零输入零状态及全响应
二阶电路的零输入响应、零状态响应及全响应教材
A1 U 0，A2 U 0
uC U 0 (1 t )e
t
i
uc
duC U 0 t i C te dt L diL uL L U 0e t (1 t ) dt
o tm
uL
t
非振荡放电 临界阻尼现象
14
L 过阻尼， 非振荡放电 小结 R 2 C
场和磁场之间往返转移，这
U0 i(t) Im I m
o
种周而复始的过程称为“振
t
荡”。 若元件为理想的，称等幅 振荡；若电路中存在电阻， 幅度逐渐衰减为零，称衰减 振荡，也称阻尼振荡。
i + uC L
C
若电阻过大，储能在初次转移即被消耗，称过阻尼 情况（无振荡）。
3
2.RLC串联电路的零输入响应 (t=0) R L + uL C i 已知uC(0–) = U0, i(0–) = 0， 求uC(t), i(t), uL(t), t 0
2L
1 0 — 谐振角频率 LC
ω0
δ
ω
2 0
2
— 固有振荡角频率
关系： 0 sin
0 cos
j
p1 j 0 cos j0 sin 0e
p2 j 0 cos j0 sin 0e j
激励的频率决定各响应的频率 自由振荡：电路自身决定 0 1 二阶以上电路存在
LC
谐 振： s 0
Hale Waihona Puke 13L L 临界电阻 3） R 2 两个相等负实根 R 2 C C R p1 p2 uC ( A1 A2t )e t 2L
RLC并联电路的零状态响应和全响应
2
解：t 0 时，根据KCL有：
iC
iL(t)iC(t)is(t)
0.2F
0.25H
i C ( t) C d u d C t ( t) C d [ R i L ( t d ) t u L ( t ) ] R C d i d L t ( t ) L C d 2 d i L t2 ( t )
§6-3 RLC并联电路的零状态响应 和全响应
北京邮电大学电子工程学院
退出 开始
2 全响应
动态元件的初始状态不为零，且有外加激励作用时 电路的响应。 求电路全响应的两种方法：
零输入零状态方法： 全响应＝零输入响应＋零状态响应
求解微分方程的经典方法： 全响应＝通解＋特解
X
例题1
如图所示电路，已知 is2[1ε(t)]A，求 t 0
时的 i L ( t ) 和u C ( t ) 并绘出其波形图。
解：ti<L(00时)：is(0)2Ais
+
iL
100 uC 250μF 200mH
uC(0 ) 0
-
t 0 时：
LCd2 d iL t2 (t)R Ldid Lt(t)iL(t)4
1 L 1200103
R100 2C 2
25010A41
2 140A2
0
A1
2
2
A 2 7
iL(t)e20t(2cos140t7 2sin140t)4
4e20t(2cos140t0.29sin140t)A
uC(t)uL(t)Ldid Lt(t)200103[20e20t(2cos140t72sin140t)
e20t(2140sin140t2140cos140t)] 7
(优选)二阶电路的零输入响应零状态响应及全响应.
1 LC
0
— 谐振角频率
ω0
ω
δ
02 2 — 固有振荡角频率
关系： 0 sin 0 cos p1 j 0 cos j0 sin 0e j p2 j 0 cos j0 sin 0e j
p1 j 0e j p2 j 0e j
uC
U0 p2
uC
U0 p2
p1
(
p2e
p1t
p1e p2t )
(t=0)
R
Li + uL - +
C -uC
uC
U0 p2
p1
(
p2e
p1t
p1e p2t )
i C duC U0
(e p1t e p2t )
dt ( p2 p1)L
uC U0
iC
p2U 0 e p1t p2 p1
uL
L
di dt
U0 p2 p1
0
1 LC
二阶以上电路存在
谐 振： s 0
3） R 2 L 两个相等负实根 R 2 L 临界电阻
C
C
p1
p2
R 2L
代入初值，解得：
uC ( A1 A2t)e t
波形与过阻尼情况类似
A1 U0，A2 U0 uC U0 (1 t)e t
U0 uc
i
i C duC U0 te t dt L
2L
02 2
若R=0，则
0 0
2
δ
p1,2 j0
Li
t = 0 + uL – –
uc
C uC
i
t
+
uC
uL
U
0
零输入、零状态
全响应=零输入响应+零状态响应
一．关于
1.零输入响应的定义 外加激励信号为零时，仅由系统的 起始状态 (系统的历史储能)所产生
的响应，记为
。
2.特点
（1）仅是因为系统储能元件存储的能量释放 而产生的，只起始状态与有关 （2）可由求解对应的微分方程得到，因为无 外加激励信号，所以求解时特解为零 （3）在数学上是齐次方程的通解，
解特征方程得特征根为 齐次解： 由激励源自号形式，设特解： 完全响应为
系数A的确定：
先判断是否有跳变 由方程两侧 函数平衡条件容易判断 ， 在起始点 无跳变。
利用
求出系数
，即
从而，有：
自由响应： 强迫响应： 1
(2)求零输入响应和零状态响应：
：
由 的特点找对应的微分方程
起始状态
，此方程的解即为
（3）数学上，零状态响应是非齐次方程的解， 其形式为
式中
是特解．
可能会出
（4）因有外加激励，所以在 现跳变，需要判断才能确定系数。
r （二）. rzi 、 zs 的求解步骤
[例2-5]已知系统方程式为
起始状态 求自由响应、强迫响应、零输入响应、零状态 响应和全响应。
解：(1)先求自由响应和强迫响应：
是系统方程的齐次解，
因为
，所以
所对应的微分方程为：
又因为根据前面的判断，在起始点 无 跳变。所以此时 ，且满足系统微分方 程，即
故系统全响应为
：
：
思考： 两种分类形式的响应有何联系？
（三）响应的分解形式及其关系
信号与系统零状态响应求解及系统全响应分析
⏹经典法⏹双零法☐零输入响应☐零状态响应⏹变换域法特征方程→特征根→含待定系数的齐次解→由初始条件(0-)→零输入响应方法①：先求解冲激响应h(t)，再计算零状态响应h(t)*f(t) 。
方法②：将输入信号等效为某虚拟系统的冲激响应，然后求解系统和虚拟系统的总响应，得到零状态响应。
单位冲激响应(复习)()()n n m m n m m p a p a p a h t b p b p b p b t −−−−++++=++++11110110()()δ h(t ) 的表达式：①与特征根有关当为无重根单根形式时有：①与n,m相对大小有关●当n > m 时，h (t )中不含δ(t )及其各阶导数●当n=m 时，h (t )中应包含δ(t )●当n < m 时，h (t )中应包含δ(t )及其各阶导数1(?)()k nt k k h A e u t t λ=⎡⎤=⎢⎥⎣⎦+∑零输入/零状态的求解方法；全响应分析零输入/零状态的求解方法；全响应分析1.掌握零输入/零状态响应的求解方法2.掌握系统的全响应模式方法一（掌握）：卷积法求解，在求解冲激响应的基础上，利用卷积求解。
双零法零输入特征方程→特征根→含待定系数的齐次解→由0-时刻的初始条件计算系数求解冲激响应，通过卷积计算任意输入信号的响应零状态零状态()f t()()*()fy t f t h t=零状态响应5、零状态响应的求解初始状态为零时，输出y(t)完全由输入f(t)决定，此时y(t)=yf(t)。
零状态响应可以由三种方法得到。
()i h t τ−()i t δτ−时不变()()i i i f t ττδτΔ−(())i i i h t f τττΔ−线性()()i i i i f t ττδτ∞=−∞Δ−∑可加性()()i i i i h t f τττ∞=−∞−Δ∑i i i idt τττττΔ→Δ连续变化（0），用代替,并用替换()()f t d τδττ∞−∞−⎰)(()f d h t τττ∞−∞−⎰线性时不变()()()f t d f t τδττ∞≡−=⎰()()()==h t f t y t ∗零状态卷积法的由来：LTI系统的性质5、零状态响应的求解卷积法求解零状态响应：线性时不变系统的性质若系统为因果系统, 即h (信号，则有0(()(tf t f h τ⎰方法二（熟练掌握）：将输入信号f (t )看做某个系统的冲激响应的，此时f (t )通过系统的响应等于：①冲激信号经过h 1(t )=f (t )的系统②再通过冲激响应为h (t )的系统的响应③列写h all (t )=f (t )*h (t )的算子方程④利用2.6中冲激响应求解法得h all (t )，即有y f (t )=h all (t )()f t ()()*()f y t f t h t =零状态()f t all ()()*()h t f t h t =5、零状态响应的求解零状态()f t ()()*f y t f t =零状态响应非常重要：①系统分析的大问题；②概念容易混淆。
初始值的计算,零输入响应,零状态响应,全响应及三要素公式的推导(2)
法：先用三要素求出iL(t)的全响应，iL(t) = iL(0+)e-t/τ+ iL(∞)（1- e-t/τ）， 其中iLzi(t) = iL(0+)e-t/τ，iLzs(t) = iL(∞)（1- e-t/τ），
即若所求响应为iL(t)或uC(t)时，可直接从全响应的三要
素公式中把其零输入响应和零状态响应分离出。 利用
应用阶跃函数表示其他信号
电路分析基础
3.15 阶跃函数
2
1. 单位阶跃函数定义
单位阶跃函数用ε(t)表示，其定义为：
(t
def
)
1
0
,t 0 ,t 0
该函数在t = 0处发生单位跃变，波形如图(a)。
f
(t )
def
K (t)
K
0
,t 0 ,t 0
电路分析基础
3.15 阶跃函数
τC=RCC=2×1=2s，τL=L/RL =2/(2//2+1) =1s
电路分析基础
3.14 一阶电路三要素计算
7
iL(0+) =iL(0-)=4(A) uC (0+)= uC(0-)=4(V) τC==2s， τL=1s 画出换路后的0+等效电路如图 (d)所示。 i1(0+) =2A，i2(0+) =1A。
τ2= (R2//R3)C =1s
uC(t) = 4 - 2.53e-(t-2) (V) ，t ≥2s
电路分析基础
3.13 一阶电路三要素计算
7
例3 如图 (a)所示电路，在t < 0时开关S位于b点，
电路已处于稳态。t = 0时开关S由b点切换至a点。
求t≥0时的电压uC(t)和电流i(t)。
零状态响应和零输入响应公式
零状态响应和零输入响应公式
零状态响应和零输入响应是线性时不变系统中重要的概念。
零状态响应是指系统在没有输入信号时的响应，也可以称为自由响应。
零输入响应是指系统在有输入信号时，当输入信号为零时的响应，也可以称为强制响应。
这两种响应都可以用公式来表示。
下面介绍它们的具体公式。
零状态响应公式：
设系统的初始状态为x(0)，系统的零状态响应为y_z(t)，系统的传递函数为H(s)，则系统的零状态响应可以用下面的公式表示： y_z(t) = L^{-1}[H(s)X(s)] + x(0)
其中，L^{-1}表示拉普拉斯变换的反变换，X(s)表示输入信号的拉普拉斯变换。
零输入响应公式：
设系统的输入信号为x(t)，系统的零输入响应为y_h(t)，系统的冲击响应为h(t)，则系统的零输入响应可以用下面的公式表示： y_h(t) = h(t) * x(t)
其中，*表示卷积运算。
总响应公式：
系统的总响应可以表示为零状态响应与零输入响应之和：
y(t) = y_z(t) + y_h(t)
这里需要注意的是，当系统的输入信号为零时，总响应就等于零状态响应。
当系统的初始状态为零时，总响应就等于零输入响应。
因
此，知道了零状态响应和零输入响应公式，就能够求出系统的总响应。
阶电路的零状态和全响应
应用场景比较
阶电路的零状态响应
适用于需要快速响应且初始状态能量较 小或可以忽略不计的场景，如某些控制 系统的快速调节。
VS
阶电路的全响应
适用于需要综合考虑初始状态能量和外部 激励的场景，如某些电力系统的暂态分析 。
05
阶电路的零状态和全
响应的实际应用
在电子线路设计中的应用
零状态响应在电子线路设计中用于描述电路在输入信号激励下，仅由动态元件的初始储能所产生的响 应。全响应则描述了电路中所有动态元件的初始储能和输入信号共同作用所产生的响应。
在电子线路设计中，零状态响应和全响应的分析对于理解电路的工作原理、预测性能以及优化设计至 关重要。例如，在设计振荡器、滤波器等电子系统时，需要精确地分析零状态响应和全响应以实现所 需的功能。
在控制系统中的应用
在控制系统中，阶电路的零状态和全 响应用于描述系统对输入信号的动态 响应。零状态响应描述了系统在没有 初始储能的情况下对输入信号的响应， 而全响应则包含了系统所有的动态特 性。
全响应的特点
全响应具有确定性
对于同一阶电路，相同的输入信号必然会得到相同的输出信号。
全响应具有唯一性
对于同一阶电路，不同的输入信号必然会得到不同的输出信号。
全响应具有可逆性
对于同一阶电路，输出信号可以通过反变换得到输入信号。
全响应的求解方法
解析法
通过建立电路的微分方程， 利用数学方法求解全响应。
阶电路的零状态响应是指在电路中不 存在激励信号时，由电路的初值条件 引起的电路响应。
零状态响应仅与电路的初始状态和电 路的动态元件有关，与外部激励无关 。
零状态响应的特点
零状态响应是暂态的，随着时 间的推移，它会逐渐消失或达 到稳态值。
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e
t 0
结论：电容放电的过程，就是电阻消耗能量 的过程，直至电容储能完全释放，并被电阻 消耗完为止，电容放电过程才算完毕。
电路 南京理工大学电光学院
6.2 RC电路的放电过程
已知：t<0时电路稳定，t=0时断开开关Q,
求：t>0时的uC(t)和iC(t)。
Q(t=0) 4KΩ
+
_12V
+ uC _
0
iL, i0
i0(t)
iL(t)
t
南京理工大学电光学院
电路
非零状态
由储能元件的初始储能和独立电源共同引起的响应，
称为全响应。下面讨论RC串联电路在直流电压源作用下的 全响应。电路如图(a)所示，开关连接在a端为时已经很久， uC(0-)=U0。t=0时开关倒向b端。t >0 时的电路如图(b)所示。
t 2
io ( t )
电路
1 8 1 .2 i L 7 .2
A
(t 0 )
南京理工大学电光学院
例1
i L ( t ) 3(1 e
t 2
)A
t 2
(t 0 )
i o ( t ) 2 0 .5 e
A
(t 0 )
3A 2.5A 2A
. . . 1A.
作业
6-1 (a) 6-3 6-5
电路
南京理工大学电光学院
6.1 电路的初始条件
换路定则: 在换路瞬间，电容上的电压、 电感中的电流不能突变。
设：t=0 时换路
0 ---
换路前瞬间
换路后瞬间
0 --则：
uC ( 0 ) uC ( 0 )
iL (0 ) iL (0 )
电路 南京理工大学电光学院
2Ω
.
+
1Ω
1V
2 3 1 3
u0(t)
_
u C (t )
(1 e
1 .5 t
)V (t 0 )
1 .5 t
u 0 (t ) 1 u C (t )
电路
2 3
e
V (t 0 )
南京理工大学电光学院
6.3 RC电路的充电过程-零状态
u C (t )
2 3
t 已知：iL(0) =0, 求： 0 时的iL(t)
. .
S (t=0)
+ uR _
R L
iL
.
I iL R
U
+ uL _
(t 0 )
L
.
Is Us R
L d iL R dt
iL I
iL (0 ) iL (0 ) 0
电路 南京理工大学电光学院
RL电路的充磁过程-零状态
2
C 2
U
2
50%
电源提供的电能一半转化为电场能量储 存在电容中，另一半被电阻消耗掉。
电路 南京理工大学电光学院
6.3 RC电路的充电过程-零状态
例：已知t <0时，原电路已稳定，t=0时合上S， 求： t
0 时的uC(t),
u0(t) 1F
S (t=0)
. . .
+ uC(t) _
RC
d uC dt
uC 0
南京理工大学电光学院
一阶电路
一阶电路
+ uR _
R
t>0：
iC
C
uC
+
_
RC
d uC dt
uC 0
指用一阶微分方程描述的电路
电路 南京理工大学电光学院
6.2 RC电路的放电过程
已知：uC(0－) = U, t=0时，S由a合向b， 求： t
0 时的uC(t), iC(t)
RC 充 电 过 程-零 状 态
已知 uC(0) = 0，求： t
0 时的uC(t), iC(t)
. .
S (t=0)
uR _ +
R
U C
iC
+ uC _
u C ( t ) U (1 e iC ( t ) C
电路
t RC
) U (1 e
t RC
t τ t τ
)
(t 0) (t 0)
f ( t ) f (0 )e
t
(t 0 )
故求一阶电路的零输入响应时，
确定出f(0+)和τ以后，就可以唯一地确定响应表达式
电路
南京理工大学电光学院
例题Βιβλιοθήκη 例：已知t < 0时，原电路已稳定，t=0时，S由a合向b， 求： t
0 时的iL(t),
i(t)
2Ω
a S (t=0)
+ uR _
R
t>0：
iC
C
uC
+
_
t RC
RC
d uC dt
uC 0
uC ( t ) U e iC ( t ) C
t 0 U R
南京理工大学电光学院
d uC dt
t RC
e
t 0
电路
6.2 RC电路的放电过程
时间常数
+ uR _
R iC C
RC
uC
+
uC ( t ) U e iC ( t ) C
6.1 电路的初始条件
初始值的计算
1. 求uC(0－) ,iL(0－) 情况1：给定uC(0－) ,iL(0－). 情况2：t = 0-时: 原电路为直流稳态： C — 断路， L — 短路 情况3：t = 0－时: 原电路未进入稳态：
u C (0 ) u C ( t ) |t 0 , i L (0 ) i L ( t ) |t 0
已知：uC(0－) = U, t=0时，S由a合向b， 求： t
0 时的uC(t), iC(t)
+ uR +_ uR _ a S. . (t=0)
b.
R i RC C C
t>0：
U
+ iC uC + _ _
uC
.
R iC u C 0 d uC iC C dt
电路
t RC
t 0
t
uC U
e
t RC
2
次切距
t
uC / U
0 1
3
4
5
6
0.368
0.135
0.050 0.018
0.007 0.002
当 t=(3~5) 时，过渡过程基本结束，电路达到稳态。
电路 南京理工大学电光学院
6.2 RC电路的放电过程
U
1 2
3
3
0.368U
A ，(0 ) i
A
南京理工大学电光学院
第6章 电路的暂态分析
目 录
6.1 换路定则与电压和电流初始值的计算 6.2 RC电路的放电过程 6.3 RC电路的充电过程
6.4 一阶直流、线性电路瞬变过程的一般求解
方法——三要素法
6.5 微分电路与积分电路
6.6 RL电路的瞬变过程 6.7 RLC串联电路的放电过程
例：已知t <0时，原电路已稳定，t=0时合上S，
求： t
0 时的iL(t), i0(t)
i0(t)
5Ω
1Ω 1.2Ω S (t=0) 18V
.
. .
4Ω
iL(t)
10H
i L ( t ) 3(1 e
t 2
)A
(t 0 )
.
4 iL 1 0 6 d iL d t 2 0 .5 e
最后得到RL一阶电路的零状态响应为
i L ( t ) I (1 e uL (t ) L d iL dt
R L t
) I (1 e
R L t
t
)
t
( t 0)
R Ie
R Ie
(t 0)
图 RL电路零状态响应的波形曲线
电路 南京理工大学电光学院
例1
南京理工大学电光学院
d uC dt
U R
e
U R
e
6.3 RC电路的充电过程-零状态
t RC t τ
u C ( t ) U (1 e iC ( t ) C d uC dt
) U (1 e
t RC
)
t τ
(t 0) (t 0)
U R
e
U R
e
RC电路的零状态响应曲线
1 2 3
t
1
2
结论： 越大，过渡过程曲线变化越慢，uC达到
稳态所需要的时间越长。
电路 南京理工大学电光学院
6.2 RC电路的放电过程
能量变化
+ uR _
R
t RC
iC
C
uC
+
u C (t ) U e iC ( t ) C
t 0 U R
t RC
_
duC dt
t RC
t 0 U R
t RC
_
d uC dt
e
t 0
[ R ][ C ]
[U ] [I ]
[Q ] [U ]