高考数学专题练习：不等式与线性规划

高考数学专题练习：不等式与线性规划1。

若不等式(－2)n a －3n －1－(－2)n ＜0对任意正整数n 恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A 。

⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43B 。

⎝ ⎛⎭⎪⎫12，43C 。

⎝ ⎛⎭⎪⎫1，74D 。

⎝ ⎛⎭⎪⎫12，74答案 D解析 当n 为奇数时,要满足2n (1－a )＜3n －1恒成立, 即1－a ＜13×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n 恒成立,只需1－a ＜13×⎝ ⎛⎭⎪⎫321,解得a ＞12； 当n 为偶数时,要满足2n (a －1)＜3n －1恒成立,即a －1＜13×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n 恒成立,只需a －1＜13×⎝ ⎛⎭⎪⎫322,解得a ＜74。

综上,12＜a ＜74,故选D 。

2。

已知a >0,b ＞0,且a ≠1,b ≠1,若log a b ＞1,则( ) A 。

(a －1)(b －1)＜0 B 。

(a －1)(a －b )＞0 C 。

(b －1)(b －a )＜0 D 。

(b －1)(b －a )＞0 答案 D解析 取a ＝2,b ＝4,则(a －1)(b －1)＝3＞0,排除A ；则(a －1)(a －b )＝－2＜0,排除B ；(b －1)(b －a )＝6＞0,排除C,故选D 。

3。

设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( )A 。

(－3,1)∪(3,＋∞)B 。

(－3,1)∪(2,＋∞)C 。

(－1,1)∪(3,＋∞)D 。

(－∞,－3)∪(1,3) 答案 A解析 f (1)＝3。

由题意得⎩⎨⎧ x ≥0，x 2－4x ＋6>3或⎩⎨⎧x <0，x ＋6>3，解得－3<x <1或x >3。

4。

若a ,b ,c 为实数,则下列命题为真命题的是( ) A 。

若a ＞b ,则ac 2>bc 2 B 。

若a ＜b ＜0,则a 2＞ab ＞b 2C 。

若a ＜b ＜0,则1a ＜1b D 。

若a ＜b ＜0,则b a ＞ab 答案 B解析 B 中,∵a ＜b ＜0, ∴a 2－ab ＝a (a －b )＞0, ab －b 2＝b (a －b )＞0。

故a 2＞ab ＞b 2,B 正确。

5。

为了竖一块广告牌,要制造三角形支架,如图,要求∠ACB ＝60°,BC 的长度大于1米,且AC 比AB 长0。

5米,为了稳固广告牌,要求AC 越短越好,则AC 最短为( )A 。

⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32米B 。

2米C 。

(1＋3)米D 。

(2＋3)米答案 D6。

已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1,平面区域Ω：⎩⎨⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω,且圆C 与x 轴相切,则a 2＋b 2的最大值为( )9．已知a ,b ∈(0,＋∞),且a ＋b ＋1a ＋1b ＝5,则a ＋b 的取值范围是( ) A ．[1,4] B ．[2,＋∞) C ．(2,4) D ．(4,＋∞)解析：因为a＋b＋1a＋1b＝(a＋b)(1＋1ab)＝5,又a,b∈(0,＋∞),所以a＋b＝51＋1ab≤51＋⎝⎛⎭⎪⎫2a＋b2,当且仅当a＝b时,等号成立,即(a＋b)2－5(a＋b)＋4≤0,解得1≤a＋b≤4,故选A。

答案：A10．若x,y满足约束条件⎩⎨⎧x－y＋2≥0，y＋2≥0，x＋y＋2≥0，则(x＋2)2＋(y＋3)2的最小值为()A．1 B。

92C．5 D．9解析：可行域为如图所示的阴影部分,由题意可知点P(－2,－3)到直线x＋y＋2＝0的距离为|－2－3＋2|2＝32,所以(x＋2)2＋(y＋3)2的最小值为⎝⎛⎭⎪⎫322＝92,故选B。

答案：B11．已知变量x,y满足约束条件⎩⎨⎧x＋y－3≥0，2x－y－9≤0，y≤2，若使z＝ax＋y取得最小值的最优解有无穷多个,则实数a的取值集合是()A．{－2,0} B．{1,－2}C．{0,1} D．{－2,0,1}解析：作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示．由z ＝ax ＋y 得y ＝－ax ＋z 。

若a ＝0,则直线y ＝－ax ＋z ＝z ,此时z 取得最小值的最优解只有一个,不满足题意；若－a >0,则直线y ＝－ax ＋z 在y 轴上的截距取得最小值时,z 取得最小值,此时当直线y ＝－ax 与直线2x －y －9＝0平行时满足题意,此时－a ＝2,解得a ＝－2；若－a <0,则直线y ＝－ax ＋z 在y 轴上的截距取得最小值时,z 取得最小值,此时当直线y ＝－ax 与直线x ＋y －3＝0平行时满足题意,此时－a ＝－1,解得a ＝1。

综上可知,a ＝－2或a ＝1。

故选B 。

答案：B12．若不等式组⎩⎨⎧x 2－2x －3≤0，x 2＋4x －1＋a ≤0的解集不是空集,则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞,－4]B ．[－4,＋∞)C ．[－4,20]D ．[－40,20)13．已知实数x ,y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≥0x －y ≥02x －y －2≥0,则z ＝y －1x ＋1的取值范围是( ) A 。

⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13B 。

⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13C 。

⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞D 。

⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1解析：由题知可行域如图阴影部分所示,∴z ＝y －1x ＋1的取值范围为[k MA,1),即⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1。

答案：D14．已知函数y ＝x －4＋9x ＋1(x >－1),当x ＝a 时,y 取得最小值b ,则a ＋b 等于( ) A ．－3 B ．2 C ．3D ．8解析：y ＝x －4＋9x ＋1＝x ＋1＋9x ＋1－5,因为x >－1,所以x ＋1>0,9x ＋1>0。

所以由基本不等式,得y ＝x ＋1＋9x ＋1－5≥2 x ＋1·9x ＋1－5＝1,当且仅当x ＋1＝9x ＋1,即(x ＋1)2＝9,即x ＋1＝3,x ＝2时取等号,所以a ＝2,b ＝1,a ＋b ＝3。

答案：C15．若x ,y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥1x －y ≥－12x －y ≤2,且目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值,则a 的取值范围是( ) A ．[－4,2] B ．(－4,2) C ．[－4,1] D ．(－4,1)解析：作出不等式组表示的区域如图中阴影部分所示,直线z ＝ax ＋2y 的斜率为k ＝－a2,从图中可看出,当－1<－a2<2,即－4<a <2时,仅在点(1,0)处取得最小值．故选B 。

答案：B16．若关于x 的不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解,则实数a 的取值范围为( ) A 。

⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞B 。

⎣⎢⎡⎦⎥⎤－235，1C ．(1,＋∞)D ．(－∞,－1)解析：x 2＋ax －2>0,即ax >2－x 2。

∵x ∈[1,5],∴a >2x －x 成立．∴a >⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －x min 。

又函数f (x )＝2x －x 在[1,5]上是减函数,∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －x min ＝25－5＝－235,∴a >－235。

故选A 。

答案：A17．设x ,y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥0y ≥x4x ＋3y ≤12,则x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是( ) A ．[1,5] B ．[2,6] C ．[2,10] D ．[3,11]解析：设z ＝x ＋2y ＋3x ＋1＝x ＋1＋2y ＋1x ＋1＝1＋2·y ＋1x ＋1,设z ′＝y ＋1x ＋1,则z ′的几何意义为动点P (x ,y )到定点D (－1,－1)的斜率．画出可行域如图阴影部分所示,则易得z ′∈[k DA ,k DB ],易得z ′∈[1,5],∴z ＝1＋2·z ′∈[3,11]．答案：D18．已知函数f (x )＝4x －14x ＋1,若x 1>0,x 2>0,且f (x 1)＋f (x 2)＝1,则f (x 1＋x 2)的最小值为( )A ．14B ．45C ．2D ．4解析：由题意得f (x )＝4x －14x ＋1＝1－24x ＋1,由f (x 1)＋f (x 2)＝1得2－241x ＋1－242x ＋1＝1,化简得412x x ＋－3＝41x ＋42x ≥2×212x x ＋,解得2x 1＋x 2≥3,所以f (x 1＋x 2)＝1－2412x x ＋＋1≥1－232＋1＝45。

故选B 。

答案：B19．已知a ,b 都是正实数,且2a ＋b ＝1,则1a ＋2b 的最小值是________． 解析：1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (2a ＋b )＝4＋4a b ＋ba ≥4＋24a b ×b a ＝8,当且仅当4a b ＝b a ,即a ＝14,b ＝12时,“＝”成立,故1a ＋2b 的最小值是8。

答案：820．对于实数x ,当且仅当n ≤x <n ＋1,n ∈N *时,[x ]＝n ,则关于x 的不等式4[x ]2－36[x ]＋45<0的解集是________．解析：由4[x ]2－36[x ]＋45<0得32<[x ]<152,又当且仅当n ≤x <n ＋1,n ∈N *时,[x ]＝n ,所以所求解集是[2,8)． 答案：[2,8)21．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋ax ，x ≥0bx 2－3x ，x <0为奇函数,则不等式f (x )<4的解集为________．解析：因为f (x )为奇函数,所以f (－x )＝－f (x ),可得a ＝－3,b ＝－1,所以f (x )＝⎩⎨⎧x 2－3x ，x ≥0－x 2－3x ，x <0。

当x ≥0时,由x 2－3x <4解得0≤x <4；当x <0时,由－x 2－3x <4解得x <0,所以不等式f (x )<4的解集为(－∞,4)． 答案：(－∞,4)22．设不等式组⎩⎨⎧x ≥0x ＋2y ≥42x ＋y ≤4所表示的平面区域为D ,则可行域D 的面积为________．解析：如图,画出可行域．易得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43,B (0,2),C (0,4),∴可行域D 的面积为12×2×43＝43。

答案：4 323。

已知函数f(x)＝2xx2＋6。

(1)若f(x)＞k的解集为{x|x＜－3,或x＞－2},求k的值；(2)对任意x＞0,f(x)≤t恒成立,求t的取值范围。