2019高考数学不等式真题汇总
高考真题 数列与不等式
2019年高考真题数列与不等式1.已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且，则()A.B.C.D.2.不等式的解集为________．3. 已知数列，从中选取第项、第项、、第项，若，则称新数列，，，为的长度为的递增子列．规定：数列的任意一项都是的长度为的递增子列．（1）写出数列，，，，，，的一个长度为的递增子列．（2）已知数列的长度为的递增子列的末项的最小值为，长度为的递增子列的末项的最小值为．若，求证：．（3）设无穷数列的各项均为正整数，且任意两项均不相等．若的长度为的递增子列末项的最小值为，且长度为末项为的递增子列恰有个(，， )，求数列的通项公式．4.设等差数列的前项和为，若，，则________，的最小值为________．5. 设等差数列的前项和为，，．数列满足：对每个，，，成等比数列．（1）求数列，的通项公式；（2）记，，证明：，．6.设，，数列满足，，，则()A. 当时，B. 当时，C. 当时，D. 当时，7.若实数，满足约束条件，则的最大值是()A.B.C.D.8.已知，，，则，，的大小关系为()A.B.C.D.9.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是(，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为，头顶至脖子下端的长度为，则其身高可能是()A.B.C.D.10.已知数列是等差数列，是其前项和．若，，则的值是________．11.若，则()A.B.C.D.12.设，，，则的最小值为________．13.若，满足，且，则的最大值为()A.B.C.D.14.记为等差数列的前项和．已知，，则()A.B.C.D.15. 已知数列和满足，，，．（1）证明：是等比数列，是等差数列．（2）求和的通项公式．16.已知，，，则()A.B.C.D.17. 设是等差数列，是等比数列．已知，，，．（1）求和的通项公式．（2）设数列满足，，其中．(i)求数列的通项公式；(ii)求．18.已知，，，则，，的大小关系为()A.B.C.D.19.设变量，满足约束条件，则目标函数的最大值为()A.B.C.D.20. 定义首项为且公比为正数的等比数列为“数列”．（1）已知等比数列满足：，，求证：数列为“数列”．（2）已知数列满足：，，其中为数列的前项和．①求数列的通项公式；②设为正整数，若存在“数列”，对任意正整数，当时，都有成立，求的最大值．21. 已知等差数列的公差，数列满足，集合．（1）若，求使得集合恰有两个元素．（2）若集合恰有三个元素，，是不超过的正整数，求的所有可能的值．22. 已知数列中，，前项和为．（1）若为等差数列，且，求．（2）若为等比数列，且，求公比的取值范围．23.如图，已知正方形，其中，函数交于点，函数交于点，当最小时，则的值为________．24.记为等差数列的前项和．若，，则________．25.记为等比数列的前项和．若，，则________．参考答案1.【答案】C【解析】解：设等比数列的公比为，则由前项和为，且，得，，，故选：C．【知识点】【题型】等比数列的基本量问题【来源】2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）； 2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）2.【答案】【解析】解：由得，即，故答案为：．【知识点】解绝对值不等式【来源】2019上海春季高考3.（1）【答案】，，，(答案不唯一)【解析】解：由递增子列的定义可以写出满足题意的递增子列有：，，，或，，，或，，，或，，，或，，，．(答案不唯一)【知识点】【题型】数列的综合问题【来源】2019年北京市高考数学试卷（理科）3.（2）【答案】见解析【解析】证明：长度为的递增子列的前项可以组成长度为的一个递增子列，该数列的第项，．【知识点】【题型】数列与不等式的综合问题【来源】2019年北京市高考数学试卷（理科）3.（3）【答案】，，【解析】解：考虑与这一组数在数列中的位置．若中有，且在之后，则必然是长度为，且末项为的递增子列，这与长度为的递增子列末项的最小值为矛盾，必在之前．继续考虑末项为的长度为的递增子列．对于数列，，由于在之前，研究递增子列时，不可同时取与，对于至的所有整数，研究长度为的递增子列时，第项是与二选，第项是与二选，，第项是与二选，故递增子列最多有个．由题意，这组数列对全部存在于原数列中，并且全在之前．，，，，，，，是唯一构造．即，，．【知识点】【题型】数列的综合问题【来源】2019年北京市高考数学试卷（理科）4.【答案】0 -10【解析】解：设等差数列的前项和为，，，，解得，，，，或时，取得最小值为．故答案为：，．【知识点】【题型】等差数列的综合问题、【题型】等差数列的基本量问题【来源】2019年北京市高考数学试卷（理科）5.（1）【答案】，；，【解析】解：设数列的公差为，由题意得，解得，，，，，．数列满足：对每个，，，成等比数列，，解得，即，．【知识点】【题型】等差与等比数列综合【来源】2019年浙江省高考数学试卷5.（2）【答案】见解析【解析】证明：，，用数学归纳法证明：①当时，，不等式成立；②假设当时不等式成立，即，则当时，，即当时，不等式也成立，即．由①②得对任意成立．【知识点】【题型】数学归纳法的应用、【题型】数列与不等式的综合问题【来源】2019年浙江省高考数学试卷6.【答案】A【解析】解：对于B，令，得，取，，，，当时，，故B错误；对于C，令，得或，取，，，，当时，，故C错误；对于D，令，得，取，，，，当时，，故D错误；对于A，，，，，为递增数列，当时，，，，．故A正确．故选：A．【知识点】【题型】数列的综合问题、数列的单调性【来源】2019年浙江省高考数学试卷； 2018-2019学年江西省宜春市高安中学高一（下）期末数学试卷（理科）（a卷）； 2019浙江省7.【答案】C【解析】解：由实数，满足约束条件作出可行域如图，联立，解得，化目标函数为，由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最大，有最大值：．故选：C．【知识点】简单线性规划【来源】2019年浙江省高考数学试卷8.【答案】A【解析】解：由题意，可知：，．，最大，、都小于．，．而，．，．故选：A．【知识点】比较大小之中间数法【来源】2019天津市高考真题天津卷69.【答案】B【解析】解：头顶至脖子下端的长度为，说明头顶到咽喉的长度小于，由头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是，可得咽喉至肚脐的长度小于，由头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，可得肚脐至足底的长度小于，即有该人的身高小于，由肚脐至足底的长度大于，可得头顶至肚脐的长度大于，即该人的身高大于，故选：B．【知识点】不等式的性质【来源】2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）； 2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）； 2018-2019学年浙江省镇海中学、杭州二中、嘉兴一中、诸暨中学、效实中学五校高二下6月月考数学卷； 2019高考真题新课标I410.【答案】16【解析】解：设等差数列的首项为，公差为，则，解得．．故答案为：．【知识点】【题型】等差数列的基本量问题、等差数列的求和公式【来源】2019年江苏省高考数学试卷； 2019江苏省11.【答案】C【解析】解：取，，则，排除A；，排除B；，故C对；，排除D．故选：C．【知识点】不等式的性质【来源】2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）12.【答案】【解析】，，，则，由均值不等式得：，当且仅当，即，，即或时，等号成立，故的最小值为．故答案为．【知识点】【题型】均值不等式应用技巧之构造不等式【来源】2019年天津市高考数学试卷（理科）13.【答案】C【解析】解：由作出可行域如图阴影部分所示，联立，解得，令，化为，由图可知，当直线过点时，有最大值为．故选：C．【知识点】简单线性规划【来源】2019年北京市高考数学试卷（理科）14.【答案】A【解析】解：设等差数列的公差为，由，，得，，，，故选：A．【知识点】【题型】等差数列的基本量问题【来源】2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）； 2019高考真题新课标I9 15.（1）【答案】见解析【解析】证明：，，，，即，．又，，是首项为，公比为的等比数列，是首项为，公差为的等差数列．【知识点】【题型】等差数列的判定、【题型】等比数列的判定【来源】2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）15.（2）【答案】，【解析】解：①，②，由①②可得：，，由①②可得：，；，．【知识点】【题型】等差数列的基本量问题【来源】2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）16.【答案】B【解析】解：，，，，，故选：B．【知识点】比较大小之中间数法【来源】2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）； 2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）； 2019高考真题新课标I317.（1）【答案】见解析【解析】解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，依题意有：，解得，，．【知识点】【题型】等差与等比数列综合【来源】2019年天津市高考数学试卷（理科）17.（2）【答案】见解析【解析】解：(i)数列满足，，其中．，数列的通项公式为．(ii)．【知识点】【题型】分组求和、数列通项公式的概念【来源】2019年天津市高考数学试卷（理科）18.【答案】A【解析】解：由题意，可知：，．，最大，、都小于．，．而，．，．故选：A．【知识点】比较大小之中间数法【来源】2019年天津市高考数学试卷（理科）19.【答案】C【解析】解：由约束条件，作出可行域如图：联立，解得，化目标函数为，由图可知，当直线经过点时，有最大值为．故选：C．【知识点】简单线性规划【来源】2019年天津市高考数学试卷（文科）； 2019年天津市高考数学试卷（理科）20.（1）【答案】见解析【解析】解：设等比数列的公比为，则由，，得，，数列首项为且公比为正数，即数列为“数列”．【知识点】【题型】等比数列的基本量问题、【题型】等比数列的综合问题、【题型】数列的新定义问题【来源】2019年江苏省高考数学试卷； 2019江苏省20.（2）【答案】见解析【解析】解：①，，当时，，，当时，，，当时，，，猜想，下面用数学归纳法证明；(i)当时，，满足，(ii)假设时，结论成立，即，则时，由，得，故时结论成立，根据(i)(ii)可知，对任意的都成立．故数列的通项公式为；②设的公比为，存在“数列”，对任意正整数，当时，都有成立，即对恒成立，当时，，当时，，当，两边取对数可得，对有解，即，令，则，当时，，此时单调递减，当时，，令，则，令，则，当时，，即，在上单调递减，即时，，则，下面求解不等式，化简，得，令，则，由得，，在上单调递减，又由于，，存在使得，的最大值为．【知识点】【题型】数学归纳法的应用、【题型】数列与不等式的综合问题、【题型】数列的新定义问题【来源】2019年江苏省高考数学试卷； 2019江苏省21.（1）【答案】见解析【解析】，则，，，，又因为集合恰有两个元素，所以或，，，又因为，1、当(舍去)，当，符合题意，于是；2、当(，舍去)，代入检验或，故也满足题意；综上：或．【知识点】诱导公式、【题型】数列的综合问题【来源】2019上海春季高考； 2019上海市高考真题上海卷2121.（2）【答案】见解析【解析】解法一：因为，为周期数列，1、当时，，则为常数数列，不符合集合恰有三个元素，舍去；2、当时，，也不符合，舍去；3、当时，，集合，符合题意．4、当时，，则，根据三角函数线—正弦线，可知，取时，，符合；5、当时，，，根据三角函数线—正弦线，可知，取时，，符合；6、当时，，，根据三角函数线—正弦线，可知，取时，，符合；7、当时，，，根据三角函数线—正弦线，可知，因为，则，设，则，根据整除性：1、，，不符合；2、，，带入检验，不符合；3、，带入检验，不符合；4、，带入检验，不符合；故当时，不满足恰有三个元素；综上：的可能取值为，，，．【知识点】【题型】三角函数线的应用、【题型】数列的综合问题【来源】2019上海春季高考； 2019上海市高考真题上海卷2122.（1）【答案】【解析】为等差数列，，，，．【知识点】【题型】等差数列的基本量问题、等差数列的求和公式、等差数列的通项公式【来源】2019上海春季高考； 2019上海市高考真题上海卷1822.（2）【答案】【解析】为等比数列，，，，，，，综上，或．【知识点】等比数列的求和公式、【题型】等比数列的综合问题【来源】2019上海春季高考； 2019上海市高考真题上海卷1823.【答案】【解析】依题意得，求得，，则，当且仅当时，取等号．故的值为．【知识点】利用均值不等式求最值、【题型】抛物线中的最值问题【来源】2019上海春季高考； 2019上海市高考真题上海卷1024.【答案】4【解析】解：设等差数列的公差为，则由，可得，，故答案为：．【知识点】等差数列的求和公式、【题型】等差数列的基本量问题【来源】2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）25.【答案】【解析】解：在等比数列中，由，得，即，，则，故答案为：．【知识点】【题型】等比数列的基本量问题、等比数列的求和公式【来源】2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）； 2019高考真题新课标I14。
2019年高考真题《不等式(理) 》Word版含解析
2019年高考真题《不等式》1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明： （1）222111a b c a b c++≤++； （2）333()()()24a b b c c a +++≥++． 【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）因为2222222,2,2a b ab b c bc c a ac +≥+≥+≥，又1abc =，故有222111ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c++++≥++==++．所以222111a b c a b c++≤++． （2）因为, , a b c 为正数且1abc =，故有333()()()a b b c c a +++++≥=3(+)(+)(+)a b b c a c3≥⨯⨯⨯=24．所以333()()()24a b b c c a +++++≥．【名师点睛】本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立． 2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知()|||2|().f x x a x x x a =-+-- （1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集； （2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围． 【答案】（1）(,1)-∞；（2）[1,)+∞【解析】（1）当a =1时，()=|1| +|2|(1)f x x x x x ---．当1x <时，2()2(1)0f x x =--<；当1x ≥时，()0f x ≥．所以，不等式()0f x <的解集为(,1)-∞． （2）因为()=0f a ，所以1a ≥．当1a ≥，(,1)x ∈-∞时，()=() +(2)()=2()(1)<0f x a x x x x a a x x -----．所以，a 的取值范围是[1,)+∞．【名师点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型． 3．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设,,x y z ∈R ，且1x y z ++=． （1）求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值； （2）若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥成立，证明：3a ≤-或1a ≥-． 【答案】（1）43；（2）见详解． 【解析】（1）由于2[(1)(1)(1)]x y z -++++222(1)(1)(1)2[(1)(1)(1)(1)(1)(1)]x y z x y y z z x =-+++++-++++++-2223(1)(1)(1)x y z ⎡⎤≤-++++⎣⎦，故由已知得2224(1)(1)(1)3x y z -++++≥， 当且仅当x =53，y =–13，13z =-时等号成立． 所以222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为43．（2）由于2[(2)(1)()]x y z a -+-+-222(2)(1)()2[(2)(1)(1)()()(2)]x y z a x y y z a z a x =-+-+-+--+--+--2223(2)(1)()x y z a ⎡⎤≤-+-+-⎣⎦，故由已知2222(2)(2)(1)()3a x y z a +-+-+-≥，当且仅当43a x -=，13a y -=，223a z -=时等号成立． 因此222(2)(1)()x y z a -+-+-的最小值为2(2)3a +．由题设知2(2)133a +≥，解得3a ≤-或1a ≥-．【名师点睛】两个问都是考查柯西不等式，属于柯西不等式的常见题型． 4．【2019年高考江苏卷数学】设x ∈R ，解不等式||+|2 1|>2x x -．【答案】1{|1}3x x x <->或．【解析】当x <0时，原不等式可化为122x x -+->，解得x <13-； 当0≤x ≤12时，原不等式可化为x +1–2x >2，即x <–1，无解； 当x >12时，原不等式可化为x +2x –1>2，解得x >1． 综上，原不等式的解集为1{|1}3x x x <->或．【名师点睛】本题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力． 5．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学】设函数()333()442f x x x g x x a x =-+-=-++，．（1）解不等式()10f x >；（2）若对于任意1x ∈R ，都存在2x ∈R ，使得12()()f x g x =成立，试求实数a 的取值范围． 【答案】（1）4x >或1x <-；（2）40a -≤≤【解析】（1）不等式等价于34610x x >⎧⎨->⎩或13210x x ≤≤⎧⎨>⎩或36410x x <⎧⎨->⎩解得4x >或1x <-．（2）对任意1x ∈R ，都存在2x ∈R ，使得12()=()f x g x 成立，即()g x 的值域包含()f x 的值域．46,3()3332,1364,1x x f x x x x x x ->⎧⎪=-+-=≤≤⎨⎪-<⎩，由图可得1x =时，min ()2f x =，所以()f x 的值域为[2,)+∞．()442(4)(42)2g x x a x x a x a =-++≥--+=+，当且仅当4x a -与42x +异号时取等号，所以()g x 的值域为[2,)a ++∞，由题[2,)+∞⊆[2,)a ++∞，所以22a +≤，解得40a -≤≤．【点睛】本题考查绝对值函数和用绝对值不等式求绝对值函数中参数的范围，是常见考题．6．【山东省郓城一中等学校2019届高三第三次模拟考试数学】已知函数()2f x ax =-，不等式()4f x ≤的解集为{}|26x x -≤≤． （1）求实数a 的值；（2）设()()(3)g x f x f x =++，若存在x ∈R ，使()2g x tx -≤成立，求实数t 的取值范围． 【答案】（1）1；（2）1(,1][,)2t ∈-∞-+∞．【解析】（1）由42ax -≤得－4≤2ax -≤4，即－2≤ax ≤6，当a >0时，26x a a -≤≤，所以2266a a ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得a ＝1；当a <0时，62x a a ≤≤-，所以6226a a⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，无解．所以实数a 的值为1．（2）由已知()()(3)g x f x f x =++＝|x ＋1|＋|x －2|＝()()()211312212x x x x x -+≤-⎧⎪-<<⎨⎪-≥⎩，不等式g （x ）－tx ≤2转化成g （x ）≤tx ＋2，由题意知函数()g x 的图象与直线y ＝tx ＋2相交，作出对应图象，由图得，当t <0时，t ≤k AM ；当t >0时，t ≥k BM ， 又因为k AM ＝－1，12BM k =， 所以t ≤－1或12t ≥， 即t ∈（－∞，－1]∪[12，＋∞）． 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法及分类思想、方程思想，还考查了思想结合思想及转化能力，考查了作图能力及计算能力，属于中档题．7．【安徽省合肥市2019届高三第一次教学质量检测数学】设函数()|1|f x x =+． （1）若+2>2f x x （），求实数x 的取值范围；（2）设=+>1g x f x f ax a （）（）（）（），若g x （）的最小值为12，求a 的值． 【答案】（1）13⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，；（2）2a =． 【解析】（1）()22f x x +>，即1>22x x+-⇔101>22x x x +≥⎧⎨+-⎩或10122x x x+<⎧⎨-->-⎩13x ⇔>， ∴实数x 的取值范围是13⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，． （2）∵1a >，∴11a -<-，∴()()()()()121111112a x x g x a x x a a x x a ⎧⎪-+-∈-∞-⎪⎪⎡⎤=-∈--⎨⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎛⎫++∈-+∞⎪ ⎪⎝⎭⎩，，，，，，， 易知函数()g x 在1a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，单调递减，在1a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，单调递增， ∴()min 111g x g a a ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭． ∴1112a -=，解得2a =． 【点睛】本道题考查了含绝对值不等式的解法，考查了结合单调性计算函数最值，关键得到函数解析式，难度中等．8．【河南省中原名校（即豫南九校）2018届高三第六次质量考评理科数学】已知函数21f x x a g x x =+=-（），（）．（1）若2f x g x +（）（）的最小值为1，求实数a 的值； （2）若关于x 的不等式1f x g x +<（）（）的解集包含112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，求实数a 的取值范围．【答案】（1）8a =-或4．（2）312⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 【解析】（1）当1b =时，()()1|||1||1||1|2222a a af xg x x x x x +=-++≥---=+， 因为()()12f xg x +的最小值为3，所以132a +=，解得8a =-或4．（2）当1b =-时，()()1f x g x +<即211x a x -+-<，当112x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，211x a x -+-<2112x a x x a x ⇔-+-<⇔-<，即3ax a <<， 因为不等式()()1f x g x +<的解集包含112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，所以1a >且132a <， 即312a <<，故实数a 的取值范围是312⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 【点睛】本题考查不等式的解法及不等式的性质，考查转化思想以及计算能力． 9．【河南省顶级名校2019届高三质量测评数学】已知函数()121f x x x =++-． （1）解不等式()2f x x ≤+；（2）若()3231g x x m x =-+-，对12x x ∀∈∃∈R R ，，使()()12f x g x =成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）{}|01x x ≤≤；（2）1544⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，．【解析】（1）不等式等价于132x x x ≤-⎧⎨-≤+⎩或11222x x x ⎧-<≤⎪⎨⎪-+≤+⎩或1232x x x >≤+⎧⎪⎨⎪⎩， 解得x φ∈或102x ≤≤或112x <≤， 所以不等式2f x x ≤+（）的解集为{}|01x x ≤≤．（2）由311()212132x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=-+-<≤⎨⎪⎪>⎪⎩，，，知，当12x =时，min 13()()22f x f ==， 323121g x x m x m ≥---=-（）（）（），当且仅当(32)(31)0x m x --≤时取等号，所以3212m -≤，解得1544m -≤≤．故实数m 的取值范围是1544⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，． 【点睛】本题考查方程有解问题，考查不等式的解法，考查转化思想以及计算能力． 10．【吉林省吉大附中2018届高三第四次模拟考试数学（理）试卷】已知函数()f x x a =-．（1）当2a =-时，解不等式()1621f x x ≥--；（2）若关于x 的不等式()1f x ≤的解集为[0,2]，求证：()(2)2f x f x ++≥． 【答案】（1）17{|3x x ≤-或5}x ≥（2）见解析 【解析】（1）当2a =-时，不等式为22116x x ++-≥， 当2x ≤-时，原不等式可化为22116x x ---+≥，解得173x ≤-， 当122x -<≤时，原等式可化为22116x x +-+≥，解得13x ≤-，不满足，舍去； 当12x >时，原不等式可化为22116x x ++-≥，解得5x ≥； 不等式的解集为17{|3x x ≤-或5}x ≥．（2）()1f x ≤即1x a -≤，解得11a x a -≤≤+，而()1f x ≤解集是[]02，，所以1012a a -=⎧⎨+=⎩，解得1a =，从而()1f x x =-． 于是只需证明()(2)2f x f x ++≥， 即证112x x -++≥，因为111x x x -++=-1112x x x ++≥-++= 所以112x x -++≥，证毕．【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法和证明，主要注意先确定参数的值，进而对定义域进行分类讨论，确定解所在的区间，属于中档题．11．【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评数学】设函数()2f x x x a =--+．（1）当1a =时，求不等式()2f x <-的解集；（2）当x y ∈R ，时，2()()2()f y f x f y -+≤≤+，求a 的取值范围． 【答案】（1）3{|}2x x >；（2）[]31--，【解析】（1）当a =1时，31()121232x f x x x x ≤-⎧⎪=--<≤⎨⎪->⎩，，，， 可得()2f x <-的解集为3{|}2x x >； （2）当x y ∈R ，时，[][]ma min 2()()2()()()2()()2x f y f x f y f x f y f x f x -+≤≤+⇔-≤⇔-≤，因为()()222x x a x x a a --+≤--+=+， 所以()222a a +--+≤． 所以21a +≤，所以31a -≤≤-． 所以a 的取值范围是[–3，–1]．【点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用． 12．【河北省衡水中学2019届高三第一次摸底考试数学】已知函数2f x x =-（）．（1）求不等式1f x x x <++（）的解集；（2）若函数()2log 32f x f x f x a ⎡⎤=++-⎣⎦（）（）的定义域为R ，求实数a 的取值范围．【答案】（1）13⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，；（2）32⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，．【解析】（1）由已知不等式()1f x x x <++，得21x x x -<++， 当2x >时，绝对值不等式可化为21x x x -<++，解得3x >-，所以2x >； 当12x -≤≤时，绝对值不等式可化为21x x x -<++，解得13x >，所以123x <≤； 当1x <-时，由21x x x -<--得3x >，此时无解． 综上可得所求不等式的解集为13⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，．（2）要使函数()()2log 32y f x f x a ⎡⎤=++-⎣⎦的定义域为R ， 只需()()()32g x f x f x a =++-的最小值大于0即可．又()12212232g x x x a x x a a =++--≥+-+-=-，当且仅当[]12x ∈-，时取等号． 所以只需320a ->，即32a <． 所以实数a 的取值范围是32⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，． 【点睛】绝对值不等式的常见解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．13．【甘肃省兰州市第一中学2019届高三6月最后高考冲刺模拟数学】已知函数()211f x x x =-++．（1）解不等式()3f x ≥；（2）记函数()f x 的最小值为m ，若,,a b c 均为正实数，且232a b c m ++=，求222a b c ++的最小值．【答案】（1）{}11x x x ≤-≥或；（2）914．【解析】（1）由题意，3,11()2,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=--<<⎨⎪⎪≥⎪⎩，所以()3f x ≥等价于133x x ≤-⎧⎨-≥⎩或11223x x ⎧-<<⎪⎨⎪-≥⎩或1233x x ⎧≥⎪⎨⎪≥⎩．解得1x ≤-或1x ≥，所以不等式的解集为{}11x x x ≤-≥或； （2）由（1）可知，当12x =时，()f x 取得最小值32， 所以32m =，即233a b c ++=， 由柯西不等式得2222222()(123)(23)9a b c a b c ++++≥++=， 整理得222914a b c ++≥， 当且仅当123a b c ==时，即369,,141414a b c ===时等号成立． 所以222a b c ++的最小值为914．【点睛】本题主要考查含绝对值不等式的解法，以及柯西不等式的应用，熟记不等式解法以及柯西不等式即可，属于常考题型．14．【四川省成都市第七中学2019届高三二诊模拟考试数学】已知000a b c >>>，，设函数f x x b x c a x =-+++∈R （），．（1）若1a b c ===，求不等式5f x <（）的解集； （2）若函数f x （）的最小值为1，证明：14918a b c a b b c c a++≥+++++（）． 【答案】（1）(2,2)-；（2）详见解析．【解析】（1）1a b c ===，不等式()5f x <，即|1||1|4x x -++<， 当1x ≤-时，11421x x x ---<⇒-<≤-， 当11x -<<时，11411x x x -+-<⇒-<<， 当1x ≥时，11412x x x -++<⇒≤<，∴解集为(2,2)-；（2）()f x x b x c a =-+++x c x b a ≥+--+（）（）b c a =++，∵000a b c >>>，，，∴min ()1f x a b c =++=， ∴149a b b c c a ++=+++149a b b c c a ⎛⎫++ ⎪+++⎝⎭a b c ++（） 11492a b b c c a ⎛⎫=++ ⎪+++⎝⎭a b b c a c +++++（）22212⎡⎤=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦222⎡⎤++⎣⎦212≥1818a b c ==++（）． 【点睛】考查了含绝对值不等式的解法，考查了基本不等式，考查了不等式的证明，难度中等偏难．15．【四川省成都市第七中学2019届高三一诊模拟考试数学】已知函数()21f x x x =-+，且a b c ∈R ，，． （1）若1a b c ++=，求()()()f a f b f c ++的最小值；（2）若1x a -<，求证：()()()21f x f a a -<+．【答案】（1）73；（2）见解析 【解析】（1）由柯西不等式得，()22221433a b c a b c ++≥++=（当且仅当23a b c ===时取等号），所以()()()()()222473133f a f b f c a b c a b c ++=++-+++≥+=， 即()()()f a f b f c ==的最小值为73； （2）因为1x a -<，所以()()()()22•11f x f a x a x a x a x a x a -=---=-+-<+-()()()()212112121x a a x a a a a =-+-≤-+-<++=+，故结论成立．【点睛】本题考查了利用柯西不等式求最值，考查了利用绝对值三角不等式证明的问题，属于中等题．16．【黑龙江省大庆市第一中学2019届高三下学期第四次模拟（最后一卷）数学】已知函数()25f x x a x =-+，其中实数0a >．（1）当3a =时，求不等式()51f x x ≥+的解集；（2）若不等式()0f x ≤的解集为{|1}x x ≤-，求a 的值．【答案】（1）不等式()51f x x ≥+的解集为{|12}x x x ≤≥或；（2）3a =【解析】（1）当3a =时，()51f x x ≥+可化为231x -≥，由此可得1x ≤或2x ≥，故不等式()51f x x ≥+的解集为{|12}x x x ≤≥或；（2）法一：（从去绝对值的角度考虑）由()0f x ≤，得25x a x -≤-， 此不等式化等价于2250a x x a x ⎧≥⎪⎨⎪-+≤⎩或()2250a x x a x ⎧<⎪⎨⎪--+≤⎩， 解得27a x a x ⎧≥⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩或23a x a x ⎧<⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩， 因为0a >，所以不等式组的解集为{|}3ax x ≤-， 由题设可得13a -=-，故3a =． 法二：（从等价转化角度考虑）由()0f x ≤，得25x a x -≤-，此不等式化等价于525x x a x ≤-≤-，即为不等式组5225x x a x a x ≤-⎧⎨-≤-⎩，解得37a x a x ⎧≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩， 因为0a >，所以不等式组的解集为{|}3a x x ≤-， 由题设可得13a -=-，故3a =． 法三：（从不等式与方程的关系角度突破）因为{|1}x x ≤-是不等式()0f x ≤的解集，所以1x =-是方程()0f x =的根，把1x =-代入250x a x -+=得37a a ==-或，因为0a >，所以3a =．【点睛】本题考查解绝对值不等式，不等式问题中求参数范围的问题，难度较小．17．【广东省揭阳市2019届高三高考二模数学】已知正实数x ，y 满足x +y =1．（1）解关于x 的不等式522x y x y ++-≤； （2）证明：2211(1)(19x y --≥）． 【答案】（1）1[16，）．（2）见解析． 【解析】（1）∵1x y +=，且0x >，0y >， ∴0152522212x x y x y x x <<⎧⎪++-≤⇔⎨-+-≤⎪⎩， 01011112121222x x x x x x x <<<<⎧⎧⎪⎪⇔⇔⎨⎨-≤+-+≤-≤+⎪⎪⎩⎩（）， 解得116x ≤<，所以不等式的解集为1[16，）． （2）解法1：∵1x y +=，且00x y >>，， ∴2222222211()()(1)(1)x y x x y y x y x y+-+---=⋅ 222222xy y xy x x y ++=⋅222222()()y y x x x x y y =++225x y y x =++59≥=． 当且仅当12x y ==时，等号成立． 解法2：∵1x y +=，且00x y >>，， ∴2222221111(1)(1)x y x y x y----=⋅ 22(1)(1)(1)(1)x x y y x y +-+-=⋅22(1)(1)x y y x x y ++=⋅1x y xy xy+++=21xy =+2219()2x y ≥+=+，当且仅当12x y ==时，等号成立． 【点睛】主要考查了绝对值不等式的求解、不等式证明、以及基本不等式的应用，属于中档题．对于绝对值不等式的求解，主要运用零点分段法，也可以运用图像法．而不等式的证明，关键是灵活运用不等式的性质以及基本不等式．。
不等式(原卷版)-五年(2018-2022)高考数学真题分项汇编(全国通用)
专题14不等式1．【2022年全国乙卷】若x ，y 满足约束条件+O2,+2N4,O0,则=2−的最大值是（）A ．−2B ．4C ．8D ．122．【2021年乙卷文科】若,x y 满足约束条件4,2,3,x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩则3z x y =+的最小值为（）A ．18B ．10C ．6D ．43．【2021年乙卷文科】下列函数中最小值为4的是（）A ．224y x x =++B ．4sin sin y x x=+C ．222x xy -=+D ．4ln ln y x x=+4．【2020年新课标3卷文科】已知函数f (x )=sin x +1sin x，则（）A ．f (x )的最小值为2B ．f (x )的图象关于y 轴对称C ．f (x )的图象关于直线x π=对称D ．f (x )的图象关于直线2x π=对称5．【2019年新课标2卷理科】若a >b ，则A ．ln(a −b )>0B ．3a <3b C ．a 3−b 3>0D ．│a │>│b │6．【2022年新高考2卷】若x ，y 满足2+2−B =1，则（）A ．+≤1B ．+≥−2C ．2+2≤2D ．2+2≥17．【2020年新高考1卷（山东卷）】已知a >0，b >0，且a +b =1，则（）A ．2212a b +≥B ．122a b->C ．22log log 2a b +≥-D≤8．【2020年新课标1卷理科】若x ，y 满足约束条件220,10,10,x y x y y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪+≥⎩则z =x +7y 的最大值为______________.9．【2020年新课标2卷文科】若x ，y 满足约束条件1121,x y x y x y +≥-⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，，则2z x y =+的最大值是__________．10．【2020年新课标3卷理科】若x ，y 满足约束条件0,201,x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，，则z =3x +2y 的最大值为_________．11．【2020年新课标3卷理科】关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题：①f （x ）的图象关于y 轴对称．②f （x ）的图象关于原点对称．③f （x ）的图象关于直线x =2π对称．④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．12．【2019年新课标2卷文科】若变量x ，y 满足约束条件23603020x y x y y ，，，+-≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩则z =3x –y 的最大值是___________.13．【2018年新课标1卷理科】若x ，y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则32z x y =+的最大值为_____________．14．【2018年新课标2卷理科】若,x y 满足约束条件250,230,50,x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩则z x y =+的最大值为__________．15．【2018年新课标3卷文科】若变量x y ，满足约束条件23024020.x y x y x ++≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，，则13z x y =+的最大值是________．。
(2017-2019)高考理数真题分类汇编专题20 不等式选讲(教师版)
（1） 1专题 20不等式选讲1．【2019 年高考全国Ⅰ卷理数】已知 a ，b ，c 为正数，且满足 abc =1．证明：1 1+ + ≤ a 2 + b 2 + c 2 ；a b c（2） (a + b )3 + (b + c)3 + (c + a)3 ≥ 24 ．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）因为 a 2 + b 2 ≥ 2ab, b 2 + c 2 ≥ 2bc, c 2 + a 2 ≥ 2ac ，又 abc = 1，故有a 2+ b 2+ c 2≥ ab + bc + ca = ab + bc + ca 1 1 1 = + + ．abc a b c所以 1 1 1+ + ≤ a 2 + b 2 + c 2 ．a b c（2）因为 a, b , c 为正数且 abc = 1，故有(a + b )3 + (b + c)3 + (c + a)3 ≥ 3 3 (a + b )3 (b + c)3 (a + c)3=3(a +b )(b +c)(a +c)≥ 3 ⨯ (2 ab ) ⨯ (2 bc ) ⨯ (2 ac )=24．所以 (a + b )3 + (b + c)3 + (c + a)3 ≥ 24 ．【名师点睛】本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立．2．【2019 年高考全国Ⅱ卷理数】已知 f ( x ) =| x - a | x + | x - 2 | ( x - a).（1）当 a = 1 时，求不等式 f ( x ) < 0 的解集；（2）若 x ∈ (-∞,1) 时， f ( x ) < 0 ，求 a 的取值范围． 【答案】（1） (-∞,1) ；（2）[1, +∞ )【解析】（1）当 a =1 时， f ( x )=| x - 1| x +|x - 2|(x - 1) ．当 x < 1时， f ( x ) = -2( x - 1)2 < 0 ；当 x ≥ 1时， f ( x ) ≥ 0 ．所以，不等式 f ( x ) < 0 的解集为 (-∞,1) ．⎣ ⎦⎣ ⎦ + ( y - 1) + ( z - a) (2 + a)2 由题设知 ≥ ，解得 a ≤ -3 或 a ≥ -1 ．（2）因为 f (a)=0 ，所以 a ≥ 1 ．当 a ≥ 1 ， x ∈ (-∞,1) 时， f ( x )=(a - x) x+(2 - x)(x - a)=2(a - x)(x - 1)<0 ．所以， a 的取值范围是[1, +∞) ．【名师点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型．3．【2019 年高考全国Ⅲ卷理数】设 x, y , z ∈ R ，且 x + y + z = 1 ．（1）求 ( x - 1)2 + ( y + 1)2 + ( z + 1)2 的最小值；（2）若 ( x - 2)2 + ( y - 1)2 + ( z - a)2 ≥ 13成立，证明： a ≤ -3 或 a ≥ -1 ．【答案】（1） 4 3；（2）见详解．【解析】（1）由于 [( x - 1) + ( y + 1) + ( z + 1)]2= ( x - 1)2 + ( y + 1)2 + ( z + 1)2 + 2[(x - 1)( y + 1) + ( y + 1)(z + 1) + ( z + 1)(x - 1)]≤ 3 ⎡( x - 1)2 + ( y + 1)2 + ( z + 1)2 ⎤ ，故由已知得 ( x - 1)2 + ( y + 1)2 + ( z + 1)2 ≥ 4 3，当且仅当= 5 1 1，y =– ， z = - 时等号成立．3 3 34所以 ( x - 1)2 + ( y + 1)2 + ( z + 1)2 的最小值为 ．3（2）由于 [( x - 2) + ( y - 1) + ( z - a)]2= ( x - 2)2 + ( y - 1)2 + ( z - a)2 + 2[(x - 2)( y - 1) + ( y - 1)(z - a) + ( z - a)( x - 2)]≤ 3 ⎡( x - 2)2 + ( y - 1)2 + ( z - a)2 ⎤ ，(2 + a)2故由已知 ( x - 2)2 2 2 ≥ ，3当且仅当 x = 4 - a 1 - a 2a - 2， y = ， z = 时等号成立．3 3 3因此 ( x - 2)2 + ( y - 1)2 + ( z - a)2 的最小值为 ．3(2 + a)2 13 3综上，原不等式的解集为 {x | x < - 或x > 1} ．【解析】（1）当 a = 1 时， f ( x ) =| x + 1| - | x - 1| ，即 f ( x ) = ⎨2 x , -1 < x < 1, ⎪2, x ≥ 1.【名师点睛】两个问都是考查柯西不等式，属于柯西不等式的常见题型．4．【2019年高考江苏卷数学】设 x ∈ R ，解不等式 |x|+|2 x - 1|>2 ．【答案】{x | x < - 1或x > 1} ．31【解析】当<0时，原不等式可化为 - x + 1 - 2 x > 2 ，解得< - ；3当0≤≤ 12时，原不等式可化为+1–2>2，即<–1，无解；当> 12时，原不等式可化为+2–1>2，解得>1．13【名师点睛】本题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力．5．【2018 年高考全国Ⅰ卷理数】已知 f ( x ) =| x +1| - | ax -1| ．（1）当 a = 1 时，求不等式 f (x) > 1 的解集；（2）若 x ∈ (0,1)时不等式 f ( x ) > x 成立，求 a 的取值范围．【答案】（1）{x | x > 1} ；（2） (0, 2] ．2⎧-2, x ≤ -1, ⎪ ⎩1故不等式 f ( x ) > 1 的解集为{x | x > } ．2（2）当 x ∈ (0,1) 时 | x + 1| - | ax - 1| > x 成立等价于当 x ∈ (0,1) 时 | ax - 1| < 1 成立．若 a ≤ 0 ，则当 x ∈ (0,1) 时 | ax - 1| ≥ 1 ；若 a > 0 ， | ax - 1| < 1 的解集为 0 < x < 2 2，所以 ≥ 1 ，故 0 < a ≤ 2 ．a a综上， a 的取值范围为 (0, 2] ．6．【2018 年高考全国Ⅱ卷理数】设函数 f ( x ) = 5 - | x + a | - | x - 2| ．（1）当 a = 1 时，求不等式 f ( x ) ≥ 0 的解集；【解析】（1）当 a = 1 时， f ( x ) = ⎨2,-1 < x ≤ 2,⎪-2 x + 6, x > 2.-3x, x < - ,2 【解析】（1） f ( x ) = ⎨ x + 2, - ≤ x < 1, y = f ( x ) 的图像如图所示．2⎩（2）若 f ( x ) ≤ 1 ，求的取值范围．【答案】（1）{x | -2 ≤ x ≤ 3} ；（2） (-∞, -6] U [2, +∞) ．⎧2 x + 4, x ≤ -1,⎪ ⎩可得 f ( x ) ≥ 0 的解集为{x | -2 ≤ x ≤ 3} ．（2） f ( x ) ≤ 1 等价于 | x + a | + | x - 2 |≥ 4 ．而 | x + a | + | x - 2 |≥| a + 2 | ，且当 x = 2 时等号成立．故 f ( x ) ≤ 1 等价于 | a + 2 |≥ 4 ．由 | a + 2 |≥ 4 可得 a ≤ -6 或 a ≥ 2 ，所以 a 的取值范围是 (-∞, -6] U [2, +∞) ．7．【2018 年高考全国Ⅲ卷理数】设函数 f (x ) = 2x + 1 + x - 1 ．（1）画出 y = f (x )的图像；（2）当 x ∈[ 0 ，+ ∞ )， f (x )≤ ax + b ，求 a + b 的最小值．【答案】（1）图像见解析；（2） a + b 的最小值为 5 ．⎧1 ⎪ ⎪⎪1 ⎪⎪3x, x ≥ 1. ⎪= = 时，不等式取等号，此时 x = ，y = ，z = ，1（2）由（1）知， y = f ( x ) 的图像与 y 轴交点的纵坐标为 2 ，且各部分所在直线斜率的最大值为3 ，故当且仅当 a ≥ 3 且 b ≥ 2 时， f ( x ) ≤ ax + b 在 [0, +∞) 成立，因此 a + b 的最小值为 5 ．8．【2018 年高考江苏卷数学】若，y ，为实数，且+2y +2=6，求 x 2 + y 2 + z 2 的最小值．【答案】 x 2 + y 2 + z 2 的最小值为 4．【解析】由柯西不等式，得 ( x 2 + y 2 + z 2 )(12 + 22 + 22 ) ≥ ( x + 2 y + 2 z )2 ．因为 x + 2 y + 2 z =6 ，所以 x 2 + y 2 + z 2 ≥ 4 ，当且仅当 x y z 2 4 41 2 2 3 3 3所以 x 2 + y 2 + z 2 的最小值为 4．9．【2017 年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数 f ( x ) = - x 2 + ax + 4 ， g ( x ) =| x +1| + | x -1| ．（1）当 a = 1 时，求不等式 f ( x ) ≥ g ( x ) 的解集；（2）若不等式 f ( x ) ≥ g ( x ) 的解集包含[–，1]，求 a 的取值范围．【答案】（1）{x | -1 ≤ x ≤ -1 + 17 } ；（2） [-1,1]．2【解析】（1）当 a = 1 时，不等式 f ( x ) ≥ g ( x ) 等价于 x 2 - x + | x + 1| + | x - 1| -4 ≤ 0 ．①当 x < -1时，①式化为 x 2 - 3x - 4 ≤ 0 ，无解；当 -1 ≤ x ≤ 1 时，①式化为 x 2 - x - 2 ≤ 0 ，从而 -1 ≤ x ≤ 1 ；利 ， ( ( ) 2 2当 x > 1 时，①式化为 x 2 + x - 4 ≤ 0 ，从而1 < x ≤-1 + 17 2．所以 f ( x ) ≥ g ( x ) 的解集为{x | -1 ≤ x ≤-1 + 172} ．（2）当 x ∈ [-1,1]时， g ( x ) = 2 ．所以 f ( x ) ≥ g ( x ) 的解集包含 [-1,1]，等价于当 x ∈ [-1,1]时 f ( x ) ≥ 2 ．又 f ( x ) 在 [-1,1]的最小值必为 f (-1) 与 f (1)之一，所以 f (-1) ≥ 2 且 f (1) ≥ 2 ，得 -1 ≤ a ≤ 1 ．所以 a 的取值范围为[-1,1]．【名师点睛】形如| x - a | + | x - b |≥ c （或 ≤ c ）型的不等式主要有两种解法：（1）分段讨论法： 用绝对值号内式子对应方程的根将数轴分为(-∞, a]， a , b ] ， b , +∞（此处设a < b ） 三个部分，将每部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．（2）图像法：作出函数 y =| x - a | + | x - b | 和 y = c 的图像，结合图像求解．1210．【2017 年高考全国Ⅱ卷理数】已知 a > 0, b > 0, a 3 + b 3 = 2 ．证明：（1） (a + b )(a 5 + b 5 ) ≥ 4 ；（2） a + b ≤ 2 ．【答案】（1）证明略；（2）证明略．【解析】（1） (a + b )(a 5 +b 5 )= a 6 + ab 5 + a 5b + b 6= (a 3 + b 3 )- 2a 3b 3 + ab (a 4 + b 4 ) = 4 + ab (a 2 - b 2 )≥ 4.（2）因为 (a + b )3 = a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b 3= 2 + 3ab (a + b )≤ 2 +3 (a + b )24(a + b )3 (a + b )3= 2 +,4【答案】（1） x x ≥ 1 ；（2） -∞， ⎥【解析】（1） f (x ) = ⎨2 x - 1,-1 ≤ x ≤ 2 ， ⎪3,x > 2 { }⎛ x + 1 - x - 2 - x + x ≤ x + 1 + x - 2 - x+ x = - x - ⎪ + ≤ ， 且当 x = 3故 m 的取值范围为 -∞， ⎥ ．所以 (a + b )3 ≤ 8 ，因此 a + b ≤ 2 ．【名师点睛】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题．若不等式恒等变形之后与二次函数有关，可用配方法．11．【2017 年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数 f （）=│+1│–│–2│．（1）求不等式 f （）≥1 的解集；（2）若不等式 f (x ) ≥ x 2 - x + m 的解集非空，求 m 的取值范围．5 ⎤ ⎝4 ⎦⎧-3,x < -1⎪ ⎩当 x < -1时， f (x ) ≥ 1 无解；当 -1 ≤ x ≤ 2 时，由 f (x ) ≥ 1 得， 2x -1 ≥ 1 ，解得1 ≤ x ≤ 2 ；当 x > 2 时，由 f (x ) ≥ 1 解得 x > 2 ．所以 f (x ) ≥ 1 的解集为 {x x ≥ 1}．（2）由 f (x ) ≥ x 2 - x + m 得 m ≤ x + 1 - x - 2 - x 2 + x ，而⎛3 ⎫2 5 5 2 2 ⎝2 ⎭ 4 45时， x + 1 - x - 2 - x 2 + x =． 24⎛ 5⎤ ⎝4 ⎦【名师点睛】绝对值不等式的解法有三种：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．12．【2017 年高考江苏卷数学】已知 a, b , c , d 为实数，且 a 2 + b 2 = 4, c 2 + d 2 = 16, 证明： ac + bd ≤ 8.22 ≥ 2 i 22【答案】见解析【解析】由柯西不等式可得 (ac + bd )2 ≤ (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) ，因为 a 2 + b 2 = 4, c 2 + d 2 = 16 ，所以 (ac + bd )2 ≤ 64 ，因此 ac + bd ≤ 8 ．【名师点睛】柯西不等式的一般形式：设 a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…，b n 为实数，则（ a 1 + a 2 + L + a n ）（ b 12 + b 2 + L + b n ）（a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ），当且仅当 b i ＝0 或存在一个数，使 a i ＝b （i ＝1， ，…，n ）时，等号成立．本题中，由柯西不等式可得(ac + bd )2 ≤ (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) ，代入即得结论．。
2019年上海市高考数学真题试题含答案
2019年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）学一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7T2题每题5分）123456789（4 分）己知集合 A = {1, 2, 3, 4, 5）, B = {3, 5, 6},则 A B =（4分）计算lim（4分）不等式|x + l|<5的解集为.（4分）函数f （x ） = x 2（x>0）的反函数为・（4分）设，为虚数单位，3z-i = 6 + 5i ,贝！J |z|的值为（4分）己知J2x + 2； = T,当方程有无穷多解时，。
的值为_.[4x + a y = a（5分）在3 + *）6的展开式中，常数项等于.（5 分）在 AABC 中，AC = 3, 3sinA = 2sin3,且 cosC = -,则 AB=4 ----（5分）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动,其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有—种（结果用数值表示）_2_10.（5分）如图，已知正方形OABC ,其中OA = a （a>l ）,函数j = 3x 2交BC 于点P,函数y = G交AB 于点！2，当\AQ\ + \CP\最小时，则。
的值为.11. （5分）在椭圆七+匕=1上任意一点F, Q 与P 关4 2于x 轴对称，若有F {P F 2P… 1,则gP 与乙。
的夹角范围为.12. （5 分）已知集合A = [t, z + 1] [r + 4, t + 9], 0",存在正数九，使得对任意aeA,都有-eA,贝!U 的值a是.二、 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. （5分）下列函数中，值域为[0, +8）的是（ ）2A. y = 2xB. y = x 2C. y = tan xD. y=cosx14. （5 分）己知 a 、beR,则" a 2>b 2 "是"\a\>\b\"的（ ）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件15. （5分）已知平面a 、§、/两两垂直，直线a 、b 、c 满足：aga , b g 0 , cc.y ,则直线a 、b. c 不可能满足以下哪种关系（ ）A.两两垂直B.两两平行C.两两相交D.两两异面16. （5分）以（％, 0） , （a 2, 0）为圆心的两圆均过（1,0）,与y 轴正半轴分别交于, 0） , （y 2,0）,且满足lny }+lny 2=O,则点（―,—）的轨迹是（）A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线三、 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18 = 76分）— 3n +1/ — 4〃+117. (14 分)如图，在正三棱锥P-AB C 中，PA = PB = PC = 2,AB = BC = AC = @(1) 若正3的中点为M, BC 的中点为N ,求AC 与A/N 的夹角；(2) 求P-AB C 的体积.18. (14分)已知数列｛%｝, %=3,前〃项和为S 广(1) 若｛弓｝为等差数列，且％=15,求& ;(2) 若｛%｝为等比数列，且limS… <12,求公比g 的取值范围.n —>oo19. (14分)改革开放40年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍.卫生 总费用包括个人现在支出、社会支出、政府支出，如表为2012年-2015年我国卫生货用中 个人现金支出、社会支出和政府支出的费用(单位：亿元)和在卫生总费用中的占比.(数据来源于国家统计年鉴)(1) 指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化 趋势：(2) 设，=1表示1978年，第〃年卫生总费用与年份f 之间拟合函数的)=*2盟 研究 函数/■①的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过12万亿的年份.年份卫生总费用(亿元)个人现金卫生支出社会卫生支出政府卫生支出绝对数(亿元)占卫生总费用比重(％)绝对数(亿元)占卫生 总 费用比重(%绝对数(亿元))占卫 生 总 费 用 比 重(%)201228119. 009656. 3234. 3410030.7035. 678431. 9829. 99201331668.9510729.3433.8811393.7935. 989545.8130. 14201435312. 4011295.4131.9913437. 7538. 0510579. 2329. 96201540974. 6411992.6529. 2716506. 7140. 2912475. 2830. 4520. (16分)已知抛物线方程尸=4了，F 为焦点，P 为抛物线准线上一点，。
2019年高考(理科)数学真题专题09+不等式、推理与证明
2019年高考（理科）数学真题专题09 不等式、推理与证明1．【2019年高考全国II 卷理数】2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L 点的轨道运行．2L 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M １，月球质量为M ２，地月距离为R ，2L 点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：121223()()M M M R r R r r R +=++.设rRα=，由于α的值很小，因此在近似计算中34532333(1)ααααα++≈+，则r 的近似值为 ABC．D【答案】D 【解析】由rRα=，得r R α= 因为121223()()M M M R r R r r R +=++，所以12122222(1)(1)M M M R R R ααα+=++，即543232221133[(1)]3(1)(1)M M αααααααα++=+-=≈++，解得3α=所以3.r R α==【名师点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是复杂式子的变形出错．2．【2019年高考全国II 卷理数】若a >b ，则 A ．ln(a −b )>0 B ．3a <3b C ．a 3−b 3>0 D ．│a │>│b │【答案】C【解析】取2,1a b ==，满足a b >，ln()0a b -=，知A 错，排除A ；因为9333a b =>=，知B 错，排除B ；取1,2a b ==-，满足a b >，12a b =<=，知D 错，排除D ，因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，故选C ．【名师点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．3．【2019年高考北京卷理数】若x ，y 满足|1|x y ≤-，且y ≥−1，则3x+y 的最大值为 A ．−7 B ．1C ．5D ．7【答案】C【解析】由题意1,11yy x y-≤⎧⎨-≤≤-⎩作出可行域如图阴影部分所示.设3,3z x y y z x =+=-,当直线0:3l y z x =-经过点()2,1-时,z 取最大值5.故选C ．【名师点睛】本题是简单线性规划问题的基本题型,根据“画､移､解”等步骤可得解.题目难度不大,注重了基础知识､基本技能的考查.4．【2019年高考北京卷理数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2−m 1=52lg 21E E ，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A ． 1010.1B ． 10.1C ． lg10.1D ． 10–10.1【答案】A【解析】两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -=,令211.45,26.7m m =-=-, ()10.111212222lg( 1.4526.7)10.1,1055E E m m E E =⋅-=-+==. 故选：A ．【名师点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算.5．【2019年高考天津卷理数】设变量,x y 满足约束条件20,20,1,1,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎪⎨-⎪⎪-⎩……，则目标函数4z x y =-+的最大值为 A ．2 B ．3C ．5D ．6【答案】D【解析】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分. 目标函数的几何意义是直线4y x z =+在y 轴上的截距， 故目标函数在点A 处取得最大值.由20,1x y x -+=⎧⎨=-⎩，得(1,1)A -，所以max 4(1)15z =-⨯-+=.故选C.【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域，分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值或范围．即：一画，二移，三求． 6．【2019年高考天津卷理数】设x ∈R ，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】化简不等式，可知 05x <<推不出11x -<， 由11x -<能推出05x <<，故“250x x -<”是“|1|1x -<”的必要不充分条件， 故选B.【名师点睛】本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件.7．【2019年高考浙江卷】若实数,x y 满足约束条件3403400x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则32z x y =+的最大值是A ． 1-B ． 1C ． 10D ． 12【答案】C【解析】画出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示。
2019年高考数学真题分类汇编：专题(07)不等式(文科)及答案
2019年高考数学真题分类汇编 专题07 不等式 文1.【2018高考天津，文2】设变量,y x 满足约束条件2020280x x y x y ì-?ïï-?íï+-?ïî,则目标函数3y z x =+的最大值为（ ） (A) 7 (B) 8 (C) 9 (D)14【答案】C【解析】()()513y 2289922z x x x y =+=-++-+?,当 2,3x y == 时取得最大值9,故选C.此题也可画出可行域,借助图像求解,【考点定位】本题主要考查线性规划知识.【名师点睛】线性规划也是高考中常考的知识点,一般以客观题形式出现,基本题型是给出约束条件求目标函数的最值,常见的结合方式有:纵截距、斜率、两点间的距离、点到直线的距离,解决此类问题常利用数形结合,准确作出图形是解决问题的关键.2.【2018高考浙江，文6】有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：2m ）分别为x ，y ，z ，且x y z <<，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/2m ）分别为a ，b ，c ，且a b c <<．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（ ）A ．ax by cz ++B ．az by cx ++C ．ay bz cx ++D ．ay bx cz ++【答案】B【解析】由x y z <<，a b c <<，所以()()()ax by cz az by cx a x z c z x ++-++=-+-()()0x z a c =-->，故ax by cz az by cx ++>++；同理，()ay bz cx ay bx cz ++-++()()()()0b z x c x z x z c b =-+-=--<，故ay bz cx ay bx cz ++<++.因为()az by cx ay bz cx ++-++()()()()0a z y b y z a b z y =-+-=--<，故az by cx ay bz cx ++<++.故最低费用为az by cx ++.故选B.考点：1.不等式性质；2.不等式比较大小.【名师点睛】本题主要考查不等式的性质以及不等式比较大小.解答本题时要能够对四个选项利用作差的方式进行比较，确认最小值.本题属于容易题，重点考查学生作差比较的能力.3.【2018高考重庆，文10】若不等式组2022020x y x y x y m +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩,表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为（ ） (A)-3 (B) 1 (C)43(D)3 【答案】B 【解析】如图，，由于不等式组2022020x y x y x y m +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩,表示的平面区域为ABC ∆，且其面积等于43， 再注意到直线:20AB x y +-=与直线:20BC x y m -+=互相垂直，所以ABC ∆是直角三角形，易知，(2,0),(1,1)A B m m -+,2422(,)33m m C -+;从而112222122223ABC m S m m m ∆+=+⋅+-+⋅=43， 化简得：2(1)4m +=，解得3m =-,或1m =，检验知当3m =-时，已知不等式组不能表示一个三角形区域，故舍去，所以1m =;故选B.【考点定位】线性规划与三角形的面积. 【名师点睛】本题考查线性规划问题中的二元一次不等式组表示平面区域，利用已知条件将三角形的面积用含m 的代数式表示出来，从而得到关于m 的方程来求解.本题属于中档题，注意运算的准确性及对结果的检验.4.【2018高考湖南，文7】若实数,ab 满足12a b+=，则ab 的最小值为( ) A B 、2 C 、 D 、4【答案】C【解析】12121002ab a b ab ab a b a b a+=∴=+≥⨯=∴≥，＞，＞，（当且仅当2b a =时取等号），所以ab 的最小值为，故选C.【考点定位】基本不等式【名师点睛】基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．5.【2018高考四川，文9】设实数x，y满足2102146x yx yx y+≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则xy的最大值为( )(A)252(B)492(C)12 (D)14【考点定位】本题主要考查线性规划与基本不等式的基础知识，考查知识的整合与运用，考查学生综合运用知识解决问题的能力.【名师点睛】本题中，对可行域的处理并不是大问题，关键是“求xy最大值”中，xy已经不是“线性”问题了，如果直接设xy＝k，，则转化为反比例函数y＝kx的曲线与可行域有公共点问题，难度较大，且有超出“线性”的嫌疑.而上面解法中，用基本不等式的思想，通过系数的配凑，即可得到结论，当然，对于等号成立的条件也应该给以足够的重视.属于较难题.6.【2018高考广东，文4】若变量x，y满足约束条件224x yx yx+≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则23z x y=+的最大值为（）A．10 B．8 C．5 D．2【答案】C【解析】作出可行域如图所示：作直线0:l 230x y +=，再作一组平行于0l 的直线:l 23x y z +=，当直线l 经过点A 时，23z x y =+取得最大值，由224x y x +=⎧⎨=⎩得：41x y =⎧⎨=-⎩，所以点A 的坐标为()4,1-，所以()max 24315z =⨯+⨯-=，故选C ． 【考点定位】线性规划．【名师点晴】本题主要考查的是线性规划，属于容易题．线性规划类问题的解题关键是先正确画出不等式组所表示的平面区域，然后确定目标函数的几何意义，通过数形结合确定目标函数何时取得最值．解题时要看清楚是求“最大值”还是求“最小值”，否则很容易出现错误；画不等式组所表示的平面区域时要通过特殊点验证，防止出现错误．7.【2018高考重庆，文14】设,0,5a b a b >+=,________. 【答案】23【解析】由222ab a b ≤+两边同时加上22a b +得222()2()a b a b +≤+两边同时开方即得：a b +≤（0,0a b >>且当且仅当a b =时取“=”），≤==13a b +=+,即73,22a b ==时，“=”成立），故填：23.【考点定位】基本不等式.【名师点睛】本题考查应用基本不等式求最值，先将基本不等式222ab a b ≤+转化为a b +≤（a>0,b>0且当且仅当a=b 时取“=”）再利用此不等式来求解.本题属于中档题，注意等号成立的条件.8.【2018高考新课标1，文15】若x,y 满足约束条件20210220x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩,则z=3x+y 的最大值为 ．【答案】4【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线0l ：30x y +=，平移直线0l ，当直线l :z=3x+y 过点A 时，z 取最大值，由2=021=0x y x y +-⎧⎨-+⎩解得A （1,1），∴z=3x+y 的最大值为4.考点：简单线性规划解法【名师点睛】对线性规划问题，先作出可行域，在作出目标函数，利用z 的几何意义，结合可行域即可找出取最值的点，通过解方程组即可求出做最优解，代入目标函数，求出最值，要熟悉相关公式，确定目标函数的意义是解决最优化问题的关键，目标函数常有距离型、直线型和斜率型.9.【2018高考陕西，文11】某企业生产甲乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额表所示，如果生产1吨甲乙产品可获利润分别为3万元.4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）A ．12万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元【答案】D【解析】设该企业每天生产甲乙两种产品分别x ，y 吨，则利润34z x y =+由题意可列0,0321228x y x y x y ≥≥⎧⎪+≤⎨⎪+≤⎩，其表示如图阴影部分区域：当直线340x y z +-=过点(2,3)A 时，z 取得最大值324318z =⨯+⨯=，故答案选D 。
2017-2019年高考真题“不等式”全集(含详细解析)
2017-2019年高考真题“不等式”全集（含详细解析）一．选择题（共14小题）1．（2019•天津）设变量x ，y 满足约束条件20,20,1,1,x y x y x y +-⎧⎪-+⎪⎨-⎪⎪-⎩…………则目标函数4z x y =-+的最大值为( ) A ．2B ．3C ．5D ．62．（2019•浙江）若实数x ，y 满足约束条件340,340,0,x y x y x y -+⎧⎪--⎨⎪+⎩………则32z x y =+的最大值是( )A ．1-B ．1C ．10D ．123．（2019•北京）若x ，y 满足||1x y -…，且1y -…，则3x y +的最大值为( ) A ．7-B ．1C ．5D ．74．（2018•天津）设变量x ，y 满足约束条件52410x y x y x y y +⎧⎪-⎪⎨-+⎪⎪⎩…………，则目标函数35z x y =+的最大值为( ) A ．6B ．19C ．21D ．455．（2018•北京）设集合{(,)|1A x y x y =-…，4ax y +>，2}x ay -…，则( ) A ．对任意实数a ，(2,1)A ∈ B ．对任意实数a ，(2,1)A ∉ C ．当且仅当0a <时，(2,1)A ∉D ．当且仅当32a …时，(2,1)A ∉ 6．（2017•天津）设变量x ，y 满足约束条件2022003x y x y x y +⎧⎪+-⎪⎨⎪⎪⎩…………，则目标函数z x y =+的最大值为( ) A ．23B ．1C ．32D ．37．（2017•山东）已知x ，y 满足约束条件3035030x y x y x -+⎧⎪++⎨⎪+⎩………，则2z x y =+的最大值是( )A ．0B ．2C ．5D ．68．（2017•山东）若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是( ) A ．21log ())2a ba ab b +<<+ B ．21log ()2ab a b a b<+<+C ．21log ()2a b a a b b +<+< D ．21log ())2aba b a b +<+< 9．（2017•山东）已知x ，y 满足约束条件250302x y x y -+⎧⎪+⎨⎪⎩………则2z x y =+的最大值是( )A ．3-B ．1-C ．1D ．310．（2017•浙江）若x 、y 满足约束条件03020x x y x y ⎧⎪+-⎨⎪-⎩………，则2z x y =+的取值范围是( )A ．[0，6]B ．[0，4]C ．[6，)+∞D ．[4，)+∞11．（2017•北京）若x ，y 满足32x x y y x ⎧⎪+⎨⎪⎩………，则2x y +的最大值为( )A ．1B ．3C ．5D ．912．（2017•新课标Ⅱ）设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-⎧⎪-+⎨⎪+⎩………，则2z x y =+的最小值是() A ．15-B ．9-C ．1D ．913．（2017•新课标Ⅲ）设x ，y 满足约束条件326000x y x y +-⎧⎪⎨⎪⎩………则z x y =-的取值范围是( )A ．[3-，0]B ．[3-，2]C ．[0，2]D ．[0，3]14．（2017•新课标Ⅰ）设x ，y 满足约束条件3310x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩………，则z x y =+的最大值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3二．填空题（共23小题） 15．（2020•上海）不等式13x>的解集为 ． 16．（2019•全国）若12log (41)2x ->-，则x 的取值范围是 ．17．（2019•上海）已知x ，y 满足002x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩………，则23z x y =-的最小值为 ． 18．（2019•上海）若x ，y R +∈，且123y x +=，则yx的最大值为 ． 19．（2019•天津）设x R ∈，使不等式2320x x +-<成立的x 的取值范围为 ． 20．（2019•天津）设0x >，0y >，24x y +=，则(1)(21)x y xy++的最小值为 ．21．（2019•天津）设0x >，0y >，25x y +=的最小值为 ．22．（2019•新课标Ⅱ）若变量x ，y 满足约束条件2360,30,20,x y x y y +-⎧⎪+-⎨⎪-⎩………则3z x y =-的最大值是 ．23．（2019•北京）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当10x =时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付 元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为 ．24．（2019•北京）若x ，y 满足2,1,4310,x y x y ⎧⎪-⎨⎪-+⎩………则y x -的最小值为 ，最大值为 ．25．（2018•上海）已知实数1x 、2x 、1y 、2y 满足：22111x y +=，22221x y +=，121212x x y y +=，的最大值为 ． 26．（2018•浙江）若x ，y 满足约束条件0262x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪+⎩………，则3z x y =+的最小值是 ，最大值是 ．27．（2018•新课标Ⅲ）若变量x ，y 满足约束条件23024020x y x y x ++⎧⎪-+⎨⎪-⎩………，则13z x y =+的最大值是 ．28．（2018•北京）若x ，y 满足12x y x +剟，则2y x -的最小值是 ．29．（2018•新课标Ⅱ）若x ，y 满足约束条件25023050x y x y x +-⎧⎪-+⎨⎪-⎩………，则z x y =+的最大值为 ．30．（2018•新课标Ⅰ）若x ，y 满足约束条件220100x y x y y --⎧⎪-+⎨⎪⎩………，则32z x y =+的最大值为 ． 31．（2017•上海）不等式11x x->的解集为 ． 32．（2017•天津）若a ，b R ∈，0ab >，则4441a b ab++的最小值为 ．33．（2017•新课标Ⅰ）设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +⎧⎪+-⎨⎪-⎩………，则32z x y =-的最小值为 ．34．（2017•江苏）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是 ． 35．（2017•山东）若直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点(1,2)，则2a b +的最小值为 ． 36．（2017•北京）某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： ()i 男学生人数多于女学生人数； ()ii 女学生人数多于教师人数； ()iii 教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为 ． ②该小组人数的最小值为 ．37．（2017•新课标Ⅲ）若x ，y 满足约束条件0200x y x y y -⎧⎪+-⎨⎪⎩………，则34z x y =-的最小值为 ．三．解答题（共3小题）38．（2018•江苏）若x ，y ，z 为实数，且226x y z ++=，求222x y z ++的最小值． 39．（2017•天津）电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．()I 用x ，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； ()II 问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？40．（2017•江苏）已知a ，b ，c ，d 为实数，且224a b +=，2216c d +=，证明8ac bd +…．2017-2019年高考真题“不等式”全集（含详细解析）参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．（2019•天津）设变量x ，y 满足约束条件20,20,1,1,x y x y x y +-⎧⎪-+⎪⎨-⎪⎪-⎩…………则目标函数4z x y =-+的最大值为( ) A ．2B ．3C ．5D ．6【解答】解：由约束条件20,20,1,1,x y x y x y +-⎧⎪-+⎪⎨-⎪⎪-⎩…………作出可行域如图：联立120x x y =-⎧⎨-+=⎩，解得(1,1)A -，化目标函数4z x y =-+为4y x z =+，由图可知，当直线4y x z =+过A 时，z 有最大值为5． 故选：C ．2．（2019•浙江）若实数x ，y 满足约束条件340,340,0,x y x y x y -+⎧⎪--⎨⎪+⎩………则32z x y =+的最大值是( )A ．1-B ．1C ．10D ．12【解答】解：由实数x ，y 满足约束条件3403400x y x y x y -+⎧⎪--⎨⎪+⎩………作出可行域如图，联立340340x yx y-+=⎧⎨--=⎩，解得(2,2)A，化目标函数32z x y=+为3122y x z=-+，由图可知，当直线3122y x z=-+过(2,2)A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值：10．故选：C．3．（2019•北京）若x，y满足||1x y-…，且1y-…，则3x y+的最大值为() A．7-B．1C．5D．7【解答】解：由||11x yy-⎧⎨-⎩……作出可行域如图，联立110yx y=-⎧⎨+-=⎩，解得(2,1)A-，令3z x y=+，化为3y x z=-+，由图可知，当直线3y x z=-+过点A时，z有最大值为3215⨯-=．故选：C．4．（2018•天津）设变量x ，y 满足约束条件52410x y x y x y y +⎧⎪-⎪⎨-+⎪⎪⎩…………，则目标函数35z x y =+的最大值为( ) A ．6B ．19C ．21D ．45【解答】解：由变量x ，y 满足约束条件52410x y x y x y y +⎧⎪-⎪⎨-+⎪⎪⎩…………，得如图所示的可行域，由51x y x y +=⎧⎨-+=⎩解得(2,3)A ．当目标函数35z x y =+经过A 时，直线的截距最大， z 取得最大值．将其代入得z 的值为21， 故选：C ．5．（2018•北京）设集合{(,)|1A x y x y =-…，4ax y +>，2}x ay -…，则( ) A ．对任意实数a ，(2,1)A ∈ B ．对任意实数a ，(2,1)A ∉ C ．当且仅当0a <时，(2,1)A ∉D ．当且仅当32a …时，(2,1)A ∉ 【解答】解：当1a =-时，集合{(,)|1A x y x y =-…，4ax y +>，2}{(,)|1x ay x y x y -=-剠，4x y -+>，2}x y +…，显然(2,1)不满足，4x y -+>，2x y +…，所以A 不正确；当4a =，集合{(,)|1A x y x y =-…，4ax y +>，2}{(,)|1x ay x y x y -=-剠，44x y +>，42}x y -…，显然(2,1)在可行域内，满足不等式，所以B 不正确；当1a =，集合{(,)|1A x y x y =-…，4ax y +>，2}{(,)|1x ay x y x y -=-剠，4x y +>，2}x y -…，显然(2,1)A ∉，所以当且仅当0a <错误，所以C 不正确；故选：D ．6．（2017•天津）设变量x ，y 满足约束条件2022003x y x y x y +⎧⎪+-⎪⎨⎪⎪⎩…………，则目标函数z x y =+的最大值为( ) A ．23B ．1C ．32D ．3【解答】解：变量x ，y 满足约束条件2022003x y x y x y +⎧⎪+-⎪⎨⎪⎪⎩…………的可行域如图：目标函数z x y =+结果可行域的A 点时，目标函数取得最大值， 由30y x =⎧⎨=⎩可得(0,3)A ，目标函数z x y =+的最大值为：3．故选：D ．7．（2017•山东）已知x ，y 满足约束条件3035030x y x y x -+⎧⎪++⎨⎪+⎩………，则2z x y =+的最大值是( )A ．0B ．2C ．5D ．6【解答】解：画出约束条件3035030x y x y x -+⎧⎪++⎨⎪+⎩………表示的平面区域，如图所示；由30350x x y +=⎧⎨++=⎩解得(3,4)A -，此时直线1122y x z =-+在y 轴上的截距最大，所以目标函数2z x y =+的最大值为 3245max z =-+⨯=．故选：C ．8．（2017•山东）若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是( ) A ．21log ())2ab a a b b +<<+ B ．21log ()2a b a b a b<+<+C ．21log ()2a b a a b b +<+< D ．21log ())2aba b a b +<+< 【解答】解：0a b >>，且1ab =，∴可取2a =，12b =． 则14a b +=，2112228a b ==，22215log ()(2)(1,2)22a b log log +=+=∈，∴21log ()2a b a b a b<+<+． 故选：B ．9．（2017•山东）已知x，y满足约束条件250302x yxy-+⎧⎪+⎨⎪⎩………则2z x y=+的最大值是()A．3-B．1-C．1D．3【解答】解：x，y满足约束条件250302x yxy-+⎧⎪+⎨⎪⎩………的可行域如图：目标函数2z x y=+经过可行域的A时，目标函数取得最大值，由：2250yx y=⎧⎨-+=⎩解得(1,2)A-，目标函数的最大值为：1223-+⨯=．故选：D．10．（2017•浙江）若x、y满足约束条件3020xx yx y⎧⎪+-⎨⎪-⎩………，则2z x y=+的取值范围是()A．[0，6]B．[0，4]C．[6，)+∞D．[4，)+∞【解答】解：x、y满足约束条件3020xx yx y⎧⎪+-⎨⎪-⎩………，表示的可行域如图：目标函数2z x y=+经过C点时，函数取得最小值，由3020x yx y+-=⎧⎨-=⎩解得(2,1)C，目标函数的最小值为：4目标函数的范围是[4，)+∞．故选：D．11．（2017•北京）若x，y满足32xx yy x⎧⎪+⎨⎪⎩………，则2x y+的最大值为()A．1B．3C．5D．9【解答】解：x，y满足32xx yy x⎧⎪+⎨⎪⎩………的可行域如图：由可行域可知目标函数2z x y=+经过可行域的A时，取得最大值，由3xx y=⎧⎨=⎩，可得(3,3)A，目标函数的最大值为：3239+⨯=．故选：D．12．（2017•新课标Ⅱ）设x，y满足约束条件2330233030x yx yy+-⎧⎪-+⎨⎪+⎩………，则2z x y=+的最小值是()A ．15-B ．9-C ．1D ．9【解答】解：x 、y 满足约束条件2330233030x y x y y +-⎧⎪-+⎨⎪+⎩………的可行域如图：2z x y =+ 经过可行域的A 时，目标函数取得最小值， 由32330y x y =-⎧⎨-+=⎩解得(6,3)A --，则2z x y =+ 的最小值是：15-． 故选：A ．13．（2017•新课标Ⅲ）设x ，y 满足约束条件3260x y x y +-⎧⎪⎨⎪⎩………则z x y =-的取值范围是( )A ．[3-，0]B ．[3-，2]C ．[0，2]D ．[0，3]【解答】解：x ，y 满足约束条件32600x y x y +-⎧⎪⎨⎪⎩………的可行域如图： 目标函数z x y =-，经过可行域的A ，B 时，目标函数取得最值， 由03260x x y =⎧⎨+-=⎩解得(0,3)A ，由03260y x y =⎧⎨+-=⎩解得(2,0)B ，目标函数的最大值为：2，最小值为：3-， 目标函数的取值范围：[3-，2]． 故选：B ．14．（2017•新课标Ⅰ）设x，y满足约束条件331x yx yy+⎧⎪-⎨⎪⎩………，则z x y=+的最大值为()A．0B．1C．2D．3【解答】解：x，y满足约束条件331x yx yy+⎧⎪-⎨⎪⎩………的可行域如图：，则z x y=+经过可行域的A时，目标函数取得最大值，由33yx y=⎧⎨+=⎩解得(3,0)A，所以z x y=+的最大值为：3．故选：D．二．填空题（共23小题）15．（2020•上海）不等式13x>的解集为1(0,)3．【解答】解：由13x>得13xx->，则(13)0x x->，即(31)0x x-<，解得13x<<，所以不等式的解集是1(0,)3，故答案为：1(0,)3．16．（2019•全国）若12log (41)2x ->-，则x 的取值范围是 15(,)44 ．【解答】解：1122log (41)2log 4x ->-=，∴410414x x ->⎧⎨-<⎩，∴1544x <<，x ∴的取值范围为15(,)44．故答案为：15(,)44．17．（2019•上海）已知x ，y 满足002x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩………，则23z x y =-的最小值为 6- ． 【解答】解：作出不等式组002x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩………表示的平面区域， 由23z x y =-即23x zy -=，表示直线在y 轴上的截距的相反数的13倍，平移直线230x y -=，当经过点(0,2)时，23z x y =-取得最小值6-， 故答案为：6-．18．（2019•上海）若x ，y R +∈，且123y x +=，则yx的最大值为 98 ．【解答】解：132y x =+…∴298y x =…；故答案为：9819．（2019•天津）设x R ∈，使不等式2320x x +-<成立的x 的取值范围为 2(1,)3- ．【解答】解：2320x x +-<，将232x x +-分解因式即有： (1)(32)0x x +-<；2(1)()03x x +-<；由一元二次不等式的解法“小于取中间，大于取两边” 可得：213x -<<； 即：2{|1}3x x -<<；或2(1,)3-；故答案为：2(1,)3-；20．（2019•天津）设0x >，0y >，24x y +=，则(1)(21)x y xy ++的最小值为 92．【解答】解：0x >，0y >，24x y +=， 则(1)(21)2212552x y xy x y xy xy xy xy xy++++++===+； 0x >，0y >，24x y +=，由基本不等式有：42x y =+…， 02xy ∴<…， 552xy …， 故：5592222xy ++=…； （当且仅当22x y ==时，即：2x =，1y =时，等号成立）， 故(1)(21)x y xy ++的最小值为92；故答案为：92．21．（2019•天津）设0x >，0y >，25x y +=的最小值为【解答】解：0x >，0y >，25x y +=，===；由基本不等式有：64xyxy=当且仅当时，即：3xy=，25x y+=时，即：31xy=⎧⎨=⎩或232xy=⎧⎪⎨=⎪⎩时；等号成立，的最小值为故答案为：22．（2019•新课标Ⅱ）若变量x，y满足约束条件2360,30,20,x yx yy+-⎧⎪+-⎨⎪-⎩………则3z x y=-的最大值是9．【解答】解：由约束条件2360,30,20,x yx yy+-⎧⎪+-⎨⎪-⎩………作出可行域如图：化目标函数3z x y=-为3y x z=-，由图可知，当直线3y x z=-过(3,0)A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为9．故答案为：9．23．（2019•北京）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当10x =时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付 130 元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为 ．【解答】解：①当10x =时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，可得6080140+=（元)， 即有顾客需要支付14010130-=（元)； ②在促销活动中，设订单总金额为m 元， 可得()80%70%m x m -⨯⨯…， 即有8mx …恒成立， 由题意可得120m …， 可得120158x =…， 则x 的最大值为15元． 故答案为：130，1524．（2019•北京）若x ，y 满足2,1,4310,x y x y ⎧⎪-⎨⎪-+⎩………则y x -的最小值为 3- ，最大值为 ．【解答】解：由约束条件2,1,4310,x y x y ⎧⎪-⎨⎪-+⎩………作出可行域如图，(2,1)A -，(2,3)B ，令z y x =-，作出直线y x =，由图可知，平移直线y x =，当直线z y x =-过A 时，z 有最小值为3-，过B 时，z 有最大值1． 故答案为：3-，1．25．（2018•上海）已知实数1x 、2x 、1y 、2y 满足：22111x y +=，22221x y +=，121212x x y y +=，【解答】解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 1(OA x =，1)y ，2(OB x =，2)y ，由22111x y +=，22221x y +=，121212x x y y +=， 可得A ，B 两点在圆221x y +=上， 且111cos 2OA OB AOB =⨯⨯∠=， 即有60AOB ∠=︒，即三角形OAB 为等边三角形，1AB=，的几何意义为点A ，B 两点 到直线10x y +-=的距离1d 与2d 之和，显然A ，B 在第三象限，AB 所在直线与直线1x y +=平行， 可设:0AB x y t ++=，(0)t >， 由圆心O到直线AB 的距离d =，可得1，解得t1=，+26．（2018•浙江）若x ，y 满足约束条件0262x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪+⎩………，则3z x y =+的最小值是 2- ，最大值是 ．【解答】解：作出x ，y 满足约束条件0262x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪+⎩………表示的平面区域，如图：其中(4,2)B -，(2,2)A ． 设(,)3z F x y x y ==+，将直线:3l z x y =+进行平移，观察直线在y 轴上的截距变化， 可得当l 经过点B 时，目标函数z 达到最小值．()4,22z F ∴=-=-最小值．可得当l 经过点A 时，目标函数z 达到最最大值：()2,28z F ==最大值． 故答案为：2-；8．27．（2018•新课标Ⅲ）若变量x ，y 满足约束条件23024020x y x y x ++⎧⎪-+⎨⎪-⎩………，则13z x y =+的最大值是 3 ．【解答】解：画出变量x ，y 满足约束条件23024020x y x y x ++⎧⎪-+⎨⎪-⎩………表示的平面区域如图：由2240x x y =⎧⎨-+=⎩解得(2,3)A ．13z x y =+变形为33y x z =-+，作出目标函数对应的直线，当直线过(2,3)A 时，直线的纵截距最小，z 最大， 最大值为12333+⨯=，故答案为：3．28．（2018•北京）若x ，y 满足12x y x +剟，则2y x -的最小值是 3 ． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 设2z y x =-，则1122y x z =+， 平移1122y x z =+， 由图象知当直线1122y x z =+经过点A 时， 直线的截距最小，此时z 最小， 由12x y y x +=⎧⎨=⎩得12x y =⎧⎨=⎩，即(1,2)A ，此时2213z =⨯-=， 故答案为：329．（2018•新课标Ⅱ）若x，y满足约束条件25023050x yx yx+-⎧⎪-+⎨⎪-⎩………，则z x y=+的最大值为9．【解答】解：由x，y满足约束条件25023050x yx yx+-⎧⎪-+⎨⎪-⎩………作出可行域如图，化目标函数z x y=+为y x z=-+，由图可知，当直线y x z=-+过A时，z取得最大值，由5230xx y=⎧⎨-+=⎩，解得(5,4)A，目标函数有最大值，为9z=．故答案为：9．30．（2018•新课标Ⅰ）若x ，y 满足约束条件220100x y x y y --⎧⎪-+⎨⎪⎩………，则32z x y =+的最大值为 6 ． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由32z x y =+得3122y x z =-+，平移直线3122y x z =-+，由图象知当直线3122y x z =-+经过点(2,0)A 时，直线的截距最大，此时z 最大，最大值为326z =⨯=， 故答案为：631．（2017•上海）不等式11x x->的解集为 (,0)-∞ ． 【解答】解：由11x x->得： 111100x x x->⇒<⇒<， 故不等式的解集为：(,0)-∞， 故答案为：(,0)-∞．32．（2017•天津）若a ，b R ∈，0ab >，则4441a b ab++的最小值为 4 ．【解答】解：【解法一】a ，b R ∈，0ab >，∴4441a b ab ++2241a b ab +=144ab ab ab ab=+=…，当且仅当44414a b ab ab ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即2222214a b a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即a =，b 或a =，b =时取“=”； ∴上式的最小值为4．【解法二】a ，b R ∈，0ab >，∴44334141142222a b a b ab b a ab ab a ab ab++=+++=…， 当且仅当44414ab ab ab ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即2222214a b ab ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即a =，b 或a =，b =时取“=”； ∴上式的最小值为4．故答案为：4．33．（2017•新课标Ⅰ）设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +⎧⎪+-⎨⎪-⎩………，则32z x y =-的最小值为 5- ． 【解答】解：由x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +⎧⎪+-⎨⎪-⎩………作出可行域如图，由图可知，目标函数的最优解为A ， 联立2121x y x y +=⎧⎨+=-⎩，解得(1,1)A -．32z x y ∴=-的最小值为31215-⨯-⨯=-．故答案为：5-．34．（2017•江苏）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是 30 ．【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和6000644240x x =⨯+⨯=…（万元）．当且仅当30x =时取等号． 故答案为：30． 35．（2017•山东）若直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点(1,2)，则2a b +的最小值为 8 ． 【解答】解：直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点(1,2)，则121a b +=，由12442(2)()2244448a b a b a b a b a b b a b a +=+⨯+=+++=++++=…，当且仅当4a bb a=，即12a =，1b =时，取等号，2a b ∴+的最小值为8，故答案为：8．36．（2017•北京）某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： ()i 男学生人数多于女学生人数；()ii 女学生人数多于教师人数； ()iii 教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为 6 ． ②该小组人数的最小值为 ．【解答】解：①设男学生女学生分别为x ，y 人， 若教师人数为4，则424x y y x >⎧⎪>⎨⎪⨯>⎩，即48y x <<<， 即x 的最大值为7，y 的最大值为6， 即女学生人数的最大值为6．②设男学生女学生分别为x ，y 人，教师人数为z ， 则2x y y z z x >⎧⎪>⎨⎪>⎩，即2z y x z <<< 即z 最小为3才能满足条件， 此时x 最小为5，y 最小为4， 即该小组人数的最小值为12， 故答案为：6，1237．（2017•新课标Ⅲ）若x ，y 满足约束条件0200x y x y y -⎧⎪+-⎨⎪⎩………，则34z x y =-的最小值为 1- ． 【解答】解：由34z x y =-，得344zy x =-，作出不等式对应的可行域（阴影部分）， 平移直线344z y x =-，由平移可知当直线344zy x =-， 经过点(1,1)B 时，直线344zy x =-的截距最大，此时z 取得最小值， 将B 的坐标代入34341z x y =-=-=-， 即目标函数34z x y =-的最小值为1-． 故答案为：1-．三．解答题（共3小题）38．（2018•江苏）若x ，y ，z 为实数，且226x y z ++=，求222x y z ++的最小值．【解答】解：由柯西不等式得2222222()(122)(22)x y z x y z ++++++…， 226x y z ++=，2224x y z ∴++… 是当且仅当122x y z ==时，不等式取等号，此时23x =，43y =，43z =，222x y z ∴++的最小值为439．（2017•天津）电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．()I 用x ，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； ()II 问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？【解答】（Ⅰ）解：由已知，x ，y 满足的数学关系式为70606005530200x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩……………，即766062000x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪-⎨⎪⎪⎪⎩……………．该二元一次不等式组所表示的平面区域如图：（Ⅱ）解：设总收视人次为z 万，则目标函数为6025z x y =+． 考虑6025z x y =+，将它变形为12525z y x =-+，这是斜率为125-，随z 变化的一族平行直线．25z 为直线在y 轴上的截距，当25z取得最大值时，z 的值最大． 又x ，y 满足约束条件，∴由图可知，当直线6025z x y =+经过可行域上的点M 时，截距25z最大，即z 最大． 解方程组766020x y x y +=⎧⎨-=⎩，得点M 的坐标为(6,3)．∴电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．40．（2017•江苏）已知a ，b ，c ，d 为实数，且224a b +=，2216c d +=，证明8ac bd +…． 【解答】证明：224a b +=，2216c d +=， 令2cos a α=，2sin b α=，4cos c β=，4sin d β=．8(cos cos sin sin )8cos()8ac bd αβαβαβ∴+=+=-…．当且仅当cos()1αβ-=时取等号．因此8ac bd +…．另解：由柯西不等式可得：22222()()()41664ac bd a b c d +++=⨯=…，当且仅当a bc d=时取等号．88ac bd ∴-+剟．。
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(2019•上海7)若x ，y R +∈，且
123y x +=，则y x 的最大值为 ． 【解答】
解：132y x =
+…
∴298
y x =„； 故答案为：98 (2019•上海5)已知x ，y 满足002x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩
……„，则23z x y =-的最小值为 ．
【解答】解：作出不等式组002x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩
……„表示的平面区域，由23z x y =-即23x z y -=，表示直线在y 轴上的截距的相反数的13
倍，平移直线230x y -=，当经过点(0,2)时，23z x y =-取得最小值6-，故答案为：6-．
(2019•浙江3)若实数x ，y 满足约束条件340,340,0,x y x y x y -+⎧⎪--⎨⎪+⎩
…„…则32z x y =+的最大值是( )
A ．1-
B ．1
C ．10
D ．12
【解答】解：由实数x ，y 满足约束条件3403400x y x y x y -+⎧⎪--⎨⎪+⎩
…„…作出可行域如图，联立340340x y x y -+=⎧⎨--=⎩，解得(2,2)A ，化目标函数32z x y =+为3122y x z =-+，由图可知，当直线3122
y x z =-+过(2,2)A 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值：10．
故选：C ．
(2019•天津文10)设x R ∈，使不等式2320x x +-<成立的x 的取值范围为 ．
【解答】解：2320x x +-<，将232x x +-分解因式即有：
(1)(32)0x x +-<；2(1)()03
x x +-<； 由一元二次不等式的解法“小于取中间，大于取两边” 可得：213
x -<<； 即：2{|1}3x x -<<；或2(1,)3
-； 故答案为：2(1,)3
-； (2019•天津文理13)设0x >，0y >，25x y +=
的最小值为 ． 【解答】解：0x >，0
y >，25x y +=，
则===； 由基本不等式有：
=
当且仅当=时，即：3xy =，25x y +=时，即：31x y =⎧⎨=⎩或232
x y =⎧⎪⎨=⎪⎩时；等号成立，
故答案为：
(2019•天津文理2)设变量x，y满足约束条件
20,
20,
1,
1,
x y
x y
x
y
+-
⎧
⎪-+
⎪
⎨
-
⎪
⎪-
⎩
„
…
…
…
则目标函数4
z x y
=-+的最大值
为()
A．2B．3C．5D．6
【解答】解：由约束条件
20,
20,
1,
1,
x y
x y
x
y
+-
⎧
⎪-+
⎪
⎨
-
⎪
⎪-
⎩
„
…
…
…
作出可行域如图：
联立
1
20
x
x y
=-
⎧
⎨
-+=
⎩
，解得(1,1)
A-，化目标函数4
z x y
=-+为4
y x z
=+，由图可知，当直线
4
y x z
=+过A时，z有最大值为5．故选：C．
(2019•北京文10)若x，y满足
2,
1,
4310,
x
y
x y
⎧
⎪
-
⎨
⎪-+
⎩
„
…
…
则y x
-的最小值为，最大值为．
【解答】解：由约束条件
2,
1,
4310,
x
y
x y
⎧
⎪
-
⎨
⎪-+
⎩
„
…
…
作出可行域如图，
(2,1)A -，(2,3)B ，
令z y x =-，作出直线y x =，由图可知，平移直线y x =，当直线z y x =-过A 时，z 有最小值为3-，过B 时，z 有最大值1．
故答案为：3-，1．
(2019•新课标Ⅱ文)若变量x ，y 满足约束条件2360,30,20,x y x y y +-⎧⎪+-⎨⎪-⎩
…„„则3z x y =-的最大值是 ．
【解答】解：由约束条件2360,30,20,x y x y y +-⎧⎪+-⎨⎪-⎩
…„„作出可行域如图：
化目标函数3z x y =-为3y x z =-，由图可知，当直线3y x z =-过(3,0)A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最大值为9．
故答案为：9．
(2019•北京理5)若x ，y 满足||1x y -„，且1y -…，则3x y +的最大值为( )
A ．7-
B ．1
C ．5
D ．7
【解答】解：由||11x y y -⎧⎨-⎩„…作出可行域如图，
联立110y x y =-⎧⎨+-=⎩
，解得(2,1)A -，令3z x y =+，化为3y x z =-+，由图可知，当直线3y x z =-+过点A 时，z 有最大值为3215⨯-=．
故选：C．。