高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案

专题七 不等式

1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21

281002

f x m x n x m n =

-+-+≥≥，

在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦

，上单调递减，则mn 的最大值为（ ）

（A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812

【答案】B 【解析】

2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意，当2m >时，8

22

n m --≥-即212m n +≤

.26,182

m n

mn +≤

≤∴≤Q

.由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81

22

n m --

≤-即218m n +≤

.281

9,22

n m mn +≤

≤∴≤Q .由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以

(182)(1828)816mn n n =-<-⨯⨯=，所以最大值为18.选B..

【考点定位】函数与不等式的综合应用.

【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现.

2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -⎧⎪

+⎨⎪⎩

≤，

≤，≥，则2z x y =+的最大值为（ ）

A ．0

B ．1

C ．

3

2

D ．2

【答案】D

【解析】如图，先画出可行域，由于2z x y =

+，则11

22

y x z =-

+，令0Z =，作直线1

2

y x =-

，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z 取

得最小值2.

考点定位：本题考点为线性规划的基本方法

【名师点睛】本题考查线性规划解题的基本方法，本题属于基础题,要求依据二元一次不等式组准确画出可行域，利用线性目标函数中直线的纵截距的几何意义，令0z =，画出直线

1

2

y

x =-

，在可行域内平移该直线，确定何时z 取得最大值，找出此时相应的最优解，依据线性目标函数求出最值，这是最基础的线性规划问题.

3．【2015高考广东，理6】若变量x ，y 满足约束条件⎪⎩

⎪

⎨⎧≤≤≤≤≥+2031854y x y x 则y x z 23+=的最小值

为（ ） A ．

531 B. 6 C. 5

23 D. 4 【答案】C ．

【考点定位】二元一次不等式的线性规划．

【名师点睛】本题主要考查学生利用二元一次不等式组所表示的平面区域解决线性规划的应用，数形结合思想的应用和运算求解能力，本题关键在于正确作出二元一次不等式组所表示的可行域和准确判断目标函数直线出取得最小值的可行解，属于容易题． 4.【2015高考陕西，理9】设()ln ,0f x x a b =<<，若(p f ab =，(

)2

a b

q f +=，

1

(()())2

r f a f b =

+，则下列关系式中正确的是（ ） A ．q r p =< B ．q r p => C ．p r q =<

D ．p r q => 【答案】C

【解析】ln p f ==，(

)ln

22

a b a b

q f ++==

，11

(()())ln ln 22r f a f b ab =

+==()ln f x x =在()0,+∞

上单调递增，因为2a b +>

，所以()2

a b

f f +>，所以q p r >=，故选C ． 【考点定位】1、基本不等式；2、基本初等函数的单调性．

【名师点晴】本题主要考查的是基本不等式和基本初等函数的单调性，属于容易题．解题时一定要注意检验在使用基本不等式求最值中是否能够取得等号，否则很容易出现错误．本题先判断

2

a b

+

的大小关系，再利用基本初等函数的单调性即可比较大小． 5．【2015高考湖北，理10】设x ∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数. 若存在实数t ，

使得[]1t =，2[]2t =，…，[]n t n = 同时成立．．．．

，则正整数n 的最大值是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 【答案】B

【解析】因为[]x 表示不超过x 的最大整数.由1][=t 得21<≤t ，由2][2

=t 得322<≤t ，由

3][4=t 得544<≤t ，所以522<≤t ，所以522<≤t ，由3][3=t 得433<≤t ，所以5465<≤t ，由5][5=t 得655<≤t ，与5465<≤t 矛盾，故正整数n 的最大值是4.

【考点定位】函数的值域，不等式的性质.

【名师点睛】这类问题一般有两种：[]x 表示不超过x 的最大整数；{}x 表示不小于x 的最大整数. 应注意区别.

6.【2015高考天津，理2】设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y +≥⎧⎪

-+≥⎨⎪+-≤⎩

，则目标函数6z x y

=+的最大值为( )

（A ）3 （B ）4 （C ）18 （D ）40 【答案】C