高考数学之基本不等式

基本不等式

基础梳理

1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2

(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0.

(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．

2．几个重要的不等式

(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )；

(2)b a ＋a b

≥2(a ，b 同号)； (3)ab ≤????a ＋b 22(a ，b ∈R )；

(4)a 2＋b 22≥????a ＋b 22(a ，b ∈R )．

3．算术平均数与几何平均数

设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为

a ＋

b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数．

4．利用基本不等式求最值问题

已知x ＞0，y ＞0，则

(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小)

(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大)

一个技巧 22

ab ≤????a ＋b 22(a ，b ＞0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．

两个变形

(1)a 2＋b 22≥????a ＋b 22≥ab (a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)；

a ＋b

这两个不等式链用处很大，注意掌握它们．

三个注意

(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．

(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．

(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．

双基自测

1．(人教A 版教材习题改编)函数y ＝x ＋1x

(x ＞0)的值域为( )． A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)

B ．(0，＋∞)

C ．[2，＋∞)

D ．(2，＋∞)

解析 ∵x ＞0，∴y ＝x ＋1x

≥2， 当且仅当x ＝1时取等号．

答案 C

2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a ＋b ab ≤2；③x 2＋1x 2＋1≥1，其中正确的个数是( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

解析 ①②不正确，③正确，x 2＋1x 2＋1＝(x 2＋1)＋1x 2＋1

－1≥2－1＝1. 答案 B

3．若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )．

A.12

B ．1

C ．2

D ．4 解析 ∵a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝2，

∴a ＋2b ＝2≥22ab ，即ab ≤12

. 答案 A 4．(2011·重庆)若函数f (x )＝x ＋1x －2

(x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )． A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4

解析 当x ＞2时，x －2＞0，f (x )＝(x －2)＋1x －2

＋2≥2 (x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2

(x ＞2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3. 答案 C

5．已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t

的最小值为________． 解析 ∵t ＞0，∴y ＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1t －4≥2－4＝－2，当且仅当t ＝1时取等号． 答案 －2

考向一 利用基本不等式求最值

【例1】?(1)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1y

的最小值为________； (2)当x ＞0时，则f (x )＝2x

x 2＋1的最大值为________． [审题视点] 第(1)问把1x ＋1y

中的“1”代换为“2x ＋y ”，展开后利用基本不等式； 第(2)问把函数式中分子分母同除“x ”，再利用基本不等式．

解析 (1)∵x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，

∴1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋y y

＝3＋y x ＋2x y

≥3＋2 2. 当且仅当y x ＝2x y

时，取等号． (2)∵x ＞0，

∴f (x )＝2x x 2＋1＝2

x ＋1x ≤22＝1， 当且仅当x ＝1x

，即x ＝1时取等号． 答案 (1)3＋22 (2)1

利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积

定和最小”．常用的方法为：拆、凑、代换、平方．

【训练1】 (1)已知x ＞1，则f (x )＝x ＋1x －1

的最小值为________． (2)已知0＜x ＜25

，则y ＝2x －5x 2的最大值为________． (3)若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________．

解析 (1)∵x ＞1，∴f (x )＝(x －1)＋1x －1

＋1≥2＋1＝3 当且仅当x ＝2时取等号． (2)y ＝2x －5x 2＝x (2－5x )＝15

·5x ·(2－5x )， ∵0＜x ＜25

，∴5x ＜2,2－5x ＞0， ∴5x (2－5x )≤????5x ＋2－5x 22＝1，

∴y ≤15

，当且仅当5x ＝2－5x ， 即x ＝15时，y max ＝15

. (3)由2x ＋8y －xy ＝0，得2x ＋8y ＝xy ，

∴2y ＋8x

＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y )()

8x ＋2y ＝10＋8y x ＋2x y ＝10＋2()4y x ＋x y ≥10＋2×2× 4y x ·x y ＝18， 当且仅当4y x ＝x y

，即x ＝2y 时取等号， 又2x ＋8y －xy ＝0，∴x ＝12，y ＝6，

∴当x ＝12，y ＝6时，x ＋y 取最小值18.

答案 (1)3 (2)15

(3)18 考向二 利用基本不等式证明不等式

【例2】?已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc a ＋ca b ＋ab c

≥a ＋b ＋c . [审题视点] 先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质相加得到．

证明 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，

∴bc a ＋ca b

≥2 bc a ·ca b ＝2c ； bc a ＋ab c

≥2 bc a ·ab c ＝2b ； ca b ＋ab c ≥2 ca b ·ab c

＝2a . 以上三式相加得：2()bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )， 即bc a ＋ca b ＋ab c

≥a ＋b ＋c .

利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已

证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题．

【训练2】 已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1.

求证：1a ＋1b ＋1c

≥9. 证明 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，

∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c

＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c

＝3＋()b a ＋a b ＋()c a ＋a c ＋()c b ＋b c

≥3＋2＋2＋2＝9，

当且仅当a ＝b ＝c ＝13

时，取等号． 考向三 利用基本不等式解决恒成立问题

【例3】?(2010·山东)若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1

≤a 恒成立，则a 的取值范围是________． [审题视点] 先求x x 2＋3x ＋1(x ＞0)的最大值，要使得x x 2＋3x ＋1≤a (x ＞0)恒成立，只要x x 2＋3x ＋1

(x ＞0)的最大值小于等于a 即可． 解析 若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，只需求得y ＝x x 2＋3x ＋1的最大值即可，因为x ＞0，所以y ＝x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12 x ·1x

＝15

，当且仅当x ＝1时取等号，所以a 的取值范围是[)15，＋∞ 答案 [)

15，＋∞

当不等式一边的函数(或代数式)的最值较易求出时，可直接求出这个最值(最值

可能含有参数)，然后建立关于参数的不等式求解．

【训练3】 (2011·宿州模拟)已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是________．

解析 由x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ≥2 2xy ，得xy ≥8，于是由m －2≤xy 恒成立，得m －2≤8，m ≤10，故m 的最大值为10. 答案 10

考向三 利用基本不等式解实际问题

【例3】?某单位建造一间地面面积为12 m 2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x 不得超过5 m ．房屋正面的造价为400元/m 2，房屋侧面的造价为150元/m 2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m ，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？

[审题视点] 用长度x 表示出造价，利用基本不等式求最值即可．还应注意定义域0＜x ≤5；函数取最小值时的x 是否在定义域内，若不在定义域内，不能用基本不等式求最值，可以考虑单调性．

解 由题意可得，造价y ＝3(2x ×150＋12x

×400)＋5 800＝900()x ＋16x ＋5 800(0＜x ≤5)， 则y ＝900()x ＋16x ＋5 800≥900×2

x ×16x

＋5 800＝13 000(元)， 当且仅当x ＝16x ，即x ＝4时取等号． 故当侧面的长度为4米时，总造价最低．

解实际应用题要注意以下几点：

(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；

(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值；

(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．

【训练3】 (2011·广东六校第二次联考)东海水晶制品厂去年的年产量为10万件，每件水晶产品的销售价格为100元，固定成本为80元．从今年起，工厂投入100万元科技成本．并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本．预计产量每年递增1万件，每件水晶产品的固定成本g (n )与科技成本的投入次数n 的关系是g (n )＝

80n ＋1.若水晶产品的销售价格不变，第n 次投入后的年利润为f (n )万元． (1)求出f (n )的表达式；

(2)求从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？

解 (1)第n 次投入后，产量为(10＋n )万件，销售价格为100元，固定成本为

80n ＋1元，科技成本投入为100n 万元． 所以，年利润为f (n )＝(10＋n )?

???100－80n ＋1－100n (n ∈N *)． (2)由(1)知f (n )＝(10＋n )???

?100－80n ＋1－100n ＝1 000－80???

?n ＋1＋9n ＋1≤520(万元)． n ＋1＝9n ＋1

， 即n ＝8时，利润最高，最高利润为520万元．

所以，从今年算起第8年利润最高，最高利润为520万元．

忽视基本不等式成立的条件致误

【问题诊断】 利用基本不等式求最值是高考的重点，其中使用的条件是“一正、二定、三相等”，在使用时一定要注意这个条件，而有的考生对基本不等式的使用条件理解不透彻，使用时出现多次使用不等式时等号成立的条件相矛盾.,【防范措施】 尽量不要连续两次以上使用基本不等式，若使用两次时应保证两次等号成立的条件同时相等.

【示例】?已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，求1a ＋2b

的最小值． 错因 两次基本不等式成立的条件不一致．

实录 ∵a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，

∴ab ≤????a ＋b 22＝14. 又1a ＋2b

≥2 2ab ，而ab ≤14，∴1ab ≥4， ∴1a ＋2b ≥28＝42，故1a ＋2b

的最小值为4 2. 正解 ∵a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，

∴1

a＋2

b＝(

)

1

a＋

2

b(a＋b)＝1＋2

＋

b

a＋

2a

b≥3＋2

b

a·

2a

b＝3＋2 2.

当且仅当

?

?

?a＋b＝1，

b

a＝

2a

b，

即

??

?

??a＝2－1，

b＝2－2

时，

1

a＋

2

b的最小值为3＋2 2.

【试一试】(2010·四川)设a＞b＞0，则a2＋

1

ab＋

1

a(a－b)

的最小值是()．

A．1 B．2 C．3 D．4

[尝试解答]a2＋

1

ab＋

1

a(a－b)

＝a2－ab＋ab＋

1

ab＋

1

a(a－b)

＝a(a－b)＋

1

a(a－b)

＋ab＋

1

ab

≥2 a(a－b)·

1

a(a－b)

＋2 ab·

1

ab

＝2＋2＝4.当且仅当a(a－b)＝

1

a(a－b)

且ab＝

1

ab，

即a＝2b时，等号成立．答案D

16.已知函数f(x)的定义域为[－2，+∞)，部分对应值如下表,

)

(x

f'

为f (x)的导函数，函数

)

(x

f

y'

=

的图象如右图所示，若两正数a，b满足

1

)

2(<

+b

a

f

，求3

3

+

+

a

b

的取值范围．

18.已知二次函数

2

(),(,,)

f x ax bx c a b c R

=++∈满足：对任意实数x,都有()

f x x

≥，且当

x∈（1，3）时，有

2

1

()(2)

8

f x x

≤+

成立. （1）求(2)

f; （2）若(2)0,()

f f x

-=的表达式;

（3）设

()()

2

m

g x f x x

=-

[0,)

x∈+∞，若()

g x图上的点都位于直线

1

4

y=

的上方，求实数m的取值范围.

解：（1）由条件知

2

2

4

)2(≥

+

+

=c

b

a

f

恒成立

x －2 0 4

f (x) 1 －1 1 －2

x

y

O

又∵取x=2时，2)22(8124)2(2=+≤++=c b a f 与恒成立∴

2)2(=f …………3分 （2）∵?

??=+-=++024224c b a c b a ∴,124==+b c a ∴a

c b 41,21-== ……5分 又 x x f ≥)(恒成立，即0)1(2≥+-+c x b ax 恒成立 ∴0)41(4)121(,02≤---=?>a a a ， …………7分 解出：

21,21,81===c b a ∴212181)(2++=x x x f …………10分 （3）),0[4121)221(81)(2+∞∈>+-+=

x x m x x g 在必须恒成立

即 ),0[02)1(42+∞∈>+-+x x m x 在恒成立

①△<0，即 [4(1－m)]2－8<0，解得：221221+<<-m ……13分

②

?????>=≤--≥?02)0(0)1(20f m 解出：221-≤m 总之，)221,(+-∞∈m ………16分

19.已知函数32()在1f x x ax bx c x =+++=处的切线方程为31y x =+，（1）若函数()在2y f x x ==-时有极值，求()f x 的表达式； （2）

在（1）条件下,若函数()在[2,]y f x m =-上的值域为95[

,13]27，求m 的取值范围；（3）若函数()y f x =在区间[－2，1]上单调递增，求b 的取值范围.

解：由c bx ax x x f +++=23)(求异得b ax x x f ++='23)(2，在x = 1处的切线方程为)1)(23()1()1)(1()1(-++=+++--'=-x b a c b a y x f f y 即

由已知切线方程为13+=x y 所以：?

??=-+-=++12323c a b a 2)(-==x x f y 在Θ时有极值，故1240)2(-=+-∴=-'b a f (3)

由（1）（2）（3）相联立解得

542)(5,4,223+-+==-==x x x x f c b a ………5分 （2）)2)(23(44323)(22+-=-+=++='x x x x b ax x x f

27)3(,135)2(4)2(2)2()2(23==+---+-=-f f

当),32(+∞∈x ，令

213)(==x x f 得，由题意得m 的取值范围为]2,32[ …………9分 （3）)(x f y =在区间[－2，1]上单调递增

又b ax x x f ++='23)(2，由（1）知b bx x x f b a +-='∴=+23)(,02

依题意

)(x f '在[－2，1]上恒有03,0)(2≥+-≥'b bx x x f 即在[－2，1]上恒成立，…11分 ①在16≥=

b x 时，603)1()(≥∴≥+-='='b b b f x f 小…12分

②在φ∈∴≥++=-'='-≤=

b b b f x f b x 0212)2()(,26小时…13分

③在.6001212)(,1622

≤≤≥-='≤≤-b b b x f b 则时小…14分

综合上述讨论可知，所求参数b 取值范围是：0≥b …16分

[2014·江苏卷] 已知函数f(x)＝ex ＋e －x ，其中e 是自然对数的底数．

(1)证明：f(x)是R 上的偶函数．

(2)若关于x 的不等式mf(x)≤e －x ＋m －1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围．

解： (1)证明：因为对任意 x ∈R ，都有f(－x)＝e －x ＋e －(－x)＝e －x ＋ex ＝f(x)， 所以f(x)是R 上的偶函数．

(2)由条件知 m(ex ＋e －x －1)≤e －x －1在(0，＋∞)上恒成立．

令 t ＝ex(x>0)，则 t>1，所以 m≤－t －1t2－t ＋1＝－1t －1＋1t －1

＋ 1对任意 t>1成立． 因为t －1＋1t －1＋ 1≥2 （t －1）·1t － 1＋1＝3, 所以 －1t －1＋1t －1

＋ 1≥－13， 当且仅当 t ＝2, 即x ＝ ln 2时等号成立．因此实数 m 的取值范围是(]－∞，－13.