正项级数及其审敛法
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一、正项级数及其审敛法
n n
如果 lim nun l 0 (或lim nun ), 则级数
u
n 1
n 发散;
如果有 p 1 , 使得lim n un 存在,
p n
则级数
u
n 1
n 收敛.
例 3 判定下列级数的敛散性:
1 (1) sin ; n n 1
1 (2) n ; n 1 3 n
n dx 1 设 p 1, 由图可知 p n1 p n x 1 1 1 sn 1 p p p 2 3 n 2 dx n dx o 1 1 p n1 p x x
y
1 ( p 1) xp
1
2
3
4
x
1 1
n
dx 1 1 1 (1 p1 ) 1 p 1 x p1 n p1
1 例 级数 发散, n 1 n
级数
n 1
n
( 1) 1 收敛 , 2
2.条件是充分的,而非必要.
2 ( 1) 3 例 un n vn , n 2 2
n
2 ( 1)n 级数 un 收敛, n 2 n 1 n 1
un1 2 ( 1)n1 但 an , n un 2( 2 ( 1) )
则(1) 当 0 l 时, 二级数有相同的敛散性; (2) 当 l 0 时，若
v n 收敛, 则 un 收敛; n 1
n 1
(3) 当 l 时, 若
v n 发散,则 un 发散;
n 1 n 1
如果 lim nun l 0 (或lim nun ), 则级数
u
n 1
n 发散;
如果有 p 1 , 使得lim n un 存在,
p n
则级数
u
n 1
n 收敛.
例 3 判定下列级数的敛散性:
1 (1) sin ; n n 1
1 (2) n ; n 1 3 n
n dx 1 设 p 1, 由图可知 p n1 p n x 1 1 1 sn 1 p p p 2 3 n 2 dx n dx o 1 1 p n1 p x x
y
1 ( p 1) xp
1
2
3
4
x
1 1
n
dx 1 1 1 (1 p1 ) 1 p 1 x p1 n p1
1 例 级数 发散, n 1 n
级数
n 1
n
( 1) 1 收敛 , 2
2.条件是充分的,而非必要.
2 ( 1) 3 例 un n vn , n 2 2
n
2 ( 1)n 级数 un 收敛, n 2 n 1 n 1
un1 2 ( 1)n1 但 an , n un 2( 2 ( 1) )
则(1) 当 0 l 时, 二级数有相同的敛散性; (2) 当 l 0 时，若
v n 收敛, 则 un 收敛; n 1
n 1
(3) 当 l 时, 若
v n 发散,则 un 发散;
n 1 n 1
高等数学-无穷级数简要讲解-2
9.2 常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法
1、正项级数收敛的充要条件
(1)定义:如果级数 un中各项均有un 0， n1
这种级数称为正项级数.
(2)正项级数收敛的充要条件:
如果级数 un为正项级数，则
部分和数列n1{sn}为单调增加数列.
正项级数收敛 部分和所成的数列sn有界.
n
(n
1) n
lim n (1
1 )n
e
1
n
则级数收敛。
5、根值审敛法（柯西判别法）
定理
对于正项级数
n1
un
,
若
lim
n
n
un
，
则当ρ<1时级数收敛， 当ρ>1时级数发散，
ρ=1时级数可能收敛也可能发散。
例8 判别下列级数的敛散性
1
(1) n1 (ln n)n
234
n
更一般的结论：交错级数
(1)n当P 0时收敛。
n2 n p
三、条件收敛与绝对收敛
下面讨论一般项级数 u1+u2 + u3+…+ un + …
其中un为任意实数。
1、定理
对于级数 un , 若级数 | un |收敛，
n1
n1
则级数 un也收敛。
n1
当 | un |收敛时，我们称任意项级数 un绝对收敛。
n2 1
n
1
而
1 收敛，
n2
n1
所以
n2 1
ln(1
一、正项级数及其审敛法
1、正项级数收敛的充要条件
(1)定义:如果级数 un中各项均有un 0， n1
这种级数称为正项级数.
(2)正项级数收敛的充要条件:
如果级数 un为正项级数，则
部分和数列n1{sn}为单调增加数列.
正项级数收敛 部分和所成的数列sn有界.
n
(n
1) n
lim n (1
1 )n
e
1
n
则级数收敛。
5、根值审敛法（柯西判别法）
定理
对于正项级数
n1
un
,
若
lim
n
n
un
，
则当ρ<1时级数收敛， 当ρ>1时级数发散，
ρ=1时级数可能收敛也可能发散。
例8 判别下列级数的敛散性
1
(1) n1 (ln n)n
234
n
更一般的结论：交错级数
(1)n当P 0时收敛。
n2 n p
三、条件收敛与绝对收敛
下面讨论一般项级数 u1+u2 + u3+…+ un + …
其中un为任意实数。
1、定理
对于级数 un , 若级数 | un |收敛，
n1
n1
则级数 un也收敛。
n1
当 | un |收敛时，我们称任意项级数 un绝对收敛。
n2 1
n
1
而
1 收敛，
n2
n1
所以
n2 1
ln(1
一、正项级数及其审敛法
1
解 因为 lim n 2 a 2 1 ( 即 = 1 为常数 )
n
1
n
又
1 是调和级数, 它是发散的,
n1 n
故
原级数
n1
1 n2 a2
发散.
例5
判别级 1!2 数 ! n!的敛.散性
n1 (2n)!
解 un1!2(!2 n )!n!n (2 (n n)!!)
当 0 a 1 时 ,n l in 1 m a a n 2 n n l in 1 m a a 2 n a 1 ,
1n
当a1时 , nl i m n1aan2n
nl i m n1aa12n
11, a
故 a0且 a1时 ,原级.数收敛
第二节 正项级数及其审敛法
一、正项级数及其审敛法 二、小结 思考题
常数项级数都有哪些形式呢？
常数项级数有下 面几种形式。
常数项级数
正项级数
任意项级数 交错级数 一般项级数
1.正项级数的定义
定义 若级数 u n 满足
n 1
0 (n1 ,2, ),
则称之为正项级数.
实质上应是非负项级数
n 1
1 n
,
它是发散的.
当 0 < p < 1 时,
有 01 1 , n np
由比较判别法, P 级数此时是发散的.
故p1时, P级数是发 . 散的
当 p >1 时, 按 1, 2, 22, 23, …, 2n, …项 对 P 级数加括号, 不影响其敛散性：
n 1 n 1 p 1 2 1 p 3 1 p 4 1 p 5 1 p 7 1 p
第二节正项级数及其收敛法
(2) S(x) 在(--R,R)内可导,且
S(x) ( an xn ) (an xn ) nan xn1
n0
n0
n0
即幂级数在(-R,R)内可以逐项求导,所得到的幂级数
收敛半径不变.
可推广到任意阶导数
(3) S(x)在(--R,R)内可积,且
x
S(x)dx
0
x
[
0
an xn ]dx
幂级数 各项都是幂函数的函数项级数
一般形式:
a0 a1(x x0 ) a2 (x x0 )2 an (x x0 )n (1)
特例
a0 a1x a2 x2 an xn 系数 (2)
主要讨论(2),因为(1)可以通过变量代换化成(2)
1.幂级数的收敛域
x = 0 时(2)收敛,一般的,幂级数收敛域是一区间.
收敛,x0 收敛点
发散, x0发散点
函数项级数的全体收敛点的集合称为收敛域
3.和函数： 在收敛域内，函数项级数的和依赖于点x，
因此其和是x的函数，称为和函数
S(x) un(x)
4.余项:
n1
rn (x) S(x) Sn (x)
前n项的部分和
在收敛域内才有意义,且
lim
n
rn
(
x)
0
二. 幂级数及其收敛性
注：用比值或根值审敛法判定的非绝对收敛级 数一定发散。
三、小结
正项级数
任意项级数
1. 若 Sn S ,则级数收敛;
审 2. 当 n , un 0, 则级数发散;
敛 3. 按基本性质;
4. 充要条件
法 5. 比较法
6. 比值法 7. 根值法
4. 绝对收敛 5. 交错级数 (莱布尼茨定理)
11-2正项级数及其审敛法
un
3n
1 2n
的等价无穷小.
3n 起主 要 作用
解 即
un由 ~ 31于 nu,n故 3取 n1 v1n2n313n1n,则 1
1 (2)n 3
~31nn,
lim u n n vn
lim
n
3n 2n 1 3n
nl im 11(32)n 1.
而
n1
1 3n
收敛由 ， 定1理 1.3知n ， 13n
收敛，
limlnn0 n n
由定1理 1.3知， n 1lnn3n收敛.
三、比值审敛法和根值审敛法
1. 比值审敛法 定理11.4 (达朗贝尔审敛法)
设正项级数
un满足 :
n1
limun1 ρ n un
(0ρ ),
则 (1) 当 ρ 1时, 级数收敛 ;
(2) 当 ρ 1 或 时, 级数发散 .
p
-级数：
n
1
1 np
收敛， p1 发散. p 1
注 常用的比较级数: 等比级数, 调和级数 与 p-级数.
欲证un发散，
n1
判unn1p？(某p1)
欲证un收敛，
n1
判unn1p (某p1)？
例4 判断正项 级 1 数的敛.散性
n1 n(n1)2
解 un nn 112n1 32vn
而
vn
1
3
收敛 ,
n1 n1n2
n1
1 n(n1)2
收敛 .
定理11.3 (极限形式的比较审敛法)
设正项级数 u n , v n 满足
n1
n1
则有
lim un l (0l), n vn
(1) 当 0 < l <+∞ 时, 两级数同敛散 ;
正项级数及其审敛法
n
n
∴ 原级数发散.
(2)
lni mn2
n2 1 n1
∴ 原级数收敛.
3、比较审敛法3 (比阶审敛法)
设an和bn均为正项 , 级数
n1
n1
通 项 an和bn均 为 n时 的 无. 穷 小
(1) 当an 为bn 的同阶或高阶无穷, 小时
由bn 收敛可推出an 收敛.
n1
n1
(2) 当an 为bn 的同阶或低阶无穷 , 小时
n 1
1,
而 1发散,
n1n
∴ 原级数发散.
n
1
(2)
lim
n
n2
n 1
1
ln im n2
n2 n1
1,
n2
而
1
n1n2
收敛,
∴ 原级数收敛.
1
(3)
lim
n
4n
1
3n
4n
lim
n
1
1
3 4
n
1,
而
1
n14n
收
敛,
∴原级数收敛.
推论(比较审敛法 2)：
设 级 数
n 1
an为 正 项 级 数 ，(1)若
n1
若极 ln i m na 限 n有确,定 则意 有义
(1) 当 0 1 时, 级数收敛 ；
(2) 当 1 时, 级数发散 ；
(3) 当 1 时, 级数敛散性需另行判定.
当一般nn项 ,an等 ln 中 i m nan 含 易有 求 级的 数 常用根. 值审敛法
例:1)判
定
级 1数 的 n1nn
n1
思 路 ： 构 造 一 个 单 调 递 减 函 数 f(x)， 使 得 f(n)an
正项项级数的审敛法
例
级数
1 发散,
n1 n
级数
n1
1 n2
收敛,
(
1)
2.条件是充分的,而非必要.
例
un
2
(1)n 2n
3 2n
vn ,
级数 un
n1
2 (1)n
n1
2n
收敛,
但
un1 un
2 (1)n1 2(2 (1)n )
an ,
lim
n
a2n
1, 6
lim
n
a2n1
3, 2
lim un1 u n
1
1
(1)
解
sin ; (2) n1 n
(1) lim nsin 1
n
n
n1
3
n
;
n sin 1
lim n
n 1
1,
原级数发散.
1
n
(2)
lim
n
3n
1
n
3n
lim 1
n
1
n 3n
1,
n1
31n收敛,
故原级数收敛.
6.比值审敛法(达朗贝尔 D’Alembert 判别法)：
设 un
lim un n vn
l,
则(1) 当 0 l 时,二级数有相同的敛散性;
(2) 当 l 0时，若 vn 收敛,则 un 收敛;
n1
n1
(3) 当 l 时, 若 vn 发散,则 un 发散;
n1
n1
证明 (1)由lim un l v n
n
对于 l 0,
2
N , 当n N时, l l un l l
(1)若对一切n > N0,成立不等式
《高数教学课件》第二节正项级数及其审敛法
习题
求下列级数的和 $sum_{n=1}^{infty} frac{n^2}{2^n}$ $sum_{n=1}^{infty} frac{n^3}{3^n}$
习题
$sum_{n=1}^{infty} frac{2^n}{n^3}$
$sum_{n=1}^{infty} frac{n}{3^n}$
判断下列级数是否收敛， 并说明理由
答案与解析
01
02
03
04
判断下列级数是否收敛，并说 明理由
判断下列级数是否收敛，并说 明理由
判断下列级数是否收敛，并说 明理由
判断下列级数是否收敛，并说 明理由
THANK YOU
感谢聆听
正项级数的性质
02
01
03
性质一
正项级数的和一定是正数。
性质二
正项级数的和不会超过其中任意一项。
性质三
正项级数的和一定不会小于其中任意一项。
正项级数的分类
几何级数
是指每一项都是前一项的固定倍数的 级数，如1+2+4+8+16+...。
算术级数
是指每一项都是等差数列的级数，如 1+2+3+4+5+...。
01
03 02
答案与解析
判断下列级数是正项级数还是 交错级数
$sum_{n=1}^{infty} frac{n}{2^n}$ 是正项级数。
$sum_{n=1}^{infty} (-1)^n frac{n}{2^n}$ 是交错级数。
答案与解析
• 解析：正项级数是指每一项都是非负的级数，而交错级数是指每一项符号交替变化的级数。对于第一个级数，每一项都是正的，因此是正项 级数。对于第二个级数，每一项的符号都与前一项相反，因此是交错级数。
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分别利用上述不等式的左,右部分, 可推出结论正确.
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说明 :
时 , 级数可能收敛也可能发散 .
例如 , p – 级数
n
un
1 nn
p
1
(n
)
p 1, 级数收敛 ;
但
p 1, 级数发散 .
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例6. 证明级数
收敛于S , 并估计以部分和 Sn 近
调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.
若存在N Z , 对一切 n N ,
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例3.
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抽象函数类型
定理3. (比较审敛法的极限形式) 设两正项级数
满足 lim un l, 则有 n vn
(1) 当 0 < l <∞ 时, 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 l = 0
:
0l
lim n p nn l
n
p 1, 0l
un 发散 un 收敛
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例4-5. 看书,回忆常见的等价阶
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判别级数的敛散性:
不是 p–级数
解: (1)
n11n 发散 , 故原级数发散 .
(2)
n11n 发散 , 故原级数发散 .
un vn
由定理2可知, 若 vn 发散 ,
n1
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是两个正项级数,
(1) 当0 l 时, 两个级数同时收敛或发散 ;
(2) 当l 0 且 vn收敛时,
也收敛 ;
(3) 当l 且 vn 发散时,
也发散 .
特别取
vn
1 np
,
对正项级数
un ,
可得如下结论
证: 因在级数前加、减有限项不改变其敛散性, 故不妨
设对一切
都有
分别表示弱级数和强级数的部分和, 则有
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(1) 若强级数 收敛, 则有
因此对一切
有
由定理 1 可知, 弱级数 也收敛 .
(2) 若弱级数
发散, 则有
因此
这说明强级数
也发散 .
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引言
• 对级数当然希望求得和,首先判断是否收 敛,看通项是否趋于零,求出部分和.部分和 不好求.
• 基本且重要的情形:正项级数.后面的其它 情形的敛散性归结为正项级数的敛散性.
一、正项级数及其审敛法
若 un 0, 则称 un 为正项级数 . n1
定理 1. 正项级数
收敛
部分和序列
有界 .
证: “ ” 若
例如, p – 级数
1
lim un1 lim (n1) p 1
n un
n
1 np
p 1, 级数收敛 ;
但
p 1, 级数发散 .
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例6. 讨论级数
的敛散性 .
解: lim un1 lim (n 1) xn x n un n n xn1
根据定理4可知:
当0 x 1时, 级数收敛 ;
例2.
讨论
p
级数 1
1 2p
1 3p
1 np
(常数
p
>
0)
的敛散性.
解: 1) 若 p 1, 因为对一切
1 n
而调和级数n1n1 发散 , 由比较审敛法可知 p 级数
发散 .
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2) 若 p 1,因为当
1
np
n1 n1 n p
d
x
时,
1 np
1 xp
,
故
n1 n1 x p
un
收敛 , 由比较审敛法可知 un 收敛.
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(2) 当 1 或 时,必存在 N Z , uN 0,当n N
时
从而
un1 un un1 uN
因此
lim
n
un
uN
0,
所以级数发散.
说明: 当 lim un1 1 时,级数可能收敛也可能发散.
n un
• 所有审敛法都是充分条件,不是必要的.就 是说条件不满足的时候,不能判断发散或 收敛,而需要更加精密的法则或直接定义 判定.
正项级数审敛步骤
• 通项是否趋于0,不趋于0,直接判定发散; • 比值审敛法或根值审敛法; • 柯西积分审敛法; • 极限形式的比较审敛法; • 不等式形式的比较审敛法; • 按定义,求部分和数列,据其敛散性判定.
收敛 ,
故有界.
ห้องสมุดไป่ตู้
“”
∴部分和数列 单调递增,
又已知
有界, 故 收敛 , 从而
也收敛.
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定理2 (比较审敛法) 设
是两个正项级数,
且存在
对一切
有
则有
(1) 若强级数 收敛 , 则弱级数
(常数 k > 0 ), 也收敛 ;
(2) 若弱级数 发散 , 则强级数 也发散 .
dx
1 p 1
(n
1 1)
p1
n
1
p1
考1虑强2 p1级1数 n22p1(n1
1 13)
1
pp11
np11
n的p1部1分 (和n
1 1)
p1
n
n k 1
k
1
p 1
(k
1 1) p1
1
1 (n 1) p1
n 1
故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 .
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定理4 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法)
设
为正项级数, 且 lim un1 , 则
n
(1) 当 1 时, 级数收敛 ;
un
(2) 当 1 或 时, 级数发散 .
证: (1) 当 1 时,
知存在 N Z , 当n N 时, un1 1
当x 1时, 级数发散 ;
当x 1时,
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定理5. 根值审敛法 ( Cauchy判别法) 设
数,
且
lim n
n
un
,
则
为正项级
证明提示:
lim n
n
un
, 对任意给定的正数
存在 N Z ,
n un
1 1
即
( )n un ( )n 1 1
(3) 当 l =∞ 证: 据极限定义,
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(l ) vn un (l ) vn
(n N)
(1) 当0 < l <∞时,
由定理 2 可知
同时收敛或同时发散 ;
vn
n1
(2) 当l = 0时,
若 vn 收敛 ,
n1
由定理2 知
(3) 当l = ∞时,
即
似代替和 S 时所产生的误差 .
解:
n un
n
1 nn
由定理5可知该级数收敛 . 令 rn S Sn , 则所求误差为
0
rn
(n
1 1)n1
(n
1 2)n2
(n
1 1)n1
1
1
1 n1
1 n (n 1)n
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正项级数审敛法要注意的地方
• 首先判断是正项级数;