级数审敛法小结
11-2正项级数及其审敛法
(方法 比较法 un 方法2) 方法
−n−( −1)n =2
≤ 2−n ⋅ 2 =
1 2n−1
(n ≥ 1)
Q ∑
. 收敛，∴ 原级数收敛 收敛， n−1 n=1 2
∞
1
注 对于∑2
n=1
∞
−n−(−1)n
, 比值法失效！ 比值法失效！
2, n偶数 −1+2(−1)n = 1 =2 ， n奇数 8
但 p > 1, 级数收敛 ; p ≤ 1, 级数发散 .
判别下列级数的收敛性: 例11 判别下列级数的收敛性 ∑2
n=1
∞
−n−(−1)n
.
方法1) 方法 解 (方法 根值法
(−1)n −1− n Q lim n un = lim 2 n→∞ n→∞
. = 2−1< 1 ∴ 原级数收敛
−n ⋅ 2( −1)n+1 =2
n=1 n=1 ∞ ∞
(c ≠ 0) 同敛散 同敛散.
(ⅰ) 若 ⅰ 则 (ⅱ) 若 ⅱ 则
收敛 , 也收敛 ; 发散 , 也发散 .
c
(n ≥ N ),
c
(n ≥ N ),
比较法的使用思路： 比较法的使用思路： 欲证收敛(发散 ，则放大(缩小 缩小) 欲证收敛 发散)，则放大 缩小 发散
2 . 的敛散性 例2 判断正项级数 ∑ n=1 n(n + 1)
n
3d x
o
1 2 n −1 n
= 1+ ∫
n
1
1 1 1 1 d x= 1+ (1 − p−1 ) < 1 + (n = 2,3,L) p p −1 p −1 x n
级数收敛. 级数收敛 p -级数部分和 n有上界， 级数部分和 级数部分和S 有上界， 故当p > 1时, p -级数收敛 时
(整理)常数项级数的审敛法
n 1n 1§ 11-2 常数项级数的审敛法一、正项级数及其审敛法正项级数： U n U n 0⑴n 1显然，部分和数列s n 单调增加：s 1 s 2Sn . s n1.收敛准则定理1正项级数 U n 收敛部分数列S n 有界.n 1n例1判别正项级数亠的收敛性定理2设 U n 和V n 都是正项级数，且U n V . (nn 1n 1则 U n 收敛；反之, n 1 若 U n 发散，则 V n 发散.n 1 n 1 分析: V nn 1，贝U U n 的部分和 n 1 S n U 1 U 2 U n V 1 V 2 V n (n 1,2,),即S n 有界，由TH1知 U n 收敛。
反之，设n 1U n 发散，则n 1V n n 1必发散.因为若V n 收敛，由上面已证结论知 U n 也收敛，与假设矛盾n 11解「sin 2 22221 1 I 2n1 1 22Sin 2n1 1 1 2n2 222n1有上界 级数收敛1,2,).若 V n 收敛,n 12.比较审敛法推论 设 U n 和 V n 都是正项级数，如果级数 V n 收敛，且存在自然数 N,使n 1n 1kv n (k 0)成立，则级数 u n 收敛；如果级数 v n 发散，且当n Nn 1n 1分析：因为级数的每一项同乘不为零的常数 k ，以及去掉级数前面的有限项不会 影响级数的收敛性.注：比较审敛法的：必须有参考级数。
常用：几何级数， p —级数(调级数)例3判别下列级数的敛散性. 当n N 时有U n 时有 u n kv n (k 0)成立,则级数 U n 发散.n 1例2讨论p —级数⑵的收敛性，其中常数p>0.1，当n则書n时,1丄，但调和级数发散，故级数(2)发散. n有1 n pIn 1n p2dxx(nn p 1n 2,3,考虑级数(n 1) 级数(3)的部分和sn1 2卩11 3p 11 =1 1(n 1)p1 = (n 1)p 1因S n 1 .故级数(3)收敛. 由推论 1知，级数⑶当p>1时收敛.总之：p —级数(2)当p 1时发散，当p>1时收敛.(1).n n 121 n 5n 2U nn12 2^2n 5n 2n 8n丄发散，原级数发散 n 1 n(2).1 . 1 sin — n〔 n 1 n 1 U n 原级数收敛3. 比较审敛法的极限形式定理3设 u n 和n 1V n 都是正项级数,n 10 或 lim 土nV n例4判别下列级数的敛散性.4. 比值审敛法能发散.（证略，可参考教材） 例5判别下列级数的敛散性:(1)3 n n lim U n 1 - 1,级数收敛n 13n U n 3⑵n!nlim U n 1 lim n 1 级数发散n 1 2n U nn 2⑶n 1 nxn 1x 0lim U n 1 x0 x 1收敛,x 1 发散x 1发散n U n5.根值审敛法----柯西判别法(1)如果 lim unnV n(0 I）,且级数V n 收敛，则级数 U n 收敛;n 1n 11(1) si nn 1 n.1 sinlim n n 10,丄发散 原级数发散n 1 n⑵ 2nta nn 13li mn1 2ntan]3nn2 3n2收敛收敛3，且级数 V n 发散，则级数 U n 发散n 1n 1(2)如果 limU nnV n 定理4设 u n 为正项级数，如果n 1lim 山 nU n则当1级数收敛;U n 11 (或 limnU n）时级数发散； 1时级数可能收敛也可例7判别下列级数的敛散性二、交错级数及其审敛法)；(2) limu n 0,n则级数收敛，且其和S U 1,其余项r n 的绝对值r交错级数：U 1 U 2 U 3U 4(4)U 1 U 2 U 3U 4,其中U i ,u都是正数.定理7（莱布尼兹定理）如累交错级数(1)n1U n 满足条件:n 1定理5设 U n 为正项级数，如果lim n U nn 1n,则当 1时级数收敛， 1（或Hm nU n）时级数发散， 例6判别下列级数的敛散性1时级数可能收敛也可能发散.（证略，可参考教材）nU n n11Zn-0(nnn）1,级数收敛—5‘n imn ,n 31,级数发散6根限审敛法（与p —级数作比较）定理6设 u n 为正项级数,n 1(1)如果 lim nu n l 0 或 lim nu nnn，则 U n 发散;n 1⑶如果p 1,而limn p u nl 0nU n 收敛。
第十一章 第2节常数项级数审敛法
例 2 证明级数
∑
n =1
∞
1 ∴ 级数 ∑ n 收敛 n =1 n 2
∞
1 是发散的. 是发散的 n( n + 1)
1 1 , > 证明 ∵ n( n + 1) n + 1 ∞ ∞ ∞ 1 1 1 发散. 而级数 ∑ = ∑ 发散∴ 级数 ∑ , n( n + 1) n =1 n =1 n + 1 k =2 k
n=1
∞
(1) 当 ρ < 1 时 , 级数收敛 ; (2) 当 ρ > 1 时 , 级数发散 .
22
说明 :
ρ = 1时 , 级数可能收敛也可能发散 .
例如 p - 级数
∑np
n= 1
nu n
∞
1
1 un = p , n
但
1 = n →1 (n →∞) n
p
p >1 级数收敛 p ≤1 级数发散
∞
∴ un+1 < (ρ +ε ) un < (ρ + ε )2 un−1 < ⋯< (ρ + ε )n−N uN+1
k
∞ n=1 n
∑(ρ +ε ) 收敛 , 由比较审敛法可知, 级数 ∑u
收敛 . 17
un+1 lim =ρ n→∞ un
un+1 当 n ≥ N 时, >1 un ∴ un+1 > un > un−1 >⋯> uN
∑u
n=1
∞
n和
正项级数 ∑v 是两个正项级数 , u
n=1 n
∞
n
≤ k vn ( 常数 k > 0 )
常数项级数的审敛法
23
证明
假设级数
1
收敛，
n1 n
且
lim
n
Sn
S
1 n
则
lim
n
S2n
S
于是
lnim(S2n Sn ) S S 0
例1 证明调和级数 1 1 1 1 1
是发散的。
n1 n
23
n
另一方面
S2n
Sn
1 n 1
n
1
2
111 2n 2n 2n
1 1 2n 2
故
lnim(S2n Sn ) 0
一、正项级数的审敛法
如果级数
un u1 u2 un
n1
的每一项都是非负数，即un ≥0(n=1, 2, …) ，则称此级数为 正项级数。
1.比较审敛法
设级数
un
n1
和
n1
vn
都是正项级数，且un
≤vn
(n=1,
2,
…)。
（1）若级数 vn 收敛，则级数 un 收敛；
（2）若级数
例5 级数 (1)n sin 1 收敛吗？若收敛，是条件收敛还是绝
对收敛？ n1
n
再考虑每项取绝对值，得级数 sin 1
n1 n
由比较审敛法的极限形式，可知级数 sin 1 发散。
n1 n
所以级数 sin 1 是条件收敛。
n1 n
高等数学
1
2n 2n
1
1 2
1
由比较审敛法知，该级数收敛。
例3 判断下列级数的敛散性：
2n 1
(1)
n1
2n
(2) nxn1
n1
(x 0)
一、正项级数及其审敛法
1
解 因为 lim n 2 a 2 1 ( 即 = 1 为常数 )
n
1
n
又
1 是调和级数, 它是发散的,
n1 n
故
原级数
n1
1 n2 a2
发散.
例5
判别级 1!2 数 ! n!的敛.散性
n1 (2n)!
解 un1!2(!2 n )!n!n (2 (n n)!!)
当 0 a 1 时 ,n l in 1 m a a n 2 n n l in 1 m a a 2 n a 1 ,
1n
当a1时 , nl i m n1aan2n
nl i m n1aa12n
11, a
故 a0且 a1时 ,原级.数收敛
第二节 正项级数及其审敛法
一、正项级数及其审敛法 二、小结 思考题
常数项级数都有哪些形式呢？
常数项级数有下 面几种形式。
常数项级数
正项级数
任意项级数 交错级数 一般项级数
1.正项级数的定义
定义 若级数 u n 满足
n 1
0 (n1 ,2, ),
则称之为正项级数.
实质上应是非负项级数
n 1
1 n
,
它是发散的.
当 0 < p < 1 时,
有 01 1 , n np
由比较判别法, P 级数此时是发散的.
故p1时, P级数是发 . 散的
当 p >1 时, 按 1, 2, 22, 23, …, 2n, …项 对 P 级数加括号, 不影响其敛散性：
n 1 n 1 p 1 2 1 p 3 1 p 4 1 p 5 1 p 7 1 p
无穷级数审敛法汇总(一)
无穷级数审敛法汇总（一）\sum_{n=1}^\infty a_n 收敛\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0,\exists N>0,n>m>N 时\Big|\sum_{k=m+1}^na_k\Big|=|a_{m+1}+\cdots+a_n|<\varepsilon 。
证：\sum_{n=1}^\infty a_n 收敛\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0,\exists N>0,n>m>N 时,\exists \ a,\Big|\sum_{k=1}^m a_k-a\Big|<\frac{\varepsilon}{2},\Big|\sum_{k=1}^n a_k-a\Big|<\frac{\varepsilon}{2}\implies\Big|\sum_{k=m+1}^na_k\Big|=|a_{m+1}+\cdots+a_n|=\Big|\sum_{k=1}^n a_k-\sum_{k=1}^m a_k\Big|\leq\Big|\sum_{k=1}^n a_k\Big|+\Big|\sum_{k=1}^ma_k\Big|<\varepsilon.\qquad \qquad \square二.比较判别法（正项级数）正项级数 \sum_{n=1}^\infty a_n,\sum_{n=1}^\infty b_n ,若 \exists N\in \mathbb{N},c_1>0,c_2>0, 且n>N,c_1a_n\leq c_2b_n ，则\sum_{n=1}^\infty b_n 收敛 \implies\sum_{n=1}^\infty a_n 收敛； \sum_{n=1}^\infty a_n 发散\implies\sum_{n=1}^\infty b_n 发散。
一般级数的审敛法
1 单减, 在 (1,+) 上单增, 即 x ln x 1 故 当 n 1 时单减, n ln n
1 1 un un+1 ( n 1), n ln n ( n + 1) ln( n + 1)
所以此交错级数收敛， 故原级数是条件收敛．
定理 如果任意项级数
n 1
则任意重排得到的级数也绝对收敛,且有相同的 和数. 注:由条件收敛级数重排得到的新级数,即使收敛 也不一定收敛于原来的和数,而且条件收敛收敛 级数适当重排后,可得到发散级数,或收敛于任何 事先指定的数.如： 1 1 1 1 1 n +1 1 ( 1) 1 + + + A n 2 3 4 5 6 n 1 1 1 1 1 1 3 n+1 1 ( 1) 1+ + + + A n 3 2 5 7 4 2 n 1
lim u2 n+1 0,
n
lim s2 n s u1 .
lim s2 n+1 lim( s2 n + u2 n+1 ) s,
n n
级数收敛于和s, 且s u1 .
余项 rn (un+1 un+ 2 + L),
rn un+1 un+ 2 + L,
n 1 n 1 n 1
sin n 例 3 判别级数 2 的收敛性. n 1 n
解
sin n 1 1 2 2 , 而 2 收敛, n1 n n n
sin n 2 收敛, n n1
故由定理知原级数收敛.
正项级数及其审敛法
n
n
∴ 原级数发散.
(2)
lni mn2
n2 1 n1
∴ 原级数收敛.
3、比较审敛法3 (比阶审敛法)
设an和bn均为正项 , 级数
n1
n1
通 项 an和bn均 为 n时 的 无. 穷 小
(1) 当an 为bn 的同阶或高阶无穷, 小时
由bn 收敛可推出an 收敛.
n1
n1
(2) 当an 为bn 的同阶或低阶无穷 , 小时
n 1
1,
而 1发散,
n1n
∴ 原级数发散.
n
1
(2)
lim
n
n2
n 1
1
ln im n2
n2 n1
1,
n2
而
1
n1n2
收敛,
∴ 原级数收敛.
1
(3)
lim
n
4n
1
3n
4n
lim
n
1
1
3 4
n
1,
而
1
n14n
收
敛,
∴原级数收敛.
推论(比较审敛法 2)：
设 级 数
n 1
an为 正 项 级 数 ，(1)若
n1
若极 ln i m na 限 n有确,定 则意 有义
(1) 当 0 1 时, 级数收敛 ；
(2) 当 1 时, 级数发散 ；
(3) 当 1 时, 级数敛散性需另行判定.
当一般nn项 ,an等 ln 中 i m nan 含 易有 求 级的 数 常用根. 值审敛法
例:1)判
定
级 1数 的 n1nn
n1
思 路 ： 构 造 一 个 单 调 递 减 函 数 f(x)， 使 得 f(n)an
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级数审敛法小结不好意思，又要打扰大家一下了，针对本学期期中考试而言，大致分为两大部分：级数，常微分方程。
其中级数(应该都已经讲完了)占得比重相对少些大概有45%左右，还希望大家能抽空复习一下，毕竟这一章的内容有些难度.下面的内容是从一些资料书中总结的一些小内容,希望大家能抽空看一下,谢谢.首先:针对常数项级数而言要明白它的分类:正项级数,任意项级数(其中,包含特殊的交错级数).对于不同的级数,他们有不同的审敛法.第一节:正项级数(当然我们有时也会遇到一些负项级数,他们的判断敛散性的方法和正项级数相同,只是需要我们在运用前,把他们所有的项全部变成正的就可以了)(注意以下方法要求大家在判断出Un的极限为0的时候用哦，若Un的极限不为0，级数发散。
)A.定义法(注意这个方法适用于所有的级数,但不一定解得出.):首先,了解一个充要条件:∑∞Un收敛⇔部分和数列{Sn}有界，针对n=1这个东西，用的地方不多后面会有介绍。
B.比较审敛法：（这里首先强调一下这里介绍的方法完全是针对正项级数而言，不能滥用）。
对于比较审敛法，也许不要按书上的用起来会更方便一点。
简单一句话：我们的目的就是要找要判断的级数的等价无穷小，或是证明这个级数是一个已知收敛级数的高阶无穷小也可。
（当然这是证明级数收敛时用的，这里就要求我们要有能一眼猜出级数敛散性的能力，下面会教大家如何第一眼就可以看出绝大多数级数的敛散性） 例1：设k ，m 为正整数，.0,000>>b a（这里主要是保证以下的多项式恒为正）是推导出级数∑∞=--++++++1110110......n kk km m m b nb n b a n a n a 收敛的充要条件。
解：设kk km m mnb nb n b a na n a u (1)10110+++++=--。
取mk nnv -=1，因为00limb a v u nn n =∞→，所以∑∑∞=∞=11,n nn nv u 具有相同的敛散性，由Vn 收敛的充要条件是k-m>1，所以所求级数的收敛的充要条件是k-m>1.（这是一个简单的例题，可是他说明了两个问题：1，凡是一般项Un 是有理分式的，我们一眼就能看出级数是否收敛例如级数∑∞=---+13235523)()12()1(n n n n n n 是收敛的，这因为分子的最高次幂是13，分母的是15,15-13=2>1,故收敛。
（至于解题时，我们可以模仿本题构造Vn 去做）2，这个例题的解法具有一般性。
设0→nu ，我们只需要找到Un 的一个同阶无穷小或是等价无穷小Vn ，如果Vn 的敛散性我们已经掌握，问题解决。
大家可以试着用等价无穷小的方法接一下以下几题：（1）);1tan()3(,,)cos 1(),2(,,sin )1(13222112-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛∑∑∑∞=∞=∞=n N n na n n a n a n（通过上面的一点，大家感悟一下，有没有什么收获，这只是如何一眼看出敛散性的其中一个，接下来会继续介绍，但希望大家先消化一下刚刚说的内容。
）C. 比值审敛法：比值审敛法的内容与书中所说并无差异。
关键是我们要能够灵活运用，这需要我们能多做一些习题。
先看一下几个例子：判断下列级数的敛散性∑∑∑∞=∞=∞=111!)3(!)2()1(n nn n n nk nn n aan解答是利用比值审敛法即可，（由于这个公式好多有点难打就不打了啊，请原谅）大家应该都懂得就是nn n u u 1lim+∞→判断其和1的关系。
以上结果为全部收敛。
（小结：1，在级数一般项Un 中，若含有!.,,n a n n n n k 的因子时，适用于比值审敛法,2，我们可以得到如下常用函数的级别大小（a>1，k>1,）nnknn ann n <<<<<<<<<<!ln ，记住这个顺序，有助于我们对某些级数敛散性的初步判别，也就是在我们计算之前，就可以估计出敛散性。
）(结合上面讲过的那个，我们基本上就能初步判定一些级数的敛散性了)D. 根值审敛法。
这里由于和书上无太多差别，就不多做介绍了。
根值判别法，主要适用于一般项中含有n 次方的时候。
他与比值判别法属于同一类型的审敛法，当用根植判别法不行时，不要再去用比值判别法做了，效果一样。
对于根值判别法有一点需注意：当遇到一般项含n 次方时里应用根植判别法，而nnn u ∞→lim不存在时，可以改用如下的方法：若n 从某个标号起存在r 使得1<≤r u n n （注意此处并无极限符号），则级数必收敛。
因为nn ru ≤，且∑∞=1n n r 收敛。
（简单地说就是进行一点放缩）当比值审敛法，根植审敛法失效时，一般应考虑比较审敛法，寻找同阶或是等价的无穷小。
另外，我们要积累一些简单的级数如几何级数，调和级数，p-级数，以及∑∞=1)(ln 1n pn n （p>1时收敛，p<=1时发散，这个可以当做定理用的）第二节 交错级数对于交错级数而言，它分为条件收敛和绝对收敛两类。
对于判断绝对收敛时，我们可以利用正项级数的判别方法去判定。
而对于条件收敛的判定课本上给出了一个方法（除此，并无其他较好的方法去解决此类问题）：莱布尼兹判别法。
A.莱布尼兹判别法：（注意运用此方法千万要慎重，注意观察An 的单调性是否递减，以及最终是否趋近于0等，一旦有一个条件不满足，我们便不能再去用此方法。
而在我们做题时总会有那么几题不适用，这就要求我们要懂得一些小技巧）一，泰勒公式（此法对于我们来说有一定的难度，建议不到万不得已不想此法）：利用泰勒展开式判断敛散性；例判别级数：()∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+111ln n n n 的敛散性。
（对于这个交错级数，我们不能判定单调性，因此无法利用莱布尼兹判别法。
要掌握一般项()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=n u n n 11ln 的级别，我们运用泰勒公式。
）解：有泰勒公式：()()是收敛的发散，而级数级数∑∑∞=∞→⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+n1-1n21,211121lim 1211)1(1ln n1n n o nn o n n o n n n n nn所以原级数发散。
二，这个技巧比泰勒公式弱了点，他是要求我们要懂得把一个交错级数（可能适用于多种级数，大家可以试一下），拆成两项或是多项相加减的形式（这里，我们要懂得一些收收为收，收发为发，发发不确定（一旦有两个发散的级数在里面则拆分失败）的道理。
）例如，判别级数()()∑∞=-+-111n nnn 的敛散性。
（这是一个交错级数，尽管n1n u u ,0≤→+但nu 不成立，莱布尼兹失效。
）但我们可以这样解：[]111)1(1)1(n )1()1()1(u -+--=--+-=-+-=n n n n n nnnnnn对于前一项利用莱布尼兹判别法可知其条件收敛，而后一项发散，可知其整体为发散。
故原级数发散。
三，定义法（可能有些题，既不能运用莱布尼兹，也不好拆分，这就要求我们能回归原始，利用级数收敛的定义去解题） 一般此类题比较难出现的可能性较小，这里只举一例。
例，判别级数∑-+-nNn )1()1(的敛散性。
首先，看其是否绝对收敛，设nnn u)1(1-+=，这里我们直接可以看出其发散，因为分母的最高次幂为1/2,接下来判断其是否条件收敛：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n s n 21121 (415)121312此部分和 S2n 的各项都是负数，因此其单调减少，又因为，212212121221 (416)121412->++-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛->n n n s n ，所以数列s2n有极限，设()sn s u s s s s Nn n n n n n n n n n =-+++=+==∞→∞→+∞→+∞→∞→)1(121limlim lim lim lim 2122122 所以原级数收敛条件收敛。
（这类题比较难做，出现的几率不大，但也希望大家能做一下了解）Over最后做一个补充：如何一眼看出一些级数的敛散性。
针对正项级数而言：设Un 和Vn 都是正项级数则有：（麻烦大家试着证明一下，收敛都收敛，则和）若（）收敛。
（收敛，收敛，收敛，则）若（n nn na nn 1n kn v uv u 21a nu u u u u 1∑∑∑∑∑∑∑≥+n试着用一下吧：已知正项级数收敛∑∞=1n na则λ+-∑∞=31)1(n a n n n。
要求直接不用计算说出答案。
谢谢大家。