乘法交换律和结合律的简便运算
整数乘法的交换律,结合律和分配律
整数乘法的交换律,结合律和分配律
整数乘法的交换律、结合律和分配律是数学中的基本概念。
简单来说，交换律是指两个数的乘积的顺序不影响结果，结合律是指三个数的乘积可以根据不同的顺序进行乘法运算得到相同的结果，而分配律是指乘法可以分配到加法运算中进行计算。
例如，对于整数a、b、c来说，有以下的乘法关系：
1.交换律：a × b = b × a
2.结合律：a × b × c = (a × b) × c = a × (b × c)
3.分配律：a × (b + c) = a × b + a × c
上述三个基本乘法运算法则在数学中被广泛应用，特别是在代数学和计算机科学中。
掌握这些基本法则，能够更加方便地进行数学计算和推理。
- 1 -。
小学数学四则运算交换律、结合律、分配律及去括号汇总
小学数学四则运算交换律、结合律、分配律及去括号汇总一、交换律：①加法：A＋B＋C＝A＋C＋B 例子：9＋6＋1＝9＋1＋6②减法：A－B－C＝A－C－B 例子：15－9－5＝15－5－9③乘法：A×B×C＝A×C×B例子：1×2×3＝1×3×2④除法：A÷B÷C＝A÷C÷B 例子：6÷2÷3＝6÷3÷2二、结合律：①加法：A＋B＋C＝A＋（B＋C）例子：6＋9＋1＝6＋（9＋1）②减法：A－B－C＝A－（B＋C）例子：15－1－4＝15－（1＋4）③结合律：A×B×C＝A×（B×C）例子：9×5×2＝9×（5×2）④结合律：A÷B÷C＝A÷（B×C）例子：90÷5÷2＝90÷（5×2）三、分配律：①乘法：A×（B＋C）＝A×B＋A×C例子：5×（6＋8）＝5×6＋5×8A×B＋A×C＝A×（B＋C）5×17＋5×3＝5×（17＋3）A×（B－C）＝A×B－A×C例子：5×（8－6）＝5×8－5×6A×B－A×C＝A×（B－C）5×24－5×4＝5×（24－4）②除法：：（A＋B）÷C＝A÷C＋B÷C 例子：（9＋6）÷3＝9÷3＋6÷3A÷C＋B÷C＝（A＋B）÷C 例子：9÷3＋6÷3＝（9＋6）÷3（A－B）÷C＝A÷C－B÷C 例子：（9－6）÷3＝9÷3－6÷3A÷C－B÷C＝（A－B）÷C 例子：9÷3－6÷3＝（9－6）÷3四、去括号①只有“＋”“－”算式里，括号在“＋”后面，去括号后，括号里面所有符号不变：A＋（B＋C）＝A＋B＋C 例子：9＋（2＋1）＝9＋2＋1A＋（B－C）＝A＋B－C 例子：9＋（2－1）＝9＋2－1②只有“＋”“－”算式里，括号在“－”后面，去括号后，括号里面的所有符号变相反：A－（B－C）＝A－B＋C 例子：9－（5－1）＝9－5＋1A－（B＋C）＝A－B－C 9－（1＋8）＝9－1－8③只有“×”“÷”算式里，括号在“×”后面，去括号后，括号里面的所有符号不变：A×（B×C）＝A×B×C例子：3×（2×6）＝3×2×6A×（B÷C）＝A×B÷C 3×（6÷2）＝3×6÷2④只有“×”“÷”算式里，括号在“÷”后面，去括号后，括号里面的所有符号变相反：A÷（B×C）＝A÷B÷C 例子：12÷（2×6）＝12÷2÷6 A÷（B÷C）＝A÷B×C12÷（6÷2）＝12÷6×2。
乘法的交换律和结合律
乘法的交换律和结合律乘法被视为数学中最基本的运算之一，涉及到数值的相乘和相乘的顺序。
在乘法的运算规则中，有两个重要的性质，分别是交换律和结合律。
1. 乘法的交换律乘法的交换律是指，两个数相乘的结果与其顺序无关。
换句话说，任意两个数的乘积是相同的，无论它们的位置如何。
这个概念可以用如下的式子来表示：a *b = b * a例如，对于任意的实数a和b，a乘以b的结果与b乘以a的结果相同。
无论a和b是整数、分数还是负数，交换律都成立。
交换律在实际生活中有很多应用，比如在购买商品时，乘法的交换律可以让我们无论选取哪个商品作为第一个进行计算，最终的结果都是一样的。
这个性质在解决实际问题时非常有用。
2. 乘法的结合律乘法的结合律是指，在多个数相乘的情况下，无论怎样改变数的顺序，最终的结果都是相同的。
以三个数相乘为例，结合律可以用如下的式子来表示：(a * b) * c = a * (b * c)换言之，无论先计算a和b的乘积，还是先计算b和c的乘积，最终再与a相乘，结果都是相同的。
结合律在代数运算中经常被用到，特别是在计算多项式的乘法时。
通过合理地应用结合律，可以简化计算过程，减少出错的可能性。
结合律也存在于日常生活中，比如在家庭采购时，可以先计算两个商店的商品价格乘积，然后再将结果与第三个商店的商品价格相乘，最终得到的结果是一样的。
结论乘法的交换律和结合律是数学中基本的乘法性质。
通过交换律和结合律，我们可以在数学运算中更加灵活地处理乘法，并且得到准确的结果。
这两个性质在解决实际问题时也有广泛的应用。
引用名言：数学是一种精确的思维工具，它可以帮助我们解决现实世界中的各种问题。
——爱因斯坦总之，乘法的交换律和结合律为数学乘法提供了重要的基础。
了解和熟练运用这两个性质可以在数学运算和实际问题中提高效率，并得到准确的结果。
无论是在学习数学还是解决日常问题中，乘法的交换律和结合律都是不可或缺的。
乘法交换律结合律及相关的简便运算
• 猜谜：“弟兄 四五个，各有 各的家，有谁 走错门，让人 笑掉牙”。
• (我们身上的 一件物品）
• （纽扣）
探究新知一
同学们分成3组 踢毽子,每组5人， 一共有多少人在 踢毽子？
你会做吗？
5×3=15（人）或3×5=15（人）
把这两个算式写成一个等式
3×5=5×3
你还能再写出几个这样的等式吗？
你有什么发现呢？
相同点：两个乘数 相同，乘积相等。 不同点：两个乘数 的位置交换了。
两个数相乘，交换两个乘数的位置， 积不变，这就是乘法交换律。
• 你能用自己喜欢的方法来表示乘法交换律 吗？
• 甲数×乙数=乙数×甲数 • ▲ × ★= ★ × ▲
• ……
两个乘数交换位置，积不变， 这叫做乘法交换律。
• 如果用字母a、 b表示两个乘数， 则可以写成：
• a×b＝b×a
探究新知二
华丰小学举行跳绳比赛，规定每个 班选派23人参加。每个年级有5个 班，6个年级一共要选派多少人参 加比赛？ • 说一说你了解了哪些信息？ • 你怎样计算?
算法一：
算法二：
先算出一个年级参加的人数。 先算出全校有多少个班。
• 你喜欢哪种算法，为什么？
算一算,比一比
• ①（18×5）×2 18×（5×2）
• ②（13×25）×4 13×（25×4）
• ③（24×125）×8 24×（125×8 ）
• 观察上面的算式，你 发现了什么规律吗？
• 还有什么感受吗？
三个数相乘，先把前 两个数相乘，或者先 把后两个数相乘，积 不变，这叫作乘法结 合律。
你能不能用自己喜欢的方法来表示 乘法结合律呢？
（甲数×乙数）×丙数=甲数×（乙数×丙数）
乘法交换律和结合律及简便计算
乘法交换律和结合律及有关的简便计算学习内容：第六单元第60～61页例3、例4及随后的“试一试”和“练一练”，完成练习十第1～5题。
学习目标1.创设生活情境，让学生经历乘法交换律和乘法结合律的探索过程，理解并掌握规律，能用字母表示规律。
2.让学生学会运用乘法交换律和乘法结合律进行简便计算，体验运算律的应用价值，培养学生的探索意识和问题解决的能力，增强数学的应用意识。
3.培养学生观察、比较、概括等思维能力，使学生在数学活动中获得成功的体验。
学习重点：理解乘法交换律、结合律，引导学生概括出运算律并能进行简便计算。
学习难点：经历规律的探索过程，掌握乘法交换律和结合律的特点。
教学准备：导学单、多媒体课件等。
学习过程一、沟通学习1、复习我们刚刚学习了两条加法运算定律，同学们还记得么？谁能说一说？什么是加法交换律，用字母应该怎样表示？加法结合律呢？【设计意图】通过复习加法交换律和结合律，有效得为接下来乘法交换律和结合律作铺垫。
2、设疑引入在下列圆圈内填上合适的运算符号，使等式成立5○8=8○5 （2○3）○5=2○（3○5）这两道题的○里既可以都填加号，也可以都填乘号。
如果填加号是根据加法（交换）率和（结合）率；如果填乘号你会联想到什么呢?（1）能根据加法中所学到的知识，猜一猜乘法可能有哪些运算定律吗？（板书）（2）乘法中到底有没有这些规律呢？今天这节课我们一起来验证一下。
【设计意图】以学生猜测乘法中是否有乘法交换律和结合律引入新课，激发学生学习兴趣。
二、探究学习1.探索乘法交换律。
（1）课件出示教材第60页例题3情境图。
让学生看图，说说题目中的已知条件和所求的问题。
【自学】自学要求：列出算式。
自学形式：自学尝试。
【互学】互学内容（1）交流题目条件和问题。
（2）讨论列式依据。
互学方法：指着图，相互说一说，比划一下。
共同理解图意和题意。
【展学】【台下展学】展学表达：1.求一共有多少人在踢毽子就是已知每组5人，3组有多少人，用乘法计算。
乘法结合律乘法分配律乘法交换律公式
乘法结合律乘法分配律乘法交换律公式(a*b)*c=a*(b*c)也就是说，无论是先计算a、b相乘再和c相乘，还是先计算b、c相乘再和a相乘，最终的结果都是相同的。
这个规律同样适用于更多个数的相乘。
乘法分配律是指在进行加、减运算后再进行乘法运算时，乘法运算可以先对每个加、减项进行乘法运算，再将结果相加。
具体来说，对于任意三个数a、b、c，有：a*(b+c)=a*b+a*c(a+b)*c=a*c+b*c也就是说，可以先将b和c分别与a相乘，然后将结果相加，也可以先将a和b相加，再与c相乘，得到的结果都是相同的。
乘法交换律是指在进行乘法运算时，两个数的顺序不影响最终的结果。
具体来说，对于任意两个数a、b，有：a*b=b*a也就是说，无论是先将a与b相乘，还是先将b与a相乘，最终的结果都是相同的。
这三个公式在数学中被广泛应用，并在解决实际问题中提供了便利。
下面我们来看一些例子来说明这些公式的应用。
例子1：乘法结合律假设有三个数a=2，b=3，c=4，我们来验证乘法结合律。
左边：(a*b)*c=(2*3)*4=6*4=24右边：a*(b*c)=2*(3*4)=2*12=24可见，左右两边的结果都是24，乘法结合律成立。
例子2：乘法分配律假设有三个数a=2，b=3，c=4，我们来验证乘法分配律。
左边：a*(b+c)=2*(3+4)=2*7=14右边：a*b+a*c=2*3+2*4=6+8=14左右两边的结果都是14，乘法分配律成立。
例子3：乘法交换律假设有两个数a=2，b=3，我们来验证乘法交换律。
左边：a*b=2*3=6右边：b*a=3*2=6左右两边的结果都是6，乘法交换律成立。
通过上述例子，我们可以看到乘法结合律、乘法分配律和乘法交换律的应用，在解决实际问题中能够简化计算，提高效率。
总结起来，乘法结合律、乘法分配律和乘法交换律是基本的数学规律，它们在代数运算中发挥着重要的作用。
对于学习数学的学生来说，深入理解和掌握这些规律，能够更好地应对复杂的计算和问题求解。
乘法的交换律与结合律
乘法的交换律与结合律乘法是数学中一种基本运算，很多人在学习乘法的时候都会遇到乘法交换律和结合律这两个概念。
乘法交换律表明了在乘法中，交换相乘的因数不会改变乘积的结果；而乘法结合律则指出在进行多个数的乘法时，无论括号如何分组，得到的结果都是相同的。
在本文中，我们将深入探讨乘法交换律和结合律的含义、证明以及它们在数学中的应用。
一、乘法交换律的含义和证明1.1 含义乘法交换律的含义是指在两个数相乘时，交换相乘的顺序不会改变其乘积的结果。
换句话说，对于任意的实数a和b，都有a乘以b等于b乘以a，即a * b = b * a。
1.2 证明要证明乘法交换律，我们可以通过数学归纳法进行证明。
基础步骤：取a为1，b为任意实数。
则1 * b = b，而b * 1 = b。
由此可见，基础步骤成立。
归纳假设：假设对于任意的正整数n，命题a * n = n * a成立。
归纳步骤：我们需要证明对于n+1，命题也成立。
即证明a * (n+1) = (n+1) * a。
根据归纳假设，我们可以得出a * n = n * a成立。
那么(a * n) + a = (n * a) + a也成立。
化简得到a * (n+1) = (n+1) * a。
由此可见，根据数学归纳法的证明，乘法交换律得到了证明。
二、乘法结合律的含义和证明2.1 含义乘法结合律指的是，在进行多个数的乘法时，无论括号如何分组，得到的结果都是相同的。
换句话说，对于任意的实数a、b和c，都有(a * b) * c = a * (b * c)。
2.2 证明为了证明乘法结合律，我们可以通过使用分配律的性质进行证明。
假设任意的实数a、b和c，我们需要证明(a * b) * c = a * (b * c)。
首先，我们展开左边的式子，得到(a * b) * c = (a * b) + (a * c)。
然后，我们再展开右边的式子，得到a * (b * c) = a + (b * c)。
乘法交换律乘法结合律进行简便计算
乘法交换律乘法结合律进行简便计算a×b=b×a例子1：简化计算：3×4×5×2利用乘法交换律，我们可以改变乘数的顺序：3×4×5×2=2×3×4×5然后，我们可以按照从左到右的顺序进行计算：2×3=66×4=2424×5=120所以，3×4×5×2=120乘法结合律是指，在三个乘数相乘的运算中，可以先任意两个乘数相乘，再将积与第三个乘数相乘，结果不变。
即一个运算式的结果不受乘数结合顺序的影响。
数学表达式形式如下：(a×b)×c=a×(b×c)乘法结合律的应用也非常广泛。
当我们遇到一个有多个乘法运算的表达式时，我们可以优先计算其中的部分乘法运算，以简化整个表达式的计算。
下面是一个示例：例子2：简化计算：(2×3)×(4×5)根据乘法结合律，我们可以将表达式简化为：(2×3)×(4×5)=2×(3×(4×5))然后，我们可以按照从左到右的顺序进行计算：3×4=1212×5=602×60=120所以，(2×3)×(4×5)=120例子3：简化计算：(2×3)×(4×5)×(6×7)×(8×9)首先，按照乘法结合律，我们可以将乘法表达式任意分组：(2×3)×(4×5)×(6×7)×(8×9)=((2×3)×(4×5))×((6×7)×(8×9))然后，利用乘法交换律((2×3)×(4×5))×((6×7)×(8×9))=((4×5)×(2×3))×((8×9)×(6×7))接下来，我们可以按照从左到右的顺序进行计算：4×5=202×3=620×6=1208×9=726×7=4272×42=3024最后，将两个积相乘：通过应用乘法交换律和乘法结合律，我们可以以更简单的方式进行计算。
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反思
教 学 活 动
教学任务
学生活动
教师活动
活动意图
一、复习导入
二、自主合作探究新知
三、巩固联系运用新知
四、课堂总结
⑴乘法结合律用字母表示为：——
乘法交换律用字母表示为：——
⑵用自己的话表达乘法的两个运算律
全班交流
125×8×7和7×（125×8）是运用了哪种运算律得来的为什么要把125和8乘起来？
2、观察25×16怎样进行简便计算?
（1）小组讨论
2）全班交流：重点提出为什么要把16分解成4×4的形式？
讨论小结
1、自主练习第3题怎样简便就怎样计算
2、自主练习第4题解决实际问题
3、自主练习第5题解决实际问题
二、技能性：发展思维的灵活性和提高解决问题的能力。
三、体验性：增强对数学学习的兴趣和信心，初步形成独立思考和探究问题的意识、习惯。
教
学
重点
理解乘法交换律和结合律，并能根据运算定律进行简便计算
难点
根据运算定律进行简便计算
方法
自主探究
手段
班班通
板书
乘法交换律和结合律的简便运算
２３X２５X４ ８X３３X１２５
达标检测
必做题
23× 25× 4 8 ×33 ×125 40 ×13 ×25
35 ×4× 5× 20 50× 26× 4× 2 15× 12× 25
选做题
除法也有运算规律吗？猜一猜试一试
380÷ 5 ÷2 800÷ （20×8）
1、自主练习第3题怎样简便就怎样计算
2、自主练习第4题解决实际问题
3、自主练习第5题解决实际问题
评价一下自己在学习及其他方面的收获。
[设计意图]以“乘号宝宝”引入对旧知识的复习，增强了复习的趣味性，调动了学生的积极性。
[设计意图]使学生了解乘法运算律应用广泛，在学习运用加法运算律能使计算简便的基础上，学生很容易的想到乘法运算律是不是也可以使计算简便？然后教师直接到入新课，明确本节课的学习任务。
[设计意图]教师在教学过程中发挥的是组织作用、引导作用，教师关注的是学生学习的方法，学习的历程。让学生在比较中选择、感悟和体验简便算法，有利于培养学生的主动学习和探索的习惯，促进学生学习方式的转变，使学习的过程成为主动地、生动活泼的、有个性的过程。
[设计意图]强化学生对简便算法的应用。
设计意图]培养学生在解决实际问题的中自觉应用运算律进行简算的习惯。
⑶抢答：
136×947=947×□358×1002=1002×□
(15×4）Βιβλιοθήκη 10=15×(□×□)（125×8）×5=□×(□×□)
学生独立计算
学生板演
125×7×8
=875×8
=7000
125×7×8
=125×8×7
=1000×7
=7000
125×7×8
=7×125×8
=7×1000
=7000
2）小组交流，对比感悟：
上节课我们学习了乘法结合律和乘法交换律，“乘号宝宝”想知道大家学得怎样，请看大屏幕，它给我们带来的问题：
谈话：同学们对乘法结合律和乘法交换律掌握得真不错！想一想：这两个运算律能解决哪些问题呢？
当学生在交流的过程中指出可以进行简便运算时，教师导入新课学习：这节课我们就来研究怎样运用乘法结合律和乘法交换律进行简便运算。
2、观察25×16怎样进行简便计算?
（1）小组讨论，教师巡视引导
（2）全班交流：重点提出为什么要把16分解成4×4的形式？
3、讨论小结：⑴讨论：观察以上两道题，小组讨论：在乘法运算中怎样进行简便计算？⑵全班交流后教师总结⑶在乘法算式中应根据因数的特点来选择简便算法，有5去找2，有25去找4，有125去找8，从而使两个数在相乘后积成为整十、整百、整千数。
１、观察下面算式125×7×8，想一想：怎样算比较简便？
教师巡视。
（2）小组交流，对比感悟：小组交流自己是怎样想的？对比评价一下与别人的计算方法有什么不一样?
（3）全班交流。着重让学生体会：125×8×7和7×（125×8）是运用了哪种运算律得来的？为什么要把125和8乘起来？
（4）教师小结：显然第2和第3种方法比较简便。不管哪一种都是利用125和8相乘整千，再和7相乘就可以直接口算了。
课时教学案
学校：
姓 名
学 科
数学
年级班
课 题
乘法交换律和结合律的简便运算
课 时
课时
教学
目标
基础性
目标
一、认知性：进一步理解乘法交换律和结合律，并能根据运算定律进行简便计算
二、技能性：掌握用乘法交换律和结合律进行简便计算的方法。
三、体验性：体会应用乘法交换律和结合律的简洁性。
发展性
目标
一、认知性：提高学生的计算能力