习题7

习题七1．请举出5个日常生活中可以用图来描述的实例.解：若V(G)表示中国的城市集合，E(G)表示城市间的道路集合，e 表示u 城到v 城的道路，ψG 代表ψG (e)=uv 这种关联函数全体，则所定义的图G 是中国国内的交通图。

类似地可定义国内的通讯网络图，某城居民的亲属关系图，比赛中的比赛关系图，图书馆的藏书分类图等。

2．设()q p G ,是简单二分图, 求证：4/2p q ≤分析：简单完全二分图K(m,n)的边数为m*n ，因此对于简单二分图V （m,n ）边数q ≤m*n 证明：设m p V m V V V G q p G -===2121,),,(),(，不妨设m p m ≤-。

则 )(m p m q -⋅≤2m pm -=22)2(4m p p --= 因为 0)2(2≥-m p，所以 4/2p q ≤。

3．设()q p G ,是简单图, 求证：()12/1-≤p p q 在什么情况下, ()12/1-=p p q ？分析：利用简单图()q p G ,的边数q ≤简单完全图()q p G ,的边数即可有下述解。

解：因),(q p G 是简单图。

所以G 中任意两颗点之间最多只有一条边。

故2/)1(2-=≤p p C q p 。

所以当),(q p G 为完全图时，有2/)1(-=p p q 。

4．试画出四个顶点的所有非同构的简单图。

分析：利用图的同构和无标记图的定义即可有如下解。

解：共有11个。

.如下图所示。

(1) (2) (3) （4）(5) (6) (7) (8)(9) (10) (11)5．证明图5. 14中的两个图是同构的, 图5.15中的两个图不是同构的. 试问, 图5.16中的两个图是否同构？分析：利用图同构的定义可判断。

解：（1）如下图所示，令')(x x =ϕ其中}',',',',',',',',','{'},,,,,,,,,,{j i h g f e d c b a x j i h g f e d c b a x ∈∈则可判断两图是同构的。

（2）如下图，若两图同构，则对任何双射，),,,,(),,,,(w v u y x e d c b a =ϕ，，，于是推出必有v b y e u a ===)()()(ϕϕϕ但b 与v 的不同，所以(a)与(b)不同构。

fhb 'f '图）（Petersen a ）（b（3）图5.16中两个图是同构。

如下图所示，令,)(xx'=σ},,,,,,{gfedcbax∈，},,,,,,{gfedcbax'''''''∈'则可判断两图是同构的。

6．设()q pG,是简单图, 且GG≅求证0≡p或1()4mod.分析：两个图同构的话，则它们的边数应该相等；又一个图同它的补图的边的和等于完全图的边数。

证明：GG≅，∴)()(GEGE=且)1(21)()(-=+ppGEGE。

于是==)()(GEGE)1(41-pp。

显然)(GE是整数。

于是p或1-p是4的倍数。

因此，0≡p或)4(mod1≡p。

7．构造一个简单图G, 使得GG≅.分析：由第6题结论有0≡p或1()4mod，定p=5，可得如下得图G及其G的补图。

解：如下图G，令5,4,3,2,1,=↔'iii，则有G≌G。

bd x vy ）（b15.5图c c'f'G53''8．求证：对任何图()q p G ,, 有：()()G p q G ∆≤≤/2δ分析：利用图的最大度和最小度的概念以及图中所有顶点的度之和等于边的两倍可证。

证明： ∵ ∑==pi iv d q 1)(2 而 )()()(G v d G i∆≤≤δ∴ ∑=∆⋅≤≤⋅pi iG p v d G p 1)()()(δ因此 ∑=∆≤≤pi i G v d p G 1)()(1)(δ即 )(/2)(G p q G ∆≤≤δ。

9．设()q p G ,是简单图, 2≥p , 求证, G 中至少有两个顶点的度数相等. 分析：简单图是没有环和多重边的图。

证明：设),(q p G 中任何顶点的度均不相等, 则p 个顶点的度分别为0,1,2,…,1-p 。

（1）设0)(=i v d ，则),(q p G 中存在孤立点i v ；（2）设1)(-=p v d j ，则),(q p G 中无顶点v 满足0)(=v d ，此与（1）矛盾。

总之，0和1-p 不能同时出现。

由抽屉原理知，必有j i G V v v j i ≠∈),(,，使)()(j i v d v d =。

10．求证：在图()1,+p p G 中, 至少有一个顶点υ, 满足()3≥υd . 分析：利用图中所有顶点的度之和等于边的两倍可证。

证明：若对任意)(G v v ∈，均有2)(≤v d ，则有∑=≤==+pi i p v d q p 12)(2)1(2即p p 2)1(2≤+，也即p p ≤+1。

从而01≤，矛盾。

故存在)(G v v ∈，使3)(≥v d 。

11．求证：在任何有()2≥n 个人的人群中, 至少有两个在其中恰有相同个数的朋友.分析：作一个n 阶简单图G ，n 个顶点分别表示n 个人。

两个人是朋友当且仅当表示这两个人的顶点邻接。

这样，问题就转化成G 中至少有两个顶点的度数相等。

此结论题9已证。

12．求证：每一个p 阶简单图G , 都与p K 的子图同构. 证明：因任何一个p 阶简单图p k G ≤。

又G G ≅。

故结论成立。

13．求证：任何完全图的每个点导出子图仍是完全图. 证明：由点导出子图的定义及完全图的结构即知结论成立。

14．求证：二分图的每个顶点数不小于2的子图仍是二分图. 分析：利用二分图及子图的概念可证。

证明：设G H V V G G ≤=),,(21，且2|)(|≥H V 。

令 })({11V u H V u V ∈∈='， })({22V v H V v V ∈∈='。

显然， ,)(21V V H V '⋃'= 且 ∅='⋂'21V V 。

因此， )(21V V H H '⋃'=。

15．设()q p G ,是简单图, 整数n 满足11-<<p n , 求证：若4≥p , 且G 的所有n 个顶点的导出子图均有相同的边数, 则p K G ≅或若p K G ≅. 分析：利用点导出子图和图同构的概念即可证明。

证明：若p K G ≅和p K G ≅均不成立，则存在)(,,,G V x w v u ∈，使得u 与v 邻接，而w 与x不邻接。

于是取2=n ，则}],[{v u G 与}],[{x w G 边数不相同，矛盾。

故p K G ≅或p K G ≅。

16．设()q p G ,是连通图, 求证： （1）G 至少有1-p 条边；（2）若1->p q , 则G 中必含回路；（3）若1-=p q , 则G 中至少有两个悬挂点。

分析：利用连通图及连通分支和回路的概念可证。

证明：（1）对p 用归纳法。

a) 1=p 时，显然成立。

b) 假设对于小于p 的自然数，结论成立。

c ）在p 阶连通图中任取一个顶点v 。

设v G -共有k 上分支，且每个分支有i p 个顶点，p p i <， k i ,,1 =。

于是][i V G 至少有1-i p 条边，k i .1=，从而V G -至少有k p --)1(条边。

故G 至少有)1(-p 条边。

（2）设1->p q 。

若G 不含回路，则必有)(1G V v ∈满足1)(1=v d 。

于是11v G G -=仍连通且无回路，而1v G -恰有1-q 条边。

如此下去，},,,{1211---=p p v v v G G 连通无回路且1-p G 恰含)1(--p q 条边，一个顶点p v ，此时1-p G 是一个平凡图。

从而0)1(=--p q ，即1-=p q 。

此与1->p q 矛盾。

故G 必含回路。

（3）设1-=p q ，若对任何)(G V v ∈，均有2)(≥v d ，则 p v d q pi i2)(21≥=∑=，即 p q ≥。

此与1-=p q 矛盾。

故G 中至少有一个悬挂点.。

又若G 中最多只有一个悬挂点，则∑=-=-+≥=pi ip p v d q 112)1(21)(2，即1222)1(22-≥-=-=p p p q 。

从而得出21≥（矛盾）。

故G 中至少有两个悬挂点。

17．求证：若边e 在图G 的一条闭链中, 则e 必在G 的一条回路中. 证明：设21v v e =，G 中含e 的闭链为121v v v v E l =。

若E 不是回路，则必有j i v v =，l j i ≤≤≤2。

从E 中去掉j i v v 1+，得到的1121v v v v v v l j i +仍为闭链。

如此下去，就可得到含21v v e =的回路。

18．求证：对于图()q p G ,, 若()2≥G δ, 则G 必含回路.证明：∵ 2)(≥G δ，∴ G 中无悬挂点。

任取)(0G v v ∈，设1v 与0v 邻接。

如此下去，可得G 中的一条链p v v v v 210。

又因G 是有限图，故此链上必有回路。

19．设()q p G ,是简单图, 且21->p G q , 求证：G 是连通图.分析：连通图的边数应不超过完全图的边数。

证明：若G 不连通，则可将)(G V 划分成21,V V ，使得1V 中的顶点与2V 中的顶点不邻接。

令11||p V =，22||p V =，于是，21p p p +=，且 2)1(2)1(22112221-+-=+≤p p p p C C q p p 2)1()1(2211-+-=p p p p （2,1,01=≥-i p i ）2)1)(1()1)(1(221121--++--+≤p p p p p p2)2()1(2121-++-+=p p p p2)2)(1(--=p p=21-p C因此，21-≤p C q （矛盾）。

故G 连通。

另解：考虑),(q p G ' 。

则有q p p q --='2)1( 212)1(---<p C p p1-=p即G 不连通，于是，G 连通。

20．对于1>p , 作一个21-=p C q 的非连通()q p G ,解：令1,322===C q p 。

作),(q p G 如下，故G 不连通。

21．证明：若()q p G ,是简单图且()⎣⎦12/->p G δ, 则G 连通. 当p 为偶数时, 作一个非连通的k - 正则简单图, 其中⎣⎦12/-=p k .分析：图()q p G ,的最大度应该不超过具有p 个顶点的完全图的最大度p-1。