数项级数判别法总结
线性代数---数项级数及比较判别法
当级数 v n 收敛时,则级数 u n 收敛;
n 1
n 1
当级数 u n 发散时,级数 v n 发散.
n 1
n 1
例５
n 1
n 1
(unvn)和unvn是 否 一 定 发 散 ？
n1
n1
(2)设
un
n1
n1
1, n
vn
1
1
n1
n n1 3
而
unvn
n1
n1
1 n
1
1
n3
=
n1
1
4
n3
收敛,
即 通项为两个发散级数之积构成的级数 不一定发散.
课堂练习
1.判断下列级数的敛散性，并对收敛的级数求和.
(1) n 2 n 1
n1
即 通项为收敛级数与发散级数之代数和构成的级
数一定发散.
例3
若级数
un
收敛，而级数
v n 发散
,那么级数
n 1
n 1
(unvn)和unvn是 否 一 定 发 散 ？
n 1
n 1
(2)设
un
=
1 n2
, vn
1 n
,则级数
收敛.
unvn
n1
11=
1
n2
n1
n
n3
n1
即 通项为收敛级数与发散级数之积构成的级数不 一定发散.
q 1时，发散.
2.几个重要级数的敛散性
（3）. p 级数
n 1n1p121p31pn1p
p 1时，收敛，
p
1时，发散.
1
（4）. 级数 n2 n(ln n) p
p 1时，收敛，
线性代数 数项级数及比较判别法
un
1 n n 1
n 1
2
1 vn n 1
1 而 发散 ，根据比较审敛法 n 1 n 1
级数
n 1
1 n n 1
发散.
例6 证明级数 发散． n 1 n n 1 1 设vn 解法二： n 1 n(n 1) n un lim 1 因为 lim lim n n n v 1 n n(n 1) n
n 1
解：不一定.
(1)设
un 2 ,
n n 1
n 1
n v 2 n n 1 n 1
n
而 (un vn )= 2
n 1 n 1
2
n
0 0 收敛,
n 1
即 通项为两个发散级数之和构成的级数 不一定发散.
u n 和级数 vn 都发散 ,那么级数 例4 若级数 n 1 n 1
性质5
若级数 u n 收敛,则在该级数中任意添加
n 1
括号所得的新级数仍收敛,且其和不变.
注
性质5也可以这样理解：收敛级数可任意添
加括号.但如果加括号后所成的级数收敛，则不能
断言去括号后原来的级数也收敛.
例3 若级数 u n 收敛，而级数 vn 发散 ,那么级数 n 1
n 1
1 1 所以级数 2 和级数 2 具有相同的敛散性 n 1 n 3 n 1 n 1 又级数 2 收敛 n 1 n
1 故题设级数 2 收敛. n 1 n 3
例1 若级数
un
n 1
收敛，则级数
级数收敛的判别技巧
级数收敛的判别技巧级数是数学中一个重要的概念，它是由一系列数相加而成的。
在数学中，我们经常需要判断一个级数是否收敛，即求出它的和。
本文将介绍几种常用的级数收敛的判别技巧。
一、正项级数的判别法正项级数是指级数的每一项都是非负数的情况。
对于正项级数，我们可以使用以下几种方法来判断其是否收敛。
1. 比较判别法比较判别法是最常用的判别法之一。
它的基本思想是将待判别的级数与一个已知的级数进行比较，通过比较它们的大小关系来判断级数的收敛性。
比较判别法分为两种情况：（1）若存在一个收敛的级数∑an，使得对于所有的n，都有an≤bn，则待判别的级数∑bn也收敛。
（2）若存在一个发散的级数∑an，使得对于所有的n，都有an≥bn，则待判别的级数∑bn也发散。
2. 比值判别法比值判别法是判别正项级数收敛性的常用方法之一。
它的基本思想是通过计算级数相邻两项的比值的极限来判断级数的收敛性。
具体步骤如下：（1）计算级数相邻两项的比值：rn=an+1/an。
（2）求出极限limn→∞rn。
（3）根据极限的大小判断级数的收敛性：- 若0≤limn→∞rn<1，则级数收敛；- 若limn→∞rn>1，则级数发散；- 若limn→∞rn=1，则判别不出级数的收敛性，需要使用其他方法进行判别。
3. 根值判别法根值判别法也是判别正项级数收敛性的常用方法之一。
它的基本思想是通过计算级数项的根号的极限来判断级数的收敛性。
具体步骤如下：（1）计算级数项的根号：rn=(an)^(1/n)。
（2）求出极限limn→∞rn。
（3）根据极限的大小判断级数的收敛性：- 若0≤limn→∞rn<1，则级数收敛；- 若limn→∞rn>1，则级数发散；- 若limn→∞rn=1，则判别不出级数的收敛性，需要使用其他方法进行判别。
二、任意项级数的判别法任意项级数是指级数的每一项都可以是正数、负数或零的情况。
对于任意项级数，我们可以使用以下几种方法来判断其是否收敛。
数项级数敛散性判别法
数项级数敛散性判别法数项级数是由一系列数值相加而得到的无穷级数。
在数学中，我们经常需要判断一个数项级数的敛散性，即判断它是否会无限逼近一个有限值（收敛）或者永远无法收敛（发散）。
下面将介绍一些常见的判断数项级数敛散性的方法。
1.正项级数判别法（比较判别法）：对于一个数项级数∑an，如果对于所有的n，都有an≥0，并且an+1≤an，那么我们可以使用正项级数判别法来判断敛散性。
即如果极限值lim(n→∞)an=0，则级数收敛；如果极限值lim(n→∞)an>0，则级数发散。
2.比值判别法：如果存在一个正数r，使得lim(n→∞)an+1/an=r，那么根据r的大小，可以判断原级数的敛散性。
具体判别如下：-如果r<1，那么级数收敛；-如果r>1，那么级数发散；-如果r=1，判别不出来，需要使用其他方法进行判断。
3.根值判别法：如果存在一个正数r，使得lim(n→∞)√(n)(an) = r，那么根据r 的大小，可以判断原级数的敛散性。
具体判别如下：-如果r<1，那么级数收敛；-如果r>1，那么级数发散；-如果r=1，判别不出来，需要使用其他方法进行判断。
4.绝对收敛与条件收敛：如果一个级数的各项都是正数，并且该级数收敛，那么称该级数是绝对收敛的。
如果一个级数是收敛的，但其对应的绝对值级数是发散的，则称该级数是条件收敛的。
5.莱布尼茨判别法：对于一个交替级数∑((-1)^(n+1)*bn)，如果满足以下条件，那么该级数收敛：- bn>0，即各项都是正数；- bn≥bn+1（递减趋势）；- lim(n→∞)bn=0。
6.积分判别法：如果能够找到一个函数f(x)，使得f(x)在[1,∞)上连续且单调递减，并且∑an与∫f(x)dx之间有关系，那么可以使用积分判别法来判断敛散性。
具体判别如下：- 如果∫f(x)dx收敛，那么∑an也收敛；- 如果∫f(x)dx发散，那么∑an也发散。
判别数项级数敛散性的常用方法与技巧
判别数项级数敛散性的常用方法与技巧判断数项级数的敛散性是数学分析中的一个重要问题。
对于数项级数a₁+a₂+a₃+⋯，判断它的敛散性可以使用多种方法和技巧。
以下是判别数项级数敛散性的常用方法和技巧：1.部分和序列法（也称柯西收敛准则）：数项级数收敛的必要条件是它的部分和序列收敛。
即，如果部分和序列Sₙ=a₁+a₂+⋯+aₙ收敛，则数项级数也收敛。
这个方法常用于证明一些级数的发散。
2.比较判别法：将待判别的级数与已知级数进行比较，从而确定待判别级数的敛散性。
-比较判别法一：如果对于所有n，都有0≤bₙ≤aₙ，且∑aₙ收敛，则∑bₙ也收敛。
如果∑aₙ发散，则∑bₙ也发散。
-比较判别法二：如果对于所有n，都有aₙ≤bₙ≥0，且∑aₙ发散，则∑bₙ也发散。
如果∑aₙ收敛，则∑bₙ也收敛。
比较判别法常见的应用有比较无穷大级数、比较一致收敛级数和比较正项级数等。
3. 极限判别法（拉阿贝尔判别法）：对于正项级数(非负数列构成的级数)，如果存在极限lim(n→∞)(aₙ/aₙ₊₁)，则：-若极限存在且大于1，则级数发散；-若极限存在且小于1，则级数绝对收敛；-若极限等于1，则不能确定级数的敛散性。
极限判别法适用于有常数项的级数以及指数函数和幂函数构成的级数。
4. 积分判别法：对于正项级数∑aₙ，如果存在连续函数f(x)，满足aₙ = f(n)且f(x)在x≥1上单调递减，则∑aₙ和∫f(x)dx同敛散。
即，级数与积分的敛散性相同。
积分判别法适用于正项级数，特别适用于有幂函数构成的级数。
5.序列收敛法：将待判别级数的项化为序列的形式，然后判断这个序列是否收敛。
如果序列收敛，则级数收敛；如果序列发散或趋于正无穷，则级数发散。
序列收敛法适用于特定结构的级数，如差分级数。
以上是常用的判别数项级数敛散性的方法和技巧。
在具体问题中，可以结合使用不同的方法确定级数的敛散性。
需要注意的是，判别数项级数敛散性的方法与技巧是基于数学分析中的定理和推理的，需要熟练掌握并灵活运用。
级数判别法
级数判别法基本定理：正项级数收敛的充要条件是：∑∞=1n n a的部分和数列}{n S 有界。
1、 比较判别法：设∑∞=1n n a 和∑∞=1n n b是两个正项级数，且存在0>N ，使当N n >时，有不等式n n b a ≤，则：○1：∑∞=1n n b收敛∑∞=⇒1n na 收敛。
○2：∑∑∞=∞=⇒101n n n n ba 发散发散。
2、 比较判别法极限形式：设∑∞=1n na 和∑∞=1n nb 是两个正项级数，且λ=+∞→n nn b a lim，则：○1：当+∞<<λ0时，∑∞=1n na 和∑∞=1n n b具有相同的敛散性。
○2：当0=λ时，∑∞=1n n b 收敛∑∞=⇒1n na 收敛。
○3：当+∞=λ时，∑∞=1n n b 发散∑∞=⇒1n na 发散。
3、 比较判别法II ：设有两正项级数∑∑∞=∞=101n nn n b a 和，)0,0(≠≠n n b a 满足：nn n n b b a a 11++≤，则：○1：∑∞=1n n b收敛∑∞=⇒1n na 收敛。
○2：∑∞=1n na发散∑∞=⇒1n n b发散。
4、 比值判别法（达朗贝尔）：设∑∞=1n n a为正项级数，则：1°若当n 充分大时有：11<≤+q a a n n ，则级数∑∞=1n n a 必收敛。
2°若当n 充分大时有：11≥+n n a a ，则级数∑∞=1n n a 必发散。
5、 达朗贝尔判别法的极限形式：设∑∞=1n n a为正项级数，且2111lim limλλ==+∞→+∞→n n n n n n a a，a a ，+∞≤2,1λ，则：1°：当11<λ时，级数∑∞=1n n a 收敛。
2°：当12>λ时，级数∑∞=1n n a 发散。
6、 根值判别法（Cauchy ）：设∑∞=1n n a为正项级数，则：1°：若当n 充分大时，有1<≤q a nn ，则级数∑∞=1n na 必收敛。
数项级数收敛性的判别
数项级数收敛性的判别一、基本概念数项级数是由一列实数构成的无限级数，形式化表示为：$$\sum_{n=1}^{\infty}a_n=a_1+a_2+...+a_n+...$$其中$a_n$为级数中第$n$个数。
对于数项级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$，我们关心的问题是其收敛性或发散性。
设数列$\{S_n\}$表示数项级数的前$n$项和，则有：二、基本判别法1.正项级数判别法正项级数指所有项都是非负数的级数。
对于正项级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$，若存在正整数$p$，使得对于任意$n\ge p$，都有$a_n\ge a_{n+1}$，则数项级数收敛。
该判别法常被称为级数单调有界准则，或称作单调有界原理，其思路为：单调有界必收敛。
当级数中第$p$项后，级数的每一项都小于等于$a_p$，同时又因为级数的每一项都为非负数，所以$\{S_n\}$必单调不降；又由于$a_n$单调减少，$\{S_n\}$最终必定收敛。
2.比较判别法（1）当级数$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$收敛时，级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$也收敛。
比较判别法常被称为比较原理，其思路为：级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$的上界为级数$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$的上界，则当$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$收敛时，$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$必定收敛；反之，当$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$发散时，$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$必定发散。
设极限$L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}$存在，则：若$L=1$，则比值判别法无法断定级数的收敛性。
在比值判别法中，我们通常都称级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}$为原级数的比值级数。
高数无穷级数 数项级数敛散性判别法
un 发散 n1
vn 发散 n 1
vn 收敛 n 1 un发散 n1
{ n }有界
{ sn } 有界
{ n }无界
un 收敛 n1 vn 发散 n 1
2
{ sn } 无界
y
例1
审敛 p 级数
y 1 ( p 1) p x
3
p 级数
1 1 1 1 n p 1 2p 3p n p n 1
收敛 发散
特殊 情况
p 1时 p 1时
p 1时 对应的是 调和级数
正好是 p 级数敛散的 分界级数
重要的 参考级数
调和 级数 等比级数、p 级数、
4
例2
审敛
n 1
则
0 l 时， un、 v n 具有相同的 敛散性
n 1 n 1
un 0, 相当于 un vn n v n un , 相当于 un vn ( 2 ) lim n v n un l l , 对 , N , 当n N时, 证 lim n v 2 n l un 3l l 3l un 故 v n un v n l 即 2 vn 2 2 2 vn
n
则
un
0
故 发散
绝对 总结 收敛 条件 收敛 un 的状态 n1 发散
24
1 1 1 1 n p 1 2p 3p n p n 1
1 1 1 1 解 若p 1, p , 而 发散， p 发散 n n n 1 n n 1 n
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数项级数判别法总结
数项级数判别法是高等数学中的一种重要知识点，通过对级数的特征进行分析，判断其是否收敛或发散。
下面将对常用的数项级数判别法进行总结。
一、正项级数判别法
正项级数指的是级数的每一项都是非负数。
正项级数判别法是最简单也是最常用的判别法。
当正项级数的通项公式可以用比较简单的公式表示时，可以直接利用比较大小的方法进行判别。
比如，如果级数的通项公式可以表示成n的k次幂，k为正整数，那么当k>1时，级数收敛；当k<=1时，级数发散。
二、比值判别法
比值判别法是通过计算相邻两项的比值，并观察其极限值的大小来判断级数的收敛性。
具体而言，如果该极限值小于1，则级数收敛；如果该极限值大于1，则级数发散；如果该极限值等于1，则无法判断级数的收敛性。
三、根值判别法
根值判别法是通过计算相邻两项的n次方根，并观察其极限值的大小来判断级数的收敛性。
具体而言，如果该极限值小于1，则级数收敛；如果该极限值大于1，则级数发散；如果该极限值等于1，
则无法判断级数的收敛性。
四、积分判别法
积分判别法是通过将级数转化为函数，然后对该函数进行积分计算，来判断级数的收敛性。
具体而言，如果该函数在无穷大区间上的积分收敛，则级数收敛；如果该函数在无穷大区间上的积分发散，则级数发散。
五、级数收敛的充分条件
如果级数的通项公式满足以下条件，则该级数收敛：
1.通项公式单调递减；
2.通项公式趋于零。
六、级数收敛的必要条件
如果级数收敛，则其通项公式趋于零。
以上是数项级数判别法的常用方法。
需要注意的是，不同的级数判别法适用于不同的级数类型，使用时需要根据具体情况进行选择。
同时，在实际应用中，也需要结合其他数学知识和技巧，灵活运用，才能更好地解决问题。