高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案
全国各地高考数学真题分章节分类汇编之不等式
2010年全国各地高考数学真题分章节分类汇编之不等式一、填空题：1．（2010年高考陕西卷理科15）(不等式选做题)不等式的解集为.【答案】【解析】（方法一）当时，∵原不等式即为，这显然不可能，∴不适合.当时，∵原不等式即为，又，∴适合.当时，∵原不等式即为，这显然恒成立，∴适合.故综上知，不等式的解集为，即.（方法二）设函数，则∵∴作函数的图象，如图所示，并作直线与之交于点.又令，则，即点的横坐标为.故结合图形知，不等式的解集为.二、解答题：1．（2010年高考福建卷理科21）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲已知函数。
（Ⅰ）若不等式的解集为，求实数的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。
【命题意图】本小题主要考查绝对值的意义、绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力。
【解析】（Ⅰ）由得，解得，又已知不等式的解集为，所以，解得。
（Ⅱ）当时，，设，于是=，所以当时，；当时，；当时，。
2．（2010年高考江苏卷试题21）选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）设a、b是非负实数，求证：。
[解析] 本题主要考查证明不等式的基本方法，考查推理论证的能力。
满分10分。
（方法一）证明：因为实数a、b≥0，所以上式≥0。
即有。
（方法二）证明：由a、b是非负实数，作差得当时，，从而，得；当时，，从而，得；所以。
3. (2010年全国高考宁夏卷24）（本小题满分10分）选修4-5，不等式选讲设函数（Ⅰ）画出函数的图像（Ⅱ）若不等式≤的解集非空，求a的取值范围。
（24）解：（Ⅰ）由于则函数的图像如图所示。
（Ⅱ）由函数与函数的图像可知，当且仅当或时，函数与函数的图像有交点。
故不等式的解集非空时，的取值范围为。
4．（2010年高考辽宁卷理科24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知均为正数，证明：，并确定为何值时，等号成立。
2022届全国高考数学真题分类(不等式)汇编(附答案)
2022届全国高考数学真题分类（不等式）汇编一、选择题1.（2022∙全国甲（文）T12） 已知910,1011,89m m m a b ==-=-，则（ ）A. 0a b >>B. 0a b >>C. 0b a >>D. 0b a >>2.（2022∙全国甲（理）T12） 已知3111,cos ,4sin 3244a b c ===，则（ ） A. c b a >> B. b a c >> C. a b c >> D. a c b >>3.（2022∙新高考Ⅰ卷T7）设0.110.1e ,ln 0.99a b c ===-，，则（ ）A. a b c <<B. c b a <<C. c a b <<D.a cb <<4.（2022∙新高考Ⅱ卷T12） 对任意x ，y ，221+-=x y xy ，则（ ）A. 1x y +≤B. 2x y +≥-C. 222x y +≤D. 221x y +≥参考答案一、选择题1. 【答案】A【答案解析】【名师分析】根据指对互化以及对数函数的单调性即可知9log 101m =>，再利用基本不等式，换底公式可得lg11m >，8log 9m >，然后由指数函数的单调性即可解出．【答案详解】由910m =可得9lg10log 101lg 9m ==>，而()222lg 9lg11lg 99lg 9lg111lg1022+⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以lg10lg11lg 9lg10>，即lg11m >，所以lg11101110110m a =->-=． 又()222lg8lg10lg80lg8lg10lg 922+⎛⎫⎛⎫<=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以lg 9lg10lg8lg 9>，即8log 9m >， 所以8log 989890m b =-<-=．综上，0a b >>．故选：A.2. 【答案】A【答案解析】 【名师分析】由14tan 4c b =结合三角函数的性质可得c b >；构造函数21()cos 1,(0,)2f x x x x =+-∈+∞，利用导数可得b a >，即可得解. 【答案详解】因为14tan 4c b =,因为当π0,,sin tan 2x x x x ⎛⎫∈<< ⎪⎝⎭ 所以11tan 44>,即1c b >,所以c b >； 设21()cos 1,(0,)2f x x x x =+-∈+∞， ()sin 0f x x x '=-+>，所以()f x 在(0,)+∞单调递增， 则1(0)=04f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭,所以131cos 0432->， 所以b a >,所以c b a >>，故选：A3. 【答案】C【答案解析】【名师分析】构造函数()ln(1)f x x x =+-， 导数判断其单调性，由此确定,,a b c 大小.【答案详解】设()ln(1)(1)f x x x x =+->-，因为1()111x f x x x'=-=-++， 当(1,0)x ∈-时，()0f x '>，当,()0x ∈+∞时()0f x '<，所以函数()ln(1)f x x x =+-在(0,)+∞单调递减，在(1,0)-上单调递增， 所以1((0)09f f <=，所以101ln 099-<，故110ln ln 0.999>=-，即b c >， 所以1((0)010f f -<=，所以91ln +01010<，故1109e 10-<，所以11011e 109<， 故a b <，设()e ln(1)(01)xg x x x x =+-<<，则()()21e 11()+1e 11x x x g x x x x -+'=+=--, 令2()e (1)+1x h x x =-，2()e (21)x h x x x '=+-，当01x <<-时，()0h x '<，函数2()e (1)+1x h x x =-单调递减，11x <<时，()0h x '>，函数2()e (1)+1x h x x =-单调递增， 又(0)0h =，所以当01x <<时，()0h x <，所以当01x <<时，()0g x '>，函数()e ln(1)x g x x x =+-单调递增， 所以(0.1)(0)0g g >=，即0.10.1e ln 0.9>-，所以a c >故选：C.4. 【答案】BC【答案解析】【名师分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假． 【答案详解】因为22222a b a b ab ++⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭（,a b ÎR ），由221+-=x y xy 可变形为，()221332x y x y xy +⎛⎫+-=≤ ⎪⎝⎭，解得22x y -≤+≤，当且仅当1x y ==-时，2x y +=-，当且仅当1x y ==时，2x y +=，所以A 错误，B 正确；由221+-=x y xy 可变形为()222212x y x y xy ++-=≤，解得222x y +≤，当且仅当的1x y ==±时取等号，所以C 正确；因为221+-=x y xy 变形可得223124y x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，设cos ,sin 22y x y θθ-==，所以cos ,x y θθθ==，因此2222511cos sin cos 12cos 2333x y θθθθ=θ-θ+=+++ 42π2sin 2,23363θ⎛⎫⎡⎤=+-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以当,33x y ==-时满足等式，但是221x y +≥不成立，所以D 错误．故选：BC ．。
高考真题汇编——理科数学(解析版)8：不等式
2021（高|考）真题分类汇编：不等式1.【2021（高|考）真题重庆理2】不等式0121≤+-x x 的解集为 A.⎥⎦⎤ ⎝⎛-1,21 B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,21 C.[)+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,121. D.[)+∞⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,121, 对【答案】A【解析】原不等式等价于0)12)(1(<+-x x 或01=-x ,即121<<-x 或1=x ,所以不等式的解为121≤<-x ,选A. 2.【2021（高|考）真题浙江理9】设a 大于0 ,b 大于0.2a +2a =2b 2a +2a =2b +3b ,那么a ＞b 2a -2a =2b -2a -2a =a b -3b ,那么a ＜b 【答案】A【解析】假设2223a b a b +=+ ,必有2222a b a b +>+．构造函数：()22x f x x =+ ,那么()2ln 220x f x '=⋅+>恒成立 ,故有函数()22x f x x =+在x ＞0上单调递增 ,即a ＞b 成立．其余选项用同样方法排除．应选A3.【2021（高|考）真题四川理9】某公司生产甲、乙两种桶装产品 .生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克 ,B 原料1千克 .每桶甲产品的利润是300元 ,每桶乙产品的利润是400元 .公司在生产这两种产品的方案中 ,要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克 .通过合理安排生产方案 ,从每天生产的甲、乙两种产品中 ,公司共可获得的最|大利润是 ( )A 、1800元B 、2400元C 、2800元D 、3100元【答案】C.【解析】设生产x 桶甲产品 ,y 桶乙产品 ,总利润为Z ,那么约束条件为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>≤+≤+00122122y x y x y x ,目标函数为300400Z x y =+ ,可行域为 ,当目标函数直线经过点M 时z 有最|大值 ,联立方程组⎩⎨⎧=+=+122122y x y x 得)4,4(M ,代入目标函数得2800=z ,应选C.4.【2021（高|考）真题山东理5】变量,x y 满足约束条件222441x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩,那么目标函数3z x y =-的取值范围是(A )3[,6]2- (B )3[,1]2-- (C )[1,6]- (D )3[6,]2-【答案】A【解析】做出不等式所表示的区域如图 ,由y x z -=3得z x y -=3 ,平移直线x y 3= ,由图象可知当直线经过点)0,2(E 时 ,直线z x y -=3的截距最|小 ,此时z 最|大为63=-=y x z ,当直线经过C 点时 ,直线截距最|大 ,此时z 最|小 ,由⎩⎨⎧=+-=-4214y x y x ,解得⎪⎩⎪⎨⎧==321y x ,此时233233-=-=-=y x z ,所以y x z -=3的取值范围是]6,23[-,选A. 5.【2021（高|考）真题辽宁理8】设变量x ,y 满足,15020010⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤+≤≤-y y x y x 那么y x 32+的最|大值为(A) 20 (B) 35 (C) 45 (D) 55 【答案】D【解析】画出可行域 ,根据图形可知当x =5,y =15时2x +3y 最|大 ,最|大值为55 ,应选D 【点评】此题主要考查简单线性规划问题 ,难度适中 .该类题通常可以先作图 ,找到最|优解求出最|值 ,也可以直接求出可行域的顶点坐标 ,代入目标函数进行验证确定出最|值 .6.【2021（高|考）真题广东理5】变量x ,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤112y x y x y ,那么z =3x +y 的最|大值为A.12B.11C.3D. -1 【答案】B【解析】画约束区域如下图 ,令0=z 得x y 3-= ,化目标函数为斜截式方程z x y +-=3得 ,当2,3==y x 时 ,11max =z ,应选B .7.【2021（高|考）真题福建理5】以下不等式一定成立的是 A.B.C.D.【答案】Ｃ.【解析】此类题目多项选择用筛选法 ,对于Ａ当41=x 时 ,两边相等 ,故Ａ错误；对于Ｂ具有根本不等式的形式 ,但是x sin 不一定大于零 ,故Ｂ错误；对于Ｃ ,0)1(012||21222≥±⇔≥+±⇔≥+x x x x x ,显然成立；对于Ｄ任意x 都不成立．应选Ｃ．8.【2021（高|考）真题江西理8】某农户方案种植黄瓜和韭菜 ,种植面积不超过50计 ,投入资金不超过54万元 ,假设种植黄瓜和韭菜的产量、本钱和售价如下表 年产量/亩 年种植本钱/亩 每吨售价 黄瓜 4吨 韭菜 6吨为使一年的种植总利润 (总利润 =总销售收入减去总种植本钱 )最|大 ,那么黄瓜和韭菜的种植面积 (单位：亩 )分别为A ．50 ,0B ．30 ,20C ．20 ,30D ．0 ,50 【答案】B【命题立意】此题考查函数的简单应用 ,以及简单的线性规划问题 .【解析】设黄瓜的种植面积为x ,韭菜的种植面积为y ,那么有题意知⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤+0,549.02.150y x y x y x ,即⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤+0,1803450y x y x y x ,目标函数y x y x y x z 1099.02.163.0455.0+=--⨯+⨯= ,作出可行域如图,由图象可知当直线经过点E 时 ,直线z x y 910910+-=的解决最|大 ,此时z 取得最|大值 ,由⎩⎨⎧=+=+1803450y x y x ,解得⎩⎨⎧==2030y x ,选B.9.【2021（高|考）真题湖北理6】设,,,,,a b c x y z 是正数 ,且22210a b c ++= ,22240x y z ++= ,20ax by cz ++= ,那么a b cx y z++=++A ．14B ．13C ．12D ．34【答案】C【解析】由于222222)())((2cz by ax z y x c b a ++≥++++等号成立当且仅当,t zcy b x a ===那么a =t x b =t y c =t z ,10)(2222=++z y x t 所以由题知2/1=t ,又2/1,==++++++++===t zy x cb a z y xc b a z c y b x a 所以 ,答案选C. 10.【2021（高|考）真题福建理9】假设函数y =2x 图像上存在点 (x ,y )满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥--≤-+m x y x y x 03203 ,那么实数m 的最|大值为A ．12 B.1 C. 32【答案】Ｂ．【解析】如图当直线m x =经过函数xy 2=的图像与直线03=-+y x 的交点时 ,函数x y 2=的图像仅有一个点在可行域内 ,有方程组⎩⎨⎧=-+=032y x y x得1=x ,所以1≤m ,应选Ｂ． 11.【2021（高|考）真题山东理13】假设不等式42kx -≤的解集为{}13x x ≤≤ ,那么实数k =__________. 【答案】2=k【解析】由2|4|≤-kx 可得62≤≤kx ,所以321≤≤x k ,所以12=k,故2=k . 12.【2021（高|考）真题安徽理11】假设,x y 满足约束条件：02323x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩；那么x y -的取值范围为_____． 【答案】[3,0]-【命题立意】此题考查线性规划知识 ,会求目标函数的范围 .【解析】约束条件对应ABC ∆边际及内的区域：3(0,3),(0,),(1,1)2A B C ,那么[3,0]t x y =-∈- .13.【2021（高|考）真题全国卷理13】假设x ,y 满足约束条件那么z =3x -y 的最|小值为_________.【答案】1-【解析】做出做出不等式所表示的区域如图,由y x z -=3得z x y -=3 ,平移直线x y 3= ,由图象可知当直线经过点)1,0(C 时 ,直线z x y -=3的截距最| 大 ,此时z 最|小,最|小值为1-3=-=y x z .14.【2021（高|考）江苏13】 (5分 )函数2()()f x x ax b a b =++∈R ，的值域为[0)+∞， ,假设关于x 的不等式()f x c <的解集为(6)m m +， ,那么实数c 的值为 ▲ ． 【答案】9 .【考点】函数的值域 ,不等式的解集 .【解析】由值域为[0)+∞， ,当2=0x ax b ++时有240a b =-= ,即24a b =, ∴2222()42a a f x x ax b x ax x ⎛⎫=++=++=+ ⎪⎝⎭. ∴2()2a f x x c ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭解得2a c x c -<+< ,22a a c x c --<<- .∵不等式()f x c <的解集为(6)m m +， ,∴()()2622aa c c c ----== ,解得9c = .15.【2021（高|考）江苏14】 (5分 )正数a b c ，，满足：4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，，那么ba的取值范围是 ▲ ． 【答案】[] 7e ，. 【考点】可行域 .【解析】条件4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，可化为：354a c a b c c a bc cb e c⎧⋅+≥⎪⎪⎪+≤⎨⎪⎪⎪≥⎩ . 设==a bx y c c， ,那么题目转化为： x y ，满足35400xx y x y y e x >y >+≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪⎩， ,求y x 的取值范围 . 作出 (x y ， )所在平面区域 (如图 ) .求出=x y e 的切 线的斜率e ,设过切点()00P x y ，的切线为()=0y ex m m +≥ , 那么00000==y ex m me x x x ++,要使它最|小 ,须=0m . ∴yx的最|小值在()00P x y ，处 ,为e .此时 ,点()00P x y ，在=x y e 上,A B 之间 . 当 (x y ， )对应点C 时 , =45=205=7=7=534=2012y x y x yy x y x y xx --⎧⎧⇒⇒⇒⎨⎨--⎩⎩ , ∴yx的最|大值在C 处 ,为7 . ∴y x 的取值范围为[] 7e ，,即ba的取值范围是[] 7e ， . 16.【2021（高|考）真题浙江理17】设a ∈R ,假设x ＞0时均有[(a －1)x －1]( x 2－ax －1)≥0 ,那么a ＝______________．【答案】a =【解析】此题按照一般思路 ,那么可分为一下两种情况： (A )2(1)1010a x x ax ≤⎧⎨≤⎩－－－－ , 无解； (B )2(1)1010a x x ax ≥⎧⎨≥⎩－－－－ , 无解． 因为受到经验的影响 ,会认为此题可能是错题或者解不出此题．其实在x ＞0的整个区间上 ,我们可以将其分成两个区间(为什么是两个 ?) ,在各自的区间内恒正或恒负．(如下答图)我们知道：函数y 1＝(a －1)x －1 ,y 2＝x 2－ax －1都过定点P (0 ,1)． 考查函数y 1＝(a －1)x －1：令y ＝0 ,得M (11a - ,0) ,还可分析得：a ＞1； 考查函数y 2＝x 2－ax －1：显然过点M (11a - ,0) ,代入得：211011a a a ⎛⎫--= ⎪--⎝⎭ ,解之得：2a =± ,舍去2a =- ,得答案：2a =．17.【2021（高|考）真题新课标理14】 设,x y 满足约束条件：,013x y x y x y ≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩；那么2z x y=-的取值范围为 【答案】]3,3[-【解析】做出不等式所表示的区域如图 ,由y x z 2-=得z x y 2121-=,平移直线x y 21= ,由图象可知当直线经过点)0,3(D 时 ,直线z x y 2121-=的截距最|小 ,此时z 最|大为32=-=y x z ,当直线经过B 点时 ,直线截距最|大 ,此时z 最|小 ,由⎩⎨⎧=+-=-31y x y x ,解得⎩⎨⎧==21y x ,即)2,1(B ,此时3412-=-=-=y x z ,所以33≤≤-z ,即z 的取值范围是]3,3[-.。
高考数学真题分类汇编理科-不等式理科
一、选择题1.（2014 安徽理 5）x ，y 满足约束条件20220220x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩，若z y ax =-取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为（）.A.12或1- B. 2或12C. 2或1D.2或1- 2.（2014 北京理 6）若,x y 满足20200x y kx y y +-⎧⎪-+⎨⎪⎩且z y x =-的最小值为4-，则k 的值为（ ）.A.2B.2-C.12 D.12- 3.（2014 广东理 3）若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ⎧⎪+=+⎨⎪-⎩且的最大值和最小值分别为m 和n ，则m n -=（）. A ．5B.6C.7 D. 84.（2014 湖北理 7）由不等式0020x y y x ⎧⎪⎨⎪--⎩确定的平面区域记为1Ω，不等式组12x y x y +⎧⎨+-⎩确定的平面区域记为2Ω，在1Ω中随机取一点，则该点恰好在2Ω内的概率为（）. A.18 B.14 C. 34 D.785.（2014 湖南理 8）某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（）.A.2p q+ B.()()1112p q ++- pq ()()111p q ++6.（2014 辽宁理 3）已知132a -=，21log 3b =，121log 3c =，则（）. A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >>7.（2014 辽宁理 11）当[]2,1x ∈-时，不等式32430ax x x -++恒成立，则实数a 的取值范围是（）.A ．[]5,3--B ．96,8⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．[]6,2--D ．[]4,3-- 8.（2014 山东理 2）设集合{}[]{}12,2,0,2xA x xB y y x =-<==∈，则=B A （ ）.A. []0,2B.()1,3C.[)1,3D. ()1,4 9.（2014 山东理 5）已知实数y x ,满足()01xya a a <<<，则下列关系式恒成立的是（ ）. A.111122+>+y x B.()()22ln 1ln 1x y +>+ C.y x sin sin > D.33y x > 10.（2014 山东理 9）已知,x y 满足的约束条件10,230,x y x y --⎧⎨--⎩当目标函数()0,0z ax by a b =+>>在该约束条件下取得最小值22a b +的最小值为().A.5B.4D.211.（2014 四川理 1）已知集合{}220A x x x =--，集合B 为整数集，则A B =（）.A ．{}1,0,1,2-B ．{}2,1,0,1--C ．{}0,1D ．{}1,0- 12.（2014 四川理 4）若0a b >>，0c d <<，则一定有（）. A ．a b c d >B ．a b c d <C ．a b d c > D ．a b d c<13.（2014 天津理 2）设变量x ，y 满足约束条件0,20,12,y x y y x +-⎧⎪⎩-⎪-⎨则目标函数2z x y =+的最小值为（ ）.A.2B.3C.4D.514.（2014 新课标1理 1）已知集合{}2230A x x x =--，{}22B x x =-<，则AB =（）.A.[]2,1--B.[)1,2-C.[]1,1-D. [)1,215.（2014 新课标1理9）不等式组124x y x y +⎧⎨-⎩的解集记为D .有下面四个命题：1p ：(),x y D ∀∈，22x y +-；2p ：(),x y D ∃∈，22x y +；3p ：(),x y D ∀∈，23x y +；4p ：(),x y D ∃∈，21x y +-.其中真命题是（）.A.2p ，3pB.1p ，2pC.1p ，4pD. 1p ，3p 16.（2014 新课标2理1）设集合{}0,1,2M =，{}2320x x x N -+=，则MN =（）.A.{}1B.{}2C.{}0,1D.{}1,217.（2014 新课标2理9）设,x y 满足约束条件70310350x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩，则2z x y =-的最大值为（）.A.10B.8C.3D.218.（2014 浙江理1）设全集{}2U x x =∈N ，集合{}25A x x =∈N ，则UA =（）.A.∅B. {}2C. {}5D. {}2,519.（2014 重庆理 10）已知ABC △的内角,,A B C 满足()sin2sin A A B C +-+=()1sin 2C A B --+，面积S 满足12S ，记,,a b c 分别为,,A B C 所对的边，则下列不等式成立的是（）.A.()8bc b c +>B.()ab a b +> C.612abc D.1224abc二、填空题1.（2014 大纲理 14）设x ，y 满足约束条件02321x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪-⎩，则4z x y =+的最大值为.2.（2014 福建理 11）若变量y x ,满足约束条件102800x y x y x -+⎧⎪+-⎨⎪⎩，则y x z +=3的最小值为.3.（2014广东理 9）不等式125x x -++的解集为.4.（2014 湖南理 14）变量y x ,满足约束条件4y x x y y k ⎧⎪+⎨⎪⎩，且2z x y =+的最小值为6-，则k =________.5.（2014 辽宁理 16）对于0c >，当非零实数a ，b 满足224240a ab b c -+-=且使|2|a b +最大时，345a b c-+的最小值为.6.（2014 四川理 14）设m ∈R ，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(),P x y ，则PA PB ⋅的最大值是.7.（2014 浙江理13）当实数,x y 满足240101x y x y x +-⎧⎪--⎨⎪⎩时，14ax y +恒成立，则实数a 的取值范围是________.三、解答题1.（2014 辽宁理 24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()211f x x x =-+-，()21681g x x x =-+，记()1f x 的解集为M ，()4g x 的解集为N . （1）求M ； （2）当x MN ∈时，证明：()()2214x f x x f x +⎡⎤⎣⎦.。
历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(等式与不等式综合)汇编(附答案)
历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(等式与不等式综合)汇编解不等式1．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A xx B =-<<=--∣，则A B = （ ） A ．{1,0}- B ．{2,3} C ．{3,1,0}-- D ．{1,0,2}-2．（2024∙上海∙高考真题）已知,x ∈R 则不等式2230x x --<的解集为 ．3．（2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知集合{}2,1,0,1,2M =--，{}260N x x x =--≥，则M N ⋂=（ ）A ．{}2,1,0,1--B ．{}0,1,2C ．{}2-D ．{}24．（2020∙全国∙高考真题）已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B = （ ） A ．{4,1}- B ．{1,5} C ．{3,5}D ．{1,3}基本不等式1．（2024∙北京∙高考真题）已知()11,x y ，()22,x y 是函数2x y =的图象上两个不同的点，则（ ） A ．12122log 22y y x x ++< B ．12122log 22y y x x ++> C ．12212log 2y y x x +<+ D ．12212log 2y y x x +>+ 2．（2021∙全国乙卷∙高考真题）下列函数中最小值为4的是（ ） A ．224y x x =++ B ．4sin sin y x x=+ C ．2y 22x x -=+D ．4ln ln y x x=+3．（2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ） A ．13B ．12C ．9D ．64．（2020∙全国∙高考真题）设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b ab-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ） A ．4B ．8C ．16D ．32参考答案解不等式1．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A xx B =-<<=--∣，则A B = （ ） A ．{1,0}- B ．{2,3}C ．{3,1,0}--D ．{1,0,2}-【答案】A【详细分析】化简集合A ，由交集的概念即可得解.【答案详解】因为{{}|,3,1,0,2,3A x x B =<<=--，且注意到12<<，从而A B = {}1,0-. 故选：A.2．（2024∙上海∙高考真题）已知,x ∈R 则不等式2230x x --<的解集为 ． 【答案】{}|13x x -<<【详细分析】求出方程2230x x --=的解后可求不等式的解集. 【答案详解】方程2230x x --=的解为=1x -或3x =， 故不等式2230x x --<的解集为{}|13x x -<<， 故答案为：{}|13x x -<<.3．（2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知集合{}2,1,0,1,2M =--，{}260N x x x =--≥，则M N ⋂=（ ）A ．{}2,1,0,1--B ．{}0,1,2C ．{}2-D ．{}2【答案】C【详细分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N ，即可根据交集的运算解出． 方法二：将集合M 中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．【答案详解】方法一：因为{}(][)260,23,N x x x ∞∞=--≥=--⋃+，而{}2,1,0,1,2M =--，所以M N ⋂={}2-． 故选：C ．方法二：因为{}2,1,0,1,2M =--，将2,1,0,1,2--代入不等式260x x --≥，只有2-使不等式成立，所以M N ⋂={}2-．故选：C ．4．（2020∙全国∙高考真题）已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B = （ ） A ．{4,1}- B ．{1,5} C ．{3,5} D ．{1,3}【答案】D【详细分析】首先解一元二次不等式求得集合A ，之后利用交集中元素的特征求得A B ⋂，得到结果. 【答案详解】由2340x x --<解得14x -<<， 所以{}|14A x x =-<<，又因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3A B = ， 故选：D.【名师点评】本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交运算，属于基础题目.基本不等式1．（2024∙北京∙高考真题）已知()11,x y ，()22,x y 是函数2x y =的图象上两个不同的点，则（ ） A ．12122log 22y y x x ++< B ．12122log 22y y x x ++> C ．12212log 2y y x x +<+ D ．12212log 2y y x x +>+ 【答案】B【详细分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式详细分析判断AB ；举例判断CD 即可. 【答案详解】由题意不妨设12x x <，因为函数2x y =是增函数，所以12022x x <<，即120y y <<，对于选项AB ：可得121222222x xx x ++>=，即12122202x x y y ++>>， 根据函数2log y x =是增函数，所以121212222log log 222x x y y x x+++>=，故B 正确，A 错误；对于选项D ：例如120,1x x ==，则121,2y y ==， 可得()12223log log 0,122y y +=∈，即12212log 12y y x x +<=+，故D 错误； 对于选项C ：例如121,2x x =-=-，则1211,24y y ==， 可得()122223log log log 332,128y y +==-∈--，即12212log 32y y x x +>-=+，故C 错误， 故选：B.2．（2021∙全国乙卷∙高考真题）下列函数中最小值为4的是（ ） A ．224y x x =++ B ．4sin sin y x x=+ C ．2y 22x x -=+ D ．4ln ln y x x=+【答案】C【详细分析】根据二次函数的性质可判断A 选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出,B D 不符合题意，C 符合题意．【答案详解】对于A ，()2224133y x x x =++=++≥，当且仅当=1x -时取等号，所以其最小值为3，A 不符合题意；对于B ，因为0sin 1x <≤，4sin 4sin y x x=+≥=，当且仅当sin 2x =时取等号，等号取不到，所以其最小值不为4，B 不符合题意；对于C ，因为函数定义域为R ，而20x >，2422242x x xx y -=+=+≥=，当且仅当22x =，即1x =时取等号，所以其最小值为4，C 符合题意； 对于D ，4ln ln y x x=+，函数定义域为()()0,11,+∞ ，而ln x R ∈且ln 0x ≠，如当ln 1x =-，5y =-，D 不符合题意． 故选：C ．【名师点评】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．3．（2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ） A ．13 B ．12C ．9D ．6【答案】C【详细分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MF MF a +==，借助基本不等式212122MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤ ⎪⎝⎭即可得到答案．【答案详解】由题，229,4a b ==，则1226MF MF a +==，所以2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭（当且仅当123MF MF ==时，等号成立）． 故选：C ． 【名师点评】4．（2020∙全国∙高考真题）设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b ab-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ） A ．4 B ．8 C ．16 D ．32【答案】B【详细分析】因为2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，可得双曲线的渐近线方程是b y x a=±，与直线x a =联立方程求得D ，E 两点坐标，即可求得||ED ，根据ODE 的面积为8，可得ab值，根据2c =等式，即可求得答案. 【答案详解】 2222:1(0,0)x y C a b a b -=>> ∴双曲线的渐近线方程是b y x a=±直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两条渐近线分别交于D ，E 两点 不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限 联立x ab y x a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=⎩ 故(,)D a b联立x ab y x a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=-⎩ 故(,)E a b -∴||2ED b =∴ODE 面积为：1282ODE S a b ab =⨯==△双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>∴其焦距为28c =≥==当且仅当a b ==∴C 的焦距的最小值：8故选：B.【名师点评】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了详细分析能力和计算能力，属于中档题.。
理科数学高考真题分类汇编专题7 不等式的综合应用答案
1 23 b
≥
2
2 3b− 6
1 23 b
= 2 2−3 =
1， 4
当且仅当 2 3b −6
=
1 23b
，即 b
= 1时等号成立．
16．(1, 4) ；(1, 3] (4, +)【解析】若 = 2 ，则当x ≥2 时，令 x − 4 0，得 2≤ x 4 ；
当 x 2 时，令 x2 − 4x + 3 0 ，得1 x 2 ．综上可知1 x 4 ，所以不等式 f (x) 0 的解集为(1, 4) ．令 x − 4 = 0，解得 x = 4；令 x2 − 4x + 3 = 0 ，解得 x =1 或 x = 3 ．因
时，
(2,1) A．故选 D．
2．A【解析】解法一 函数 f (x) 的图象如图所示，当 y =| x + a | 的图象经过点 (0, 2)时，可 2
知 a = 2 ．当 y = x + a 的图象与 y = x + 2 的图象相切 时，由 x + a = x + 2 ，得
2
x
2
x
x2 − 2ax + 4 = 0 ，由 = 0 ，并结合图象可得a = 2 ，要使 f (x)≥| x + a | 恒成立，当 2
12．B【解析】在同一坐标系中作出
y
=
m，
y
=
8 2m +1
(m
0 )， y
=
log2
x
图像
如下图，
由 log2 x = m，得 x1 = 2−m, x2 = 2m ，
log2
x
=
8 2m +
1
高考数学试题分类汇编-不等式(含文科理科及详细解析)
8 ，因此 a+b≤2.
3
3 a+b 2
4
6（2017 新课标Ⅱ理） [选修 4—5 ：不等式选讲 ]（ 10 分）
已知 a 0,b 0,a3 b3 2 ．证明：
（ 1） (a b)(a5 b5) 4 ； （ 2） a b 2．
f ( x) x 1 (x 2)
2x 1 当 1 x 2时
2x 1 1
∴1 x 2
x1
f ( x) x 1 ( x 2) 3
当 x 2时 3 1
综上所述 f ( x) 1的解集为 [1, ) .
x2
（2）原式等价于存在 x R ，使 f (x) x2 x m 成立，即 [ f ( x） =| x+1| ﹣| x﹣2| =
， f（ x）≥ 1，
∴当﹣ 1≤x≤2 时， 2x﹣1≥1，解得 1≤x≤2； 当 x＞2 时， 3≥1 恒成立，故 x＞2； 综上，不等式 f （x）≥ 1 的解集为 { x| x≥1} ． （ 2）原式等价于存在 x∈R 使得 f（ x）﹣ x2+x≥m 成立， 即 m≤[ f（ x）﹣ x2+x] max，设 g（x）=f（x）﹣ x2+x．
5，则 a 的取
x
值范围是 ___________．
【考点】 3H：函数的最值及其几何意义．
【专题】11 ：计算题； 35 ：转化思想； 49 ：综合法； 51 ：函数的性质及应用．
【分析】通过转化可知 | x+ ﹣a|+ a≤5 且 a≤ 5，进而解绝对值不等式可知 2a﹣5
≤ x+ ≤5，进而计算可得结论．
【分析】（1）由于 f（x）=| x+1| ﹣| x﹣ 2| =
2022年高考数学真题《不等式》专项汇编(含答案)
2022年高考数学真题《不等式》专项汇编（含答案）1.【2022年 全国甲卷(文)，23】已知a ，b ，c 均为正数，且22243a b c ++=，证明： （1）23a b c ++≤； （2）若2b c =，则113a c+≥. 2.【2022年 全国乙卷(理)，23】已知a ，b ，c 都是正数，且3223231a b c ++=，证明： （1）19abc ≤；（2）a b c b c a c a b ++≤+++3.【2022年 陕西省模拟，23】设x 、y 、z 为正实数，且4x y z ++=. (1)≤(2)证明：()()()22241233x y z -+-+-≥4.【2022年 贵州贵阳模拟，23】已知实数a ，b ，c 满足0a b c ++=.（2）若0a <，0b <，1abc =，求c 的最小值.5.【2022年 安徽马鞍山模拟，23】已知函数()22f x ax x a =++-（a ∈R ） （1）当1a =时，求不等式()6f x <的解集． （2）当13a -≤≤时，求()1f a -的最大值与最小值．6.【2022年 内蒙古呼伦贝尔模拟，23】设函数()231f x x x =+--． (1)求不等式()0f x >的解集；(2)若()f x 的最小值是m ，且232a b c m ++=，求222a b c ++的最小值． 7.【2022年 吉林长春模拟，23】设函数()1f x x =+，()21g x x =-. （1）解关于x 的不等式()()1f x g x ->；（2）若()()22f x g x ax +>+对一切实数恒成立，求实数a 的取值范围. 8.【2022年 四川宜宾模拟，23】 [选修4-5：不等式选讲]： 已知函数()22f x x x =-++. （1）求不等式()24f x x ≥+的解集；（2）若()f x 的最小值为k ，且实数,,a b c ，满足()a b c k +=，求证：22228a b c ++≥9.【2022年 甘肃嘉陵关模拟，23】已知函数()|21||1|f x x x =-++. （1）解不等式()6f x ；（2）记函数()()|1|g x f x x =++的最小值为m ，若,,a b c ∈R ，且230a b c m ++-=，求222a b c ++的最小值.10.【2022年 重庆市模拟，23】已知函数()|2+=(0)f x ax bx a b ->>｜｜｜． (1)若22a b == ，解不等式()2|f x x ≥｜； (2)求证：()2b f x a≥．答案以及解析1.答案：（1）证明见解析 （2）证明见解析解析：（1）解法一（平方转化基本不等式证明）因为22243a b c ++=， 所以2222(2)42(22)a b c a b c ab bc ac ++=+++++()2222223(2)(2)a b b c a c ⎡⎤⎡⎤≤++++++⎣⎦⎣⎦，当且仅当21a b c ===时取等号，所以2222(2)32(2)9a b c a b c ⎡⎤++≤+++=⎣⎦.又a ，b ，c 均为正数，所以23a b c ++≤.解法二（柯西不等式证明）因为22243a b c ++=，所以根据柯西不等式有()()2222222334111(2)a b c a b c ⨯=++++≥++， 当且仅当21a b c ===时取等号. 又a ，b ，c 均为正数，所以23a b c ++≤.解法三（权方和不等式证明）根据权方和不等式可得22221(2)43(111)111a b c a b c ++≤++=++（当且仅当21a b c ===时取等号），所以2(2)9a b c ++≤.又a ，b ，c 均为正数，所以23a b c ++≤. （2）因为2b c =，所以根据（1）有43a c +≤.1113314414114533333a c a c c a a c a c a c a c ⎛++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+≥+=+++≥+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当21a b c ===时取得等号. 2.答案：（1）证明见解析 （2）证明见解析解析：（1）因为a ，b ，c 都是正数，3332221a b c =++≥ 所以19abc ≤，当且仅当2313a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭时等号成立.（2）由基本不等式得b c +≥a b c ≤+， 同理得b ac ≤+c a b ≤+利用不等式的性质得a b cb c a c a b+++++≤333222bc=333222b c ==，当且仅当2313a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭时等号成立.3.答案：(1)见解析(1) 见解析 解析：(1)因为x,y,z 为正实数，由基本不等式可得422x x y z ⎛⎫⎛⎫=+++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当12x y z ===≤(2)由柯西不等式可得()()()()()()()2222222123123111x y z x y z ⎡⎤-+-+-≤-+-+-⋅++⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 所以，()()()()22226412333x y z x y z ++--+-+-≥=， 当且仅当123x y z -=-=-时，即当13x =，43y =，73z =时，等号成立，故()()()22241233x y z -+-+-≥.4、（1）答案：证明见解析解析：证明：由0a b <<，且0a b c ++=，得0c >，0a b ->->，5.答案：（1）75,33⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）最大值为9，最小值为3解析：（1）当1a =时，不等式()6f x <可化为2216x x ++-<，2316x x <-⎧⎨--<⎩，解得723x -<<-；或12236x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪-+<⎩，解得122x -≤≤；或12316x x ⎧>⎪⎨⎪+<⎩，解得1523x << 综上可知，不等式的解集为75,33⎛⎫- ⎪⎝⎭．（2）()2212222f a a a a a a a -=-++-=-++-当12a -≤<时，()[]2222224133,7a a a a a a -+-+=-+=-+∈， 当23a ≤≤时，[]22224,9a a a a -++-=∈， 故所求最大值为9，最小值为3． 6.答案：(1) {|4x x <-或23x >-}（2）2514解析：(1)当32x -时，2310x x --+->，解得4x <-； 当312x -<<时，2310x x ++->，解得213x -<<；当1x 时，2310x x +-+>，解得1x ，综上，不等式()0f x >的解集为{|4x x <-或23x >-}；（2）()34,2332,124,1x x f x x x x x ⎧---⎪⎪⎪=+-<<⎨⎪+⎪⎪⎩可知，当32x =-时，()min 52f x =-，即52m =-，则235a b c ++=，因为()()()222222223123a b c a b c ++++++，所以()2222514a b c ++，即2222514a b c ++a 2+b 2+c 2⩾2514， (当且仅当123a b c==时等号成立)， 故222a b c ++的最小值为25147.答案：（1）1(,1)3；（2）12a -<<.解析：（1）因函数()1f x x =+，()21g x x =-，则()()1|1||21|1f x g x x x ->⇔+-->， 当1x <-时，1211x x --+->，解得3x >，无解， 当112x -≤<时，1211x x ++->，解得13x >，则有1132x <<， 当12x ≥时，1211x x +-+>，解得1x <，则有112x ≤<，综上得：113x <<，所以不等式()()1f x g x ->的解集是1(,1)3.（2）依题意，R x ∀∈，()()22|22||21|2f x g x ax x x ax +>+⇔++->+，当1x ≤-时，3222124x x ax a x ---+>+⇔>--，而34x --在(,1]-∞-上单调递增，当1x =-时，max 3(4)1x--=-，于是得1a >-，当112x -<<时，2221210x x ax ax +-+>+⇔-<，则有110210a a ⎧-≤⎪⎨⎪--≤⎩，解得12a -≤≤，当12x ≥时，1222124x x ax a x ++->+⇔<-+，而14x -+在1[,)2+∞上单调递增，当12x =时，min 1(4)2x -+=，于是得2a <，于是得2a <，综上得12a -<<，所以实数a 的取值范围12a -<<. 8.答案：（1）(,0]-∞（2）见解析解析： （1）①当2x <-时，不等式即为224x x -≥+，解得1,2x x ≤-∴<-； ②当22x -≤≤时，不等式即为424x ≥+，020x x ≤∴-≤≤； ③当2x >时，不等式即为224x x ≥+，x ∈∅. 综上，不等式()24f x x ≥+的解集为(,0]-∞.（2）由绝对值不等式的性质可得：|2||2||(2)(2)|4x x x x -++≥--+=∴当22x -≤≤时，()f x 取最小值4，即4,()4k a b c =∴+=，即4ab ac +=()()22222222228a b c a b a c ab ac ∴++=+++≥+=当且仅当a b c ===. 9.答案：(1) {22}xx -∣(2) 914解析：(1)1,()61216x f x x x -⎧⇔⎨---⎩或11,21216x x x ⎧-<<⎪⎨⎪-++⎩或1,22116,x x x ⎧⎪⎨⎪-++⎩ 解得21x --或112x -<<或122x ， 所以22x -，即不等式()6f x 的解集为{22}xx -∣. (2)()()|1||21||1||1||21|2g x f x x x x x x x =++=-++++=-++∣2||21223x x ---=∣，当且仅当(21)(22)0x x -+时取等号，所以min () 3.g x m == 故233a b c ++=.由柯西不等式()()2222222123(23)9a b c a b c ++++++=，整理得222914a b c++， 当且仅当123a b c ==，即369,,141414a b c ===时等号成立. 所以222a b c ++的最小值为914. 10.答案：(1) 2{|3x x ≤或2}x ≥(2)见解析解析：(1)由题意，22a b ==时，()2|f x x ≥｜即|22|||x x -≥， 则22|22|||x x -≥，即2384|0x x -+≥ ，解得23x ≤ 或2x ≥ ，故不等式解集为2{|3x x ≤ 或2}x ≥ ；(2)证明：()2|2+=||+||,(0)f x ax bx a x b x a b a-->>＝｜｜｜， 当0x < 时，()2-()22f x ax bx a b x -=-++>=， 当20x a ≤≤时，()2-()2f x ax bx b a x +=-+=，由于0b a -< ，故()22()(0)2b f f x f a a=≤≤=，当2x a > 时，()22-2()2()b f x ax bx a b x f a a +=+->==，综合以上，()2b f x a≥.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】专题七 不等式1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21281002f x m x n x m n =-+-+≥≥，在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，则mn 的最大值为（ ）（A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812【答案】B 【解析】2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意，当2m >时，822n m --≥-即212m n +≤.226,182m nm n mn +⋅≤≤∴≤.由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，8122n m --≤-即218m n +≤.28129,22n m n m mn +⋅≤≤∴≤.由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以(182)(1828)816mn n n =-<-⨯⨯=，所以最大值为18.选B..【考点定位】函数与不等式的综合应用.【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现.2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≤，≥，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．32D ．2 【答案】D【解析】如图，先画出可行域，由于2z x y =+，则1122y x z =-+，令0Z =，作直线12y x =-，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z 取得最小值2.考点定位：本题考点为线性规划的基本方法【名师点睛】本题考查线性规划解题的基本方法，本题属于基础题,要求依据二元一次不等式组准确画出可行域，利用线性目标函数中直线的纵截距的几何意义，令0z =，画出直线12y x =-，在可行域内平移该直线，确定何时z 取得最大值，找出此时相应的最优解，依据线性目标函数求出最值，这是最基础的线性规划问题.3．【2015高考广东，理6】若变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≥+2031854y x y x 则yx z 23+=的最小值为（ ） A ．531 B. 6 C. 523D. 4 【答案】C ．【考点定位】二元一次不等式的线性规划．【名师点睛】本题主要考查学生利用二元一次不等式组所表示的平面区域解决线性规划的应用，数形结合思想的应用和运算求解能力，本题关键在于正确作出二元一次不等式组所表示的可行域和准确判断目标函数直线出取得最小值的可行解，属于容易题．4.【2015高考陕西，理9】设()ln ,0f x x a b =<<，若(p f ab =，()2a b q f +=，1(()())2r f a f b =+，则下列关系式中正确的是（ ） A ．q r p =< B ．q r p => C ．p r q =< D ．p r q => 【答案】C【解析】ln p f ab ab ==，()ln22a b a bq f ++==，11(()())ln ln 22r f a f b ab ab =+==()ln f x x =在()0,+∞上单调递增，因为2a b ab +>，所以()(2a bf f ab +>，所以q p r >=，故选C ． 【考点定位】1、基本不等式；2、基本初等函数的单调性．【名师点晴】本题主要考查的是基本不等式和基本初等函数的单调性，属于容易题．解题时一定要注意检验在使用基本不等式求最值中是否能够取得等号，否则很容易出现错误．本题先判断2a b+的大小关系，再利用基本初等函数的单调性即可比较大小．5．【2015高考湖北，理10】设x ∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数. 若存在实数t ，使得[]1t =，2[]2t =，…，[]n t n = 同时成立．．．．，则正整数n 的最大值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】B【解析】因为[]x 表示不超过x 的最大整数.由1][=t 得21<≤t ，由2][2=t 得322<≤t ，由3][4=t 得544<≤t ，所以522<≤t ，所以522<≤t ，由3][3=t 得433<≤t ，所以5465<≤t ，由5][5=t 得655<≤t ，与5465<≤t 矛盾，故正整数n 的最大值是4.【考点定位】函数的值域，不等式的性质.【名师点睛】这类问题一般有两种：[]x 表示不超过x 的最大整数；{}x 表示不小于x 的最大整数. 应注意区别.6.【2015高考天津，理2】设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩ ，则目标函数6z x y =+的最大值为( )（A ）3 （B ）4 （C ）18 （D ）40 【答案】C【考点定位】线性规划.【名师点睛】本题主要考查线性规划与二元一次不等式的几何意义，将二元一次不等式（组）的几何意义与求线性目标函数的最值问题结合在一起，考查线性相关问题和数形结合的数学思想，同时考查学生的作图能力与运算能力.本题中不等式所表示的平面区域为不封闭区域，与平时教学中的练习题有出入，是易错问题.7.【2015高考陕西，理10】某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）A．12万元 B．16万元 C．17万元D．18万元甲乙原料限额A（吨）3212B（吨）128【答案】D【解析】设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为x、y吨，则利润34=+z x y由题意可列321228x yx yxy+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，其表示如图阴影部分区域：当直线340x y z+-=过点(2,3)A时，z取得最大值，所以max324318z=⨯+⨯=，故选D．【考点定位】线性规划．【名师点晴】本题主要考查的是线性规划，属于容易题．线性规划类问题的解题关键是先正确画出不等式组所表示的平面区域，然后确定目标函数的几何意义，通过数形结合确定目标函数何时取得最值．解题时要看清楚是求“最大值”还是求“最小值”，否则很容易出现错误；画不等式组所表示的平面区域时要通过特殊点验证，防止出现错误．8.【2015高考山东，理5】不等式152x x---<的解集是（）（A）（-，4）（B）（-，1）（C）（1，4）（D）（1，5）【答案】A【解析】原不等式同解于如下三个不等式解集的并集;1155()()()152152152x x xI II IIIx x x x x x<≤<≥⎧⎧⎧⎨⎨⎨-+-<-+-<--+<⎩⎩⎩解（I）得：1x< ,解（II）得：14x≤< ,解（III）得：xφ∈ ,所以，原不等式的解集为{}4x x< .故选A.【考点定位】含绝对值的不等式的解法.【名师点睛】本题考查了含绝对值的不等式的解法，重点考查学生利用绝对值的意义将含绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式（组）从而求解的能力，本题属中档题.9.【2015高考福建，理5】若变量,x y满足约束条件20,0,220,x yx yx y+≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩则2z x y=-的最小值等于 ( )A．52- B．2- C．32- D．2值，解该类题目时候，往往还要将目标直线的斜率和可行域边界的斜率比较，否则很容易出错，属于基础题．10.【2015高考山东，理6】已知,x y满足约束条件2x yx yy-≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若z ax y=+的最大值为4，则a=（）（A）3 （B）2 （C）-2 （D）-3【答案】B【解析】不等式组2x yx yy-≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩在直角坐标系中所表示的平面区域如下图中的阴影部分所示，若z ax y=+的最大值为4，则最优解可能为1,1x y==或2,0x y==，经检验，2,0x y==是最优解，此时2a=；1,1x y==不是最优解.故选B.【考点定位】简单的线性规划问题.【名师点睛】本题考查了简单的线性规划问题，通过确定参数a的值，考查学生对线性规划的方法理解的深度以及应用的灵活性，意在考查学生利用线性规划的知识分析解决问题的能力.11.【2015高考新课标1，理15】若,x y满足约束条件1040xx yx y-≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则yx的最大值为 .【答案】3【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，yx是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A（1,3）与原点连线的斜率最大，故yx的最大值为3.【考点定位】线性规划解法【名师点睛】对线性规划问题，先作出可行域，在作出目标函数，利用z的几何意义，结合可行域即可找出取最值的点，通过解方程组即可求出做最优解，代入目标函数，求出最值，要熟悉相关公式，确定目标函数的意义是解决最优化问题的关键，目标函数常有距离型、直线型和斜率型.12.【2015高考浙江，理14】若实数,x y满足221x y+≤，则+-+--的最小值是．x y x y2263【答案】3.【考点定位】1.线性规划的运用；2.分类讨论的数学思想；3.直线与圆的位置关系【名师点睛】本题主要考查了以线性规划为背景的运用，属于中档题根据可行域是圆及其内部的特点，结合直线与圆的位置关系的判定，首先可以将目标函数的两个绝对值号中去掉一个，再利用分类讨论的数学思想去掉其中一个绝对值号，利用线性规划知识求解，理科试卷的线性规划问题基本考查含参的线性规划问题或者是利用线性规划的知识解决一些非线性的目标函数或可行域的问题，常需考查目标函数或可行域的几何意义求解，在复习时应予以关注.13．【2015高考新课标2，理14】若x ，y 满足约束条件1020,220,x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，，则z x y =+的最大值为____________．【答案】32【解析】画出可行域，如图所示，将目标函数变形为y x z =-+，当z 取到最大时，直线y x z =-+的纵截距最大，故将直线尽可能地向上平移到1(1,)2D ，则z x y =+的最大值为32．【考点定位】线性规划．xy–1–2–3–41234–1–2–3–41234DCBO【名师点睛】本题考查线性规划，要正确作图，首先要对目标函数进行分析，什么时候目标函数取到最大值，解该类题目时候，往往还要将目标直线的斜率和可行域边界的斜率比较，否则很容易出错，属于基础题． 14.【2015高考江苏，7】不等式224x x-<的解集为________.【答案】(1,2).-【解析】由题意得：2212x x x -<⇒-<<，解集为(1,2).- 【考点定位】解指数不等式与一元二次不等式【名师点晴】指数不等式按指数与1的大小判断其单调性，决定其不等号是否变号；对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的解集，先研究ac b 42-=∆，按照0>∆，0=∆，0<∆三种情况分别处理，具体可结合二次函数图像直观写出解集.15.【2015高考湖南，理4】若变量x ，y 满足约束条件1211x y x y y +≥-⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则3z x y=-的最小值为（ ）B.-1C.1 【答案】A.【解析】如下图所示，画出线性约束条件所表示的区域，即可行域，作直线l ：30x y -=，平移l ，从而可知当2-=x ，1=y 时，min 3(2)17z =⨯--=-的最小值是7-，故选A.【考点定位】线性规划.【名师点睛】本题主要考查了利用线性规划求线性目标函数的最值，属于容易题，在画可行域时，首先必须找准可行域的范围，其次要注意目标函数对应的直线斜率的大小，从而确定目标函数取到最优解时所经过的点，切忌随手一画导致错解.【2015高考上海，理17】记方程①：2110x a x ++=，方程②：2220x a x ++=，方程③：2340x a x ++=，其中1a ，2a ，3a 是正实数．当1a ，2a ，3a 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ）A ．方程①有实根，且②有实根B ．方程①有实根，且②无实根C ．方程①无实根，且②有实根D ．方程①无实根，且②无实根 【答案】B【考点定位】不等式性质【名师点睛】不等式的基本性质:同向同正可乘性0a b ac bd c d >>⎧⇒>⎨>>⎩,可推：00a b a bc d d c>>⎧⇒>⎨>>⎩一元二次方程有解的充要性：0∆≥；一元二次方程无解的充要性：0∆<；利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围．解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．。