江苏省苏州市2021届上学期高三年级期中考试数学试卷

江苏省苏州市2021届上学期高三年级期中考试数学试卷

(满分150分，考试时间120分钟)

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合A ＝{x|x 2

－x －6≤0}，B ＝{x|x 2

>4}，则A∩B＝( ) A. (2，3) B. [2，3] C. (2，3] D. [2，3]∪{－2}

2. 若角α的终边经过点(3－sin α，cos α)，则sin α的值为( ) A. 15 B. 14 C. 13 D. 34

3. 在等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则此数列的前20项和等于( ) A. 160 B. 180 C. 200 D. 220

4. 函数“f(x)＝x 2＋2x ＋1＋a 的定义域为R ”是“a≥1”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

5. 函数f(x)＝（e x

－e －x ）cos x x

2

的部分图象大致是( )

6. 已知函数f(x)＝xln x ，若直线l 过点(0，－e)，且与曲线C ：y ＝f(x)相切，则直线l 的斜率为( )

A. －2

B. 2

C. －e

D. e

7. 衣柜里的樟脑丸，随着时间的推移会因挥发而使体积缩小，刚放进去的新丸体积为a ，经过t 天后体积V 与天数t 的关系式为V ＝a·e

－kt

.已知新丸经过50天后，体积变为4

9

a.若

一个新丸体积变为8

27a ，则需经过的天数为( )

A. 125

B. 100

C. 75

D. 50

8. 设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a n >0，a 1＝1

2，S n <2，则等比数列{a n }的公比的取值

范围是( )

A. (0，34]

B. (0，23]

C. (0，34)

D. (0，2

3

)

二、 多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有错选的得0分． 9. 已知函数f(x)＝cos x －3sin x ，g(x)＝f′(x)，则( )

A. g(x)的图象关于点(π6，0)对称

B. g(x)的图象的一条对称轴是x ＝π

6

C. g(x)在(－5π6，π6)上递减

D. g(x)在(－π3，π

3)内的值域为(0，1)

10. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1>0，公差d≠0，则( ) A. 若S 5>S 9，则S 15>0 B. 若S 5＝S 9，则S 7是S n 中最大的项 C. 若S 6>S 7，则S 7>S 8 D. 若S 6>S 7，则S 5>S 6

11. 已知函数f(x)＝|lg(x －1)|，b>a>1且f(a)＝f(b)，则( ) A. 1＜a ＜2 B. a ＋b ＝ab

C. ab 的最小值为1＋ 2

D. 1a －1＋1

b －1

>2

12. 若函数f(x)＝e x

－ln x ＋k x －1在(0，＋∞)上有唯一零点x 0，则( )

A. x 0ex 0＝1

B. 1

2

C. k ＝1

D. k>1

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知函数f(x)＝ax 2

＋(a ＋2)x ＋a 2

为偶函数，则不等式(x －2)f(x)<0的解集为_____________________________．

14. 若对任意正数x ，满足xy ＋y x

＝2－4y 2

，则正实数y 的最大值为________．

15. 在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10 000元，用于自己开发的农产品、土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底需缴房租600元和水电费400元，余款作为资金全部用于再进货，如此继续，预计2020年小王的农产品加工厂的年利润为__________元．(取1.211

＝7.5，1.212

＝9)

16. 已知定义在R 上的函数f(x)关于y 轴对称，其导函数为f′(x)，当x≥0时，xf ′(x)>1－f(x)．若对任意x∈R ，不等式e x

f(e x

)－e x

＋ax －axf(ax)>0恒成立，则正整数a 的最大值为________．

四、 解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

已知函数f(x)＝sin (ωx－φ)(ω＞0，|φ|≤π

2)的最小正周期为π.

(1) 求ω的值及g(φ)＝f(

π

6

)的值域； (2) 若φ＝π

3，sin α－2cos α＝0，求f(α)的值．

18.(本小题满分12分)

已知函数f(x)＝－13x 3＋a 2x 2

－2x(a∈R )．

(1) 当a ＝3时，求函数f(x)的单调递减区间；

(2) 若对于任意x∈[1，＋∞)都有f′(x)<2(a－1)成立，求实数a 的取值范围． 19. (本小题满分12分)

在① c sin B ＋C 2＝asin C ，② 2cos A(bcos C ＋ccos B)＝a ，③(sin B －sin C)2＝sin 2

A －sin

Bsin C 中任选一个，补充在横线上，并回答下面问题．

在△ABC 中，已知内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若c ＝(3－1)b ，________． (1) 求C 的值；

(2) 若△ABC 的面积为3－3，求b 的值．

注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 20.(本小题满分12分)

已知数列{a n }是等差数列，数列{b n }是等比数列，且满足a 1＝b 1＝2，a 3＋a 5＋a 7＝30，b 2b 3＝a 16.

(1) 求数列{a n }与{b n }的通项公式；

(2) 设数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n .

①是否存在正整数k ，使得T k ＋1＝T k ＋b k ＋32成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由；

②解关于n 的不等式：S n ≥b n . 21. (本小题满分12分)

若函数f(x)在x∈[a，b]时，函数值y 的取值区间恰为[k b ，k

a ](k ＞0)，则称[a ，b]为f(x)

的一个“k 倍倒域区间”．定义在[－4，4]上的奇函数g(x)，当x∈[0，4]时，g(x)＝－x 2

＋4x.

(1) 求g(x)的解析式；

(2) 求g(x)在[2，4]内的“8倍倒域区间”；

(3) 若g(x)在定义域内存在“k(k≥8)倍倒域区间”，求k 的取值范围．

已知函数f(x)＝e x

＋ax·sin x.

(1) 求曲线C ：y ＝f(x)在x ＝0处的切线方程；

(2) 当a ＝－2时，设函数g(x)＝f （x ）

x ，若x 0是g(x)在(－π，0)上的一个极值点，求证：

x 0是函数g(x)在(－π，0)上的唯一极大值点，且0＜g(x 0)＜2.

参考答案

一、单选题

1. C

2. C

3. B

4. B

5. A

6. B

7. C

8. A 二、多选题

9. BC 10. BC 11. ABD 12. ABC 三、填空题：

13. (－2，2)∪(2，＋∞) 14. 1

2 15. 40 000 16. 2

四、解答题

17. 解：(1) 因为函数f(x)的最小正周期为π，所以

2π

ω

＝π，ω＝2，(1分) 此时g(φ)＝f(π6)＝sin(π3－φ)＝－sin (φ－π

3

)．

因为|φ|≤π2，所以φ－π3∈[－5π6，π6]，所以－1≤sin(φ－π3)≤1

2，(3分)

所以g(φ)＝f(π6)的值域为[－1

2，1]．(4分)

(2) 因为φ＝π3，所以f(α)＝sin (2α－π

3)．

由sin α－2cos α＝0，得tan α＝2，(6分) f (α)＝sin (2α－π3)＝12sin 2α－3

2

cos 2α(8分)

＝12×2 tan α1＋tan 2α－32×1－tan 2

α1＋tan 2

α＝4－3×（1－4）2×（1＋4）＝4＋33

10

.(10分) 18. 解：(1) 当a ＝3时，f(x)＝－13x 3＋32x 2－2x ，得f′(x)＝－x 2

＋3x －2.(1分)

因为f′(x)＜0，得x ＜1或x ＞2，(3分)

所以函数f(x)单调递减区间为(－∞，1)和(2，＋∞)．(4分) (2) 由f(x)＝－13x 3＋a 2x 2－2x ，得f′(x)＝－x 2

＋ax －2.(5分)

因为对于任意x∈[1，＋∞)都有f′(x)＜2(a －1)成立，

所以问题转化为：对于任意x∈[1，＋∞)都有f′(x)max ＜2(a －1)．(6分) 因为f′(x)＝－(x －a 2)2＋a 2

4－2，其图象开口向下，对称轴为x ＝a

2.

①当a

2＜1时，即a ＜2时，f ′(x)在[1，＋∞)上单调递减，

所以f′(x)max ＝f′(1)＝a －3.

由a －3＜2(a －1)，得a ＞－1，此时－1＜a ＜2.(8分)

②当a 2≥1，即a≥2时，f ′(x)在[1，a 2]上单调递增，在(a

2，＋∞)上单调递减，

所以f′(x)max ＝f′(a 2)＝a

2

4

－2.(10分)

由a

2

4－2＜2(a －1)，得0＜a ＜8，此时2≤a＜8.(11分) 综合①②，可得实数a 的取值范围是(－1，8)．(12分)

19. 解：若选①.(1) 由题设条件及正弦定理，得sin Csin B ＋C

2＝sin Asin C ．(1分)

因为△ABC 中，sin C ≠0，所以sin B ＋C

2＝sin A ．(2分)

由A ＋B ＋C ＝π，可得sin B ＋C 2＝sin π－A 2＝cos A

2，(3分)

所以cos A 2＝2sin A 2cos A

2

.(4分)

因为△ABC 中，cos A 2≠0，所以sin A 2＝1

2.

因为0＜A ＜π，所以A ＝π

3

.(5分)

因为c ＝(3－1)b ，所以由正弦定理得sin C ＝(3－1)sin B.

因为A ＝π3，所以sin B ＝sin(π－A －C)＝sin(A ＋C)＝sin(C ＋π

3)，(6分)

所以sin C ＝(3－1)sin(C ＋

π

3

)，整理得sin C ＝cos C ．(7分) 因为△ABC 中，sin C ≠0，所以cos C ≠0，所以tan C ＝sin C

cos C ＝1.

因为0＜C ＜π，所以C ＝π

4

.(9分)

(2) 因为△ABC 的面积为3－3，c ＝(3－1)b ，A ＝π

3，

所以由S ＝12bcsin A 得34(3－1)b 2

＝3－3，(11分)

解得b ＝2.(12分)

若选②.(1) 由题设及正弦定理得2cos A(sin Bcos C ＋sin Ccos B)＝sin A ，(1分) 即2cos Asin(B ＋C)＝sin A ．(2分)

因为B ＋C ＝π－A ，所以2cos Asin A ＝sin A ．(3分)

因为△ABC 中，sin A ≠0，所以cos A ＝1

2.(4分)

因为0＜A ＜π，所以A ＝π

3.(5分)

下同选①.

若选③.由题设得(sin B －sin C)2

＝sin 2

A －sin Bsin C ，(1分) 所以sin 2

B ＋sin 2

C －sin 2

A ＝sin Bsin C ．(2分) 由正弦定理得b 2

＋c 2

－a 2

＝bc.

由余弦定理得cos A ＝b 2

＋c 2

－a 2

2bc ＝1

2.(4分)

因为0＜A ＜π，所以A ＝π

3.(5分)

下同选①.

20. 解：(1) 因为等差数列{a n }中，a 3＋a 5＋a 7＝3a 5＝30，所以a 5＝10. 设等差数列{a n }的公差是d ，所以d ＝a 5－a 1

5－1＝2，(1分)

所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n.(2分)

设等比数列{b n }的公比是q ，因为b 2b 3＝a 16， 所以b 21q 3

＝4q 3

＝32，所以q ＝2，所以b n ＝b 1q

n －1

＝2n

.(3分)

(2) ① 若存在正整数k ，使得T k ＋1＝T k ＋b k ＋32成立，则b k ＋1＝b k ＋32，(4分) 所以2

k ＋1

＝2k ＋32，即2k

＝32，解得k ＝5.(5分)

存在正整数k ＝5满足条件．(6分) ② S n ＝n （a 1＋a n ）

2

＝n(n ＋1)，

所以n(n ＋1)≥2n

，即2n

－n(n ＋1)≤0.(8分) 令f(n)＝2n

－n(n ＋1)， 因为f(n ＋1)－f(n)＝2

n ＋1

－(n ＋1)(n ＋2)－2n ＋n(n ＋1)＝2[2

n －1

－(n ＋1)]，

所以当n≥4时，{f(n)}单调递增．(9分)

又f(2)－f(1)＜0，f(3)－f(2)＜0，f(4)－f(3)＜0， 所以f(1)＞f(2)＞f(3)＝f(4)＜…＜f(n)＜…(10分) 因为f(1)＝0，f(4)＝－4，f(5)＝2，

所以n ＝1，2，3，4时，f (n)≤0，n ≥5时，f(n)＞0，(11分) 所以不等式S n ≥b n 的解集为{1，2，3，4}．(12分) 21. 解：(1) 因为g(x)为定义在[－4，4]上的奇函数， 所以当x∈[－4，0)时，g(－x)＝－(－x)2

＋4(－x)＝－x 2

－4x. 因为g(－x)＝－g(x)，所以g(－x)＝－g(x)＝－x 2

－4x ，(2分)

所以g(x)＝x 2

＋4x ，

所以g(x)＝?

????x 2

＋4x ，x ∈[－4，0），

－x 2＋4x ，x ∈[0，4].(3分)

(2) 因为g(x)在[2，4]内有“8倍倒域区间”， 设2≤a＜b≤4，因为g(x)在[2，4]上单调递减，

所以?????－a 2

＋4a ＝8a ，－b 2

＋4b ＝8b ，

整理得?

????（a －2）（a 2－2a －4）＝0，（b －2）（b 2

－2b －4）＝0，(5分)

解得a ＝2，b ＝1＋5，所以g(x)在[2，4]内的“8倍倒域区间”为[2，1＋5]．(6分) (3) 因为g(x)在x∈[a，b]时，函数值的取值区间恰为[k b ，k

a ](k≥8)，

所以0＜a ＜b≤4或－4≤a＜b ＜0.

当0＜a ＜b≤4时，因为g(x)的最大值为4，所以k

a ≤4.(7分)

因为k≥8，所以a≥2.

因为g(x)在[2，4]上单调递减，

所以?????－a 2

＋4a ＝k

a ，－

b 2

＋4b ＝k b ，

即?

????a 3

－4a 2

＋k ＝0，b 3

－4b 2

＋k ＝0，(8分)

所以方程x 3－4x 2

＋k ＝0在[2，4]上有两个不同的实数解． 令h(x)＝x 3

－4x 2

＋k ，x ∈[2，4]，则h′(x)＝3x 2

－8x. 令h′(x)＝3x 2

－8x ＝0，得x ＝0(舍去)或x ＝83

，

当x∈(2，83)时，h ′(x)＜0，所以h(x)在(2，8

3)上单调递减．

当x∈(83，4)时，h ′(x)＞0，所以h(x)在(8

3，4)上单调递增．(10分)

因为h(2)＝k －8≥0，h(4)＝k≥8，

所以要使得x 3－4x 2

＋k ＝0在[2，4]上有两个不同的实数解，只需h(83)＜0，

解得k ＜25627，所以8≤k＜256

27.(11分)

同理可得：当－4≤a＜b ＜0时，8≤k ＜256

27.

综上所述，k 的取值范围是[8，256

27

)．(12分)

22. (1) 解：因为f(x)＝e x ＋ax·sin x ，所以f′(x)＝e x

＋a(sin x ＋xcos x)，(1分) 所以f′(0)＝1.

因为f(0)＝1，所以曲线f(x)在x ＝0处的切线方程为y －1＝x ，即y ＝x ＋1.(3分) (2) 证明：当a ＝－2时，g(x)＝e

x

x －2sin x ，其中x∈(－π，0)，

则g′(x)＝e x

（x －1）x 2－2cos x ＝e x

（x －1）－2x 2

cos x

x

2

.(4分) 令h(x)＝e x

(x －1)－2x 2

cos x ，x ∈(－π，0)，则h′(x)＝x(e x

＋2xsin x －4cos x)． 当x∈(－π，－π2)时，因为e x

＞0，2xsin x ＞0，cos x ＜0，所以h′(x)＜0，

所以h(x)在(－π，－π

2)上单调递减．(5分)

因为h(－π)＝2π2

－e

－π

(1＋π)＞0，h(－π2)＝e －π2(－π

2

－1)＜0，

所以由零点存在性定理知，存在唯一的x 0∈(－π，－π

2)，使得h(x 0)＝0，(7分)

所以当x∈(－π，x 0)时，h(x)＞0，即g′(x)＞0；当x∈(x 0，－π

2)时，h(x)＜0，即g ′

(x)＜0.

当x∈(－π2，0)时，g ′(x)＝e x

（x －1）

x

2

－2cos x ＜0. 因为g′(x)在(－π，0)上连续，所以x∈(x 0，0)时，g ′(x)＜0，

所以g(x)在(－π，x 0)上单调递增，在(x 0，0)上单调递减，所以x 0是函数g(x)在(－π，0)上的唯一极大值点．(9分)

因为g(x)在(x 0，－π2)上单调递减，所以g(x 0)＞g(－π

2)．

因为g(－π2)＝－1

π2e π

2＋2＞0，所以g(x 0)＞0.(10分)

当x 0∈(－π，－π2)时，因为－1＜ex 0

x 0＜0，0＜－2sin x 0＜2，

所以g(x 0)＝ex 0

x 0－2sin x 0＜2，(11分)

所以0＜g(x 0)＜2.(12分)