系？点F 是否在直线 NE 上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由；（2）如图 2，当点 M 在 BC上时，其它条件不变，（1）的结论中 EN与 MF 的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图 2 证明；若不成立，请说明理由；（3）若点 M 在点 C 右侧时，请你在图 3 中画出相应的图形，并判断（ 1）的结论中 EN 与 MF 的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由．7．已知：等边三角形ABC（ 1）如图 1， P 为等边△ ABC外一点，且∠ BPC=120°．试猜想线段BP、 PC、AP 之间的数量关系，并证明你的猜想；（ 2）如图 2，P 为等边△ ABC内一点，且∠ APD=120°．求证： PA+PD+PC＞BD．8．真材料，然后回答：我初中学了多式的运算法，相的，我可以算出多式的展开式，如：（a+b）1=a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2，（a+b）3=（a+b）2（a+b）=a3+3a2b+3ab2+b3，⋯下面我依次（ a+b）n展开式的各系数一步研究，当 n 取正整数可以独列成表中的形式：上面的多式展开系数表称“ 三角形”；仔察“ 三角形”，用你的律回答下列：（1）多式（ a+b）n的展开式是一个几次几式？并第三的系数；（2）你一下多式（ a+b）n展开式的各系数之和．（3）合上述材料，推断出多式（ a+b）n（ n 取正整数）的展开式的各系数之和 S，（果用含字母 n 的代数式表示）．2018 年 05 月 08 日 wujun 的初中数学组卷参考答案与试题解析一．解答题（共8 小题）1．已知四边形ABCD中， AB=BC，∠ ABC=120°，∠ MBN=60°，∠ MBN 绕 B 点旋转，它的两边分别交 AD，DC（或它们的延长线）于 E，F．当∠MBN 绕 B 点旋转到 AE=CF时（如图 1），易证 AE+CF=EF；当∠ MBN 绕 B 点旋转到 AE≠CF时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．【解答】解：∵AB ⊥AD ，BC ⊥CD ，AB=BC ，AE=CF ，在△ ABE和△ CBF中，，∴△ ABE≌△ CBF（SAS）；∴∠ ABE=∠CBF，BE=BF；∵∠ ABC=120°，∠ MBN=60°，∴∠ ABE=∠CBF=30°，∴AE= BE，CF= BF；∵∠ MBN=60°，BE=BF，∴△ BEF为等边三角形；∴AE+CF= BE+ BF=BE=EF；图2 成立，图 3 不成立．证明图 2．延长 DC至点 K，使 CK=AE，连接BK，在△ BAE和△ BCK中，则△ BAE≌△ BCK，∴BE=BK，∠ ABE=∠ KBC，∵∠ FBE=60°，∠ ABC=120°，∴∠ FBC+∠ABE=60°，∴∠FBC+∠KBC=60°，∴∠KBF=∠FBE=60°，在△ KBF和△ EBF中，∴△ KBF≌△ EBF，∴KF=EF，∴KC+CF=EF，即 AE+CF=EF．图 3 不成立，AE、CF、 EF的关系是 AE﹣CF=EF．2．（1）如图，在四边形ABCD中， AB=AD，∠ B=∠ D=90°，E、F 分别是边 BC、CD上的点，且∠ EAF= ∠BAD．求证： EF=BE+FD；（2）如图，在四边形 ABCD中， AB=AD，∠ B+∠D=180°，E、F 分别是边 BC、CD 上的点，且∠ EAF= ∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？（3）如图，在四边形 ABCD中， AB=AD，∠ B+∠ADC=180°， E、 F 分别是边 BC、CD延长线上的点，且∠ EAF= ∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．【解答】证明：（1）延长 EB到 G，使 BG=DF，连接 AG．∵∠ ABG=∠ABC=∠D=90°，AB=AD，∴△ ABG≌△ ADF．∴AG=AF，∠ 1=∠2．∴∠ 1+∠ 3=∠2+∠3=∠EAF= ∠BAD．∴∠ GAE=∠EAF．又∵ AE=AE，∴△ AEG≌△ AEF．∴EG=EF．∵ EG=BE+BG．∴EF=BE+FD（2）（1）中的结论 EF=BE+FD仍然成立．（3）结论 EF=BE+FD 不成立，应当是 EF=BE﹣FD．证明：在 BE上截取 BG，使 BG=DF，连接 AG．∵∠ B+∠ ADC=180°，∠ ADF+∠ ADC=180°，∴∠ B=∠ ADF．∵AB=AD，∴△ ABG≌△ ADF．∴∠ BAG=∠DAF， AG=AF．∴∠ BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF= ∠BAD．∴∠ GAE=∠EAF．∵AE=AE，∴△ AEG≌△ AEF．∴EG=EF∵EG=BE﹣BG∴EF=BE﹣FD．3．如图 1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和 DEC重合放置，其中∠ C=90°，∠B=∠E=30°．（ 1）操作发现如图 2，固定△ ABC，使△ DEC绕点 C 旋转，当点 D 恰好落在 AB 边上时，填空：①线段 DE与 AC的位置关系是DE∥ AC；②设△ BDC的面积为 S1，△AEC的面积为 S2，则 S1与 S2的数量关系是S1=S2．（ 2）猜想论证当△ DEC绕点 C 旋转到如图 3 所示的位置时，小明猜想（ 1）中 S1与 S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△ AEC中 BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．（ 3）拓展探究已知∠ ABC=60°，点 D 是角平分线上一点， BD=CD=4，DE∥AB 交 BC于点 E（如图 4）．若在射线 BA 上存在点 F，使 S△DCF=S△BDE，请直接写出相应的 BF的长．【解答】解：（1）①∵△ DEC绕点 C 旋转点 D 恰好落在 AB 边上，∴AC=CD，∵∠ BAC=90°﹣∠ B=90°﹣ 30°=60°，∴△ ACD是等边三角形，∴∠ ACD=60°，又∵∠ CDE=∠BAC=60°，∴∠ ACD=∠CDE，∴DE∥AC；②∵∠ B=30°，∠ C=90°，∴CD=AC= AB，∴BD=AD=AC，根据等边三角形的性质，△ACD的边 AC、AD 上的高相等，∴△ BDC的面积和△ AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1=S2；故答案为： DE∥ AC；S1=S2；（2）如图，∵△ DEC是由△ ABC绕点 C 旋转得到，∴ BC=CE，AC=CD，∵∠ ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°﹣ 90°=90°，∴∠ ACN=∠DCM，∵在△ ACN和△ DCM中，，∴△ ACN≌△ DCM（ AAS），∴AN=DM，∴△ BDC的面积和△ AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1=S2；（3）如图，过点 D 作 DF1∥BE，易求四边形 BEDF1是菱形，所以 BE=DF1，且 BE、 DF1上的高相等，此时 S△DCF1=S△BDE；过点 D 作 DF2⊥BD，∵∠ ABC=60°，F1D∥BE，∴∠ F2F1D=∠ ABC=60°，∵ BF1=DF1，∠ F1 BD= ∠ABC=30°，∠ F2DB=90°，∴∠ F1DF2=∠ ABC=60°，∴△ DF1F2是等边三角形，∴DF1=DF2，∵BD=CD，∠ ABC=60°，点 D 是角平分线上一点，∴∠ DBC=∠DCB= ×60°=30°，∴∠ CDF1=180°﹣∠ BCD=180°﹣ 30°=150°，∠CDF2=360°﹣ 150°﹣60°=150°，∴∠ CDF1=∠CDF2，∵在△ CDF1和△ CDF2中，，∴△ CDF1≌△ CDF2（SAS），∴点 F2也是所求的点，∵∠ ABC=60°，点 D 是角平分线上一点， DE∥AB，∴∠ DBC=∠BDE=∠ABD= ×60°=30°，又∵ BD=4，∴ BE= ×4÷cos30°=2÷= ，∴ BF1，21 1 2+= ，= BF =BF+F F =故 BF 的长为或．4．如图 1，已知线段 AB 的长为 2a，点 P 是 AB上的动点（ P 不与 A，B 重合），分别以 AP、PB为边向线段 AB 的同一侧作正△ APC和正△ PBD．（1）当△ APC与△ PBD的面积之和取最小值时， AP= a ；（直接写结果）（2）连接 AD、BC，相交于点 Q，设∠ AQC=α，那么α的大小是否会随点 P 的移动而变化？请说明理由；（3）如图 2，若点 P 固定，将△ PBD绕点 P 按顺时针方向旋转（旋转角小于180°），此时α的大小是否发生变化？（只需直接写出你的猜想，不必证明）【解答】解：（1）设 AP 的长是 x，则 BP=2a﹣ x，∴S△APC+S△PBD= x? x+ （2a﹣ x） ? （2a﹣x）=x2﹣ ax+ a2，当x=﹣ =﹣ =a 时△ APC与△ PBD的面积之和取最小值，故答案为： a；（2）α的大小不会随点 P 的移动而变化，理由：∵△ APC是等边三角形，∴PA=PC，∠ APC=60°，∵△ BDP是等边三角形，∴PB=PD，∠ BPD=60°，∴∠ APC=∠BPD，∴∠ APD=∠CPB，∴△ APD≌△ CPB，∴∠ PAD=∠PCB，∵∠ QAP+∠QAC+∠ ACP=120°，∴∠ QCP+∠QAC+∠ACP=120°，∴∠ AQC=180°﹣ 120°=60°；（3）此时α的大小不会发生改变，始终等于60°．理由：∵△ APC是等边三角形，∴PA=PC，∠ APC=60°，∵△ BDP是等边三角形，∴PB=PD，∠ BPD=60°，∴∠ APC=∠BPD，∴∠APD=∠CPB，∴△APD≌△ CPB，∴∠PAD=∠PCB，∵∠ QAP+∠QAC+∠ ACP=120°，∴∠ QCP+∠QAC+∠ACP=120°，∴∠ AQC=180°﹣ 120°=60°．5．如图 1，Rt△ ABC中 AB=AC，点 D、E 是线段 AC 上两动点，且 AD=EC，AM 垂直BD，垂足为 M，AM 的延长线交 BC于点 N，直线 BD 与直线 NE 相交于点F．试判断△ DEF的形状，并加以证明．说明：（ 1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写 3 步）；（ 2）在你经历说明（ 1）的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或者更换已知条件，完成你的证明．1、画出将△ BAD沿 BA 方向平移 BA 长，然后顺时针旋转90°后图形；2、点 K 在线段 BD 上，且四边形 AKNC为等腰梯形（ AC∥KN，如图 2）．附加题：如图 3，若点 D、 E 是直线 AC 上两动点，其他条件不变，试判断△ DEF 的形状，并说明理由．【解答】解：△ DEF是等腰三角形证明：如图，过点 C 作 CP⊥AC，交 AN 延长线于点 P∵Rt△ABC中 AB=AC∴∠ BAC=90°，∠ ACB=45°∴∠ PCN=∠ACB，∠ BAD=∠ACP∵AM⊥ BD∴∠ ABD+∠BAM=∠ BAM+∠CAP=90°∴∠ ABD=∠CAP∴△ BAD≌△ ACP∴AD=CP，∠ ADB=∠P∵AD=CE∴CE=CP∵CN=CN∴△ CPN≌△ CEN∴∠ P=∠ CEN∴∠ CEN=∠ADB∴∠ FDE=∠FED∴△ DEF是等腰三角形．附加题：△ DEF为等腰三角形证明：过点 C 作 CP⊥ AC，交 AM 的延长线于点 P ∵Rt△ABC中 AB=AC∴∠ BAC=90°，∠ ACB=45°∴∠ PCN=∠ACB=∠ECN∵AM⊥ BD∴∠ ABD+∠BAM=∠ BAM+∠CAP=90°∴∠ ABD=∠CAP∴△ BAD≌△ ACP∴AD=CP，∠ D=∠ P∵AD=EC，CE=CP又∵ CN=CN∴△ CPN≌△ CEN∴∠ P=∠ E∴∠ D=∠ E∴△ DEF为等腰三角形．6．如图，已知等边三角形ABC中，点 D， E， F 分别为边 AB，AC， BC的中点，M 为直线 BC上一动点，△ DMN 为等边三角形（点 M 的位置改变时，△ DMN 也随之整体移动）．（1）如图 1，当点 M 在点 B 左侧时，请你判断 EN 与 MF 有怎样的数量关系？点F 是否在直线 NE 上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由；（2）如图 2，当点 M 在 BC上时，其它条件不变，（1）的结论中 EN与 MF 的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图 2 证明；若不成立，请说明理由；（3）若点 M 在点 C 右侧时，请你在图 3 中画出相应的图形，并判断（ 1）的结论中 EN 与 MF 的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由．【解答】解：（1）判断： EN 与 MF 相等（或 EN=MF），点 F 在直线 NE 上，（ 2）成立．连接 DF，NF，证明△ DBM 和△ DFN 全等（ AAS），∵△ ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC．又∵ D，E，F 是三边的中点，∴EF=DF=BF．∵∠ BDM+∠ MDF=60°，∠ FDN+∠MDF=60°，∴∠ BDM=∠ FDN，在△ DBM 和△ DFN 中，，∴△ DBM≌△ DFN，∴BM=FN，∠ DFN=∠FDB=60°，∴NF∥BD，∵E， F 分别为边 AC， BC的中点，∴ EF是△ ABC的中位线，∴ EF∥BD，∴ F 在直线 NE 上，∵BF=EF，∴MF=EN．（ 3）如图③， MF 与 EN相等的结论仍然成立（或MF=NE成立）．连接 DF、DE，由（ 2）知 DE=DF，∠ NDE=∠FDM， DN=DM，在△ DNE和△ DMF 中，∴△ DNE≌△ DMF，∴MF=NE．7．已知：等边三角形ABC（ 1）如图 1， P 为等边△ ABC外一点，且∠ BPC=120°．试猜想线段 BP、PC、AP之间的数量关系，并证明你的猜想；（2）如图 2，P 为等边△ ABC内一点，且∠ APD=120°．求证： PA+PD+PC＞BD．【解答】猜想： AP=BP+PC，（1）证明：延长 BP 至 E，使 PE=PC，连接 CE，∵∠ BPC=120°，∴∠ CPE=60°，又 PE=PC，∴△ CPE为等边三角形，∴CP=PE=CE，∠ PCE=60°，∵△ ABC为等边三角形，∴AC=BC，∠ BCA=60°，∴∠ ACB=∠PCE，∴∠ ACB+∠BCP=∠PCE+∠BCP，即：∠ ACP=∠BCE，∴△ ACP≌△ BCE（SAS），∴ AP=BE，∵BE=BP+PE，∴ AP=BP+PC．（2）证明：在 AD 外侧作等边△ AB′D，则点 P 在三角形 ADB′外，连接 PB'，B'C，∵∠ APD=120°∴由（ 1）得 PB′=AP+PD，在△ PB′C中，有 PB′+PC＞CB′，∴PA+PD+PC＞CB′，∵△ AB′D、△ ABC是等边三角形，∴AC=AB，AB′=AD，∠BAC=∠ DAB′=60，°∴∠ BAC+∠CAD=∠DAB′+∠CAD，即：∠ BAD=∠CAB′，∴△ AB′C≌△ ADB，∴CB′=BD，∴PA+PD+PC＞BD．8．认真阅读材料，然后回答问题：我初中学了多式的运算法，相的，我可以算出多式的展开式，如：（a+b）1=a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2，（a+b）3=（a+b）2（a+b）=a3+3a2b+3ab2+b3，⋯下面我依次（ a+b）n展开式的各系数一步研究，当 n 取正整数可以独列成表中的形式：上面的多式展开系数表称“ 三角形”；仔察“ 三角形”，用你的律回答下列：（1）多式（ a+b）n的展开式是一个几次几式？并第三的系数；（2）你一下多式（ a+b）n展开式的各系数之和．（3）合上述材料，推断出多式（ a+b）n（ n 取正整数）的展开式的各系数之和 S，（果用含字母 n 的代数式表示）．【解答】解：（ 1）∵当 n=1 ，多式（ a+b）1的展开式是一次二式，此第三的系数： 0= ，2当 n=2 ，多式（a+b）的展开式是二次三式，此第三的系数： 1=，3当 n=3 ，多式（a+b）的展开式是三次四式，此第三的系数： 3=，4当 n=4 ，多式（a+b）的展开式是四次五式，此第三的系数： 6=，⋯∴多式（ a+b）n的展开式是一个 n 次 n+1 式，第三的系数：；（2）一下多式（ a+b）n展开式的各系数之和： 2n；（3）∵当 n=1 ，多式（ a+b）1展开式的各系数之和： 1+1=2=21，当 n=2 ，多式（ a+b）2展开式的各系数之和： 1+2+1=4=22，当n=3 ，多式（ a+b）3展开式的各系数之和： 1+3+3+1=8=23，当n=4 ，多式（ a+b）4展开式的各系数之和： 1+4+6+4+1=16=24，⋯∴多式（ a+b）n展开式的各系数之和：S=2n．。

最新北师大版数学七年级下册期末试卷(培优篇)(Word版含解析)

最新北师大版数学七年级下册期末试卷（培优篇）（Word 版含解析）一、解答题1．已知，AB ∥DE ，点C 在AB 上方，连接BC 、CD ．（1）如图1，求证：∠BCD ＋∠CDE ＝∠ABC ；（2）如图2，过点C 作CF ⊥BC 交ED 的延长线于点F ，探究∠ABC 和∠F 之间的数量关系；（3）如图3，在（2）的条件下，∠CFD 的平分线交CD 于点G ，连接GB 并延长至点H ，若BH 平分∠ABC ，求∠BGD ﹣∠CGF 的值．2．如图1，已知直线m ∥n ，AB 是一个平面镜，光线从直线m 上的点O 射出，在平面镜AB 上经点P 反射后，到达直线n 上的点Q ．我们称OP 为入射光线，PQ 为反射光线，镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即∠OPA=∠QPB ．（1）如图1，若∠OPQ =82°，求∠OPA 的度数；（2）如图2，若∠AOP =43°，∠BQP =49°，求∠OPA 的度数；（3）如图3，再放置3块平面镜，其中两块平面镜在直线m 和n 上，另一块在两直线之间，四块平面镜构成四边形ABCD ，光线从点O 以适当的角度射出后，其传播路径为 O→P→Q→R→O→P→…试判断∠OPQ 和∠ORQ 的数量关系，并说明理由． 3．已知//AB CD ，点E 在AB 与CD 之间．（1）图1中，试说明：BED ABE CDE ∠=∠+∠；（2）图2中，ABE ∠的平分线与CDE ∠的平分线相交于点F ，请利用（1）的结论说明：2BED BFD ∠=∠．（3）图3中，ABE ∠的平分线与CDE ∠的平分线相交于点F ，请直接写出BED ∠与BFD ∠之间的数量关系．4．如图，已知直线//AB 射线CD ，110CEB ∠=︒．P 是射线EB 上一动点，过点P 作//PQ EC 交射线CD 于点Q ，连接CP ．作PCF PCQ ∠=∠，交直线AB 于点F ，CG 平分ECF ∠．（1）若点P ，F ，G 都在点E 的右侧． ①求PCG ∠的度数；②若30EGC ECG ∠-∠=︒，求CPQ ∠的度数．（不能使用“三角形的内角和是180︒”直接解题）（2）在点P 的运动过程中，是否存在这样的偕形，使:3:2EGC EFC ∠∠=？若存在，直接写出CPQ ∠的度数；若不存在．请说明理由．5．已知，//AB CD ．点M 在AB 上，点N 在CD 上．（1）如图1中，BME ∠、E ∠、END ∠的数量关系为：；（不需要证明）；如图2中，BMF ∠、F ∠、FND ∠的数量关系为：；（不需要证明）（2）如图 3中，NE 平分FND ∠，MB 平分FME ∠，且2180E F ∠+∠=，求FME ∠的度数；（3）如图4中，60BME ∠=，EF 平分MEN ∠，NP 平分END ∠，且//EQ NP ，则FEQ ∠的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出么FEQ ∠的度数．二、解答题6．将两块三角板按如图置，其中三角板边AB AE =，90BAC EAD ∠=∠=︒，45C ∠=︒，30D ∠=︒．（1）下列结论：正确的是_______． ①如果60BFD ∠=︒，则有//BC AD ； ②180BAE CAD ∠+∠=︒；③如果//BC AD ，则AB 平分EAD ∠．（2）如果150CAD ∠=︒，判断BFD ∠与C ∠是否相等，请说明理由．（3）将三角板ABC 绕点A 顺时针转动，直到边AC 与AD 重合即停止，转动的过程中当两块三角板恰有两边平行时，请直接写出EAB ∠所有可能的度数． 7．如图1所示：点E 为BC 上一点，∠A ＝∠D ，AB ∥CD （1）直接写出∠ACB 与∠BED 的数量关系；（2）如图2，AB ∥CD ，BG 平分∠ABE ，BG 的反向延长线与∠EDF 的平分线交于H 点，若∠DEB 比∠GHD 大60°，求∠DEB 的度数；（3）保持（2）中所求的∠DEB 的度数不变，如图3，BM 平分∠EBK ，DN 平分∠CDE ，作BP ∥DN ，则∠PBM 的度数是否改变？若不发生变化，请求它的度数，若发生改变，请说明理由．（本题中的角均为大于0°且小于180°的角）．8．已知射线//AB 射线CD ，P 为一动点，AE 平分PAB ∠，CE 平分PCD ∠，且AE 与CE 相交于点E ．（注意：此题不允许使用三角形，四边形内角和进行解答）（1）在图1中，当点P 运动到线段AC 上时，180APC ∠=︒．直接写出AEC ∠的度数；（2）当点P 运动到图2的位置时，猜想AEC ∠与APC ∠之间的关系，并加以说明；（3）当点P 运动到图3的位置时，（2）中的结论是否还成立？若成立，请说明理由：若不成立，请写出AEC ∠与APC ∠之间的关系，并加以证明．9．如图所示，已知//AM BN ，点P 是射线AM 上一动点（与点A 不重合），BC 、BD 分别平分ABP ∠和PBN ∠，分别交射线AM 于点C 、D ，且60CBD ∠=︒ （1）求A ∠的度数．（2）当点P 运动时，APB ∠与ADB ∠之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律．（3）当点P 运动到使ACB ABD =∠∠时，求ABC ∠的度数．10．综合与探究综合与实践课上，同学们以“一个含30角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动，如图，已知两直线a ，b ，且//a b ，三角形ABC 是直角三角形，90BCA ∠=︒，30BAC ∠=︒，60ABC ∠=︒操作发现：（1）如图1．148∠=︒，求2∠的度数；（2）如图2．创新小组的同学把直线a 向上平移，并把2∠的位置改变，发现21120∠-∠=︒，请说明理由．实践探究：（3）填密小组在创新小组发现的结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，AC 平分BAM ∠，此时发现1∠与2∠又存在新的数量关系，请写出1∠与2∠的数量关系并说明理由．三、解答题11．（1）如图1，∠BAD 的平分线AE 与∠BCD 的平分线CE 交于点E ，AB ∥CD ，∠ADC =50°，∠ABC =40°，求∠AEC 的度数；（2）如图2，∠BAD 的平分线AE 与∠BCD 的平分线CE 交于点E ，∠ADC =α°，∠ABC =β°，求∠AEC 的度数；（3）如图3，PQ ⊥MN 于点O ，点A 是平面内一点，AB 、AC 交MN 于B 、C 两点，AD 平分∠BAC 交PQ 于点D ，请问ADPACB ABC∠∠-∠的值是否发生变化？若不变，求出其值；若改变，请说明理由．12．如图1，CE 平分ACD ∠，AE 平分BAC ∠，90EAC ACE ∠+∠=()1请判断AB 与CD 的位置关系并说明理由；()2如图2，当90E ∠=且AB 与CD 的位置关系保持不变，移动直角顶点E ，使MCE ECD ∠=∠，当直角顶点E 点移动时，问BAE ∠与MCD ∠否存在确定的数量关系？并说明理由．()3如图3，P 为线段AC 上一定点，点Q 为直线CD 上一动点且AB 与CD 的位置关系保持不变，①当点Q 在射线CD 上运动时（点C 除外），CPQ CQP ∠+∠与BAC ∠有何数量关系？猜想结论并说明理由．②当点Q 在射线CD 的反向延长线上运动时（点C 除外），CPQ CQP ∠+∠与BAC ∠有何数量关系？直接写出猜想结论，不需说明理由．13．问题情境：如图1，AB ∥CD ，∠PAB=130°，∠PCD=120°．求∠APC 度数．小明的思路是：如图2，过P 作PE ∥AB ，通过平行线性质，可得∠APC=50°+60°=110°．问题迁移：(1)如图3，AD ∥BC ，点P 在射线OM 上运动，当点P 在A 、B 两点之间运动时，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．∠CPD 、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由； (2)在(1)的条件下，如果点P 在A 、B 两点外侧运动时(点P 与点A 、B 、O 三点不重合)，请你直接写出∠CPD 、∠α、∠β间的数量关系．14．如图1，已知线段AB 、CD 相交于点O ，连接AC 、BD ，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，∠CAB 和∠BDC 的平分线AP 和DP 相交于点P ，并且与CD 、AB 分别相交于M 、N ．试解答下列问题：（1）仔细观察，在图2中有个以线段AC 为边的“8字形”；（2）在图2中，若∠B=96°，∠C=100°，求∠P 的度数；（3）在图2中，若设∠C=α，∠B=β，∠CAP=13∠CAB ，∠CDP=13∠CDB ，试问∠P 与∠C 、∠B 之间存在着怎样的数量关系（用α、β表示∠P ），并说明理由；（4）如图3，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数为．15．已知AB //CD ，点E 是平面内一点，∠CDE 的角平分线与∠ABE 的角平分线交于点F ．（1）若点E 的位置如图1所示．①若∠ABE =60°，∠CDE =80°，则∠F = °； ②探究∠F 与∠BED 的数量关系并证明你的结论；（2）若点E 的位置如图2所示，∠F 与∠BED 满足的数量关系式是．（3）若点E 的位置如图3所示，∠CDE 为锐角，且1452E F ∠≥∠+︒，设∠F =α，则α的取值范围为．【参考答案】一、解答题1．（1）证明见解析；（2）；（3）．【分析】（1）过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，由此即可得证；（2）过点作，同（1）的方法，先根据平行线的性质解析：（1）证明见解析；（2）90ABC F ∠-∠=︒；（3）45︒．【分析】（1）过点C 作CF AB ∥，先根据平行线的性质可得180ABC BCF ∠+∠=︒，再根据平行公理推论可得CF DE ，然后根据平行线的性质可得180CDE BCF BCD ∠+∠+∠=︒，由此即可得证；（2）过点C 作CG AB ∥，同（1）的方法，先根据平行线的性质得出180ABC BCG ∠+∠=︒，180F BCG BCF ∠+∠+∠=︒，从而可得ABC F BCF ∠-∠=∠，再根据垂直的定义可得90BCF ∠=︒，由此即可得出结论；（3）过点G 作GM AB ，延长FG 至点N ，先根据平行线的性质可得ABH MGH ∠=∠，MGN DFG ∠=∠，从而可得MGH MGN ABH DFG ∠-∠=∠-∠，再根据角平分线的定义、结合（2）的结论可得45MGH MGN ∠=-∠︒，然后根据角的和差、对顶角相等可得BGD CG MGH MGN F ∠-∠=∠-∠，由此即可得出答案．【详解】证明：（1）如图，过点C 作CF AB ∥，180ABC BCF ∴∠+∠=︒，AB DE ， CFDE ∴，180CDE DCF ∴∠+∠=︒，即180CDE BCF BCD ∠+∠+∠=︒，CDE BCF BCD ABC BCF ∴∠+∠+∠=∠+∠， BCD CDE ABC ∴∠+∠=∠；（2）如图，过点C 作CG AB ∥，180ABC BCG ∴∠+∠=︒，AB DE ， CG DE ∴，180F FCG ∴∠+∠=︒，即180F BCG BCF ∠+∠+∠=︒， F BCG BCF ABC BCG ∴∠+∠+∠=∠+∠， ABC F BCF ∴∠-∠=∠， CF BC ⊥，90BCF ∴∠=︒，90ABC F ∴∠-∠=︒；（3）如图，过点G 作GM AB ，延长FG 至点N ，ABH MGH ∴∠=∠，AB DE ， GM DE ∴，MGN DFG ∴∠=∠，BH 平分ABC ∠，FN 平分CFD ∠， 11,22ABH AB D C CF DFG ∴∠=∠∠∠=，由（2）可知，90ABC CFD ∠-∠=︒，411225MGH MGN ABH DFG CF B D A C ∠-∠=∠-∠∠∠-==∴︒，又BGD MGH MGDCGF DGN MGN MGD ∠=∠+∠⎧⎨∠=∠=∠+∠⎩，45MGH BGD GF MGN C ∠-∠∴-==∠∠︒．【点睛】本题考查了平行线的性质、对顶角相等、角平分线的定义等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题关键．2．（1）49°，（2）44°，（3）∠OPQ=∠ORQ【分析】（1）根据∠OPA=∠QPB．可求出∠OPA的度数；（2）由∠AOP=43°，∠BQP=49°可求出∠OPQ的度数，转化为（1）来解解析：（1）49°，（2）44°，（3）∠OPQ=∠ORQ【分析】（1）根据∠OPA=∠QP B．可求出∠OPA的度数；（2）由∠AOP=43°，∠BQP=49°可求出∠OPQ的度数，转化为（1）来解决问题；（3）由（2）推理可知：∠OPQ=∠AOP+∠BQP，∠ORQ=∠DOR+∠RQC，从而∠OPQ=∠ORQ．【详解】解：（1）∵∠OPA=∠QPB，∠OPQ=82°，∴∠OPA=（180°-∠OPQ）×12=（180°-82°）×12=49°，（2）作PC∥m，∵m∥n，∴m∥PC∥n，∴∠AOP=∠OPC=43°，∠BQP=∠QPC=49°，∴∠OPQ=∠OPC+∠QPC=43°+49°=92°，∴∠OPA=（180°-∠OPQ）×12=（180°-92°）×1244°，（3）∠OPQ=∠ORQ．理由如下：由（2）可知：∠OPQ=∠AOP+∠BQP，∠ORQ=∠DOR+∠RQC，∵入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，∴∠AOP=∠DOR，∠BQP=∠RQC，∴∠OPQ=∠ORQ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质和入射角等于反射角的规定，解决本题的关键是注意问题的设置环环相扣、前为后用的设置目的．3．（1）说明过程请看解答；（2）说明过程请看解答；（3）∠BED=360°-2∠BFD．【分析】（1）图1中，过点E作EG∥AB，则∠BEG=∠ABE，根据AB∥CD，EG∥AB，所以CD∥EG，解析：（1）说明过程请看解答；（2）说明过程请看解答；（3）∠BED=360°-2∠BFD．【分析】（1）图1中，过点E作EG∥AB，则∠BEG=∠ABE，根据AB∥CD，EG∥AB，所以CD∥EG，所以∠DEG=∠CDE，进而可得∠BED=∠ABE+∠CDE；（2）图2中，根据∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点F，结合（1）的结论即可说明：∠BED=2∠BFD；（3）图3中，根据∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点F，过点E作EG∥AB，则∠BEG+∠ABE=180°，因为AB∥CD，EG∥AB，所以CD∥EG，所以∠DEG+∠CDE=180°，再结合（1）的结论即可说明∠BED与∠BFD之间的数量关系．【详解】解：（1）如图1中，过点E作EG∥AB，则∠BEG=∠ABE，因为AB∥CD，EG∥AB，所以CD∥EG，所以∠DEG=∠CDE，所以∠BEG+∠DEG=∠ABE+∠CDE，即∠BED=∠ABE+∠CDE；（2）图2中，因为BF平分∠ABE，所以∠ABE=2∠ABF，因为DF平分∠CDE，所以∠CDE=2∠CDF，所以∠ABE+∠CDE=2∠ABF+2∠CDF=2（∠ABF+∠CDF），由（1）得：因为AB∥CD，所以∠BED=∠ABE+∠CDE，∠BFD=∠ABF+∠CDF，所以∠BED=2∠BFD．（3）∠BED=360°-2∠BFD．图3中，过点E作EG∥AB，则∠BEG+∠ABE=180°，因为AB∥CD，EG∥AB，所以CD∥EG，所以∠DEG+∠CDE=180°，所以∠BEG+∠DEG=360°-（∠ABE+∠CDE），即∠BED=360°-（∠ABE+∠CDE），因为BF平分∠ABE，所以∠ABE=2∠ABF，因为DF平分∠CDE，所以∠CDE=2∠CDF，∠BED=360°-2（∠ABF+∠CDF），由（1）得：因为AB∥CD，所以∠BFD=∠ABF+∠CDF，所以∠BED=360°-2∠BFD．【点睛】本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质．4．（1）①35°；（2）55°；（2）存在，或【分析】（1）①依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠PCG的度数；②依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠ECG=∠GCF=20°解析：（1）①35°；（2）55°；（2）存在，52.5︒或7.5︒【分析】（1）①依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠PCG的度数；②依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠ECG=∠GCF=20°，再根据PQ∥CE，即可得出∠CPQ=∠ECP=60°；（2）设∠EGC=3x，∠EFC=2x，则∠GCF=3x-2x=x，分两种情况讨论：①当点G、F在点E 的右侧时，②当点G、F在点E的左侧时，依据等量关系列方程求解即可．【详解】解：（1）①∵AB∥CD，∴∠CEB+∠ECQ=180°，∵∠CEB=110°，∴∠ECQ=70°，∵∠PCF=∠PCQ，CG平分∠ECF，∴∠PCG＝∠PCF+∠FCG＝12∠QCF+12∠FCE＝12∠ECQ＝35°；②∵AB∥CD，∴∠QCG=∠EGC，∵∠QCG+∠ECG=∠ECQ=70°，∴∠EGC+∠ECG=70°，又∵∠EGC-∠ECG=30°，∴∠EGC=50°，∠ECG=20°，∴∠ECG=∠GCF=20°，∠PCF＝∠PCQ＝12(70°−40°)＝15°，∵PQ∥CE，∴∠CPQ=∠ECP=∠ECQ-∠PCQ=70°-15°=55°．（2）52.5°或7.5°，设∠EGC=3x°，∠EFC=2x°，①当点G、F在点E的右侧时，∵AB∥CD，∴∠QCG=∠EGC=3x°，∠QCF=∠EFC=2x°，则∠GCF=∠QCG-∠QCF=3x°-2x°=x°，∴∠PCF＝∠PCQ＝12∠FCQ＝12∠EFC＝x°，则∠ECG=∠GCF=∠PCF=∠PCD=x°，∵∠ECD=70°，∴4x=70°，解得x=17.5°，∴∠CPQ=3x=52.5°；②当点G、F在点E的左侧时，反向延长CD到H，∵∠EGC=3x°，∠EFC=2x°，∴∠GCH=∠EGC=3x°，∠FCH=∠EFC=2x°，∴∠ECG=∠GCF=∠GCH-∠FCH=x°，∵∠CGF=180°-3x°，∠GCQ=70°+x°，∴180-3x=70+x，解得x=27.5，∴∠FCQ=∠ECF+∠ECQ=27.5°×2+70°=125°，∴∠PCQ＝12∠FCQ＝62.5°，∴∠CPQ=∠ECP=62.5°-55°=7.5°，【点睛】本题主要考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等是解题的关键．5．（1）∠BME＝∠MEN−∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．（2）120°（3）∠FEQ的大小没发生变化，∠FEQ＝30°．【分析】（1）过E作EHAB，易得EHABCD，根据平行线的性质解析：（1）∠BME＝∠MEN−∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．（2）120°（3）∠FEQ的大小没发生变化，∠FEQ＝30°．【分析】（1）过E作EH//AB，易得EH//AB//CD，根据平行线的性质可求解；过F作FH//AB，易得FH//AB//CD，根据平行线的性质可求解；（2）根据（1）的结论及角平分线的定义可得2（∠BME＋∠END）＋∠BMF−∠FND＝180°，可求解∠BMF＝60°，进而可求解；∠BME，进而可求解．（3）根据平行线的性质及角平分线的定义可推知∠FEQ＝12【详解】解：（1）过E作EH//AB，如图1，∴∠BME＝∠MEH，∵AB//CD，∴HE//CD，∴∠END＝∠HEN，∴∠MEN＝∠MEH＋∠HEN＝∠BME＋∠END，即∠BME＝∠MEN−∠END．如图2，过F作FH//AB，∴∠BMF＝∠MFK，∵AB//CD，∴FH//CD，∴∠FND＝∠KFN，∴∠MFN＝∠MFK−∠KFN＝∠BMF−∠FND，即：∠BMF＝∠MFN＋∠FND．故答案为∠BME＝∠MEN−∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．（2）由（1）得∠BME＝∠MEN−∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．∵NE平分∠FND，MB平分∠FME，∴∠FME＝∠BME＋∠BMF，∠FND＝∠FNE＋∠END，∵2∠MEN＋∠MFN＝180°，∴2（∠BME＋∠END）＋∠BMF−∠FND＝180°，∴2∠BME＋2∠END＋∠BMF−∠FND＝180°，即2∠BMF＋∠FND＋∠BMF−∠FND＝180°，解得∠BMF＝60°，∴∠FME＝2∠BMF＝120°；（3）∠FEQ的大小没发生变化，∠FEQ＝30°．由（1）知：∠MEN＝∠BME＋∠END，∵EF平分∠MEN，NP平分∠END，∴∠FEN＝12∠MEN＝12（∠BME＋∠END），∠ENP＝12∠END，∵EQ//NP，∴∠NEQ＝∠ENP，∴∠FEQ＝∠FEN−∠NEQ＝12（∠BME＋∠END）−12∠END＝12∠BME，∵∠BME＝60°，∴∠FEQ＝12×60°＝30°．【点睛】本题主要考查平行线的性质及角平分线的定义，作辅助线是解题的关键．二、解答题6．（1）②③；（2）相等，理由见解析；（3）30°或45°或75°或120°或135°【分析】（1）根据平行线的判定和性质分别判定即可；（2）利用角的和差，结合∠CAB=∠DAE=90°进行判断解析：（1）②③；（2）相等，理由见解析；（3）30°或45°或75°或120°或135°【分析】（1）根据平行线的判定和性质分别判定即可；（2）利用角的和差，结合∠CAB=∠DAE=90°进行判断；（3）依据这两块三角尺各有一条边互相平行，分五种情况讨论，即可得到∠EAB角度所有可能的值．【详解】解：（1）①∵∠BFD=60°，∠B=45°，∴∠BAD+∠D=∠BFD+∠B=105°，∴∠BAD=105°-30°=75°，∴∠BAD≠∠B，∴BC和AD不平行，故①错误；②∵∠BAC+∠DAE=180°，∴∠BAE+∠CAD=∠BAE+∠CAE+∠DAE=180°，故②正确；③若BC∥AD，则∠BAD=∠B=45°，∴∠BAE=45°，即AB平分∠EAD，故③正确；故答案为：②③；（2）相等，理由是：∵∠CAD=150°，∴∠BAE=180°-150°=30°，∴∠BAD=60°，∵∠BAD+∠D=∠BFD+∠B，∴∠BFD=60°+30°-45°=45°=∠C；（3）若AC∥DE，则∠CAE=∠E=60°，∴∠EAB=90°-60°=30°；若BC∥AD，则∠B=∠BAD=45°，∴∠EAB=45°；若BC∥DE，则∠E=∠AFB=60°，∴∠EAB=180°-60°-45°=75°；若AB ∥DE ，则∠D =∠DAB =30°，∴∠EAB =30°+90°=120°；若AE ∥BC ，则∠C =∠CAE =45°，∴∠EAB =45°+90°=135°；综上：∠EAB 的度数可能为30°或45°或75°或120°或135°．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，解题的关键是理解题意，分情况画出图形，学会用分类讨论的思想思考问题．7．(1) ；(2) ；(3)不发生变化，理由见解析【分析】(1)如图1，延长DE 交AB 于点F ，根据平行线的性质推出；(2)如图2，过点E 作ES ∥AB ，过点H 作HT ∥AB ，根据AB ∥CD ，AB ∥E 解析：(1) +180ACB BED ∠∠=︒；(2) 100︒；(3)不发生变化，理由见解析【分析】(1)如图1，延长DE 交AB 于点F ，根据平行线的性质推出+180ACB BED ∠∠=︒；(2)如图2，过点E 作ES ∥AB ，过点H 作HT ∥AB ，根据AB ∥CD ，AB ∥ES 推出BED ABE CDE ∠=∠+∠，再根据AB ∥TH ，AB ∥CD 推出GHD THD THB ∠=∠-∠，最后根据BED ∠比BHD ∠大60︒得出BED ∠的度数；(3)如图3，过点E 作EQ ∥DN ，根据DEB CDE ABE ∠=∠+∠得出βα-的度数，根据条件再逐步求出PBM ∠的度数．【详解】(1)如答图1所示，延长DE 交AB 于点F ．AB ∥CD ，所以D EFB ∠=∠，又因为A D ∠=∠，所以A EFB ∠=∠，所以AC ∥DF ，所以ACB CED ∠=∠．因为+180CED BED ∠∠=︒，所以+180ACB BED ∠∠=︒．(2)如答图2所示，过点E 作ES ∥AB ，过点H 作HT ∥AB ．设ABG EBG α∠=∠=，FDH EDH β∠=∠=，因为AB ∥CD ，AB ∥ES ，所以ABE BES ∠=∠，SED CED ∠=∠，所以21802BED BES SED ABE CDE αβ∠=∠+∠=∠+∠=+︒-，因为AB ∥TH ，AB ∥CD ，所以ABG THB ∠=∠，FDH DHT ∠=∠，所以GHD THD THB βα∠=∠-∠=-，因为BED ∠比BHD ∠大60︒，所以2+1802()60αββα︒---=︒，所以40βα-=︒，所以40BHD ∠=︒，所以100BED ∠=︒(3)不发生变化如答图3所示，过点E 作EQ ∥DN ．设CDN EDN α∠=∠=，EBM KBM β∠=∠=，由(2)易知DEB CDE ABE ∠=∠+∠，所以2+1802100αβ︒-=︒，所以40βα-=︒，所以180()180DEB CDE EDN EBM PBM PBM αβ∠=∠+∠+︒-∠+∠=+︒--∠，所以80()40PBM βα∠=︒--=︒．【点睛】本题考查了平行线的性质，求角的度数，正确作出相关的辅助线，根据条件逐步求出角度的度数是解题的关键．8．（1）；（2），证明见解析；（3），证明见解析．【分析】（1）过点作，先根据平行线的性质、平行公理推论可得，从而可得，再根据平行线的性质可得，然后根据角平分线的定义可得，最后根据角的和差即可得；解析：（1）90︒；（2）2APC AEC ∠=∠，证明见解析；（3）2360APC AEC ∠+∠=︒，证明见解析．【分析】（1）过点E 作//EF AB ，先根据平行线的性质、平行公理推论可得,AEF BAE CEF DCE ∠=∠∠=∠，从而可得AEC BAE DCE ∠=∠+∠，再根据平行线的性质可得180PAB PCD ∠+∠=︒，然后根据角平分线的定义可得11,22BAE PAB DCE PCD ∠=∠∠=∠，最后根据角的和差即可得；（2）过点E 作//EF AB ，过点P 作//PQ AB ，先根据（1）可得1()2AEC BAE DCE PAB PCD ∠=∠+∠=∠+∠，再根据（1）同样的方法可得APC PAB PCD ∠=∠+∠，由此即可得出结论；（3）过点E 作//EF AB ，过点P 作//PQ AB ，先根据（1）可得2PAB PCD AEC ∠+∠=∠，再根据平行线的性质、平行公理推论可得180,180APQ PAB CPQ PCD ∠=︒-∠∠=︒-∠，然后根据角的和差、等量代换即可得出结论．【详解】解：（1）如图，过点E 作//EF AB ，AEF BAE ∴∠=∠，//AB CD ，//EF CD ∴，CEF DCE ∴∠=∠，AEC AEF CEF BAE DCE ∴∠=∠+∠=∠+∠，又//AB CD ，且点P 运动到线段AC 上，180PAB PCD ∴∠+∠=︒，AE ∵平分PAB ∠，CE 平分PCD ∠，11,22BAE PAB DCE PCD ∴∠=∠∠=∠， 111()90222AEC PAB PCD PAB PCD ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒；（2）猜想2APC AEC ∠=∠，证明如下：如图，过点E 作//EF AB ，过点P 作//PQ AB ，由（1）已得：1()2AEC BAE DCE PAB PCD ∠=∠+∠=∠+∠，同理可得：APC PAB PCD ∠=∠+∠，2APC AEC ∴∠=∠；（3）2360APC AEC ∠+∠=︒，证明如下：如图，过点E 作//EF AB ，过点P 作//PQ AB ，由（1）已得：1()2AEC BAE DCE PAB PCD ∠=∠+∠=∠+∠，即2PAB PCD AEC ∠+∠=∠，//PQ AB ，180APQ PAB ∴∠+∠=︒，即180APQ PAB ∠=︒-∠，//AB CD ，//PQ CD ∴，180CPQ PCD ∴∠+∠=︒，即180CPQ PCD ∠=︒-∠，APC APQ CPQ ∴∠=∠+∠，180180PAB PCD =︒-∠+︒-∠，()360PAB PCD =︒-∠+∠，3602AEC =︒-∠，即2360APC AEC ∠+∠=︒．【点睛】本题考查了平行线的性质、平行公理推论、角平分线的定义等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题关键．9．（1）；（2）不变化，，理由见解析；（3）【分析】（1）结合题意，根据角平分线的性质，得；再根据平行线的性质计算，即可得到答案；（2）根据平行线的性质，得，；结合角平分线性质，得，即可完成求解解析：（1）60A ∠=；（2）不变化，2APB ADB ∠=∠，理由见解析；（3）30ABC ∠=【分析】（1）结合题意，根据角平分线的性质，得ABN ∠；再根据平行线的性质计算，即可得到答案；（2）根据平行线的性质，得APB PBN ∠=∠，ADB DBN ∠=∠；结合角平分线性质，得2APB ADB ∠=∠，即可完成求解；（3）根据平行线的性质，得ACB CBN ∠=∠；结合ACB ABD =∠∠，推导得ABC DBN ∠=∠；再结合（1）的结论计算，即可得到答案．【详解】（1）∵BC ，BD 分别评分ABP ∠和PBN ∠， ∴1122CBP ABP DBP PBN ∠=∠∠=∠，，∴2ABN CBD ∠=∠又∵60CBD ∠=，∴120ABN ∠=∵//AM BN ，∴180A ABN ∠+∠=∴60A ∠=；（2）∵//AM BN ，∴APB PBN ∠=∠，ADB DBN ∠=∠又∵BD 平分PBN ∠∴2PBN DBN ∠=∠，∴2APB ADB ∠=∠；∴APB ∠与ADB ∠之间的数量关系保持不变；（3）∵//AD BN ，∴ACB CBN ∠=∠又∵ACB ABD =∠∠，∴CBN ABD ∠=∠，∵ABC CBN ABD DBN ∠+∠=∠+∠∴ABC DBN ∠=∠由（1）可得60CBD ∠=，120ABN ∠= ∴()112060302ABC ∠=⨯-=．【点睛】本题考查了角平分线、平行线的知识；解题的关键是熟练掌握角平分线、平行线的性质，从而完成求解．10．（1）；（2）理由见解析；（3），理由见解析．【分析】（1）由平角定义求出∠3＝42°，再由平行线的性质即可得出答案；（2）过点B 作BD ∥a ．由平行线的性质得∠2＋∠ABD ＝180°，∠1＝∠ 解析：（1）242∠=︒；（2）理由见解析；（3）12∠=∠，理由见解析．【分析】（1）由平角定义求出∠3＝42°，再由平行线的性质即可得出答案；（2）过点B 作BD ∥a ．由平行线的性质得∠2＋∠ABD ＝180°，∠1＝∠DBC ，则∠ABD ＝∠ABC−∠DBC ＝60°−∠1，进而得出结论；（3）过点C 作CP ∥a ，由角平分线定义得∠CAM ＝∠BAC ＝30°，∠BAM ＝2∠BAC ＝60°，由平行线的性质得∠1＝∠BAM ＝60°，∠PCA ＝∠CAM ＝30°，∠2＝∠BCP ＝60°，即可得出结论．【详解】解：（1）如图1 148∠=︒，90BCA ∠=︒，3180142BCA ∴∠=︒-∠-∠=︒，//a b，∴∠=∠=︒；2342图1BD a，（2）理由如下：如图2．过点B作//图2ABD∴∠+∠=︒，2180a b，//b BD∴，//∴∠=∠DBC，1∴∠=∠-∠=︒-∠，601ABD ABC DBC∴∠+︒-∠=︒，2601180∴∠-∠=︒；21120（3）12∠=∠，图3CP a，理由如下：如图3，过点C作//AC平分BAM∠，∴∠=∠=︒，CAM BAC30∠=∠=︒，260BAM BACa b，又//CP b∴，//∠=∠=︒，160BAM30PCA CAM ∴∠=∠=︒，903060BCP BCA PCA ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，又//CP a ，260BCP ∴∠=∠=︒，12∠∠∴=．【点睛】本题是三角形综合题目，考查了平移的性质、直角三角形的性质、平行线的判定与性质、角平分线定义、平角的定义等知识；本题综合性强，熟练掌握平移的性质和平行线的性质是解题的关键．三、解答题11．（1）∠E=45°；（2）∠E=；（3）不变化，【分析】（1）由三角形内角和定理，可得∠D+∠ECD=∠E+∠EAD ，∠B+∠EAB=∠E+∠ECB ，由角平分线的性质，可得∠ECD=∠ECB=∠解析：（1）∠E =45°；（2）∠E =2βα-；（3）不变化，12【分析】（1）由三角形内角和定理，可得∠D+∠ECD=∠E+∠EAD ，∠B+∠EAB=∠E+∠ECB ，由角平分线的性质，可得∠ECD=∠ECB=12∠BCD ，∠EAD=∠EAB=12∠BAD ，则可得∠E= 12（∠D+∠B ），继而求得答案；（2）首先延长BC 交AD 于点F ，由三角形外角的性质，可得∠BCD=∠B+∠BAD+∠D ，又由角平分线的性质，即可求得答案．（3）由三角形内角和定理，可得90ADP ACB DAC ∠+︒=∠+∠ADP DFO ABC OEB ∠+∠=∠+∠，利用角平分线的性质与三角形的外角的性质可得答案．【详解】解：（1）∵CE 平分∠BCD ，AE 平分∠BAD∴∠ECD=∠ECB=12∠BCD ，∠EAD=∠EAB=12∠BAD ， ∵∠D+∠ECD=∠E+∠EAD ，∠B+∠EAB=∠E+∠ECB ，∴∠D+∠ECD+∠B+∠EAB=∠E+∠EAD+∠E+∠ECB∴∠D+∠B=2∠E ，∴∠E=12（∠D+∠B ）， ∵∠ADC=50°，∠ABC=40°，∴∠AEC=12×（50°+40°）=45°；（2）延长BC 交AD 于点F ，∵∠BFD=∠B+∠BAD ，∴∠BCD=∠BFD+∠D=∠B+∠BAD+∠D ，∵CE 平分∠BCD ，AE 平分∠BAD∴∠ECD=∠ECB=12∠BCD ，∠EAD=∠EAB=12∠BAD ， ∵∠E+∠ECB=∠B+∠EAB ，∴∠E=∠B+∠EAB －∠ECB=∠B+∠BAE －12∠BCD =∠B+∠BAE －12（∠B+∠BAD+∠D ） = 12（∠B －∠D ）， ∠ADC =α°，∠ABC =β°，即∠AEC=.2βα-（3）ADP ACB ABC ∠∠-∠的值不发生变化，1.2ADP ACB ABC ∠∴=∠-∠ 理由如下：如图，记AB 与PQ 交于E ，AD 与CB 交于F ，,PQ MN ⊥90,DOC BOE ∴∠=∠=︒90ADP ACB DAC ∠+︒=∠+∠①，ADP DFO ABC OEB ∠+∠=∠+∠②，∴ ①－②得：90,DFO ACB ABC DAC OEB ︒-∠=∠-∠+∠-∠90,DFO OEB DAC ACB ABC ∴︒-∠+∠-∠=∠-∠90,,ADP DFO OEB EAD ADP ∠=︒-∠∠-∠=∠AD 平分∠BAC ，,BAD CAD ∴∠=∠,OEB CAD ADP ∴∠-∠=∠2,ADP ACB ABC ∠=∠-∠ 1.2ADP ACB ABC ∠∴=∠-∠【点睛】此题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质以及角平分线的定义．此题难度较大，注意掌握整体思想与数形结合思想的应用．12．（1）详见解析；（2）∠BAE+∠MCD=90°，理由详见解析；（3）详见解析.【详解】试题分析：（1）先根据CE 平分∠ACD ，AE 平分∠BAC 得出∠BAC=2∠EAC ，∠ACD=2∠ACE ，再解析：（1）详见解析；（2）∠BAE+12∠MCD=90°，理由详见解析；（3）详见解析. 【详解】试题分析：（1）先根据CE 平分∠ACD ，AE 平分∠BAC 得出∠BAC =2∠EAC ，∠ACD =2∠ACE ，再由∠EAC +∠ACE =90°可知∠BAC +∠ACD =180，故可得出结论；（2）过E 作EF ∥AB ，根据平行线的性质可知EF ∥AB ∥CD ，∠BAE =∠AEF ，∠FEC =∠DCE ，故∠BAE +∠ECD =90°，再由∠MCE =∠ECD 即可得出结论；（3）根据AB ∥CD 可知∠BAC +∠ACD =180°，∠QPC +∠PQC +∠PCQ =180°，故∠BAC=∠PQC+∠QPC．试题解析：证明：（1）∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∴∠BAC=2∠EAC，∠ACD=2∠ACE．∵∠EAC+∠ACE=90°，∴∠BAC+∠ACD=180，∴AB∥CD；（2）∠BAE+12∠MCD=90°．证明如下：过E作EF∥AB．∵AB∥CD，∴EF∥∥AB∥CD，∴∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE．∵∠E=90°，∴∠BAE+∠ECD=90°．∵∠MCE=∠ECD，∴∠BAE+12∠MCD=90°；（3）①∠BAC=∠PQC+∠QPC．理由如下：如图3：∵AB∥CD，∴∠BAC+∠ACD=180°．∵∠QPC+∠PQC+∠PCQ=180°，∴∠BAC=∠PQC+∠QPC；②∠PQC+∠QPC+∠BAC=180°．理由如下：如图4：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACQ．∵∠PQC+∠PCQ+∠ACQ=180°，∴∠PQC+∠QPC+∠BAC=180°．点睛：本题考查了平行线的性质，根据题意作出平行线是解答此题的关键．13．（1），理由见解析；（2）当点P在B、O两点之间时，；当点P在射线AM上时，.【分析】（1）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠C解析：（1）CPDαβ∠=∠+∠，理由见解析；（2）当点P在B、O两点之间时，CPDαβ∠=∠-∠；当点P在射线AM上时，CPDβα∠=∠-∠.【分析】（1）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案；（2）分两种情况：①点P在A、M两点之间，②点P在B、O两点之间，分别画出图形，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出结论．【详解】解：(1)∠CPD＝∠α＋∠β，理由如下：如图，过P作PE∥AD交CD于E.∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE＋∠CPE＝∠α＋∠β.(2)当点P在A、M两点之间时，∠CPD＝∠β－∠α.理由：如图，过P作PE∥AD交CD于E.∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠CPE－∠DPE＝∠β－∠α；当点P在B、O两点之间时，∠CPD＝∠α－∠β.理由：如图，过P作PE∥AD交CD于E.∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE－∠CPE＝∠α－∠β.【点睛】本题考查了平行线的性质的运用，主要考核了学生的推理能力，解决问题的关键是作平行线构造内错角，利用平行线的性质进行推导．解题时注意：问题（2）也可以运用三角形外角性质来解决．14．（1）3；（2）98°；（3）∠P=（β+2α），理由见解析；（4）360°.【分析】（1）以M为交点的“8字形”有1个，以O为交点的“8字形”有2个；（2）根据角平分线的定义得到∠CAP=∠解析：（1）3；（2）98°；（3）∠P=（β+2α），理由见解析；（4）360°.【分析】（1）以M为交点的“8字形”有1个，以O为交点的“8字形”有2个；（2）根据角平分线的定义得到∠CAP=∠BAP，∠BDP=∠CDP，再根据三角形内角和定理得到∠CAP+∠C=∠CDP+∠P，∠BAP+∠P=∠BDP+∠B，两等式相减得到∠C﹣∠P=∠P﹣∠B，即∠P=（∠C+∠B），然后把∠C=100°，∠B=96°代入计算即可；（3）与（2）的证明方法一样得到∠P=（2∠C+∠B）．（4）根据三角形内角与外角的关系可得∠B+∠A=∠1，∠C+∠D=∠2，再根据四边形内角和为360°可得答案．【详解】解：（1）在图2中有3个以线段AC为边的“8字形”，故答案为3；（2）∵∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，∴∠CAP=∠BAP，∠BDP=∠CDP，∵∠CAP+∠C=∠CDP+∠P，∠BAP+∠P=∠BDP+∠B，∴∠C﹣∠P=∠P﹣∠B，即∠P=（∠C+∠B），∵∠C=100°，∠B=96°∴∠P=（100°+96°）=98°；（3）∠P=（β+2α）；理由：∵∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB，∴∠BAP=∠BAC，∠BDP=∠BDC，∵∠CAP+∠C=∠CDP+∠P，∠BAP+∠P=∠BDP+∠B，∴∠C﹣∠P=∠BDC﹣∠BAC，∠P﹣∠B=∠BDC﹣∠BAC，∴2（∠C﹣∠P）=∠P﹣∠B，∴∠P=（∠B+2∠C），∵∠C=α，∠B=β，∴∠P=（β+2α）；（4）∵∠B+∠A=∠1，∠C+∠D=∠2，∴∠A+∠B+∠C+∠D=∠1+∠2，∵∠1+∠2+∠F+∠E=360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．故答案为360°．15．（1）①70；②∠F=∠BED ，证明见解析；（2）2∠F+∠BED=360°；（3）【分析】（1）①过F 作FG//AB ，利用平行线的判定和性质定理得到∠DFB=∠DFG+∠BFG=∠CDF+∠A解析：（1）①70；②∠F =12∠BED ，证明见解析；（2）2∠F+∠BED =360°；（3）3045α︒≤<︒ 【分析】（1）①过F 作FG//AB ，利用平行线的判定和性质定理得到∠DFB=∠DFG+∠BFG=∠CDF+∠ABF ，利用角平分线的定义得到∠ABE+∠CDE=2∠ABF+2∠CDF=2（∠ABF+∠CDF ），求得∠ABF+∠CDF=70︒，即可求解； ②分别过E 、F 作EN//AB ，FM//AB ，利用平行线的判定和性质得到∠BED=∠ABE+∠CDE ，利用角平分线的定义得到∠BED=2（∠ABF+∠CDF ），同理得到∠F=∠ABF+∠CDF ，即可求解；（2）根据∠ABE 的平分线与∠CDE 的平分线相交于点F ，过点E 作EG ∥AB ，则∠BEG+∠ABE=180°，因为AB ∥CD ，EG ∥AB ，所以CD ∥EG ，所以∠DEG+∠CDE=180°，再结合①的结论即可说明∠BED 与∠BFD 之间的数量关系；（3）通过对1452E F ∠≥∠+︒的计算求得30α≥︒，利用角平分线的定义以及三角形外角的性质求得45α<︒，即可求得3045α︒≤<︒．【详解】（1）①过F 作FG//AB ，如图：∵AB ∥CD ，FG ∥AB ，∴CD ∥FG ，∴∠ABF=∠BFG ，∠CDF=∠DFG ，∴∠DFB=∠DFG+∠BFG=∠CDF+∠ABF ，∵BF 平分∠ABE ，∴∠ABE=2∠ABF ，∵DF 平分∠CDE ，∴∠CDE=2∠CDF，∴∠ABE+∠CDE=2∠ABF+2∠CDF=2（∠ABF+∠CDF）=60︒+80︒=140︒，∴∠ABF+∠CDF=70︒，∴∠DFB=∠ABF+∠CDF=70︒，故答案为：70；∠BED，②∠F=12理由是：分别过E、F作EN//AB，FM//AB，∵EN//AB，∴∠BEN=∠ABE，∠DEN=∠CDE，∴∠BED=∠ABE+∠CDE，∵DF、BF分别是∠CDE的角平分线与∠ABE的角平分线，∴∠ABE=2∠ABF，∠CDE=2∠CDF，即∠BED=2（∠ABF+∠CDF）；同理，由FM//AB，可得∠F=∠ABF+∠CDF，∠BED；∴∠F=12（3）2∠F+∠BED=360°．如图，过点E作EG∥AB，则∠BEG+∠ABE=180°，∵AB∥CD，EG∥AB，∴CD∥EG，∴∠DEG+∠CDE=180°，∴∠BEG+∠DEG=360°-（∠ABE+∠CDE），即∠BED=360°-（∠ABE+∠CDE），∵BF平分∠ABE，∴∠ABE=2∠ABF，∵DF平分∠CDE，∴∠CDE=2∠CDF，∠BED=360°-2（∠ABF+∠CDF），由①得：∠BFD=∠ABF+∠CDF，∴∠BED=360°-2∠BFD ，即2∠F+∠BED=360°；（3）∵1452E F ∠≥∠+︒，∠F =α，∴2452αα≥+︒，解得：30α≥︒，如图，∵∠CDE 为锐角，DF 是∠CDE 的角平分线，∴∠CDH=∠DHB 190452<⨯︒=︒， ∴∠F <∠DHB 45<︒，即45α<︒，∴3045α︒≤<︒，故答案为：3045α︒≤<︒．【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及三角形外角性质的应用，在解答此题时要注意作出辅助线，构造出平行线求解．。

北师大版2020七年级数学下册期末综合复习培优测试题(附答案)

北师大版2020七年级数学下册期末综合复习培优测试题（附答案）1. 如图，EC 丄AE,垂足为C,过C 作CD 〃AB,若ZECD=43°,则ZB=（A, 43° E. 57° C. 47°D. 45° 2. 下列运算中与a 4*a 4结果相同的是：（） A. 宀s B. 2a 4 C.何）“ D- （d 4）4 3. 下列说法正确的是（）A. 367人中有2人的生口相同，这一事件是随机事件.B. 为了了解泰州火车站某一天中通过的列车车辆数，可采用普查的方式进行.C. 彩票中奖的概率是1%,买100张一定会中奖.D. 泰州市某中学生对他所在的住宅小区的家庭进行调查，发现拥有空调的家庭占80%, 于是他得出泰州市80%的家庭拥有空调的结论.4. 若（"『"严,则m 、n 的值分别是（）7. 如图，下列各语句中，错误的语句是A. m=9 n=5B. m=3、n=5C. m=5、n=3c.A. 卞列运算正确的是（）a°=l E ・ 3a * 4a = 12a C. a 12-a 3=a 4 D. (a 3)4 = a 12A. ZADE 与ZB 是同位角C. ZBDE 与ZAED 是内错角 E. ZBDE 与ZC 是同旁内角 D ・ZBDE 与上DEC 是同旁内角卜•列图案中, 5. 6. D ・ m=6、n=12 )8. 从边长为d 的正方形中剪掉一个边长为b 的正方形（如图所示），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图所示）•根据图形的变化过程，写岀的一个正确的等式是（）11.计算:8jPb$・(—2ab) 3= ________________12•将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的■一个按同样的方法所剪次数 1 2 3 4• • • n正三角形个数 47 10 13 • • • a n 则剪次时正三角形的个数为 ___________13. 如图，直线AB 表示某天然气的主管道，现在要从主管道引一条分管道到某村庄P,则沿图中线段 ______________ 修建可使用料最省.理由是 _____________________________14. （一4a‘ +12%- 7a 访'）（-4/ ） = __________ .A, C. 9. (a 一 b)2 =a 2 - 2ab + b 2 b(d -b) = cib-b 2如图所示，△ ABC 中AC 边上的高线是（ B. D. ci(ci -b) = a 2 -aba 2 -b 2 = (d + b)(a_b)A.线段DAB. 线段EAC. 线段EDD. 线段EC 10.如图，若 AB 〃CD,则Za=150°,Zp=80°,则Zy=() D ・ 30°15・观察下边各式，你发现什么规律：将你猜想到的规律用只含有一个字母的等式表示出来 ____________ •5 x 7 = 62-1 7X 9 = 82-113 x 15 = 195 = 142-116. 如图，H 若是MBC 三条高AD^ BE, CF 的交点,则归4中边上的高是_____________________ ・（用已知的字母表示）17. ____________________________________________________________ 如图，AB 〃CD, AC 平分ZDAB,若ZD=136°,则ZDCA= _________________________________18. 已知a, b, c 为三角形的三边，化简|d + b — 4 — |b — d — 4的结果是 _____________________ 19. 如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，Zl=30% Z2=48° ,则21.如图1为厶形的一种三格骨牌，它是由三个全等的正方形连接而成•请以厶形的三格骨牌为基本图形，在图2,图3中各设计一个轴对称图形，要求如下：（1）每个图形由两个厶形三格骨牌组成，骨牌的顶点都在小正方形的顶点上.（2）设计的图形用斜线涂出，若形状相同，则视为一种.ZB=40°,CN 是ZECE 的平分线，CM 丄CN,则23 x5=4 -1 D CZBCM=22・如图，在 RtA ABC 中，ZACB=90°, ZA=30°, BC=3cm, CD 丄AB,在 AC 上取一点E,使EC=EC,过点E 作EF 丄AC 交CD 的延长线于点F,求EF 和AE 的长.23 •化简.计算:(l)cR+(—2/)'24.（本小题7分）一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“灵”、“秀”、“黄”、“冈”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球.（1）若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“黄”的概率为多少？（2）甲从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图的方法，求出甲取出的两个球上的汉字恰能组成“灵秀”或“潢冈”（汉字不分先后顺序）的概率P 】；（3）乙从中任取一球，记卞汉字后再放回袋中，然后再从中任取一球，记乙取出的两个球上的汉字恰能组成“灵秀”或“黄冈”（汉字不分先后顺序）的概率为匕，请直接写出 P?的值,并比较Pi, P2的大小.（2+3+2=7）26. 如图，已知AB II CD,现将一直角三角形PMN 放入图中，其中= 90°, PM 交AB 于点E, PN 交CD 于点F.（1）当APMN 在如图1所示的位置时，求出ZPFD 与ZAEM 的数量关系；25.(2)当ApivlN在如图2所示的位置时，求证：乙PFD-ZAEM = 90J(3)在(2)的条件下，若MN与CD交于点O,且厶DON = 20。

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北师大版七年级下册数学培优压轴题一．解答题（共8小题）1．已知四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F．当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时（如图1），易证AE+CF=EF；当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系请写出你的猜想，不需证明．2．（1）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD 上的点，且∠EAF=∠BAD．求证：EF=BE+FD；（2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD 上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立（3）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．3．如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．（1）操作发现如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：①线段DE与AC的位置关系是；②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是．（2）猜想论证当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．（3）拓展探究已知∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，BD=CD=4，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA上存在点F，使S△DCF =S△BDE，请直接写出相应的BF的长．4．如图1，已知线段AB的长为2a，点P是AB上的动点（P不与A，B重合），分别以AP、PB为边向线段AB的同一侧作正△APC和正△PBD．（1）当△APC与△PBD的面积之和取最小值时，AP= ；（直接写结果）（2）连接AD、BC，相交于点Q，设∠AQC=α，那么α的大小是否会随点P的移动而变化请说明理由；（3）如图2，若点P固定，将△PBD绕点P按顺时针方向旋转（旋转角小于180°），此时α的大小是否发生变化（只需直接写出你的猜想，不必证明）5．如图1，Rt△ABC中AB=AC，点D、E是线段AC上两动点，且AD=EC，AM垂直BD，垂足为M，AM的延长线交BC于点N，直线BD与直线NE相交于点F．试判断△DEF的形状，并加以证明．说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或者更换已知条件，完成你的证明．1、画出将△BAD沿BA方向平移BA长，然后顺时针旋转90°后图形；2、点K在线段BD上，且四边形AKNC为等腰梯形（AC∥KN，如图2）．附加题：如图3，若点D、E是直线AC上两动点，其他条件不变，试判断△DEF的形状，并说明理由．6．如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M 为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）．（1）如图1，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系点F 是否在直线NE上都请直接写出结论，不必证明或说明理由；（2）如图2，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；（3）若点M在点C右侧时，请你在图3中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由．7．已知：等边三角形ABC（1）如图1，P为等边△ABC外一点，且∠BPC=120°．试猜想线段BP、PC、AP 之间的数量关系，并证明你的猜想；（2）如图2，P为等边△ABC内一点，且∠APD=120°．求证：PA+PD+PC＞BD．8．认真阅读材料，然后回答问题：我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式，如：（a+b）1=a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2，（a+b）3=（a+b）2（a+b）=a3+3a2b+3ab2+b3，…下面我们依次对（a+b）n展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数时可以单独列成表中的形式：上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”，用你发现的规律回答下列问题：（1）多项式（a+b）n的展开式是一个几次几项式并预测第三项的系数；（2）请你预测一下多项式（a+b）n展开式的各项系数之和．（3）结合上述材料，推断出多项式（a+b）n（n取正整数）的展开式的各项系数之和为S，（结果用含字母n的代数式表示）．2018年05月08日wujun的初中数学组卷参考答案与试题解析一．解答题（共8小题）1．已知四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F．当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时（如图1），易证AE+CF=EF；当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系请写出你的猜想，不需证明．【解答】解：∵AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，AE=CF，在△ABE和△CBF中，，∴△ABE≌△CBF（SAS）；∴∠ABE=∠CBF，BE=BF；∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，∴∠ABE=∠CBF=30°，∴AE=BE，CF=BF；∵∠MBN=60°，BE=BF，∴△BEF为等边三角形；∴AE+CF=BE+BF=BE=EF；图2成立，图3不成立．证明图2．延长DC至点K，使CK=AE，连接BK，在△BAE和△BCK中，则△BAE≌△BCK，∴BE=BK，∠ABE=∠KBC，∵∠FBE=60°，∠ABC=120°，∴∠FBC+∠ABE=60°，∴∠FBC+∠KBC=60°，∴∠KBF=∠FBE=60°，在△KBF和△EBF中，∴△KBF≌△EBF，∴KF=EF，∴KC+CF=EF，即AE+CF=EF．图3不成立，AE、CF、EF的关系是AE﹣CF=EF．2．（1）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD 上的点，且∠EAF=∠BAD．求证：EF=BE+FD；（2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD 上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立（3）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．【解答】证明：（1）延长EB到G，使BG=DF，连接AG．∵∠ABG=∠ABC=∠D=90°，AB=AD，∴△ABG≌△ADF．∴AG=AF，∠1=∠2．∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=∠BAD．∴∠GAE=∠EAF．又∵AE=AE，∴△AEG≌△AEF．∴EG=EF．∵EG=BE+BG．∴EF=BE+FD（2）（1）中的结论EF=BE+FD仍然成立．（3）结论EF=BE+FD不成立，应当是EF=BE﹣FD．证明：在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．∵∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°，∴∠B=∠ADF．∵AB=AD，∴△ABG≌△ADF．∴∠BAG=∠DAF，AG=AF．∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF=∠BAD．∴∠GAE=∠EAF．∵AE=AE，∴△AEG≌△AEF．∴EG=EF∵EG=BE﹣BG∴EF=BE﹣FD．3．如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．（1）操作发现如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：①线段DE与AC的位置关系是DE∥AC ；②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是S1=S2．（2）猜想论证当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．（3）拓展探究已知∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，BD=CD=4，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA上存在点F，使S△DCF =S△BDE，请直接写出相应的BF的长．【解答】解：（1）①∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，∴AC=CD，∵∠BAC=90°﹣∠B=90°﹣30°=60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD=60°，又∵∠CDE=∠BAC=60°，∴∠ACD=∠CDE，∴DE∥AC；②∵∠B=30°，∠C=90°，∴CD=AC=AB，∴BD=AD=AC，根据等边三角形的性质，△ACD的边AC、AD上的高相等，∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1=S2；故答案为：DE∥AC；S1=S2；（2）如图，∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，∴BC=CE，AC=CD，∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°﹣90°=90°，∴∠ACN=∠DCM，∵在△ACN和△DCM中，，∴△ACN≌△DCM（AAS），∴AN=DM，∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1=S2；（3）如图，过点D作DF1∥BE，易求四边形BEDF1是菱形，所以BE=DF1，且BE、DF1上的高相等，此时S△DCF1=S△BDE；过点D作DF2⊥BD，∵∠ABC=60°，F1D∥BE，∴∠F2F1D=∠ABC=60°，∵BF1=DF1，∠F1BD=∠ABC=30°，∠F2DB=90°，∴∠F1DF2=∠ABC=60°，∴△DF1F2是等边三角形，∴DF1=DF2，∵BD=CD，∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，∴∠DBC=∠DCB=×60°=30°，∴∠CDF1=180°﹣∠BCD=180°﹣30°=150°，∠CDF2=360°﹣150°﹣60°=150°，∴∠CDF1=∠CDF2，∵在△CDF1和△CDF2中，，∴△CDF1≌△CDF2（SAS），∴点F2也是所求的点，∵∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，DE∥AB，∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=×60°=30°，又∵BD=4，∴BE=×4÷cos30°=2÷=，∴BF1=，BF2=BF1+F1F2=+=，故BF的长为或．4．如图1，已知线段AB的长为2a，点P是AB上的动点（P不与A，B重合），分别以AP、PB为边向线段AB的同一侧作正△APC和正△PBD．（1）当△APC与△PBD的面积之和取最小值时，AP= a ；（直接写结果）（2）连接AD、BC，相交于点Q，设∠AQC=α，那么α的大小是否会随点P的移动而变化请说明理由；（3）如图2，若点P固定，将△PBD绕点P按顺时针方向旋转（旋转角小于180°），此时α的大小是否发生变化（只需直接写出你的猜想，不必证明）【解答】解：（1）设AP的长是x，则BP=2a﹣x，∴S△APC +S△PBD=x?x+（2a﹣x）?（2a﹣x）=x2﹣ax+a2，当x=﹣=﹣=a时△APC与△PBD的面积之和取最小值，故答案为：a；（2）α的大小不会随点P的移动而变化，理由：∵△APC是等边三角形，∴PA=PC，∠APC=60°，∵△BDP是等边三角形，∴PB=PD，∠BPD=60°，∴∠APC=∠BPD，∴∠APD=∠CPB，∴△APD≌△CPB，∴∠PAD=∠PCB，∵∠QAP+∠QAC+∠ACP=120°，∴∠QCP+∠QAC+∠ACP=120°，∴∠AQC=180°﹣120°=60°；（3）此时α的大小不会发生改变，始终等于60°．理由：∵△APC是等边三角形，∴PA=PC，∠APC=60°，∵△BDP是等边三角形，∴PB=PD，∠BPD=60°，∴∠APC=∠BPD，∴∠APD=∠CPB，∴△APD≌△CPB，∴∠PAD=∠PCB，∵∠QAP+∠QAC+∠ACP=120°，∴∠QCP+∠QAC+∠ACP=120°，∴∠AQC=180°﹣120°=60°．5．如图1，Rt△ABC中AB=AC，点D、E是线段AC上两动点，且AD=EC，AM垂直BD，垂足为M，AM的延长线交BC于点N，直线BD与直线NE相交于点F．试判断△DEF的形状，并加以证明．说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或者更换已知条件，完成你的证明．1、画出将△BAD沿BA方向平移BA长，然后顺时针旋转90°后图形；2、点K在线段BD上，且四边形AKNC为等腰梯形（AC∥KN，如图2）．附加题：如图3，若点D、E是直线AC上两动点，其他条件不变，试判断△DEF 的形状，并说明理由．【解答】解：△DEF是等腰三角形证明：如图，过点C作CP⊥AC，交AN延长线于点P∵Rt△ABC中AB=AC∴∠BAC=90°，∠ACB=45°∴∠PCN=∠ACB，∠BAD=∠ACP∵AM⊥BD∴∠ABD+∠BAM=∠BAM+∠CAP=90°∴∠ABD=∠CAP∴△BAD≌△ACP∴AD=CP，∠ADB=∠P∵AD=CE∴CE=CP∵CN=CN∴△CPN≌△CEN∴∠P=∠CEN∴∠CEN=∠ADB∴∠FDE=∠FED∴△DEF是等腰三角形．附加题：△DEF为等腰三角形证明：过点C作CP⊥AC，交AM的延长线于点P ∵Rt△ABC中AB=AC∴∠BAC=90°，∠ACB=45°∴∠PCN=∠ACB=∠ECN∵AM⊥BD∴∠ABD+∠BAM=∠BAM+∠CAP=90°∴∠ABD=∠CAP∴△BAD≌△ACP∴AD=CP，∠D=∠P∵AD=EC，CE=CP又∵CN=CN∴△CPN≌△CEN∴∠P=∠E∴∠D=∠E∴△DEF为等腰三角形．6．如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M 为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）．（1）如图1，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系点F 是否在直线NE上都请直接写出结论，不必证明或说明理由；（2）如图2，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；（3）若点M在点C右侧时，请你在图3中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由．【解答】解：（1）判断：EN与MF相等（或EN=MF），点F在直线NE上，（2）成立．连接DF，NF，证明△DBM和△DFN全等（AAS），∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC．又∵D，E，F是三边的中点，∴EF=DF=BF．∵∠BDM+∠MDF=60°，∠FDN+∠MDF=60°，∴∠BDM=∠FDN，在△DBM和△DFN中，，∴△DBM≌△DFN，∴BM=FN，∠DFN=∠FDB=60°，∴NF∥BD，∵E，F分别为边AC，BC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥BD，∴F在直线NE上，∵BF=EF，∴MF=EN．（3）如图③，MF与EN相等的结论仍然成立（或MF=NE成立）．连接DF、DE，由（2）知DE=DF，∠NDE=∠FDM，DN=DM，在△DNE和△DMF中，∴△DNE≌△DMF，∴MF=NE．7．已知：等边三角形ABC（1）如图1，P为等边△ABC外一点，且∠BPC=120°．试猜想线段BP、PC、AP 之间的数量关系，并证明你的猜想；（2）如图2，P为等边△ABC内一点，且∠APD=120°．求证：PA+PD+PC＞BD．【解答】猜想：AP=BP+PC，（1）证明：延长BP至E，使PE=PC，连接CE，∵∠BPC=120°，∴∠CPE=60°，又PE=PC，∴△CPE为等边三角形，∴CP=PE=CE，∠PCE=60°，∵△ABC为等边三角形，∴AC=BC，∠BCA=60°，∴∠ACB=∠PCE，∴∠ACB+∠BCP=∠PCE+∠BCP，即：∠ACP=∠BCE，∴△ACP≌△BCE（SAS），∴AP=BE，∵BE=BP+PE，∴AP=BP+PC．（2）证明：在AD外侧作等边△AB′D，则点P在三角形ADB′外，连接PB'，B'C，∵∠APD=120°∴由（1）得PB′=AP+PD，在△PB′C中，有PB′+PC＞CB′，∴PA+PD+PC＞CB′，∵△AB′D、△ABC是等边三角形，∴AC=AB，AB′=AD，∠BAC=∠DAB′=60°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAB′+∠CAD，即：∠BAD=∠CAB′，∴△AB′C≌△ADB，∴CB′=BD，∴PA+PD+PC＞BD．8．认真阅读材料，然后回答问题：我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式，如：（a+b）1=a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2，（a+b）3=（a+b）2（a+b）=a3+3a2b+3ab2+b3，…下面我们依次对（a+b）n展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数时可以单独列成表中的形式：上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”，用你发现的规律回答下列问题：（1）多项式（a+b）n的展开式是一个几次几项式并预测第三项的系数；（2）请你预测一下多项式（a+b）n展开式的各项系数之和．（3）结合上述材料，推断出多项式（a+b）n（n取正整数）的展开式的各项系数之和为S，（结果用含字母n的代数式表示）．【解答】解：（1）∵当n=1时，多项式（a+b）1的展开式是一次二项式，此时第三项的系数为：0=，当n=2时，多项式（a+b）2的展开式是二次三项式，此时第三项的系数为：1=，当n=3时，多项式（a+b）3的展开式是三次四项式，此时第三项的系数为：3=，当n=4时，多项式（a+b）4的展开式是四次五项式，此时第三项的系数为：6=，…∴多项式（a+b）n的展开式是一个n次n+1项式，第三项的系数为：；（2）预测一下多项式（a+b）n展开式的各项系数之和为：2n；（3）∵当n=1时，多项式（a+b）1展开式的各项系数之和为：1+1=2=21，当n=2时，多项式（a+b）2展开式的各项系数之和为：1+2+1=4=22，当n=3时，多项式（a+b）3展开式的各项系数之和为：1+3+3+1=8=23，当n=4时，多项式（a+b）4展开式的各项系数之和为：1+4+6+4+1=16=24，…∴多项式（a+b）n展开式的各项系数之和：S=2n．。