2018第一轮复习 不等式

不等式
一、不等式及其解法：
1．一元二次不等式： 化标准式（即二次项系数为正）⇒“大于取两边，小于取中间”
如：解不等式（1）0322≤-+x x ； （2）0122≤++-x x
解：（1）原不等式等价于0)1)(3(≤-+x x ， 方程0)1)(3(=-+x x 的根为3-，1
故解集为}{}13≤≤-x x .
（2）原不等式等价于0122≥--x x ， 方程0122=--x x 的根为21+，21-，
故解集为}{}
2121+≥-≤x x x 或.
2．高次不等式：“穿根法”. 化标准式（即每一项的x 系数为都为正）⇒穿根 （从右上方出发，依次穿过每个根，如遇“重根”，奇穿偶回）
如：解不等式（1）0)1)(1(≤-+x x x ； （2）03)1)(2(≥--+x x x ； （3）0)2)(1()1(2
<++-x x x
解：（1）解集{}1
01≤≤-<x x x 或；（2）解集{}312>≤≤-x
x x 或；（3）解集为]1,2[--
3．分式不等式：移项⇒通分.
如：解不等式12≤x
. 解：移项后012≤-x ，通分后02≤-x x ，化标准式为02≥-x
x ，故解集为{}20≥<x x x 或
4．绝对值不等式：a x <)0(>a 的解集为{}a x a x <<-； a x >)0(>a 的解集为{}a x a x x -<>或
二、1．重要不等式：),(222R b a ab b a ∈≥+,当且仅当b a =时，等号成立
变形：2
2
2b a ab +≤ 应用：22b a +为定值时，求ab 的最大值. 2．基本不等式：)0,0(2
>>+≤b a b a ab 当且仅当b a =时，等号成立 变形一：ab b a 2≥+ 应用：ab 为定值时，求b a +的最小值. 变形二：2)2
(b a ab +≤ 应用：b a +为定值时，求ab 的最大值. （算术平均数2
b a +；几何平均数ab ） 推广：若0,>b a ，则b
a a
b b a b a 1122222+≥≥+≥+ 当且仅当a=b 时取“=”号；
3.最值定理
设x 、y 都为正数，则有
⑴ 若x y s +=（和为定值），则当x y =时，积xy 取得最大值2
4
s ． ⑵ 若xy p =（积为定值），则当x y =时，和x y +
取得最小值 即：“积定，和有最小值；和定，积有最大值”
注：利用基本不等式求最值的条件：一正、二定、三相等.
三、线性规划问题
1. 能画出二元一次不等式组表示的平面区域.
2. 相关概念：约束条件、目标函数、可行域、可行解、最优解.
3.目标函数常见类型：
（1） 求线性目标函数By Ax z +=的最值时，先令0=z ，画出直线l ：
0=+By Ax ，
①若0>B ，则l 向上平移，z 变大，向下平移，z 变小；
②若0<B ，则l 向上平移，z 变小，向下平移，z 变大
（2）“斜率型”目标函数a
x b y z --=
，z 表示可行域内动点),(y x 与定点),(b a 连线的斜率.
（3）“距离型”目标函数22222))()(()()(b y a x b y a x z -+-=-+-=，z 表示
可行域内动点),(y x 到定点),(b a 的距离的平方.
四、题型分析
题型一：利用基本不等式证明不等式
1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥b a 112
+
2、已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++2
22
3、已知1a b c ++=，求证：22213
a b c ++≥
题型二：利用不等式求函数值域
1、求下列函数的值域
（1）2221
3x x y +=（2）)4(x x y -=
（3）)0(1>+=x x x y （4）)0(1
<+=x x x y
（对勾函数）
题型三：利用不等式求最值 （一）（凑项）
1、已知2>x ，求函数424
42-+-=x x y 的最小值；
变式1：已知2>x ，求函数424
2-+=x x y 的最小值；
变式2：已知2<x ，求函数424
2-+=x x y 的最大值；
练习：1、已知54x >，求函数14245y x x =-+-的最小值；
2、已知54x <，求函数14245
y x x =-+-的最大值；
题型四：利用不等式求最值 （二）（凑系数）
1、当
时，求(82)y x x =-的最大值；
变式1：当
时，求4(82)y x x =-的最大值；
变式2：设2
30<
<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。

2、若02<<x ，求y x x =
-()63的最大值；
变式：若40<<x ，求)28(x x y -=的最大值；
3、求函数)2
521(2512<<-+-=x x x y 的最大值； （提示：平方，利用基本不等式）
变式：求函数)4
1143(41134<<-+-=x x x y 的最大值；
题型五：巧用“1”的代换求最值问题
1、已知12,0,=+>b a b a ，求t a b =+11的最小值；
变式1：已知22,0,=+>b a b a ，求t a b
=+11的最小值；
变式2：已知28,0,1x y x y >+=，求xy 的最小值；
变式3：已知0,>y x ，且
119x y
+=，求x y +的最小值。

变式4：已知0,>y x ，且194x y +=，求x y +的最小值；
变式5：
（1）若0,>y x 且12=+y x ，求11x y
+的最小值； （2）若+∈R y x b a ,,,且1=+y
b x a ，求y x +的最小值；
、
变式6：已知正项等比数列{}n a 满足：5672a a a +=，若存在两项n m a a ,，使得14a a a n m =，求n
m 41+的最小值；
题型六：分离换元法求最值（了解）
1、求函数)1(1
1072-≠+++=x x x x y 的值域；
变式：求函数)1(1
82>-+=x x x y 的值域；
2、求函数522++=
x x y 的最大值；（提示：换元法）
变式：求函数941++=x x y 的最大值；
题型七：基本不等式的综合应用
1、已知1log log 22≥+b a ，求b a 93+的最小值
2、（天津）已知0,>b a ，求ab b a 211++的最小值；
变式1：已知，当1,0≠>a a 时，函数1)1(log +-=x y a 的图像恒过定点A ，若点A 在直线0=+-n y mx 上，求n m 24+的最小值；
3、已知0,>y x ，822=++xy y x ，求y x 2+最小值；
变式1：已知0,>b a ，满足3++=b a ab ，求ab 范围；
变式2：已知0,>y x ，3
12121=+++y x ，求xy 最大值；（提示：通分或三角换元）
变式3：已知0,>y x ，122=++xy y x ，求xy 最大值；
4、（理）设正实数z y x ,,满足04322=-+-z y xy x ,则当
z
xy
取得最大值时,z
y x 2
12-+的最大值为（ ）
A ．0
B ．1
C ．
4
9
D ．3 （提示：代入换元,利用基本不等式以及函数求最值）
题型八：利用基本不等式求参数范围
1、（检测）已知0,>y x ，且9)1)((≥++y
a
x y x 恒成立，求正实数a 的最小值；
变式：已知0,>b a 满则24
1=+b
a ，若c
b a ≥+恒成立，求
c 的取值范围；
课堂基础练习：
关于一元二次不等式的练习：
1、已知
x
a x
x x
f
+ +
=2
) (2
，对任意0
)(
),
,1[≥
+∞
∈x
f
x恒成立，求a 的取值范围。

2、关于()01
)1
(
12
2<
-
-
-
-x
a
x
a
x的不等式的解集为R，求实数a的取值范围.
3、1
)(2-
-
=mx
mx
x
f
设函数
（1）若对于一切实数x，0
)(<
x
f恒成立，求m的取值范围
（2）5
)(
],3,1[+
-
<
∈m
x
f
x
对于恒成立，求m的取值范围。