2021学年数学人教A版必修2课件：1-3-1 柱体、锥体、台体的表面积与体积

[变式训练 3] 若一个几何体的三视图如图，则这个几何体
10 的体积为____3______.
解析：根据题图可知该几何体是由一个四棱柱和一个四棱锥 组成的，故 V 几何体＝V ＋ 四棱柱 V 四棱锥＝1×1×2＋13×2×2×1＝130.
1．已知长方体的过一个顶点的三条棱长的比是 1 2 3，
六边形的边长是 0.46 m．所以 S 侧＝Ch＝6×0.46×1.6＝4.416(m2)．
所以
S
表＝S
侧＋S
上底＋S
下 底 ＝ 4.416 ＋ 2×
3 4
×0.462×6≈5.6(m2)．
故制造这个滚筒约需要 5.6 m2 铁板．
类型二
旋转体的表面积与体积
[例 2] (1)圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是 16 2π，则圆锥的体积是( A )
梯形
BCC′B′ 的高． 所以
S
侧
＝
3×
1 2
×(20
＋
30)×DD′
＝
75DD′.又 A′B′＝20 cm，AB＝30 cm，则上、下底面面积之和
为 S 上＋S 下＝ 43×(202＋302)＝325 3(cm2)．
由 S 侧＝S 上＋S 下，得 75DD′＝325 3，
所以 DD′＝133 3(cm)，O′D′＝ 63×20＝103 3(cm)，
第一章
空间几何体
1.3 空间几何体的表面积与体积
1．3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
[目标] 1.会求柱体、锥体、台体的表面积与体积；2.知道圆 柱、圆锥、圆台的侧面展开图，并会求它们的侧面积；3.通过柱 体、锥体、台体的体积公式体会它们之间的关系．
[重点] 求圆柱、圆锥、圆台的侧面积；求柱体、锥体、台 体的表面积与体积．
3．台体的表面积 (1)棱台的表面积：S 表＝_S__侧_＋__S_上_底_＋__S 下底
(2)圆台的表面积：两底面半径分别为 r′，r，母线长为 l 的圆台的侧面积：S 侧＝_π_(_r′__＋__r_)_l __，表面积：S 表＝
__π_(_r′__2_＋__r_2＋__r_′__l＋__r_l_) _
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学科素养培优精品微课堂 空间几何体体积计算常见技巧 开讲啦 柱、锥、台的体积的计算，一般要找出相应的底 面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入 公式计算．常见的求几何体体积的方法有：公式法，等积法，分 割法，构造法等． 1．等积法 三棱锥也称为四面体，它的每一个面都可当做底面，恰当地 进行换底等积变换便于问题的求解．
解析：设底面半径为 r，侧面积＝4π2r2，表面积为＝2πr2＋ 4π2r2，其比为1＋2π2π.
——本课须掌握的三大问题 1．圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面 积，因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段与原旋转 体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解有关问题的关键． 2．计算柱体、锥体和台体的体积，关键是根据条件找出相 应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面及旋转体的轴 截面，将空间问题转化为平面问题． 3．在几何体的体积计算中，注意体会“分割思想”、“补 体思想”及“等价转化思想”．
(2)如图所示，有一滚筒是正六棱柱形(底面是正六边形，每 个侧面都是矩形)，两端是封闭的，筒高 1.6 m，底面外接圆的半 径是 0.46 m，问：制造这个滚筒需要__5_._6__m2 铁板(精确到 0.1 m2)．
解析：(1)因为四棱锥 V－ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，
且对角线 AC＝6 cm，所以 BD＝6 cm，且 AC⊥BD，所以 SABCD
[难点] 柱体、锥体、台体的侧面展开图及这三类几何体之 间关系的理解．
要点整合夯基础 课堂达标练经典
典例讲练破题型 课时作业
知识点一
多面体与旋转体的表面积
[填一填] 1．柱体的表面积 (1)棱柱的表面积：S 表＝__S__侧_＋__2_S_底__
①其中底面周长为 C，高为 h 的直棱柱的侧面积：S 侧＝
____C__h_____；
②长、宽、高分别为 a，b，c 的长方体的表面积：S 表＝ 2_(_a_b_＋__a_c_＋__b_c)；
③棱长为 a 的正方体的表面积：S 表＝____6_a_2 _____.
(2)圆柱的表面积：底面半径为 r，母线长为 l 的圆柱的侧面 积：S 侧＝____2_π_r_l____，表面积：S 表＝__2_π_r_(r_＋__l_)__
23 A. 3 π
B．2 3π
73 C. 6 π
73 D. 3 π
解析：设圆台的高为 h，上底面的半径为 r，下底面的半径
为 R，母线长为 l.由题可知 πr2＝π，πR2＝4π，则 r＝1，R＝2.又
因为圆台的侧面积为 6π，所以 πl(r＋R)＝6π，所以 l＝2.因为 h2
＋(R －r)2 ＝l2 ，所以
类型一
多面体的表面积与体积
[例 1] 已知一个三棱台上、下底面分别是边长为 20 cm 和 30 cm 的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、 下底面面积之和，求棱台的高和体积．
[解]
如图，在三棱台 ABC-A′B′C′中，取上、下底面的中心分
别为 O′，O，BC，B′C′的中点分别为 D，D′，则 DD′是
解：
如图，梯形 ABCD 中，AD＝2，AB＝4，BC＝5.作 DM⊥BC，
垂足为点 M，则 DM＝4，MC＝5－2＝3.在 Rt△CMD 中，由勾股
定理得 CD＝ 32＋42＝5.在旋转形成的旋转体中，AB 形成一个圆
面，AD 形成一个圆柱的侧面，CD 形成一个圆锥的侧面，设其面
积分别为 S1，S2，S3，则 S1＝π·42＝16π，S2＝2π×4×2＝16π，S3 ＝π×4×5＝20π，故此旋转体的表面积为 S＝S1＋S2＋S3＝52π.V
[解析]
该棱锥为一个底面是等腰直角三角形的三棱锥，如右图，取 AB 中点 E，连接 SE，由已知可知：SD＝4，AB＝BC＝6，
∴SE＝5，AC＝6 2. ∴S＝12×6×6＋2×12×5×6＋12×6 2×4＝48＋12 2.
当给出几何体的三视图，求该几何体的表面积或体积时，应 首先根据三视图确定该几何体的结构特征，是简单组合体的还应 将其分解为柱、锥、台，再根据公式计算表面积或体积.
OD＝ 63×30＝5 3(cm)，
所以棱台的高 h＝O′O＝ D′D2－OD－O′D′2
＝
13 3
32－5
3－103 32＝4
3(cm)．
由棱台的体积公式，可得棱台的体积为：
V＝h3(S 上＋S 下＋ S上·S下) ＝43 3× 43×202＋ 43×302＋ 43×20×30 ＝1 900(cm3)．
[答一答] 1．几何体的侧面积与表面积有何区别？
提示：侧面积指的是几何体侧面的面积，而表面积是指整 个几何体表面的面积．表面积等于侧面积与底面积之和，因此， 侧面积仅是几何体表面积的一部分．
2．圆锥的侧面展开图为一扇形，怎样根据扇形圆心角度数 α°推导出母线 l 与底面半径 r 的关系？
提示：圆锥侧面展开图中扇形弧长为圆锥底面周长，而扇形 弧长又是以 l 为半径圆周长的3α60，于是有3α60·2πl＝2πr，即 r＝3α60 l.
＝12×AC×BD＝12×6×6＝18(cm2)，因为 VM 是棱锥的高，且 VC
＝5 cm，所以 Rt△VMC 中，VM＝ VC2－MC2＝ 52－32＝4(cm)，
所以正四棱锥Biblioteka V －ABCD的体积为
V
＝
1 3
SABCD×VM
＝
1 3
×18×4＝24 (cm3)．
(2)因为此正六棱柱底面外接圆的半径为 0.46 m，所以底面正
64π A. 3
128π B. 3
C．64π
D．128 2π
(2)圆台的上、下底面半径分别为 10 cm、20 cm，它的侧面
展开图扇环的圆心角为 180°，则圆台的表面积为
_1__1_0_0_π__cm2.(结果中保留 π)
[解析] (1)设圆锥的底面半径为 r，母线为 l， ∵圆锥的轴截面是等腰直角三角形， ∴2r＝ l2＋l2，即 l＝ 2r， 由题意得，侧面积 S 侧＝πrl＝ 2πr2＝16 2π， 解得 r＝4，∴l＝4 2，圆锥的高 h＝ l2－r2＝4， ∴圆锥的体积 V＝13Sh＝13×π×42×4＝634π.故选 A.
解决旋转体的有关问题常需要画出其轴截面图，将空间问题 转化为平面问题来解决.对于与旋转体有关的组合体问题，首先 要弄清楚它是由哪些简单几何体组成的，然后根据条件分清各个 简单几何体底面半径及母线长，再分别代入公式求各自的表面积 或体积.
[变式训练 2] 一个直角梯形的两底边长分别为 2 和 5，高 为 4，将其绕较长的底所在的直线旋转一周，求所得旋转体的表 面积和体积．
分别
表示台体的上、下底面面积，h 表示台体的高)．
[答一答] 3．柱体的体积与哪些量有关？
提示：柱体的体积仅与它的底面积和高有关，而与底面的 形状以及是斜棱柱或直棱柱无关．
4．对于三棱锥在求体积时，底面固定吗？怎样确定哪个面 为底面？
提示：不固定，三棱锥的任何一个面都可以作为它的底面， 关键是哪个底面的面积和相应的高容易求出，就选哪个面为底 面．
知识点二
柱体、锥体、台体的体积
[填一填] 1．柱体的体积：V 柱体＝_____S_h_____(S 表示柱体的底面面积，
h 表示柱体的高)．
1
2．锥体的体积：V 锥体＝___3_S_h__ (S 表示锥体的底面面积，h
表示锥体的高)． 3．台体的体积：V
台体＝__13_(_S_′__＋___S_′__S_＋__S_)h__(S′，S