求二次函数的关系式
二次函数关系式
二次函数关系式一、二次函数的定义二次函数是形如f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。
它的图像是一个开口向上或向下的抛物线。
二、二次函数关系式1. 顶点式二次函数的顶点式为f(x) = a(x - h)² + k，其中(h, k)为顶点坐标。
2. 标准式二次函数的标准式为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c分别表示抛物线的形状和位置。
3. 一般式二次函数的一般式为y = ax² + bx + c，其中x和y表示平面直角坐标系中某个点的横纵坐标。
三、二次函数图像特征1. 对称轴二次函数的对称轴是过顶点且垂直于x轴的直线。
对称轴方程为x = h。
2. 开口方向当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
3. 最值当a>0时，最小值等于k；当a<0时，最大值等于k。
4. 零点二次函数在x轴上与x轴交点称为零点。
零点可以通过求解ax²+bx+c=0得到。
四、二次函数的应用1. 求解问题二次函数可以用来求解各种实际问题，如求解最大值、最小值、零点等。
2. 经济学应用在经济学中，二次函数可以用来表示成本、收益、利润等与产量相关的关系。
3. 物理学应用在物理学中，二次函数可以用来表示自由落体运动的高度和时间之间的关系。
五、二次函数的图像绘制1. 找出顶点坐标通过顶点式或标准式可以找到抛物线的顶点坐标。
2. 找出对称轴方程对称轴方程为x = h，其中h为顶点横坐标。
3. 找出零点通过一般式可以求得零点，也可以通过图像上与x轴交点得到。
4. 确定开口方向和最值根据a的正负性可以确定抛物线开口方向和最值。
5. 绘制图像根据以上步骤确定抛物线的各个特征后，就可以绘制出完整的二次函数图像了。
六、总结本文介绍了二次函数的定义、关系式、图像特征以及应用，并详细说明了如何绘制一个完整的二次函数图像。
已知三点确定二次函数的表达式
解法一: 设所求二次函数关系式为：y = ax2+bx+c.
又抛物线过点（1，0），（3，0），（2，-1），
依题意得: a+b+c=0
a 1
9a+3b+c = 0 解得 b 4
4a + 2b + c=-1
c3
∴所求的函数关系式为
y x2 。4x 3
解法二 ∵点（1，0）和（3，0）是抛 物线与x轴的两个交点， ∴设二次函数关系式为：y=a(x-1)(x-3), 又抛物线过点（2，-1）， ∴ -1=a（2-1)（2-3） 解得a 1
确定二次函数的关系式
①设 设二次函数的关系式 ②代 将相关数值代入关系式得到方程或
方程组 ③解 解方程或方程组得出待定系数的值 ④写 写出该二次函数的关系式
例1：已知抛物线图象上三个点的坐标（1，0）， （3，0），（2，-1）求二次函数关系式。
例1：已知抛物线图象上三个点的坐标（1，0）， （3，0），（2，-1），求二次函数关系式。
小 结：
如何选择不同形式的二次函数的关系式？
1.一般式：y ax2 bx c(a 0)
（已知抛物线上三点或三对x、y的值，用一般式.）
2．顶点式： y a x h2 k(a 0)
（已知抛物线的顶点或对称轴或最值，用顶点式.）
3．交点式 ： y a(x x1)(x x2 )(a 0)
求c的值
∴设二次函数的关系式为y=a(x-1)2+2
∵图象经过点（3，-6）
∴-6=a (3-1)2+2 ∴a=-2 ∴二次函数的关系式为y=-2(x-1)2+2
即： y=-2x2+4x
26.2.3 求二次函数的表达式 公开课获奖课件
解：(1)∵抛物线 y＝13x2＋bx＋c 经过 A(－ 3，0)，B(0，
－ 3) 两 点 ， ∴ 13×（－ 3）2－ 3b＋c＝0， 解 得 c＝－3，
b＝－23 c＝－3.
3， ∴此抛物线所对应的函数关系式为
y
＝
1 3
x2
－
2 3 3x－3 (2)由(1)可得此抛物线的对称轴为直线 x＝ 3，顶
二、填空题(每小题 4 分，共 16 分) 12．已知抛物线 y＝x2＋mx－5 经过点(2，－3)， 则该抛物线的解析式为__y＝x2－x－5__． 13．已知抛物线与 x 轴交于点 A(－1，0)，B(1， 0)，与 y 轴交点的纵坐标为 1，则该抛物线的解析式为 __y＝－x2＋1__． 14．抛物线 y＝ax2＋bx＋c 的顶点在 x 轴上，对称 轴是直线 x＝1，并且抛物线经过点(2，2)，则这条抛 物线的解析式为__y＝2(x－1)2__． 15．一个二次函数，当自变量 x＝－1 时，函数值 y＝2；当 x＝0 时，y＝－1；当 x＝1 时，y＝－2，那 么，这个二次函数的解析式为__y＝x2－2x－1__．
最后还想推一下萧绎的《幽逼诗》四 首：
【南史曰：元帝避建邺则都江陵，外 迫强敌 ，内失 人和。 魏师至 ，方征 兵四方 ，未至 而城见 克。在 幽逼求 酒，饮 之，制 诗四绝 。后为 梁王詧 所害。 】 南风且绝唱，西陵最可悲。今日还蒿 里，终 非封禅 时。 人世逢百六，天道异贞恒。何言异蝼 蚁，一 旦损鲲 鹏。 松风侵晓哀，霜雰当夜来。寂寥千载 后，谁 畏轩辕 台。 夜长无岁月，安知秋与春。原陵五树 杏，空 得动耕 人。
B．2，－4
C．－2，4 D．－2，－4
9．已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c 过(－1，2)，(0，1)，
二次函数解析式的几种求法ppt
∴ OE = BF =（12-8）÷2 = 2。 ∴O（0，0），B（-12，0），A（-2，2）。
设解析式为
F
E
又 ∵A（-2，2）点在图像上，
a = -0.1
∴即：三、Fra bibliotek用举例例2、已知：如图，是某一抛物线形拱形桥，拱桥底面宽度 OB是12米，当水位是2米时，测得水面宽度AC是8米。
（1）求拱桥所在抛物线的解析式；（2）当水位是2.5米时， 高1.4米的船能否通过拱桥？请说明理由（不考虑船的宽度。 船的高度指船在水面上的高度）。
∴ ∴ 又∵点（0，1）在图像上， ∴
∴ a = -1 ∴ 即：
-
五、小结
1、二次函数常用解析式
一般式 顶点式 交点式
2、求二次函数解析式的一般方法：平移式
.已知图象上三点坐标，通常选择一般式。 .已知图象的顶点坐标（对称轴或最值），通常选择顶点式。 .已知图象与x轴的两个交点的横坐标x1、x2， 通常选择交点式。
-
三、应用举例
例2、已知：如图，是某一抛物线形拱形桥，拱桥底面宽度OB是12米， 当水位是2米时，测得水面宽度AC是8米。 （1）求拱桥所在抛物线的解 析式；（2）当水位是2.5米时，高1.4米的船能否通过拱桥？请说明理由 （不考虑船的宽度。船的高度指船在水面上的高度）。
解：（1）、由图可知：四边形ACBO是等腰梯形 过A、C作OB的垂线，垂足为E、F点。
二次函数解析式的几种求法 （第一课时）
涵水小学 王儒钦
二次函数关系式的常见形式：
一般式：y=ax2+bx+c 顶点式：y=a(x+m)2+k
-
二次函数的几种解析式及求法
二次函数解析式
九年级数学求二次函数的函数关系式
二次函数根与系数的关系公式
二次函数根与系数的关系公式二次函数是指具有形如 y=ax^2+bx+c 的函数，其中 a,b,c 是常数。
其中 x 称为自变量，y 称为因变量。
在二次函数中，最重要的就是函数的根。
根是指满足方程 y=ax^2+bx+c=0 的 x 的值。
它可以是一个实数或者是一个复数。
在二次函数中，根的个数和系数 a,b,c 之间是有一定的关系的。
首先，我们来看一个二次函数的图像。
当二次函数的系数a>0时，它的图像开口向上；当系数a<0时，它的图像开口向下。
当系数a的绝对值越大时，图像的开口越窄。
当 a=0 时，二次函数就变成了一次函数，即 y=bx+c，没有二次项。
此时的图像是一条直线。
对于二次函数 y=ax^2+bx+c，我们可以用求根公式来求解它的根。
求根公式是一个很重要的公式，它的形式是：x= (-b±sqrt(b^2-4ac))/(2a)其中的± 表示可以取正号或者负号。
也就是说，对于一个二次函数而言，一般情况下有两个根。
但是，当 b^2-4ac<0 时，即判别式小于零时，方程没有实根，只有复根。
我们可以通过这个求根公式来推导二次函数的根与系数之间的关系。
首先考虑一个情况，就是当方程有两个实根的时候。
由求根公式可知，当 b^2-4ac>0，即判别式大于零时，方程有两个不相等的实根。
可以得到：x1=(-b+sqrt(b^2-4ac))/(2a)x2=(-b-sqrt(b^2-4ac))/(2a)我们可以对方程进行因式分解，得到：y=a(x-x1)(x-x2)也就是说，对于一个二次函数而言，可以通过它的两个根来唯一确定一个二次函数。
反过来，如果知道一个二次函数的系数a,b,c以及根x1,x2，就可以唯一确定一个二次函数。
从上面的分解式可以看出，当x=x1或者x=x2时，y=0。
也就是说，x1和x2就是二次函数的根。
接下来，我们来推导方程没有实根的情况。
当 b^2-4ac<0，即判别式小于零时，方程没有实根，只有复根。
求二次函数解析式几种常用方法
求二次函数的解析式的几种方法山东省沂水县高桥镇初级中学 王瑞辉二次函数解析式的求法是二次函数知识的重点，也是中考必考内容。
现在举例，说明求二次函数解析式的常用方法，希望对同学们学习有所帮助。
一、二次函数常见的三种表达式：（1）一般式：y ax bx c a =++≠20()；（2）交点式：y a x x x x =--()()12，其中点(,)()x x 1200，，为该二次函数与x 轴的交点；（3）顶点式：()2()0y a x h k a =-+≠，其中点(),h k 为该二次函数的顶点。
二、利用待定系数法求二次函数关系式(1)、已知二次函数图象上任意三个点的坐标，可设一般式求二次函数的关系式。
例1、已知抛物线2y ax bx c =++，经过点（2，1）、（-1，-8）、（0，-3）．求这个抛物线的解析式． 解：根据题意得421,8,3,a b c a b c c ++=⎧⎪-+=-⎨⎪=-⎩ 解之得1,4,3,a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩所以抛物线为243;y x x =-+-说明：用待定系数法求系数a b c 、、需要有三个独立条件，若给出的条件是任意三个点，可设解析式为2(0)y ax bx c a =++≠，然后将三个点的坐标分别代入，组成一次方程组用加减消元法来求解．(2)、已知抛物线与x 轴的两个交点坐标和图象上另一个点坐标，可设交点式求二次函数的关系式。
若知道二次函数与x 轴有两个交点()()1200x x ，，，，则相当于方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根12x x ，，从而212()()ax bx c a x x x x ++=--，故二次函数可以表示为12()()(0)y a x x x x a =--≠．例2、已知一个二次函数的图象经过点A （－1，0），B （3，0），C （0，－3）三点．求此二次函数的解析式．解：根据题设，设此二次函数的解析式为(1)(3)y a x x =+-．又∵该二次函数又过点（0，－3）， ∴(01)(03)3a +-=-． 解得1a =．因此，所求的二次函数解析式为(1)(3)y x x =+-，即223y x x =--．说明：在把函数与x 轴的两个交点坐标代入12()()(0)y a x x x x a =--≠求值时，要注意正确处理两个括号内的符号．(3)、已知抛物线顶点和另外一个点坐标时，设顶点式y =a (x -h )2+k (a ≠0)例3、对称轴与y 轴平行的抛物线顶点是(-2，-1)，抛物线又过(1，0)，求此抛物线的函数解析式。
二次函数及三个二次间的关系
第三讲：二次函数 及三个二次间的关系1.二次函数的基本性质 (1)二次函数的三种表示法：y =ax 2+bx +c ;y =a (x －x 1)(x －x 2);y =a (x －x 0)2+n .(2)当a >0,f (x )在区间［p ,q ］上的最大值M ，最小值m ,令x 0=21 (p +q ).若－ab 2<p ,则f (p )=m ,f (q )=M ;若p ≤－a b 2<x 0,则f (－ab 2)=m ,f (q )=M ;若x 0≤－ab 2<q ,则f (p )=M ,f (－ab 2)=m ;若－ab 2≥q ,则f (p )=M ,f (q )=m .2.二次方程f (x )=ax 2+bx +c =0的实根分布及条件.(1)方程f (x )=0的两根中一根比r 大，另一根比r 小⇔a ·f (r )<0;(2)二次方程f (x )=0的两根都大于r ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>⋅>->-=∆0)(,2,042r f a r a bac b (3)二次方程f (x )=0在区间(p ,q )内有两根⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>⋅>⋅<-<>-=∆⇔;0)(,0)(,2,042p f a q f a q ab p ac b (4)二次方程f (x )=0在区间(p ,q )内只有一根⇔f (p )·f (q )<0,或f (p )=0(检验)或f (q )=0(检验)检验另一根若在(p ,q )内成立.(5)方程f (x )=0两根的一根大于p ,另一根小于q (p <q )⇔⎩⎨⎧>⋅<⋅0)(0)(q f a p f a .3.二次不等式转化策略(1)二次不等式f (x )=ax 2+bx +c ≤0的解集是：(－∞,α])∪［β,+∞)⇔a <0且f (α)=f (β)=0;(2)当a >0时，f (α)<f (β)⇔ |α+ab 2|<|β+ab 2|,当a <0时，f (α)<f (β)⇔|α+ab 2|>|β+ab 2|;(3)当a >0时，二次不等式f (x )>0在［p ,q ］恒成立⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔,0)(,2p f p a b或⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<-≤;0)(;2,0)2(,2q f p a b a b f q ab p 或 (4)f (x )>0恒成立⎩⎨⎧<==⎩⎨⎧<∆<⇔<⎩⎨⎧>==⎩⎨⎧<∆>⇔.00,0,00)(;0,0,0,0c b a a x f c b a a 或恒成立或 若()2f x x bx c =++，且()10f =，()30f =，求()1f -的值． 若函数()()2312f x a x b x a b a x a =+++-≤≤是偶函数，则点(),a b 的坐标是________．二次函数图象的对称性例1： 若()()223,[,]f x x b x x b c =-+++∈的图像x =1对称，则c =_______．例2：已知二次函数()2fx a x b x c=++，如果()()12f x f x =(其中12x x ≠)，则 122x x f +⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．2b a-B ．b a-C ． cD ．244ac b a-例3：二次函数f (x )的二次项系数为正，且对任意实数x 恒有f (2+x )=f (2－x ),若f (1－2x 2)<f (1+2x －x 2),则x 的取值范围是_________.例4：函数()2f x x px q =++对任意的x 均有()()11f x f x +=-，那么()0f 、()1f -、()1f 的大小关系是A ．()()()110f f f <-<B ．()()()011f f f <-<C ．()()()101f f f <<-D ．()()()101f f f -<<二次函数的单调性及最值例5：已知函数()()215f x x a x =--+在区间(12 ,1)上为增函数，那么()2f 的取值范围是_________．例6：已知函数()223f x x x =-+在区间[0,m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是A ．[)1,+∞B ．[]0,2C ．[]1,2D ．(),2-∞例7. 函数y x x =-+-242在区间[]03，上的最大值是_________，最小值是_______。
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A
D C
解： ∵墙的可用长度为8米 (3)
B
∴当x＝4cm时，S最大值＝32 平方米
用6 m长的铝合金型材做一个形状如图26.2.5所 示的矩形窗框．应做成长、宽各为多少时，才 能使做成的窗框的透光面积最大？最大透光面 积是多少？
（1）列出二次函数的解析式，并根 据自变量的实际意义，确定自变量的 取值范围； （2）在自变量的取值范围内，运用 公式法或通过配方求出二次函数的最 大值或最小值。
-4
*例5.已知：如图,求二次函数解析式y=ax² +bx+
o
-1
-2 -4
解：如图,由题意得：抛物线与x轴 交点的横坐标为－1和3 ∴设所求函数解析式为y=a(x＋1)(x－3) ∵图象过点（0，3） 3 ∴3=a(0＋1)(0－3) ∴a=－1
B
5
∴所求的函数解析式为y=－(x＋1)(x－3) 即y= –x² +2x+3
求二次函数的关系式
如图，在一面靠墙的空地上用长24米的篱笆，围成中间隔有二 道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。 (1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？ *(3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。 A D
-4
当C（0，-3）时，函数的解析式为： -y=-x² +2x+3,即y=x² -2x-3
-2
-4
归纳小结
二次函数解析式的确定:
求二次函数解析式可用待定系数法. (1)当已知图象上任意三点的坐标或 已知三对对应值时，使用一般式： 2 y ax bx c 来解； (2)当已知顶点坐标或最值时，使 2 用顶点式 y ax h k 来解，比较 简单。
归纳小结
二次函数解析式的确定:
（3）过与x轴的两个交点和一普通 点的二次函数解析式确定. 交点式 y a( x x1 )( x x 2 )( a 0)
条件：若抛物线 ax bx c y
2
与x轴交于两点（ 1 ,0), ( x 2 ,0). x
（2，0），（0，3）则： 4a 2b c 0 c 3 a b c 1
2
例3.已知：二次函数的图像的对称轴为直线 x= –3，并且函数有最大值为5，图像经过点 (–1,–3)，求这个函数的解析式。 解：由题意可知，该函数的顶点的坐标是 （－3，5），所以，设y=a(x+3)² ＋5
b 3 解： (2)当x＝ 2a
D C
时，S最大值＝
4ac b 2 4a
＝36（平方米）
如图，在一面靠墙的空地上用长24米的篱笆，围成中间隔有二 道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。 (1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？ *(3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。
a b c 6 9a 3b c 0 c 3
解这个方程组得a= 0.5，b= – 2.5，c=3 ∴所求得的函数解析式为y=0.5x² 2.5x+3 –
3 例2.已知：抛物线y=ax2+bx+c过直线 y 2 x 3
与x轴、y轴的交点，且过（1，1），求抛物线的解 析式. 分析： 3 ∵直线 y x 3 与x轴、y轴的交点为
例6.已知：抛物线与坐标轴交于A,B,C三个点，其 中A的坐标为（-1，0），B的坐标为（3，0），并 且△ABC的面积是6，求这个函数的解析式。
4
C
2
分析：由题意可知OC的长是3，所以 点C的坐标为（0，3)或（0，-3）
A
-2
o
B
5
当C（0，3）时，函 数的解析式为： y=-x² +2x+3
4 2 -5 5
又抛物线经过点（－1，－3），得 －3=a(－1+3)² ＋5 ∴ a=－2 ∴所求的函数解析式为：y= –2(x+3)² ＋5 即y= –2x² –12x–13
4
2
例4.已知：二次函数 的图像的顶点的坐标 是（1，4）,并且抛物 线与x轴的两个交点的 距离是4，求这个函数 的解析式。
B
5
Ａ
-2
x＝１
2
顶点坐标（h，k） *(3)交点式 y
a( x x1 )( x x 2 )( a 0)
2
条件：若抛物线 ax bx c y 与x轴交于两点（ 1 ,0), ( x 2 ,0). x
例1.已知：二次函数的图像经过点A(–1，6)、 B(3，0)、C(0，3)，求这个函数的解析式。 解：设所求函数解析式为y=ax² +bx+c . 由已知函数图象过(-1,6),(3,0),(0,3)三点得
解：1) ∵ AB为x米、篱笆长为24米 ( ∴ 花圃长为（24－4x）米 B ∴ S＝x（24－4x） ＝－4x2＋24 x （0<x<6）
C
如图，在一面靠墙的空地上用长24米的篱笆，围成中间隔有二 道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。 (1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？ *(3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。 A B
在实际问题中,自变量往往是有一定 取值范围的.因此,在根据二次函数 的顶点坐标,求出当自变量取某个值 时,二次函数取最大值(或最小值), 还要根据实际问题检验自变量的这 一取值是否在取值范围内,才能得到 最后的结论.
回味知识点：
二次函数的解析式有哪些？
(1)一般式 y ax2 bx c(a 0) (2)顶点式 y a( x h) k (a 0)