D12_2数项级数及审敛法1
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高等数学课件--D12_2数项级数及审敛法
发散 .
2012-10-12
同济版高等数学课件
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2) 若 p 1, 因为当
1 n
p
时,
dx
1
1 n
p
1 x
p
, 故
n
1
p
n 1 n n
1 1 p 1 dx p 1 p n 1 x p 1 (n 1) n
1
1 1 1 11 1 1 1 p 1 考虑强级数 p 1 p p p1 p的部分和 p 1 1 1 1 2 2 n 2 ( n 1) n 3 n (n 1)
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是两个正项级数,
(1) 当 0 l 时, 两个级数同时收敛或发散 ;
(2) 当 l 0 且 vn 收敛时,
(3) 当 l 且 vn 发散时,
也收敛 ;
也发散 .
注: 1) un , vn均为无穷小时, l 的值反映了它们不同阶的比较.
2) 特别取 vn
发散, 则有 这说明强级数
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也发散 .
例1. 讨论 p 级数 1
的敛散性.
1 2
p
1 3
p
1 n
p
(常数 p > 0)
解: 1) 若 p 1, 因为对一切
1 n
而调和级数
n 1
1 n
发散 , 由比较审敛法可知 p 级数
证: 设 收敛 , 令
vn
1 2 ( un un )
D122数项级数及审敛法36038
12.1.15、若 u n 收敛，下列级数中收敛的是： n 1
（A） (un S) 收敛
n1
（B）
1 u n 1 n
收敛
C
（C） u n 1 收敛
（D） u n 收敛
n1
n1
解:
（D）取
un
1 n2
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B 12.1.4、下列级数中，哪一个发散
（A）
n1
1 n2
（C） e nx (x0)
n 1
n 1
且存在 NN,对一切 nN,有unkvn(常数 k > 0 ),
(1) 若强级数 v n 收敛 , 则弱级数 u n 也收敛 ;
n 1
n 1
(2) 若弱级数 u n 发散 , 则强级数 v n 也发散 .
n 1
n 1
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绝对收敛 .
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(2) 令
un
n2 en
,
(n 1)2
lim un1 lim e n 1 n un n n 2
en
(2)
(1)n
n1
n2 en
nl im1enn12
1 e
1
n1
(1)n
n2 en
例1. 讨论 p 级数 121p31p n1p (常数 p > 0)
的敛散性.
解: 1) 若 p1,因为对一切 nN,
1 np
1 n
而调和级数
n 1
12-2正项级数及审敛法
下页
定理2’(比较审敛n (1)如果 lim l (0l), 且 vn 收敛, 则 un 收敛 n vn n 1 n1 un (2)如果 lim l (0l), 且 vn 发散, 则 un 发散. n vn n 1 n1
下页
定理2(比较审敛法)
设 un 和 vn 都是正项级数, 且 unv n (n1, 2, ).
若 vn 收敛, 则 un 收敛 若 un 发散, 则 vn 发散.
n 1
n1
n1
n1
n1
n1
•推论
设 un 和 vn 都是正项级数, 且 unkv n(k 0, nN).
根据极限审敛法, 知所给级数收敛.
作业
P225 1 {1、3、5、7} ; 2
{1、3、5、7} ;
3
4 6
{1、3、5} ;
{1、3} ; {1、3}；
7； 8；
结束
所以, 根据比值审敛法可知所给级数发散.
下页
定理3(比值审敛法, 达朗贝尔判别法)
un1 设 un 为正项级数, 如果 lim , 则当 1 时级数 n un n1 收敛 当1(或)时级数发散 当1时级数可能收敛也可 能发散.
1 (2n 1)2n 的收敛性. n 1 1 解 因为 2 , 而级数 12 收敛, (2n 1)2n n n1 n 所以, 根据比较审敛法可知所给级数收敛.
所以, 根据比值审敛法可知所给级数收敛.
下页
定理3(比值审敛法, 达朗贝尔判别法)
un1 设 un 为正项级数, 如果 lim , 则当 1 时级数 n un n1 收敛 当1(或)时级数发散 当1时级数可能收敛也可 能发散.
定理2’(比较审敛n (1)如果 lim l (0l), 且 vn 收敛, 则 un 收敛 n vn n 1 n1 un (2)如果 lim l (0l), 且 vn 发散, 则 un 发散. n vn n 1 n1
下页
定理2(比较审敛法)
设 un 和 vn 都是正项级数, 且 unv n (n1, 2, ).
若 vn 收敛, 则 un 收敛 若 un 发散, 则 vn 发散.
n 1
n1
n1
n1
n1
n1
•推论
设 un 和 vn 都是正项级数, 且 unkv n(k 0, nN).
根据极限审敛法, 知所给级数收敛.
作业
P225 1 {1、3、5、7} ; 2
{1、3、5、7} ;
3
4 6
{1、3、5} ;
{1、3} ; {1、3}；
7； 8；
结束
所以, 根据比值审敛法可知所给级数发散.
下页
定理3(比值审敛法, 达朗贝尔判别法)
un1 设 un 为正项级数, 如果 lim , 则当 1 时级数 n un n1 收敛 当1(或)时级数发散 当1时级数可能收敛也可 能发散.
1 (2n 1)2n 的收敛性. n 1 1 解 因为 2 , 而级数 12 收敛, (2n 1)2n n n1 n 所以, 根据比较审敛法可知所给级数收敛.
所以, 根据比值审敛法可知所给级数收敛.
下页
定理3(比值审敛法, 达朗贝尔判别法)
un1 设 un 为正项级数, 如果 lim , 则当 1 时级数 n un n1 收敛 当1(或)时级数发散 当1时级数可能收敛也可 能发散.
高等数学课件D112数项级数及审敛法
n 1
n
因此对一切 nZ, 有 S n k
由定理 1 可知, 弱级数 u n 也收敛 .
n 1
(2) 若弱级数 u n 发散, 则有 limSn,
n 1
n
因此 nl i mn,这说明强级数 n 1 v n 也发散 .
2019/10/31
高等数学课件
n 1
(n1,2, )有界 .
证: “ ” 若 u n 收敛 , 则 Sn收,敛 故有界.
n 1
“
” un0,∴部分和数列 Sn单调递增,
又已知 Sn有界, 故Sn收敛 , 从而 u n 也收敛.
n 1
2019/10/31
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n 1
n 1
证: 因在级数前加、减有限项不改变其敛散性, 故不妨
设对一切 nZ , 都有 unkvn,
令Sn和 n 分别表示弱级数和强级数的部分和, 则有
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S n kn
(1) 若强级数 v n 收敛, 则有 limn
n1 n
1
1
k2
1 k
发散
根据比较审敛法可知, 所给级数发散 .
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定理3. (比较审敛法的极限形式) 设两正项级数
un,
vn
满足 lim
un l, 则有
n1 n1
n vn
(1) 当 0 < l <∞ 时, 两个级数同时收敛或发散 ;
数项级数及审敛法
设对一切
都有
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分别表示
和
的部分和, 则有
(1) 若级数
收敛, 由定理1，则 有界，
因此 也有界 由定理 1 可知, 级数
也收敛 .
(2) 是(1) 的逆否命题。
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比较审敛法的基本形式：
设正项级数
满足：
则 (1) 若级数
收敛 , 则级数
故有界.
“”
∴部分和数列 单调递增,
又已知
有界, 故 收敛 , 从而
也收敛.
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定理2 (比较审敛法) 设
是两个正项级数,
且存在
对一切
有
则有
(1) 若级数
收敛 , 则级数
(常数 k > 0 ), 也收敛 ;
(2) 若级数
发散 , 则级数
也发散 .
证: 因在级数前加、减有限项不改变其敛散性, 故不妨
2) 若 p 1, 因为当
Sn
1
1 2p
L
1 np时,Fra bibliotek1 np
1 xp
,故
1
2 1
1 2p
d
x
L
n1 n1 n p d x
1 2 1 d x L n 1 d x
1 xp
x n1 p
1 n x p d x 1 x1 p n 1 1 n1 p
1
1 p 1
p 1
1 1 , 故 p 级数收敛 . p 1
推论：
为二个正项级数，且当 n N
（N为某一正整数）时，存在 C1 > 0, C2 > 0, 使
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sin
1 n
～
1 n
n
n n n
根据比较审敛法的极限形式知
n1sin1n 发散.源自例4.判别级数 ln
n1
1
1 n2
的敛散性.
ln(1
1 n2
)
～
1 n2
解:
lim n 2
n
ln
1
1 n2
limn2
n
1 n2
1
根据比较审敛法的极限形式知n1ln1n12 收敛.
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定理4 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法)
是单调递增有界数列, 故
又 n l iS 2 m n 1 n l i(S m 2 n u 2 n 1 ) 故级数收敛于S, 且 S u1,
(u n 1 u n 2 ) r n u n 1 u n 2 un1
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用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:
(2) 当l 0且 vn收敛时,
也收敛 ;
(3) 当l 且 vn 发散时,
也发散 .
特别取
vn
1 np
,
对正项级数 un, 可得如下结论
:
0l
limn p nnl
n
p1, 0l
un发散 un收敛
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例3. 判别级数 sin
n 1
1 n
的敛散性 .
解: lim nsin 1 lim n 1 1
定理3. (比较审敛法的极限形式) 设两正项级数
满足 lim un l, 则有 n vn
(1) 当 0 < l <∞ 时, 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 l = 0
最新(同济大学)高等数学课件D112数项级数及审敛法44231
(同济大学)高等数学课 件D112数项级数及审
敛法44231
一、正项级数及其审敛法
若 un 0, 则称 u n 为正项级数 . n 1
定理 1. 正项级数
收敛
部分和序列
有界 .
证: “ ” 若
收敛 ,
故有界.
“”
∴部分和数列 单调递增,
又已知
有界, 故 收敛 , 从而
也收敛.
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定理3. (比较审敛法的极限形式) 设两正项级数
满足 lim un l, 则有 n vn
(1) 当 0 < l <∞ 时, 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 l = 0
(3) 当 l =∞ 证: 据极限定义,
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( l ) v n u n ( l ) v n (nN)
(2) 当l 0且 vn收敛时,
也收敛 ;
(3) 当l 且 vn 发散时,
也发散 .
特别取
vn
1 np
,
对正项级数 un, 可得如下结论
:
0l
limn p nnl
n
p1, 0l
un发散 un收敛
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例3. 判别级数 sin
n 1
1 n
的敛散性 .
解: lim nsin 1 lim n 1 1
上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?
1) 1 ; n1 n
2) 1 ; n1 n !
3)
n n110 n
.
发散
收敛
收敛
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三、绝对收敛与条件收敛
敛法44231
一、正项级数及其审敛法
若 un 0, 则称 u n 为正项级数 . n 1
定理 1. 正项级数
收敛
部分和序列
有界 .
证: “ ” 若
收敛 ,
故有界.
“”
∴部分和数列 单调递增,
又已知
有界, 故 收敛 , 从而
也收敛.
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定理3. (比较审敛法的极限形式) 设两正项级数
满足 lim un l, 则有 n vn
(1) 当 0 < l <∞ 时, 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 l = 0
(3) 当 l =∞ 证: 据极限定义,
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( l ) v n u n ( l ) v n (nN)
(2) 当l 0且 vn收敛时,
也收敛 ;
(3) 当l 且 vn 发散时,
也发散 .
特别取
vn
1 np
,
对正项级数 un, 可得如下结论
:
0l
limn p nnl
n
p1, 0l
un发散 un收敛
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例3. 判别级数 sin
n 1
1 n
的敛散性 .
解: lim nsin 1 lim n 1 1
上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?
1) 1 ; n1 n
2) 1 ; n1 n !
3)
n n110 n
.
发散
收敛
收敛
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三、绝对收敛与条件收敛
数项级数审敛法
(c
n 1
n
an ) 为正项级数，
且由正项级数的比较判 别法知其收敛 . 由 (cn an )及 an 的收敛性知原级数收敛 .
n 1 n 1
4.设 an
n 1
2
| an | 收敛, 证明 收敛 n n 1
| an | 1 2 1 1 2 (an 2 ), 而 an 及 2 均收敛， n 2 n n 1 n 1 n 故由正项级数的比较判 别法知原级数绝对收敛 .
n
lim S 2 n 1 lim( S 2 n u2 n 1 ) S
n n
则
lim S n S u1
n
交错级数
同理
例如 1
| rn | un1 un2 un1.
1 1 1 n 1 1 (1) 2 3 4 n
定理3(比较审敛法极限形式)
un l (0 l ) 设 u n 和 vn 都是正项级数, 如果 lim n v n 1 n 1 n
则 证
u
n 1
n
和
v
n 1
n
同时收敛或同时发散.
l 2
l un l l l 2 vn 2
un lim l n v n
(i).un un1; (n 3,4,...) (ii).lim un 0
n
f ( x)
ln x .( x 2) 单调减少 x
f ( x)
1 ln x 0.( x e) 2 x
思考
f ( x) 1.设 f ( x) 在 x 0 邻域内有连续二阶导数 , 且 lim 0, x0 x 1 证明 f ( )绝对收敛. n n 1 f ( x) lim 0 及 f ( x) 在 x 0 邻域内有连续二阶导数 x 0 x f (0) 0, f ' (0) 0 从而
数项级数及审敛法
1 n 4 收敛 , n 1
n 1
sin n 收敛 4 n
sin n 因此 绝对收敛 . 4 n 1 n
(2) 令
(n 1) 2 n 1 u n 1 e lim lim n u n n n2 n e 2 1 n 1 1 lim 1 n e n e
第二节 常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法
二、交错级数及其审敛法
三、绝对收敛与条件收敛
一、正项级数及其审敛法
若 un 0 , 则称 u n 为正项级数 .
n 1
定理 1. 正项级数 有界 .
收敛
部分和序列
定理2 (比较审敛法) 设
且存在 对一切 有
是两个正项级数, (常数 k > 0 ),
称为交错级数 . 定理6 . ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件:
1) un un1 ( n 1, 2 , ) ;
2)
n
lim un 0 ,
n 1 ( 1 ) u n 收敛 , 且其和 S u1 , 其余项满足 则级数 n 1
rn un 1 .
1 ln 1 2 解: lim n n 1 n2
1 sin lim n n 1 n
1
1 n2
1
根据比较审敛法的极限形式知
n 1
ln 1
1 n
收敛 . 2
定理4 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法) u n 1 设 为正项级数, 且 lim , 则 n u n (1) 当 1 时, 级数收敛 ;
(2) 当 1 或 时, 级数发散 .
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第二节 常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法
二、交错级数及其审敛法
第十二章
三、绝对收敛与条件收敛
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结束
一、正项级数及其审敛法
若 un 0 , 则称 u n 为正项级数 .
n 1
定理 1. 正项级数 有界 . 证: “ “ 又已知 ” 若 ” 有界, 故
收敛
部分和序列
设 un 0 , n 1, 2 ,, 则各项符号正负相间的级数
称为交错级数 . 定理6 . ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件:
1) un un1 ( n 1, 2 , ) ;
2)
n
lim un 0 ,
(1) n 1u n 收敛 , 且其和 S u1 , 其余项满足 则级数
n
lim n pun l
0l
p 1, 0 l
目录
un 发散 un 收敛
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结束
1 例3. 判别级数 sin 的敛散性 . n n 1 1 1 解: lim n sin lim n 1 n n n n
sin 1 ～ n
用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:
1 1 1 n1 1 n 1 1 1) 1 (1) n 1 收敛 2 3 4 u n 1 n (n 1) ! 1 1n 1 10 n n 1 1 1 1 u n n 1 1 1 10 收敛 n 2) 1 (1) n 2! 3! 4! n ! 10! n 1 2 3 4 n 1 n 3) 2 3 4 (1) 收敛 10 10 10 10 10n
1 n
1 根据比较审敛法的极限形式知 sin 发散 . n n 1 1 例4. 判别级数 ln 1 2 的敛散性. ln(1 12 ) ～ n n n 1
1 n2
1 2 1 解: lim n ln 1 2 lim n 2 1 n n n n
提示:
lim u n 0
n
2 由比较判敛法可知 u n 收敛 . n 1
注意: 反之不成立. 例如,
1 n 2 收敛 , n 1
1 n 发散 . n 1
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作业
P268 1 (1), (3), (5) ; 2
(2), (4) ;
4
(1), (3), (5) ;
结束
( l ) vn u n ( l ) vn
(1) 当0 < l <∞时, 同时收敛或同时发散 ; (2) 当l = 0时,
(n N )
由定理 2 可知
n 1
vn
由定理2 知
若 vn 收敛 ,
n 1
(3) 当l = ∞时,
即
u n vn
由定理2可知, 若 vn 发散 ,
因此 lim un u N 0 , 所以级数发散.
n
un1 说明: 当 lim 1 时,级数可能收敛也可能发散. n u n 1 un1 ( n 1) p lim lim 1 1 例如, p – 级数 n u n n p
n
但
p 1, 级数收敛 ; p 1, 级数发散 .
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例5. 讨论级数
解:
的敛散性 .
un1 (n 1) x n lim lim x n1 n u n nx n
根据定理4可知:
当0 x 1 时, 级数收敛 ;
当x 1时, 级数发散 ; 当x 1时,
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二 、交错级数及其审敛法
根据比较审敛法可知, 所给级数发散 .
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定理3. (比较审敛法的极限形式) 设两正项级数
un 满足 lim l , 则有 n vn
(1) 当 0 < l <∞ 时, 两个级数同时收敛或发散 ;
(2) 当 l = 0 (3) 当 l =∞ 证: 据极限定义,
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1 n 1 1 lim 1 n e n e
2
n 1
n2 n (1) n 收敛, 因此 e
n2 (1) n n 绝对收敛. e n 1
小结
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结束
内容小结
1. un 收敛 部分和数列 {S n } 有极限
2. 判别正项级数敛散性的方法与步骤
解: 1) 若 p 1, 因为对一切
1 n
1 而调和级数 发散 , 由比较审敛法可知 p 级数 n 1 n
发散 .
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结束
2) 若 p 1, 因为当
n 1 1 dx p p n 1 n n n 1 1 1 1 p 1 dx p 1 p n 1 x p 1 (n 1) n
证: (1) 当 1时,
un1 存在 N N , 当n N 时, 1 un
收敛 , 由比较审敛法可知
un 收敛.
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(2) 当 1 或 时, 必存在 N N , u N 0, 当n N 时 从而
un 1 un un 1 u N
n 1
rn un 1 .
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证: S 2n (u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2n 1 u2n )
S 2n u1 (u2 u3 ) (u4 u5 ) (u2n 2 u2n 1 ) u2n
2
1 根据比较审敛法的极限形式知 ln 1 2 收敛 . n n 1
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定理4 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法) un1 , 则 设 为正项级数, 且 lim n u n (1) 当 1 时, 级数收敛 ; (2) 当 1 或 时, 级数发散 .
n 1
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是两个正项级数,
(1) 当 0 l 时, 两个级数同时收敛或发散 ;
(2) 当 l 0 且 vn 收敛时,
也收敛 ;
也发散 .
(3) 当 l 且 vn 发散时,
注: 1) un , vn均为无穷小时, l 的值反映了它们不同阶的比较. 1 2) 特别取 vn p , 对正项级数 un , 可得如下结论 : n
条件收敛 Leibniz判别法:
un un 1 0
n
lim u n 0
则交错级数 (1) n u n 收敛
n 1
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思考与练习
2 设正项级数 u n 收敛, 能否推出 u n 收敛 ? n 1 2 un lim n u n n 1
(B) 绝对收敛;
(D) 收敛性根据条件不能确定. ∴ (B) 错 ;
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上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?
1 1) ; n 1 n
发散
1 2) ; n 1 n !
收敛
n 3) n . n 1 10
收敛
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三、绝对收敛与条件收敛
定义: 对任意项级数
数 若 收敛 , 则称原级
绝对收敛 ；
若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 则称原级 数 条件收敛 .
5 (2), (4)
第三节
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备用题
1. 判别级数的敛散性:
不是 p–级数
解: (1)
1 n 发散 , 故原级数发散 . n 1
(2)
1 n 发散 , 故原级数发散 . n 1
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2.
则级数
C
(A) 发散 ;
(C) 条件收敛 ; 分析: 又
1 n 4 收敛 , n 1
n 1
sin n 收敛 4 n
sin n 因此 绝对收敛 . 4 n 1 n
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(2) 令
n2 n (2) (1) n e n 1
u n 1 lim n u n
(n 1) 2 en1 lim n n2 en
u n 2 vn u n
n 1 n 1
un , 2 vn 收敛
n 1
n 1
un 也收敛
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例7. 证明下列级数绝对收敛 : 2 sin n nn (1) 4 ; (2) (1) n . e n 1 n n 1
sin n 1 证: (1) 4,而 4 n n
收敛 ,
故有界.
∴部分和数列
收敛 , 从而
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单调递增,
也收敛.
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定理2 (比较审敛法) 设
且存在 对一切 有
是两个正项级数, (常数 k > 0 ), 也收敛 ;
(1) 若强级数 (2) 若弱级数
收敛 , 则弱级数 发散 , 则强级数
也发散 .
一、正项级数及其审敛法
二、交错级数及其审敛法
第十二章
三、绝对收敛与条件收敛
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一、正项级数及其审敛法
若 un 0 , 则称 u n 为正项级数 .
n 1
定理 1. 正项级数 有界 . 证: “ “ 又已知 ” 若 ” 有界, 故
收敛
部分和序列
设 un 0 , n 1, 2 ,, 则各项符号正负相间的级数
称为交错级数 . 定理6 . ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件:
1) un un1 ( n 1, 2 , ) ;
2)
n
lim un 0 ,
(1) n 1u n 收敛 , 且其和 S u1 , 其余项满足 则级数
n
lim n pun l
0l
p 1, 0 l
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un 发散 un 收敛
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1 例3. 判别级数 sin 的敛散性 . n n 1 1 1 解: lim n sin lim n 1 n n n n
sin 1 ～ n
用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:
1 1 1 n1 1 n 1 1 1) 1 (1) n 1 收敛 2 3 4 u n 1 n (n 1) ! 1 1n 1 10 n n 1 1 1 1 u n n 1 1 1 10 收敛 n 2) 1 (1) n 2! 3! 4! n ! 10! n 1 2 3 4 n 1 n 3) 2 3 4 (1) 收敛 10 10 10 10 10n
1 n
1 根据比较审敛法的极限形式知 sin 发散 . n n 1 1 例4. 判别级数 ln 1 2 的敛散性. ln(1 12 ) ～ n n n 1
1 n2
1 2 1 解: lim n ln 1 2 lim n 2 1 n n n n
提示:
lim u n 0
n
2 由比较判敛法可知 u n 收敛 . n 1
注意: 反之不成立. 例如,
1 n 2 收敛 , n 1
1 n 发散 . n 1
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作业
P268 1 (1), (3), (5) ; 2
(2), (4) ;
4
(1), (3), (5) ;
结束
( l ) vn u n ( l ) vn
(1) 当0 < l <∞时, 同时收敛或同时发散 ; (2) 当l = 0时,
(n N )
由定理 2 可知
n 1
vn
由定理2 知
若 vn 收敛 ,
n 1
(3) 当l = ∞时,
即
u n vn
由定理2可知, 若 vn 发散 ,
因此 lim un u N 0 , 所以级数发散.
n
un1 说明: 当 lim 1 时,级数可能收敛也可能发散. n u n 1 un1 ( n 1) p lim lim 1 1 例如, p – 级数 n u n n p
n
但
p 1, 级数收敛 ; p 1, 级数发散 .
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例5. 讨论级数
解:
的敛散性 .
un1 (n 1) x n lim lim x n1 n u n nx n
根据定理4可知:
当0 x 1 时, 级数收敛 ;
当x 1时, 级数发散 ; 当x 1时,
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二 、交错级数及其审敛法
根据比较审敛法可知, 所给级数发散 .
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定理3. (比较审敛法的极限形式) 设两正项级数
un 满足 lim l , 则有 n vn
(1) 当 0 < l <∞ 时, 两个级数同时收敛或发散 ;
(2) 当 l = 0 (3) 当 l =∞ 证: 据极限定义,
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1 n 1 1 lim 1 n e n e
2
n 1
n2 n (1) n 收敛, 因此 e
n2 (1) n n 绝对收敛. e n 1
小结
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内容小结
1. un 收敛 部分和数列 {S n } 有极限
2. 判别正项级数敛散性的方法与步骤
解: 1) 若 p 1, 因为对一切
1 n
1 而调和级数 发散 , 由比较审敛法可知 p 级数 n 1 n
发散 .
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2) 若 p 1, 因为当
n 1 1 dx p p n 1 n n n 1 1 1 1 p 1 dx p 1 p n 1 x p 1 (n 1) n
证: (1) 当 1时,
un1 存在 N N , 当n N 时, 1 un
收敛 , 由比较审敛法可知
un 收敛.
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(2) 当 1 或 时, 必存在 N N , u N 0, 当n N 时 从而
un 1 un un 1 u N
n 1
rn un 1 .
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证: S 2n (u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2n 1 u2n )
S 2n u1 (u2 u3 ) (u4 u5 ) (u2n 2 u2n 1 ) u2n
2
1 根据比较审敛法的极限形式知 ln 1 2 收敛 . n n 1
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定理4 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法) un1 , 则 设 为正项级数, 且 lim n u n (1) 当 1 时, 级数收敛 ; (2) 当 1 或 时, 级数发散 .
n 1
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是两个正项级数,
(1) 当 0 l 时, 两个级数同时收敛或发散 ;
(2) 当 l 0 且 vn 收敛时,
也收敛 ;
也发散 .
(3) 当 l 且 vn 发散时,
注: 1) un , vn均为无穷小时, l 的值反映了它们不同阶的比较. 1 2) 特别取 vn p , 对正项级数 un , 可得如下结论 : n
条件收敛 Leibniz判别法:
un un 1 0
n
lim u n 0
则交错级数 (1) n u n 收敛
n 1
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思考与练习
2 设正项级数 u n 收敛, 能否推出 u n 收敛 ? n 1 2 un lim n u n n 1
(B) 绝对收敛;
(D) 收敛性根据条件不能确定. ∴ (B) 错 ;
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上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?
1 1) ; n 1 n
发散
1 2) ; n 1 n !
收敛
n 3) n . n 1 10
收敛
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三、绝对收敛与条件收敛
定义: 对任意项级数
数 若 收敛 , 则称原级
绝对收敛 ；
若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 则称原级 数 条件收敛 .
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第三节
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备用题
1. 判别级数的敛散性:
不是 p–级数
解: (1)
1 n 发散 , 故原级数发散 . n 1
(2)
1 n 发散 , 故原级数发散 . n 1
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2.
则级数
C
(A) 发散 ;
(C) 条件收敛 ; 分析: 又
1 n 4 收敛 , n 1
n 1
sin n 收敛 4 n
sin n 因此 绝对收敛 . 4 n 1 n
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(2) 令
n2 n (2) (1) n e n 1
u n 1 lim n u n
(n 1) 2 en1 lim n n2 en
u n 2 vn u n
n 1 n 1
un , 2 vn 收敛
n 1
n 1
un 也收敛
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例7. 证明下列级数绝对收敛 : 2 sin n nn (1) 4 ; (2) (1) n . e n 1 n n 1
sin n 1 证: (1) 4,而 4 n n
收敛 ,
故有界.
∴部分和数列
收敛 , 从而
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单调递增,
也收敛.
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定理2 (比较审敛法) 设
且存在 对一切 有
是两个正项级数, (常数 k > 0 ), 也收敛 ;
(1) 若强级数 (2) 若弱级数
收敛 , 则弱级数 发散 , 则强级数
也发散 .