2019年松原市数学高考试卷(含答案)
吉林省松原高中2019届高三第一次模拟考试卷 文科数学(二) 含答案
2019届高三第一次模拟考试卷文 科 数 学（二） 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2018·玉林摸底]()()3i i i 12--+=（ ）A ．3i +B ．3i --C ．3i -+D ．3i -2．[2018·云天化中学]已知集合(){},|2M x y x y =+=，(){},|4N x y x y =-=，则M N =（ ）A ．3x =，1y =-B ．()3,1- C ．{}3,1- D ．(){}3,1-3．[2018·浏阳六校联考]函数()2cos πxf x x =的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．4．[2018·天水一中]设向量a ，b 满足2=a ，3=+=b a b ，则2+=a b （ ）5．[2018·沈阳期末]过点()2,2-且与双曲线2212x y -=有共同渐近线的双曲线方程是（ ） A ．22124y x -= B ．22142x y -= C ．22142y x -= D ．22124x y -= 6．[2018·浙江模拟]ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若π3C =，c =3b a =，则ABC △的面积为（ ） A 23- B 33 CD7．[2018·哈尔滨六中]《九章算术》中盈不足章中有这样一则故事：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里．良马初日行一百九十三里，日增一十二里；驽马初日行九十七里，日减二里．”为了计算每天良马和驽马所走的路程之和，设计框图如下图．若输出的S 的值为350，则判断框中可填（ ）A ．6?i >B ．7?i >C ．8?i >D ．9?i > 8．[2018南靖一中·]“微信抢红包”自2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为8元，被随机分配为1.72元，1.83元，2.28元，1.55元，0.62元，5份供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率是（ ） A ．310 B ．25 C ．12 D ．35 9．[2018·哈师附中]直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，1AB AC AA ==，则直线1A B 与1AC 所成角的大小为（ ） A ．30︒ B ．60︒ C ．90︒ D ．120︒ 10．[2018·三湘名校]将函数()()co 2πs <f x x ϕϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变），再把得到的图象向左平移π6个单位长度，所得函数图象关于π2x =对称，则ϕ=（ ）此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号A ．5π12-B ．3π- C ．π3 D ．5π1211．[2018·辽宁联考]已知函数()f x 为定义在[]3,2t --上的偶函数，且在[]3,0-上单调递减，则满足()22235tf x x f x ⎛⎫-+-<+ ⎪⎝⎭的x 的取值范围（ ）A ．()1,+∞B ．(]0,1 C．( D ．2⎡⎣12．[2018·鹤岗一中]已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为（ ）A1 B．2CD ．31二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2018·陕西四校联考]已知函数()2ln 24f x x x x =+-，则函数()f x 的图象在1x =处的切线方程为__________．14．[2018·奉贤区二模]已知实数x ，y 满足20102x y x y -⎧≤-≤+≥⎪⎨⎪⎩，则目标函数2u x y =+的最大值是_______．15．[2018·湖北期中]已知sin cos 1αβ+=，cos sin αβ+=()sin αβ+=__________．16．[2018·陕西省四校联考]直三棱柱111ABC A B C -的底面是直角三角形，侧棱长等于底面三角形的斜边长，若其外接球的体积为32π3，则该三棱柱体积的最大值为________．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）[2018·朝阳期中]设{}()n a n ∈*N 是各项均为正数的等比数列，且23a =，4318a a -=．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若3log n n n b a a =+，求12n b b b +++．18．（12分）[2018·陕西四校联考]经调查，3个成年人中就有一个高血压，那么什么是高血压？血压多少是正常的？经国际卫生组织对大量不同年龄的人群进行血压调查，得出随年龄变化，收缩压的正常值变化情况如下表：其中：1221ˆn i i i n i i x y n x y b x n x ==-⋅⋅=-⋅∑∑，ˆˆa y bx =-，82117232i i x ==∑，8147384i i i x y ==∑， （1）请画出上表数据的散点图； （2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆy bx a =+；（ˆa ，ˆb 的值精确到0.01） （3）若规定，一个人的收缩压为标准值的0.9 1.06~倍，则为血压正常人群；收缩压为标准值的1.06 1.12~倍，则为轻度高血压人群；收缩压为标准值的1.12 1.20~倍，则为中度高血压人群；收缩压为标准值的1.20倍及以上，则为高度高血压人群．一位收缩压为180mmHg 的70岁的老人，属于哪类人群？19．（12分）[2018·攀枝花一考]如图，矩形ABCD和菱形ABEF所在的平面相互垂直，60ABE∠=︒，G为BE的中点．（1）求证：AG⊥平面ADF；（2）若AB=，1BC=，求三棱锥D CAG-的体积．20．（12分）[2018·衡阳八中]设椭圆()2222:10,0C a ba by x+=>>，离心率e=，短轴2b=，抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，焦点为()0,1，（1）求椭圆和抛物线的方程；（2）设坐标原点为O，A为抛物线上第一象限内的点，B为椭圆上一点，且有OA OB⊥，当线段AB的中点在y轴上时，求直线AB的方程．21．（12分）[2018·三湘名校]已知函数()ln f x x x =．（1）证明：()1f x x ≥-；（2）若当1x e ≥时，()21f x ax x a ≤-+-，求实数a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】 [2018·日照联考]已知平面直角坐标系xOy 中，过点()1,2P --的直线l 的参数方程为1cos 452sin 45x t y t =-+︒=-+︒⎧⎨⎩(t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()sin tan 20a a ρθθ⋅⋅=>，l 直线与曲线C 相交于不同的两点M ，N ． （1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）若PM MN =，求实数a 的值． 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 [2018·仙桃中学]已知函数()21f x x a x =---． （1）当时2a =，求()30f x +≥的解集； （2）当[]1,3x ∈时，()3f x ≤恒成立，求a 的取值范围．2019届高三第一次模拟考试卷文科数学（二）答 案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】B【解析】()()()31i 2i 13i i13i i 3i i i i --+-+⋅-+===----⋅，故选B ．2．【答案】D【解析】∵集合(){},|2M x y x y =+=，(){},|4N x y x y =-=，∴()()(){}23, , 3,141x y x M N x y x y x y y ⎧⎫⎧⎫+==⎧⎧⎪⎪⎪⎪===-⎨⎨⎬⎨⎨⎬-==-⎩⎩⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭，故选D ．3．【答案】A【解析】由题意得函数()f x 的定义域为()(),00,-∞+∞，∵()()2cos πxf x f x x -==，∴函数()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，∴可排除C ，D ．又当0x →时，(πcos 1)x →，20x →，∴()f x →+∞，所以可排除B ，故选A ．4．【答案】D【解析】∵向量a ，b 满足2=a ，3=+=b a b3，解得2⋅-a b =．则2+===a b D ．5．【答案】A【解析】设与双曲线2212x y -=有共同渐近线的双曲线方程为222x y λ-=，又因为该双曲线过点()2,2-，所以()222222λ=--=-，即2222x y -=-，即22124y x -=为所求双曲线方程．故选A ．6．【答案】B【解析】222cos 2a b c C ab +-=，即πcos 3=，12，227ab a b =+-，()22337a a a a ⋅=+-，解得1a =，即3b =，11sin 1322ABC S ab C ==⨯⨯△B ． 7．【答案】B 【解析】模拟程序的运行，可得0S =，1i =；执行循环体，290S =，2i =； 不满足判断框内的条件，执行循环体，300S =，3i =； 不满足判断框内的条件，执行循环体，310S =，4i =； 不满足判断框内的条件，执行循环体，320S =，5i =； 不满足判断框内的条件，执行循环体，330S =，6i =； 不满足判断框内的条件，执行循环体，340S =，7i =； 不满足判断框内的条件，执行循环体，350S =，8i =； 由题意，此时，应该满足判断框内的条件，退出循环，输出S 的值为350． 可得判断框中的条件为7?i >．故选B ． 8．【答案】D 【解析】由题意，所发红包的总金额为8元，被随机分配为1.72元、1.83元、2.28元、1.55元、0.62元、5分，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次， 甲乙二人抢到的金额之和包含的基本事件的总数为10n =， 甲乙二人抢到的金额之和不低于3元包含的基本事件有6个，分别为 ()1.72,1.83，()1.72,2.28，()1.72,1.55，()1.83,2.28，()1.83,1.55，()2.28,1.55， 所以甲乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率为63105p ==，故选D ． 9．【答案】B 【解析】 因为几何体是直三棱柱，11BC B C ∥，直三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，连结1A C ，11AC AC O =，取BC 的中点H ，连结OH ，则直线1A B 与1AC 所成的角为AOH ∠．设11AB AC AA ===，BC =2AO AH OH ===，三角形AOH 是正三角形，异面直线所成角为60︒．故选B ．10．【答案】B【解析】函数()()co 2πs <f x x ϕϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍后得到1cos 2y x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再向左平移π6后得到1cos 26πy x ϕ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 因为1cos 26πy x ϕ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象关于于π2x =对称，1π22π6πk ϕ⎛⎫∴++= ⎪⎝⎭，解得3ππk ϕ=-，当0k =时，3πϕ=-，故选B ．11．【答案】C【解析】因为函数()f x 为定义在[]3,2t --上的偶函数，所以320t -+-=，5t =， 因为函数()f x 为定义在[]3,3-上的偶函数，且在[]3,0-上单调递减，所以()22235t f x x f x ⎛⎫-+-<+ ⎪⎝⎭等价于()()22231f x x f x -+-<--，即2202313x x x ≥-+->--≥-，1x <≤，故选C ．12．【答案】A【解析】1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，可得椭圆的焦点坐标()2,0F c，所以12P c ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．可得22223144c c a b +=，可得221311441e e +=⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得()42840,0,1e e e +=∈-，解得31e =．故选A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】30x y --= 【解析】∵()2ln 24f x x x x =+-，∴()144f x x x +'=-，∴()11f '=， 又()12f =-，∴所求切线方程为()21y x --=-，即30x y --=．故答案为30x y --=． 14．【答案】4 【解析】作出不等式组对应的平面区域如图所示：由2u x y =+得122u y x =-+，平移直线122u y x =-+，由图象可知，当直线122u y x =-+经过点()2,1A 时，直线122u y x =-+的截距最大，此时u 最大，max 2214u =+⨯=．故答案为4． 15．【答案】1 【解析】sin cos 1αβ+=，cos sin αβ+22sin cos 2sin cos 1αβαβ∴++=，22cos sin 2cos sin 3αβαβ++=，相加得()22sin cos cos sin 4αβαβ++=， ()sin 1αβ∴+=．故答案为1． 16．【答案】2【解析】设三棱柱底面直角三角形的直角边为a ，b，则棱柱的高h ， 设外接球的半径为r ，则3432ππ33r =，解得2r =， ∵上下底面三角形斜边的中点连线的中点是该三棱柱的外接球的球心， 224h r ==．∴22h =22282a b h ab +==≥， ∴4ab ≤．当且仅当2a b ==时“=”成立．∴三棱柱的体积122V Sh abh ab ===≤三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）13n n a -=，n ∈*N ；（2）()13122nn n --+．【解析】（1）设{}n a 为首项为1a ，公比为q ，()0q >，则依题意，13211318a q a q a q ⎧=-=⎪⎨⎪⎩，解得11a =，3q =，所以{}n a 的通项公式为13n n a -=，n ∈*N ．（2）因为()13log 31n n n n b a a n -=+=+-，所以()()2112313330121n n b b b b n -++++=+++++++++-⎡⎤⎣⎦()()11133113222n n n n n n ----=+=+-．18．【答案】（1）见解析；（2）0.918.5ˆ80y x =+；（3）中度高血压人群．【解析】（1）（2）2832384248525862458x +++++++==，1141181221271291351401471298y +++++++==． ∴8182221473848451291180.911ˆ72328451298i i i i i x y nx yb x x ==-⋅-⨯⨯===≈-⨯-⋅∑∑．1290.914588.5ˆˆ0a y bx =-=-⨯=，∴回归直线方程为0.918.5ˆ80y x =+．（3）根据回归直线方程的预测，年龄为70岁的老人标准收缩压约为()0.917088.05151.75mmHg ⨯+=， ∵1801.19151.75≈．∴收缩压为180mmHg 的70岁老人为中度高血压人群．19．【答案】（1）见解析；（2．∵矩形ABCD 菱形ABEF AB =，∴AD ⊥平面ABEF ， ∵AG ⊂平面ABEF ，∴AD AG ⊥， ∵菱形ABEF 中，60ABE ∠=︒，G 为BE 的中点．∴AG BE ⊥，即AG AF ⊥， ∵AD AF A =，∴AG ⊥平面ADF ． （2）∵矩形ABCD ，∴B 、D 到平面ACG 的距离相等， 从而D CAG B CAG C ABG V V V ---==， 由（1）可知BC ⊥平面ABEF ，故13C ABG ABG V S BC -=⋅△， ∵3AB =，1BC =，则32AG =，∴11133C ABG ABG V S BC -=⋅==△ 20．【答案】（1）2212010y x +=，24x y =；（2）8180y +-=． 【解析】（1）由2e 得2a c，又有b =222a b c =+，解得a = 所以椭圆方程为2212010y x +=， 由抛物线的焦点为()0,1得，抛物线焦点在y 轴，且12p =，抛物线的方程为24x y =．（2）由题意点A 位于第一象限，可知直线OA 的斜率一定存在且大于0， 设直线OA 方程为y kx =，0k >， 联立方程24y kx x y ==⎧⎨⎩得：24x kx =，可知点A 的横坐标4A x k =，即()24,4A k k ， 因为OA OB ⊥，可设直线OB 方程为1y x k =-， 连立方程22112010y x k y x =-+=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，得2222012k x k =+，从而得x = 若线段AB 的中点在y轴上，可知B x =B ⎛ ⎝， 有2220412k k k =+，且0k >，解得k =， 从而得12,2A ⎫⎪⎭，()2,4B ，直线AB的方程8180y +-=． 21．【答案】（1）见解析；（2）1a ≥． 【解析】（1）()0,x ∈+∞，设()()1g x f x x =-+，则()'ln g x x =，()g x ∴在1x =处取得最小值()10g =，()0g x ∴≥，即()1f x x ≥-．（2）由已知2ln 11x x x a x ++≥+，设()2ln 11x x x h x x ++=+，则()()()()221ln ln 2'1x x x x h x x -++=+，ln ln 2y x x x =++是增函数，1120y e ∴>--+>，∴当1,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0h x >；当()1,x ∈+∞时，()'0h x <，()h x ∴在1x =处取得最大值()11h =，1a ∴≥．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．【答案】（1）l 直线方程：10x y --=，曲线C 方程：22y ax =；（2）14a =．【解析】（1）∵1cos 452sin 45x t y t =-+︒=-+︒⎧⎨⎩（t 为参数），∴直线l 的普通方程为10x y --=． ∵sin tan 2a ρθθ=，∴22sin 2cos a ρθρθ=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得曲线C 的直角坐标方程为22y ax =．（2）∵22y ax =，∴0x ≥，设直线l 上的点M ，N 对应的参数分别是1t ，()2120,0t t t >>， 则1PM t =，2PN t =， ∵PM MN =，∴12PM PN =，∴212t t =，将1cos 452sin 45x t y t =-+︒=-+︒⎧⎨⎩，代入22y ax =，得)()22420t a t a -+++=，∴)()1212242t t a t t a ⎧+=+⎪⎨⋅=+⎪⎩，又∵212t t =，∴14a =．23．【答案】（1）{}42x x -≤≤；（2）[]3,5a ∈-．【解析】（1）当2a =时，由()3f x ≥-，可得2213x x ---≥-， ①122213x x x <-+-≥-⎧⎪⎨⎪⎩或②1222213x x x ≤<--+≥-⎧⎪⎨⎪⎩或③22213xx x ≥--+≥-⎧⎨⎩， 解①得：142x -≤<，解②得：122x ≤<，解③得：2x =， 综上所述，不等式的解集为{}42x x -≤≤． （2）若当[]1,3x ∈时，()3f x ≤成立， 即32122x a x x -≤+-=+，故2222x x a x --≤-≤+， 即322x a x --≤-≤+， 232x a x ∴--≤≤+对[]1,3x ∈时成立，故[]3,5a ∈-．。
2019年吉林高考数学(文科)试题(word版)和答案详细解析及高分经验
高考备考特级老师建议以下为大家整理了高三家长这一年需要做的准备工作清单。
赶紧收藏赶紧行动~~别再拖延啦！离高考1个月，在如此紧迫的时间里，如何做到明确规划、合理利用就显得尤其重要。
每天的复习就要有所侧重，不可能科科都兼顾。
对此小编认为：每天晚上，只要重点复习两个科目就行了。
具体来说，当天老师重点复习课本的科目，回家后可做适当的练习题;当天老师重点讲练习的科目，回去后要回归课本，对知识做个梳理。
另外，课堂上老师复习细致的内容，可利用课间休息时间及时消化;课堂上老师复习不够完整的，课后要强化。
一周结束时，不忘在周末回顾这周的复习。
要懂得见缝插针利用空余时间。
比如早上可以在脑子里快速过一遍昨晚的复习内容;每天中午、下午放学时段有心的同学完全可以利用这十几分钟的时间，留下来再做一篇英语(课程)阅读、背一首古诗词，把比较零散的时间利用起来。
在大部分学生们眼中，无论哪个阶段的复习，懂得归纳总结，找出自己的薄弱项都很重要，一个小漏洞就是一个潜在的失分点，必须“分毫必较”。
所谓的归纳总结，有两个方面，对课本知识的归纳总结和对练习、试题的归纳总结。
可以试着归纳课本知识体系，从全局着手由大的知识板块到各个小的知识点，分析各部分联系，形成一张网络，通过联想延伸来记忆。
这样一来，哪部分比较薄弱就可刻意加强。
同时，对于典型题目，要归纳出各种常规方法，但不要满足于只用常规方法。
试着用发散思维，思考有否其他方法，比较哪种方法最为简便。
这样做既锻炼了思维也巩固了知识。
人不是机器，脑子也有一定的弹性限度，当发现自己读不下去或心情烦躁时，应抛下书本做些自己喜欢的事，像看看电视、打打球，甚至是上上网。
玩是为了有更好的效率和效果，所以应毫无顾虑地放松。
当然，放松也不是无限度的，不玩那些需要时间长、会让自己沉迷于其中的。
像看电视，最好不要选择连续剧;看闲书，可以选择杂志，不去看太长的小说。
最好是在玩的过程中还可以学习，像一些时政新闻，就是不错的选择。
吉林省松原市2019-2020学年数学高二下期末统考试题含解析
吉林省松原市2019-2020学年数学高二下期末统考试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在52x x ⎛- ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为（ ）A ．40-B ．40C ．80-D ．80【答案】D 【解析】 【分析】通过展开二项式即得答案. 【详解】在52x x ⎛- ⎪⎝⎭的展开式中,2x 的系数为()22352180C -=，故答案为D. 【点睛】本题主要考查二项式定理，难度很小. 2．函数()1cos f x x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】D 【解析】因为11()()cos ()cos ()f x x x x x f x x x-=-+=--=-，故函数是奇函数，所以排除A ，B ；取x π=，则11()()cos ()0f ππππππ=-=--<，故选D.考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象.3．设集合{}20M x x =-≥,{}2430N x x x =-+<，则MN =（ ）A ．{|23}x x -<<B ．{|13}x x <≤C ．{|23}x x ≤<D ．{|32}x x -≤<【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合M 、N ，再利用交集的运算律可得出集合M N ⋂. 【详解】{}{}202M x x x x =-≥=≥，{}{}243013N x x x x x =-+<=<<，因此，{}23M N x x ⋂=≤<，故选C. 【点睛】本题考查集合的交集运算，考查学生对于集合运算律的理解应用，对于无限集之间的运算，还可以结合数轴来理解，考查计算能力，属于基础题．4．221x y +=经过伸缩变换23x xy y ''=⎧⎨=⎩后所得图形的焦距（ ）A ．25B ．213C ．4D ．6【答案】A 【解析】 【分析】用x ′，y '表示出x ，y ，代入原方程得出变换后的方程，从而得出焦距． 【详解】由23x x y y ''=⎧⎨=⎩得2 3x x y y '⎧=⎪⎪⎨'⎪=⎪⎩，代入221x y +=得22 149x y ''+=， ∴椭圆的焦距为29425-=，故选A ． 【点睛】本题主要考查了伸缩变换，椭圆的基本性质，属于基础题．5．如图，平面ABCD ⊥平面ABEF ，四边形ABCD 是正方形，四边形ABEF 是矩形，且AF ＝AD ＝a ，G 是EF 的中点，则GB 与平面AGC 所成角的正弦值为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0,2a,0)，C(0,2a,2a)，G(a，a,0)，F(a,0,0)，＝(a，a,0)，＝(0,2a,2a)，＝(a，－a，0)，＝(0,0,2a)，设平面AGC的法向量为n1＝(x1，y1,1)，由⇒⇒⇒n 1＝(1，－1,1)．sinθ＝＝＝.6．6名同学安排到3个社区A，B，C参加志愿者服务，每个社区安排两名同学，其中甲同学必须到A社区，乙和丙同学均不能到C社区，则不同的安排方法种数为（）A．5B．6C．9D．12【答案】C【解析】分析：该题可以分为两类进行研究，一类是乙和丙之一在A 社区，另一在B 社区，另一类是乙和丙在B 社区，计算出每一类的数据，然后求解即可. 详解：由题意将问题分为两类求解：第一类，若乙与丙之一在甲社区，则安排种数为11236A A ⨯=种；第二类，若乙与丙在B 社区，则A 社区还缺少一人，从剩下三人中选一人，另两人去C 社区，故安排方法种数为133A =种；故不同的安排种数是639+=种，故选C.点睛：该题考查的是有关分类加法计数原理，在解题的过程中，对问题进行正确的分类是解题的关键，并且需要将每一类对应的数据正确算出.7．设D 是含数1的有限实数集，()f x 是定义在D 上的函数，若()f x 的图像绕原点逆时针旋转π6后与原图像重合，则在以下各项中，()1f 的可能值只能是（ ）．A ．0B ．3C ．2D【答案】C 【解析】 【分析】先阅读理解题意，则问题可转化为圆上有12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转6π个单位后与下一个点会重合，再结合函数的定义逐一检验即可. 【详解】解：由题意可得：问题可转化为圆上有12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转6π个单位后与下一个点会重合，则通过代入和赋值的方法，当(1)f =时，此时得到圆心角为,,036ππ，然而此时0x =或1x =时，都有2个y 与之对应，根据函数的定义，自变量与应变量只能“一对一”或“多对一”，不能“一对多”，因此，只有当x =时，此时旋转6π，满足一个x 对应一个y ，所以()1f 的可能值只能是故选:C. 【点睛】本题考查了函数的定义，重点考查了函数的对应关系，属基础题. 8．已知i 是虚数单位, 复数()1z a R a i=∈-在复平面内对应的点位于直线2y x =上, 则a =（ ）A ．12B ．2C ．2-D ．12-【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】分析：等式分子分母同时乘以()a i +，化简整理，得出z ，再将z 的坐标代入2y x =中求解a 即可. 详解：2221111a i a i z a i a a a +===+-+++，所以221211aa a =++． 解得12a = 故选B点睛：复数的除法运算公式()()22c di ac bd ad bc iz a bi a b++-+==++，在复平面内点在直线上，则坐标满足直线方程．9．在一组样本数据()()()(112212,,,,,,2,,,,n n n x y x y x y n x x x ≥不全相等)的散点图中，若所有样本点(),(1,2,,)i i x y i n =都在直线31y =x+上，则这组样本数据的样本相关系数为（ ）A ．3B ．0C ．1-D ．1【答案】D 【解析】 【分析】根据回归直线方程可得相关系数． 【详解】根据回归直线方程是31y =x+可得这两个变量是正相关，故这组样本数据的样本相关系数为正值， 且所有样本点（x i ，y i ）（i ＝1，2，…，n ）都在直线上，则有|r|＝1， ∴相关系数r ＝1． 故选：D ． 【点睛】本题考查了由回归直线方程求相关系数，熟练掌握回归直线方程的回归系数的含义是解题的关键． 10．设函数()()224,ln 25xf x e xg x x x =+-=+-，若实数,a b 分别是()(),f x g x 的零点，则（ ）A ．()()0g a f b <<B ．()()0f b g a <<C ．()()0g a f b <<D ．()()0f b g a << 【答案】A【解析】由题意得，函数()(),f x g x 在各自的定义域上分别为增函数， ∵()()120,130f e g =->=-<， 又实数,a b 分别是()(),f x g x 的零点 ∴1,1a b <>，∴()(1)0,()(1)0g a g f b f ， 故()()0g a f b <<．选A ．点睛：解答本题时，先根据所给的函数的解析式判断单调性，然后利用()()10,10f g ><判断零点所在的范围，然后根据函数的单调性求得()()g a f b ，的取值范围，其中借助0将()()g a f b ，与联系在一起是关键．11．已知函数()21f x x lnx =--，则y ＝f （x ）的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】利用特殊值判断函数的图象即可． 【详解】令21x e=，则22222122111ln 1e f e e e e ⎛⎫== ⎪+⎝⎭--，再取1x e =，则12211ln 1f ee e e⎛⎫== ⎪⎝⎭--，显然22221e e e<+，故排除选项B 、C ； 再取x e =时，()220ln 12f e e e e ==>---，又当x →+∞时，()0f x →，故排除选项D.故选：A. 【点睛】本题考查函数的图象的判断，特殊值法比利用函数的导函数判断单调性与极值方法简洁，属于基础题. 12．已知2()(ln )f x x x a a =-+,则下列结论中错误的是（ ） A ．0,0,()0a x f x ∃>∀>≥ B ．000,0,()0a x f x ∃>∃>≤． C ．0,0,()0a x f x ∀>∀>≥ D ．000,0,()0a x f x ∃>∃>≥ 【答案】C 【解析】试题分析：2121'()2(ln )2(ln )2a f x x x a x x x x -=-+⋅=-，当2120a x e-<<时，'()0f x <，()f x 单调递减，同理当212a x e->时，()f x 单调递增，212121()()2a a f x f ee a --==-+最小，显然不等式212a e a ->有正数解（如1a =，（当然可以证明0a >时，21102a e a --+≤）），即存在0a >，使()0f x <最小，因此C 错误．考点：存在性量词与全称量词，导数与函数的最值、函数的单调性． 二、填空题：本题共4小题13．在正四面体P-ABC ，已知M 为AB 的中点，则PA 与CM 所成角的余弦值为____.【解析】分析：取AC 的中点N ，连接,MN PN ，由三角形中位线定理可得PMN ∠即为PM 与BC 所成的角或其补角，利用余弦定理可得结果.详解：取PB 的中点N ，连接,,MN CN CM ， 由三角形中位线定理可得，//MN PA ， 故CMN ∠即为CM 与PA 所成的角或其补角， 因为P ABC -是正四面体，不妨设令其棱长为2，则由正四面体的性质可求得1,MN CM CN ===故cos6CMN ∠==.点睛：本题主要考查余弦定理的应用以及异面直线所成角的求法，求异面直线所成的角的做题步骤分为三步，分别为：作角、证角、求角，尤其是第二步证明过程不可少，是本题易失点分，切记.14．若函数432()34(1)6f x x a x ax =-++在0x =和1x =时取极小值，则实数a 的取值范围是________．【答案】(0,1).分析：根据题意在0x =和1x =时取极小值即0,1为导函数等于零的根，故可分解因式导函数，然后根据在0,1处要取得极小值从而确定a 的取值范围.详解：由题可得：32'()1212(1)12f x x a x ax =-++，令321212(1)120(1)()0x a x ax x x x a -++=⇒--=故原函数有三个极值点为0,1，a ，即导函数有三个解，由在0,1处要取得极小值所以0和1的左边导函数的值要为负值，右边要为正值，故a 值只能放在0和1的中间，所以a 的取值范围是()0,1.点睛：考查函数的极值点的定义和判断，对定义的理解是解题关键，属于中档题.15．612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的常数项为 ．（用数字作答）【答案】-160 【解析】 【分析】 【详解】由6662166(2)(1)(2)()r r r r r r rr T C x C x x ---+⎛=-=- ⎪⎝⎭，令620r -=得3r =，所以62x x ⎛- ⎪⎝⎭展开式的常数项为33636(1)(2)160C --=-.考点：二项式定理.16．在直三棱柱111ABC A B C -中，11BC AC ⊥.有下列条件： ①AB AC BC ==； ②AB AC ⊥； ③AB AC =.其中能成为11BC AB ⊥的充要条件的是__________．（填上序号）【答案】①③分析：由题意，对所给的三个条件，结合直三棱柱111ABC A B C -中，11BC AC ⊥，作出如图的图象，借助图象对11BC AB ⊥的充要条件进行研究. 详解：若①AB AC BC ==，如图取,M N 分别是11,B C BC 的中点， 可得111,AM BC A N B C ⊥⊥， 由直三棱柱111ABC A B C -中， 可得1,AM A N 都垂直于侧面11B C BC ，由此知1,AM A N 都垂直于线1BC ，又11BC AC ⊥， 所以1BC ⊥平面1A CN ， 可得1BC CN ⊥，又由,M N 是中点及直三棱柱的性质知1//B M CN ， 故可得11BC B M ⊥，再结合AM 垂直于线1BC ，可得1BC ⊥面1AMB ， 故有11BC AB ⊥，故①能成为11BC AB ⊥的充要条件， 同理③也可，对于条件②，若AB AC ⊥，可得11A B ⊥面11B C BC ，111A B BC ⊥，若11BC AB ⊥，由此可得1BC ⊥平面11A B BC 形，矛盾， 故不为11BC AB ⊥的充要条件， 综上，①③符合题意，故答案为①③.点睛：本题主要考查直棱柱的性质、线面垂直的判定定理及面面垂直的性质，属于难题.解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
吉林省松原高中2019届高三数学第一次模拟考试题(二)文
12019届高三第一次模拟考试卷文 科 数 学（二）注意事项：1．答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．[2018·玉林摸底］()()3i i i12--+=（ ）A ．3i +B ．3i --C ．3i -+D ．3i -2．［2018·云天化中学]已知集合(){},|2M x y x y =+=，(){},|4N x y x y =-=,则MN =（ )A ．3x =，1y =-B ．()3,1-C ．{}3,1-D ．3．［2018·浏阳六校联考]函数()2cos πxf x x =的图象大致是（ ） A ．B ．C ．只装订不密封准考证号 考场号 座位号2D ．4．[2018·天水一中］设向量a ，b 满足2=a ，3=+=b a b ,则2+=a b ( ） A ．6B ．32C ．10D ．425．[2018·沈阳期末]过点()2,2-且与双曲线2212x y -=有共同渐近线的双曲线方程是（ ）A ．22124y x -=B ．22142x y -=C ．22142y x -=D ．22124x y -= 6．[2018·浙江模拟]ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若π3C =,7c =，3b a =，则ABC △的面积为（ ）A ．234- B ．334C ．2D ．2+347．[2018·哈尔滨六中]《九章算术》中盈不足章中有这样一则故事：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里．良马初日行一百九十三里，日增一十二里；驽马初日行九十七里，日减二里．"为了计算每天良马和驽马所走的路程之和，设计框图如下图．若输出的S 的值为350，则判断框中可填（ )A ．6?i >B ．7?i >C ．8?i >D ．9?i >8．［2018南靖一中·]“微信抢红包”自2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为8元，被随机分配为1.72元，1.83元,2.28元，1.55元，0.62元，5份供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率是( ) A ．310B ．25C ．12 D ．359．［2018·哈师附中]直三棱柱111ABC A B C -中,AB AC ⊥，1AB AC AA ==，则直线1A B 与1AC 所成角的大小为（ )A ．30︒B ．60︒C ．90︒D ．120︒310．［2018·三湘名校］将函数()()co 2πs <f x x ϕϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变），再把得到的图象向左平移π6个单位长度,所得函数图象关于π2x =对称，则ϕ=（ ） A ．5π12-B ．3π-C ．π3D ．5π1211．[2018·辽宁联考］已知函数()f x 为定义在[]3,2t --上的偶函数，且在[]3,0-上单调递减，则满足()22235t f x x f x ⎛⎫-+-<+ ⎪⎝⎭的x 的取值范围（ ） A ．()1,+∞B ．(]0,1C．(D．⎡⎣ 12．[2018·鹤岗一中]已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥,且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为（ ） A1 B．2CD．1二、填空题：本大题共4小题,每小题5分．13．［2018·陕西四校联考]已知函数()2ln 24f x x x x =+-，则函数()f x 的图象在1x =处的切线方程为__________．14．[2018·奉贤区二模]已知实数x ,y 满足20102x y x y -⎧≤-≤+≥⎪⎨⎪⎩,则目标函数2u x y =+的最大值是_______．15．[2018·湖北期中］已知sin cos 1αβ+=，cos sin αβ+=，则()sin αβ+=__________．16．［2018·陕西省四校联考]直三棱柱111ABC A B C -的底面是直角三角形，侧棱长等于底面三角形的斜边长，若其外接球的体积为32π3，则该三棱柱体积的最大值为________．三、解答题:本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(12分）[2018·朝阳期中]设{}()n a n ∈*N 是各项均为正数的等比数列,且23a =，4318a a -=． （1）求{}n a 的通项公式； （2）若3log n n n b a a =+，求12n b b b +++．418．（12分)［2018·陕西四校联考］经调查，3个成年人中就有一个高血压，那么什么是高血压？血压多少是正常的？经国际卫生组织对大量不同年龄的人群进行血压调查，得出随年龄变化，收缩压的正常值变化情况如下表: 年龄x 28 32 38 42 48 52 58 62收缩压y (单位mmHg ）114 118 122 127 129 135 140 147其中：1221ˆni ii nii x yn x y bxn x ==-⋅⋅=-⋅∑∑,ˆˆa y bx =-,82117232ii x ==∑，8147384i ii x y==∑，（1)请画出上表数据的散点图；（2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆy bx a =+；（ˆa,ˆb 的值精确到0.01） (3）若规定,一个人的收缩压为标准值的0.9 1.06~倍，则为血压正常人群；收缩压为标准值的1.06 1.12~倍，则为轻度高血压人群；收缩压为标准值的1.12 1.20~倍，则为中度高血压人群；收缩压为标准值的1.20倍及以上，则为高度高血压人群．一位收缩压为180mmHg 的70岁的老人，属于哪类人群？19．(12分）[2018·攀枝花一考］如图,矩形ABCD和菱形ABEF所在的平面相互垂直，60ABE∠=︒，G为BE的中点．（1）求证:AG⊥平面ADF；(2）若3AB=，1BC=，求三棱锥D CAG-的体积．20．（12分)[2018·衡阳八中]设椭圆()2222:10,0C a ba by x+=>>，离心率2e=，短轴2210b=，抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴,焦点为()0,1,(1）求椭圆和抛物线的方程；(2）设坐标原点为O，A为抛物线上第一象限内的点，B为椭圆上一点，且有OA OB⊥，当线段AB的中点在y轴上时，求直线AB 的方程．5621．（12分）[2018·三湘名校]已知函数()ln f x x x =． （1）证明：()1f x x ≥-; （2）若当1x e≥时,()21f x ax x a ≤-+-,求实数a 的取值范围．7请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2018·日照联考]已知平面直角坐标系xOy 中，过点()1,2P --的直线l 的参数方程为1cos 452sin 45x t y t =-+︒=-+︒⎧⎨⎩（t 为参数）,以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为()sin tan 20a a ρθθ⋅⋅=>,l 直线与曲线C 相交于不同的两点M ,N ．（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程; （2）若PM MN =，求实数a 的值．23．（10分）【选修4—5:不等式选讲】[2018·仙桃中学］已知函数()21f x x a x =---． （1）当时2a =，求()30f x +≥的解集；(2）当[]1,3x ∈时，()3f x ≤恒成立，求a 的取值范围．82019届高三第一次模拟考试卷文科数学（二）答 案一、选择题：本大题共12小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．【答案】B 【解析】()()()31i 2i 13i i13i i3i ii i--+-+⋅-+===----⋅,故选B ．2．【答案】D【解析】∵集合(){},|2M x y x y =+=，(){},|4N x y x y =-=,∴()()(){}23, , 3,141x y x M N x y x y x y y ⎧⎫⎧⎫+==⎧⎧⎪⎪⎪⎪===-⎨⎨⎬⎨⎨⎬-==-⎩⎩⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭,故选D ．3．【答案】A【解析】由题意得函数()f x 的定义域为()(),00,-∞+∞,∵()()2cos πxf x f x x -==,∴函数()f x 为偶函数,其图象关于y 轴对称，∴可排除C,D ．又当0x →时，(πcos 1)x →，20x →，∴()f x →+∞，所以可排除B ，故选A ． 4．【答案】D【解析】∵向量a ，b 满足2=a ，3=+=b a b，∴3=，解得2⋅-a b =．则2+a b D ．5．【答案】A【解析】设与双曲线2212x y -=有共同渐近线的双曲线方程为222x y λ-=， 又因为该双曲线过点()2,2-，所以()222222λ=--=-，即2222x y -=-， 即22124y x -=为所求双曲线方程．故选A ．6．【答案】B【解析】222cos 2a b c C ab +-=,即πcos 3=，12=， 227ab a b =+-，()22337a a a a ⋅=+-，解得1a =，即3b =，11sin 1322ABC S ab C ==⨯⨯=△B ．7．【答案】B【解析】模拟程序的运行，可得0S=，1i=；执行循环体，290S=，2i=；不满足判断框内的条件，执行循环体,300S=,3i=；不满足判断框内的条件，执行循环体，310S=，4i=；不满足判断框内的条件，执行循环体，320S=，5i=；不满足判断框内的条件，执行循环体,330S=，6i=；不满足判断框内的条件，执行循环体，340S=,7i=；不满足判断框内的条件，执行循环体，350S=,8i=；由题意，此时，应该满足判断框内的条件，退出循环,输出S的值为350．可得判断框中的条件为7?i>．故选B．8．【答案】D【解析】由题意，所发红包的总金额为8元，被随机分配为1.72元、1.83元、2.28元、1.55元、0.62元、5分,供甲、乙等5人抢,每人只能抢一次，甲乙二人抢到的金额之和包含的基本事件的总数为10n=，甲乙二人抢到的金额之和不低于3元包含的基本事件有6个,分别为()1.72,1.83，()1.72,2.28，()1.72,1.55，()1.83,2.28，()1.83,1.55，()2.28,1.55，所以甲乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率为63105p==，故选D．9．【答案】B【解析】因为几何体是直三棱柱，11BC B C∥，直三棱柱111ABC A B C-中，侧棱1AA⊥平面ABC，AB AC⊥，连结1A C，11AC AC O=，取BC的中点H，连结OH，则直线1A B与1AC所成的角为AOH∠．设11AB AC AA===,2BC=2AO AH OH==三角形AOH是正三角形，异面直线所成角为60︒．故选B．10．【答案】B【解析】函数()()co 2πs <f x x ϕϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍后得到1cos 2y x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再向左平移π6后得到1cos 26πy x ϕ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，因为1cos 26πy x ϕ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象关于于π2x =对称, 1π22π6πk ϕ⎛⎫∴++= ⎪⎝⎭，解得3ππk ϕ=-，当0k =时，3πϕ=-，故选B ． 11．【答案】C【解析】因为函数()f x 为定义在[]3,2t --上的偶函数,所以320t -+-=,5t =，因为函数()f x 为定义在[]3,3-上的偶函数，且在[]3,0-上单调递减，所以()22235t f x x f x ⎛⎫-+-<+ ⎪⎝⎭等价于()()22231f x x f x -+-<--，即2202313x x x ≥-+->--≥-，12x <≤，故选C ． 12．【答案】A【解析】1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点,若12PF PF ⊥,且2160PF F ∠=︒，可得椭圆的焦点坐标()2,0F c ，所以13,22P c c ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．可得22223144c ca b +=，可得221311441e e +=⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得()42840,0,1e e e +=∈-,解得31e =．故选A ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】30x y --=【解析】∵()2ln 24f x x x x =+-，∴()144f x x x+'=-,∴()11f '=，又()12f =-，∴所求切线方程为()21y x --=-,即30x y --=．故答案为30x y --=．14．【答案】4【解析】作出不等式组对应的平面区域如图所示：由2u x y =+得122u y x =-+,平移直线122uy x =-+，由图象可知,当直线122u y x =-+经过点()2,1A 时，直线122uy x =-+的截距最大,此时u 最大，max 2214u =+⨯=．故答案为4． 15．【答案】1【解析】sin cos 1αβ+=,cos sin 3αβ+=，22sin cos 2sin cos 1αβαβ∴++=，22cos sin 2cos sin 3αβαβ++=,相加得()22sin cos cos sin 4αβαβ++=，()sin 1αβ∴+=．故答案为1． 16．【答案】42【解析】设三棱柱底面直角三角形的直角边为a ，b ，则棱柱的高22h a b =+,设外接球的半径为r ，则3432ππ33r =，解得2r =,∵上下底面三角形斜边的中点连线的中点是该三棱柱的外接球的球心，224h r ==．∴22h =∴22282a b h ab +==≥, ∴4ab ≤．当且仅当2a b ==时“="成立．∴三棱柱的体积12422V Sh abh ab ===≤．故答案为2三、解答题:本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1)13n n a -=，n ∈*N ；（2）()13122n n n --+． 【解析】（1）设{}n a 为首项为1a ,公比为q ，()0q >，则依题意， 13211318a q a q a q ⎧=-=⎪⎨⎪⎩,解得11a =，3q =， 所以{}n a 的通项公式为13n n a -=，n ∈*N ． （2）因为()13log 31n n n n b a a n -=+=+-， 所以()()2112313330121n n b b b b n -++++=+++++++++-⎡⎤⎣⎦()()11133113222n n n n n n ----=+=+-． 18．【答案】(1）见解析；(2）0.918.5ˆ80yx =+;（3）中度高血压人群． 【解析】(1）（2)2832384248525862458x +++++++==,1141181221271291351401471298y +++++++==．∴8182221473848451291180.911ˆ72328451298i ii ii x ynx ybxx ==-⋅-⨯⨯===≈-⨯-⋅∑∑．1290.914588.5ˆˆ0ay bx =-=-⨯=，∴回归直线方程为0.918.5ˆ80yx =+． （3）根据回归直线方程的预测,年龄为70岁的老人标准收缩压约为()0.917088.05151.75mmHg ⨯+=， ∵1801.19151.75≈．∴收缩压为180mmHg 的70岁老人为中度高血压人群．19．【答案】（1)见解析；（23． 【解析】(1)∵矩形ABCD 和菱形ABEF 所在的平面相互垂直，∴AD AB ⊥，∵矩形ABCD菱形ABEF AB =,∴AD ⊥平面ABEF ，∵AG ⊂平面ABEF ,∴AD AG ⊥，∵菱形ABEF 中，60ABE ∠=︒，G 为BE 的中点．∴AG BE ⊥,即AG AF ⊥, ∵ADAF A =，∴AG ⊥平面ADF ．(2）∵矩形ABCD ，∴B 、D 到平面ACG 的距离相等， 从而D CAG B CAG C ABG V V V ---==，由（1)可知BC ⊥平面ABEF ，故13C ABG ABG V S BC -=⋅△，∵3AB =,1BC =，则32AG =，∴11333133C ABG ABG V S BC -=⋅=△ 20．【答案】（1）2212010y x +=，24x y =;（2）28180x y +-=．【解析】（1）由e得a ,又有b =代入222a b c =+，解得a =所以椭圆方程为2212010y x +=，由抛物线的焦点为()0,1得，抛物线焦点在y 轴,且12p=，抛物线的方程为24x y =．(2）由题意点A 位于第一象限，可知直线OA 的斜率一定存在且大于0，设直线OA 方程为y kx =，0k >,联立方程24y kx x y==⎧⎨⎩得：24x kx =，可知点A 的横坐标4A x k =，即()24,4A k k，因为OA OB ⊥，可设直线OB 方程为1y x k=-，连立方程22112010y x k y x =-+=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，得2222012k x k =+，从而得x = 若线段AB 的中点在y 轴上,可知B x =B ⎛ ⎝，有4k =0k >,解得k ，从而得12A ⎫⎪⎭，()B ,直线AB的方程8180y +-=．21．【答案】（1）见解析;（2)1a ≥．【解析】（1)()0,x ∈+∞，设()()1g x f x x =-+,则()'ln g x x =， 当1x >时,()'0g x >；当01x <<时，()'0g x <，()g x ∴在1x =处取得最小值()10g =,()0g x ∴≥，即()1f x x ≥-． （2）由已知2ln 11x x x a x ++≥+，设()2ln 11x x x h x x ++=+,则()()()()221ln ln 2'1x x x x h x x-++=+，ln ln 2y x x x =++是增函数,1120y e∴>--+>，∴当1,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0h x >；当()1,x ∈+∞时，()'0h x <，()h x ∴在1x =处取得最大值()11h =，1a ∴≥．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．【答案】（1）l 直线方程：10x y --=，曲线C 方程：22y ax =;（2）14a =． 【解析】（1）∵1cos 452sin 45x t y t =-+︒=-+︒⎧⎨⎩（t 为参数）,∴直线l 的普通方程为10x y --=．∵sin tan 2a ρθθ=，∴22sin 2cos a ρθρθ=， 由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得曲线C 的直角坐标方程为22y ax =． （2）∵22y ax =，∴0x ≥，设直线l 上的点M ，N 对应的参数分别是1t ，()2120,0t t t >>， 则1PM t =，2PN t =， ∵PM MN =，∴12PM PN =，∴212t t =， 将1cos 452sin 45x t y t =-+︒=-+︒⎧⎨⎩，代入22y ax =，得)()22420t a t a -+++=，∴)()1212242t t a t t a ⎧+=+⎪⎨⋅=+⎪⎩，又∵212t t =，∴14a =．23．【答案】(1){}42x x -≤≤；（2）[]3,5a ∈-．【解析】（1)当2a =时，由()3f x ≥-，可得2213x x ---≥-,①122213x x x <-+-≥-⎧⎪⎨⎪⎩或②1222213x x x ≤<--+≥-⎧⎪⎨⎪⎩或③22213x x x ≥--+≥-⎧⎨⎩， 解①得：142x -≤<，解②得:122x ≤<,解③得：2x =， 综上所述，不等式的解集为{}42x x -≤≤． （2)若当[]1,3x ∈时，()3f x ≤成立，即32122x a x x -≤+-=+，故2222x x a x --≤-≤+， 即322x a x --≤-≤+，232x a x ∴--≤≤+对[]1,3x ∈时成立，故[]3,5a ∈-．。
2019年松原市高中必修一数学上期中试卷(含答案)
2019年松原市高中必修一数学上期中试卷(含答案)一、选择题1．函数2ln(1)y 34x x x +=--+的定义域为（ ）A ．(41)--，B ．(41)-，C ．(11)-， D ．(11]-， 2．f (x)＝－x 2＋4x ＋a ，x∈[0,1]，若f (x)有最小值－2，则f (x)的最大值( ) A ．－1B ．0C ．1D ．23．函数()ln f x x x =的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．4．设0.13592,ln ,log 210a b c ===，则,,a b c 的大小关系是 A ．a b c >> B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>5．函数()111f x x =--的图象是（ ） A ． B ．C ．D ．6．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递增，且为奇函数，若(1)1f =，则满足1(2)1f x -≤-≤的x 的取值范围是（ ）． A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]7．函数()1ln f x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．8．设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则 A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z9．已知函数21(1)()2(1)ax x f x xx x x ⎧++>⎪=⎨⎪-+≤⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是 A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[]1,1-D ．(]1,1-10．已知111,2,,3,23a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，若()a f x x =为奇函数，且在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的值是( )A ．1,3-B ．1,33C ．11,,33-D ．11,,33211．已知集合{|20}A x x =-<，{|}B x x a =<，若A B A =I ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(,2]-∞-B ．[2,)+∞C ．(,2]-∞D ．[2,)-+∞12．函数()245f x x x =-+在区间[]0,m 上的最大值为5，最小值为1，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[)2,+∞B ．[]2,4C ．[]0,4D ．(]2,4二、填空题13．已知函数()()22log f x x a =+，若()31f =，则a =________．14．1232e 2(){log (1)2x x f x x x ，，-<=-≥，则f （f （2））的值为____________． 15．己知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，01x <<时，()4xf x =，5()(2019)2f f -+的值是____.16．函数的定义域为______________．17．若幂函数()a f x x =的图象经过点1(3)9，，则2a -=__________.18．已知()f x 是定义在[)(]2,00,2-⋃上的奇函数，当0x >，()f x 的图象如图所示，那么()f x 的值域是______．19．甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程()(1,2,3,4)i f x i =关于时间(0)x x ≥的函数关系式分别为1()21x f x =-，22()f x x =，3()f x x =，42()log (1)f x x =+，有以下结论：①当1x >时，甲走在最前面； ②当1x >时，乙走在最前面；③当01x <<时,丁走在最前面，当1x >时，丁走在最后面； ④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面； ⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲．其中，正确结论的序号为 （把正确结论的序号都填上,多填或少填均不得分）． 20．若点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭）既在()2ax b f x +=图象上，又在其反函数的图象上，则a b +=____三、解答题21．已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x <0时，()111f x x =+-. (1)求f (2)的值；(2)用定义法判断y ＝f (x )在区间(－∞，0）上的单调性． (3)求0()x f x >时，的解析式22．已知函数()()221+0g x ax ax b a =-+>在区间[2,3]上有最大值4和最小值1.(1)求a 、b 的值； (2)设()()2g x f x x =-，若不等式()0f x k ->在x ∈(]2,5上恒成立，求实数k 的取值范围．23．已知()f x 是定义在()1,1-上的奇函数，且当01x <<时，()442xx f x =+，（1）求()f x 在()1,0-上的解析式；（2）求()f x 在()1,0-上的值域；（3）求13520172018201820182018f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 的值. 24．若()f x 是定义在(0,)+∞上的函数，且满足()()()xf f x f y y=-， 当1x >时，()0f x >. （1）判断并证明函数的单调性；（2）若(2)1f =，解不等式1(3)()2f x f x+-<. 25．已知幂函数2242()(22)m m f x m m x -+=--在(0,)+∞上单调递减.（1）求m 的值并写出()f x 的解析式；（2）试判断是否存在0a >，使得函数()(21)1()ag x a x f x =--+在[1,2]-上的值域为 [4,11]-？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.26．近年来，雾霾日趋严重，雾霾的工作、生活受到了严重的影响，如何改善空气质量已成为当今的热点问题，某空气净化器制造厂，决定投入生产某型号的空气净化器，根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律，每生产该型号空气净化器x （百台），其总成本为()P x （万元），其中固定成本为12万元，并且每生产1百台的生产成本为10万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入()Q x （万元）满足20.522,016(){224,16x x x Q x x -+≤≤=>，假定该产品销售平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）求利润函数()y f x =的解析式（利润=销售收入-总成本）； （2）工厂生产多少百台产品时，可使利润最多？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】要使函数有意义，需使210{340x x x +>--+>，即1{41x x >--<<，所以1 1.x -<< 故选C2．C解析：C【解析】因为对称轴2[0,1]x =∉，所以min max ()(0)2()(1)31f x f a f x f a ===-∴==+= 选C.3．A解析：A 【解析】 【分析】从图象来看图象关于原点对称或y 轴对称，所以分析奇偶性，然后再用特殊值确定. 【详解】因为函数()ln f x x x =是奇函数，排除C ，D 又因为2x = 时()0f x >，排除B 故选：A 【点睛】本题主要考查了函数的图象的判断，还考查了数形结合的思想，属于基础题.4．A解析：A 【解析】 试题分析：，，即，，．考点：函数的比较大小．5．B解析：B 【解析】 【分析】 把函数1y x=先向右平移一个单位，再关于x 轴对称，再向上平移一个单位即可. 【详解】 把1y x = 的图象向右平移一个单位得到11y x =-的图象， 把11y x =-的图象关于x 轴对称得到11y x =--的图象， 把11y x =--的图象向上平移一个单位得到()111f x x =--的图象， 故选：B . 【点睛】本题主要考查函数图象的平移，对称，以及学生的作图能力，属于中档题.6．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】()f x 是奇函数，故()()111f f -=-=- ；又()f x 是增函数，()121f x -≤-≤，即()(1)2(1)f f x f -≤-≤ 则有121x -≤-≤ ，解得13x ≤≤ ，故选D.【点睛】解本题的关键是利用转化化归思想，结合奇函数的性质将问题转化为()(1)2f f x -≤-(1)f ≤，再利用单调性继续转化为121x -≤-≤，从而求得正解.7．B解析：B 【解析】 【分析】通过函数在2x =处函数有意义，在2x =-处函数无意义，可排除A 、D ；通过判断当1x >时，函数的单调性可排除C ，即可得结果. 【详解】当2x =时，110x x -=>，函数有意义，可排除A ；当2x =-时，1302x x -=-<，函数无意义，可排除D ；又∵当1x >时，函数1y x x=-单调递增， 结合对数函数的单调性可得函数()1ln f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，可排除C ； 故选：B. 【点睛】本题主要考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合与分类讨论的思维能力，属于中档题.8．D解析：D 【解析】令235(1)x y zk k ===>，则2log x k =，3log =y k ，5log =z k∴22lg lg 3lg 913lg 23lg lg8x k y k =⋅=>，则23x y >， 22lg lg5lg 2515lg 25lg lg32x k z k =⋅=<，则25x z <，故选D.点睛:对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的,,x y z ，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式以及0与1的对数表示.9．C解析：C 【解析】x ⩽1时,f (x )=−(x −1)2+1⩽1，x >1时,()()21,10a a f x x f x x x=++'=-…在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽x 2在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽1，而1+a +1⩾1，即a ⩾−1， 综上,a ∈[−1,1]， 本题选择C 选项.点睛：利用单调性求参数的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调性的定义：作差、变形，由f (x 1)－f (x 2)的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题．10．B解析：B 【解析】 【分析】先根据奇函数性质确定a 取法，再根据单调性进行取舍，进而确定选项. 【详解】因为()af x x =为奇函数，所以11,3,3a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭因为()()0,f x +∞在上单调递增，所以13,3a ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭因此选B. 【点睛】本题考查幂函数奇偶性与单调性，考查基本判断选择能力.11．B解析：B 【解析】由题意可得{}|2A x x =<，结合交集的定义可得实数a 的取值范围是[)2,+∞ 本题选择B 选项.12．B解析：B【解析】 【分析】由函数的解析式可得函数f （x ）＝x 2﹣4x +5＝（x ﹣2）2+1的对称轴为x ＝2，此时，函数取得最小值为1，当x ＝0或x ＝4时，函数值等于5，结合题意求得m 的范围． 【详解】∵函数f （x ）＝x 2﹣4x +5＝（x ﹣2）2+1的对称轴为x ＝2，此时，函数取得最小值为1， 当x ＝0或x ＝4时，函数值等于5．且f （x ）＝x 2﹣4x +5在区间[0，m ]上的最大值为5，最小值为1， ∴实数m 的取值范围是[2，4]， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质应用，利用函数图像解题是关键，属于中档题．二、填空题13．-7【解析】分析：首先利用题的条件将其代入解析式得到从而得到从而求得得到答案详解：根据题意有可得所以故答案是点睛：该题考查的是有关已知某个自变量对应函数值的大小来确定有关参数值的问题在求解的过程中需解析：-7 【解析】分析：首先利用题的条件()31f =，将其代入解析式，得到()()2391f log a =+=，从而得到92a +=，从而求得7a =-，得到答案.详解：根据题意有()()2391f log a =+=，可得92a +=，所以7a =-，故答案是7-. 点睛：该题考查的是有关已知某个自变量对应函数值的大小，来确定有关参数值的问题，在求解的过程中，需要将自变量代入函数解析式，求解即可得结果，属于基础题目.14．2【解析】【分析】先求f （2）再根据f （2）值所在区间求f （f （2））【详解】由题意f （2）=log3（22–1）=1故f （f （2））=f （1）=2×e1–1=2故答案为：2【点睛】本题考查分段函数解析：2 【解析】 【分析】先求f （2），再根据f （2）值所在区间求f （f （2））. 【详解】由题意，f （2）=log 3（22–1）=1，故f （f （2））=f （1）=2×e 1–1=2，故答案为：2． 【点睛】本题考查分段函数求值，考查对应性以及基本求解能力.15．【解析】【分析】根据题意由函数的奇偶性与周期性分析可得f （﹣）＝f （﹣）＝﹣f （）结合解析式求出f （）的值又因为f （2019）＝f （1+2×1009）＝f（1）＝0；据此分析可得答案【详解】解：根据解析：2-【解析】【分析】根据题意，由函数的奇偶性与周期性分析可得f（﹣52）＝f（﹣12）＝﹣f（12），结合解析式求出f（12）的值，又因为f（2019）＝f（1+2×1009）＝f（1）＝0；据此分析可得答案．【详解】解：根据题意，函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，则f（﹣52）＝f（﹣12）＝﹣f（12），f（2019）＝f（1+2×1009）＝f（1），又由函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，则有f（1）＝f（﹣1）且f（1）＝﹣f （﹣1），故f（1）＝0，则f（2019）＝0，又由0＜x＜l时，f（x）＝4x，则f（12）＝124＝2，则f（﹣52）＝﹣f（12）＝﹣2；则5f f(2019)2⎛⎫-+⎪⎝⎭＝﹣2；故答案为：﹣2【点睛】本题考查函数的周期性与函数值的计算，属于基础题．16．-11【解析】【分析】根据定义域基本要求可得不等式组解不等式组取交集得到结果【详解】由题意得：1-x2≥02cosx-1>0⇒-1≤x≤1cosx>12cosx>12⇒x∈-π3+2kππ3+2kπ解析：【解析】【分析】根据定义域基本要求可得不等式组，解不等式组取交集得到结果.【详解】由题意得：，函数定义域为：【点睛】本题考查具体函数定义域的求解问题，关键是根据定义域的基本要求得到不等式组.17．【解析】由题意有：则：解析：14【解析】 由题意有：13,29aa =∴=-， 则：()22124a--=-=. 18．【解析】【分析】先根据函数的奇偶性作出函数在y 轴左侧的图象欲求的值域分两类讨论：；结合图象即可解决问题【详解】是定义在上的奇函数作出图象关于原点对称作出其在y 轴左侧的图象如图由图可知：的值域是故答案 解析：][()2,33,2⋃--【解析】 【分析】先根据函数的奇偶性作出函数在y 轴左侧的图象，欲求()f x 的值域，分两类讨论：0x >①；0.x <②结合图象即可解决问题．【详解】()f x Q 是定义在(][2,00,2-⋃上的奇函数，∴作出图象关于原点对称作出其在y 轴左侧的图象，如图．由图可知：()f x 的值域是][()2,33,2⋃--． 故答案为][()2,33,2⋃--． 【点睛】本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力．19．③④⑤【解析】试题分析：分别取特值验证命题①②；对数型函数的变化是先快后慢当x=1时甲乙丙丁四个物体又重合从而判断命题③正确；指数函数变化是先慢后快当运动的时间足够长最前面的动物一定是按照指数型函数解析：③④⑤ 【解析】试题分析：分别取特值验证命题①②；对数型函数的变化是先快后慢，当x=1时甲、乙、丙、丁四个物体又重合，从而判断命题③正确；指数函数变化是先慢后快，当运动的时间足够长，最前面的动物一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体；结合对数型和指数型函数的图象变化情况，可知命题④正确．解：路程f i（x）（i=1，2，3，4）关于时间x（x≥0）的函数关系是：，，f3（x）=x，f4（x）=log2（x+1），它们相应的函数模型分别是指数型函数，二次函数，一次函数，和对数型函数模型．当x=2时，f1（2）=3，f2（2）=4，∴命题①不正确；当x=4时，f1（5）=31，f2（5）=25，∴命题②不正确；根据四种函数的变化特点，对数型函数的变化是先快后慢，当x=1时甲、乙、丙、丁四个物体又重合，从而可知当0＜x＜1时，丁走在最前面，当x＞1时，丁走在最后面，命题③正确；指数函数变化是先慢后快，当运动的时间足够长，最前面的动物一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体，∴命题⑤正确．结合对数型和指数型函数的图象变化情况，可知丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面，命题④正确．故答案为③④⑤．考点：对数函数、指数函数与幂函数的增长差异．20．【解析】【分析】由点在函数的反函数的图象上可得点在函数的图象上把点与分别代入函数可得关于的方程组从而可得结果【详解】点在函数的反函数的图象上根据反函数与原函数的对称关系点在函数的图象上把点与分别代入解析：1 3【解析】【分析】由点12,2⎛⎫⎪⎝⎭在函数2ax by+=的反函数的图象上，可得点1,22⎛⎫⎪⎝⎭在函数2ax by+=的图象上，把点12,2⎛⎫⎪⎝⎭与1,22⎛⎫⎪⎝⎭分别代入函数2ax by+=，可得关于,a b的方程组，从而可得结果.【详解】Q点12,2⎛⎫⎪⎝⎭在函数2ax by+=的反函数的图象上，根据反函数与原函数的对称关系，∴点1,22⎛⎫⎪⎝⎭在函数2ax by+=的图象上，把点12,2⎛⎫⎪⎝⎭与1,22⎛⎫⎪⎝⎭分别代入函数2ax by+=可得，21a b+=-，①112a b +=，② 解得45,33a b =-=，13a b +=，故答案为13. 【点睛】本题主要考查反函数的定义与性质，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.三、解答题21．（1）23-；（2）见解析；（3）()1x f x x -=+ 【解析】 【分析】(1)利用函数的奇偶性求解.(2)函数单调性定义，通过化解判断函数值差的正负；（3）函数为R 奇函数，x 〈0的解析式已知，利用奇函数图像关于原点对称，即可求出x 〉0的解析式. 【详解】（1）由函数f (x )为奇函数，知f (2)＝-f (－2)＝23-· (2)在(－∞，0）上任取x 1，x 2，且x 1<x 2，则()()1212121111111111f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+-+=- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭ ()()211211x x x x -=-- 由x 1－1<0，x 2－1<0，x 2－x 1>0，知f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)． 由定义可知，函数y ＝f (x )在区间(－∞，0]上单调递减．·（3）当x >0时，－x <0，()111f x x -=-+ 由函数f (x )为奇函数知f (x )＝-f (－x )，()1111x f x x x -∴=-+=++ 【点睛】本题考查了函数奇偶性的应用和单调性的定义，利用奇偶性求函数值和解析式主要应用奇偶性定义和图像的对称性；利用定义法证明函数单调性关键是作差后式子的化解，因为需要判断结果的正负，所以通常需要将式子化成乘积的形式. 22．（1）1,0a b ==；（2）4k <. 【解析】 【分析】（1）函数()g x 的对称轴方程为1x =，开口向上，则在[]2,3上单调递增，则可根据最值列出方程，可解得,a b 的值.(2)由题意只需()min k f x <，则只需要求出()f x 在(]2,5上的最小值，然后运用基本不等式求最值即可. 【详解】解：（1）()g x Q 开口方向向上，且对称轴方程为 1x =，()g x ∴在[]2,3上单调递增()()()()min max2441139614g x g a a b g x g a a b ⎧==-++=⎪∴⎨==-++=⎪⎩.解得1a =且0b =.（2）()0f x k ->Q 在(]2,5x ∈上恒成立 所以只需()min k f x <.有（1）知()221112224222x x f x x x x x x -+==+=-++≥=--- 当且仅当122x x -=-，即3x =时等号成立. 4k ∴<. 【点睛】本题考查二次函数的最值的求法，注意讨论对称轴和区间的位置关系，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和基本不等式的应用，属于中档题. 23．（1）()1124x f x -=+⋅（2）2133,⎛⎫-- ⎪⎝⎭（3）10092 【解析】 【分析】（1）令0x <<-1,则01x <-<,代入解析式可求得()f x -.再根据奇函数性质即可求得()f x 在()1,0-上的解析式;（2）利用分析法,先求得当0x <<-1时,4x 的值域,即可逐步得到()f x 在()1,0-上的值域; （3）根据函数解析式及所求式子的特征,检验()()1f x f x +-的值,即可由函数的性质求解. 【详解】（1）当0x <<-1时,01x <-<,()4142124x x xf x ---==++⋅, 因为()f x 是()1,1-上的奇函数 所以()()1124x f x f x -=--=+⋅,（2）当0x <<-1时,14,14x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,3124,32x ⎛⎫+⋅∈ ⎪⎝⎭,121,12433x-⎛⎫∈-- ⎪+⋅⎝⎭, 所以()f x 在()1,0-上的值域为21,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭；（3）当01x <<时,()442x x f x =+,()()11444411424242424x x x x x x xf x f x --+-=+=+=++++⋅, 所以1201732015520131201820182018201820182018f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+==⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L , 故1352017100920182018201820182f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L . 【点睛】本题考查了奇函数的性质及解析式求法,利用分析法求函数的值域,函数性质的推断与证明,对所给条件的分析能力要求较高,属于中档题. 24．（1）增函数,证明见解析；（2）{|01}x x << 【解析】 试题分析：(1)由题意结合所给的抽象函数关系可由120x x >>时有()()120f x f x ->，即()f x 在定义域内为增函数；(2)原问题等价于x 的不等式组(3)43010x x x x ⎧⎪+<⎪+>⎨⎪⎪>⎩，求解不等式组可得01x <<.试题解析： （1）增函数证明：令12,x x y x ==，且120x x >>，则121x x > 由题意知：1122()()()x f f x f x x =- 又∵当x >1时，()0f x > ∴12()0x f x > ∴()()120f x f x -> ∴()f x 在定义域内为增函数(2)令x =4,y =2 由题意知：4()(4)(2)2f f f =- ∴()()422122f f ==⨯=()13()((3))(4)f x f f x x f x+-=+<又∵()f x 是增函数，可得(3)43010x x x x⎧⎪+<⎪+>⎨⎪⎪>⎩ ∴01x <<.点睛：抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数．由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一.抽象性较强，灵活性大,解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质，通过局部性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方法（如化归法、数形结合法等），这样就能突破“抽象”带来的困难，做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法． 25．（1）1()f x x -=；（2）存在，6a =. 【解析】 【分析】（1）由幂函数的定义和单调性，可得关于m 的方程与不等式；（2）由（1）得1()f x x -=，从而得到()(1)1g x a x =-+，再对1a -的取值进行分类讨论.【详解】（1）因为幂函数2242()(22)mm f x m m x -+=--在(0,)+∞上单调递减，所以22221,420,m m m m ⎧--=⎨-+<⎩解得：3m =或1m =-（舍去），所以1()f x x -=.（2）由（1）得1()f x x -=，所以()(1)1g x a x =-+，假设存在0a >使得命题成立，则当10a ->时，即1a >，()g x 在[1,2]-单调递增，所以(1)4,114,6(2)11,22111,g a a g a -=--+=-⎧⎧⇒⇒=⎨⎨=-+=⎩⎩； 当10a -=，即1a =，()1g x =显然不成立；当10a -<，即1a <，()g x 在[1,2]-单调递减， 所以(1)11,1111,(2)4,2214,g a g a -=-+=⎧⎧⇒⎨⎨=--+=-⎩⎩a 无解； 综上所述：存在6a =使命题成立. 【点睛】本题考查幂函数的概念及解析式、已知一次函数的定义域、值域求参数的取值范围，考查逻辑推理能力和运算求解能力，同时注意分类讨论思想的运用，讨论时要以一次函数的单调性为分类标准.26．（Ⅰ）20.51212,016(){21210,16x x x f x x x -+-≤≤=-> ;（Ⅱ）12 .【解析】试题分析：（1）先求得()P x ，再由()()()f x Q x P x =-，由分段函数式可得所求；（2）分别求出各段的最大值，注意运用一次函数和二次函数的单调性求最值法，然后比较两个最值即可得到结果.试题解析：（1）由题意得()1210P x x =+∴()()()20.51212,016{21210,16x x x f x Q x P x x x -+-≤≤=-=-> .（2）当16x >时， 函数()f x 递减，∴()()1652f x f <=万元 当016x ≤≤时，函数()()20.51260f x x =--+当12x =时，()f x 有最大值60万元 所以当工厂生产12百台时，可使利润最大为60万元 .【方法点睛】本题主要考查阅读能力及建模能力、分段函数的解析式，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.理解本题题意的关键是构造分段函数，构造分段函数时，做到分段合理、不重不漏，分段函数的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者).。
吉林省松原高中2019届高三第一次模拟考试卷 文科数学(三) 含答案
2019届高三第一次模拟考试卷文 科 数 学（三） 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2018·攀枝花统考]已知集合{}12A x x =-<<，(){}30B x x x =->，则集合A B =（ ）A ．{}13x x -<<B ．{}23x x x <>或C ．{}02x x <<D ．{}03x x x <>或2．[2018·铜仁一中]若复数1i34i z +=-，则z =（ ）A ．25 B．5 CD ．2253．[2018·青岛调研]如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1BB 的中点，用过点A ，E ，1C 的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为（ ）A ．B ．C ．D ． 4．[2018·鄂尔多斯期中]若3sin 5α=-，α是第三象限角，则sin 4απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A 2 B 72C． D． 5．[2018·蓝圃学校]甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b ，且{},0,1,2,,9a b ∈．若1a b -≤，则称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则二人“心有灵犀”的概率为（ ） A ．725 B ．925 C ．750 D ．950 6．[2018·赣州期中]已知点()5,0A -，()1,3B --，若圆()222:0C x y r r +=>上恰有两点M ，N ， 使得M AB △和NAB △的面积均为5，则r 的取值范围是（ ） A ．(5 B ．()1,5 C ．()2,5 D．( 7．[2018·东北育才]已知函数()11ln f x x x =--，则()y f x =的图象大致为（ ） A ． B ． C ． D ． 8．[2018·陕西四校联考]设函数()ππsin 2cos 244f x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ） A ．()y f x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线π4x =对称 B ．()y f x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线π2x =对称 C ．()y f x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线π4x =对称此卷只装订不密封 班级姓名准考证号考场号座位号D ．()y f x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线π2x =对称9．[2018·三湘名校]中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”．其中的“筹”原意是指《孙 子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排 列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如2263用算筹表示就是=||丄|||．执行如图所示程序框 图，若输人的1x =，2y =，则输出的S 用算筹表示为（ ）A ．B ．C ．D ．10．[2018·开封月考]已知空间四边形ABCD ，23BAC π∠=，23AB AC ==，6BD CD ==，且平面ABC ⊥平面BCD ，则空间四边形ABCD 的外接球的表面积为（ ）A ．60πB ．36πC ．24πD ．12π11．[2018·清华附中]已知1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x y E a b a b -=>>的左、右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，211sin 4MF F ∠=，则E 的离心率为（ ）AB ．32 CD ．212．[2018·湛江一中]已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x >时，()()'xf x f x ＞，若()20f =，则不等式()0f x x ＞的解集为（ ）A ．{}2002x x x -<<<<或B ．{}22x x x <->或C ．{}202x x x -<<>或D ．{}22x x x <-<<或0 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．[2018·廊坊联考]已知向量()7,16=a ，()5,16k -=-a b ，且⊥a b ，则k =__________． 14．[2018·湖北七校联盟]若函数()()3212f x a x ax x =++-为奇函数，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为______________． 15．[2018·贵州质检]设ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22a b -= ()2cos cos a B b A +，且ABC △的面积为25，则ABC △周长的最小值为__________． 16．[2018·西宁四中]已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上，且2AK =，O 是坐标原点，则OA =_________． 三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）[2018·长春实验中学]已知数列{}n a 是公差为2-的等差数列，若12a +，3a ，4a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令12n n n b a -=-，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求满足0n S ≥成立的n 的最小值． 18．（12分）[2018·南白中学]某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费，并注册成为会员，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下：该公司从注册的会员中，随机抽取了位进行统计，得到统计数据如下：假设汽车美容一次，公司成本为150元．根据所给数据，解答下列问题：（1）估计该公司一位会员至少消费两次的概率；（2）某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；（3）该公司从至少消费两次的顾客中按消费次数用分层抽样方法抽出8人，再从这8人中抽出2人发放纪念品．求抽出的2人中恰有1人消费两次的概率．19．（12分）[2018·赤峰二中]如图，在四棱锥P ABCD -中，BA CD ∥，2CD BA =，CD AD ⊥， 平面PAD ⊥平面ABCD ，APD △为等腰直角三角形，PA PD =．（1）证明：PB PD ⊥；（2）若三棱锥B PCD -的体积为34，求BPD △的面积． 20．（12分）[2018·雅礼中学]已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的离心率为12，F 为左焦点，过点F 作x 轴的垂线，交椭圆E 于A ，B 两点，3AB =． （1）求椭圆E 的方程； （2）过圆22127x y +=上任意一点作圆的切线交椭圆E 于M ，N 两点，O 为坐标原点，问：OM ON ⋅是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．21．（12分）[2018·石嘴山三中]已知函数()2a f x x x =+，()ln g x x x =+，其中0a >．（1）当2a =时，求函数()f x 的单调递减区间；（2）若对任意的1x ，[]21,e x ∈（e 为自然对数的底数）都有()()12f x g x >成立，求实数a 的取值 范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】 [2018·江师附中]在直角坐标系xoy ，曲线1C的参数方程为cos sin x a t y a t ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数，0a >）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线22:2sin 6C ρρθ=+． （1）说明1C 是哪种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程； （2）已知1C 与2C 的交于A ，B 两点，且AB 过极点，求线段AB 的长． 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 [2018·肇庆统测]已知()31f x x x =++-，()22g x x mx =-+． （1）求不等式()4f x >的解集； （2）若对任意的1x ，2x ，()()12f x g x >恒成立，求m 的取值范围．2019届高三第一次模拟考试卷文科数学（三）答 案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】B【解析】由一元二次方程的解法化简集合，(){}{}3030B x x x x x =->=><或x ， ∵{}12A x x =-<<，∴{}23A B x x x =<>或，故选B ．2．【答案】B【解析】∵()()1i 34i 1i17i17i 34i 25252525z +++-+====-+-，∴2z z ==，故选B ．3．【答案】C【解析】取1DD 中点F ，连接AF ，1CF ．平面1AFC E 为截面．如下图：∴选C ．4．【答案】D【解析】∵3sin 5α=-，α是第三象限角，∴4cos 5α=-，则34sin 455αααπ⎛⎫⎫+=+=--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭D ．5．【答案】A【解析】由题意，可知甲乙两人各猜一个数字，共有1010100⨯=（种）猜字结果，其中满足1a b -≤的有：当0a =时，0b =，1；当1a =时，0b =，1，2；当2a =时，1b =，2，3；当3a =时，2b =，3，4；当4a =时，3b =，4，5；当5a =时，4b =，5，6；当6a =时，5b =，6，7；当7a =时，6b =，7，8；当8a =时，7b =，8，9；当9a =时，8b =，9，共有28种， ∴他们“心有灵犀”的概率为28710025P ==，故选A ． 6．【答案】B 【解析】由题意可得5AB =， 根据M AB △和NAB △的面积均为5，可得两点M ，N 到直线的距离为2， 由于AB 的方程为34150x y ++=， 若圆上只有一个点到圆AB 的距离为2，则有圆心()0,0到直线AB 21r r =+⇒=， 若圆上只有三个点到圆AB 的距离为2，则有圆心()0,0到直线AB 25r r =-⇒=，∴实数r 的取值范围是()1,5，故选B ． 7．【答案】A 【解析】∵()11ln f x x x =--，令()1ln g x x x =--，()11g x x '=-， 当1x >时，()0g x '>，()g x 单调递增，则()f x 单调递减， 当01x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减，则()f x 单调递增，且1x ≠，故选A ． 8．【答案】D 【解析】∵()sin 2cos 222442f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 由于cos y x =的对称轴为()πx k k =∈Z ， ∴22y x =的对称轴方程是()π2k x k =∈Z ，∴A ，C 错误； 22y x =的单调递减区间为()2π2π2πk x k k ≤≤+∈Z ， 即()πππ2k x k k ≤≤+∈Z ，函数()y f x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减， ∴B 错误，D 正确．故选D ． 9．【答案】C 【解析】第一次循环，i 1=，1x =，3y =； 第二次循环，i 2=，2x =，8y =； 第三次循环，i 3=，14x =，126y =； 第四次循环，i 4=，1764S =，满足S xy =，推出循环，输出1764S =，∵1764对应，故选C ．10．【答案】A【解析】由余弦定理得2112122362BC ⎛⎫=+-⋅-= ⎪⎝⎭，∴6BC =． 由正弦定理得62sin120r =︒，∴r =ABC 的外接圆半径为23设外接球的球心为O ，半径为R ，球心到底面的距离为h ，设三角形ABC 的外接圆圆心为E ，BC 的中点为F ，过点O 作OG DF ⊥，连接DO ，BE ，OE ． 在直角OBE △中，(222R h =+（1），在直角DOG △中，()22R h =+（2），解（1）（2）得h =R =．∴外接球的表面积为460ππ=．故选A ．11．【答案】A【解析】根据题意，做出图像如下图所示∵1MF x ⊥，211sin 4MF F ∠=，设1MF x =，24MF x =，由双曲线定义可知42x x a -=，即23ax =，在21Rt MF F △中，由勾股定理可知222164x x c -=，即22154x c =， 联立方程得2221543a c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，化简得c e a =，故选A ．12．【答案】C【解析】令()()f x g x x =，∵0x >时，()()()2'0xf x fx g x x -'=>， ∴()g x 在()0.+∞递增，∵()()f x f x -=，∴()()g x g x -=-，∴()g x 是奇函数，()g x 在(),0-∞递增，∵()()2202f g ==，∴2x <<0时，()0g x <，2x >时，()0g x >，根据函数的奇偶性，()()220g g -=-=，20x -<<时，()0g x >，2x <-时，()0g x <， 综上所述，不等式()0f x x ＞的解集为20x -<<或2x >．故选C ． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】78- 【解析】由向量()7,16=a ，()5,16k -=-a b ，可得()2,k =b ， ∵⊥a b ，则72160k ⋅=⨯+=a b ，即的78k =-． 14．【答案】20x y --= 【解析】()()3212f x a x ax x =++-为奇函数，则0a =， ∴()32f x x x =-，()2'32f x x =-，∴()2'13121f =⨯-=， 又()11f =-，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为11y x +=-，即20x y --=． 15．【答案】10102+【解析】在ABC △中，由余弦定理可得： ()2222222222cos cos 22a c b b c a a b a B b A a b ac bc ⎛⎫+-+--=+=⋅+⋅ ⎪⎝⎭， 即222222222222a c b b c a a b a b c ac bc ⎛⎫+-+--=⋅+⋅= ⎪⎝⎭，即222a b c =+，即2A π∠=， ∴三角形的面积为125502S bc bc ==⇒=， 则ABC △的周长为10l b c =++，当5b c ==时取得等号， ∴ABC △的周长最小值为10210． 16．【答案】5【解析】设A 到准线的距离等于AM ，由抛物线的定义可得AF AM =， 由2AK =可得AMK △为等腰直角三角形． 设点2,8s A s ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∵准线方程为2x =-，AM MK =， ∴228s s +=，∴4s =±，∴()2,4A ±，∴OA =．故答案为三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）92n a n =-；（2）5．【解析】（1）∵12a +，3a ，4a 成等比数列，∴()()()2111426a a a -=+-，解得17a =，∴92n a n =-．（2）由题可知()()0121222275392n n S n -=++++-++++-，()2212828112nn n n n n -=--=+---，显然当4n ≤时，0n S <，5160S =>，又∵5n ≥时，n S 单调递增， 故满足0n S ≥成立的n 的最小值为5．18．【答案】（1）0.4；（2）45元；（3）47．【解析】（1）100位会员中，至少消费两次有40人， ∴估计一位会员至少消费两次的概率为400.4100P ==．（2）该会员第1次消费时，公司获得利润为20015050-=（元）， 第2次消费时，公司获得利润为2000.9515040⨯-=（元）， ∴公司这两次服务的平均利润为5040452+=（元）．（3）至少消费两次的会员中，消费次数分别为2，3，4，5的比例为20:10:5:54:2:1:1=， ∴抽出的8人中，消费2次的有4人，设为1A ，2A ，3A ，4A ， 消费3次的有2人，设为1B ，2B ，消费4次和5次的各有1人，分别设为C ，D ， 从中取2人，取到1A 的有：12A A ，13A A ，14A A ，11A B ，12A B ，1A C ，1A D 共7种； 去掉1A 后，取到2A 的有：23A A ，24A A ，21A B ，22A B ，2A C ，2A D 共6种； 去掉1A ，2A ，3A ，4A ，1B ，2B 后，取到C 的有：CD 共1种； 总的取法有765432128n =++++++=种，其中恰有1人消费两次的取法共有：444416m =+++=种， ∴抽出的2人中恰有1人消费两次的概率164287mP n ===．19．【答案】（1）见解析；（2【解析】（1）∵平面PDA ⊥平面ABCD ，平面PDA 平面ABCD AD =，CD AD ⊥ ∴CD ⊥平面PDA ． 又∵CD AB ∥，∴AB ⊥平面PDA ． ∵PD ⊂平面PDA ，∴PD AB ⊥， 又APD △为等腰直角三角形，∴PD PA ⊥，∴PA AB A =，∴PD ⊥平面PAB ， 又∴PB ⊂平面PAB ，∴PB PD ⊥， （2）设AB x =，则2CD x =，过P 作PE AD ⊥于E ，则1PE =．又平面PDA ⊥平面ABCD ，平面PDA 平面ABCD AD =，∴PE ⊥平面ABCD ． 又∵2PA PD ==，∴2AD =． ∴1112433233B PCD P BDC BDC V V S PE DC AD PE x --∆==⋅=⋅⋅⋅⋅==，∴2x =， ∴Rt PAB △中，22PB PA AB =+=Rt PAB △中，12BPD S DP PB =⋅⋅△ 20．【答案】（1）22143x y +=；（2）0． 【解析】（1）∵离心率为12，则12c a =．∴2234b a =． ∵3AB =，∴223b a =．∴24a =，23b =．则椭圆E 的标准方程为22143x y +=． （2）当切线斜率不存在时，取切线为x = 代入椭圆方程是1212,77M，N，或M，N ．∴1212120777OM ON⋅=⨯=，同理，取切线为x =0OM ON ⋅=．当切线斜率存在时，设切线y kx b =+，则d ==， ∴()227121b k =+． ① 联立()222223484120143y kx b k x kbx b x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩．设()11,M x y ，()22,N x y ，则122212283441234kbx x k b x x k -⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩②③，()()()()221212*********x x y y x x kx b kx b k x x x x kb b +=+++=++++， ④ 把①②③代入④得12120x x y y +=，∴0OM ON ⋅=．综合以上，OM ON ⋅为定值0．21．【答案】（1）函数()f x 的单调递减区间为()2,0-，()0,2；（2）e 1,2a +⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭．【解析】（1）当2a =时，()()40f x x x x =+≠，()2410f x x =-<'解得20x -<<或02x <<，则函数()f x 的单调递减区间为()2,0-，()0,2；（2）对任意的1x ，[]21,e x ∈都有()()12f x g x >成立等价于在定义域[]1,e 内有()()min max f x g x ≥． 当[]1,e x ∈时，()1'10g x x =+>．∴函数()ln g x x x =+在[]1,e 上是增函数．∴()()max e e 1g x g ==+， ∵()()()222'1x a x a a f x x x +-=-=，且[]1,e x ∈，0a >．①当01a <≤且[]1,e x ∈时，()()()2'0x a x a f x x +-=≥，(仅在1x =且1a =时取等号)∴函数()2a f x x x =+在[]1,e 上是增函数，∴()()2min 11f x f a ==+．由21e 1a +≥+，得a ≥01a <<，∴a ≥ ②当1a e <<时，若1x a <<，则()()()2'0x a x a f x x +-=<，若e a x <<，则()()()2'0x a x a f x x +-=>．∴函数()f x 在[)1,a 上是减函数，在(],e a 上是增函数．∴()()min 2f x f a a ==．由2e 1a ≥+，得e 12a +≥，又1e a <<，∴e 1e 2a +≤<．③当e a ≥且[]1,e x ∈时，()()()20x a x a f x x +-'=≤，(仅在e x =且e a =时取等号)∴函数()2a f x x x =+在[]1,e 上是减函数．∴()()2min e e e a f x f ==+． 由2e e 1e a +≥+，得e a ≥e a ≥，∴e a ≥． 综上所述：e 1,2a +⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．【答案】（1）1C 为以)13,0C 为圆心，以a为半径的圆，221:cos 30C a ρθ-+-=； （2）33AB =． 【解析】（1）∵曲线1C的参数方程为cos sin x a t y a t ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数，0a >）． ∴1C 的普通方程为(2223x y a +=， ∴1C 为以)13,0C 为圆心，以a 为半径的圆， 由222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=，得1C的极坐标方程为22cos 30a ρθ-+-=． （2）解法一：∵曲线22:2sin 6C ρρθ=+． ∴(2221:3C x y a +=，222:260C x y y +--=， 二者相减得公共弦方程为23290x y a -+-=， ∵AB 过极点，∴公共弦方程23290x y a -+-=过原点， ∵0a >，∴3a =0y -=， 则()20,1C到公共弦的距离为12d =．∴AB = 解法二：∵0:AB θθ=，∴2223cos 30a ρρθ-+-=与22sin 6ρρθ=+为ρ的同解方程， ∴3a =，3θπ=或43θπ=．∴12AB ρρ=-=． 23．【答案】（1）{}31x x x <->或；（2）22m -<<． 【解析】（1）法一：不等式()4f x >，即314x x ++->． 可得1314x x x ≥⎧⎨++->⎩，或31314x x x -<<⎧⎨++->⎩或3314x x x ≤-⎧⎨--+-<⎩， 解得31x x <->或，∴不等式的解集{}31x x x <->或． 法二：()31314x x x x ++-≥+--=，当且仅当()()310x x +-≤即31x -≤≤时等号成立．∴不等式的解集为{}31x x x <->或．（2）依题意可知()()min max f x g x ≥， 由（1）知()min 4f x =，()()2222g x x mx x m m =-+=--+，∴()2max g x m =， 由24m <的m 的取值范围是22m -<<．。
2019年高考数学真题合集(含解析)
解析设某人身高为 *34!脖子下端至肚脐的长度为+34!
则由腿长为!#534!可 得*!&#!5#5%槡5"&!&#!'!6!解 得 *
%!'$!6$#! 由 头 顶 至 脖 子 下 端 的 长 度 为 "'34!
$#!$本小题满分 !$ 分 %已 知 函 数 *$#%'9/:#(1:$!0#%# *7$#%为 *$#%的导数!证明,
$ % $!%*7$#%在区间 (!#$ 存在唯一极大值点-
$$%*$#%有 且 仅 有 $ 个 零 点 !
第 !4 题 图
$!!$本小题满分!$分%为治疗 某 种 疾 病#研 制 了 甲/乙 两 种 新 药#希望知道哪种新药更有效#为 此 进 行 动 物 试 验!试 验 方 案如下,每一轮 选 取 两 只 白 鼠 对 药 效 进 行 对 比 试 验!对 于 两只白鼠#随机选一只施以甲 药#另 一 只 施 以 乙 药!一 轮 的 治疗结果得出后#再 安 排 下 一 轮 试 验!当 其 中 一 种 药 治 愈 的白鼠比另一 种 药 治 愈 的 白 鼠 多 ) 只 时#就 停 止 试 验#并 认为治愈只数多的药更有效!为 了 方 便 描 述 问 题#约 定,对 于每轮试验#若施以甲药的白 鼠 治 愈 且 施 以 乙 药 的 白 鼠 未
解析由 ""&"&'"#!得 ""&(#"")"#"#!解 得 &""" "(! 即 #* $"#&""""(%!+ $ $# * $"#&"""""%!故 选 %!
吉林省松原高中2019届高三第一次模拟考试卷 文科数学(一) 含答案
2019届高三第一次模拟考试卷文 科 数 学（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2018·陕西四校联考]已知复数312iz =-（i 是虚数单位），则z 的实部为（ ） A ．35-B ．35C ．15-D ．152．[2018·广西摸底]已知集合{}24A x x x =≤，{}340B x x =->，则A B =（ ）A ．(],0-∞B ．40,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．4,43⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．(),0-∞3．[2018·资阳一诊]空气质量指数AQI 是反映空气质量状况的指数，AQI 指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如下表：下图是某市10月1日—20日AQI 指数变化趋势下列叙述错误的是（ ）A ．这20天中AQI 指数值的中位数略高于100B ．这20天中的中度污染及以上的天数占14C ．该市10月的前半个月的空气质量越来越好D ．总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好4．[2018·长春质监]已知等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项的和，45S =，920S=，则7a =（ ） A ．3-B ．5-C ．3D ．55．[2018·曲靖一中]曲线()ln 20y a x a =->在1x =处的切线与两坐标轴成的三角形的面积为4，则a 的值为（ ） A2B ．2C ．4D ．86．[2018·衡水中学]如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且2AE EO =，则ED =（ ）A ．1233AD AB -B ．2133AD AB +C ．2133AD AB -D ．1233AD AB +7．[2018·遵义航天中学]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）A ．13B ．23C ．1D ．438．[2018·黑龙江模拟]已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若3FP FQ =，则QF =（ ） A ．83B ．52C ．3D ．29．[2018·曲靖统测]若关于x 的不等式210x kx +->在[]1,2区间上有解，则k 的取值范围是（ ） A ．(),0-∞B ．3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号10．[2018·广安诊断]在区间[]1,1-上随机取一个数k ，则直线()2y k x =-与圆221x y +=有两个不同公共点的概率为（ ） A ．29BC ．13D 3 11．[2018·赣州模拟]在平面直角坐标系xOy 中，设1F ，2F 分别为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 是双曲线左支上一点，M 是1PF 的中点，且1OM PF ⊥，122PF PF =，则双曲线的离心率为（ ） AB ．2CD 312．[2018·陈经纶中学]已知矩形ABCD ，2AB =，BC x =，将ABD △沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中，则（ ）A ．当1x =时，存在某个位置，使得AB CD ⊥ B．当x =AB CD ⊥ C ．当4x =时，存在某个位置，使得AB CD ⊥ D ．0x ∀>时，都不存在某个位置，使得AB CD ⊥二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2018·三湘名校]已知：x ，y 满足约束条件1030210x y x y y --≥+-≤+≥⎧⎪⎨⎪⎩，则2z x y =-的最小值为________．14．[2018·拉萨中学]若数列{}n a 的前n 项和2133n n S a =+，则{}n a 的通项公式____________．15．[2018·山东师大附中]已知sin π164x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 26πx ⎛⎫+= ⎪⎝⎭___________．16．[2018·湖北七校联盟]已知()12sin ,64πf x x x ωω⎛⎫⎛⎫=+>∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭R ，若()f x 的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间()π,2π，则ω的取值范围是___________．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）[2018·衡水中学]如图，在ABC △中，P 是BC 边上的一点，60APC ∠=︒，23AB =4AP PB +=．（1）求BP 的长； （2）若AC =cos ACP ∠的值．18．（12分）[2018·南昌模拟]中国海军，正在以不可阻挡的气魄向深蓝进军．在中国海军加快建设的大背景下，国产水面舰艇吨位不断增大、技术日益现代化，特别是国产航空母舰下水，航母需要大量高素质航母舰载机飞行员．为此中国海军在全国9省9所优质普通高中进行海航班建设试点培育航母舰载机飞行员．2017年4月我省首届海军航空实验班开始面向全省遴选学员，有10000名初中毕业生踊跃报名投身国防，经过文化考试、体格测试、政治考核、心理选拔等过程筛选，最终招收50名学员．培养学校在关注学员的文化素养同时注重学员的身体素质，要求每月至少参加一次野营拉练活动（下面简称“活动”）并记录成绩．10月某次活动中海航班学员成绩统计如图所示：（1）根据图表，试估算学员在活动中取得成绩的中位数（精确到0.1）；（2）根据成绩从[)50,60、[)90,100两组学员中任意选出两人为一组，若选出成绩分差大于10， 则称该组为“帮扶组”，试求选出两人为“帮扶组”的概率．19．（12分）[2018·陕西四校联]如图，直三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都是2，D ，E 分别是AC ，1CC 的中点．（1）求证：AE ⊥平面1A BD ； （2）求三棱锥11B A BD -的体积．20．（12分）[2018·南昌期末]已知椭圆C 中心在坐标原点，焦点在x轴上，且过⎛ ⎝⎭，直线l 与椭圆交于A ，B 两点（A ，B 两点不是左右顶点），若直线l 的斜率为12时，弦AB 的中点D 在直线12y x =-上． （1）求椭圆C 的方程；（2）若以A ，B 两点为直径的圆过椭圆的右顶点，则直线l 是否经过定点，若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由．21．（12分）[2018·南城一中]已知函数()32f x x ax bx c =+++（a ，b ，c ∈R ）． （1）若函数()f x 在1x =-和2x =处取得极值，求a ，b 的值；（2）在（1）的条件下，当[]2,3x ∈-时，()2f x c >恒成立，求c 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2018·齐鲁名校]在直角坐标系xoy 中，已知曲线1C 、2C的参数方程分别为()12cos n :i x C y θθθ⎧⎪⎨⎪⎩==为参数，()21cos : sin x t C t y t θθ=+=⎧⎨⎩为参数．（1）求曲线1C 、2C 的普通方程；（2）已知点()1,0P ，若曲线1C 与曲线2C 交于A 、B 两点，求PA PB +的取值范围．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2018·陕西四校联考]已知函数()2f x x a x =-++． （1）当1a =时，求不等式()3f x ≤的解集； （2）0x ∃∈R ，()03f x ≤，求a 的取值范围．2019届高三第一次模拟考试卷文科数学（一）答 案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】B 【解析】∵()()()312i 336i 12i 12i 12i 55z +===+--+，∴z 的实部为35，故应选B ． 2．【答案】C【解析】∵集合{}{}2404A x x x x x =≤=≤≤，{}43403B x x x x ⎧⎫=->=>⎨⎬⎩⎭， ∴444,433AB x x ⎧⎫⎛⎤=<≤=⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭，故选C ．3．【答案】C【解析】对A ，因为第10天与第11天AQI 指数值都略高100，所以中位数略高于100，正确； 对B ，中度污染及以上的有第11，13，14，15，17天，共5天占14，正确； 对C ，由图知，前半个月中，前4天的空气质量越来越好，后11天该市的空气质量越来越差，错误； 对D ，由图知，10月上旬大部分AQI 指数在100以下，10月中旬大部分AQI 指数在100以上， 所以正确，故选C ． 4．【答案】C【解析】等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项的和，()42352S a a ==+，95209S a ==，5209a =，2355252a a a d +==-，联立两式得到718d =，75+23a a d ==，故答案为C ． 5．【答案】B【解析】由()ln 2y f x a x ==-，得()af x x'=，∴()1f a '=，又()12f =-，∴曲线()ln 20y a x a =->在1x =处的切线方程为()21y a x +=-， 令0x =，得2y a =--；令0y =，得21x a=+． ∴切线与坐标轴围成的三角形面积为()()12122121422S a a a a ⎛⎫⎛⎫=--+=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2a =，故选B ．6．【答案】C【解析】()11213333ED EA AD AC AD AD AB AD AD AB=+=-+=-++=-．故选C ．7．【答案】B【解析】由已知中的三视图可得该几何体是一个三棱锥，其直观图如下图所示：故其体积112122323V ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，故选B ．8．【答案】A【解析】设l 与x 轴的交点为M ，过Q 向准线l 作垂线，垂足为N ，3FP FQ =，23NQ MF∴=，又4MF p ==，83NQ ∴=，NQ QF =，83QF ∴=．故选A ．9．【答案】D【解析】210x kx +->，得1k x x >-，令()1f x x x=-，则()f x 在[]1,2递减， 当2x =时，()f x 取得最小值为32-，所以32k >-．故选D ．10．【答案】D【解析】圆221x y +=的圆心为()0,0，圆心到直线()2y k x =-，要使直线()2y k x =-与圆221xy +=2211k k <+，解得k <，∴在区间[]1,1-上随机取一个数k ，使直线()2y k x =+与圆221x y +=有公共点的概率为()11P ⎛- ⎝⎭==--，故选D ． 11．【答案】C【解析】因为M 是1PF 的中点，O 为12F F 的中点，所以OM 为三角形12F PF 的中位线． 因为1OM PF ⊥，所以21PF PF ⊥．又因为212PF PF a -=，122PF PF =，122F F c =，所以12PF a =，24PF a =． 在12F PF △中，21PF PF ⊥，所以2221212PF PF F F +=， 代入得()()()222242a a c +=，所以225c a=，即e ．故选C ．12．【答案】C 【解析】∵BC CD ⊥，∴若存在某个位置，使得直线AB CD ⊥，则CD ⊥平面ABC ，则CD AC ⊥， 在ACD Rt △中，2CD =，AD x =，则由直角边小于斜边可知，AD CD >，即2x >， 结合选项可知只有选项C 中4x =时，存在某个位置，使得AB CD ⊥，故选C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】32【解析】画出约束条件1030210x y x y y --≥+-≤+≥⎧⎪⎨⎪⎩表示的可行域，如图，由10210x y y --=+≥⎧⎨⎩，可得1212x y ⎧⎪⎪⎨==-⎪⎪⎩，将2z x y =-变形为2y x z =-，平移直线2y x z =-，由图可知当直2y x z =-经过点11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭时，直线在y 轴上的截距最大，则2z x y =-有最小值，最小值为1132222z =⨯+=，故答案为32．14．【答案】()12n n a -=-【解析】由题意，当1n =时，1112133a S a ==+，解得11a =，当2n ≥时，111212122333333n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+--=-，即12n n a a -=-，所以12n n aa -=-，所以数列{}n a 表示首项为11a =，公比为2q =-的等比数列， 所以数列{}n a 的通项公式为()12n n a -=-．15．【答案】78【解析】由三角函数诱导公式：1sin cos 63ππ4x x ⎛⎫⎛⎫-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22π7sin 2cos 22cos 1638ππ3x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 16．【答案】12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】()12sin ,64πf x x x ωω⎛⎫⎛⎫=+>∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭R 的对称轴方程为π,62ππx k k ω+=+∈Z ，即π,π3k x k ωω=+∈Z ．()f x 的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间()π,2π，则12ππ2ω⨯>，1ω<，故114ω<<． 又由()ππππ31π2π3k k ωωωω+≤+⎧⎪+⎨≥⎪⎪⎪⎩，解得13436k k ω++≤≤，则1233ω≤≤．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）2BP =；（2）3cos 5ACP ∠=． 【解析】（1）由已知，得120APB ∠=︒，又AB =4AP BP +=， 在ABP △中，由余弦定理，得()()()22223424cos120BP BP BP BP =+--⨯⨯-︒，整理得2440BP BP -+=．解得2BP =．（2）由（1）知，2AP =，所以在ACP △中，由正弦定理．得sin60sin AC APACP =︒∠，解得342sin 2553ACP ∠==．因为2，所以AP AC <，从而ACP APC ∠<∠，即ACP ∠是锐角，所以3cos 5ACP ∠=．18．【答案】（1）中位数：76.5；（2）815P =． 【解析】（1）由频率分布直方图可知：成绩在[)50,60频率为0.04，成绩在[)60,70频率为0.20， 成绩在[)70,80频率为0.40，成绩在[)80,90频率为0.28，成绩在[)90,100频率为0.08， 可知中位数落在[)70,80组中，设其为x ，则()0.04+0.20+700.040.5x -⨯=，得76.5x =． （2）海航班共50名学员，成绩在[)50,60组内有500.042⨯=人，设为1A ，2A ， 成绩在[)90,100组内有500.084⨯=人，设为1E ，2E ，3E ，4E ，选两人有()12,A A 、()11,A E 、()12,A E 、()13,A E 、()14,A E 、()21,A E 、()22,A E 、()23,A E 、()24,A E 、()12,E E 、()13,E E 、()14,E E 、()23,E E 、()24,E E 、()34,E E 共15种；而“帮扶组”有()11,A E 、()12,A E 、()13,A E 、()14,A E 、()21,A E 、()22,A E 、()23,A E 、()24,A E 共8种，故选出两人为帮扶组的概率815P =．19．【答案】（1）见解析；（2． 【解析】（1）∵AB BC CA ==，D 是AC 的中点，∴BD AC ⊥，∵直三棱柱111ABC A B C -中1AA ⊥平面ABC ，∴平面11AAC C ⊥平面ABC ， ∴BD ⊥平面11AA C C ，∴BD AE ⊥．又∵在正方形11AA C C 中，D ，E 分别是AC ，1CC 的中点，∴1A D AE ⊥． 又1A DBD D =，∴AE ⊥平面1A BD ．（2）连结1AB 交1A B 于O ，∵O 为1AB 的中点，∴点1B 到平面1A BD 的距离等于点A 到平面1A BD 的距离．∴1111111121332B A BD A A BD B AA D AA D V V V S BD ---===⨯⨯=⨯⨯⨯．20．【答案】（1）椭圆C 的方程：2214x y +=；（2）见解析．【解析】（1）设椭圆的标准方程为()222210x y a b a b+=>>，()11,A x y ，()22,B x y ，由题意直线l 的斜率为12，弦AB 的中点D 在直线12y x =-上，得121212y y x x -=-，121212y y x x +=-+，再根据22112222222211x y a b x y a b ⎧⎪⎪⎨+=+=⎪⎪⎩，作差变形得2221222212y y b x x a -=--，所以224a b =， 又因为椭圆过3⎛ ⎝⎭得到2a =，1b =，所以椭圆C 的方程为2214x y +=．（2）由题意可得椭圆右顶点()22,0A ，220AA BA ⊥=，①当直线l 的斜率不存在时，设直线l 的方程为0x x =，此时要使以A ，B 两点为直径的圆过椭圆的右顶点200124x x --解得065x =或02x =（舍）此时直线l 为65x =． ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx b =+，则有()121212420x x x x y y +-++=， 化简得()()()2212121240k x x kb x x b ++-+++= ①联立直线和椭圆方程2214y kx b x y =++=⎧⎪⎨⎪⎩，得()222418440k x kbx b +++-=， 22140Δk b =+->，()122841kbx x k -+=+，21224441b x x k -=+ ② 把②代入①得()()2222244812404141b kbk kb b k k --++-++=++，即()222222222244448164164k b k b k b kb k b k b -+--+=-+++22121650k kb b ++=，得12k b =-或56k b =-此时直线l 过6,05⎛⎫⎪⎝⎭或()2,0（舍）综上所述直线l 过定点6,05⎛⎫⎪⎝⎭．21．【答案】（1）32a =-，6b =-；（2）c 的取值范围为(),10-∞-．【解析】（1）由题可得()232f x x ax b =++'．∵函数()f x 在1x =-和2x =处取得极值，∴()()132021240f a b f a b -=-+==+'⎧='+⎪⎨⎪⎩，解得326a b =-=-⎧⎪⎨⎪⎩，经验证知32a =-，6b =-满足条件．∴32a =-，6b =-．（2）由（1）知()32362f x x x x c =--+，∴()2336f x x x '=--．当x 变化时，()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：由上表知当[]2,3x ∈-时，()f x 的最小值为10c -，∵()2f x c >在[]2,3-上恒成立，∴102c c ->，解得10c <-． ∴实数c 的取值范围为(),10-∞-．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．【答案】（1）见解析；（2）[]3,4．【解析】（1）曲线1C 的普通方程为22143x y +=，当π,π2k k θ≠+∈Z 时，曲线2C 的普通方程为tan tan y x θθ=-，当π,π2k k θ=+∈Z 时，曲线2C 的普通方程为1x =（或sin cos sin 0x y θθθ--=）． （2）将()21cos : sin x t C t y t θθ=+=⎧⎨⎩为参数代入221:143x y C +=，化简整理得：()22sin 36cos 90t t θθ++-=，设A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，1226cos sin 3t t θθ-+=+，1229sin 3t t θ-=+， 则()2236cos 36sin 31440Δθθ=++=>恒成立， 1212212sin 3PA PB t t t t θ∴+=+=-+，[]2sin 0,1θ∈，[]3,4PA PB ∴+∈．23．【答案】（1）{}|2 1 x x -≤≤；（2）[]5,1-． 【解析】（1）当1a =时，()12f x x x =-++， ①当2x ≤-时，()21f x x =--，令()3f x ≤，即213x --≤，解得2x =-，②当21x -<<时，()3f x =，显然()3f x ≤成立，所以21x -<<，③当1x ≥时，()21f x x =+，令()3f x ≤，即213x +≤，解得1x =，综上所述，不等式的解集为{}|2 1 x x -≤≤．（2）因为()()()222f x x a x x a x a =-++≥--+=+， 因为0x ∃∈R ，有()3f x ≤成立，所以只需23a +≤， 解得51a -≤≤，所以a 的取值范围为[]5,1-．。
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五个类别： A 、 0 2000 步，（说明：“ 0 2000 ”表示大于或等于 0，小于 2000，以 下同理）， B 、 2000 5000 步， C 、 5000 8000 步， D 、 8000 10000 步， E 、 10000 12000 步，且 A 、 B 、 C 三种类别的人数比例为1: 4 : 3 ，将统计结果绘制如图所
，若
c AC aPA bPB 0 ，则△ ABC 的形状为（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．等边三角形 D．等腰三角形但不是等边三角形.
10．设 A（3，3，1），B（1，0，5），C（0，1，0），AB 的中点 M，则 CM
A． 53 4
B． 53 2
C． 53 2
D． 13 2
11．在样本的频率分布直方图中，共有 11 个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他
夹角公式即可计算出向量夹角．
【详解】
因为
(a
b)
b
，所以
(a
b)
b
a
b
2
b
=0，所以
a
b
2
b
，所以
cos =
ab ab
| b |2 2 | b |2
1 2
，所以
a
与
b
的夹角为
3
，故选
B．
【点睛】 对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹
角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0, ] ． 5．A
__________．
2x y 4 16．已知实数 x ， y 满足 x 2 y 4 ，则 z 3x 2y 的最小值是__________．
y 0
17．已知正三棱锥 P ABC 的底面边长为 3，外接球的表面积为16 ，则正三棱锥 P ABC 的体积为________.
18．设 为第四象限角，且 sin3 ＝ 13 ，则 tan 2＝ ________. sin 5
解析：A 【解析】 【分析】 【详解】 试题分析：如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合或者是相交，故（1）不正 确； 两条异面直线不能确定一个平面，故（2）不正确； 若 M∈α，M∈β，α∩β=l，则 M∈l，故（3）正确； 空间中，相交于同一点的三直线不一定在同一平面内（如棱锥的 3 条侧棱），故（4）不正 确， 综上所述只有一个说法是正确的， 故选 A．
【解析】
【分析】
利用多项式乘法将式子展开,根据二项式定理展开式的通项即可求得 x2 的系数.
【详解】
根据二项式定理展开式通项为Tr1 Crnanrbr
1
1 x2
1
x6
1
x6
1 x2
1
x6
则 1 x 6 展开式的通项为Tr1 C6r xr
则 1
1 x2
1
x6
展开式中
x2
的项为 C62x2
必要条件，故选 A. 【点睛】
充分性与必要性的判断，可以依据命题的真假来判断，若“若 p 则 q ”是真命题，“若 q 则 p ”是假命题，则 p 是 q 的充分不必要条件；若“若 p 则 q ”是真命题，“若 q 则 p ” 是真命题，则 p 是 q 的充分必要条件；若“若 p 则 q ”是假命题，“若 q 则 p ”是真命 题，则 p 是 q 的必要不充分条件；若“若 p 则 q ”是假命题，“若 q 则 p ”是假命题，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件.
A． a 1,b 1
B． a 1,b 1 C． a 1,b 1 D． a 1,b 1
8．设 R ，则“ 3”是“直线 2x ( 1) y 1 与直线 6x 1 y 4 平行”
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
9．在△ ABC 中， P 是 BC 边中点，角 A、B、C 的对边分别是
9．C
解析：C 【解析】 【分析】 【详解】 解答： 由已知条件得
； 根据共面向量基本定理得：
∴△ABC 为等边三角形。 故答案为：等边三角形。
10．C
解析：C 【解析】
试题分析：先求得 M（2, 3 ，3）点坐标，利用两点间距离公式计算得 CM 53 ，故选
2
2
C．
考点：本题主要考查空间直角坐标系的概念及空间两点间距离公式的应用．
册，3 本集邮册送给 4 位朋友，有 C41＝4 种方法．所以不同的赠送方法共有 6＋4＝
10(种)．
4．B
解析：B 【解析】 【分析】
本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、
数学计算等数学素养．先由 (a b) b 得出向量 a, b 的数量积与其模的关系，再利用向量
因为 (a i)i b i ， 即 1 ai b i ， 因为 a,b R,i 为虚数单位，所以 a 1,b 1，
故选 C. 【点睛】 本题主要考查复数的乘法运算以及复数相等的性质，属于基础题.
8．A
解析：A 【解析】 【分析】
当 3时，两条直线是平行的，但是若两直线平行，则 3或 1，从而可得两者之
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．A 解析：A 【解析】
试题分析：因为{x1
3
{x1
x2
6
，所以充分性成立；{x1
ห้องสมุดไป่ตู้
13
满足{x1
x2
6
，但
x2 3 x1x2 9
x2 1
x1x2 9
不满足{x1 3 ，必要性不成立，所以选 A. x2 3
考点：充要关系
2．C
解析：C
19．△ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c .若 b 6, a 2c, B π ，则△ABC 的面 3
积为__________.
20．函数 y lg1 2sin x 的定义域是________．
三、解答题 21．如图，在四棱锥 P−ABCD 中，AB//CD，且 BAP CDP 90 .
取 6 人进行身体状况调查，然后再从这 6 位微信好友中随机抽取 2 人进行采访，求其中至 少有一位女性微信好友被采访的概率．
25．如图，已知四棱锥 P ABCD 的底面为等腰梯形， AB//CD , AC BD ,垂足为 H ， PH 是四棱锥的高．
（Ⅰ）证明：平面 PAC 平面 PBD ; （Ⅱ）若 AB 6 , APB ADB 60°,求四棱锥 P ABCD 的体积．
2019 年松原市数学高考试卷(含答案)
一、选择题
1．{x1
3
是{x1
x2
6
成立的（
）
x2 3 x1x2 9
A．充分不必要条件
C．充要条件
B．必要不充分条件 D．即不充分也不必要条件
2． 1
1 x2
1
x6 展开式中
x2
的系数为（
）
A．15
B．20
C．30
D．35
3．某同学有同样的画册 2 本，同样的集邮册 3 本，从中取出 4 本赠送给 4 为朋友，每位朋
西偏北 的方向上，行驶 600m 后到达 处，测得此山顶在西偏北 的方向上，仰角为
，则此山的高度
________ m.
14．设 2a 5b m ,且 1 1 2 ,则 m ______. ab
15．设函数
f
x
log2
log
1 2
x, x 0 (x), x
0
，若 f (a) f (a) ，则实数 a 的取值范围是
26．2016 年某市政府出台了“2020 年创建全国文明城市 简称创文 ”的具体规划，今 日，作为“创文”项目之一的“市区公交站点的重新布局及建设”基本完成，市有关部门 准备对项目进行调查，并根据调查结果决定是否验收，调查人员分别在市区的各公交站点 随机抽取若干市民对该项目进行评分，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图，相关 规则为： 调查对象为本市市民，被调查者各自独立评分； 采用百分制评分， 内认定为满意，80 分及以上认定为非常满意； 市民对公交站点布局的满意率不低于
6．B
解析：B 【解析】
1 3 3
3 , cos A 3 ,
sin A sin B sin 2 A 2sin Acos A
2
所以12
2
3 c2 2c 3
3 ，整理得 c2 3c 2 0, 求得 c 1或 c
2.
2
若 c 1，则三角形为等腰三角形， A C 300 , B 600 不满足内角和定理，排除.
1 x2
C64
x4
则 1
1 x2
1
x6
展开式中
x2
的系数为 C62
C64
15 15
30
故选:C
【点睛】
本题考查了二项定理展开式的应用,指定项系数的求法,属于基础题.
3．B
解析：B
【解析】
【分析】
【详解】
分两种情况：①选 2 本画册，2 本集邮册送给 4 位朋友，有 C42＝6 种方法；②选 1 本画
友 1 本，则不同的赠送方法共有
A．4 种
B．10 种
C．18 种
D．20 种
4．已知非零向量 a，b 满足 a =2 b ，且（a –b） b ，则 a 与 b 的夹角为
A． π 6
B． π 3
C． 2π 3
D． 5π 6