2018年浙江省教育绿色评价联盟高考适应性数学试卷

2018年浙江省教育绿色评价联盟高考适应性数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）已知集合P={x∈R|﹣2＜x≤3}，，则（）A．P∩Q={x∈R|﹣1＜x＜3}B．P∪Q={x∈R|﹣2＜x＜3}C．P∩Q={x∈R|﹣1≤x≤3}D．P∪Q={x∈R|﹣2＜x≤3}2．（3分）已知复数，其中i是虚数单位，则|z|=（）A．2 B．1 C．D．3．（3分）在△ABC中，“A＞B”是“”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要4．（3分）已知l，m，n为三条不重合的直线，α，β为两个不同的平面，则（）A．若m⊥α，m⊥β，则α∥βB．若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则l⊥αC．若α∩β=l，m⊂α，m⊥l，则m⊥βD．若m∥n，m⊂α，则n∥α5．（3分）如图1对应函数f（x），则在下列给出的四个函数中，图2对应的函数只能是（）A．y=f（|x|）B．y=|f（x）|C．y=f（﹣|x|）D．y=﹣f（|x|）6．（3分）已知实数x，y满足约束条件则的取值范围是（）A．B．C．D．7．（3分）若有5本不同的书，分给三位同学，每人至少一本，则不同的分法数是（）A．120 B．150 C．240 D．3008．（3分）现已知函数f（x）=x2﹣4x+1，且设1≤x1＜x2＜x3＜…＜x n≤4，若有|f （x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x n﹣1）﹣f（x n）|≤M，则M的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．69．（3分）已知A，B，C是单位圆上不同的三点，O为坐标原点，若，则=（）A ．B ．C ．D ．10．（3分）已知正四面体ABCD和平面α，BC⊂α，当平面ABC与平面α所成的二面角为60°，则平面BCD与平面α所成的锐二面角的余弦值为（）A ．B ．C ．或D ．或二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．（3分）已知角α的终边与单位圆的交点坐标为，则sinα=，tanα=．12．（3分）若随机变量ξ的分布列为：012ξ﹣1P x y若，则x+y=，D（ξ）=．13．（3分）如图为某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为，表面积为．14．（3分）已知等比数列{a n}，等差数列{b n}，T n是数列{b n}的前n项和．若a3•a11=4a7，且b7=a7，则a7=，T13=．15．（3分）若的展开式中常数项为60，则实数a的值是．16．（3分）过双曲线上任意一点P作平行于x轴的直线，交双曲线的两条渐近线于A，B两点，若，则双曲线的离线率为．17．（3分）已知函数f（x）=，若方程f（x）=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则的取值范围是．三、解答题（共5小题，满分74分）18．（14分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知c2=a2+b2+ab．（1）求角C的大小；（2）若，求△ABC的面积．19．（15分）如图，在四棱锥A﹣BCDE中，AC⊥平面BCDE，∠CDE=∠CBE=90°，BC=CD=2，DE=BE=1，AC=，M为AE的中点．（1）求证：BD⊥平面AEC；（2）求直线MB与平面AEC所成角的正弦值．20．（15分）已知函数．（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；（2）记f（x）在[﹣1，1]上的最小值为g（a），求证：当x∈[﹣1，1]时，恒有．21．（15分）已知椭圆．（1）若椭圆C的一个焦点为（1，0），且点在C上，求椭圆C的标准方程；（2）已知椭圆C上有两个动点A（x1，y1），B（x2，y2），O为坐标原点，且OA ⊥OB，求线段|AB|的最小值（用a，b表示）．22．（15分）已知正项数列{a n}满足a1=2，且．＜a n；（1）求证：1＜a n+1（2）记，求证：．2018年浙江省教育绿色评价联盟高考适应性数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）已知集合P={x∈R|﹣2＜x≤3}，，则（）A．P∩Q={x∈R|﹣1＜x＜3}B．P∪Q={x∈R|﹣2＜x＜3}C．P∩Q={x∈R|﹣1≤x≤3}D．P∪Q={x∈R|﹣2＜x≤3}【解答】解：由≤0，得或，解得﹣1≤x＜3，故P∩Q={x∈R|﹣1≤x＜3}，P∪Q={x∈R|﹣2＜x≤3}．故选：D．2．（3分）已知复数，其中i是虚数单位，则|z|=（）A．2 B．1 C．D．【解答】解：∵=，∴|z|=．故选：B．3．（3分）在△ABC中，“A＞B”是“”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【解答】解：∵在三角形中，＞0，∴sin2＞sin2，∵cosA=1﹣2sin2，cosB=1﹣2sin2，∴cosA＜cosB，则A＞B，即，“A＞B”是“”的充要条件，故选：C4．（3分）已知l，m，n为三条不重合的直线，α，β为两个不同的平面，则（）A．若m⊥α，m⊥β，则α∥βB．若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则l⊥αC．若α∩β=l，m⊂α，m⊥l，则m⊥βD．若m∥n，m⊂α，则n∥α【解答】解：由l，m，n为三条不重合的直线，α，β为两个不同的平面，知：在A中，若m⊥α，m⊥β，则由面面平行的判定定理得α∥β，故A正确；在B中，若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则l与α相交、平行或l⊂α，故B错误；在C中，若α∩β=l，m⊂α，m⊥l，则m与β相交、平行或m⊂β，故C错误；在D中，若m∥n，m⊂α，则n∥α或n⊂α，故D错误．故选：A．5．（3分）如图1对应函数f（x），则在下列给出的四个函数中，图2对应的函数只能是（）A．y=f（|x|）B．y=|f（x）|C．y=f（﹣|x|）D．y=﹣f（|x|）【解答】解：由图（2）知，图象对应的函数是偶函数，故排除B，且当x＞0时，对应的函数图象右侧与左侧关于y轴对称，而y轴左侧图象与（1）中的图象对应的函数y=f （x）的图象相同，故当x＞0时，对应的函数是y=f（﹣x），得出A，D不正确．故选：C6．（3分）已知实数x，y满足约束条件则的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：由实数x，y满足约束条件作出可行域如图所示的阴影部分．则的取值范围是斜率k的取值范围，且k PC≤k或k≤k PA．解得A（0，1），解得C（，﹣）而k PA==﹣2，k PC==．∴k或k≤﹣2，故选：A．7．（3分）若有5本不同的书，分给三位同学，每人至少一本，则不同的分法数是（）A．120 B．150 C．240 D．300【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①，将5本不同的书分成3组，若分成1、1、3的三组，有=10种分组方法；若分成1、2、2的三组，有=15种分组方法；则有15+10=25种分组方法；②，将分好的三组全排列，对应三人，有A33=6种情况，则有25×6=150种不同的分法；故选：B．8．（3分）现已知函数f（x）=x2﹣4x+1，且设1≤x1＜x2＜x3＜…＜x n≤4，若有|f （x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x n﹣1）﹣f（x n）|≤M，则M的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：函数f（x）=x2﹣4x+1的对称轴为x=2，∵1≤x1＜x2＜x3＜…＜x n≤4，∴f（1）=﹣2，f（2）=﹣3，f（4）=1，∴|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x n﹣1）﹣f（x n）|≤|f（1）﹣f （2）|+|f（4）﹣f（2）|=1+4=5，∴M≥5，故选：C9．（3分）已知A，B，C是单位圆上不同的三点，O为坐标原点，若，则=（）A．B．C．D．【解答】解：∵A，B，C是单位圆上不同的三点，O为坐标原点，∴||=||=||=1．由⇒5+13=﹣12，则25+169+130=144，⇒，由⇒12+13=﹣5，则144+169+2×=25⇒，则==﹣+=﹣．故选：B10．（3分）已知正四面体ABCD和平面α，BC⊂α，当平面ABC与平面α所成的二面角为60°，则平面BCD与平面α所成的锐二面角的余弦值为（）A．B．C．或D．或【解答】解：如图，设正四面体ABCD的棱长为2，过A作AO⊥底面BCD，连接DO并延长，交BC于E，连接AE，可知∠AEO为二面角A﹣BC﹣D的平面角，在Rt△AOE中，可得OE=，AE=，∴cos，则sin．设平面BCD与平面α所成的锐二面角为θ，∠AED=α，当平面BCD与平面ABC在α异侧时，如图，则cosθ=cos（α﹣60°）=cosαcos60°+sinαsin60°=；当平面BCD与平面ABC在α同侧时，如图，则cosθ=cos[180°﹣（α+60°）]=﹣cos（α+60°）=﹣[cosαcos60°﹣sinαsin60°]=﹣（）=．∴平面BCD与平面α所成的锐二面角的余弦值为．故选：A．二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．（3分）已知角α的终边与单位圆的交点坐标为，则sinα=，tanα=﹣．【解答】解：角α的终边与单位圆的交点坐标为，则x=﹣，y=，r=|OP|=1，∴sinα==，tanα==﹣，故答案为：，﹣．12．（3分）若随机变量ξ的分布列为：012ξ﹣1P x y若，则x+y=，D（ξ）=．【解答】解：∵，∴由随机变量ξ的分布列，知：，∴x+y=，x=，y=，D（ξ）=（﹣1﹣）2×+（0﹣）2×+（1﹣）2×+（2﹣）2×=．故答案为：，．13．（3分）如图为某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为，表面积为4+4．【解答】解：由三视图可知几何体为四棱锥，作出直观图如图所示：其中底面ABCD是边长为2正方形，E到底面ABCD的距离为：，EA==2．∴棱锥的体积V==．棱锥的四个侧面均为正三角形，EB=ED=2，∴棱锥的表面积S=22+4×=4+4．故答案为：；4+4．14．（3分）已知等比数列{a n}，等差数列{b n}，T n是数列{b n}的前n项和．若a3•a11=4a7，且b7=a7，则a7=4，T13=52．【解答】解：因为{a n}为等比数列，且a3•a11═4a7，由等比数列的性质可得a3•a11=a7•a7=4a7，所以解得a7═4，因为{b n}为等差数列，且b7═a7═4，所以由等差数列的前n项求和公式得：T13═13×（b1+b13）×=13××2b7=13b7=13×4=52故答案为a7=4，T13=52．15．（3分）若的展开式中常数项为60，则实数a的值是±2．【解答】解：的展开式的通项=．由，可得（舍），由6﹣=0，得r=4．∴的展开式中常数项为==60，解得a=±2．故答案为：±2．16．（3分）过双曲线上任意一点P作平行于x轴的直线，交双曲线的两条渐近线于A，B两点，若，则双曲线的离线率为．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±x，设双曲线上的P（m，n），则﹣=1．①联立，解得x=，取A（，n），同理可得B（﹣，n）．=（﹣m，0），=（﹣﹣m，0），由•=﹣，可得（﹣m）（﹣﹣m）=﹣，化为m2﹣n2=﹣，②由①②可得=，则e====．故答案为：．17．（3分）已知函数f（x）=，若方程f（x）=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则的取值范围是[，] ．【解答】解：作函数f（x）=的图象如右，由图可知，x1+x2=﹣2，x3x4=1；1＜x4≤2；故=x3+=+x4，1＜x4≤2；由y=+x4在（1，]递减，（，2]递增．故x4=取得最小值，且为2=，当x4=1时，函数值为，当x4=2时，函数值为．即有取值范围是[，]．故答案为：[，]．三、解答题（共5小题，满分74分）18．（14分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知c2=a2+b2+ab．（1）求角C的大小；（2）若，求△ABC的面积．【解答】解：（1）由余弦定理可知：cosC==﹣，由0＜C＜π，则C=；（2）由sinA=，由C=，则A为锐角，∴cosA==，sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=×（﹣）+×=，由正弦定理可知：=，则a===，则△ABC的面积S=×absinC=×2××=，∴△ABC的面积为．19．（15分）如图，在四棱锥A﹣BCDE中，AC⊥平面BCDE，∠CDE=∠CBE=90°，BC=CD=2，DE=BE=1，AC=，M为AE的中点．（1）求证：BD⊥平面AEC；（2）求直线MB与平面AEC所成角的正弦值．【解答】证明：（1）连结EC，BD，交于点O，∵BC=CD=2，DE=BE=1，∴EC⊥BD，∵AC⊥平面BCDE，BD⊂平面BCDE，∴BD⊥AC，∵EC∩AC=C，∴BD⊥平面AEC．解：（2）∵在四棱锥A﹣BCDE中，AC⊥平面BCDE，∠CDE=∠CBE=90°，BC=CD=2，DE=BE=1，AC=，M为AE的中点．∴以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，过O作AC的平行线为z轴，建立空间直角坐标系，∴BO=，EO=，CO=，∴E（0，﹣，0），A（0，，），M（0，，），B（，0，0），=（，﹣，﹣），平面AEC的法向量=（1，0，0），设直线MB与平面AEC所成角为θ，sinθ===．∴直线MB与平面AEC所成角的正弦值为．20．（15分）已知函数．（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；（2）记f（x）在[﹣1，1]上的最小值为g（a），求证：当x∈[﹣1，1]时，恒有．【解答】解：（1）f（x）=x3+|x﹣1|，当x≥1时，f（x）=x3+x﹣1的导数为f′（x）=x2+1＞0，可得f（x）递增；当x＜1时，f（x）=x3+1﹣x的导数为f′（x）=x2﹣1，由f′（x）＞0，可得x＜﹣1；由f′（x）＜0，解得﹣1＜x＜1．综上可得，f（x）的增区间为（1，+∞），（﹣∞，﹣1）；减区间为（﹣1，1）；（2）证明：当0＜a＜1时，f（x）在[﹣1，a）递减，在（a，1]递增，可得f（x）的最小值为g（a）=f（a）=a3+1﹣a；f（x）的最大值为f（﹣1）或f（1），由f（﹣1）﹣g（a）﹣=a﹣﹣a3﹣1+a﹣=2a﹣a3﹣3＜0恒成立；又f（1）﹣g（a）﹣=﹣a﹣a3﹣1+a﹣=﹣a3﹣1＜0恒成立；当a≥1时，f（x）在[﹣1，1]递减，可得f（x）的最小值为g（a）=f（1）=+a﹣1=a﹣，最大值为f（﹣1）=a+，则a+≤a﹣+恒成立．综上可得当x∈[﹣1，1]时，恒有．21．（15分）已知椭圆．（1）若椭圆C的一个焦点为（1，0），且点在C上，求椭圆C的标准方程；（2）已知椭圆C上有两个动点A（x1，y1），B（x2，y2），O为坐标原点，且OA ⊥OB，求线段|AB|的最小值（用a，b表示）．【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的左焦点F1（﹣1，0），右焦点F2（1，0），则|PF1|+|PF2|=2a，则+=+=4=2a，则a=2，b2=a2﹣c2=3，∴椭圆C的标准方程为；（2）以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为ρ2（b2cos2θ+a2sin2θ）=a2b2，设A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+），则|AB|2=|OA|2+|OB|2=ρ12+ρ22=+=+，=[（b2cos2θ+a2sin2θ）+（b2sin2θ+a2cos2θ）]（+）=（2++）≥，∴|AB|的最小值为．22．（15分）已知正项数列{a n}满足a1=2，且．＜a n；（1）求证：1＜a n+1（2）记，求证：．【解答】证明：（1）∵a1=2＞1，成立，假设a k＞1成立，则有2a k﹣1＞1成立，即成立，＞1，即a k+1a n﹣a n﹣1===＞0，∴a n＞a n+1，∴1＜a n＜a n．+1（2）====（a n﹣a n+1）•﹣（），∵=＜，＞2（），∴原式＜2（a n﹣a n+1）﹣3（）+2（）＜=3[（）﹣（）]，∴b 1+b2+b3+…+b n＜3[（）﹣（）+（）﹣（）+…+（）﹣（）=3[]＜3（）=3（2﹣）=6﹣3，∴．。