十年高考数学真题分类汇编及答案(2010—2019)

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十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学 专题07 解三角形 Word版无答案原卷版

十年高考真题分类汇编(2010-2019)  数学 专题07 解三角形  Word版无答案原卷版

十年高考真题分类汇编(2010—2019)数学专题07 解三角形一、选择题1.(2019·全国1·文T11)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知asin A-bsin B=4csin C,cos A=-14,则b c=( ) A.6B.5C.4D.32.(2018·全国2·理T6文T7)在△ABC 中,cos C 2=√55,BC=1,AC=5,则AB=( ) A.4√2B.√30C.√29D.2√53.(2018·全国3·理T 9文T 11)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若△ABC 的面积为a 2+b 2-c 24,则C=( ) A.π2 B.π3C.πD.π4.(2017·山东·理T9)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若△ABC 为锐角三角形,且满足sin B(1+2cos C)=2sin AcosC+cosAsinC,则下列等式成立的是( ) A.a=2b B.b=2a C.A=2B D.B=2A5.(2017·全国1·文T11)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=√2,则C=( ) A.π12B.π6C.π4D.π36.(2016·全国3·理T8)在△ABC 中,B=π4,BC 边上的高等于13BC,则cos A=( ) A.3√1010B.√1010C.-√1010D.-3√10107.(2016·全国3·文T9)在△ABC 中,B=π4,BC 边上的高等于13BC,则sin A=( ) A.3B.√1010C.√55D.3√10108.(2016·全国1·文T4)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知a=√5,c=2,cos A=23,则b= ( ) A.√2B.√3C.2D.39.(2016·天津·理T3)在△ABC 中,若AB=√13,BC=3,∠C=120°,则AC=( ) A.1 B.2 C.3 D.410.(2016·山东·文T8)△ABC 中,角A,B,C 的对边分别是a,b,c.已知b=c,a 2=2b 2(1-sin A),则A=( ) A.3π4B.π3C.π4D.π611.(2015·广东·文T5)设△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若a=2,c=2√3,cos A=√32且b<c,则b=( ) A.3B.2√2C.2D.√312.(2014·全国2·理T 4)钝角三角形ABC 的面积是12,AB=1,BC=√2,则AC=( )A.5B.√5C.2D.113.(2014·四川·文T8)如图,从气球A 上测得正前方的河流的两岸B,C 的俯角分别为75°,30°,此时气球的高是60 m,则河流的宽度BC 等于( )A.240(√3-1) mB.180(√2-1) mC.120(√3-1) mD.30(√3+1) m14.(2013·全国1·文T10)已知锐角△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,23cos 2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b=( ) A.10B.9C.8D.515.(2013·全国2·文T 4)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=π6,C=π4,则△ABC 的面积为( ) A.2√3+2 B.√3+1 C.2√3-2 D.√3-1二、填空题1.(2019·全国2·理T15)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=π3,则△ABC 的面积为___________.2.(2019·全国2·文T15)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知bsinA+acosB=0,则B= .3.(2019·浙江·T14)在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,点D 在线段AC 上.若∠BDC=45°,则 BD= ,cos ∠ABD= .4.(2018·浙江·T13)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.若a=√7,b=2,A=60°,则sin B=___________,c=___________.5.(2018·北京·文T 14)若△ABC 的面积为√3(a 2+c 2-b 2),且∠C 为钝角,则∠B= ________;ca 的取值范围是.6.(2018·全国1·文T16)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知bsinC+csinB=4asin BsinC,b 2+c 2-a 2=8,则△ABC 的面积为 .7.(2017·浙江·T14)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点D 为AB 延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC 的面积 是 ,cos ∠BDC= .8.(2017·全国3·文T15)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b=√6,c=3,则A= . 9.(2017·全国2·文T16)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若2bcos B=acosC+ccosA,则B= . 10.(2016·全国2·理T13文T15)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若cos A=45,cos C=513,a=1,则b=___________.11.(2016·北京·文T13)在△ABC 中,A=2π3,a=√3c,则bc=.12.(2015·全国1·理T16)在平面四边形ABCD 中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则AB 的取值范围是 . 13.(2015·重庆·理T13)在△ABC 中,B=120°,AB=√2,A 的角平分线AD=√3,则AC=___________. 14.(2015·湖北·理T13文T15)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上,行驶600 m 后到达B 处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD= m.15.(2015·福建·理T12)若锐角△ABC 的面积为10√3,且AB=5,AC=8,则BC 等于 .16.(2015·天津·理T13)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知△ABC 的面积为3√15,b-c=2,cos A=-14,则a 的值为.17.(2015·安徽·文T12)在△ABC中,AB=√6,∠A=75°,∠B=45°,则AC= .18.(2015·福建·文T14)若△ABC中,AC=√3,A=45°,C=75°,则BC=___________.,3sin A=2sin B,则19.(2015·重庆·文T13)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,cos C=−14c= .=.20.(2015·北京·理T 12)在△ABC中,a=4,b=5,c=6,则sin2AsinC21.(2014·全国1·理T 16)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sin A-sinB)=(c-b)sin C,则△ABC面积的最大值为.22.(2014·全国1·理T16)如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=100 m,则山高MN=___________m.23.(2011·全国·理T16)在△ABC中,B=60°,AC=√3,则AB+2BC的最大值为___________.24.(2011·全国·文T 15)△ABC中,B=120°,AC=7,AB=5,则△ABC的面积为.25.(2010·全国·理T16)在△ABC中,D为边BC上一点,BD=1DC,∠ADB=120°,AD=2.若△ADC的面积为3-√3,2则∠BAC= .26.(2010·全国·文T16)在△ABC中,D为BC边上一点,BC=3BD,AD=√2,∠ADB=135°.若AC=√2AB,则BD=___________.三、计算题1.(2019·全国1·理T17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sin B-sin C)2=sin2A-sin Bsin C.(1)求A;(2)若√2a+b=2c,求sin C.2.(2019·全国3·T18)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知asin A+C2=bsin A. (1)求B;(2)若△ABC 为锐角三角形,且c=1,求△ABC 面积的取值范围.3.(2019·天津·理T15文T16)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2a,3csin B=4asin C.(1)求cosB 的值; (2)求sin (2B+π6)的值.4.(2019·江苏·T15)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c. (1)若a=3c,b=√2,cos B=23,求c 的值; (2)若sinA a=cosB2b,求sin (B +π2)的值.5.(2018·全国1·理T17)在平面四边形ABCD 中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5. (1)求cos ∠ADB; (2)若DC=2√2 ,求BC.6.(2018·北京·理T15)在△ABC 中,a=7,b=8,cos B=-17. (1)求∠A;(2)求AC 边上的高.7.(2018·天津·理T15文T16)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知bsin A=acos (B -π6). (1)求角B 的大小;(2)设a=2,c=3,求b 和sin(2A-B)的值.8.(2017·天津·理T15)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知a>b,a=5,c=6,sin B=35. (1)求b 和sin A 的值; (2)求sin (2A +π4)的值.9.(2017·天津·文T15)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知asin A=4bsin B,ac=√5(a 2-b 2-c 2).(1)求cosA 的值; (2)求sin(2B-A)的值.10.(2017·全国1·理T 17)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知△ABC 的面积为a 23sinA.(1)求sin BsinC;(2)若6cos BcosC=1,a=3,求△ABC 的周长.11.(2017·全国2·理T17)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知sin(A+C)=8sin 2B 2. (1)求cos B;(2)若a+c=6,△ABC 的面积为2,求b.12.(2017·全国3·理T17)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知sin A+√3cos A=0,a=2√7,b=2. (1)求c;(2)设D 为BC 边上一点,且AD ⊥AC,求△ABD 的面积. 13.(2017·北京·理T15)在△ABC 中,∠A=60°,c=37a. (1)求sin C 的值; (2)若a=7,求△ABC 的面积.14.(2017·山东·文T17)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知b=3,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-6,S △ABC =3,求A 和a. 15.(2016·北京·T5)在△ABC 中,a 2+c 2=b 2+√2ac. (1)求B 的大小;(2)求√2cos A+cosC 的最大值.16.(2016·山东·理T16)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分 别为a,b,c,已知2(tan A+tan B)=tanA cosB +tanBcosA. (1)证明:a+b=2c; (2)求cosC 的最小值.17.(2016·天津·文T15)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知asin 2B=√3bsin A. (1)求B;(2)若cosA=13,求sin C 的值.18.(2016·四川·文T 18)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,且cosA a+cosB b =sinCc .(1)证明:sinAsin B=sin C;(2)若b2+c2-a2=65bc,求tan B.19.(2016·浙江·文T16)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acos B.(1)证明:A=2B;(2)若cos B=23,求cos C的值.20.(2016·全国1·理T17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cos C(acos B+bcos A)=c.(1)求C;(2)若c=√7,△ABC的面积为3√32,求△ABC的周长.21.(2016·浙江·理T16)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2acos B.(1)证明:A=2B;(2)若△ABC的面积S=a 24,求角A的大小.22.(2015·全国2·理T17)△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD面积是△ADC面积的2倍.(1)求sinBsinC;(2)若AD=1,DC=√22,求BD和AC的长.23.(2015·全国1·文T17)已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,sin2B=2sin AsinC.(1)若a=b,求cosB;(2)设B=90°,且a=√2,求△ABC的面积.24.(2015·浙江·理T16)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知A=π4,b2-a2=12c2.(1)求tan C的值;(2)若△ABC的面积为3,求b的值.25.(2015·山东·理T16)设f(x)=sin xcos x-cos2(x+π4).(1)求f(x)的单调区间;(2)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若f(A2)=0,a=1,求△ABC面积的最大值.26.(2015·陕西·理T17)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(a,√3b)与n=(cosA,sinB)平行.(1)求A;(2)若a=√7,b=2,求△ABC的面积.27.(2015·江苏·理T15)在△ABC中,已知AB=2,AC=3,A=60°.(1)求BC 的长; (2)求sin 2C 的值.28.(2015·浙江·文T16)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知tan (π4+A)=2. (1)求sin2Asin2A+cos 2A的值;(2)若B=π4,a=3,求△ABC 的面积.29.(2015·天津·文T16)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知△ABC 的面积为3√15,b-c=2,cos A=-14. (1)求a 和sin C 的值; (2)求cos (2A +π6)的值.30.(2015·全国2·文T17)△ABC 中,D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC,BD=2DC.(1)求sinBsinC; (2)若∠BAC=60°,求∠B.31.(2015·安徽·理T16)在△ABC 中,∠A=3π4,AB=6,AC=3√2,点D 在BC 边上,AD=BD,求AD 的长.32.(2014·全国2·文T17)四边形ABCD 的内角A 与C 互补,AB=1,BC=3,CD=DA=2. (1)求角C 和BD;(2)求四边形ABCD 的面积.33.(2014·浙江·理T18)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知a≠b,c=√3,cos 2A-cos 2B=√3sinAcos A-√3sin Bcos B. (1)求角C 的大小;(2)若sin A=45,求△ABC 的面积.34.(2014·辽宁·理T17)在△ABC 中,内角A,B,C 的对边 分别为a,b,c,且a>c.已知BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2,cos B=13,b=3.求: (1)a 和c 的值; (2)cos(B-C)的值.35.(2014·天津·文T16)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知a-c=√66b,sin B=√6sin C.(1)求cos A 的值; (2)求cos (2A -π6)的值.36.(2014·北京·理T15)如图,在△ABC 中,∠B=π3,AB=8,点D 在BC 边上,且CD=2,cos ∠ADC=17. (1)求sin ∠BAD; (2)求BD,AC 的长.37.(2014·湖南·理T18)如图,在平面四边形ABCD 中,AD=1,CD=2,AC=√7. (1)求cos ∠CAD 的值;(2)若cos ∠BAD=-√714,sin ∠CBA=√216,求BC 的长.38.(2014·湖南·文T19)如图,在平面四边形ABCD 中,DA ⊥AB,DE=1,EC=√7,EA=2,∠ADC=2π3,∠BEC=π3.(1)求sin ∠CED 的值; (2)求BE 的长.39.(2013·全国2·理T17)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知a=bcosC+csinB. (1)求B;(2)若b=2,求△ABC 面积的最大值.40.(2013·全国1·理T17)如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=√3,BC=1,P 为△ABC 内一点,∠BPC=90°. (1)若PB=12,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA.41.(2012·全国·文T 7)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,c=√3asin C-ccosA.(1)求A;(2)若a=2,△ABC的面积为√3,求b,c.42.(2012·全国·理T17)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,acos C+√3 asin C-b-c=0.(1)求A;(2)若a=2,△ABC的面积为√3,求b,c.43.(2010·陕西·理T17)如图,A,B是海面上位于东西方向相距5(3+√3)海里的两个观测点.现位于A点北偏东45°,B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号,位于B点南偏西60°且与B点相距20√3海里的C点的救援船立即前往营救,其航行速度为30海里/时,该救援船到达D点需要多长时间?。

(新课标全国I卷)2010_2019学年高考数学真题分类汇编专题07立体几何(2)文(含解析)

(新课标全国I卷)2010_2019学年高考数学真题分类汇编专题07立体几何(2)文(含解析)

专题7 立体几何(2)立体几何大题:10年10考,每年1题.第1小题多为证明垂直问题,第2小题多为体积计算问题(2014年是求高).1.(2019年)如图,直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.(1)证明:MN∥平面C1DE;(2)求点C到平面C1DE的距离.【解析】(1)连结B1C,ME,∵M,E分别是BB1,BC的中点,∴ME∥B1C,又N为A1D的中点,∴ND=12A1D,由题设知A1B1//DC,∴B1C//A1D,∴ME//ND,∴四边形MNDE是平行四边形,∴MN∥ED,又MN⊄平面C1DE,∴MN∥平面C1DE.(2)过C作C1E的垂线,垂足为H,由已知可得DE⊥BC,DE⊥C1C,∴DE⊥平面C1CE,故DE⊥CH,∴CH⊥平面C1DE,故CH的长即为C到时平面C1DE的距离,由已知可得CE=1,CC1=4,∴C1E,故CH,∴点C 到平面C 1DE . 2.(2018年)如图,在平行四边形ABCM 中,AB =AC =3,∠ACM =90°,以AC 为折痕将△ACM 折起,使点M 到达点D 的位置,且AB ⊥DA . (1)证明:平面ACD ⊥平面ABC ;(2)Q 为线段AD 上一点,P 为线段BC 上一点,且BP =DQ =23DA ,求三棱锥Q ﹣ABP 的体积.【解析】(1)∵在平行四边形ABCM 中,∠ACM =90°,∴AB ⊥AC , 又AB ⊥DA .且AD ∩AC =A , ∴AB ⊥面ADC ,∵AB ⊂面ABC , ∴平面ACD ⊥平面ABC ;(2)∵AB =AC =3,∠ACM =90°,∴AD =AM =∴BP =DQ =23DA = 由(1)得DC ⊥AB ,又DC ⊥CA ,∴DC ⊥面ABC ,∴三棱锥Q ﹣ABP 的体积V =11DC 33S ∆ABP ⨯ =C 121DC 333S ∆AB ⨯⨯=12113333323⨯⨯⨯⨯⨯⨯=1. 3.(2017年)如图,在四棱锥P ﹣ABCD 中,AB ∥CD ,且∠BAP =∠CDP =90°. (1)证明:平面PAB ⊥平面PAD ;(2)若PA =PD =AB =DC ,∠APD =90°,且四棱锥P ﹣ABCD 的体积为83,求该四棱锥的侧面积.【解析】(1)∵在四棱锥P ﹣ABCD 中,∠BAP =∠CDP =90°, ∴AB ⊥PA ,CD ⊥PD , 又AB ∥CD ,∴AB ⊥PD , ∵PA ∩PD =P ,∴AB ⊥平面PAD , ∵AB ⊂平面PAB ,∴平面PAB ⊥平面PAD .(2)设PA =PD =AB =DC =a ,取AD 中点O ,连结PO , ∵PA =PD =AB =DC ,∠APD =90°,平面PAB ⊥平面PAD ,∴PO ⊥底面ABCD ,且AD ,PO =2a , ∵四棱锥P ﹣ABCD 的体积为83, 由AB ⊥平面PAD ,得AB ⊥AD ,∴V P ﹣ABCD =CD 13S AB ⨯⨯PO 四边形=1D 3⨯AB⨯A ⨯PO =132a a ⨯⨯=313a =83, 解得a =2,∴PA =PD =AB =DC =2,AD =BC =PO ,∴PB =PC∴该四棱锥的侧面积:S 侧=S △PAD +S △PAB +S △PDC +S △PBC=1D 2⨯PA⨯P +12⨯PA⨯AB +1D DC 2⨯P ⨯+1C 2⨯B=11112222222222⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯=6+4.(2016年)如图,已知正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形,PA=6,顶点P在平面ABC内的正投影为点D,D在平面PAB内的正投影为点E,连接PE并延长交AB于点G.(1)证明:G是AB的中点;(2)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由),并求四面体PDEF的体积.【解析】(1)∵P﹣ABC为正三棱锥,且D为顶点P在平面ABC内的正投影,∴PD⊥平面ABC,则PD⊥AB,又E为D在平面PAB内的正投影,∴DE⊥面PAB,则DE⊥AB,∵PD∩DE=D,∴AB⊥平面PDE,连接PE并延长交AB于点G,则AB⊥PG,又PA=PB,∴G是AB的中点;(2)在平面PAB内,过点E作PB的平行线交PA于点F,F即为E在平面PAC内的正投影.∵正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形,∴PB⊥PA,PB⊥PC,又EF∥PB,所以EF⊥PA,EF⊥PC,因此EF⊥平面PAC,即点F为E在平面PAC内的正投影.连结CG,因为P在平面ABC内的正投影为D,所以D是正三角形ABC的中心.由(1)知,G 是AB 的中点,所以D 在CG 上,故CD =23CG . 由题设可得PC ⊥平面PAB ,DE ⊥平面PAB ,所以DE ∥PC ,因此PE =23PG ,DE =13PC .由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且PA =6,可得DE =2,PG =PE = 在等腰直角三角形EFP 中,可得EF =PF =2. 所以四面体PDEF 的体积V =13×DE ×S △PEF =13×2×12×2×2=43.5.(2015年)如图,四边形ABCD 为菱形,G 为AC 与BD 的交点,BE ⊥平面ABCD . (1)证明:平面AEC ⊥平面BED ;(2)若∠ABC =120°,AE ⊥EC ,三棱锥E ﹣ACD【解析】(1)∵四边形ABCD 为菱形, ∴AC ⊥BD , ∵BE ⊥平面ABCD , ∴AC ⊥BE , 则AC ⊥平面BED , ∵AC ⊂平面AEC , ∴平面AEC ⊥平面BED ;(2)设AB =x ,在菱形ABCD 中,由∠ABC =120°,得AG =GC ,GB =GD =2x,∵BE ⊥平面ABCD ,∴BE ⊥BG ,则△EBG 为直角三角形,∴EG =12AC =AG =2x ,则BE x ,∵三棱锥E ﹣ACD 的体积V =11C GD 32⨯A ⨯⨯BE 3x 解得x =2,即AB =2, ∵∠ABC =120°,∴AC 2=AB 2+BC 2﹣2AB •BC cos ABC =4+4﹣2×1222⎛⎫⨯⨯-⎪⎝⎭=12,即AC =在三个直角三角形EBA ,EBD ,EBC 中,斜边AE =EC =ED , ∵AE ⊥EC ,∴△EAC 为等腰三角形, 则AE 2+EC 2=AC 2=12, 即2AE 2=12, ∴AE 2=6,则AE ,∴从而得AE =EC =ED ,∴△EAC 的面积S =11C 22⨯EA⨯E =3, 在等腰三角形EAD 中,过E 作EF ⊥AD 于F ,则AE ,AF =1D 2A =1212⨯=,则EF =∴△EAD 的面积和△ECD 的面积均为S =122⨯故该三棱锥的侧面积为3+6.(2014年)如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,B1C的中点为O,且AO⊥平面BB1C1C.(1)证明:B1C⊥AB;(2)若AC⊥AB1,∠CBB1=60°,BC=1,求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高.【解析】(1)连接BC1,则O为B1C与BC1的交点,∵侧面BB1C1C为菱形,∴BC1⊥B1C,∵AO⊥平面BB1C1C,∴AO⊥B1C,∵AO∩BC1=O,∴B1C⊥平面ABO,∵AB⊂平面ABO,∴B1C⊥AB;(2)作OD⊥BC,垂足为D,连接AD,作OH⊥AD,垂足为H,∵BC⊥AO,BC⊥OD,AO∩OD=O,∴BC⊥平面AOD,∴OH⊥BC,∵OH⊥AD,BC∩AD=D,∴OH⊥平面ABC,∵∠CBB1=60°,∴△CBB1为等边三角形,∵BC=1,∴OD∵AC ⊥AB 1,∴OA =12B 1C =12,由OH •AD =OD •OA ,可得AD ,∴OH =14,∵O 为B 1C 的中点,∴B 1到平面ABC ,∴三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的高7.7.(2013年)如图,三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中,CA =CB ,AB =AA 1,∠BAA 1=60° (1)证明:AB ⊥A 1C ; (2)若AB =CB =2,A 1C =,求三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积.【解析】(1)如图,取AB 的中点O ,连结OC ,OA 1,A 1B . 因为CA =CB ,所以OC ⊥AB .由于AB =AA 1,160∠BAA =,故△AA 1B 为等边三角形, 所以OA 1⊥AB .因为OC ∩OA 1=O ,所以AB ⊥平面OA 1C . 又A 1C ⊂平面OA 1C ,故AB ⊥A 1C ;(2)由题设知△ABC 与△AA 1B 都是边长为2的等边三角形,所以1C O =OA =.又1C A =,则22211C C A =O +OA ,故OA 1⊥OC .因为OC ∩AB =O ,所以OA 1⊥平面ABC ,OA 1为三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的高.又△ABC 的面积C S ∆AB故三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积C 1V 3S ∆AB =⨯OA ==.8.(2012年)如图,三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中,侧棱垂直底面,∠ACB =90°,AC =BC =12AA 1,D 是棱AA 1的中点.(1)证明:平面BDC 1⊥平面BDC(2)平面BDC 1分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.【解析】(1)由题意知BC ⊥CC 1,BC ⊥AC ,CC 1∩AC =C , ∴BC ⊥平面ACC 1A 1,又DC 1⊂平面ACC 1A 1, ∴DC 1⊥BC .由题设知∠A 1DC 1=∠ADC =45°,∴∠CDC 1=90°,即DC 1⊥DC ,又DC ∩BC =C , ∴DC 1⊥平面BDC ,又DC 1⊂平面BDC 1, ∴平面BDC 1⊥平面BDC ;(2)设棱锥B ﹣DACC 1的体积为V 1,AC =1,由题意得V 1=1121132+⨯⨯⨯=12,又三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积V =1, ∴(V ﹣V 1):V 1=1:1,∴平面BDC1分此棱柱两部分体积的比为1:1.9.(2011年)如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为平行四边形.∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.(1)证明:PA⊥BD;(2)设PD=AD=1,求棱锥D﹣PBC的高.【解析】(1)因为∠DAB=60°,AB=2AD,由余弦定理得BD D,从而BD2+AD2=AB2,故BD⊥AD,又PD⊥底面ABCD,可得BD⊥PD,所以BD⊥平面PAD.故PA⊥BD.(2)解:作DE⊥PB于E,已知PD⊥底面ABCD,则PD⊥BC,由(1)知,BD⊥AD,又BC∥AD,∴BC⊥BD.故BC⊥平面PBD,BC⊥DE,则DE⊥平面PBC.由题设知PD=1,则BD,PB=2.根据DE•PB=PD•BD,得DE即棱锥D﹣PBC10.(2010年)如图,已知四棱锥P﹣ABCD的底面为等腰梯形,AB∥CD,AC⊥BD,垂足为H,PH是四棱锥的高.(1)证明:平面PAC⊥平面PBD;(2)若AB,∠APB=∠ADB=60°,求四棱锥P﹣ABCD的体积.。

2010-2019十年高考数学(文)真题专题5平面向量第13讲平面向量的概念与运算分类汇编

2010-2019十年高考数学(文)真题专题5平面向量第13讲平面向量的概念与运算分类汇编

专题五平面向量第十三讲平面向量的概念与运算一、选择题1.(2018全国卷Ⅰ)在ABC 中,AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点,则EBA .3144AB AC B .1344AB AC C .3144ABACD .1344ABAC2.(2018全国卷Ⅱ)已知向量a ,b 满足||1a ,1a b,则(2)a ab A .4B .3C .2D .03.(2018天津)在如图的平面图形中,已知1OM ,2ON ,120MON ,2BM MA ,2CN NA ,则·BC OM 的值为A .15B .9C .6D .04.(2017新课标Ⅱ)设非零向量a ,b 满足||||ab ab 则A .a b B .||||a b C .∥a bD .||||a b 5.(2017北京)设m , n 为非零向量,则“存在负数,使得m n ”是“0m n ”的A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件6.(2016年天津)已知△ABC 是边长为1的等边三角形,点E D,分别是边BC AB ,的中点,连接DE 并延长到点F,使得EF DE 2,则AF BC的值为A .85B .81C .41D .811NMOCBA7.(2016全国III 卷)已知向量,则A .30°B .45°C .60°D .120°8.(2015重庆)已知非零向量,a b 满足||=4||b a ,且(+)2aa b ,则a 与b 的夹角为A .3B .2C .23D .569.(2015陕西)对任意向量,a b ,下列关系式中不恒成立的是A .||||||≤a b a bB .||||||||≤ab a b C .22()||ab a b D .22()()a b ab ab10.(2015新课标2)向量(1,1)a,(1,2)b ,则(2)a b aA .B .C .D .11.(2014新课标1)设FE D ,,分别为ABC 的三边AB CA BC ,,的中点,则FCEB A .ADB .AD21C .BC21D .BC12.(2014新课标2)设向量a ,b 满足|+|=10a b ,||=6ab ,则a bA .1B .2C .3D .513.(2014山东) 已知向量(1,3),(3,)m ab . 若向量,a b 的夹角为6,则实数mA .23B .3C .0D .314.(2014安徽)设,a b 为非零向量,2ba ,两组向量1234,,,x x x x 和1234,,,y y y y 均由2个a 和2个b 排列而成,若11223344x y x y x y x y 所有可能取值中的最小值为24a ,则a 与b 的夹角为A .23B .3C .6D .015.(2014福建)在下列向量组中,可以把向量3,2a表示出来的是A .12(0,0),(1,2)e e B .12(1,2),(5,2)e e 13(,)22BAuu v31(,),22BCuu u v ABC112C .12(3,5),(6,10)e e D .12(2,3),(2,3)e e 16.(2014浙江)设为两个非零向量a ,b 的夹角,已知对任意实数t ,||t b a 是最小值为1 A .若确定,则||a 唯一确定B .若确定,则||b 唯一确定C .若||a 确定,则唯一确定D .若||b 确定,则唯一确定17.(2014重庆)已知向量(,3)k a ,(1,4)b ,(2,1)c ,且(23)ab c ,则实数kA .92B .0C .3D .15218.(2013福建)在四边形中,,则该四边形的面积为A .B .C .5D .1019.(2013浙江)设ABC ,0P 是边上一定点,满足014PB AB ,且对于边上任一点,恒有00PB PC P B PC ≥.则A .B .C .D .20.(2013辽宁)已知点(1,3)A ,(4,1)B ,则与向量AB 同方向的单位向量为A .B .C .D .21.(2013湖北)已知点、、、,则向量在方向上的投影为A .B .C .D .22.(2013湖南)已知,a b 是单位向量,0a b =.若向量c 满足1c a b,则c 的最大值为A .B .C .D .23.(2013重庆)在平面上,,,.若,则的取值范围是ABCD )2,4(),2,1(BDAC552AB AB P 090ABC 090BAC ACAB BCAC 3455,-4355,-3455,4355,(1,1)A (1,2)B (2,1)C (3,4)D AB CD 32231523223152212212212AB AB 121OB OB 12AP AB AB 12OPOAA 、B 、C 、D 、24.(2013广东)设a 是已知的平面向量且0a ,关于向量a 的分解,有如下四个命题:①给定向量b ,总存在向量c ,使a b c ;②给定向量b 和c ,总存在实数和,使ab c ;③给定单位向量b 和正数,总存在单位向量c 和实数,使ab c ;④给定正数和,总存在单位向量b 和单位向量c ,使abc ;上述命题中的向量b ,c 和a 在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是A .1B .2C .3D .425.(2012陕西)设向量a =(1,)与b =(1,2)垂直,则等于A .B .C .0D .-126.(2012浙江)设a ,b 是两个非零向量A .若||||||a b a b ,则abB .若a b ,则||||||ab a b C .若||||||a b a b ,则存在实数,使得b aD .若存在实数,使得b a ,则||||||a b a b 27.(2011广东)已知向量a =(1,2),b =(1,0),c =(3,4).若为实数,()∥a b c ,则=A .14B .12C .1D .228.(2011辽宁)已知向量(2,1)a ,(1,)k b,(2)0a a b ,则kA .12B .6C .6D .1229.(2010辽宁)平面上O ,A ,B 三点不共线,设OA=a ,OB b ,则△OAB 的面积等于A .222|||()|a b a b B .222|||()|a b a b 50,257,225,227,22cos cos cos22212C .2221|||()2|a b a b D .2221|||()2|a b a b 30.(2010山东)定义平面向量之间的一种运算“”如下:对任意的(,)m n a ,(,)p q b ,令mq np ab ,下面说法错误的是A .若a 与b 共线,则0a b B .a b b aC .对任意的R ,有()()a ba b D .2222()()||||a b a b a b 二、填空题31.(2018全国卷Ⅲ)已知向量(1,2)a,(2,2)b ,(1,)c.若2c a b ,则_.32.(2018北京)设向量(1,0)a,(1,)m b ,若()m aa b ,则m =_______.33.(2017新课标Ⅰ)已知向量(1,2)a ,(,1)m b .若向量a b 与a 垂直,则m =__.34.(2017新课标Ⅲ)已知向量(2,3)a,(3,)m b,且ab ,则m =.35.(2017天津)在△ABC 中,60A ,AB=3,AC=2.若2B DD C ,AEACAB(R ),且4AD AE,则的值为.36.(2017山东)已知向量(2,6)a ,(1,)b ,若a ∥b ,则.37.(2017江苏)如图,在同一个平面内,向量OA ,OB ,OC 的模分别为1,1,2,OA与OC 的夹角为,且tan 7,OB 与OC 的夹角为45。

2010-2019高考数学真题分类汇编第36讲二项分布及其应用、正态分布

2010-2019高考数学真题分类汇编第36讲二项分布及其应用、正态分布

专题十一 概率与统计第三十六讲二项分布及其应用、正态分布一、选择题1.(2015湖北)设211(,)XN μσ,222(,)Y N μσ,这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是A .21()()P Y P Y μμ≥≥≥B .21()()P X P X σσ≤≤≤C .对任意正数t ,()()P X t P Y t ≤≥≤D .对任意正数t ,()()P X t P Y t ≥≥≥2.(2015山东)已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布2(0,3)N ,从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为(附:若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ,则()68.26%P μσξμσ-<<+=,(22)95.44%P μσξμσ-<<+=)A .4.56%B .13.59%C .27.18%D .31.74%3.(2014新课标2)某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是A .0.8B .0.75C .0.6D .0.45 4.(2011湖北)已知随机变量ξ服从正态分布()2,2σN ,且()8.04=<ξP ,则()=<<20ξPA .6.0B .4.0C .3.0D .2.0二、填空题5.(2017新课标Ⅱ)一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,表示抽到的二等品件数,则DX = .6.(2016四川)同时抛掷两枚质地均匀的硬币,当至少有一枚硬币正面向上时,就说这次试验成功,则在2次试验中成功次数X 的均值是 .7.(2015广东)已知随机变量X 服从二项分布(),n p B ,若()30E X =,()20D X =,则p = .8.(2012新课标)某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则部件正常工作。

十年(2010-2019年)高考数学真题分类汇编:专题17 复数 (含答案解析)

十年(2010-2019年)高考数学真题分类汇编:专题17 复数 (含答案解析)

十年(2010-2019年)高考数学真题分类汇编专题17复数1.(2019·全国1·文T1)设z=3-i1+2i ,则|z|= ( ) A.2 B.√3 C.√2 D.1【答案】C 【解析】∵z=3-i1+2i , ∴z=(3-i )(1-2i )(1+2i )(1-2i )=15−75i,∴|z|=√(15)2+(-75)2=√2.故选C.2.(2019·全国3·理T2文T2)若z(1+i)=2i,则z=( ) A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i【答案】D 【解析】z=2i 1+i=2i (1-i )(1+i )(1-i )=2+2i2=1+i.故选D.3.(2019·北京·理T1文T2)已知复数z=2+i,则z ·z =( ) A.√3 B.√5 C.3 D.5【答案】D【解析】∵z=2+i,∴z =2-i. ∴z ·z =(2+i)(2-i)=5. 故选D.4.(2019·全国2·文T2)设z=i(2+i),则z =( ) A.1+2i B.-1+2i C.1-2i D.-1-2i【答案】D【解析】z=2i+i 2=-1+2i,则z =-1-2i.故选D.5.(2019·全国1·理T2)设复数z 满足|z-i|=1,z 在复平面内对应的点为(x,y),则( ) A.(x+1)2+y2=1 B.(x-1)2+y2=1C.x2+(y-1)2=1D.x2+(y+1)2=1 【答案】C【解析】设z=x+yi(x,y ∈R). 因为z-i=x+(y-1)i, 所以|z-i|=√x 2+(y -1)2=1, 则x2+(y-1)2=1.故选C.6.(2019·全国2·理T2)设z=-3+2i,则在复平面内 对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】由z=-3+2i,得z =-3-2i,则在复平面内z 对应的点(-3,-2)位于第三象限,故选C. 7.(2018·全国1·理T1文T2)设z=1-i1+i +2i,则|z|=( ) A.0 B.12C.1D.√2【答案】C 【解析】因为z=(1-i )2(1+i )(1-i )+2i=-2i2+2i=i,所以|z|=1.8.(2018·全国2·理T1)1+2i1-2i =( ) A.-45−35i B.-45+35iC.-35−45i D.-35+45i【答案】D 【解析】1+2i 1-2i=(1+2i )(1+2i )(1-2i )(1+2i )=1-4+4i 5=-35+45i. 9.(2018·全国2·文T1)i(2+3i)=( ) A.3-2i B.3+2iC.-3-2iD.-3+2i【答案】D【解析】i(2+3i)=2i+3i2=-3+2i.10.(2018·全国3·理T2文T2)(1+i)(2-i)=( )A.-3-iB.-3+iC.3-iD.3+i【答案】D【解析】(1+i)(2-i)=2+i-i2=3+i.11.(2018·北京·理T2文T2)在复平面内,复数11-i的共轭复数对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】∵11-i =1+i(1-i)(1+i)=1+i2=12+12i,∴12+12i的共轭复数为12−12i,而12−12i对应的点的坐标为(12,-12),点(12,-12)位于第四象限,故选D.12.(2018·浙江·4)复数21-i(i为虚数单位)的共轭复数是( ) A.1+i B.1-iC.-1+iD.-1-i【答案】B【解析】∵21-i =2(1+i)(1-i)(1+i)=2(1+i)2=1+i,∴复数21-i的共轭复数为1-i.13.(2017·全国1·理T3)设有下面四个命题p1:若复数z满足1z∈R,则z∈R;p2:若复数z满足z2∈R,则z∈R;p3:若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1=z2;p4:若复数z∈R,则z∈R.其中的真命题为( )A.p1,p3B.p1,p4C.p2,p3D.p2,p4 【答案】B【解析】p1:设z=a+bi(a,b∈R),则1z =1a+bi=a-bia2+b2∈R,所以b=0,所以z∈R.故p1正确;p2:因为i2=-1∈R,而z=i∉R,故p2不正确;p3:若z1=1,z2=2,则z1z2=2,满足z1z2∈R,而它们实部不相等,不是共轭复数,故p3不正确;p4:实数的虚部为0,它的共轭复数是它本身,也属于实数,故p4正确.14.(2017·全国2·理T1)3+i1+i=( )A.1+2iB.1-2iC.2+iD.2-i【答案】D【解析】3+i1+i =(3+i)(1-i)(1+i)(1-i)=4-2i2=2-i,故选D.15.(2017·全国2·文T2)(1+i)(2+i)= ( )A.1-iB.1+3iC.3+iD.3+3i【答案】B【解析】(1+i)(2+i)=2+3i+i2=1+3i,故选B.16.(2017·山东·文T2)已知i是虚数单位,若复数z满足zi=1+i,则z2=( )A.-2iB.2iC.-2D.2【答案】A【解析】(方法一)∵z=1+ii =1+1i=1-i,∴z2=(1-i)2=1-2i+i2=-2i.(方法二)由zi=1+i,得(zi)2=(1+i)2,即-z2=2i.所以z2=-2i.17.(2017·全国3·理T2)设复数z满足(1+i)z=2i,则|z|=( )A.12B.√22C.√2D.2【答案】C【解析】由题意,得z=2i=1+i,故|z|=√12+12=√2.18.(2017·全国1·文T3)下列各式的运算结果为纯虚数的是( )A.i(1+i)2B.i2(1-i)C.(1+i)2D.i(1+i)【答案】C【解析】∵i(1+i)2=2i2=-2,i2(1-i)=-1+i,(1+i)2=2i,i(1+i)=-1+i,∴(1+i)2=2i为纯虚数,故选C.19.(2017·山东·理T2)已知a∈R,i是虚数单位.若z=a+√3i,z·z=4,则a=()A.1或-1B.√7或-√7C.-√3D.√3 【答案】A【解析】由z=a+√3i,得z ·z =|z|2=a 2+3=4,所以a 2=1,a=±1,选A. 20.(2017·全国3·文T2)复平面内表示复数z=i(-2+i)的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】由题意可得z=-1-2i,在复平面内对应点(-1,-2),则该点位于第三象限.故选C.21.(2017·北京·理T2)若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a 的取值范围是( ) A.(-∞,1)B.(-∞,-1)C.(1,+∞)D.(-1,+∞) 【答案】B【解析】设z=(1-i)(a+i)=(a+1)+(1-a)i,因为复数z 在复平面内对应的点 (a+1,1-a)在第二象限,所以{a +1<0,1-a >0,解得a<-1.故选B.22.(2016·全国2·理T1)已知z=(m+3)+(m-1)i 在复平面内对应的点在第四象限,则实数m 的取值范围是( ) A.(-3,1)B.(-1,3)C.(1,+∞)D.(-∞,-3) 【答案】A【解析】要使复数z 在复平面内对应的点在第四象限,应满足{m +3>0,m -1<0,解得-3<m<1,故选A.23.(2016·全国3·理T2)若z=1+2i,则zz -1=( ) A.1 B.-1C.iD.-I【答案】C【解析】由题意知z=1-2i,则zz-1=4i(1+2i)(1-2i)-1=4i5-1=i,故选C.24.(2016·北京·文T2)复数1+2i2-i=() A.i B.1+iC.-iD.1-I【答案】A【解析】1+2i2-i =(1+2i)(2+i)(2-i)(2+i)=2+i+4i-25=i,故选A.25.(2016·全国1·理T2)设(1+i)x=1+yi,其中x,y是实数,则|x+yi|=( )A.1B.√2C.√3D.2【答案】B【解析】(定义、性质)因为(1+i)x=1+yi,x,y∈R,所以x=1,y=x=1.所以|x+yi|=|1+i|=√2,故选B.26.(2016·全国1·文T2)设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,其中a为实数,则a=( )A.-3B.-2C.2D.3【答案】A【解析】由已知(1+2i)(a+i)=a-2+(2a+1)i.∵(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,∴a-2=2a+1,解得a=-3,故选A.27.(2016·全国2·文T2)设复数z满足z+i=3-i,则z=( )A.-1+2iB.1-2iC.3+2iD.3-2i【答案】C【解析】由z+i=3-i,得z=3-2i,所以z=3+2i,故选C.28.(2016·全国3·文T2)若z=4+3i,则z|z|= ()A.1B.-1C.45+35i D.45−35i【答案】D【解析】因为z=4+3i,所以它的模为|z|=|4+3i|=√42+32=5,共轭复数为z =4-3i.故z |z |=4−3i,选D.29.(2016·山东·理T1)若复数z 满足2z+z =3-2i,其中i 为虚数单位,则z=( ) A.1+2i B.1-2i C.-1+2i D.-1-2i【答案】B【解析】设z=a+bi(a,b ∈R),则2z+z =3a+bi=3-2i,故a=1,b=-2,则z=1-2i,选B. 30.(2015·全国2·理T2)若a 为实数,且(2+ai)·(a-2i)=-4i,则a=( ) A.-1 B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】∵(2+ai)(a-2i)=4a+(a 2-4)i=-4i, ∴{4a =0,a 2-4=-4,解之,得a=0. 31.(2015·全国·文T3)已知复数z 满足(z-1)i=1+i,则z=( ) A.-2-i B.-2+i C.2-i D.2+i【答案】C【解析】∵(z-1)i=1+i, ∴z=1+ii +1=(1+i )(-i )-i 2+1=1-i+1=2-i.32.(2015·全国2·文T2)若a 为实数,且2+ai1+i=3+i,则a=( )A.-4B.-3C.3D.4【答案】D【解析】由题意,得2+ai=(3+i)(1+i)=2+4i,则a=4.33.(2015·安徽·文T1)设i 是虚数单位,则复数(1-i)(1+2i)=( ) A.3+3i B.-1+3i C.3+i D.-1+i【答案】C【解析】由复数的乘法运算法则,得(1-i)(1+2i)=1-i+2i-2i2=1+i+2=3+i,因此选C. 34.(2015·湖南·文T1)已知(1-i )2z=1+i(i 为虚数单位),则复数z=( )A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i【答案】D【解析】由已知得z=(1-i )21+i=-2i 1+i =-2i (1-i )(1+i )(1-i )=-2-2i2=-1-i. 35.(2015·全国1·理T1)设复数z 满足1+z1-z =i,则|z|=( ) A.1 B.√2 C.√3 D.2【答案】A 【解析】∵1+z =i,∴z=i -1=(i -1)(-i+1)(i+1)(-i+1)=i,∴|z|=1.36.(2015·湖北·理T1)i 为虚数单位,i 607的共轭复数....为( ) A.i B.-i C.1 D.-1【答案】A【解析】∵i607=i151×4+3=i3=-i,∴i607的共轭复数为i.37.(2015·安徽·理T1)设i 是虚数单位,则复数2i1-i 在复平面内所对应的点位于( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 【答案】B【解析】由复数除法的运算法则可得,2i1-i =2i (1+i )(1-i )(1+i )=2i -22=-1+i,对应点为(-1,1)在第二象限.故选B. 38.(2014·全国2·理T2)设复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1=2+i,则z1z2=( ) A.-5 B.5 C.-4+i D.-4-i【答案】A【解析】由题意知:z2=-2+i.又z1=2+i,所以z1z2=(2+i)(-2+i)=i2-4=-5.故选A.39.(2014·重庆·理T1)复平面内表示复数i(1-2i)的点位于( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 【答案】A【解析】因为i(1-2i)=i+2,其在复平面内对应的点为(2,1),位于第一象限.故选A. 40.(2014·全国1·理T2)(1+i )3(1-i )2=()A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-I【答案】D 【解析】(1+i )3(1-i )2=(1+i )2(1+i )(1-i )2=2i (1+i )-2i=-1-i.故选D.41.(2014·全国2·文T2)1+3i1-i =( ) A.1+2i B.-1+2i C.1-2i D.-1-2i【答案】B 【解析】1+3i1-i=(1+3i )(1+i )(1-i )(1+i )=-2+4i2=-1+2i,故选B.42.(2014·全国1·文T3)设z=11+i +i,则|z|=( ) A.12B.√22C.√32D.2【答案】B 【解析】因为z=11+i +i=1-i (1+i )(1-i )+i=1-i 2+i=12+12i,所以|z|=|12+12i|=√(12)2+(12)2=√22,故选B.43.(2013·全国1·理T2)若复数z 满足(3-4i)z=|4+3i|,则z 的虚部为( ) A.-4 B.-45C.4D.45【答案】D【解析】∵(3-4i)z=|4+3i|, ∴z=53-4i =5(3+4i )(3-4i )(3+4i )=35+45i. 故z 的虚部为45,选D.44.(2013·全国2·文T2)|21+i |=( )A.2√2B.2C.√2D.1【答案】C 【解析】∵21+i =1-i,∴|21+i|=|1-i|=√2. 45.(2013·全国2·理T2)设复数z 满足(1-i)z=2i,则z=( ) A.-1+i B.-1-i C.1+i D.1-i【答案】A【解析】z=2i 1-i =2i (1+i )(1-i )(1+i )=-2+2i2=-1+i. 46.(2013·全国1·文T2)1+2i(1-i )2=()A.-1-12i B.-1+12i C.1+12i D.1-12i【答案】B 【解析】1+2i (1-i )2=1+2i-2i =(1+2i )i 2=-2+i 2=-1+12i.47.(2012·全国·理T3)下面是关于复数z=2-1+i 的四个命题: p1:|z|=2, p2:z2=2i, p3:z 的共轭复数为1+i, p4:z 的虚部为-1, 其中的真命题为( ) A.p2,p3 B.p1,p2C.p2,p4 D.p3,p4【答案】C 【解析】z=2(-1-i )(-1+i )(-1-i )=-1-i,故|z|=√2,p 1错误;z 2=(-1-i)2=(1+i)2=2i,p 2正确;z 的共轭复数为-1+i,p 3错误;p 4正确.48.(2012·全国·文T2)复数z=-3+i2+i的共轭复数是( )A.2+iB.2-iC.-1+iD.-1-i【答案】D【解析】z=-3+i 2+i =(-3+i )(2-i )(2+i )(2-i )=-5+5i5=-1+i,故z 的共轭复数为-1-i.49.(2011·全国·文T2)复数5i1-2i =( )A.2-iB.1-2iC.-2+iD.-1+2i【答案】C【解析】5i 1-2i =5i (1+2i )(1-2i )(1+2i )=-10+5i5=-2+i.50.(2010·全国·理T2)已知复数z=√3+i(1-√3i )2,z 是z 的共轭复数,则z ·z =() A.1 B.1C.1D.2【答案】A【解析】∵z=√3+i (1-√3i )2=√3+i1-2√3i+3i 2 =√3+i -2-23i =√3+i √3i (-2-23i )(-2+23i )=-√34+i 4, ∴z =-√34−i 4.∴z ·z =(-√34-i 4)(-√34+i 4)=316+116=14.51.(2010·全国·文T3)已知复数z=√3+i(1-√3i )2,则|z|等于( ) A.14 B.12 C.1 D.2【答案】B【解析】z=√3+i 1+3i 2-23i =-√3+i 2+2√3i =-12×2√3-2i 4=i -√34,|z|=14×2=12.52.(2018·天津·理T9文T9)i 是虚数单位,复数6+7i1+2i = .【答案】4-i【解析】6+7i 1+2i =(6+7i )(1-2i )(1+2i )(1-2i )=6-12i+7i+145=20-5i5=4-i.53.(2019·天津·理T9文T9)i 是虚数单位,则|5-i 1+i |的值为___________.【答案】√13【解析】5-i 1+i =(5-i )(1-i )2=4-6i2=2-3i.|5-i 1+i |=√4+9=√13.54.(2019·江苏·T 2)已知复数(a+2i)(1+i)的实部为0,其中i 为虚数单位,则实数a 的值是____ .【答案】2【解析】∵(a+2i)(1+i)=a+ai+2i+2i2=a-2+(a+2)i,∴a-2=0,∴a=2.55.(2018·上海·5)已知复数z 满足(1+i)z=1-7i(i 是虚数单位),则|z|= .【答案】5【解析】因为(1+i)z=1-7i,所以|1+i||z|=|1-7i|,即√2|z|=5√2,解得|z|=5.56.(2017·浙江·12)已知a,b ∈R,(a+bi)2=3+4i(i 是虚数单位),则a2+b2=_____,ab=________.【答案】5 2【解析】由题意可得a2-b2+2abi=3+4i,则{a 2-b 2=3,ab =2,解得{a 2=4,b 2=1,则a 2+b 2=5,ab=2. 57.(2017·江苏·T 2)已知复数z=(1+i)(1+2i),其中i 是虚数单位,则z 的模是 .【答案】√10【解析】由已知得z=(1+i)(1+2i)=-1+3i,故|z|=√(-1)2+32=√10,答案为√10.58.(2017·天津·理T9文T9)已知a ∈R,i 为虚数单位,若a -i 为实数,则a 的值为 .【答案】-2【解析】∵a -i 2+i =(a -i )(2-i )(2+i )(2-i )=2a -15−a+25i 为实数,∴-a+25=0,即a=-2. 59.(2016·江苏·T 2)复数z=(1+2i)(3-i),其中i 为虚数单位,则z 的实部是 .【答案】5【解析】因为z=(1+2i)(3-i)=5+5i,所以z 的实部是5.60.(2016·天津·理T9)已知a,b ∈R,i 是虚数单位,若(1+i)(1-bi)=a,则ab 的值为 .【答案】2【解析】(1+i)(1-bi)=1+b+(1-b)i=a,则{1+b =a ,1-b =0,所以{a =2,b =1,即a b =2.故答案为2. 61.(2016·北京·理T9)设a ∈R,若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上,则a= .【答案】-1【解析】∵(1+i)(a+i)=a-1+(a+1)i∈R,∴a+1=0,即a=-1.62.(2015·天津·理T9)i是虚数单位,若复数(1-2i)(a+i)是纯虚数,则实数a的值为. 【答案】-2【解析】(1-2i)(a+i)=a+2+(1-2a)i.∵(1-2i)(a+i)是纯虚数,∴a+2=0,且1-2a≠0,∴a=-2.63.(2015·江苏·T 3)设复数z满足z2=3+4i(i是虚数单位),则z的模为.【答案】√5【解析】因为z2=3+4i,所以|z2|=√32+42=5,所以|z|=√5.64.(2015·重庆·理T11)设复数a+bi(a,b∈R)的模为√3 ,则(a+bi)(a-bi)= .【答案】3【解析】因为复数a+bi的模为√3,所以2+b2=√3,即a2+b2=3.于是(a+bi)(a-bi)=a2-(bi)2=a2+b2=3.。

专题05 三角函数与解三角形-高考数学(理)十年真题(2010-2019)分类汇编(解析版)

专题05 三角函数与解三角形-高考数学(理)十年真题(2010-2019)分类汇编(解析版)

专题05三角函数与解三角形历年考题细目表题型年份考点试题位置单选题2019 三角函数2019年新课标1理科11 单选题2017 三角函数2017年新课标1理科09 单选题2016 三角函数2016年新课标1理科12 单选题2015 三角函数2015年新课标1理科02 单选题2015 三角函数2015年新课标1理科08 单选题2014 三角函数2014年新课标1理科08 单选题2012 三角函数2012年新课标1理科09 单选题2011 三角函数2011年新课标1理科05 单选题2011 三角函数2011年新课标1理科11 单选题2010 三角函数2010年新课标1理科09 填空题2018 三角函数2018年新课标1理科16 填空题2015 解三角形2015年新课标1理科16 填空题2014 解三角形2014年新课标1理科16 填空题2013 三角函数2013年新课标1理科15 填空题2011 解三角形2011年新课标1理科16 填空题2010 解三角形2010年新课标1理科16 解答题2019 解三角形2019年新课标1理科17 解答题2018 解三角形2018年新课标1理科17 解答题2017 解三角形2017年新课标1理科17 解答题2016 解三角形2016年新课标1理科17 解答题2013 解三角形2013年新课标1理科17 解答题2012 解三角形2012年新课标1理科17历年高考真题汇编1.【2019年新课标1理科11】关于函数f(x)=sin|x|+|sin x|有下述四个结论:①f(x)是偶函数②f(x)在区间(,π)单调递增③f(x)在[﹣π,π]有4个零点④f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是()A.①②④B.②④C.①④D.①③【解答】解:f(﹣x)=sin|﹣x|+|sin(﹣x)|=sin|x|+|sin x|=f(x)则函数f(x)是偶函数,故①正确,当x∈(,π)时,sin|x|=sin x,|sin x|=sin x,则f(x)=sin x+sin x=2sin x为减函数,故②错误,当0≤x≤π时,f(x)=sin|x|+|sin x|=sin x+sin x=2sin x,由f(x)=0得2sin x=0得x=0或x=π,由f(x)是偶函数,得在[﹣π,)上还有一个零点x=﹣π,即函数f(x)在[﹣π,π]有3个零点,故③错误,当sin|x|=1,|sin x|=1时,f(x)取得最大值2,故④正确,故正确是①④,故选:C.2.【2017年新课标1理科09】已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin(2x),则下面结论正确的是()A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2【解答】解:把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,得到函数y=cos2x图象,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到函数y=cos2(x)=cos(2x)=sin(2x)的图象,即曲线C2,故选:D.3.【2016年新课标1理科12】已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|),x为f(x)的零点,x为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在(,)上单调,则ω的最大值为()A.11 B.9 C.7 D.5【解答】解:∵x为f(x)的零点,x为y=f(x)图象的对称轴,∴,即,(n∈N)即ω=2n+1,(n∈N)即ω为正奇数,∵f(x)在(,)上单调,则,即T,解得:ω≤12,当ω=11时,φ=kπ,k∈Z,∵|φ|,∴φ,此时f(x)在(,)不单调,不满足题意;当ω=9时,φ=kπ,k∈Z,∵|φ|,∴φ,此时f(x)在(,)单调,满足题意;故ω的最大值为9,故选:B.4.【2015年新课标1理科02】sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=()A.B.C.D.【解答】解:sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°.故选:D.5.【2015年新课标1理科08】函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为()A.(kπ,kπ),k∈z B.(2kπ,2kπ),k∈zC.(k,k),k∈z D.(,2k),k∈z【解答】解:由函数f(x)=cos(ωx+ϕ)的部分图象,可得函数的周期为2()=2,∴ω=π,f(x)=cos(πx+ϕ).再根据函数的图象以及五点法作图,可得ϕ,k∈z,即ϕ,f(x)=cos(πx).由2kπ≤πx2kπ+π,求得2k x≤2k,故f(x)的单调递减区间为(,2k),k∈z,故选:D.6.【2014年新课标1理科08】设α∈(0,),β∈(0,),且tanα,则()A.3α﹣βB.3α+βC.2α﹣βD.2α+β【解答】解:由tanα,得:,即sinαcosβ=cosαsinβ+cosα,sin(α﹣β)=cosα=sin(),∵α∈(0,),β∈(0,),∴当时,sin(α﹣β)=sin()=cosα成立.故选:C.7.【2012年新课标1理科09】已知ω>0,函数f(x)=sin(ωx)在区间[,π]上单调递减,则实数ω的取值范围是()A.B.C.D.(0,2]【解答】解:法一:令:不合题意排除(D)合题意排除(B)(C)法二:,得:.故选:A.8.【2011年新课标1理科05】已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边在直线y=2x 上,则cos2θ=()A.B.C.D.【解答】解:根据题意可知:tanθ=2,所以cos2θ,则cos2θ=2cos2θ﹣1=21.故选:B.9.【2011年新课标1理科11】设函数f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)的最小正周期为π,且f(﹣x)=f(x),则()A.f(x)在单调递减B.f(x)在(,)单调递减C.f(x)在(0,)单调递增D.f(x)在(,)单调递增【解答】解:由于f(x)=sin(ωx+ϕ)+cos(ωx+ϕ),由于该函数的最小正周期为T,得出ω=2,又根据f(﹣x)=f(x),得φkπ(k∈Z),以及|φ|,得出φ.因此,f(x)cos2x,若x∈,则2x∈(0,π),从而f(x)在单调递减,若x∈(,),则2x∈(,),该区间不为余弦函数的单调区间,故B,C,D都错,A正确.故选:A.10.【2010年新课标1理科09】若,α是第三象限的角,则()A.B.C.2 D.﹣2【解答】解:由,α是第三象限的角,∴可得,则,应选A.11.【2018年新课标1理科16】已知函数f(x)=2sin x+sin2x,则f(x)的最小值是.【解答】解:由题意可得T=2π是f(x)=2sin x+sin2x的一个周期,故只需考虑f(x)=2sin x+sin2x在[0,2π)上的值域,先来求该函数在[0,2π)上的极值点,求导数可得f′(x)=2cos x+2cos2x=2cos x+2(2cos2x﹣1)=2(2cos x﹣1)(cos x+1),令f′(x)=0可解得cos x或cos x=﹣1,可得此时x,π或;∴y=2sin x+sin2x的最小值只能在点x,π或和边界点x=0中取到,计算可得f(),f(π)=0,f(),f(0)=0,∴函数的最小值为,故答案为:.12.【2015年新课标1理科16】在平面四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75°.BC=2,则AB的取值范围是.【解答】解:方法一:如图所示,延长BA,CD交于点E,则在△ADE中,∠DAE=105°,∠ADE=45°,∠E=30°,∴设AD x,AE x,DE x,CD=m,∵BC=2,∴(x+m)sin15°=1,∴x+m,∴0<x<4,而AB x+m x x,∴AB的取值范围是(,).故答案为:(,).方法二:如下图,作出底边BC=2的等腰三角形EBC,B=C=75°,倾斜角为150°的直线在平面内移动,分别交EB、EC于A、D,则四边形ABCD即为满足题意的四边形;当直线移动时,运用极限思想,①直线接近点C时,AB趋近最小,为;②直线接近点E时,AB趋近最大值,为;故答案为:(,).13.【2014年新课标1理科16】已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,a=2且(2+b)(sin A﹣sin B)=(c﹣b)sin C,则△ABC面积的最大值为.【解答】解:因为:(2+b)(sin A﹣sin B)=(c﹣b)sin C⇒(2+b)(a﹣b)=(c﹣b)c⇒2a﹣2b+ab﹣b2=c2﹣bc,又因为:a=2,所以:,△ABC面积,而b2+c2﹣a2=bc⇒b2+c2﹣bc=a2⇒b2+c2﹣bc=4⇒bc≤4所以:,即△ABC面积的最大值为.故答案为:.14.【2013年新课标1理科15】设当x=θ时,函数f(x)=sin x﹣2cos x取得最大值,则cosθ=.【解答】解:f(x)=sin x﹣2cos x(sin x cos x)sin(x﹣α)(其中cosα,sinα),∵x=θ时,函数f(x)取得最大值,∴sin(θ﹣α)=1,即sinθ﹣2cosθ,又sin2θ+cos2θ=1,联立得(2cosθ)2+cos2θ=1,解得cosθ.故答案为:15.【2011年新课标1理科16】在△ABC中,B=60°,AC,则AB+2BC的最大值为.【解答】解:设AB=cAC=bBC=a由余弦定理cos B所以a2+c2﹣ac=b2=3设c+2a=m代入上式得7a2﹣5am+m2﹣3=0△=84﹣3m2≥0 故m≤2当m=2时,此时a,c符合题意因此最大值为2另解:因为B=60°,A+B+C=180°,所以A+C=120°,由正弦定理,有2,所以AB=2sin C,BC=2sin A.所以AB+2BC=2sin C+4sin A=2sin(120°﹣A)+4sin A=2(sin120°cos A﹣cos120°sin A)+4sin Acos A+5sin A=2sin(A+φ),(其中sinφ,cosφ)所以AB+2BC的最大值为2.故答案为:216.【2010年新课标1理科16】在△ABC中,D为边BC上一点,BD DC,∠ADB=120°,AD=2,若△ADC的面积为,则∠BAC=.【解答】解:由△ADC的面积为可得解得,则.AB2=AD2+BD2﹣2AD•BD•cos120°,,则.故∠BAC=60°.17.【2019年新课标1理科17】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sin B﹣sin C)2=sin2A ﹣sin B sin C.(1)求A;(2)若a+b=2c,求sin C.【解答】解:(1)∵△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sin B﹣sin C)2=sin2A﹣sin B sin C.则sin2B+sin2C﹣2sin B sin C=sin2A﹣sin B sin C,∴由正弦定理得:b2+c2﹣a2=bc,∴cos A,∵0<A<π,∴A.(2)∵a+b=2c,A,∴由正弦定理得,∴解得sin(C),∴C,C,∴sin C=sin()=sin cos cos sin.18.【2018年新课标1理科17】在平面四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.(1)求cos∠ADB;(2)若DC=2,求BC.【解答】解:(1)∵∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.∴由正弦定理得:,即,∴sin∠ADB,∵AB<BD,∴∠ADB<∠A,∴cos∠ADB.(2)∵∠ADC=90°,∴cos∠BDC=sin∠ADB,∵DC=2,∴BC5.19.【2017年新课标1理科17】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为.(1)求sin B sin C;(2)若6cos B cos C=1,a=3,求△ABC的周长.【解答】解:(1)由三角形的面积公式可得S△ABC ac sin B,∴3c sin B sin A=2a,由正弦定理可得3sin C sin B sin A=2sin A,∵sin A≠0,∴sin B sin C;(2)∵6cos B cos C=1,∴cos B cos C,∴cos B cos C﹣sin B sin C,∴cos(B+C),∴cos A,∵0<A<π,∴A,∵2R2,∴sin B sin C•,∴bc=8,∵a2=b2+c2﹣2bc cos A,∴b2+c2﹣bc=9,∴(b+c)2=9+3cb=9+24=33,∴b+c∴周长a+b+c=3.20.【2016年新课标1理科17】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cos C(a cos B+b cos A)=c.(Ⅰ)求C;(Ⅱ)若c,△ABC的面积为,求△ABC的周长.【解答】解:(Ⅰ)∵在△ABC中,0<C<π,∴sin C≠0已知等式利用正弦定理化简得:2cos C(sin A cos B+sin B cos A)=sin C,整理得:2cos C sin(A+B)=sin C,即2cos C sin(π﹣(A+B))=sin C2cos C sin C=sin C∴cos C,∴C;(Ⅱ)由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab•,∴(a+b)2﹣3ab=7,∵S ab sin C ab,∴ab=6,∴(a+b)2﹣18=7,∴a+b=5,∴△ABC的周长为5.21.【2013年新课标1理科17】如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°.(1)若PB,求P A;(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA.【解答】解:(I)在Rt△PBC中,,∴∠PBC=60°,∴∠PBA=30°.在△PBA中,由余弦定理得P A2=PB2+AB2﹣2PB•AB cos30°.∴P A.(II)设∠PBA=α,在Rt△PBC中,PB=BC cos(90°﹣α)=sinα.在△PBA中,由正弦定理得,即,化为.∴.22.【2012年新课标1理科17】已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a cos C a sin C﹣b﹣c=0(1)求A;(2)若a=2,△ABC的面积为,求b,c.【解答】解:(1)由正弦定理得:a cos C a sin C﹣b﹣c=0,即sin A cos C sin A sin C=sin B+sin C∴sin A cos C sin A sin C=sin(A+C)+sin C,即sin A﹣cos A=1∴sin(A﹣30°).∴A﹣30°=30°∴A=60°;(2)若a=2,△ABC的面积,∴bc=4.①再利用余弦定理可得:a2=b2+c2﹣2bc•cos A=(b+c)2﹣2bc﹣bc=(b+c)2﹣3×4=4,∴b+c=4.②结合①②求得b=c=2.考题分析与复习建议本专题考查的知识点为:同角三角函数基本关系、诱导公式,三角函数的图象与性质,三角恒等变换,正余弦定理,解三角形的综合应用等.历年考题主要以选择填空或解答题题型出现,重点考查的知识点为:诱导公式,三角函数的图象与性质,三角恒等变换,正余弦定理,解三角形等.预测明年本考点题目会比较稳定,备考方向以同角三角函数基本关系、诱导公式,三角函数的图象与性质,三角恒等变换,正余弦定理,解三角形的综合应用等为重点较佳.最新高考模拟试题1.函数2sin()(0,0)y x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示.则函数()f x 的单调递增区间为( )A .,63k k ππππ轾犏-+犏臌,k z ∈B .,33k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦,k z ∈C .,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦,k z ∈D .,66k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦,k z ∈【答案】C 【解析】根据函数2sin()(0,0)y x ωϕωϕπ=+><<的部分图象, 可得:332113441264T ππππω=⋅=-=, 解得:2ω=, 由于点,26π⎛⎫⎪⎝⎭在函数图象上,可得:2sin 226πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭,可得:2262k ππϕπ⨯+=+,k ∈Z ,解得:26k πϕπ=+,k ∈Z ,由于:0ϕπ<<, 可得:6π=ϕ,即2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,令222262k x k πππππ-≤+≤+,k ∈Z 解得:36k x k ππππ-≤≤+,k ∈Z ,可得:则函数()f x 的单调递增区间为:,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦,k ∈Z .故选C .2.将函数()2sin(2)3f x x π=+的图像先向右平移12π个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到()g x 的图像,若()()129g x g x =且12,[2,2]x x ππ∈-,则122x x -的最大值为( ) A .4912π B .356π C .256π D .174π 【答案】C 【解析】由题意,函数()2sin(2)3f x x π=+的图象向右平移12π个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到()2sin[2()]12sin(2)11236g x x x πππ=-++=++的图象, 若()()129g x g x =且12,[2,2]x x ππ∈-, 则()()123g x g x ==,则22,62x k k Z πππ+=+∈,解得,6x k k Z ππ=+∈,因为12,[2,2]x x ππ∈-,所以121157,{,,,}6666x x ππππ∈--, 当12711,66x x ππ==-时,122x x -取得最大值,最大值为711252()666πππ⨯--=, 故选C.3.将函数222()2cos4x f x ϕ+=(0πϕ-<<)的图像向右平移3π个单位长度,得到函数()g x 的图像,若()(4)g x g x π=-则ϕ的值为( )A .23-π B .3π-C .6π-D .2π-【答案】A 【解析】 因为222()2coscos()14x f x x ϕϕ+==++, 将其图像向右平移3π个单位长度,得到函数()g x 的图像, 所以()cos()13g x x πϕ=-++,又()(4)g x g x π=-,所以()g x 关于2x π=对称, 所以2()3k k Z ππϕπ-+=∈,即(2)()3k k Z πϕπ=+-∈,因为0πϕ-<<,所以易得23πϕ=-.故选A4.已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的图象经过两点2(0,),(,0)24A B π, ()f x 在(0,)4π内有且只有两个最值点,且最大值点大于最小值点,则()f x =( ) A .sin 34x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭B .3sin 54x π⎛⎫+⎪⎝⎭C .sin 74x π⎛⎫+⎪⎝⎭D .3sin 94x π⎛⎫+⎪⎝⎭【答案】D 【解析】根据题意可以画出函数()f x 的图像大致如下因为2(0)sin 2f ϕ==32,()4k k Z πϕπ=+∈ 又因为0ϕπ<<,所以34πϕ=,所以3()sin()4f x x πω=+, 因为3()sin()0444f πππω=+=,由图可知,3244k ππωππ+=+,解得18,k k Z ω=+∈, 又因为24T ππω=<,可得8ω>,所以当1k =时,9ω=, 所以3()sin(9)4f x x π=+, 故答案选D.5.已知函数()cos 3f x x x =-,则下列结论中正确的个数是( ). ①()f x 的图象关于直线3x π=对称;②将()f x 的图象向右平移3π个单位,得到函数()2cos g x x =的图象;③,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 图象的对称中心;④()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增. A .1 B .2C .3D .4【答案】A由题意,函数1()cos 2cos 2cos 23f x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=-=-=+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, ①中,由22cos 133f ππ⎛⎫==-⎪⎝⎭不为最值,则()f x 的图象不关于直线3x π=对称,故①错; ②中,将()f x 的图象向右平移3π个单位,得到函数()2cos g x x =的图象,故②对; ③中,由2cos 023f π⎛⎫-== ⎪⎝⎭,可得,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭不是()f x 图象的对称中心,故③错; ④中,由22,3k Z x k k ππππ-+≤∈≤,解得422,33k x k k Z ππππ-≤-∈≤,即增区间为42k ,2k ,33k Z ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦∈, 由22,3k x k k Z ππππ≤+≤+∈,解得22,233k x k k Z ππππ-≤≤+∈,即减区间为22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦,可得()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,故④错. 故选:A .6.在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边长分别a 、b 、c ,满足()22sin 40a a B B -++=,b =则ABC △的面积为A .BC .D 【答案】C 【解析】把22(sin )40a a B B -++=看成关于a 的二次方程,则2224(sin )164(3cos 4)B B sin B cos B B B =-=++-V24(2cos 3)4(cos 222)cos B B B B B =+-=+- 4[2sin(2)2]06B π=+-…,故若使得方程有解,则只有△0=,此时6B π=,b =代入方程可得,2440a a -+=,由余弦定理可得,2428cos3022c c+-︒=⨯,解可得,c =∴111sin 2222ABC s ac B ∆==⨯⨯=故选:C .7.设锐角三角形ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若2,2a B A ==,则b 的取值范围为( )A .(0,4)B .(2,C .D .4)【答案】C 【解析】由锐角三角形ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若2,2a B A ==,∴ 022A π<<,3A B A +=,32A ππ∴<< 63A ππ∴<<,04A π<<cos 22A <<2,2a B A ==Q ,由正弦定理得12cos 2b b A a ==,即4cos b A =4cos A ∴<<则b 的取值范围为,故选C.8.已知V ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若6sin cos 7sin2C A A =,53a b =,则C =( ). A .3πB .23π C .34π D .56π 【答案】B 【解析】由题意,因为672sinCcosA sin A =,可得:614sinCcosA sinAcosA =, 即(614)0sinC sinA cosA -⋅=,可得∴614sinC sinA =或0cosA =, 又由a b <,则A 为锐角,所以0cosA =不符合舍去, 又由正弦定理可得:37c a =,即:73a c =, 由余弦定理可得22222257133cos 52223a a a a b c C a ab a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭===-⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭, ∵(0,)C π∈,∴23C π=. 故选:B .9.若函数()2sin()f x x ωϕ=+ (01ω<<,02πϕ<<)的图像过点,且关于点(2,0)-对称,则(1)f -=_______. 【答案】1 【解析】函数()()2sin f x x ωϕ=+的图像过点(2sin ϕ∴=sin ϕ=02πϕ<<Q 3πϕ∴=又函数图象关于点()2,0-对称 2sin 203πω⎛⎫∴-+= ⎪⎝⎭,即:23k πωπ-+=,k Z ∈126k πωπ∴=-+,k Z ∈01ω<<Q 6πω∴=()2sin 63f x x ππ⎛⎫∴=+⎪⎝⎭,()12sin 2sin 1636f πππ⎛⎫∴-=-+== ⎪⎝⎭本题正确结果:110.若实数,x y 满足()()()2221122cos 11x y xyx y x y ++--+-=-+.则xy 的最小值为____________【答案】1.4【解析】∵()()()2221122cos 11x y xyx y x y ++--+-=-+,∴10x y -+>, ()()()()2221121111111x y xyx y x y x y x y x y ++---++==-++-+-+-+Q()()11121211x y x y x y x y ∴-++≥-+⋅=-+-+,当且仅当11x y -+=时即=x y 时取等号()22cos 12x y +-≥Q ,当且仅当()1x y k k Z π+-=∈时取等号∴()()()2221122cos 12111x y xyx y x y x y ,即++--=+-=-+=-+且()1x y k k Z π+-=∈,即()12k x y k Z π+==∈, 因此21124k xy π+⎛⎫=≥⎪⎝⎭(当且仅当0k =时取等号), 从而xy 的最小值为1.411.设函数()sin(2)3f x x π=+,若120x x <,且12()()0f x f x +=,则21x x -的取值范围是_______.【答案】(3π,+∞) 【解析】不妨设120x x <<,则2121x x x x -=-,由图可知210()33x x ππ->--=.故答案为:(3π,+∞) 12.已知角α为第一象限角,sin cos a αα-=,则实数a 的取值范围为__________.【答案】(1,2] 【解析】由题得sin 2sin()3a πααα==+,因为22,,2k k k Z ππαπ<<+∈所以52++2,,336k k k Z ππππαπ<<+∈ 所以1sin()1,12sin()2233ππαα<+≤∴<+≤. 故实数a 的取值范围为(1,2]. 故答案为:(1,2]13.已知函数sin 2cos ()()(()0)f x x x ϕϕϕ+=+<<π-的图象关于直线x π=对称,则cos 2ϕ=___. 【答案】35【解析】因为函数sin 2cos ()()(()0)f x x x ϕϕϕ+=+<<π-的图象关于直线x π=对称,322f f ππ⎛⎫⎛⎫∴= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 即cos 2sin cos 2sin ϕϕϕϕ+=--,即cos 2sin ϕϕ=-, 即1tan 2ϕ=-, 则22222211cos sin 1tan 34cos 21cos sin 1tan 514ϕϕϕϕϕϕϕ---====+++, 故答案为35.14.如图,四边形ABCD 中,4AB =,5BC =,3CD =,90ABC ∠=︒,120BCD ∠=°,则AD 的长为______【答案】65123-【解析】连接AC,设ACBθ∠=,则120ACDθ∠=-o,如图:故在Rt ABC∆中,sin4141θθ==,()131343cos120cos22224141241θθθ-=-+=-=oQ,又Q在ACD∆中由余弦定理有()(222413435cos1202341241ADθ+---==⨯⨯o,解得265123AD=-即65123AD=-65123-15.在锐角ABC∆中,角A B C,,的对边分别为a b c,,.且cos cosA Ba b+=23sin C23b=.则a c+的取值范围为_____.【答案】(6,3]【解析】cos cos233A B Ca b a+=Q23cos cos sin3b A a B C∴+=∴由正弦定理可得:23sin cos sin cos sinB A A B B C+=,可得:sin()sin sin A B C B C +==,sin B ∴=, 又ABC ∆为锐角三角形,3B π∴=,∴可得:sin sin 24(sin sin )4sin 4sin sin sin 3b A b C a c A C A A B B π⎛⎫+=+=+=+- ⎪⎝⎭3A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 2,3A A π-Q 均为锐角,可得:,62636A A πππππ<<-<-<,(6,a c ∴+∈.故答案为: (6,.16.在ABC ∆中,已知AB 边上的中线1CM =,且1tan A ,1tan C ,1tan B成等差数列,则AB 的长为________.【解析】因为1tan A ,1tan C ,1tan B 成等差数列, 所以211tan tan tan C A B =+,即2cos cos cos sin()sin sin sin sin sin sin sin sin C A B A B CC A B A B A B+=+==, 所以2sin 2cos sin sin C C A B =,由正弦定理可得2cos 2c C ab=,又由余弦定理可得222cos 2a b c C ab +-=,所以222222a b c c ab ab+-=,故2222a b c +=, 又因为AB 边上的中线1CM =,所以1CM =u u u u v ,因为()12CM CA CB u u u u v u u u v u u u v=+, 所以22222422cos CM CA CB CA CB CA CB CA CB C =++⋅=++u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,即22224232c b a ab c ab=++⋅=,解c =即AB 的长为3.17.在ABC ∆中,A B C ,,的对边分别a b c ,,,60,cos A B ︒==(Ⅰ)若D 是BC 上的点,AD 平分BAC ∠,求DCBD的值; (Ⅱ)若 ccos cos 2B b C +=,求ABC ∆的面积. 【答案】(Ⅰ)4;【解析】(Ⅰ)因为cos 3B =,∴sin 3B =, ()1sin sin sin cos cos sin 2C A B A B A B =+=+==, 由正弦定理得sin sin sin AD BD AD B BAD C ==∠,sin DCCAD∠, 因为AD 平分BAC ∠,所以sin 4sin DC BBD C ===.(Ⅱ)由cos cos 2c B b C +=,即222222cos cos 222a c b a b c c B b C c b a ac ab+-+-+=⋅+⋅==,所以sin sin a b A B =,∴sin sin 3a Bb A ==,故11sin 222ABC S ab C ==⨯=V 18.在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别,,a b c ,()()()()2sin cos sin f x x A x B C x R =-++∈,函数()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称.(1)当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,求()f x 的值域;(2)若7a =且sin sin B C +=ABC ∆的面积.【答案】(1)⎛⎤⎥ ⎝⎦(2)【解析】(1)()()()2sin cos sin f x x A x B C =-++ ()2sin cos sin x A x A =-+=2sin()cos sin(())x A x x x A -+--=2sin()cos sin cos()sin()cos x A x x x A x A x -+--- =sin()cos sin cos()x A x x x A -+-()sin 2x A =-∵函数()f x 的图像关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称, ∴π06f ⎛⎫=⎪⎝⎭∴π3A =∴()πsin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭∵()f x 在区间5π0,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上是增函数,5ππ,122⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数,且()0f =,5π112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,π2f ⎛⎫=⎪⎝⎭∴()f x 的值域为⎛⎤⎥ ⎝⎦(2)∵sin sin B C +=1313sin sin sin 1377B C A b c a ∴+=∴+=⨯= ∴13b c +=由余弦定理,2222cos a b c bc A =+- ∴40bc =∴1sinA 2ABC S bc ==V 19.在ABC ∆中,已知2AB =,cos 10B =,4C π=.(1)求BC 的长; (2)求sin(2)3A π+的值.【答案】(1)5BC =(2【解析】解:(1)因为cos B =,0B π<<,所以sin B ===在ABC ∆中,A B C π++=,所以()A B C π=-+, 于是sin sin(())sin()A B C B C π=-+=+4sin cos cos sin 1021025B C B C =+=⨯+⨯=. 在ABC ∆中,由正弦定理知sin sin BC AB A C=,所以4sin sin 552AB BC A C =⨯==. (2)在ABC ∆中,A B C π++=,所以()A B C π=-+, 于是cos cos(())cos()A B C B C π=-+=-+3(cos cos sin sin )5B C B C =--=-=⎝⎭,于是4324sin 22sin cos 25525A A A ==⨯⨯=, 2222347cos 2cos sin 5525A A A ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因此,sin 2sin 2cos cos 2sin 333A A A πππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ 24173247325225250-⎛⎫=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭. 20.如图,在四边形ABCD 中,60A ∠=︒,90ABC ∠=︒.已知3AD =,6BD =.(Ⅰ)求sin ABD ∠的值;(Ⅱ)若2CD =,且CD BC >,求BC 的长.【答案】(Ⅰ)64(Ⅱ)1BC = 【解析】(Ⅰ)在ABD V 中,由正弦定理,得sin sin AD BD ABD A =∠∠. 因为60,3,6A AD BD ︒∠=== 所以36sin sin sin 6046AD ABD A BD ︒∠=⨯∠== (Ⅱ)由(Ⅰ)可知,6sin ABD ∠=, 因为90ABC ︒∠=,所以()6cos cos 90sin CBD ABD ABD ︒∠=-∠=∠=. 在BCD ∆中,由余弦定理,得2222cos CD BC BD BC BD CBD =+-⋅∠. 因为2,6CD BD ==所以264626BC BC =+-,即2320BC BC -+=,解得1BC =或2BC =.又CD BC >,则1BC =.21.在ABC ∆中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且234cos2sin 22A b b a B =+. (1)求cos A ;(2)若a =5c =,求b .【答案】(1) 3cos 5A =(2) 1b =或5. 【解析】解:(1)由题意知234cos 2sin 22A b b aB =+, 化简得4cos 3sin b A a B =,由正弦定理得4sin cos 3sin sin B A A B =, 因为sin 0B ≠, 所以4tan 3A =,且A 为ABC ∆的内角, 即3cos 5A =. (2)由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-, 所以220256b b =+-,所以2650b b -+=,所以1b =或5.22.已知在△ABC 中,222a c ac b +-=. (Ⅰ)求角B 的大小;(Ⅱ)求cos cos A C +的最大值.【答案】(Ⅰ)3π;(Ⅱ)1. 【解析】 (Ⅰ)由余弦定理得2221cos ==222a cb ac B a c a c +-⋅=⋅⋅ 因为角B 为三角形内角3B π∴∠=(Ⅱ)由(Ⅰ)可得23A C B ππ∠+∠=-∠= 23A C π∴∠=-∠ cos cos A C ∴+=2cos cos 3C C π⎛⎫-+⎪⎝⎭ =22cos cos sin sin cos 33C C C ππ⋅+⋅+=1cos sin cos 2C C C -⋅++1sin cos 2C C +⋅ =cos sin sin cos 66C C ππ⋅+⋅ =sin 6C π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 203C π<<Q 5666C πππ∴<+< 1sin 126C π⎛⎫∴<+≤ ⎪⎝⎭ cos cos A C ∴+的最大值是1。

十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学 专题01 集合

十年高考真题分类汇编(2010-2019)  数学 专题01 集合
2.(2019•全国1•文T2)已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,3,4,5},B={2,3,6,7},则B∩∁UA=()
A.{1,6}B.{1,7}C.{6,7}D.{1,6,7}
【答案】C
【解析】由已知得∁UA={1,6,7},∴B∩∁UA={6,7}.故选C.
3.(2019•全国2•理T1)设集合A={x|x2-5x+6>0},B={x|x-1<0},则A∩B=()
【答案】C
【解析】由题意,得A∩B=(-1,2),故选C.
5.(2019•全国3•T1)已知集合A={-1,0,1,2},B={x|x2≤1},则A∩B=()
A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{-1,1}D.{0,1,2}
【答案】A
【解析】A={-1,0,1,2},B={x|-1≤x≤1},则A∩B={-1,0,1}.故选A.
A.{x|0<x≤1}B.{x|0<x<1}C.{x|1≤x<2}D.{x|0<x<2}
【答案】B
【解析】∁RB={x|x<1},A∩(∁RB)={x|0<x<1}.故选B.
15.(2018•天津•文T1)设集合A={1,2,3,4},B={-1,0,2,3},C={x∈R|-1≤x<2},则(A∪B)∩C=()
13.(2018•北京•T1)已知集合A={x||x|<2},B={-2,0,1,2},则A∩B=()
A.{0,1}B.{-1,0,1}
C.{-2,0,1,2}D.{-1,0,1,2}
【答案】A
【解析】∵A={x|-2<x<2},B={-2,0,1,2},∴A∩B={0,1}.

十年真题(2010-近年)高考数学真题分类汇编专题07数列理(含解析)(最新整理)

十年真题(2010-近年)高考数学真题分类汇编专题07数列理(含解析)(最新整理)

故选:C.
4.【2017 年新课标 1 理科 12】几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为
激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码"的活动.这款软件的激活
码为下面数学问题的答案:已知数列 1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中
第一项是 20,接下来的两项是 20,21,再接下来的三项是 20,21,22,依此类推.求满足如下条件
9a5.
∴a100=a5+95d=98, 故选:C.
6.【2013 年新课标 1 理科 07】设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 Sm﹣1=﹣2,Sm=0,Sm+1=
3,则 m=(

A.3
B.4
C.5
D.6
【解答】解:am=Sm﹣Sm﹣1=2,am+1=Sm+1﹣Sm=3,
所以公差 d=am+1﹣am=1,
故选:D.
9.【2019 年新课标 1 理科 14】记 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和.若 a1 ,a42=a6,则 S5 =. 【解答】解:在等比数列中,由 a42=a6,得 q6a12=q5a1>0, 即 q>0,q=3,
则 S5

故答案为:
10.【2018 年新课标 1 理科 14】记 Sn 为数列{an}的前 n 项和.若 Sn=2an+1,则 S6
m(a1+am)=0, (m+1)(a1+am+1)=3,
可得 a1=﹣am,﹣2am+am+1+am+1
0,
解得 m=5.
故选:C.
7.【2013 年新课标 1 理科 12】设△AnBn∁ n 的三边长分别为 an,bn,cn,△AnBn∁ n 的面积为 Sn,
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十年高考数学真题分类汇编及答案(2010—2019)专题 空间向量1.(2014·全国2·理T11)直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,∠BCA=90°,M ,N 分别是A 1B 1,A 1C 1的中点,BC=CA=CC 1,则BM 与AN 所成角的余弦值为( ) A.110B.25C.√3010D.√22【答案】C【解析】如图,以点C 1为坐标原点,C 1B 1,C 1A 1,C 1C 所在的直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系,不妨设BC=CA=CC 1=1,可知点A (0,1,1),N (0,12,0),B (1,0,1),M (12,12,0). ∴AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-12,-1),BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-12,12,-1).∴cos <AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3010. 根据AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角及AN 与BM 所成角的关系可知,BM 与AN 所成角的余弦值为√3010.2.(2013·北京·文T8)如图,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,P 为对角线BD 1的三等分点,P 到各顶点的距离的不同取值有( ) A.3个B.4个C.5个D.6个【答案】B【解析】设正方体的棱长为a.建立空间直角坐标系,如图所示.则D (0,0,0),D 1(0,0,a ),C 1(0,a ,a ),C (0,a ,0),B (a ,a ,0),B 1(a ,a ,a ),A (a ,0,0),A 1(a ,0,a ),P (23a ,23a ,13a), 则|PB⃗⃗⃗⃗⃗ |=√19a 2+19a 2+19a 2=√33a , |PD⃗⃗⃗⃗⃗ |=√49a 2+49a 2+19a 2=a , |PD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√49a 2+49a 2+49a 2=2√33a , |PC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√49a 2+19a 2+49a 2=a ,|PC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PA⃗⃗⃗⃗⃗ |=√49a 2+19a 2+19a 2=√63a , |PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√19a 2+19a 2+49a 2=√63a , 3.(2012·陕西·理T5)如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC -A 1B 1C 1,CA=CC 1=2CB ,则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为( ) A.√55B.√53C.2√55D.35【答案】A【解析】不妨设CB=1,则CA=CC 1=2.由题图知,A 点的坐标为(2,0,0),B 点的坐标为(0,0,1),B 1点的坐标为(0,2,1),C 1点的坐标为(0,2,0). 所以BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,-1),AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,2,1).所以cos <BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=3√5=√55.4.(2010·大纲全国·文T6)直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA 1,则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 【答案】C【解析】不妨设AB=AC=AA 1=1,建立空间直角坐标系如图所示,则B(0,-1,0),A 1(0,0,1),A(0,0,0),C 1(-1,0,1), ∴BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1),AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,1).∴cos <BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2×√2=12.∴<BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=60°.∴异面直线BA 1与AC 1所成的角为60°.5.(2019·天津·理T17)如图,AE ⊥平面ABCD,CF ∥AE,AD ∥BC,AD ⊥AB,AB=AD=1,AE=BC=2. (1)求证:BF ∥平面ADE;(2)求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值; (3)若二面角E-BD-F 的余弦值为13,求线段CF 的长.【解析】(1)证明依题意,可以建立以A 为原点,分别以AB⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴,y 轴,z 轴正方向的空间直角坐标系(如图),可得A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,1,0),E(0,0,2).设CF=h(h>0),则F(1,2,h).依题意,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0)是平面ADE 的法向量,又BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,h ),可得BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,又因为直线BF ⊄平面ADE ,所以BF ∥平面ADE. (2)解依题意,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,0),BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,2),CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-2,2). 设n =(x ,y ,z )为平面BDE 的法向量,则{n ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{-x +y =0,-x +2z =0,不妨令z=1,可得n =(2,2,1).因此有cos <CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n >=CE ⃗⃗⃗⃗⃗·n |CE⃗⃗⃗⃗⃗ ||n |=-49. 所以,直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值为49. (3)解设m =(x ,y ,z )为平面BDF 的法向量, 则{m ·BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ·BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{-x +y =0,2y +ℎz =0,不妨令y=1,可得m =1,1,-2ℎ. 由题意,有|cos <m,n >|=|m ·n ||m ||n |=|4-2ℎ|3√2+4ℎ2=13,解得h=87,经检验,符合题意. 所以,线段CF 的长为87.6.(2019·浙江·T 19)如图,已知三棱柱ABC-A 1B 1C 1,平面A 1ACC 1⊥平面ABC ,∠ABC=90°,∠BAC=30°,A1A=A1C=AC,E,F分别是AC,A1B1的中点.(1)证明:EF⊥BC;(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.【解析】方法一:(1)连接A1E,因为A1A=A1C,E是AC的中点,所以A1E⊥AC.又平面A1ACC1⊥平面ABC,A1E⊂平面A1ACC1,平面A1ACC1∩平面ABC=AC,所以,A1E⊥平面ABC,则A1E⊥BC.又因为A1F∥AB,∠ABC=90°,故BC⊥A1F.所以BC⊥平面A1EF.因此EF⊥BC.(2)取BC中点G,连接EG,GF,则EGFA1是平行四边形.由于A1E⊥平面ABC,故A1E⊥EG,所以平行四边形EGFA1为矩形.由(1)得BC⊥平面EGFA1,则平面A1BC⊥平面EGFA1,所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上.连接A1G交EF于O,则∠EOG是直线EF与平面A1BC所成的角(或其补角).不妨设AC=4,则在Rt△A1EG中,A1E=2√3,EG=√3.由于O 为A 1G 的中点,故EO=OG=A 1G 2=√152, 所以cos ∠EOG=EO 2+OG 2-EG 22EO ·OG=35.因此,直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值是35. 方法二:(1)连接A 1E ,因为A 1A=A 1C ,E 是AC 的中点,所以A 1E ⊥AC. 又平面A 1ACC 1⊥平面ABC ,A 1E ⊂平面A 1ACC 1, 平面A 1ACC 1∩平面ABC=AC , 所以,A 1E ⊥平面ABC.如图,以点E 为原点,分别以射线EC ,EA 1 为y ,z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系E-xyz.不妨设AC=4,则A 1(0,0,2√3),B (√3,1,0),B 1(√3,3,2√3),F√32,32,2√3,C (0,2,0).因此,EF⃗⃗⃗⃗⃗ =√32,32,2√3,BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3,1,0). 由EF⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0得EF ⊥BC. (2)设直线EF 与平面A 1BC 所成角为θ. 由(1)可得BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3,1,0),A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0.2,-2√3). 设平面A 1BC 的法向量为n =(x ,y ,z ). 由{BC⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,得{-√3x +y =0,y -√3z =0.取n =(1,√3,1),故sin θ=|cos <EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n >|=|EF ⃗⃗⃗⃗⃗·n ||EF ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|n |=45. 因此,直线EF 与平面A 1BC 所成的角的余弦值为35.7.(2019·全国1·理T18)如图,直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面是菱形,AA 1=4,AB=2,∠BAD=60°,E ,M ,N 分别是BC ,BB 1,A 1D 的中点. (1)证明:MN ∥平面C 1DE ; (2)求二面角A-MA 1-N 的正弦值.【解析】(1)连接B 1C ,ME. 因为M ,E 分别为BB 1,BC 的中点, 所以ME ∥B 1C ,且ME= B 1C.又因为N 为A 1D 的中点,所以ND= A 1D. 由题设知A 1B 1 DC ,可得B 1C A 1D , 故ME ND ,因此四边形MNDE 为平行四边形,MN ∥ED. 又MN ⊄平面EDC 1,所以MN ∥平面C 1DE. (2)由已知可得DE ⊥DA.以D 为坐标原点,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz, 则A (2,0,0),A 1(2,0,4),M (1,√3,2),N (1,0,2),A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,-4),A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,√3,-2),A 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,-2),MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-√3,0).设m=(x,y,z)为平面A1MA的法向量,则{m·A1M⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0, m·A1A⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.所以{-x+√3y-2z=0,-4z=0.可取m=(√3,1,0).设n=(p,q,r)为平面A1MN的法向量,则{n·MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0, n·A1N⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.所以{-√3q=0,-p-2r=0.可取n=(2,0,-1).于是cos<m,n>=m·n|m||n|=√32×√5=√155,所以二面角A-MA1-N的正弦值为√105.8.(2019·全国2·理T17)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,点E在棱AA1上,BE ⊥EC1.(1)证明:BE⊥平面EB1C1;(2)若AE=A1E,求二面角B-EC-C1的正弦值.【解析】(1)证明由已知得,B1C1⊥平面ABB1A1,BE⊂平面ABB1A1,故B1C1⊥BE.又BE⊥EC1,所以BE⊥平面EB 1C 1.(2)解由(1)知∠BEB 1=90°.由题设知Rt △ABE ≌Rt △A 1B 1E ,所以∠AEB=45°, 故AE=AB ,AA 1=2AB.以D 为坐标原点,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴正方向,|DA ⃗⃗⃗⃗⃗ |为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz ,则C (0,1,0),B (1,1,0),C 1(0,1,2),E (1,0,1),CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0),CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1,1),CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2). 设平面EBC 的法向量为n =(x ,y ,z ),则{CB⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,即{x =0,x -y +z =0,所以可取n=(0,-1,-1).设平面ECC 1的法向量为m =(x ,y ,z ),则{CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·m =0,CE⃗⃗⃗⃗⃗ ·m =0,即{2z =0,x -y +z =0,所以可取m =(1,1,0). 于是cos <n,m >=n ·m|n ||m |=-12.所以,二面角B-EC-C 1的正弦值为√32.9.(2019·全国3·理T19)图1是由矩形ADEB,Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°.将其沿AB,BC 折起使得BE 与BF 重合,连接DG,如图2. (1)证明:图2中的A,C,G,D 四点共面,且平面ABC ⊥平面BCGE; (2)求图2中的二面角B-CG-A 的大小.【解析】(1)证明由已知得AD ∥BE,CG ∥BE,所以AD ∥CG,故AD,CG 确定一个平面,从而A,C,G,D 四点共面. 由已知得AB ⊥BE,AB ⊥BC,故AB ⊥平面BCGE. 又因为AB ⊂平面ABC, 所以平面ABC ⊥平面BCGE. (2)解作EH ⊥BC,垂足为H.因为EH ⊂平面BCGE,平面BCGE ⊥平面ABC,所以EH ⊥平面ABC. 由已知,菱形BCGE 的边长为2,∠EBC=60°,可求得BH=1,EH=√3.以H 为坐标原点,HC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系H-xyz,则A (-1,1,0),C (1,0,0),G (2,0,√3),CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,√3),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-1,0). 设平面ACGD 的法向量为n =(x ,y ,z ), 则{CG ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,即{x +√3z =0,2x -y =0.所以可取n =(3,6,-√3).又平面BCGE 的法向量可取为m =(0,1,0), 所以cos <n,m >=n ·m|n ||m |=√32. 因此二面角B-CG-A 的大小为30°.10.(2018·浙江·T 8)已知四棱锥S-ABCD 的底面是正方形,侧棱长均相等,E 是线段AB 上的点(不含端点).设SE 与BC 所成的角为θ1,SE 与平面ABCD 所成的角为θ2,二面角S-AB-C 的平面角为θ3,则( ) A.θ1≤θ2≤θ3 B.θ3≤θ2≤θ1C.θ1≤θ3≤θ2D.θ2≤θ3≤θ1【答案】D【解析】当点E不是线段AB的中点时,如图,点G是AB的中点,SH⊥底面ABCD,过点H作HF∥AB,过点E作EF∥BC,连接SG,GH,EH,SF.可知θ1=∠SEF,θ2=∠SEH,θ3=∠SGH.由题意可知EF⊥SF,故tan θ1=SFEF =SFGH>SHGH=tan θ3.∴θ1>θ3.又tan θ3=SHGH >SHEH=tan θ2,∴θ3>θ2.∴θ1>θ3>θ2.当点E是线段AB的中点时,即点E与点G重合,此时θ1=θ3=θ2.综上可知,θ1≥θ3≥θ2.11.(2018·全国3·理T19)如图,边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD⏜所在平面垂直,M是CD⏜上异于C,D的点.(1)证明:平面AMD⊥平面BMC;(2)当三棱锥M-ABC体积最大时,求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值.【解析】(1)由题设知,平面CMD ⊥平面ABCD,交线为CD.因为BC ⊥CD,BC ⊂平面ABCD,所以BC ⊥平面CMD,故BC ⊥DM.因为M 为CD ⏜上异于C,D 的点,且DC 为直径,所以DM ⊥CM.又BC ∩CM=C,所以DM ⊥平面BMC.而DM ⊂平面AMD,故平面AMD ⊥平面BMC.(2)以D 为坐标原点, DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz. 当三棱锥M-ABC 体积最大时,M 为 CD⏜的中点.由题设得 D (0,0,0),A (2,0,0),B (2,2,0),C (0,2,0),M (0,1,1),AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,1,1),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0),DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0).设n=(x,y,z)是平面MAB 的法向量, 则{n ·AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.即{-2x +y +z =0,2y =0.可取n=(1,0,2),DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面MCD 的法向量,因此cos <n,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ >=n ·DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|n ||DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√55,sin <n,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ >=2√55. 所以面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值是2√55.12.(2018·北京·理T16)如图,在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,CC 1⊥平面ABC ,D ,E ,F ,G 分别为AA 1,AC ,A 1C 1,BB 1的中点,AB=BC= √5,AC=AA 1=2. (1)求证:AC ⊥平面BEF; (2)求二面角B-CD-C 1的余弦值; (3)证明:直线FG 与平面BCD 相交.【解析】(1)证明在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,∵CC 1⊥平面ABC ,∴四边形A 1ACC 1为矩形. 又E ,F 分别为AC ,A 1C 1的中点,∴AC ⊥EF.∵AB=BC ,∴AC ⊥BE ,∴AC ⊥平面BEF. (2)解由(1)知AC ⊥EF ,AC ⊥BE ,EF ∥CC 1.∵CC 1⊥平面ABC ,∴EF ⊥平面ABC. ∵BE ⊂平面ABC ,∴EF ⊥BE.建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz.由题意得B (0,2,0),C (-1,0,0),D (1,0,1),F (0,0,2),G (0,2,1).∴CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,1),CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,0). 设平面BCD 的法向量为n =(a ,b ,c ), 则{n ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴{2a +c =0,a +2b =0,令a=2,则b=-1,c=-4,∴平面BCD 的法向量n =(2,-1,-4), 又平面CDC 1的法向量为EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0),∴cos <n,EB ⃗⃗⃗⃗⃗ >=n ·EB⃗⃗⃗⃗⃗ |n ||EB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=-√2121.由图可得二面角B-CD-C 1为钝角,∴二面角B-CD-C 1的余弦值为-√2121. (3)证明平面BCD 的法向量为n=(2,-1,-4), ∵G(0,2,1),F(0,0,2), ∴GF⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-2,1), ∴n ·GF ⃗⃗⃗⃗⃗ =-2,∴n 与GF⃗⃗⃗⃗⃗ 不垂直, ∴FG 与平面BCD 不平行且不在平面BCD 内, ∴FG 与平面BCD 相交.13.(2018·天津·理T17)如图,AD ∥BC 且AD=2BC,AD ⊥CD,EG ∥AD 且EG=AD,CD ∥FG 且CD=2FG,DG ⊥平面ABCD,DA=DC=DG=2.(1)若M 为CF 的中点,N 为EG 的中点,求证:MN ∥平面CDE; (2)求二面角E-BC-F 的正弦值;(3)若点P 在线段DG 上,且直线BP 与平面ADGE 所成的角为60°,求线段DP 的长.【解析】依题意,可以建立以D 为原点,分别以DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DG ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向的空间直角坐标系(如图),可得D (0,0,0),A (2,0,0),B (1,2,0),C (0,2,0),E (2,0,2),F (0,1,2),G (0,0,2),M 0,32,1,N (1,0,2).(1)证明:依题意DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0),DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,2). 设n0=(x,y,z)为平面CDE 的法向量, 则{n 0·DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 0·DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{2y =0,2x +2z =0,不妨令z=-1,可得n 0=(1,0,-1).又MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-32,1),可得MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n 0=0.(2)依题意,可得BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,0),BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-2,2),CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1,2).设n =(x ,y ,z )为平面BCE 的法向量,则{n ·BC⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{-x =0,x -2y +2z =0,不妨令z=1,可得n =(0,1,1).设m =(x ,y ,z )为平面BCF 的法向量, 则{m ·BC⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ·CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{-x =0,-y +2z =0,不妨令z=1,可得m =(0,2,1). 因此有cos <m,n >=m ·n|m ||n |=3√1010,于是sin <m,n >=√1010.所以,二面角E-BC-F 的正弦值为√1010.(3)设线段DP 的长为h (h ∈[0,2]),则点P 的坐标为(0,0,h ),可得BP⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-2,h ).易知,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0)为平面ADGE 的一个法向量,故|cos <BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|BP⃗⃗⃗⃗⃗ ·DC ⃗⃗⃗⃗⃗||BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ||DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√ℎ2+5.由题意,可得√ℎ2+5=sin 60°=√32,解得h=√33∈[0,2].所以,线段DP 的长为√33. 14.(2018·全国1·理T18)如图,四边形ABCD 为正方形,E,F 分别为AD,BC 的中点,以DF 为折痕把△DFC 折起,使点C 到达点P 的位置,且PF ⊥BF. (1)证明:平面PEF ⊥平面ABFD; (2)求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值.【解析】(1)由已知可得,BF ⊥PF,BF ⊥EF,所以BF ⊥平面PEF.又BF ⊂平面ABFD,所以平面PEF ⊥平面ABFD. (2)作PH ⊥EF,垂足为H. 由(1)得,PH ⊥平面ABFD.以H 为坐标原点,HF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为y 轴正方向,|BF⃗⃗⃗⃗⃗ |为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系H-xyz.由(1)可得,DE ⊥PE.又DP=2,DE=1,所以PE=√3.又PF=1,EF=2,故PE ⊥PF.可得PH=√32,EH=32.则H (0,0,0),P (0,0,√32),D (-1,-32,0),DP⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,32,√32),HP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,√32)为平面ABFD 的法向量.设DP 与平面ABFD 所成角为θ, 则sin θ=|HP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |HP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||DP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||=34√3=√34. 所以DP 与平面ABFD 所成角的正弦值为√34.15.(2018·全国2·理T20)如图,在三棱锥P-ABC 中,AB=BC=2√2,PA=PB=PC=AC=4,O 为AC 的中点.(1)证明:PO ⊥平面ABC;(2)若点M 在棱BC 上,且二面角M-PA-C 为30°,求PC 与平面PAM 所成角的正弦值.【解析】(1)因为AP=CP=AC=4,O 为AC 的中点, 所以OP ⊥AC ,且OP=2√3. 连接OB ,因为AB=BC=√22AC ,所以△ABC 为等腰直角三角形,且OB ⊥AC ,OB=12AC=2. 由OP2+OB2=PB2知PO ⊥OB.由OP ⊥OB,OP ⊥AC 知PO ⊥平面ABC.(2)如图,以O 为坐标原点,OB⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴正方向,建立空间直角坐标系O-xyz. 由已知得O (0,0,0),B (2,0,0),A (0,-2,0),C (0,2,0),P (0,0,2√3),AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,2√3). 取平面PAC 的法向量OB⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0),由AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0得 {2y +2√3z =9,ax +(4-a )y =0.可取n =(√3(a-4),√3a ,-a ),所以cos <OB⃗⃗⃗⃗⃗ ,n >=√3(2√3(a -4)+3a 2+a 2.由已知可得|cos <OB⃗⃗⃗⃗⃗ ,n >|=√32. 所以√3|2√3(a -4)+3a 2+a 2=√32, 解得a=-4(舍去),a=43.所以n =(-8√33,4√33,-43). 又PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,-2√3),所以cos <PC⃗⃗⃗⃗⃗ ,n >=√34. 所以PC 与平面PAM 所成角的正弦值为√34.16.(2018·浙江·T9)如图,已知多面体ABCA 1B 1C 1,A 1A ,B 1B ,C 1C 均垂直于平面ABC ,∠ABC=120°,A 1A=4,C 1C=1,AB=BC=B 1B=2. (1)证明:AB 1⊥平面A 1B 1C 1;(2)求直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值.【解析】解法一(1)证明:由AB=2,AA 1=4,BB 1=2,AA 1⊥AB ,BB 1⊥AB ,得AB 1=A 1B 1=2√2,所以A 1B 12+A B 12=A A 12,故AB 1⊥A 1B 1.由BC=2,BB 1=2,CC 1=1,BC 1⊥BC ,CC 1⊥BC ,得B 1C 1=√5,由AB=BC=2,∠ABC=120°,得AC=2√3,由CC 1⊥AC ,得AC 1=√13,所以A B 12+B 1C 12=A C 12,故AB 1⊥B 1C 1.因此AB 1⊥平面A 1B 1C 1.(2)如图,过点C 1作C 1D ⊥A 1B 1,交直线A 1B 1于点D ,连接AD.由AB 1⊥平面A 1B 1C 1,得平面A 1B 1C 1⊥平面ABB 1,由C 1D ⊥A 1B 1,得C 1D ⊥平面ABB 1,所以∠C 1AD 是AC 1与平面ABB 1所成的角.由B 1C 1=√5,A 1B 1=2√2,A 1C 1=√21, 得cos ∠C 1A 1B 1=√6√7,sin ∠C 1A 1B 1=√7,所以C 1D=√3,故sin ∠C 1AD=C 1DAC 1=√3913.因此,直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值是√3913.解法二(1)证明:如图,以AC 的中点O 为原点,分别以射线OB,OC 为x,y 轴的正半轴,建立空间直角坐标系O-xyz.由题意知各点坐标如下:A (0,-√3,0),B (1,0,0),A 1(0,-√3,4),B 1(1,0,2),C 1(0,√3,1). 因此AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3,2),A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3,-2),A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2√3,-3).由AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得AB 1⊥A 1B 1. 由AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得AB 1⊥A 1C 1. 所以AB 1⊥平面A 1B 1C 1.(2)设直线AC 1与平面ABB 1所成的角为θ.由(1)可知AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2√3,1),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3,0),BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2). 设平面ABB 1的法向量n =(x ,y ,z ).由{n ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{x +√3y =0,2z =0,可取n =(-√3,1,0).所以sin θ=|cos <AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n >|=|AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ||AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|n |=√3913.因此,直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值是√3913.17.(2018·上海·T17)已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,半径为2. (1)设圆锥的母线长为4,求圆锥的体积;(2)设PO=4,OA,OB 是底面半径,且∠AOB=90°,M 为线段AB 的中点,如图,求异面直线PM 与OB 所成的角的大小.【解析】(1)∵圆锥的顶点为P,底面圆心为O,半径为2,母线长为4,∴圆锥的体积V=13πr 2h=13×π×22×√42-22=8√3π3. (2)∵PO=4,OA,OB 是底面半径,且∠AOB=90°,M 为线段AB 的中点,∴以O 为原点,OA 为x 轴,OB 为y 轴,OP 为z 轴,建立空间直角坐标系, ∴P(0,0,4),A(2,0,0),B(0,2,0),M(1,1,0),O(0,0,0), ∴PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,-4),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0). 设异面直线PM 与OB 所成的角为θ, 则cos θ=|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√12+12+(-4)2×√02+22+02=√26. ∴θ=arccos √26.∴异面直线PM 与OB 所成的角的大小为arccos √26.18.(2017·北京·理T16)如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为正方形,平面PAD ⊥平面ABCD,点M 在线段PB 上,PD ∥平面MAC,PA=PD=√6,AB=4. (1)求证:M 为PB 的中点; (2)求二面角B-PD-A 的大小;(3)求直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值.【解析】(1)证明设AC,BD 交点为E,连接ME. 因为PD ∥平面MAC,平面MAC ∩平面PDB=ME,所以PD ∥ME. 因为ABCD 是正方形,所以E 为BD 的中点. 所以M 为PB 的中点.(2)解取AD 的中点O,连接OP,OE. 因为PA=PD,所以OP ⊥AD.又因为平面PAD ⊥平面ABCD,且OP ⊂平面PAD,所以OP ⊥平面ABCD. 因为OE ⊂平面ABCD,所以OP ⊥OE. 因为ABCD 是正方形,所以OE ⊥AD. 如图建立空间直角坐标系O-xyz ,则P (0,0,√2),D (2,0,0),B (-2,4,0),BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,-4,0),PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,-√2).设平面BDP 的法向量为n =(x ,y ,z ), 则{n ·BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{4x -4y =0,2x -√2z =0.令x=1,则y=1,z=√2.于是n =(1,1,√2),平面PAD 的法向量为p =(0,1,0).所以cos <n,p >=n ·p|n ||p |=12. 由题知二面角B-PD-A 为锐角,所以它的大小为π3. (3)解由题意知M (-1,2,√22),C (2,4,0),MC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,2,-√22). 设直线MC 与平面BDP 所成角为α, 则sin α=|cos <n,MC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|n ·MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||n ||MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√69.所以直线MC与平面BDP所成角的正弦值为2√69.19.(2017·全国1·理T18)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,求二面角A-PB-C的余弦值.【解析】(1)证明由已知∠BAP=∠CDP=90°,得AB⊥AP,CD⊥PD.由于AB∥CD,故AB⊥PD,从而AB⊥平面PAD.又AB⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD.(2)解在平面PAD内作PF⊥AD,垂足为F.由(1)可知,AB⊥平面PAD,故AB⊥PF,可得PF⊥平面ABCD.以F为坐标原点,FA⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x轴正方向,|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系F-xyz.由(1)及已知可得A(√22,0,0),P(0,0,√22),B(√22,1,0),C(-√22,1,0).所以PC⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√22,1,-√22),CB⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,0,0),PA⃗⃗⃗⃗⃗ =(√22,0,-√22),AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0).设n=(x,y,z)是平面PCB的法向量,则{n·PC⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n·CB⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{-√22x+y-√22z=0,√2x=0.可取n =(0,-1,-√2).设m =(x ,y ,z )是平面PAB 的法向量,则{m ·PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{√22x -√22z =0,y =0.可取m =(1,0,1).则cos <n,m >=n ·m |n ||m |=-√33.所以二面角A-PB-C 的余弦值为-√33.20.(2017·全国2·理T19)如图,四棱锥P-ABCD 中,侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD, AB=BC=12AD,∠BAD=∠ABC=90°,E 是PD 的中点. (1)证明:直线CE ∥平面PAB;(2)点M 在棱PC 上,且直线BM 与底面ABCD 所成角为45°,求二面角M-AB-D 的余弦值.【解析】(1)证明取PA 的中点F,连接EF,BF. 因为E 是PD 的中点,所以EF ∥AD,EF=12 AD. 由∠BAD=∠ABC=90°得BC ∥AD,又BC=12AD,所以EF BC,四边形BCEF 是平行四边形,CE ∥BF,又BF ⊂平面PAB,CE ⊄平面PAB,故CE ∥平面PAB.(2)解由已知得BA ⊥AD ,以A 为坐标原点,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴正方向,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz ,则A (0,0,0),B (1,0,0),C (1,1,0),P (0,1,√3),PC⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-√3),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0).设M (x ,y ,z )(0<x<1),则BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-1,y ,z ),PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y-1,z-√3). 因为BM 与底面ABCD 所成的角为45°, 而n=(0,0,1)是底面ABCD 的法向量,所以|cos <BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n >|=sin 45°,|z |√(x -1)+y 2+z 2=√22,即(x-1)2+y 2-z 2=0. ①又M 在棱PC 上,设PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x=λ,y=1,z=√3−√3λ. ②由①,②解得{ x =1+√22,y =1,z =-√62(舍去),{x =1-√22,y =1,z =√62,所以M (1-√22,1,√62),从而AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-√22,1,√62). 设m=(x0,y0,z0)是平面ABM 的法向量,则{m ·AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{(2-√2)x 0+2y 0+√6z 0=0,x 0=0,所以可取m =(0,-√6,2).于是cos <m,n >=m ·n|m ||n |=√105. 因此二面角M-AB-D 的余弦值为√105. 21.(2017·全国3·理T19)如图,四面体ABCD 中,△ABC 是正三角形,△ACD 是直角三角形,∠ABD=∠CBD,AB=BD.(1)证明:平面ACD ⊥平面ABC;(2)过AC 的平面交BD 于点E,若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分,求二面角D-AE-C 的余弦值.【解析】(1)证明由题设可得,△ABD ≌△CBD ,从而AD=DC. 又△ACD 是直角三角形,所以∠ADC=90°. 取AC 的中点O ,连接DO ,BO ,则DO ⊥AC ,DO=AO. 又由于△ABC 是正三角形,故BO ⊥AC. 所以∠DOB 为二面角D-AC-B 的平面角. 在Rt △AOB 中,BO 2+AO 2=AB 2,又AB=BD , 所以BO 2+DO 2=BO 2+AO 2=AB 2=BD 2,故∠DOB=90°.所以平面ACD ⊥平面ABC.(2)解由题设及(1)知,OA ,OB ,OD 两两垂直,以O 为坐标原点,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴正方向,|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz. 则A (1,0,0),B (0,√3,0),C (-1,0,0),D (0,0,1).由题设知,四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的12,从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的12,即E 为DB 的中点,得E (0,√32,12). 故AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,1),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,0,0),AE⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,√32,12).设n =(x ,y ,z )是平面DAE 的法向量,则{n ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{-x +z =0,-x +√32y +12z =0. 可取n =(1,√33,1).设m是平面AEC的法向量,则{m·AC⃗⃗⃗⃗⃗ =0, m·AE⃗⃗⃗⃗⃗ =0.同理可取m=(0,-1,√3).则cos<n,m>=n·m|n||m|=√77.所以二面角D-AE-C的余弦值为√77.22.(2017·山东·理T17)如图,几何体是圆柱的一部分,它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的,G是DF⏜的中点.(1)设P是CE⏜上的一点,且AP⊥BE,求∠CBP的大小;(2)当AB=3,AD=2时,求二面角E-AG-C的大小.【解析】(1)因为AP⊥BE,AB⊥BE,AB,AP⊂平面ABP,AB∩AP=A,所以BE⊥平面ABP,又BP⊂平面ABP,所以BE⊥BP,又∠EBC=120°.因此∠CBP=30°.(2)解法一:取EC⏜的中点H,连接EH,GH,CH.因为∠EBC=120°,所以四边形BEHC为菱形,所以AE=GE=AC=GC=√32+22=√13.取AG中点M,连接EM,CM,EC,则EM⊥AG,CM⊥AG,所以∠EMC为所求二面角的平面角.又AM=1,所以EM=CM=√13-1=2√3.在△BEC中,由于∠EBC=120°,由余弦定理得EC2=22+22-2×2×2×cos 120°=12,所以EC=2√3,因此△EMC为等边三角形,故所求的角为60°.解法二:以B 为坐标原点,分别以BE,BP,BA 所在的直线为x,y,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 由题意得A (0,0,3),E (2,0,0),G (1,√3,3),C (-1,√3,0),故AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,-3),AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3,0),CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,3),设m =(x 1,y 1,z 1)是平面AEG 的一个法向量. 由{m ·AE⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ·AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,可得{2x 1-3z 1=0,x 1+√3y 1=0.取z 1=2,可得平面AEG 的一个法向量m =(3,-√3,2).设n=(x2,y2,z2)是平面ACG 的一个法向量. 由{n ·AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,可得{x 2+√3y 2=0,2x 2+3z 2=0.取z 2=-2,可得平面ACG 的一个法向量n =(3,-√3,-2). 所以cos <m,n >=m ·n|m ||n |=12. 因此所求的角为60°.23.(2017·天津·理T17)如图,在三棱锥P-ABC 中,PA ⊥底面ABC,∠BAC=90°,点D,E,N 分别为棱PA,PC,BC 的中点,M 是线段AD 的中点,PA=AC=4,AB=2. (1)求证:MN ∥平面BDE;(2)求二面角C-EM-N 的正弦值;(3)已知点H 在棱PA 上,且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为√721 求线段AH 的长.【解析】如图,以A 为原点,分别以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系.依题意可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4), D(0,0,2),E(0,2,2),M(0,0,1),N(1,2,0).(1)证明:DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0),DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,-2),设n =(x ,y ,z )为平面BDE 的法向量, 则{n ·DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{2y =0,2x -2z =0.不妨设z=1,可得n =(1,0,1). 又MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,-1),可得MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0. 因为MN ⊄平面BDE,所以MN ∥平面BDE. (2)易知n1=(1,0,0)为平面CEM 的一个法向量. 设n2=(x,y,z)为平面EMN 的法向量, 则{n 2·EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 2·MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.因为EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-2,-1),MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,-1), 所以{-2y -z =0,x +2y -z =0.不妨设y=1,可得n 2=(-4,1,-2). 因此有cos <n 1,n 2>=n 1·n 2|n 1||n 2|=-√21,于是sin <n 1,n 2>=√10521. 所以,二面角C-EM-N 的正弦值为√10521. (3)依题意,设AH=h (0≤h ≤4),则H (0,0,h ),进而可得NH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-2,h ),BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,2,2).由已知,得|cos <NH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BE ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|NH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗·BE ⃗⃗⃗⃗⃗||NH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||BE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√ℎ2+5×2√3=√721, 整理得10h 2-21h+8=0,解得h=85或h=12. 所以,线段AH 的长为85或12.24.(2016·全国1·理T18)如图,在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中,面ABEF 为正方形,AF=2FD,∠AFD=90°,且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60°. (1)证明:平面ABEF ⊥平面EFDC; (2)求二面角E-BC-A 的余弦值.【解析】(1)证明由已知可得AF ⊥DF,AF ⊥FE, 所以AF ⊥平面EFDC.又AF ⊂平面ABEF,故平面ABEF ⊥平面EFDC.(2)解过D 作DG ⊥EF,垂足为G,由(1)知DG ⊥平面ABEF.以G 为坐 标原点,GF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴正方向,|GF ⃗⃗⃗⃗⃗ |为单位长,建立如图所示的空间 直角坐标系G-xyz.由(1)知∠DFE 为二面角D-AF-E 的平面角, 故∠DFE=60°,则|DF|=2,|DG|=√3 ,可得A(1,4,0),B(-3,4,0),E(-3,0,0),D(0,0, √3). 由已知,AB ∥EF,所以AB ∥平面EFDC. 又平面ABCD ∩平面EFDC=CD, 故AB ∥CD,CD ∥EF.由BE ∥AF,可得BE ⊥平面EFDC,所以∠CEF 为二面角C-BE-F 的平面角,∠CEF=60°.从而可得C (-2,0,√3). 所以EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,√3),EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,0),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,-4,√3),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4,0,0), 设n =(x ,y ,z )是平面BCE 的法向量,则{n ·EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{x +√3z =0,4y =0.所以可取n =(3,0,-√3).设m 是平面ABCD 的法向量,则{m ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,同理可取m =(0,√3,4), 则cos <n,m >=n ·m|n ||m |=-2√1919. 故二面角E-BC-A 的余弦值为-2√1919.25.(2016·全国2·理T19)如图,菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O,AB=5,AC=6,点E,F 分别在AD,CD 上,AE=CF=54 ,EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△D'EF 的位置,OD'=√10. (1)证明:D'H ⊥平面ABCD; (2)求二面角B-D'A-C 的正弦值.【解析】(1)证明由已知得AC ⊥BD ,AD=CD. 又由AE=CF 得AEAD =CFCD ,故AC ∥EF. 因此EF ⊥HD ,从而EF ⊥D'H.由AB=5,AC=6得DO=BO=√AB 2-AO 2=4. 由EF ∥AC 得OHDO =AEAD =14. 所以OH=1,D'H=DH=3.于是D'H 2+OH 2=32+12=10=D'O 2,故D'H ⊥OH.又D'H ⊥EF ,而OH ∩EF=H , 所以D'H ⊥平面ABCD.(2)解如图,以H 为坐标原点HF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴正方向,建立空间直角坐标系H-xyz.则H(0,0,0),A(-3,-1,0),B(0,-5,0),C(3,-1,0),D'(0,0,3), AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,-4,0),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,0,0),AD '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,1,3). 设m=(x1,y1,z1)是平面ABD'的法向量, 则{m ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ·AD '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{3x 1-4y 1=0,3x 1+y 1+3z 1=0,所以可取m=(4,3,-5).设n=(x2,y2,z2)是平面ACD'的法向量,则{n·AC⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n·AD'⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{6x2=0,3x2+y2+3z2=0,所以可取n=(0,-3,1).于是cos<m,n>=m·n|m||n|=√50×√10=-7√525.sin<m,n>=2√9525.因此二面角B-D'A-C的正弦值是2√9525.26.(2016·山东·理T17)在如图所示的圆台中,AC是下底面圆O的直径,EF是上底面圆O'的直径,FB是圆台的一条母线.(1)已知G,H分别为EC,FB的中点.求证:GH∥平面ABC;(2)已知EF=FB=12AC=2√3,AB=BC,求二面角F-BC-A的余弦值.【解析】(1)证明设FC中点为I,连接GI,HI.在△CEF中,因为点G是CE的中点,所以GI∥EF.又EF∥OB,所以GI∥OB.在△CFB中,因为H是FB的中点,所以HI∥BC.又HI ∩GI=I,所以平面GHI ∥平面ABC. 因为GH ⊂平面GHI,所以GH ∥平面ABC.(2)解连接OO',则OO'⊥平面ABC.又AB=BC,且AC 是圆O 的直径,所以BO ⊥AC.以O 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.由题意得B (0,2√3,0),C (-2√3,0,0). 过点F 作FM 垂直OB 于点M,所以FM=√FB 2-BM 2=3,可得F (0,√3,3). 故BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2√3,-2√3,0),BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-√3,3). 设m =(x ,y ,z )是平面BCF 的一个法向量. 由{m ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ·BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,可得{-2√3x -2√3y =0,-√3y +3z =0.可得平面BCF 的一个法向量m =(-1,1,√33). 因为平面ABC 的一个法向量n =(0,0,1), 所以cos <m,n >=m ·n|m |·|n |=√77.所以二面角F-BC-A 的余弦值为√77.27.(2016·浙江·理T17)如图,在三棱台ABC-DEF 中,平面BCFE ⊥平面ABC,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3. (1)求证:BF ⊥平面ACFD;(2)求二面角B-AD-F 的平面角的余弦值.【解析】(1)证明延长AD,BE,CF相交于一点K,如图所示.因为平面BCFE⊥平面ABC,且AC⊥BC,所以AC⊥平面BCK,因此BF⊥AC.又因为EF∥BC,BE=EF=FC=1,BC=2,所以△BCK为等边三角形,且F为CK的中点,则BF⊥CK.所以BF⊥平面ACFD.(2)解如图,延长AD,BE,CF相交于一点K,则△BCK为等边三角形. 取BC的中点O,则KO⊥BC,又平面BCFE⊥平面ABC,所以,KO⊥平面ABC.以点O为原点,分别以射线OB,OK的方向为x,z的正方向,建立空间直角坐标系O-xyz.由题意得B (1,0,0),C (-1,0,0),K (0,0,√3),A (-1,-3,0),E (12,0,√32),F (-12,0,√32). 因此,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3,0),AK ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,3,√3),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,3,0).设平面ACK 的法向量为m =(x 1,y 1,z 1),平面ABK 的法向量为n =(x 2,y 2,z 2). 由{AC⃗⃗⃗⃗⃗ ·m =0,AK ⃗⃗⃗⃗⃗ ·m =0得{3y 1=0,x 1+3y 1+√3z 1=0,取m =(√3,0,-1);由{AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,AK ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0得{2x 2+3y 2=0,x 2+3y 2+√3z 2=0,取n =(3,-2,√3). 于是,cos <m,n >=m ·n|m |·|n |=√34. 所以,二面角B-AD-F 的平面角的余弦值为√34.28.(2016·全国3·理T19)如图,四棱锥P-ABCD 中,PA ⊥底面ABCD,AD ∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M 为线段AD 上一点,AM=2MD,N 为PC 的中点. (1)证明:MN ∥平面PAB;(2)求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值.【解析】(1)证明由已知得AM=23AD=2.取BP 的中点T ,连接AT ,TN ,由N 为PC 中点知TN ∥BC ,TN=12BC=2. 又AD ∥BC,故TN AM,四边形AMNT 为平行四边形,于是MN ∥AT. 因为AT ⊂平面PAB,MN ⊄平面PAB,所以MN ∥平面PAB.(2)解取BC 的中点E,连接AE.由AB=AC 得AE ⊥BC,从而AE ⊥AD, 且AE=√AB 2-BE 2=√AB 2-(BC2)2=√5.以A 为坐标原点,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴正方向, 建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.由题意知,P (0,0,4),M (0,2,0),C (√5,2,0),N (√52,1,2),PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,-4),PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√52,1,-2),AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√52,1,2).设n =(x ,y ,z )为平面PMN 的法向量, 则{n ·PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{2y -4z =0,√52x +y -2z =0,可取n =(0,2,1).于是|cos <n,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|n ·AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||n ||AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=8√525. 29.(2015·全国2·理T19)如图,长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=16,BC=10,AA 1=8,点E ,F 分别在A 1B 1,D 1C 1上,A 1E=D 1F=4,过点E ,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形. (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由); (2)求直线AF 与平面α所成角的正弦值.【解析】(1)交线围成的正方形EHGF 如图:(2)作EM ⊥AB ,垂足为M , 则AM=A 1E=4,EM=AA 1=8.因为EHGF 为正方形,所以EH=EF=BC=10.以D 为坐标原点,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz , 则A (10,0,0),H (10,10,0),E (10,4,8),F (0,4,8),FE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(10,0,0),HE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-6,8). 设n=(x,y,z)是平面EHGF 的法向量,则{n ·FE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·HE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{10x =0,-6y +8z =0,所以可取n =(0,4,3).又AF⃗⃗⃗⃗⃗ =(-10,4,8), 故|cos <n,AF ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|n ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗||n ||AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4√515. 所以AF 与平面EHGF 所成角的正弦值为4√515.30.(2015·上海·理T19)如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AA 1=1,AB=AD=2,E ,F 分别是棱AB ,BC 的中点.证明A 1,C 1,F ,E 四点共面,并求直线CD 1与平面A 1C 1FE 所成的角的大小.【解析】如图,以D 为原点建立空间直角坐标系,可得有关点的坐标为A 1(2,0,1),C 1(0,2,1),E (2,1,0),F (1,2,0),C (0,2,0),D 1(0,0,1). 因为A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,2,0),EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,0), 所以A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,因此直线A 1C 1与EF 共面, 即A 1,C 1,F ,E 四点共面.设平面A 1C 1FE 的法向量为n =(u ,v ,w ), 则n ⊥EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⊥FC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,又EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,0),FC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,1), 故{-u +v =0,-u +w =0,解得u=v=w. 取u=1,得平面A 1C 1FE 的一个法向量n =(1,1,1).又CD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-2,1),故CD1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n |CD1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n |=-√1515. 因此直线CD 1与平面A 1C 1FE 所成的角的大小为arcsin √1515.31.(2015·北京·理T17)如图,在四棱锥A-EFCB 中,△AEF 为等边三角形,平面AEF ⊥平面EFCB,EF ∥BC,BC=4,EF=2a,∠EBC=∠FCB=60°,O 为EF 的中点. (1)求证:AO ⊥BE;(2)求二面角F-AE-B 的余弦值; (3)若BE ⊥平面AOC,求a 的值.【解析】(1)证明因为△AEF 是等边三角形,O 为EF 的中点, 所以AO ⊥EF.又因为平面AEF ⊥平面EFCB,AO ⊂平面AEF, 所以AO ⊥平面EFCB,所以AO ⊥BE. (2)解取BC 中点G,连接OG. 由题设知EFCB 是等腰梯形,所以OG ⊥EF.由(1)知AO ⊥平面EFCB, 又OG ⊂平面EFCB,所以OA ⊥OG.如图建立空间直角坐标系O-xyz ,则E (a ,0,0),A (0,0,√3a ), B (2,√3(2-a ),0),EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-a ,0,√3a ),BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a-2,√3(a-2),0). 设平面AEB 的法向量为n =(x ,y ,z ),则{n ·EA⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{-ax +√3az =0,(a -2)x +√3(a -2)y =0.令z=1,则x=√3,y=-1. 于是n =(√3,-1,1).平面AEF 的法向量为p =(0,1,0). 所以cos <n,p >=n ·p|n ||p |=-√55.由题知二面角F-AE-B 为钝角,所以它的余弦值为-√55. (3)解因为BE ⊥平面AOC , 所以BE ⊥OC ,即BE⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0. 因为BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a-2,√3(a-2),0),OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,√3(2-a ),0), 所以BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-2(a-2)-3(a-2)2. 由BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC⃗⃗⃗⃗⃗ =0及0<a<2,解得a=43.。

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