习题26_正项级数审敛法
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正项级数
常数项级数的审敛法
正项级数的审敛法 第二节 正项级数的审敛法
正项级数收敛的基本定理 比较判别法 比值判别法 根值判别法 小结 思考题
第十一章 数 无穷级
作业
1
常数项级数的审敛法
一、正项级数的基本定理 正项级数的基本定理
positive term series
1. 定义
∑ un n =1
∞
un ≥ 0
正 项 级 数 及 其 审 敛 法
11
n= 2
由比较审敛法 所以, 发散. 所以 原级数 发散
常数项级数的审敛法
讨论下列正项级数的敛散性. 正项级数的敛散性 例4 讨论下列正项级数的敛散性
∞ a 1 5n + 4 (1) ∑ n ; (2)∑ ; (3)∑ 2 2n n =1 n n =1 1 + a n =1 3n + 2n − 1 ∞ ∞ n
u N + 3 < ruN + 2 < r 3 uN , ⋯ ,
左边相加, 左边相加 级数uN +1 + uN + 2 + uN + 3 + ⋯ 的各项 小于右边相加收敛的等比级数 (公 r <1) 比
ru N + r uN + r uN + ⋯
2 3
正 项 级 数 及 其 审 敛 法
20
也收敛. 的对应项, 的对应项 所以 uN +1 + u N + 2 + u N + 3 + ⋯ 也收敛 由性质3, 由性质 因此 , 级数 ∑ un收敛 .
( 2) ∑ 3
n =1
∞
1 n( n + 1)
正项级数的审敛法 第二节 正项级数的审敛法
正项级数收敛的基本定理 比较判别法 比值判别法 根值判别法 小结 思考题
第十一章 数 无穷级
作业
1
常数项级数的审敛法
一、正项级数的基本定理 正项级数的基本定理
positive term series
1. 定义
∑ un n =1
∞
un ≥ 0
正 项 级 数 及 其 审 敛 法
11
n= 2
由比较审敛法 所以, 发散. 所以 原级数 发散
常数项级数的审敛法
讨论下列正项级数的敛散性. 正项级数的敛散性 例4 讨论下列正项级数的敛散性
∞ a 1 5n + 4 (1) ∑ n ; (2)∑ ; (3)∑ 2 2n n =1 n n =1 1 + a n =1 3n + 2n − 1 ∞ ∞ n
u N + 3 < ruN + 2 < r 3 uN , ⋯ ,
左边相加, 左边相加 级数uN +1 + uN + 2 + uN + 3 + ⋯ 的各项 小于右边相加收敛的等比级数 (公 r <1) 比
ru N + r uN + r uN + ⋯
2 3
正 项 级 数 及 其 审 敛 法
20
也收敛. 的对应项, 的对应项 所以 uN +1 + u N + 2 + u N + 3 + ⋯ 也收敛 由性质3, 由性质 因此 , 级数 ∑ un收敛 .
( 2) ∑ 3
n =1
∞
1 n( n + 1)
经济数学微积分正项级数及其审敛法
三、 用比值审敛法判别下列级数的收敛性: 2 n n! 3 32 33 3n 1. ；2. n . 2 3 n 1 2 2 2 n 3 2 n 2 n 1 四、 用根值审敛法判别下列级数的收敛性: n 2 n 1 1 ) . ※1. ； ※2. ( n n 1 3n 1 n 1 [ln( n 1)] 五、 判别下列级数的收敛性: 3 n1 1. 2 ； 2 n π ln( n 2) n ( a 0) . 2. 3. 2 sin n ； 1 n n 1 3 n1 (a ) n
n 1
n
( 为数或 ) , 则 1 时级数收敛;
1时级数发散; 1 时失效.
1 例 如, 设 级 数 n , n 1 n
un
n n
1 1 0 ( n ) ，级数收敛. n n n
※定理 6 柯西积分判别法
若 f ( x ) 连续、非负、不增，则正项级数 与反常积分
n 1 n 1
则当级数 vn收 敛 时 ， 级 数 un必 收 敛;
2若un是vn的 低 阶 无 穷 小 ，
则当级数 v n发 散 时 ， 级 数 un必 发 散;
n 1 n 1
3若un是v n的 同 阶 无 穷 小 ，
则级数 . un 和 v n同 时收 敛 或 发 散
n 1
则当________时级数收敛；________时级数发散； ____________时级数可能收敛也可能发散 .
二、 用比较审敛法或极限审敛法判别下列级数的收敛 性: 1 2 1 3 1 n ； 1. 1 2 2 2 1 2 1 3 1 n 1 ( a 0) . 2. n n 1 1 a
正项级数的判敛方法
1
n1
19
第九章 常数项级数
例8. 判别下列级数的敛散性：
1
(1) n1 np (p0)
(p 1 , 发 散 p 1 ,收 敛 )
解： an
1 np
，取
f (x)
1 xp
，
则 f ( x) 在[1, ) 上非负，连续，单减。
∵
1
1 x p dx
p p
∵ lim n
1 sin n
2
2 n 1 ，且 2 发散，∴原级数发散。
n1 n
n
1 n2 ln
（2）∵ lim 3 n 1 n lim
3n
ln(1 2 )
n 2，
n
1
n 3 n 1
1
4
n3
n
而
1 收敛，
∴原级数收敛。
4
n n1
3
11
第九章 常数项级数
ln n
1
0
，
n n 4
5
n4
而
1 收敛，故 ln n 收敛。
5
3
n n1 4
n n1 2
12
第九章 常数项级数
例6. 判别下列级数的敛散性：
(1)
n1
2n
tan3n
5 n
(2) n1 n 5
(3) 258(3n1) n1159(4n3)
n1
n1
（3）当 时，且 vn 发散，则 un 发散。
n1
n1
5
第九章 常数项级数
说明：极限形式的比较判别法其实是将两个正项级数的 通项作为无穷小量，来比较它们的阶。
n1
19
第九章 常数项级数
例8. 判别下列级数的敛散性：
1
(1) n1 np (p0)
(p 1 , 发 散 p 1 ,收 敛 )
解： an
1 np
，取
f (x)
1 xp
，
则 f ( x) 在[1, ) 上非负，连续，单减。
∵
1
1 x p dx
p p
∵ lim n
1 sin n
2
2 n 1 ，且 2 发散，∴原级数发散。
n1 n
n
1 n2 ln
（2）∵ lim 3 n 1 n lim
3n
ln(1 2 )
n 2，
n
1
n 3 n 1
1
4
n3
n
而
1 收敛，
∴原级数收敛。
4
n n1
3
11
第九章 常数项级数
ln n
1
0
，
n n 4
5
n4
而
1 收敛，故 ln n 收敛。
5
3
n n1 4
n n1 2
12
第九章 常数项级数
例6. 判别下列级数的敛散性：
(1)
n1
2n
tan3n
5 n
(2) n1 n 5
(3) 258(3n1) n1159(4n3)
n1
n1
（3）当 时，且 vn 发散，则 un 发散。
n1
n1
5
第九章 常数项级数
说明：极限形式的比较判别法其实是将两个正项级数的 通项作为无穷小量，来比较它们的阶。
正项级数及其审敛法(IV)
如果对于任意一项，其相邻两项 的比值都小于1，则级数收敛； 反之，如果存在某一项，其相邻 两项的比值大于1，则级数发散。
柯西审敛法适用于判断具有连续 项的正项级数的收敛性，但对于 具有跳跃项的正项级数，需要采 用其他审敛法。
狄利克雷审敛法
狄利克雷审敛法是一种基于极限思想的判断正项级数收敛性的方法。
例如
$1+1/2+1/3+1/4+cdots$， $2+4+6+8+cdots$ 等。
正项级数的性质
性质1
正项级数的每一项都是非负的，因此其和总是大于或等于其任意 一部分的和。
性质2
如果一个正项级数收敛，则其部分和的极限存在且有限。
性质3
如果一个正项级数发散，则其部分和的极限不存在或趋于无穷。
正项级数的应用
正项级数及其审敛法 (iv)
CONTENTS 目录
• 正项级数 • 正项级数的审敛法 • 无穷级数与正项级数 • 幂级数与正项级数 • 正项级数的收敛性与发散性
CHAPTER 01
正项级数
正项级数的定义
正项级数
由正数组成的无限序列，可以表示为 $sum_{n=1}^{infty} a_n$，其中 $a_n > 0$。
如热传导、波动等。
在工程学中，幂级数被用于信号处理、图像处理等领域，如傅
03
里叶变换和小波变换等。
CHAPTER 05
正项级数的收敛性与发散性
正项级数的收敛性
定义
正项级数是指每一项都是非负的级数。如果一个正项级数 的部分和有界，则该级数收敛。
01
举例
几何级数、调和级数等都是正项级数的 例子。
02
正项级数及其审敛法
n
n
∴ 原级数发散.
(2)
lni mn2
n2 1 n1
∴ 原级数收敛.
3、比较审敛法3 (比阶审敛法)
设an和bn均为正项 , 级数
n1
n1
通 项 an和bn均 为 n时 的 无. 穷 小
(1) 当an 为bn 的同阶或高阶无穷, 小时
由bn 收敛可推出an 收敛.
n1
n1
(2) 当an 为bn 的同阶或低阶无穷 , 小时
n 1
1,
而 1发散,
n1n
∴ 原级数发散.
n
1
(2)
lim
n
n2
n 1
1
ln im n2
n2 n1
1,
n2
而
1
n1n2
收敛,
∴ 原级数收敛.
1
(3)
lim
n
4n
1
3n
4n
lim
n
1
1
3 4
n
1,
而
1
n14n
收
敛,
∴原级数收敛.
推论(比较审敛法 2)：
设 级 数
n 1
an为 正 项 级 数 ，(1)若
n1
若极 ln i m na 限 n有确,定 则意 有义
(1) 当 0 1 时, 级数收敛 ；
(2) 当 1 时, 级数发散 ；
(3) 当 1 时, 级数敛散性需另行判定.
当一般nn项 ,an等 ln 中 i m nan 含 易有 求 级的 数 常用根. 值审敛法
例:1)判
定
级 1数 的 n1nn
n1
思 路 ： 构 造 一 个 单 调 递 减 函 数 f(x)， 使 得 f(n)an
正项项级数的审敛法
例
级数
1 发散,
n1 n
级数
n1
1 n2
收敛,
(
1)
2.条件是充分的,而非必要.
例
un
2
(1)n 2n
3 2n
vn ,
级数 un
n1
2 (1)n
n1
2n
收敛,
但
un1 un
2 (1)n1 2(2 (1)n )
an ,
lim
n
a2n
1, 6
lim
n
a2n1
3, 2
lim un1 u n
1
1
(1)
解
sin ; (2) n1 n
(1) lim nsin 1
n
n
n1
3
n
;
n sin 1
lim n
n 1
1,
原级数发散.
1
n
(2)
lim
n
3n
1
n
3n
lim 1
n
1
n 3n
1,
n1
31n收敛,
故原级数收敛.
6.比值审敛法(达朗贝尔 D’Alembert 判别法)：
设 un
lim un n vn
l,
则(1) 当 0 l 时,二级数有相同的敛散性;
(2) 当 l 0时，若 vn 收敛,则 un 收敛;
n1
n1
(3) 当 l 时, 若 vn 发散,则 un 发散;
n1
n1
证明 (1)由lim un l v n
n
对于 l 0,
2
N , 当n N时, l l un l l
(1)若对一切n > N0,成立不等式
正项级数及其审敛法
得出级数收敛或发散的结论， 但是，由于数列
{(1 1 )n } 是一个单调增而有上界的数列， 即 n
(1 1 )n≤ e (n 1 ,2 ,3 ,) , 因此对于任意有限的n , n
总有
un1
x
e 1.
un
(1 1 )n (1 1 )n
n
n
于是可知，级数的后项总是大于前项， 故
O
1
2
3
图12 - 1
n n+1 x
根据定积分的几何意义 ，显然
Sn 1
n1
2 (x
1 1) p
dx
1
11 p 1 ( n p1
1)
p p1
1 p
1
1 n p1
p. p1
所以部分和数列有界. 于是由定理 1 可知，这时 p 级数收敛 .
综上所述可知: p 级数当 p ≤ 1 时发散; p > 1 时 收敛 .
n1
8 发散.
n1 n2 5n 2
例 4 试判定正项级数
1
的收敛性 .
n1 n n 1
解
因为 n
1 n
1
1 n3/ 2
(n
1
,2
,3
,)
,
而正
项级数
n1
1 n3/ 2
是
p
3 2
时的
p 级数,
它是收敛的，
所以由比较审敛法可知，所给正项级数收敛.
仔细分析例 3 与例 4，我们就会发现，如果 正项级数的通项 un 是分式，而其分子分母都是 n 的多项式 ( 常数是零次多项式 ) 或无理式时， 只要分母的最高次数高出分子最高次数一次以上 (不包括一次)， 该正项级数收敛，否则发散.
级数敛散性判断习题
例3. 设正项级数 也收敛 . 法1 由题设
和
都收敛, 证明级数
n→ ∞
n→ ∞
limun = limvn = 0 ,
n→ ∞
= lim(un +vn)
根据比较审敛法的极限形式知结论正确. 法2 因 limun = limvn = 0 , ∴lim(un +vn) = 0 ,
n→ ∞ n→ ∞ n→ ∞
又 arctan x = ∫
x 2 0
x
0
1 dx 2 1+ x
4 6 n
( −1 ≤ x ≤ 1)
= ∫ [1 − x + x − x + L + ( −1) x + L]dx
2n
x3 x5 x7 x 2 n+1 = x − + − + L + ( −1)n +L 3 5 7 2n + 1 ( −1 ≤ x ≤ 1) 故 x arctan x − ln 1 + x 2
∞
(1)
对于级数（1） 对于级数（1）
2 | a n+1 | ( n + 1) lim = lim = 1, 2 n → +∞ | a | n→ +∞ n n
级数（ 级数（1）的收敛域为 − 1 < y < 1, 原级数的收敛域为 , x > 1, 或 x < −1.
例5 解
x2n 求 数∑ 级 收 域 和 数 敛 及 函 . n n=0 (2 )!
n=0 n=0
∑anx
难
∞
n
逐项求导或求积分
n=0 n=0
∗ an xn ∑
∞