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第8讲数列不等式的证明

第8讲数列不等式的证明(一) ∑=><n i i n f a1)()(及)()(n f a i ><∏型不等式的证明解法突破：(1) 设∑==n i ib n f 1,)(证明i i b a <，同向相加∑∑===<⇒n i ni i i n f b a 11)( (2) 设i b n f ∏=)(证明i i b a <<0，同向同正相乘)(n f b a i i =∏<∏⇒ 例1. 求证：1)1(13121)2(2222+<++++<+n n n n n 变式1. 求证：2)2()1(32212)1(+<+++⨯+⨯<+n n n n n n 变式2. 求证：n nn 212111)11(2<+++<-+ 变式3. 求证：n n n <+++⨯+⨯)1(1321211 例2. 求证：1212414212+>+⨯⨯+⨯+n nn 变式1. 求证：12121-2n 654321+<⋅⋅⋅⋅n n 变式2. 求证：2231335623333+>⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛n n n 变式3. 求证：1122642)12(531423121-+<⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯++⨯⨯+n nn 练习1. 等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知对*N n ∈∀，点),(n S n 均在函数)1,0(≠>+=b b r b y x (b,r 均为常数)的图像上(1) 求r 的值(2) 当2=b 时，记))(1(log 2*2N n a b n n ∈+=，求证：对*N n ∈∀，不等式11112211+>+⋅⋅+⋅+n b b b b b b nn 成立练习2. 已知曲线),2,1(02:22: ==+-n y nx x C n ，从点)0,1(-P 向曲线n C 引切线n l ，且知其斜率为)0(>n n k k ，切点为),(n n n y x P(1) 求数列}{n x 的通项公式(2) 求证：nn n x x x x x x +-<⋅⋅⋅-1112531 练习3. 已知各项均为正数的数列}{n a 的前n 项和满足1>n S ，且*),2)(1(6N n a a S n n n ∈++=(1) 求}{n a 的通项公式(2) 设数列}{n b 满足1)12(=-⋅n bn a ，并记n T 为}{n b 的前n 项和，求证：*2),3(log 13N n a T n n ∈+>+练习4. 已知x x x f -+=)1ln()(，记)(x f 在区间)](,0[*N n n ∈上的最小值为n b ，令n n b n a -+=)1ln(，求证：1122421231423121-+<+++-n n n a a a a a a a a a a a a a 例3. 求证：*,1211)1ln(113121N n nn n ∈+++<+<++++ 变式：求证：*,)1(2)1ln(131211N n n n n n ∈+++>++++ (二) ∑=><n i i C a1)(及C a i )(><∏（C 为常数）型不等式的证明例4. 求证：12121212132<++++n )(*N n ∈ 变式1. 求证：2223222132<++++n n )(*N n ∈ 变式2. 求证：112112112112132<++++++++n )(*N n ∈ 变式3. 求证：2232322212132<++++++++n n n )(*N n ∈ 例5. 求证：)(,21)12)(12(1751531311*N n n n ∈<+-+⨯+⨯+⨯ 变式1. 求证：113121222<+++n ),2(*N n n ∈≥ 变式2. 求证：2131211222<++++n)(*N n ∈ 变式3. 求证：47131211222<++++n )(*N n ∈变式4. 求证：35131211222<++++n )(*N n ∈ 练习1. 求证：45)12(151311222<-++++n )(*N n ∈ 练习2. 已知2n )1(),1(+=+=n b n n a n ，求证：1251112211<++++++n n b a b a b a 练习3. 设数列}{n a 的前n 项和n S ，已知*211,32312,1N n n n a n S a n n ∈---==+ (1) 求1a 的值(2) 求数列}{n a 的通项公式(3) 求证：对一切整数n ，有4711121<+++n a a a 例6. 求证：232312312312313322<-++-+-+-n n )(*N n ∈ 变式1. 求证：141723123123123132<-++-+-+-n )(*N n ∈ 例7. 已知122-=n nn a ，求证：3)1(1<-∑=n i i i a a 例8. 求100131211++++= S 的整数部分常见的裂项放缩技巧。

放缩法证明数列不等式

放缩法证明数列不等式数列不等式是指对于数列${a_n}$，能够证明其满足其中一种特定的不等关系。

放缩法是一种常用的证明数列不等式的方法，其核心思想是通过数学推导和合适的放缩操作，将需要证明的不等式转化为已知的不等式或者已有的数学结论。

下面我将详细阐述放缩法的步骤，并通过一个具体的例子来演示放缩法如何证明数列不等式。

步骤一：首先，我们要明确需要证明的不等式形式。

通常，数列不等式可以分为两种情况：单调性不等式和两边夹逼不等式。

单调性不等式需要证明数列${a_n}$的单调性（如$a_{n+1}>a_n$），而两边夹逼不等式需要证明数列${a_n}$的极限（如$\lim_{n\to\infty}a_n=a$）。

在这里，我们以两边夹逼不等式为例来进行讲解。

步骤二：建立需要用到的不等式。

通常，需要利用已知的数学不等式或结论来辅助证明原不等式。

常见的不等式包括柯西-施瓦茨不等式、均值不等式、柯西反证法等。

在这里，我们以柯西-施瓦茨不等式为例进行讲解。

步骤三：利用放缩操作将原不等式转化为已知的不等式或数学结论。

放缩操作的核心是通过合适的代换或变形，对不等式进行放大或缩小，使得我们能够应用已知的不等式或数学结论。

在这里，我们以一个具体的例子来演示放缩操作的过程。

假设我们要证明数列${a_n}$满足以下不等式：$\frac{a_{n+1}}{a_n}<2$。

我们可以采用放缩法来证明这个不等式。

首先，我们知道对于任意的实数$x$，都有$x^2\geq 0$。

这是由平方数的非负性质可得，也可以通过推导得出。

根据柯西-施瓦茨不等式，我们有$(a_n\cdot 1-a_{n+1}\cdot 1)^2\geq 0$，即$a_n^2+a_{n+1}^2-2a_n\cdot a_{n+1}\geq 0$。

然后，利用放缩操作，我们可以将上述不等式改写为$a_n^2+a_{n+1}^2\geq 2a_n\cdot a_{n+1}$。

求解数列不等式证明问题的方法

解题宝典证明数列不等式问题是一类综合性较强且难度较大的问题，不仅考查了数列知识，还考查了证明不等式的技巧.本文主要介绍三种证明数列不等式问题的方法，以供大家参考.一、利用数列的单调性我们知道，数列具有单调性.因此在证明数列不等式问题时，我们可以利用数列的单调性来讨论数列的变化趋势，进而证明不等式.利用数列的单调性解题的关键在于观察数列的特征，通过作差、作商等方法，构造出新数列，利用数列的单调性证明结论.例1.已知数列{}a n各项均为正数，前n项和S1>1，满足关系式6S n=(a n+1)(a n+2)，n∈N*.设数列{}bn满足关系式an(2b n-1)=1，令T n为数列{}b n的前n项和，求证：3T n+1>log2(a n+3)，n∈N*.证明：根据前n项和关系式可得a n=3n-1，将其代入到an(2b n-1)=1中可得b n=log23n3n-1，Tn=b1+b2+⋯+b n=log2(32×65×⋯×3n3n-1)，则3T n+1-log2(a n+3)=log2éë(32×65×⋯×3n3n-1)3ùû×23n+2.设f(n)=(32×65×⋯×3n3n-1)3×23n+2，则f(n+1)f(n)=(3n+3)3(3n+5)(3n+2)2，变形得(3n+3)3-(3n+5)(3n+2)2=9n+7>0，则数列{}f(n)单调递增.因此f(n)≥f(1)>1，则3T n+1-log2(a n+3)=log2f(n)>0，所以3T n+1>log2(a n+3).本题的难度较大，欲证明此题，首先需要从结论出发，构造数列f(n)，然后根据新数列的形式，利用作差法、作商法证明数列具有单调性，再利用其单调性证明结论.很多时候，我们并不能直接发现数列的单调性，往往需要对数列的递推式进行多次转换、变形，构造出新数列才能发现其单调性.二、放缩法放缩法是解答不等式问题的基本方法之一.在运用放缩法证明数列不等式问题时，我们必须紧紧围绕着放缩目标，掌握好放缩的尺度，灵活运用不等式的传递性证明不等式.常见的放缩技巧有添加或删除某些项、先放缩再求和（先求和再放缩）、先裂项再放缩（先放缩再裂项）等.但无论运用哪种放缩技巧，都需要把控放缩的尺度，否则容易得出错误的答案.例2.已知数列{}a n满足条件：a1=1，a n+1=2a n+1(n∈N*)，试证明：n2-13<a1a2+a2a3+⋯+a n an+1<n2.证明：由a n+1=2a n+1,(n∈N*)，可得a n=2n-1，则akak+1=2k-12k+1-1=2k-12(2k-12)<2k-12(2k-1)=12，所以a1a2+a2a3+⋯+anan+1<12+12+⋯+12=n2.故akak+1=2k-12k+1-1=12·2k+1-22k+1-1=12(1-12k+1-1)=12-13×2k+2k-2≥12-13×12k(k=1,2,3,⋯)，即a1a2+a2a3+⋯+anan+1≥12-13(12+122+⋯+12n)=n2-13(1-12n)>n2-13.综合上述分析，即可证明不等式n2-13<a1a2+a2a3+⋯+a n a n+1<n2成立.本题主要运用了放缩法，首先结合数列不等式的表达式，对不等式进行缩放，构造出anan+1，再借助不等式的传递性证明了结论.三、导数法对于综合性较强的数列不等式问题，我们往往采用导数法来求解.首先结合不等式构造出函数模型，对函数求导，通过研究其导函数得到函数的单调性、最储文海42解题宝典值，进而证明不等式成立.例3：试证明12+13+14+⋯+1n <ln n <1+12+13+14+⋯+1n +1(n ∈N*).证明：令a n =1n +1、b n =1n ，于是当n ≥2时，S n -1=ln n 、S n =ln(n +1).则S n -S n -1=ln(n -1)-ln n =ln n +1n.欲证明原不等式成立，需要证明1n +1<ln n +1n<1n ，即证明1x +1<ln x +1x <1x ,x ≥1.设函数f (x )=ln x +1x -1x +1，对其进行求导可得到f ′(x )=1x +1-1x +1(x +1)2=-1x (x +1)2<0.令x +1x =t ，则1x =t -1，t -1t<ln t <t -1,(t >1).设函数h (t )=ln t -t -1t ，则h ′(t )=t -1t2>0，则函数h (t )在(1,+∞)单调递增，所以h (t )>h (1)=0，h (t )=ln t -t -1t>0，即是ln t >t -1t.同理可以证得ln t <t -1，即是ln t +1t <1t.综上可得，1t +1<ln t +1t <1t ，当t 分别取1,2,3,…,n -1时，12+13+14+⋯+1n <ln n <1+12+13+14+⋯+1n +1.运用导数法的根本目的是判断数列的单调性，求得数列的最值.这里首先构造出两个数列以及两个数列的和式，然后结合目标不等式的形式构造出函数模型，通过分析导函数确定函数的单调性，从而证明不等式.从上述分析我们不难看出，证明数列不等式问题的难度系数较大.在解答此类问题时，我们需要仔细分析数列不等式的特点，将其进行适当的变形、转化，并要学会联想，将其与不等式的性质、重要结论以及函数、导数的性质关联起来，才能将难题破解.（作者单位：江苏省华罗庚中学）立体几何是高考数学考查的重点.解答立体几何问题常用的方法是几何法和向量法.这两种方法是分别从几何和代数两个角度入手的，有着各自的优势.本文重点探讨这两种方法在解题中的应用.一、几何法几何法是指运用几何知识解答问题的方法.在解答立体几何问题时，我们需要根据题意绘制相应的图形，探寻空间中点、线、面之间的位置关系，通过延长线段，平移、变换、旋转图形，添加辅助线等方式，建立结论与已有条件之间的联系，灵活运用各种定理、定义、性质，对条件进行转化，顺利解答问题.例1.如图1，在三棱台ABC-DEF 中，已知平面BCEF ⊥平面ABC ，∠ACB -90°，BE =EF =FC =1，BC =2，AC =3，（1）求证：BF ⊥平面ACFD （2）求二面角B -AD -C 的余弦值.李鹏飞图143。

用放缩法证明数列中的不等式

用放缩法证明数列中的不等式数列的放缩法是一种通过递推关系以及寻找合适的不等式对数列进行估计的方法。

该方法在不失一般性的情况下，常常可以将原数列与一个已知数列进行比较，从而推导得出数列的性质。

本文将通过数学归纳法，对给定的数列进行放缩法证明，并给出详细推导过程。

假设我们有一个数列${a_n}$，其中$n \geq 1$。

我们要证明数列中的不等式，即要证明对于任意的$n \geq 1$，有$a_n \leq b_n$，其中${b_n}$是一个已知的数列。

我们将使用数学归纳法来证明这个结论。

首先，我们对$n=1$进行证明，即证明$a_1 \leq b_1$。

因为$n=1$是最小的情况，所以我们直接检验$a_1$和$b_1$的大小关系即可。

接下来，我们假设当$n=k$时，不等式$a_k \leq b_k$成立，即数列前$k$项满足不等式。

然后，我们要证明当$n=k+1$时，不等式$a_{k+1} \leq b_{k+1}$也成立。

根据数列的递推关系，我们可以推导出数列前$k+1$项的关系式：$$a_{k+1}=f(a_k)$$其中$f(x)$是一个函数，表示数列的递推关系。

由于我们已经假设在$n=k$时$a_k \leq b_k$成立，因此我们可以得到：$$a_{k+1} = f(a_k) \leq f(b_k)$$这是因为$f$是一个单调递增的函数，所以不等式保持不变。

根据已知数列${b_n}$的性质，我们可以得到：$$f(b_k) \leq b_{k+1}$$这里的不等式是基于对已知数列的假设，即已知数列${b_n}$满足这个不等式。

综合以上的不等式关系$$a_{k+1} \leq f(b_k) \leq b_{k+1}$$因此，当$n=k+1$时不等式$a_{k+1} \leq b_{k+1}$也成立。

根据数学归纳法原理，我们可以得出结论：对于任意的$n \geq 1$，数列${a_n}$满足不等式$a_n \leq b_n$。

专题09 数列不等式的证明与求解参数(解析版)

数列不等式的证明与求解参数◆题型一:数列不等式的证明方法解密:对于既不含参数也无需放缩的数列不等式,解题思路较为简单.通过数列求和的方法,错位相减或者裂项相消即可证明.大可分为两种题型,一是数列不等式的证明,二是通过不等式求解n 的取值范围.下面我们来看下数列不等式证明的例题.【经典例题1】已知等比数列{}()n a n N *∈为递增数列，且236324,522==+a a a a a ．(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设()42n nn b n N a *-=∈，数列{}n b 的前n 项和为n S ，证明：6n S <．【答案】(1)2n n a = (2)证明见解析【解析】(1)解：由题意，()2251123111522a q a q a q a q a q⎧=⎪⎨=+⎪⎩，解得11212a q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或122a q =⎧⎨=⎩，因为等比数列{}()n a n *∈N 为递增数列，所以122a q =⎧⎨=⎩，所以1222n nn a -=⨯=；(2)解：由（1）知142212n n n n n b a ---==，所以数列{}n b 的前n 项和为0111322212n n n S -=++-+，① 112123212122223n n nn n S --=++-++，② ①-② 得1112111112121232212312222211122212n n n n n nn n n S --⎛⎫=+⎛⎫- ⎪--+⎝⎭=+=+++-⎝- ⎪⎭--，所以12362n n n S -+=-，又因为*n N ∈，所以12302n n -+>，所以123662n n n S -+=-<. 【经典例题2】已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，23a =，2132n n n a a a ++=-，数列{}n c 满足()22221232341n c c c n c n +++++=．(1)求出{}n a ，{}n c 的通项公式；(2)设数列()()1221log 1n n c n a +⎧⎫⋅+⎪⎪⎨⎬+⎡⎤⎪⎪⎣⎦⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：516<n T ．【答案】(1)21nn a =-，()211n c n =+； (2)证明见解析【解析】(1)由2132n n n a a a ++=-，得()2112n n n n a a a a +++-=-．又212a a -=，则数列{}1n n a a +-是首项为2，公比为2的等比数列，∴11222n nn n a a -+-=⨯=，∴221322,2a a a a -=-=，3432a a ，…，112n n n a a ---=，累加得211222n n a a --=+++，∴211212222112n n n n a --=++++==--．数列{}n c 满足()22221232341n c c c n c n +++++=，①当1n =时，114c =；当2n ≥时，222212312341n c c c n c n -++++=-，②由①－②可得()211n c n =+，当1n =时，也符合上式，故数列{}n c 的通项公式为()211n c n =+．(2)由（1）可得()()()()2222222111114222log 1n n n n n n n n a ⎡⎤++==-⎢⎥++++⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则()22222221111111114324352n T n n ⎡⎤=-+-+-++-⎢⎥+⎢⎥⎣⎦()()222111114212n n ⎡⎤=+--⎢⎥++⎢⎥⎣⎦()()2215115441612n n ⎡⎤=--<⎢⎥++⎢⎥⎣⎦，故516<n T 成立．【经典例题3】已知数列{}n a 前n 项和为n S ，若132a =，且()1122n n S S S n n *-≥∈N ，，，成等差数列．(1)求证：数列1n S 是等比数列；(2)记数列1n S 的前n 项和为n T ，求证：21143n T ≤<．【解析】(1)1132S a ==，因为112n n S S S -，，成等差数列，所以()1232n n S S n -+=≥，所以()11112n n S S --=--，且111112S a -=-=，所以数列1n S 是以12为首项，12-为公比的等比数列.(2)由（1）知11111222n nn S -⎛⎫⎛⎫-=⨯-=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. ()()()2122111n n T S S S =-+-++-22111222n⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦22111221111111323412nn n ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎡⎤⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-=--=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭.一方面，21111343n n T ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭；另一方面，()22111111111034344n n n n n T T --⎛⎫⎛⎫-=---=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，{}2n T 是递增数列，所以221111344n T T ⎛⎫≥=-= ⎪⎝⎭.综上所述，21143n T ≤<. 总结:掌握此题型的关键是对数列求和,错位相减以及裂项相消有较为熟练的掌握与应用.以及要对裂项相消的常见的变换形式有一定的了解.在稍加练习的情况下即可掌握,难度不大.接下来看下通过不等式求解n 的取值范围的相关题型. 【经典例题4】等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且3616a a +=，981S =．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列121n n a a ++⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若215n T >，求n 的最小值．【答案】(1)21n a n =- (2)7 【解析】（1）设等差数列的公差为d ，首项为1a ，则36191271693681a a a d S a d +=+=⎧⎨=+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，所以数列{}n a 的通项公式为21n a n =-．（2）()()1211111212322123n n a a n n n n ++⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭， ()11111111112355721232323323n n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由题得()232315n n >+，解得6n >，因为n *∈N ，所以n 的最小值是7．【练习1】等差数列{}n a 中，前三项分别为,2,54x x x -，前n 项和为n S ，且2550k S =. (1)求x 和k 的值； (2)求n T =1231111nS S S S ++++ (3)证明: n T 1<【答案】(1)2x =；50k =. (2)1n nT n =+ (3)见解析【解析】(1)∴等差数列{}n a 中，前三项分别为x ，2x ，54x -， ∴2254x x x ⨯=+-，解得2x =， ∴首项12a =，公差2d =． ∴()12550222k k k S k -==+⨯，化为：225500k k +-=．解得50k =．(2)由（1）可得：()2212n a n n =+-=， ∴()2222n n n S n n +==+，∴()111111nS n n n n ==-++． ∴123111111111111223111n n n T S S S S n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭(3)因为111n T n ==-+，而101n >+，所以1111n T n ==-<+.【练习2】已知数列{n a }的前n 项和为n S ，342n n S a =-， (1)求数列{n a }的通项公式； (2)设33log 4nn a b =，n T 为数列12n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.证明：12n T ≤< 【答案】(1)143n n a -=⨯； (2)证明见解析.【解析】(1)当2n ≥时，11234n n S a --=-，又342n n S a =-，则13n n a a -=，当1n =时，11234a a =-，解得14a =，故{}n a 是首项为4，公比为3的等比数列，则143n n a -=⨯；(2)因为33log 4nn a b =3log 3n n ==，则()12211211n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，故11111121222122311n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又101n >+，所以1111n -<+，即2n T <，又1211n T n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭是单调递增数列，则11n T T =≥ 综上，12n T ≤<.【练习3】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*214n n S a n +=∈N ，数列{}n b 为等差数列，112b a =，且()5435b b b =-． (1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； (2)对任意的正整数n ，有212n n n n n b c b b a +++=，求证：121n c c c ++⋅⋅⋅+<．【答案】(1)22n n a -=，n b n = (2)证明见解析【解析】(1)解：∴214n n S a +=①，∴令1n =，可得112a =，又()112142n n S a n --+=≥②，由①-②得1244n n n a a a -=-， ∴12n n a a -=，∴()122nn a n a -=≥， ∴数列{}n a 为以12为首项，2为公比的等比数列，∴22n n a -=，∴11b =，5514b d d ==+，解得d ＝1， ∴n b n =；(2)证明：()()121112212n n n n n c n n n n -+==-+⋅⋅+⋅，∴()()1222211111112232212n n n c c c n n -⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪⨯⋅+⋅⎝⎭⎝⎭()11112n n =-<+．【练习4】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，13a =，24a =，()112322n n n S S S n +-+=-≥. (1)证明：数列{}2n a -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； (2)记112n n n n b a a -+=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：11123n T ≤<.【答案】(1)证明见解析，122n n a -=+ (2)证明见解析【解析】(1)解：当2n ≥时，由11232n n n S S S +-+=-可变形为()1122n n n n S S S S +--=--，即122n n a a +=-，即()1222n n a a +-=-，所以()12222n n a n a +-=≥-，又因为13a =，24a =，可得1221,22a a -=-=，所以21222a a -=-，所以数列{}2n a -是以1为首项，2为公比的等比数列，所以122n n a --=，所以数列{}n a 的通项公式为122n n a -=+.(2)解：由122n n a -=+，可得()()11111221122222222n n n n nn n n n b a a ----+===-++++，所以123n n T b b b b =+++⋅⋅⋅+1111111111134466102222322n n n-=-+-+-+⋅⋅⋅+-=-+++，因为1022n >+，所以1113223n -<+，即13nT <，又因为()11322n f n =-+，n *∈N 单调递增，所以()()111212212n T b ≥==++，所以11123n T ≤<.◆题型二:数列不等式求解参数方法解密:对于此类含参数不等式题型,大部分可以通过分离参数等方式转化为最值问题.对于求最值,需要分析单调性,函数类型可通过运算法则或者求导进行判断.数列可通过作差法进行判断.即+10n n a a ->对*n ∈N 恒成立,数列单调递增.+10n n a a -<对*n ∈N 恒成立,数列单调递减.含参不等式问题又可以分为恒成立问题和存在性(有解)问题. (1) ( ) x D f x a ∀∈<恒成立，则max ()f x a < (2) ( ) x D f x a ∀∈>恒成立，则min ()f x a > 下面看一下有关恒成立问题的例题:【经典例题1】已知23n a n n =+，若2nn a λ≤对于任意*n ∈N 恒成立，则实数λ的取值范围是_______．【答案】15,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】先分离参数将问题转化为232nn nλ+≤对于任意*n ∈N 恒成立，进而转化为2max 3()2n n n λ+≤，构造232n nn n b +=，再作差判定单调性求出数列{}n b 的最值，进而求出λ的取值范围.【详解】因为23n a n n =+，且2nn a λ≤对于任意*n ∈N 恒成立，所以232nn nλ+≤对于任意*n ∈N 恒成立，即2max 3()2n n n λ+≤，令232n nn nb +=，则2221113(1)(1)3354222n n n n n n n n n n n b b +++++++-++-=-=，因为21302b b -=>，32104b b -=>，43102b b -=-<，且21135402n n n n n b b ++-++-=<对于任意3n ≥恒成立，所以12345b b b b b <<>>>⋅⋅⋅，即2max 3315()24n n n b +==，所以实数λ的取值范围是15,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 故答案为：15,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【经典例题2】已知数列{}n a 满足114a =，()110n n n n n a a a a a ++-=≠且12231n n n S a a a a a a +=+++．若对任意8n ≥，*n ∈N ，不等式21n S λ>+恒成立，则正整数λ的最小值为______．【答案】12 【分析】由11n n n n a a a a ++-=，得1111n na a ，得数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，求得通项公式n a ，对nS 利用裂项相消法求和，然后由单调性得n S 的最小值，解相应不等式可得λ的范围从而得结论．【详解】由11n n n n a a a a ++-=，得1111n na a ，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为4，公差为1的等差数列，所以()14113n n n a =+-⨯=+，故13n a n =+，所以()()11113434n n a a n n n n +==-++++，则122311111111145563444n n n S a a a a a a n n n +=+++=-+-++-=-+++．当8n ≥，*n ∈N 时，1144n S n =-+为单调递增数列，所以()min 1114846n S =-=+．因为21n S λ>+对任意8n ≥，*n ∈N 恒成立，所以1261λ>+，即11λ>，所以正整数λ的最小值为12．故答案为：12．分离参数的关键是需要求谁的值以及范围,就将谁分离出来.然后观察是恒成立还是存在性问题,两种问法对于最值的选择是不同的.接下来是有关存在性问题的例题:【经典例题3】数列{an }的通项公式为an ＝3n ，记数列{an }的前n 项和为Sn ，若*N x ∃∈使得()3362n S k n +≥-成立，则实数k 的取值范围是______．【答案】2,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【分析】先求得n S ，由()3362n S k n +≥-分离常数k ，结合数列的知识求得k 的取值范围.【详解】1113,3,3n n n n n na a a a +++===，13a =，所以数列{}n a 是首项为3，公比为3的等比数列，所以()13131331322n n n S +-==⋅--.依题意，*N x ∃∈使得()3362n S k n +≥-成立，即113362n k n +⋅⋅≥-，243nn k -≥，设12242,,033n nn b b b -==-=，当3n ≥时，0n b >，所以23k ≥-，所以k 的取值范围是2,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.故答案为：2,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【经典例题4】已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且23()2n n n S n N *+=∈ （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n T 为数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，且存在*n N ∈，使得10n n T a λ+-≥成立，求实数λ的取值范围．【答案】（1）1n a n =+；（2）1,16⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 【分析】（1）已知已知n S 求n a ，通常用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求通项.（2）用裂项相消法求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ，列出不等式，参变分离得()222n n λ≤+，因为存在*n N ∈，由基本不等式求()222n n +的最大值即可.【详解】解：(1) 1n =时， 111322a S +===, 2n ≥时，()()2211313122n n n n n n n a S S n --+-+=-=-=+， 1n =时，12a =也适合上式，所以数列{}n a 的通项公式1n a n =+.(2) 因为()()111111212n n a a n n n n +==-++++，所以()111111112334122222n n T n n n n =-+-++-=-=++++ 因为存在*n N ∈，使得10n n T a λ+-≥成立，所以存在*n N ∈，使得()()2022nn n λ-+≥+成立，即存在*n N ∈，使()222n n λ≤+成立又()2142224nn n n =⎛⎫+++ ⎪⎝⎭，444n n n n +≥⋅，42416n n ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭1141624n n ≤⎛⎫++ ⎪⎝⎭（当且仅当2n =时取等号），所以116λ≤.即实数λ的取值范围是1,16⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【练习1】设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知12327a a a =，581a =，若存在m R ∈，使得272n n S a +≤12m -成立，则m 的最小值为___．【答案】9 【解析】设{}n a 的公比为q ，由12327a a a =可知3227a =，所以23a =，由4113,81a q a q ==得：327q =，所以3q =，则11a =，所以13-=n n a ，()113112nnn a q S q--==-，由题意知存在m R ∈，使得127132722223n n n n m S a -++=+=⋅38138129223223n n n n+⋅⋅⋅成立，当且仅当32n=8123n ⋅，即2n =时取得等号，所以9m ，故m 的最小值为9.故答案为：9【练习2】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，当2n ≥时，2n n n n S a S a =-.(1)求n S ；(2)设数列2n n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若()292nn T n λ≤+⋅恒成立，求λ的取值范围.【答案】(1)11n S n =+ (2)3λ≤ 【解析】(1)当2n ≥时，2n n n n S a S a =-，所以，()()211n n n n n n S S S S S S --=---，整理得：11n n n n S S S S --=-，即1111n n S S --=.所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以11112S a ==为首项，1为公差的等差数列. 所以11n n S =+，即11n S n =+. (2)由（1）知，()212n nnn S =+⋅，所以()212232212n n n T n n -=⋅+⋅++⋅++⋅，①所以()23122232212n n n T n n +=⋅+⋅++⋅++⋅，②①-②得，()()231422212n n n T n +-=++++-+⋅，所以，()()23114222122n n n n T n n ++-=+++⋅⋅⋅+-+⋅=-⋅，所以，12n n T n +=⋅，所以()292n n T n λ≤+⋅，即()12292n n n n λ+⋅≤+⋅，即()299222n n nnλ+≤=+，因为99232222n n n n+≥⋅=，当且仅当3n =时，等号成立，所以3λ≤.【练习3】已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，6328SS=，数列{}n b 满足()33log 1n n b a =+．(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)若对任意的*n ∈N ，3n n b a λ<恒成立，求实数λ的取值范围．【答案】(1)13n n a -=，*n ∈N ；32n b n =-，*n ∈N (2)9,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ ．【解析】(1)解：设等比数列{}n a 的公比为q ，由6328S S =，显然1q ≠，所以631281q q-=-，解得3q =，由于11a =，所以{}n a 的通项公式为13n n a -=，*n ∈N ；所以()1333log 13log 3132n n n b a n -=+=+=-，*n ∈N ，所以{}n b 的通项公式为32n b n =-，*n ∈N ．(2)因为3n n b a λ<恒成立，即332n n λ<-对于任意的*n ∈N 恒成立．令()332nf n n =-，*n ∈N ，则()()()()()136733131323132n n nn f n f n n n n n +⋅-+-=-=+-+-，当1n >时()()1f n f n +>，，所以()()()()1234f f f f ><<<⋅⋅⋅，即()f n 的最小值为()924f =，所以实数λ的取值范围为9,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.【练习4】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若对任意的*N n ∈，不等式()1311n S n λ⋅+≥-恒成立，求实数λ的取值范围．【答案】(1)12n n a (2)18λ≥【解析】(1)解：当1n =时，11121S a a =-=，解得11a =，当2n ≥时，1122n n n n n a S S a a --=-=-，即12n n a a -=，所以数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，故12n na ；(2)解：122112nn n S -==--，由()1311n S n λ⋅+≥-对任意的*N n ∈恒成立，即3112nn λ-≥ ，令3112n n n b -=，则11138311143222n nn n n n n nb b +++----=-= ，当4n ≤时，1n n b b +>，当5n ≥时，1n n b b +<，所以1234567b b b b b b b <<><>< 即n b 的最大值为518b = ，故18λ≥.【过关检测】1.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，111,21()n n a a S n N *+==+∈；等差数列{}n b 中，25b =，43b a =.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n n a b 前n 项和为n T ，是否存在正整数n ，使得60n T n >？若存在，求n 的最小值，若不存在，说明理由.【答案】（1）13-=n n a ，21n b n =+；（2）存在，最小n 值为4. 【解析】（1）由题设，112()2(2)n n n n n a a S S a n +--=-=≥，得13n n a a +=，又21121213a S a =+=+=，即213a a =，∴13n n a a +=对*n N ∈都成立，则11133n n n a a --=⋅=，∴439b a ==，又25b =且{}n b 为等差数列，∴若公差为d ，则4224d b b =-=，得2d =，即13b =， ∴1(1)21n b b n d n =+-=+.（2）由（1）知：1(21)3n n n a b n -⋅=+⋅， ∴0121335373...(21)3n n T n -=⨯+⨯+⨯+++⋅，则12313335373...(21)3(21)3n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅，∴10121132332323 (23)(21)336(21)32313n n nn n n T n n n ----=⨯+⨯+⨯++⋅-+⋅=+⨯-+⋅=-⋅-，即3n n T n =⋅，若60n T n >时，有360n >，∴4n ≥且*n N ∈，故存在，n 的最小值为4.2.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，234a =-，且22S -，3S ，44S 成等差数列．(1)求数列{}n a 的公比q 和通项n a ； (2)设1n n T S =-，求满足12022n T >的n 的最大值．【答案】(1)12q =-，132nn a ⎛⎫=-⨯- ⎪⎝⎭(2)10【解析】(1)解：设比数列{}n a 的公比为q ，因为22S -，3S ，44S 成等差数列，可得324224S S S =-+，即4324S S S S -=-，所以432a a =-，解得4312a q a ==-，又因为234a =-，所以数列{}n a 的通项公式为23113422n nn a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅-=-⨯- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．(2)解：由132n n a ⎛⎫=-⨯- ⎪⎝⎭，可得31122111212nn n S ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-- ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭，所以112nn n T S ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以1122n nn T ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由12022n T >，可得1122022n⎛⎫> ⎪⎝⎭，即2log 2022n <且*n N ∈，故满足12022n T >的n 的最大值为10．3.记n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若33212a a a S ，. (1)求数列{}n a 的通项公式n a ； (2)求使n n S a >成立的n 的最小值. 【答案】(1)23n a n =- (2)4 【解析】(1)设等差数列{}n a 的公差为d ，由33a S =得12a a +=0, 由题意知，{a 1+a 2=0a 2−a 1=2，解得1211a a =-⎧⎨=⎩，所以d =2所以()()1112123n a a n d n n =+-=-+-=-. (2)解：由（1）可得()()12123222n n n a a n n S n n +-+-===-，由n n S a >可得2223n n n ->-，即2430n n -+>，解得1n <或3n >，因为n *∈N ，所以，正整数n 的最小值为4.4.已知Sn 为等差数列{an }的前n 项和，S 3＝21，S 5＝55． (1)求an 、Sn ；(2)若数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和Tn ，求满足225n T >的最小正整数n ．【答案】(1)an ＝4n ﹣1，22n S n n =+ (2)19【解析】(1)设等差数列{an }的公差为d ，则11323212545552a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=⎪⎩，即117211a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得134a d =⎧⎨=⎩，故()34141n a n n =+-=-， 2(341)22n n n S n n +-==+ (2)由（1）得，1111111414344143n n a a n n n n +⎛⎫=⋅=- ⎪-+-+⎝⎭.故111111111...437471144143n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭1114343129n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭，令225n T >有129225n n +>，即241825n n >+，解得18n >，故满足满足225n T >的最小正整数为195.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1222n n S n a ++=-，28a =，其中n *∈N . (1)记1n n b a =+，求证：{}n b 是等比数列； (2)设1n n n c b +=，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：54n T <. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【解析】(1)证明：对任意的*n ∈N ，1222n n S n a ++=-，28a =，1n =时，122226S a +=-=，解得12a =，2n ≥时，因为1222n n S n a ++=-，12222n n S n a -+-=-，两式相减可得：122n n n a a a ++=-，即有132n n a a +=+，∴()1131n n a a ++=+，又1n n b a =+，则111n n b a ++=+，因为1113b a =+=，2219b a =+=，所以213 b b =，对任意的*n ∈N ，0n b >，所以13n nb b +=，因此，{}n b 是首项和公比均为3的等比数列(2)由（1）得：1333n nn b -=⨯=，则113n n n n n c b ++==， 2323413333n n n T +∴=+++⋅⋅⋅+，231123133333n n n n n T ++=++⋅⋅⋅++，两式相减得：2121111112211121525331333333362313n n n n n n n n n T -+++⎛⎫- ⎪+++⎝⎭=++⋅⋅⋅+-=+-=-⋅-，化简可得：525443n n n T +=-⋅，又25043nn +>⋅， ∴54n T <.6.已知数列{}n a 的前n 项和为n S .从下面①②③中选择其中一个作为条件解答试题，若选择不同条件分别解答，则按第一个解答计分.①数列{}n a 是等比数列，26S =，且24a ，32a ，4a 成等差数列； ②数列{}n a 是递增的等比数列，1432a a =，2312a a +=； ③22n n S a =-.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)已知数列{}n b 的前n 项的和为n T ，且()()2212211log log n n n b a a -+=.证明：12n T <. 【答案】(1)2n n a = (2)证明见解析【解析】(1)解：若选①：因为数列{}n a 是等比数列，设公比为q ，26S =，且24a ，32a ，4a 成等差数列，所以1132111644a a q a q a q a q+=⎧⎨+=⎩，解得12,2a q ==，所以1222n n n a -=⨯=；若选②：因为数列{}n a 是递增的等比数列，1432a a =，2312a a +=，所以1423233212a a a a a a ==⎧⎨+=⎩，所以234,8a a ==，322a q a ==，所以222422n n nn a a q --==⨯=；若选③：因为22n n S a =-，所以()11222n n S a n --=-≥，两式相减可得122n n n a a a -=-，即12n n a a -=，又1n =时，12a =，所以()122nn a n a -=≥，所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以1222n nn a -=⨯=；(2)证明：由（1）知()()()()()()212122122122111111log log 212122121log2log 2n n n n n b a a n n n n -+-+⎛⎫====- ⎪-+-+⎝⎭，所以111111111121335212121124221n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝=-⎭⎣⎦+，因为1042n >+，所以1112422n -<+，即12n T <.7.已知Sn 是等比数列{an }的前n 项和，S 4，S 2，S 3成等差数列，且4118S a -=-. （1）求数列{an }的通项公式；（2）是否存在正整数n ，使得2020n S ≥？若存在，求出符合条件的n 的最小值；若不存在，说明理由.【答案】（1）()132n n a -=⨯-.（2）存在，最小值为11 【解析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则10,0a q ≠≠. 由题意得2432234,18,S S S S a a a -=-⎧⎨++=-⎩ 即2321112311118a q a q a q a q a q a q ⎧--=⎨++=-⎩ 解得13,2.a q =⎧⎨=-⎩故数列{}n a 的通项公式为()132n n a -=⨯-.（2）由（1）有()()()3121212nn n S ⎡⎤--⎣⎦==----.假设存在n ，使得2020n S ≥，则()122020n--≥即()22019n -≤-当n 为偶数时，()20n->，上式不成立；当n 为奇数时，()22019nn -=-2≤-，即22019n ≥解得11n ≥综上，存在符合条件的正整数n ，最小值为11.8.已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11a =，211(2)n n n n a S a S n ++--=-≥．记22(1)log n n b a +=.(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)设数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和n T ，求使得不等式9n T >成立的n 的最小值.【答案】(1)12n n a ，21n b n =+； (2)5.【解析】(1)设正项等比数列{}n a 的公比为(0)q q >，当2n ≥时，211n n n n a S a S ++--=-，即21112n n n n n n a S a a S a ++-++=+=-，则有22=+n n n a q a q a ，即220q q --=，而0q >，解得2q，又11a =，则12n na ，22(12)2122log l 1og n n n b a n ++==+=，所以数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别为：12n na ，21nb n =+.(2)由(1)知，1212n n n b n a -+=，则2315792132222n n n T -+=+++++，则23411357921212222222n n n n n T --+=++++++，两式相减得：1232111111121212523(1)3512222222212n n n n n n n n n T ---+++=++++++-=+-=-- 于是得125102n n n T -+=-，由9n T >得：12512n n -+<，即12250n n --->，令1225n n c n -=--，N n *∈，显然，16c =-，27c =-，37c =-，45c =-，51c =，由111(227)(225)220n n n n n c c n n --+-=-----=->，解得2n >，即数列{}n c 在3n ≥时是递增的，于是得当12250n n --->时，即510n c c ≥=>，5n ≥，则min 5n =，所以不等式9n T >成立的n 的最小值是5.9.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，111,21()n n a a S n N *+==+∈；等差数列{}n b 中，25b =，43b a =.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n n a b 前n 项和为n T ，是否存在正整数n ，使得60n T n >？若存在，求n 的最小值，若不存在，说明理由.【答案】（1）13-=n n a ，21n b n =+；（2）存在，最小n 值为4. 【解析】（1）由题设，112()2(2)n n n n n a a S S a n +--=-=≥，得13n n a a +=，又21121213a S a =+=+=，即213a a =，∴13n n a a +=对*n N ∈都成立，则11133n n n a a --=⋅=，∴439b a ==，又25b =且{}n b 为等差数列，∴若公差为d ，则4224d b b =-=，得2d =，即13b =， ∴1(1)21n b b n d n =+-=+.（2）由（1）知：1(21)3n n n a b n -⋅=+⋅， ∴0121335373...(21)3n n T n -=⨯+⨯+⨯+++⋅，则12313335373...(21)3(21)3n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅，∴10121132332323 (23)(21)336(21)32313n n nn n n T n n n ----=⨯+⨯+⨯++⋅-+⋅=+⨯-+⋅=-⋅-，即3n n T n =⋅，若60n T n >时，有360n >，∴4n ≥且*n N ∈，故存在，n 的最小值为4.10.已知等差数列{}n a 公差不为零，1235a a a a ++=，238a a a ⋅=，数列{}n b 各项均为正数，11b =，2211320n n n n b b b b +++-=.(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；(2)若16n n a b λ++≥恒成立，求实数λ的最小值．【答案】(1)21n a n =-，113n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭(2)181【解析】(1)解：设等差数列{}n a 的公差为d ，因为1235238a a a a a a a ++=⎧⎨⋅=⎩，即()()11111334270a d a da d a d a d d +=+⎧⎪++=+⎨⎪≠⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，所以，()12121n a n n =+-=-，因为2211320n n n n b b b b +++-=，所以，()()1130n n n n b b b b +++-=，因为0n b >，所以，113n n b b +=，又110b =≠，所以，0n b ≠，所以，113n n b b +=，所以，{}n b 是以1为首项，13为公比的等比数列，故113n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭.(2)解：因为113n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，21n a n =-，所以，16n n a b λ++≥，即273nn λ-≥恒成立，设273n n n c -=，则()111442527333n nn n n n n n c c +++-----=-=，当3n ≤时，1n n c c +>；当4n =时，1n n c c +=；当5n ≥时，1n n c c +<. 所以，4n =或5时，54181c c ==为{}n c 的最大项．所以，181λ≥，故实数λ的最小值为181．11.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足222n n n S a a =+-. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设2n n n a a b =，n T 为数列{}n b 的前n 项和.若()332n n k n T S +-≤对任意的*n N ∈恒成立，求k 的最小值.【答案】(1)1n a n =+ (2)58【解析】(1)222n n n S a a =+-①；当1n =时，代入①得12a =.当2n ≥时，211122n n n S a a ---=+-②；①-②得22112n n n n n a a a a a --=-+-，整理得()()221111n n n n n n n n a a a a a a a a ----+=-=-+，因为0n a >，所以()112n n a a n --=≥，所以数列{}n a 为等差数列，公差为1，所以1n a n =+. (2)1122n n n a n a n b ++==， ()2341111123412222n n T n +=⋅+⋅+⋅+++③； ()345121111112341222222n n n T n n ++=⋅+⋅+⋅++⋅++④， ③-④得 ()2341211111121222222n n n T n ++=⋅++++--，所以13322n n n T ++=-，所以()332n n k n T S +-≤，化简得()232n n n k ++≥，令()232n n n n c ++=，21342n n n n n c c -+---=. 所以1234c c c c <>>>，所以n c 的最大值为258c =，所以58k ≥.所以k 的最小值为58.12.已知二次函数()y f x =的图象经过坐标原点，其导函数为()2f x x '=，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点()(),n n S n N *∈均在函数()y f x =的图象上．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设11n n n b a a +=，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得30n m T <对所有n *∈N 都成立的最小正整数m ．【答案】(1)21n a n =- (2)15m =【解析】(1)()2f x x '=，()()2R f x x C C ∴=+∈，又()f x 经过坐标原点，()2f x x ∴=；点()(),n n S n N *∈在函数()y f x =的图象上，()n f n S ∴=，即2n S n =；当1n =时，111a S ==；当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-；经检验：11a =满足21n a n =-；()21n a n n N *∴=-∈. (2)由（1）得：()()1111212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭； 1111111111111123355723212121221n T n n n n n ⎛⎫⎛⎫∴=-+-+-+⋅⋅⋅+-+-=- ⎪ ⎪---++⎝⎭⎝⎭； 1021n >+，11121n ∴-<+，12n T ∴<，由30n m T <恒成立可知：1302m ≥，解得：15m ≥，∴所求的最小正整数15m =.。

放缩法证明数列不等式

放缩法证明数列不等式一、基础知识：1、放缩法证明数列不等式的理论依据——不等式的性质：（1）传递性：若,a b b c >>，则a c >（2）若,a b c d >>，则a c b d +>+，此性质可推广到多项求和：若()()()121,2,,n a f a f a f n >>>，则:()()()1212n a a a f f f n +++>+++（3）若需要用到乘法，则对应性质为：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >，此性质也可推广到多项连乘，但要求涉及的不等式两侧均为正数注：这两条性质均要注意条件与结论的不等号方向均相同 2、放缩的技巧与方法：（1）与求和相关的不等式的放缩技巧：① 在数列中，“求和看通项”，所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手② 在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向，这将决定对通项公式是放大还是缩小（应与所证的不等号同方向）③ 在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向等比数列与可裂项相消的数列进行靠拢。

④ 若放缩后求和发现放“过”了，即与所证矛盾，通常有两条道路选择：第一个方法是微调：看能否让数列中的一些项不动，其余项放缩。

从而减小放缩的程度，使之符合所证不等式；第二个方法就是推翻了原有放缩，重新进行设计，选择放缩程度更小的方式再进行尝试。

（2）放缩构造裂项相消数列与等比数列的技巧：① 裂项相消：在放缩时，所构造的通项公式要具备“依项同构”的特点，即作差的两项可视为同一数列的相邻两项（或等距离间隔项）② 等比数列：所面对的问题通常为“n S <常数”的形式，所构造的等比数列的公比也要满足()0,1q ∈ ，如果题目条件无法体现出放缩的目标，则可从所证不等式的常数入手，，常数可视为11a q-的形式，然后猜想构造出等比数列的首项与公比，进而得出等比数列的通项公式，再与原通项公式进行比较，看不等号的方向是否符合条件即可。

数列、极限、数学归纳法·用数学归纳法证明不等式8页word文档

数列、极限、数学归纳法·用数学归纳法证明不等式教学目标1．牢固掌握数学归纳法的证明步骤，熟练表达数学归纳法证明的过程．2．通过事例，学生掌握运用数学归纳法证明不等式的思想方法．3．培养学生的逻辑思维能力，运算能力，和分析问题、解决问题的能力．教学重点与难点重点：巩固对数学归纳法意义和有效性的理解，并能正确表达解题过程，以及掌握利用数学归纳法证明不等式的基本思路．难点：应用数学归纳法证明的不同方法的选择及解题技巧．教学过程设计（一）复习回顾师：上次课我们已经学习了数学归纳法以及运用数学归纳法解题的步骤，请同学们联想“多米诺骨牌”游戏，说出数学归纳法的步骤？生：数学归纳法是用于证明某些与自然数有关的命题的一种方法．设要证命题为P（n）．（1）证明当n取第一个值n0时，结论正确，即验证P（n0）正确；（2）假设n=k（k∈N且k≥n0）时结论正确，证明当n=k+1时，结论也正确，即由P（k）正确推出P（k+1）正确，根据（1），（2），就可以判定命题P（n）对于从n0开始的所有自然数n都正确．师：演示小黑板或运用投影仪讲评作业．（讲评作业的目的是从错误中进一步强调恰当地运用归纳假设是数学归纳法的关键）作业中用数学归纳法证明：2+4+6+8+…+2n=n（n+1）．如采用下面的证法，对吗？证明：（1）当n=1时，左=2，右=2，则等式成立．（2）假设n=k时（k∈N，k≥1），等式成立，即2+4+6+…+2k=k（k+1）．当n=k+1时，2+4+6+…+2k+（k+1）所以n=k+1时，等式也成立．根据（1）（2）可知，对于任意自然数n，原等式都能成立．生甲：证明过程正确．生乙：证明方法不是数学归纳法，因为第二步证明时，没有应用归纳假设．师：从形式上看此种证明方法是数学归纳法，但实质在要证明n=k+1正确时，未用到归纳假设，直接采用等差数列求和公式，违背了数学归纳法的本质特点递推性，所以不能称之为数学归纳法．因此告诫我们在运用数学归纳法证明时，不能机械套用两个步骤，在证明n=k+1命题成立时，一定要利用归纳假设．（课堂上讲评作业，指出学生作业中不妥之处，有利于巩固旧知识，为新知识的学习扫清障碍，使学生引以为戒，所谓温故而知新）（二）讲授新课师：在明确数学归纳法本质的基础上，我们来共同研究它在不等式证明中的应用．（板书）例1已知x＞-1，且x≠0，n∈N，n≥2．求证：（1+x）n＞1+nx．师：首先验证n=2时的情况．（板书）证：（1）当n=2时，左边=（1+x）2=1+2x+x2，右边=1+2x，因x2＞0，则原不等式成立．（在这里，一定要强调之所以左边＞右边，关键在于x2＞0是由已知条件x ≠0获得，为下面证明做铺垫）（2）假设n=k时（k≥2），不等式成立，即（1+x）k＞1+kx．师：现在要证的目标是（1+x）k+1＞1+（k+1）x，请同学考虑．生：因为应用数学归纳法，在证明n=k+1命题成立时，一定要运用归纳假设，所以当n=k+1时．应构造出归纳假设适应的条件．所以有：（1+x）k+1=（1+x）k （1+x），因为x＞-1（已知），所以1+x＞0于是（1+x）k（1+x）＞（1+kx）（1+x）．师：现将命题转化成如何证明不等式（1+kx）（1+x）≥1+（k+1）x．显然，上式中“=”不成立．故只需证：（1+kx）（1+x）＞1+（k+1）x．提问：证明不等式的基本方法有哪些？生甲：证明不等式的基本方法有比较法、综合法、分析法．（提问的目的是使学生明确在第二步证明中，合理运用归纳假设的同时，其本质是不等式证明，因此证明不等式的所有方法、技巧手段都适用）生乙：证明不等式（1+kx）（1+x）＞1+（k+1）x，可采用作差比较法．（1+kx）（1+x）-[1+（k+1）x]=1+x+kx+kx2-1-kx-x=kx2＞0（因x≠0，则x2＞0）．所以，（1+kx）（1+x）＞1+（k+1）x．生丙：也可采用综合法的放缩技巧．（1+kx）（1+x）=1+kx+x+lx2=1+（k+1）x+kx2．因为kx2＞0，所以1+（k+1）x+kx2＞1+（k+1）x，即（1+kx）（1+x）＞1+（1+k）x成立．生丁：……（学生可能还有其他多种证明方法，这样培养了学生思维品质的广阔性，教师应及时引导总结）师：这些方法，哪种更简便，更适合数学归纳法的书写格式？学生丙用放缩技巧证明显然更简便，利于书写．（板书）将例1的格式完整规范．当n=k+1时，因为x＞-1，所以1+x＞0，于是左边=（1+x）k+1=（1+x）k（1+x）＞（1+x）（1+lx）=1+（k+1）x+kx2；右边=1+（k+1）x．因为kx2＞0，所以左边＞右边，即（1+x）k+1＞1+（k+1）x．这就是说，原不等式当n=k+1时也成立．根据（1）和（2），原不等式对任何不小于2的自然数n都成立．（通过例1的讲解，明确在第二步证明过程中，虽然可以采取证明不等式的有关方法，但为了书写更流畅，逻辑更严谨，通常经归纳假设后，要进行合理放缩，以达到转化的目的）师：下面再举例子，来说明合理放缩的重要性．（板书）例2证明：2n+2＞n2，n∈N+．师：（1）当 n=1时，左边=21+2=4；右边=1，左边＞右边．所以原不等式成立．（2）假设n=k时（k≥1且k∈N）时，不等式成立，即2k+2＞k2．现在，请同学们考虑n=k+1时，如何论证2k+1+2＞（k+1）2成立．生：利用归纳假设2k+1+2=2．2k+2=2（2k+2）-2＞2·k2-2．师：将不等式2k2-2＞（k+1）2，右边展开后得：k2+2k+1，由于转化目的十分明确，所以只需将不等式的左边向k2+2k+1方向进行转化，即：2k2-2=k2+2k+1+k2-2k-3．由此不难看出，只需证明k2-2k-3≥0，不等式2k2-2＞k2+2k+1即成立．生：因为k2-2k-3=（k-3）（k+1），而k∈N，故k+1＞0，但k-3≥0成立的条件是k≥3，所以当k∈N时，k-3≥0未必成立．师：不成立的条件是什么？生：当k=1，2时，不等式k-3≥0不成立．师：由于使不等式不成立的k值是有限的，只需利用归纳法，将其逐一验证原命题成立，因此在证明第一步中，应补充验证n=2时原命题成立，那么，n=3时是否也需要论证？生：n=3需要验证，这是因为数学归纳法中的第一步验证是第二步归纳假设的基础，而第二步中对于k是大于或等于3才成立，故在验证时，应验证n=3时，命题成立．师：（补充板书）当n=2时，左=22+2=6，右=22=4，所以左＞右；当n=3时，左=23+2=10，右=32=9，所以左＞右．因此当n=1，2，3时，不等式成立．（以下请学生板书）（2）假设当n=k（k≥3且k∈N）时，不等式成立．即2k+2＞k2．因为2k+1+2=2·2k+2=2（2k+2）-2＞2k2-2=k2+2k+1+k2-2k-3=（k2+2k+1）+（k+1）（k-3）（因k≥3，则k-3≥0，k+1＞0）≥k2+2k+1=（k+1）2．所以2k+1+2＞（k+1）2．故当n=k+1时，原不等式也成立．根据（1）和（2），原不等式对于任何n∈N都成立．师：通过例2可知，在证明n=k+1时命题成立过程中，针对目标k2+2k+1，采用缩小的手段，但是由于k的取值范围（k≥1）太大，不便于缩小，因此，用增加奠基步骤（把验证n=1．扩大到验证n=1，2，3）的方法，使假设中k的取值范围适当缩小到k≥3，促使放缩成功，达到目标．（板书）例3求证：当n≥2时，（由学生自行完成第一步的验证；第二步中的假设，教师应重点讲解n=k到n=k+1命题的转化过程）师：当n=k+1时，不等式的左边表达式是怎样的？生：当n=k+1时，k项，应是第2k项，数列各项分母是连续的自然数，最后一项是以3k在3k后面还有3k+1、3k+2．最后才为3k+3即3（k+1），所以正确（在这里，学生极易出现错误，错误的思维定势认为从n=k到n=k+1时，只增加一项，求和式中最后一项即为第几项的通项，教师在这里要着重分析，化解难点．）运算，应针对问题的特点，巧妙合理地利用“放缩技巧”，使问题获得简捷的证明：（板书略）师：设S（n）表示原式左边，f（n）表示原式右边，则由上面的证法可知，从n=k到n=k+1命题的转化途径是：要注意：这里 S′（k）不一定是一项，应根据题目情况确定．（三）课堂小结1．用数学归纳法证明，要完成两个步骤，这两个步骤是缺一不可的．但从证题的难易来分析，证明第二步是难点和关键，要充分利用归纳假设，做好命题从n=k到n=k+1的转化，这个转化要求在变化过程中结构不变．2．用数学归纳法证明不等式是较困难的课题，除运用证明不等式的几种基本方法外，经常使用的方法就是放缩法，针对目标，合理放缩，从而达到目标．3．数学归纳法也不是万能的，也有不能解决的问题．错误解法：（2）假设n=k时，不等式成立，即当n=k+1时，则n=k+1时，不等式也成立．根据（1）（2），原不等式对n∈N+都成立．（四）课后作业1．课本P121：5，P122：6．2．证明不等式：（提示：（1）当n=1时，不等式成立．（2）假设n=k时，不等式成立，即那么，这就是说，n=k+1时，不等式也成立．根据（1）（2）可知不等式对n∈N+都成立．）3．对于任意大于1的自然数n，求证：（提示：（2）假设n=k时，不等式成立，即这就是说，n=k+1时，原不等式成立．根据（1），（2）可知，对任意大于1的自然数n，原不等式都成立．）用数学归纳法证明①式：（1）当n=3时，①式成立．（2）假设 n=k（k≥3，k∈N）时，①式成立，即2k＞2k+1．那么2k+1=2k·2＞2（2k+1）=2（k+1）+1+（2k-1）＞2（k+1）+1（因k≥3，则2k-1≥5＞0）．这就是说，当n=k+1时，①式也成立．根据（1）（2）可知，对一切n∈N，n≥3①式都成立，即f课堂教学设计说明1．数归法是以皮亚诺的归纳公理作为依据，把归纳法与演绎法结合起来的一种完全归纳法．数学归纳法证明中的两个步骤体现了递推思想．在教学中应使学生明确这两个步骤的关系：第一步是递推的基础；第二步是递推的依据，缺一不可，否则就会导致错误．为了取得良好的教学效果，不妨利用“多米诺骨牌”游戏来加深这两步骤之间的关系的理解，在演示时，应分三种情况：（1）推倒第一张，接着依次倒下直至最后一张；（2）推倒第一张，中途某处停止，最后一张不倒；（3）第一张不倒，后面不管能否推倒，都不会全部倒下．通过具体生动的模型，帮助学生理解数学归纳法的实质．2．用数学归纳法证明不等式，宜先比较n=k与n=k+1这两个不等式间的差异，以决定n=k时不等式做何种变形，一般地只能变出n=k+1等式的一边，然后再利用比较、分析、综合、放缩及不等式的传递性来完成由n=k成立推出n=k+1不等式成立的证明．3．要注意：在证明的第二步中，必须利用“n=k时命题成立”这一归纳假设，并且由f（k）到 f（k+1），并不总是仅增加一项，如例2，4．要教会学生思维，离开研究解答问题的思维过程几乎是不可能的，因此在日常教学中，尤其是解题教学中，必须把教学集中在问题解答者解答问题的整个过程上，培养学生构作问题解答过程的框图，因为用文字、符号或图表简明地表达解答过程或结果的能力，叙述表达自己解题思路的能力，这也是问题解答所必需的．。

利用函数证明数列不等式

利用函数证明数列不等式要证明数列不等式，我们可以利用函数进行证明。

下面我们将对两种不同类型的数列不等式进行探讨。

第一种类型的数列是递增数列。

递增数列是一种严格单调递增的数列。

为了证明递增数列的不等式，我们可以使用函数的性质。

假设我们有一个递增数列 {an}，我们可以定义一个函数 f(x) = an，其中 x 是自然数的索引。

由于数列是递增的，所以我们可以得出 f(x) < f(y) ，其中 x < y。

为了证明数列不等式，我们需要证明对于任意的自然数 x 和 y ，都有 an < an+1、我们可以使用函数的导数来对函数进行分析。

假设函数 f(x) 是连续的，我们可以计算出它的导数 f'(x)。

如果对于所有的 x ，有 f'(x) > 0 ，那么说明函数是递增的。

这也意味着数列{an} 中的元素也是递增的。

通过证明函数的导数大于零，我们可以得出数列 {an} 中的元素是递增的，从而证明数列的不等式。

第二种类型的数列是递减数列。

递减数列是一种严格单调递减的数列。

为了证明递减数列的不等式，我们同样可以使用函数的性质。

假设我们有一个递减数列 {an}，我们可以定义一个函数 f(x) = an，其中 x 是自然数的索引。

由于数列是递减的，所以我们可以得出 f(x) > f(y) ，其中 x < y。

为了证明数列不等式，我们需要证明对于任意的自然数 x 和 y ，都有 an > an+1、我们可以使用函数的导数来对函数进行分析。

假设函数 f(x) 是连续的，我们可以计算出它的导数 f'(x)。

如果对于所有的 x ，有 f'(x) < 0 ，那么说明函数是递减的。

这也意味着数列{an} 中的元素也是递减的。

通过证明函数的导数小于零，我们可以得出数列 {an} 中的元素是递减的，从而证明数列的不等式。

在使用函数证明数列不等式时，我们需要注意以下几点：1.函数的定义域和应用范围必须与数列的范围一致。

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1．数列
{}
n a 为等差数列，
n
a 为正整数，其前n 项和为
n
S ，数列{}
n b 为等比数列，且
113,1
a b ==，数列{}
n a b 是公比为64的等比数列，
2264
b S =.
（1）求
,n n
a b ；
（2）求证
1
2
1
1134
n
S S S +++
<
.
2．已知数列
{}
n a 和
{}
n b 满足：
1a λ
=,
124,(1)(321),
3
n
n n n n a a n b a n +=
+-=--+其中λ
为实数，n 为正整数.
（Ⅰ）对任意实数λ，证明数列{}
n a 不是等比数列；
（Ⅱ）试判断数列
{}
n b 是否为等比数列，并证明你的结论；
（Ⅲ）设0a b <<,n S
为数列{}n b 的前n 项和.是否存在实数λ，使得对任意正整数n ，都
有
n a S b
<<?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由.
3．已知数列{}
n a 的首项
135a =
，
1321
n n n a a a +=
+，12n = ，，
．（Ⅰ）求
{}
n a 的通项公式；
（Ⅱ）证明：对任意的0x >，
211
21(1)3n n
a x x
x ⎛⎫-
- ⎪++⎝⎭≥
，12n = ，，；（Ⅲ）证明：
2
121n n
a a a n +++>
+ ．
)
4．已知数列
{}n a ，
≥n a ，
1=a ，
)
(12121∙
++∈=-+N n a a a n n n ．记
n
n a a a S +++= 21．
)
1()1)(1(1
)
1)(1(1
1121211
n n a a a a a a T ++++
++++
+=
．
求证：当∙
∈N n 时，
（Ⅰ）1
+<n n a a ；（Ⅱ）2->n S n ；
（Ⅲ）3
<n T 。

5．在数列
||
n a ，
||
n b 中，a 1=2，b 1=4，且
1
n n n a b a +，，成等差数列，
11
n n n b a b ++，，成等比
数列（n ∈*
N ）
（Ⅰ）求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜测
||
n a ，
||
n b 的通项公式，并证明你的结论；
（Ⅱ）证明：
11
22
1
115
12
n n
a b a b a b +
++
<
+++…．
6．已知等差数列
{}n a 的前n 项和为
n
S ，公差
10,1
d a ≠=，且
127
,,a a a 成等比数列．
（1）求数列
{}
n a 的前n 项和公式
n
S ；
（2）设
221n
n S b n =
-，数列{}n b 的前n
项和为
n
T ，求证：
11
642918(1)
(9)n n n n b T b n n b -+-+>
>+．
7．已知递增的等比数列
{}n a 前三项之积为512，且这三项分别减去1，3，9后成等差
数列，求证：1321321<++++n
a n a a a 。

8．设
>n a ，且
1
2
+-≤n n n a a a ，求证：对一切自然数n ，都有
n a n 1
<。

9．设2>
a ，给定数列{}n x ，其中a
x =1
，且满足
()
122
1-=
+n n
n x x x 。

求证：
2
>n x 且
1
1
<+n
n x x 。

10．求证：
131212654321+<-⋅⋅n n
n 。

11．数列{}n a 中，
前n 项之和为bn
an
S n
+=2
，其中a 和b 为常数，且0>a ，
1>+b a ，N n ∈。

(1)求数列{}n a 的通项公式n a ；并证明1
1
>>+n n a a 。

(2)若
1
+=n n
a n a log c ，试判断数列
{}n c 中任意两项的大小。

12．已知数列{}n a 中，对一切自然数n ，都有()
10,a
n
∈且
212
1=-+⋅++n n n n a a a a 。

求证：(1)
n n a a 211<+；
(2)若n
S 表示数列
{}n a 的前n 项之和，则1
2a S n
<。

13．设数列{}n a 满足3
*
10,1,,n n a
a ca c c N c
+==+-∈其中为实数
（Ⅰ）证明：
[0,1]n a ∈对任意*
n N ∈成立的充分必要条件是[0,1]c ∈；
（Ⅱ）设
1
03c <<
，证明：1
*
1(3),n n a c n N
-≥-∈;
（Ⅲ）设1
03c <<
，证明：
2
2
2
*
1221,13n a a a n n N
c
++>+-
∈-。