正项级数的常用审敛法和推广比值审敛法的比较
比值判别法20110411
1、正项级数的概念 2、(1)比较判别法
比较判别法的极限形式 (2)比值判别法(达朗贝尔判别法） (3)根值判别法（柯西判别法）
一、正项级数及其审敛法
1.定义:
正项级数
2.基本定理
un ,un 0，
n1
Th1 正项级数收敛 sn有上界.
3. Th2.比较判别法: 设 un和vn均为正项级数，
0,s
0);
解 lim un1 lim an1 ns a n un n (n 1)s an
当a 1时,收敛
当a 1时,发散
当a 1时,
原级数 1 n1 ns
收敛 发散
当s 1时 当s 1时
(3)
1
n1 2n (2n - 1)
解 lim un1 lim (2n 1) 2n 1,
3, 2
lim un1 u n
n
lim
n
an
不存在.
例 4 判别下列级数的收敛性:
nn
(1)
;
n1 n!
(n 1)n1
解
(1) lim un1 lim
n un
n
(n 1)! nn
n!
lim(1 1)n e 1
n
n
故级数 nn 发散. n1 n!
(2)
n1
an ns
(a
1时， 级数敛散性不定。 果记载于《宇宙体系的几个要点研究》中。 达朗 贝尔生前为人类的进步与文明做出了巨大的贡献， 也得到了许多荣誉。但在他临终时，却因教会的阻 挠没有举行任何形式的葬礼。
1717年—1783年
比值判别法的优点: 不必找参考级数.
两点注意:
1.当 1时比值判别法失效，需它法判定。
第十一章 第2节常数项级数审敛法
例 2 证明级数
∑
n =1
∞
1 ∴ 级数 ∑ n 收敛 n =1 n 2
∞
1 是发散的. 是发散的 n( n + 1)
1 1 , > 证明 ∵ n( n + 1) n + 1 ∞ ∞ ∞ 1 1 1 发散. 而级数 ∑ = ∑ 发散∴ 级数 ∑ , n( n + 1) n =1 n =1 n + 1 k =2 k
n=1
∞
(1) 当 ρ < 1 时 , 级数收敛 ; (2) 当 ρ > 1 时 , 级数发散 .
22
说明 :
ρ = 1时 , 级数可能收敛也可能发散 .
例如 p - 级数
∑np
n= 1
nu n
∞
1
1 un = p , n
但
1 = n →1 (n →∞) n
p
p >1 级数收敛 p ≤1 级数发散
∞
∴ un+1 < (ρ +ε ) un < (ρ + ε )2 un−1 < ⋯< (ρ + ε )n−N uN+1
k
∞ n=1 n
∑(ρ +ε ) 收敛 , 由比较审敛法可知, 级数 ∑u
收敛 . 17
un+1 lim =ρ n→∞ un
un+1 当 n ≥ N 时, >1 un ∴ un+1 > un > un−1 >⋯> uN
∑u
n=1
∞
n和
正项级数 ∑v 是两个正项级数 , u
n=1 n
∞
n
≤ k vn ( 常数 k > 0 )
常数项级数的审敛法
23
证明
假设级数
1
收敛，
n1 n
且
lim
n
Sn
S
1 n
则
lim
n
S2n
S
于是
lnim(S2n Sn ) S S 0
例1 证明调和级数 1 1 1 1 1
是发散的。
n1 n
23
n
另一方面
S2n
Sn
1 n 1
n
1
2
111 2n 2n 2n
1 1 2n 2
故
lnim(S2n Sn ) 0
一、正项级数的审敛法
如果级数
un u1 u2 un
n1
的每一项都是非负数，即un ≥0(n=1, 2, …) ，则称此级数为 正项级数。
1.比较审敛法
设级数
un
n1
和
n1
vn
都是正项级数，且un
≤vn
(n=1,
2,
…)。
（1）若级数 vn 收敛，则级数 un 收敛；
（2）若级数
例5 级数 (1)n sin 1 收敛吗？若收敛，是条件收敛还是绝
对收敛？ n1
n
再考虑每项取绝对值，得级数 sin 1
n1 n
由比较审敛法的极限形式，可知级数 sin 1 发散。
n1 n
所以级数 sin 1 是条件收敛。
n1 n
高等数学
1
2n 2n
1
1 2
1
由比较审敛法知，该级数收敛。
例3 判断下列级数的敛散性：
2n 1
(1)
n1
2n
(2) nxn1
n1
(x 0)
正项级数知识
sn
1
1 2p
1 3p
n1pn1p
n
n1
dx xp
y
y
1 xp
(
p
1)
1
12
dx xp
n
n1
dx xp
1
1n
dx xp
o 1234
1
1
1
1
(1 p 1
n p1 ) 1
p 1
即sn有界,则P 级数收敛.
P
级数当 当pp
1时, 1时,
x
收敛 发散
例2证明级数
1 是发散的.
n1 n(n 1)
证明
+
ln 2
dt tq
故q 1时发散，q 1时收敛。
内容小结
1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2. 利用正项级数审敛法
必要条件
lim
n
un
0
满足
不满足 发 散
比值审敛法 nlimuunn1
根值审敛法
lim n
n
un
1
1
收敛
发散
比较审敛法
1
不定
部分和极限
用它法判别
积分判别法
则 1时级数收敛; 1时级数发散; 1时失效.
证明 当为有限数时,对 0,
N ,当n N时,有 un1 ,
un
即 un1 (n N )
un
当 1时,取 1 ,使r 1,
uN 2 ruN 1, uN 3 ruN 2 r 2uN 1, ,
uN m
n1
n1!，（2）n11n0!n
，（3）
n1
(2n
1 1)
2n
几种常用的正项级数审敛法的比较
方法三： 比较审敛法： 设己 Ｕ 一 和
ｎ ＝ｌ 善甚 一 … … 法 一
＝
正整数Ｎ， 当ｎ ≥ Ｎ时有 ≤ ｋ ｖ ． （ ｋ ＞ ０ ） 成 立， 则当 Ｖ ｎ 收 敛时， ｎ ＝ｌ
、 、１ ｎ
例 判 定 下 列 级 数 的 敛 散 性 ： （ １ ） 丽 ｎ ｌ ｎ ｎ Ｉ （ ２ ） 砉 一 １ ｔ １ ）
数的敛散 性时， 都需要预先选定某个收敛（ 或发散） 的级数作为 比较 级数 ［ ３ ］ ， 常用的比较级数是 Ｐ一 级数和等 比级数 。 方｛ 去 五： 比值审｛ ｌ ｉ ［ ｛ 去： 设 为正项 女 口 果
～ ，
则 当Ｐ＜１ 时， 级数 收敛 ； 当 Ｐ＞１ 时， 级数发散 ； 当 Ｐ＞１ 时， 不确定
方 法 一： 收 敛的 必 要 条 件： 若 级 数∑ 收 敛， 则 鳃 ＝ ｏ 。 判 断
ｎ＝ ｌ
此方法适用于一般 项 中含有 ， ｚ ！ ， ａ ，ｎ ， ｎ 或几个数连乘积 的因 式。
级 数 敛 散 性 时 常 用 的 是 它 的 逆 否 命 题， 即： 若
≠ ０ ， 则∑“ ｎ 必
ｎ ＝ｌ
方法六： 根植审 敛法： 设∑“ 为 正项 级数， 如罘
ｎ＝ ｌ
发散 。 所 以当需判断数项级数 的收敛性时 ， 可先看一般项的极 限是
“ ｎ Ｐ， 则当 Ｐ＜１ 时， 级数 收敛 ； 当 Ｐ＞Ｉ 时， 级数 发散 ； 当
否为零， 如己 为零不一定收敛， 但如不为零 ， 一定发散 。 如
正弦函数、 对数 函数 的正项级数 。 利用这两个方法判定一个正项级
２ １ Ｏ ２ ０ １ ５ ＃１ １ 月下 第２ ２ 期 总第２ ２ ６ 期
比值与根值审敛法的推广
， ： 月＞ ｌ ，
ｕ‘ Ｊ ，
｛ ｌ 占 ： 一Ｉ ／ 厂 “ ＜
（） １
２ ．应用
ｆ 然数 ｍ ， Ｉ ！
ｎ＞ｍ： ，自 时
Ｖ１ ｉ
一
ｌ ２ ＜ ） ｇ（
取 ｍ＝ｍａ ｉ ｌｍ！ ，则 当 ｎ ｘ｛ １， ｝ ｉ ＞ｍ 时 ，１ 、２ Ｎ式 同时成 （ ）（ ）
所 ＪＩ 数 ・ ＋）（＋）＋） 收 以Ｌ级 ∑ （ ［ Ｖ 占 ｆ 】 Ｊ “ （ 敛
ｎ １
，
喜 ａ 敛 ｎ（ ； 。
例２
设｝ 比较 敛法－知 级数 ＇ Ｗ． ｛ １ ｔ Ｊ ＞’ 收敛。
Ｊ ＿ ＿＿
判 数（ ” ， 定喜 级 等］ 嵩 。敛 的
■■■ 鬃纛 誊
比值与根值审敛法的推广
居琳 江苏科技 大学数理 学院 ２２ ０ １０３
引 言
在高等数学 中 ，正项级数 的审敛法有很 多种 ，其中以达朗
贝尔比值审敛法与柯西根值审敛法是最基础也是使用频率最高的 两种 方法 。一 般情 况下 ，这两 种 审敛法 都是 分开 来使用 ，事 实上将这两种方法结 合在一起也可 以得 到一种新的审敛法 。
ｍ
｝ ＝ ＜（ ） （ ＋ ， ＋ － Ｖ ）
由
＝ ・ ＋ ）［ ＋ ）＋ ） ” （ ”（ （ ］ “ ∑
义 为此 时 ・ ） （ “＋ 为常数， （ ） ＋ｓ ＜Ｉ “＋ （ ｖ ）
２ ２ ４
： ＜１ ，所 以原级 数
ｌ ｖ ＝ｖ ｉ ｍ ， ，
着
级 数
∑
，
＿
蠢
蠹鬻＿＿
０＿ ¨
发 敞
２ 则（ 当 ＜ 时 级 收敛 ；（ ） １ ｚ １ ， 数∑ ） ｖ
高数 第十一章 无穷级数12.2
n
lim
n
n
2
n1(1cos ) lim n2
n n
n 1 n
1 2
(
n
)2
1 2
2
,
根据极限审敛法, 知所给级数收敛.
铁岭师范高等专科学校 理工学院 数学教研室
lim
n
nun
l
0(或
lim
n
nun
)
,
则级数un n1
发散
(2)如果 p1,
而
lim
n
n
pun
l
(0 l
)
,
则级数un n1
收敛.
例 11
判定级数 n1
n 1(1 c
os
n
)
的收敛性.
3
3
解:
因为
lim
n
n
2
un
lim
n
n
2
n1(1cos ) lim n2
n n
n1 1 ( )2
n 2n
3
铁岭师范高等专科学校 理工学院 数学教研室
❖定理5(根值审敛法, 柯西判别法)
设 un n1
为正项级数,
如果 lim n n
un
,
则当 1 时级数
收敛 当1(或)时级数发散 当1时级数可能收敛也可
能发散.
a
例9 用根值审敛法判定级数 均为正数 的收敛性.
n 1
(
b an
)
n
其中ana(n),
an,
1 n
发散,
n
所以级数 sin 1 也发散.
n n铁1 岭师范高等专科学校 理工学院 数学教研室
证明级数收敛的方法
证明级数收敛的方法
证明级数收敛的方法有以下几种：
1.比较判别法：将所要证明的级数与已知的收敛或发散的级数相互比较，通过比较得出所要证明的级数的性质。
2. 比值判别法：对于正项级数，取它的任意两项 a(n) 和 a(n+1)，求它们的比值 limit_{n->inf}(a(n+1)/a(n))，若该比值小于 1，则级数收敛；若该比值大于 1，则级数发散；若该比值等于 1，则无法判断级数的性质。
3. 根值判别法：对于正项级数，取它的任意一项 a(n)，求出
limit_{n->inf}[a(n)]^(1/n)，若该极限小于 1，则级数收敛；若该极限大于 1，则级数发散；若该极限等于 1，则无法判断级数的性质。
4.积分判别法：将所要证明的级数与某个函数的定积分相比较，通过比较得出所要证明的级数的性质。
5. Abel定理：对于正项级数，如果它的部分和数列 {S(n)} 是一个有界数列，且 {a(n)} 是单调递减的数列，则该级数必定收敛。
注意：以上方法仅适用于正项级数，对于一般的级数，还需要使用更加复杂的方法进行证明。
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正项级数的常用审敛法和推广比值审敛法的比较
摘要数项级数是数的加法从有限代数和到无限和的自然推广．由于无限次相加，许多有限次相加的性质便在计算无限和时发生了改变．首先，有限次相加的结果总是客观存在的，而无限次相加则可能根本不存在有意义的结果。
这就是说，一个级数可能是收敛或发散的．因而，判断级数的敛散性问题常常被看作级数的首要问题。
在通常的微积分学教程中，审敛正项级数的敛散性有许多有效的方法，比如达朗贝尔审敛法，拉贝审敛法等，本文就达朗贝尔审敛法和拉贝审敛法与几个新审敛法进行一些适当的比较总结，另对其应用做一些举例验证。
关键词数学分析正项级数推广比值审敛法
一.预备知识
1.正项级数的定义如果级数
的各项都是非负实数，即
则称此级数为正项级数
2..收敛定理正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列有上界。
若正项级数的部分和数列无上界，则其必发散到
例级数
是正项级数。
它的部分和数列的通项
，
所以正项级数
收敛。
在正项级数敛散性的各种审敛法中，达郎贝尔比值审敛法是最简单而又最常用的审敛法。
二.常规审敛法：
1.达朗贝尔审敛法
……
……
，若
，当L<1，级数收敛，当L>1，级数发散，L=1，不能审敛。
例 1 考虑级数
则
；
所以级数收敛
2.拉贝审敛法
……
……
，若
，则当L<1，级数收敛，L>1，级数发散，L=1，不能审敛。
例 2 判断级数
的敛散性
解设
则
，（达朗贝尔审敛法不可用）
所以级数
三.常规审敛法的比较
由以上两种正向级数的审敛法我们不难看出，相对于达朗贝尔审敛法，拉贝审敛法要更加精细，简洁，这两种审敛法中，达朗贝尔审敛法更为基础，拉贝审敛法的应用相比较之下更为广泛。
但是以上两种审敛法只适用于那种收敛较快或发散较快的正项级数。
但实际上，这个审敛法之可能对那些与几何级数的收敛速度或发散速度相当的正项级数有效，而对正项级数
来说，如果
时，则比值审敛法就无法对级数的敛散性作出审敛。
例如，我们不难证明，当
为n的有历史时，总有
，也就是说此时比值判定法必定失效。
这足以说明比值审敛法的应用范围很窄，因此需要建立一些更细致因而也就更复杂的审敛法。
其中，比较常用的是下面的拉贝审敛法。
拉贝审敛法：设
是正项级数，如果
那么，当p>1时级数收敛：而当p<1时级数发散。
（此证明详见数学分析教材）但是使用拉贝审敛法的时候，求拉贝数串
的极限显然一般要比求达朗贝尔数串
的极限来的复杂。
四.推广比值审敛法：
1.推广比值审敛法法1（隔项比值审敛法）：设正项级数的项单调递减，如果
则p<
时级数收敛；而当p>
时级数发散。
2.推广比值审敛法2（双比值审敛法）：对于正项级数，如果
那么，当p<
时级数收敛；当p>
时级数发散。
推论对于正项级数
，如果
且
存在，那么当p<
时级数收敛；当p>
时级数发散。
由于这两个审敛法法在内容上又不少相似的地方，我们自然会考虑它们之间的关系问题。
为此先看一个具体例子。
例3 讨论级数
的敛散性
解：首先难验算有
，所以达朗贝尔审敛法失效，考虑改用推广比值审敛法。
先用隔项比值审敛法，因为
，因此
，即使。
在利用斯特林公式
，有
所以所给级数发散。
如果对于本题直接用双比值审敛法，则需要计算两个极限，运算较为繁琐。
由于已知
，因此改用审敛法的推论，只需要推出
，计算过程与第一种方法相同。
但免去了证明级数项的递减性。
由此可见，虽然双比值审敛法比隔项审敛法的形式复杂，但是当对于正项数级先试用达朗贝尔审敛法出现
的情况时，如果改用双比值审敛法的推论，可以不必考虑级数的项是否递减。
也就是说，这时双比值审敛法的实用性更好一些。
反之，当容易证明正项级数的项具有递减性时以及
比
的极限更容易计算时，就适宜应用隔项比值审敛法。
一般说来，这两种推广比值审敛法不能互相代替，同时也难以比较它们的强弱。
因为，如果
且{
}递减，则一般并不能推出
存在并等于p；反过来，如果
=
=p存在，则{
}并不一定递减。
五.推广比值审敛法与常规审敛法的比较
我们知道，例3也可以用拉贝审敛法判定其发散性。
因此我们自然要考虑上面的推广比值审敛法与拉贝审敛法之间的强弱问题。
也就是要问，对给定的正项级数。
如果能用某个推广比值判定法判定敛散性，是否一定能用拉贝审敛法？或者反过来，能用拉贝审敛法确定敛散性的正项级数是否必定可用前者判定法判定。
这一问题比较复杂，所以本文只给出下面的一些结果。
命题1 设
>0，如果
则有
）
证明当
时，任意取定
，由条件，对一切充分大的n都有（1）记
，则不难知道，量
等于函数
在点x=0的导数，也就是数。
因为
，所以对充分大的n，有
从而
因此由（1）式得
同理，当n充分大时，有
现不妨设
充分小，由上述知有自然数N，使对一切n>N，有……
以上n个不等式相乘后再倒数得
注意到
得任意性取上式的极限得
现在设
，则
，
自然数
，当
时，有
所以
……
又因为
所以自然数
，当n>
时有
<
,此时
于是
，
自然数
，当n>N时，有
；由M的任意性可知：
，即
，类似可证
时情形。
由此可见，对正项级数
来说，如果拉贝数串
的极限值p分别为大于（小于）1的数，，
；则
将分别小于（大于）
的正数，0及
，从而可得出下面的结论：如果正项级数
的项虽然一般未必递减。
但如果
，则当n充分大时，有
，从而有
，这从另一个侧面说明了拉贝审敛法与隔项比值法具有一定的内在联系。
六.总结：
由以上可知，达朗贝尔审敛法和拉贝审敛法是正项级数常规判敛法中应用较为广泛，实用的两种审敛法，自然对于正项级数来说还有很多的判敛方法，本文只对达朗贝尔审敛法和拉贝审敛法这两种较为经典的审敛法与推广比值审敛法来进行对比总结。
相对的来说，拉贝审敛法比达朗贝尔审敛法更为实用，文上所给例2判断级数
的敛散性。
因为
则
由此可见此时达朗贝尔审敛法已不可用，但可用拉贝审敛法得出：
所以级数
收敛
由此不难看出拉贝审敛法在实用上要强过达朗贝尔审敛法。
而由命题1不难发现，推广比值审敛法中隔项比值审敛法与拉贝审敛法有一定的内在联系，而两种新审敛法中，双比值审敛法作为一种新的审敛法与隔项比值审敛法来比较运算较为繁琐，但是当对于正项数级先试用达朗贝尔审敛法出现
的情况时，如果改用双比值审敛法的推论，可以不必考虑级数的项是否递减。
也就是说，这时双比值审敛法的实用性更好一些。
所以可知，双比值审敛法虽然运算繁琐却实用性较强。
所以达朗贝尔审敛法与拉贝审敛法与两种推广比值审敛法相比较之下，后者比前者更为精细，简练，另外两种新的推广比值审敛法中的隔项比值审敛法与拉贝审敛法有一定的内在联系，可以说推广比值审敛法是对正项级数的常规审敛法的继承发展。
参考文献
[1]陈纪修等主编.数学分析.[M]高等教育出版社.2004.10
[2]刘秋生.正项级数的一个判敛方法.[J]数学通报.1964.3
[3]李铁烽.正项级数判敛的一种新的比值审敛法[J]数学通报.1990.1。