第二节正项级数及其收敛法
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11-2正项级数及其审敛法
(方法 比较法 un 方法2) 方法
−n−( −1)n =2
≤ 2−n ⋅ 2 =
1 2n−1
(n ≥ 1)
Q ∑
. 收敛，∴ 原级数收敛 收敛， n−1 n=1 2
∞
1
注 对于∑2
n=1
∞
−n−(−1)n
, 比值法失效！ 比值法失效！
2, n偶数 −1+2(−1)n = 1 =2 ， n奇数 8
但 p > 1, 级数收敛 ; p ≤ 1, 级数发散 .
判别下列级数的收敛性: 例11 判别下列级数的收敛性 ∑2
n=1
∞
−n−(−1)n
.
方法1) 方法 解 (方法 根值法
(−1)n −1− n Q lim n un = lim 2 n→∞ n→∞
. = 2−1< 1 ∴ 原级数收敛
−n ⋅ 2( −1)n+1 =2
n=1 n=1 ∞ ∞
(c ≠ 0) 同敛散 同敛散.
(ⅰ) 若 ⅰ 则 (ⅱ) 若 ⅱ 则
收敛 , 也收敛 ; 发散 , 也发散 .
c
(n ≥ N ),
c
(n ≥ N ),
比较法的使用思路： 比较法的使用思路： 欲证收敛(发散 ，则放大(缩小 缩小) 欲证收敛 发散)，则放大 缩小 发散
2 . 的敛散性 例2 判断正项级数 ∑ n=1 n(n + 1)
n
3d x
o
1 2 n −1 n
= 1+ ∫
n
1
1 1 1 1 d x= 1+ (1 − p−1 ) < 1 + (n = 2,3,L) p p −1 p −1 x n
级数收敛. 级数收敛 p -级数部分和 n有上界， 级数部分和 级数部分和S 有上界， 故当p > 1时, p -级数收敛 时
高等数学-无穷级数简要讲解-2
9.2 常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法
1、正项级数收敛的充要条件
(1)定义:如果级数 un中各项均有un 0， n1
这种级数称为正项级数.
(2)正项级数收敛的充要条件:
如果级数 un为正项级数，则
部分和数列n1{sn}为单调增加数列.
正项级数收敛 部分和所成的数列sn有界.
n
(n
1) n
lim n (1
1 )n
e
1
n
则级数收敛。
5、根值审敛法（柯西判别法）
定理
对于正项级数
n1
un
,
若
lim
n
n
un
，
则当ρ<1时级数收敛， 当ρ>1时级数发散，
ρ=1时级数可能收敛也可能发散。
例8 判别下列级数的敛散性
1
(1) n1 (ln n)n
234
n
更一般的结论：交错级数
(1)n当P 0时收敛。
n2 n p
三、条件收敛与绝对收敛
下面讨论一般项级数 u1+u2 + u3+…+ un + …
其中un为任意实数。
1、定理
对于级数 un , 若级数 | un |收敛，
n1
n1
则级数 un也收敛。
n1
当 | un |收敛时，我们称任意项级数 un绝对收敛。
n2 1
n
1
而
1 收敛，
n2
n1
所以
n2 1
ln(1
一、正项级数及其审敛法
1、正项级数收敛的充要条件
(1)定义:如果级数 un中各项均有un 0， n1
这种级数称为正项级数.
(2)正项级数收敛的充要条件:
如果级数 un为正项级数，则
部分和数列n1{sn}为单调增加数列.
正项级数收敛 部分和所成的数列sn有界.
n
(n
1) n
lim n (1
1 )n
e
1
n
则级数收敛。
5、根值审敛法（柯西判别法）
定理
对于正项级数
n1
un
,
若
lim
n
n
un
，
则当ρ<1时级数收敛， 当ρ>1时级数发散，
ρ=1时级数可能收敛也可能发散。
例8 判别下列级数的敛散性
1
(1) n1 (ln n)n
234
n
更一般的结论：交错级数
(1)n当P 0时收敛。
n2 n p
三、条件收敛与绝对收敛
下面讨论一般项级数 u1+u2 + u3+…+ un + …
其中un为任意实数。
1、定理
对于级数 un , 若级数 | un |收敛，
n1
n1
则级数 un也收敛。
n1
当 | un |收敛时，我们称任意项级数 un绝对收敛。
n2 1
n
1
而
1 收敛，
n2
n1
所以
n2 1
ln(1
数项级数2——正项级数的收敛性
数项级数2 正项级数的收敛性一、本节的例题选讲如下，后面附有详细的解答过程。
例1 讨论级数∑∞=−12141n n 的收敛性。
例2 讨论级数∑∞=−123n n n 的收敛性。
例3 讨论级数∑∞=−1253n n n n的收敛性。
例4 讨论级数∑∞=11sinn n的收敛性。
例5 讨论级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛−11cos 1n n 的收敛性。
例6 讨论级数n n n πtan 23∑∞=的收敛性。
例7 讨论级数()∑∞=++3312n n n n 的收敛性。
例8 讨论级数()∑∞=>+1011n na a 的收敛性。
例9 讨论级数∑∞=−12121n n的收敛性。
例10 讨论级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+111ln n n 的收敛性。
例11 讨论级数∑∞=12sinn nπ的收敛性。
例12 讨论级数∑∞=122sinn nn π的收敛性。
例13 讨论级数()11!2nn n ∞=+∑的收敛性。
例14 讨论级数∑∞=123n n n 的收敛性。
例15 讨论级数∑∞=1!10n nn 的收敛性。
例16 讨论级数∑∞=−1212n nn 的收敛性。
例17 讨论级数∑∞=123n n n 的收敛性。
例18 讨论级数∑∞=12tann nn π的收敛性。
例19 讨论级数()[]∑∞=+11ln 1n n n 的收敛性。
例20 讨论级数123nn n n ∞=⎛⎫⎪−⎝⎭∑的收敛性。
二、上面例题的详细解答。
情况1 利用比较讨论法及其极限形式讨论正项级数的收敛性 例1 讨论级数∑∞=−12141n n 的收敛性。
解：∑∞=−12141n n 和11n n∞=∑都是正项级数，1limlim 2n n n→+∞→+∞==，调和级数11n n∞=∑发散，∴由比较判别法可知，级数∑∞=−12141n n 发散。
例2 讨论级数∑∞=−123n n n 的收敛性。
解： ∑∞=−123n n n 和211n n ∞=∑都是正项级数，22lim lim 3n n n →+∞==， P −级数211n n∞=∑收敛，∴由比较判别法可知，级数∑∞=−123n n n 收敛。
高等数学讲义课件 第2节 数项级数的收敛法
n1
lim an1 1,
n an
或
lim
n
n
an
1.
例如
1 (1)n
n1 n2
收敛,
但
lim an1 n an
不存在.
例5 判断下列级数的敛散性:
(1)
1;
n1 (n 1)!
(2)
n1
x2n n2
;
(3)
n1
n!
x n
n
( x 0);
(4)
n[
n1
3 (1)n ]
( sin ).
n1
n
n1 n
n
ln n
1
例4 证明: n2 n2 收敛, n2n1 2 ln n 发散.
3.比值收敛法和根值收敛法
比值收敛极限法 (达朗贝尔收敛法)
设正项级数 an ,
n1
则 (1) 当 1 时,
若
lim an1 ,
n an
级数收敛;
(2) 当 1 或 时, 级数发散;
4n
;
(5)
n1
n 3n
1
2n1
;
(6)
n1
1 3n
(1
1 )n2 n
.
例6 用适当方法判断下列级数的敛散性:
(1) arctan n;
n1
(2)
n1
n 3n
sin
5n
;
(3) ( n5 1 n5 ); n1
(4)
n1
n4
1 1
; x 4 dx
0
1
(5)
3n ( 1)n
n1
n1
(2) 当 an 发散时， bn也发散。(小的发散大的也发散)
lim an1 1,
n an
或
lim
n
n
an
1.
例如
1 (1)n
n1 n2
收敛,
但
lim an1 n an
不存在.
例5 判断下列级数的敛散性:
(1)
1;
n1 (n 1)!
(2)
n1
x2n n2
;
(3)
n1
n!
x n
n
( x 0);
(4)
n[
n1
3 (1)n ]
( sin ).
n1
n
n1 n
n
ln n
1
例4 证明: n2 n2 收敛, n2n1 2 ln n 发散.
3.比值收敛法和根值收敛法
比值收敛极限法 (达朗贝尔收敛法)
设正项级数 an ,
n1
则 (1) 当 1 时,
若
lim an1 ,
n an
级数收敛;
(2) 当 1 或 时, 级数发散;
4n
;
(5)
n1
n 3n
1
2n1
;
(6)
n1
1 3n
(1
1 )n2 n
.
例6 用适当方法判断下列级数的敛散性:
(1) arctan n;
n1
(2)
n1
n 3n
sin
5n
;
(3) ( n5 1 n5 ); n1
(4)
n1
n4
1 1
; x 4 dx
0
1
(5)
3n ( 1)n
n1
n1
(2) 当 an 发散时， bn也发散。(小的发散大的也发散)
《高数教学课件》第二节正项级数及其审敛法
习题
求下列级数的和 $sum_{n=1}^{infty} frac{n^2}{2^n}$ $sum_{n=1}^{infty} frac{n^3}{3^n}$
习题
$sum_{n=1}^{infty} frac{2^n}{n^3}$
$sum_{n=1}^{infty} frac{n}{3^n}$
判断下列级数是否收敛， 并说明理由
答案与解析
01
02
03
04
判断下列级数是否收敛，并说 明理由
判断下列级数是否收敛，并说 明理由
判断下列级数是否收敛，并说 明理由
判断下列级数是否收敛，并说 明理由
THANK YOU
感谢聆听
正项级数的性质
02
01
03
性质一
正项级数的和一定是正数。
性质二
正项级数的和不会超过其中任意一项。
性质三
正项级数的和一定不会小于其中任意一项。
正项级数的分类
几何级数
是指每一项都是前一项的固定倍数的 级数，如1+2+4+8+16+...。
算术级数
是指每一项都是等差数列的级数，如 1+2+3+4+5+...。
01
03 02
答案与解析
判断下列级数是正项级数还是 交错级数
$sum_{n=1}^{infty} frac{n}{2^n}$ 是正项级数。
$sum_{n=1}^{infty} (-1)^n frac{n}{2^n}$ 是交错级数。
答案与解析
• 解析：正项级数是指每一项都是非负的级数，而交错级数是指每一项符号交替变化的级数。对于第一个级数，每一项都是正的，因此是正项 级数。对于第二个级数，每一项的符号都与前一项相反，因此是交错级数。
11-2高数下常数项级数的审敛法
3.条件是充分的,而非必要.
例
un
2 (1)n 2n
3 2n
vn ,
级数
n1
un
n1
2
(1)n 2n
收敛,
但
un1 un
2 (1)n1 2(2 (1)n )
an ,
lim
n
a2n
1, 6
lim
n
a2n1
3, 2
lim n
un1 un
lim
n
an
不存在.
高等数学（下）
例 4 判别下列级数的收敛性:
un
即 un1 (n N )
un
高等数学（下）
当 1时, 取正数，使r 1,
, uN 2 ruN 1 , uN 3 ruN 2 r 2uN 1 ,
un
r
n
N
1uN
1
,
而级数
rnN 1uN 1收敛,
因此 un 收敛 .
n 1
n1
当 1时, 取正数，使r 1,
un1 un
lim
n
x (1 1 )n
x e
n
∴当0 ＜ x ＜ e 时级数收敛 ; 当 x ＞ e 时发散 .
当 x ＝ e 时 , 注意到 (1 1 )n 单增 ,
un1 un
e (1 1 )n
n
1 un
0 级数发散.
n
高等数学（下）
例6
证明
lim
n
nn (n!)2
0.
考虑级数
nn
n1 (n!)2
高等数学（下）
证明 (1)由lim un l 对于 l 0,
v n n
2
第十章 无穷级数2正项级数的收敛判别法
(1) 当 0 h 时,若 vn收敛,则 un收敛;
n1
n1
(2) 当 0 h 时,若 vn发散,则 un发散.
n1
n1
例3
讨论下列级数的收敛性:
(1)
2n 1
;
n1 (n 1)(n 2)(n 3)
(2) sin 1 ;
n1
n
(3) (1 cos ), (0 ).
在a, A 上可积,若极限 lim A f ( x)dx 存在,则称函数 A a
f
(x)
在a,
上的无穷积分 a
f
( x)dx 收敛.并将上
述极限值定义为无穷积分的值,即
A
f ( x)dx lim f ( x)dx
a
A a
若无极限,则称无穷积分发散.
定理 6 (积分判别法)
设 un为正项级数.若存在一个单调下降的非负 n1
数学分析II
第十章 无穷级数
§2 正项级数的收敛判别法
生物数学教研室
定义: 当 un 0 (n 1,2,) 时, un称正项级数. n1
<注>: 正项级数的部分和序列Sn是单调递增的.
命题: 正项级数 un收敛 其部分和序列有上界. n1
1. 比较判别法
定理 1 ( 比较判别法 )
设两正项级数 un与 vn的一般项满足
n2
1 n(ln n)
p
发散.
当
p 1 时,由比较判别法
1 n(ln n) p
1 (n nln n
3),
级数
n2
1 n(ln n)
p
发散.
当 p 1 时,
A 2
1 x(ln x) p
第二节 正项级数及其审敛法、第三节 绝对收敛与条件收敛
n+1 n
un+1 a ( n + 1 )! n = lim ⋅ n ρ = lim n+1 n→ ∞ u n → ∞ ( n + 1) a n! n
a a = lim = , n→ ∞ 1 n e (1 + ) n 故 ( 1 ) 当 a < e 时 , 即 ρ < 1 时 , 级数收敛
(2) 当 a > e 时 , 即 ρ > 1 时 ,
1 又 ∑ 2 收敛 , n =1 n
∞
故原级数收敛. 故原级数收敛
5.比值审敛法(达朗贝尔 D’Alembert 判别法)： 比值审敛法( Alembert 判别法)
un +1 = ρ (ρ数或 + ∞ ) 是正项级数, 设 ∑ un 是正项级数,如果 lim n→ ∞ u n =1 n
时级数收敛; 时级数发散; 时失效. 则ρ < 1时级数收敛;ρ > 1时级数发散; ρ = 1 时失效.
n =1
∞
∞
1 n+1 ) ∑ ( − ln ; (3) n =1 n n
∞
n
1 1 ~ n ( 2) ∵ n → ∞ 时, n 3 −n 3
1 故原级数收敛. 又 ∑ n 收敛 , 故原级数收敛 n =1 3
∞
n+1 1 ) ∑ ( − ln (3) n =1 n n
∞
1 n+1 − ln n n = lim x − ln(1 + x ) lim n→ ∞ x→0 1 x2 2 n 1 1− x 1 1 + x = lim = lim = , x→0 x → 0 2 x (1 + x ) 2x 2
un+1 a ( n + 1 )! n = lim ⋅ n ρ = lim n+1 n→ ∞ u n → ∞ ( n + 1) a n! n
a a = lim = , n→ ∞ 1 n e (1 + ) n 故 ( 1 ) 当 a < e 时 , 即 ρ < 1 时 , 级数收敛
(2) 当 a > e 时 , 即 ρ > 1 时 ,
1 又 ∑ 2 收敛 , n =1 n
∞
故原级数收敛. 故原级数收敛
5.比值审敛法(达朗贝尔 D’Alembert 判别法)： 比值审敛法( Alembert 判别法)
un +1 = ρ (ρ数或 + ∞ ) 是正项级数, 设 ∑ un 是正项级数,如果 lim n→ ∞ u n =1 n
时级数收敛; 时级数发散; 时失效. 则ρ < 1时级数收敛;ρ > 1时级数发散; ρ = 1 时失效.
n =1
∞
∞
1 n+1 ) ∑ ( − ln ; (3) n =1 n n
∞
n
1 1 ~ n ( 2) ∵ n → ∞ 时, n 3 −n 3
1 故原级数收敛. 又 ∑ n 收敛 , 故原级数收敛 n =1 3
∞
n+1 1 ) ∑ ( − ln (3) n =1 n n
∞
1 n+1 − ln n n = lim x − ln(1 + x ) lim n→ ∞ x→0 1 x2 2 n 1 1− x 1 1 + x = lim = lim = , x→0 x → 0 2 x (1 + x ) 2x 2
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(2) S(x) 在(--R,R)内可导,且
S(x) ( an xn ) (an xn ) nan xn1
n0
n0
n0
即幂级数在(-R,R)内可以逐项求导,所得到的幂级数
收敛半径不变.
可推广到任意阶导数
(3) S(x)在(--R,R)内可积,且
x
S(x)dx
0
x
[
0
an xn ]dx
幂级数 各项都是幂函数的函数项级数
一般形式:
a0 a1(x x0 ) a2 (x x0 )2 an (x x0 )n (1)
特例
a0 a1x a2 x2 an xn 系数 (2)
主要讨论(2),因为(1)可以通过变量代换化成(2)
1.幂级数的收敛域
x = 0 时(2)收敛,一般的,幂级数收敛域是一区间.
收敛,x0 收敛点
发散, x0发散点
函数项级数的全体收敛点的集合称为收敛域
3.和函数： 在收敛域内，函数项级数的和依赖于点x，
因此其和是x的函数，称为和函数
S(x) un(x)
4.余项:
n1
rn (x) S(x) Sn (x)
前n项的部分和
在收敛域内才有意义,且
lim
n
rn
(
x)
0
二. 幂级数及其收敛性
注：用比值或根值审敛法判定的非绝对收敛级 数一定发散。
三、小结
正项级数
任意项级数
1. 若 Sn S ,则级数收敛;
审 2. 当 n , un 0, 则级数发散;
敛 3. 按基本性质;
4. 充要条件
法 5. 比较法
6. 比值法 7. 根值法
4. 绝对收敛 5. 交错级数 (莱布尼茨定理)
(*) 第四节 幂级数
1 n
1 ，且 2n
n1
1 n
发散，
所以原级数在点x 3处发散.
当
x
3 时，由于
(3)n 3n (2)n
1 n
(1)n
1 n
3n
2n (2)n
1 n
,
且
n1
(1)n n
与
n1
3n
2n (2)n
1 n
都收敛，所以原级数在点
x
3 处收敛.
三.幂级数的运算性质
1.四则运算性质
设
an xn f (x)
( |x| <1 )
xn
(2). n0 n 1
设和函数为S(x)
则 xS(x) xn1 n0 n 1
( x xndx)
x
(
xn )dx
0 n0
0 n0
x1
0
1
dx x
ln(1
x)
S ( x)
1 x
ln(1
x),
0 | x | 1
0,
x0
1 n
收敛； x =－1时
( 1 ) 发散
n1 n
(2).
xn
n0 n!
R lim an a n
n1
收敛域是(－∞，∞）
1 lim n!
n 1 (n 1)!
(3). n!xn n1
仅在 x =0 点收敛
R lim an lim n! 0
a n n1
n (n 1)!
(4). (1)n1 (x 2)n
解 un1 (n 1)! 1 0 1 收敛.
un
1 n1
n! n!
(2) n1 10n ;
解
un1 un
(n 1)! 10n1
10n n!
n1 10
发散.
1
(3) n1 nn
解 lim n n
;
un 1
lim 1 n n
0
收 敛.
(4)
.
解
nlim1 2unn(12n
1) lim
n0
n0
x 0
an xndx
n0
an n 1
x n 1
即幂级数在(-R,R)内可以逐项积分,所得到的幂级数 收敛半径不变.
注意:(2),(3)中端点需要另外讨论.
例 求和函数
(1). nxn n1
设和函数为S(x)
S (x) x nxn1 x (xn ) x( xn )
n1
n1
n1
x( x ) x 1 x (1 x)2
n0
bn xn g(x)
n0
收敛半径分别为 R1 和 R2 ,记 R min{ R1, R2} 则对于任意的 x (R, R) , 有
(1). an xn bn xn (an bn )xn f (x) g(x)
n0
n0
n0
(2).( an xn ) ( bn xn ) (a0bn a1bn1 anb0 )xn
n1
则 1时,收敛; 1时,发散.（ 1时失效）
比值审敛法、根值审敛法的优点: 由项的比值或根值的极限值确定级数的收敛性.
注意: 当 1时比值（根值）审敛法失效。
例
对
p
级数
n1
1 np
, 总有 lim un1 n un
lim n n
un 1.
例 5
判别收敛性: (1)
1
;
1
n1 n!
aqn a aq aq2 aqn 的收敛性.
n0
n0
aq
n
当 当
q q
1时,收敛; 1时,发散.
例 4
判定敛散性:
(1)
sin 1 n1 n
; (2)
1 n1 3n n
.
1
解 (1)
lim nsin 1
n
n
sin
lim
n
1 n 1,
发散.
1
n
(2)
lim
n
3n 1
第二节 正项级数及其收敛法
正项级数及其收敛法
一、正项级数及其审敛法
1.定义:
若 un中各 un 0，则称此级数为正项级数. n1
2.正项级数收敛的充分必要条件:
对正项级数，有s1 s2 sn
正项级数收敛的基本定理
正项级数收敛 部分和数列有界.
注：正项级数收敛的本质 —— un 0足够快。
3.比较审敛法 un、 vn为正项级数，且 un vn .
n1
n1
则
v
收
n
敛
un收敛;
un发散
v
发
n
散.
n1
n1
n1
n1
极限形式:
n1
un和
n1
v
同上
n
，且
lim
n
un vn
l.
则
(1) 当 l 时， vn收敛 un收敛;
(2) 当0 l 时， un收敛
v
收
n
敛;
(3) 当0 l 时， un收敛 vn收敛.
注: 比较审敛法的不方便—— 须有参照级数.
重要参照级数: 等比级数, p-级数。
（1）p-级数
1
1 2p
1 3p
1 4p
1 np
的收敛性.( p
0)
结论:
p
级数当 当pp
1时, 1时,
收敛 发散
（2）等比级数(几何级数) (a 0)
n1
np
的收敛性，并在收敛时指出是
绝对收敛还是条件收敛。
解 p 1时, 绝对收敛0； p 1时,
条件收敛；p 0时, 发散。
*定理（绝对收敛与条件收敛的本质） (1) 绝对收敛的级数，可以任意改变项的顺序 ，其收敛性与和均不变； (2) 条件收敛的级数，总可以适当改变项的顺 序，使其按任意预定的方式收敛或发散。
1
xn
(7). n1 3n (2)n n
lim un1
u n n
1
2
n
n
lim n
3n (2)n n 3n1 (2)n1 (n 1)
lim 3
n
31
2
n1
(n
1)
1 3
因为R 1
3
所以收敛半径为 3, 收敛区间为 (3,3)
当
x
3时，因为 3n
3n (2)n
(2n 1) 2n
1,
n un n (2n 1) (2n 2)
比值审敛法失效. 根值审敛法也一定失效.
改用比较审敛法
1
或 lim n2
1 (2n 1) 1/ 4
n (2n 1)2n
2n
1 n2
,
收敛.
第三节 任意项级数
交错级数及其收敛法
绝对收敛与条收收敛
一、交错级数及其审敛法
n1
n1Leabharlann 定义:若 un 收敛, 则称 un 绝对收敛;
n1
n1
若 un 发散,而 un 收敛, 则称 un 条件收敛.
n1
n1
n1
例
6
判别
n1
sin n n2
的收敛性.
解
sin n n2
1 n2
,
而
n1
1 n2
收敛,
n1
sin n n2
收敛,
故原级数（绝对）收敛.
(1)n
例 7 判别
n0
n0
n0
f (x) g(x)
利用乘法可以定义除法
an xn ( bn xn ) ( cn xn ) 则
an xn
n0
cn xn
n0
n0
n0
bn xn n0
n0
注意,商级数的收敛半径可能比原来要小得多