2019-2020高考数学第一次模拟试卷含答案
2019-2020高考数学一模试卷(附答案)
【解析】
【分析】
由条件根据函数 的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性可得 ， ，由此根据 求得 的值，得到函数解析式即可求最值．
【详解】
函数 的图象向右平移 个单位后，
得到函数 的图象，
再根据所得图象关于原点对称，可得 ， ，
∵ ，∴ ， ，
由题意 ，得 ，
∴ ，
∴函数 在区间 的最大值为 ，
故选B．
【点睛】
本题主要考查函数 的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，考查了正弦函数最值的求法，解题的关键是熟练掌握正弦函数的性质，能根据正弦函数的性质求最值，属于基础题．
二、填空题
13．【解析】【分析】【详解】由得由整数有且仅有123知解得
解析：
【解析】
【分析】
【详解】
由 得
由整数有且仅有1，2，3知 ，解得
7．C
解析：C
【解析】
【分析】
先求出展开式的通项，然后求出常数项的值
【详解】
展开式的通项公式为: ，化简得 ，令 ，即 ，故展开式中的常数项为 .
故选：C.
【点睛】
本题主要考查二项式定理、二项展开式的应用，熟练运用公式来解题是关键.
8．B
解析：B
【解析】
【分析】
本道题设 ,利用双曲线性质,计算x，结合余弦定理，计算离心率，即可．
4个月
总计
A
20
35
35
10
100
B
10
30
40
20
100
如果你是甲公司的负责人，你会选择采购哪款新型材料？
参考数据：
参考公式：回归直线方程 ，其中
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
2019-2020高考数学一模试题带答案
试题分析：由题意，这是几何概型问题，班车每 30 分钟发出一辆，到达发车站的时间总长
度为 40，等车不超过 10 分钟的时间长度为 20，故所求概率为 20 1 ，选 B. 40 2
【考点】几何概型
【名师点睛】这是全国卷首次考查几何概型,求解几何概型问题的关键是确定“测度”,常见的 测度有长度、面积、体积等.
5．C
解析：C 【解析】 【分析】 在三角形中，利用正弦定理可得结果. 【详解】
解：在 ABC 中， 可得 BC AC ,
sin A sin B
即32 sin 60
32
AC ，即 sin 45
3
2
AC 2，
2
解得 AC 2 3 ，
故选 C.
【点睛】
本题考查了利用正弦定理解三角形的问题，解题的关键是熟练运用正弦定理公式.
的运算，即可求解． 【详解】
∵向量 a ， b 满足 a 2 ， b a b 3，∴ 22 32 2a b 3 ，解得 a b 2 ．
则 a 2b
2
2
a 4b 4a b
22 432 42 4 2 ．故选 D．
【点睛】 本题主要考查了向量的数量积的运算，及向量的模的运算问题，其中解答中熟记向量的数 量积的运算和向量的模的运算公式，合理、准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运 算能力，属于基础题．
8．圆 C1：x2+y2＝4 与圆 C2：x2+y2﹣4x+4y﹣12＝0 的公共弦的长为（ ）
A． 2
B． 3
C． 2 2
D． 3 2
9．已知 m, n 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，给出下列命题：
①若 m ， m n ，则 n ；
2019-2020数学高考一模试题及答案
2019-2020数学高考一模试题及答案一、选择题1．设集合M={1，2，4，6，8},N={1，2，3，5，6，7},则M ⋂N 中元素的个数为( ) A ．2B ．3C ．5D ．72．已知sin cos 0θθ<，且cos cos θθ=，则角θ是（ ） A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角3．如图所示，程序据图（算法流程图）的输出结果为（ ）A ．34B ．16C ．1112D ．25244．已知平面向量a ,b 是非零向量,|a |=2,a ⊥(a +2b ),则向量b 在向量a 方向上的投影为( ) A ．1 B ．-1C ．2D ．-25．下列各组函数是同一函数的是（ ）①()32f x x =-与()2f x x x =-()3f x 2x y x 2x 与=-=-()f x x =与()2g x x =③()0f x x =与()01g x x=；④()221f x x x =--与()221g t t t =--． A ．① ② B ．① ③C ．③ ④D ．① ④6．两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为A ．12B ．512C ．14D ．167．如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中直线AB 与CD 的位置关系为( )A ．相交B ．平行C ．异面而且垂直D ．异面但不垂直8．由a 2，2﹣a ，4组成一个集合A ，A 中含有3个元素，则实数a 的取值可以是（ ） A ．1B ．﹣2C ．6D ．29．下列说法正确的是( ) A ．22a b ac bc >⇒> B ．22a b a b >⇒> C ．33a b a b >⇒>D ．22a b a b >⇒>10．已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩，若函数()y f x ax b =--恰有三个零点，则（ ）A ．1,0a b <-<B ．1,0a b <->C ．1,0a b >-<D ．1,0a b >->11．若0,0ab >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件12．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[)[)[)20,40,40,60,60,80,[80,100].若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是( )A ．45B ．50C ．55D ．二、填空题13．若双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>两个顶点三等分焦距，则该双曲线的渐近线方程是___________.14．设25a b m ==,且112a b+=,则m =______. 15．已知实数x ，y 满足24240x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，则32z x y =-的最小值是__________．16．设正数,a b 满足21a b +=，则11a b+的最小值为__________． 17．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=，则cos()αβ-=___________. 18．从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人，组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有__________种不同的选法．（用数字作答） 19．等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C AB D --的余弦值为33，M N ，分别是AC BC ，的中点，则EM AN ，所成角的余弦值等于 ． 20．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 ▲三、解答题21．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PC ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，//AB CD ，2AB =，1AD CD ==，E 是PB 上一点.（1）求证:平面EAC ⊥平面PBC ；（2）若E 是PB 的中点，且二面角P AC E --6，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值.22．已知()f x 是二次函数，不等式()0f x <的解集是0,5，且()f x 在区间[]1,4-上的最大值是12.（1）求()f x 的解析式；（2）设函数()f x 在[],1x t t ∈+上的最小值为g t ，求g t 的表达式. 23．四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，3BAD π∠=，PAD ∆是等边三角形，F 为AD 的中点，PD BF ⊥.（1）求证：AD PB⊥；（2）若E在线段BC上，且14EC BC=，能否在棱PC上找到一点G，使平面DEG⊥平面ABCD？若存在，求四面体D CEG-的体积.24．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E,F分别是AB,BC的中点，点M在AD上，且14AM AD=，将AED,DCF分别沿DE,DF折叠，使A,C点重合于点P，如图所示2.()1试判断PB与平面MEF的位置关系，并给出证明；()2求二面角M EF D--的余弦值.25．2016年某市政府出台了“2020年创建全国文明城市简称创文”的具体规划，今日，作为“创文”项目之一的“市区公交站点的重新布局及建设”基本完成，市有关部门准备对项目进行调查，并根据调查结果决定是否验收，调查人员分别在市区的各公交站点随机抽取若干市民对该项目进行评分，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图，相关规则为：调查对象为本市市民，被调查者各自独立评分；采用百分制评分，内认定为满意，80分及以上认定为非常满意；市民对公交站点布局的满意率不低于即可进行验收；用样本的频率代替概率．求被调查者满意或非常满意该项目的频率；若从该市的全体市民中随机抽取3人，试估计恰有2人非常满意该项目的概率； 已知在评分低于60分的被调查者中，老年人占，现从评分低于60分的被调查者中按年龄分层抽取9人以便了解不满意的原因，并从中选取2人担任群众督察员，记为群众督查员中老年人的人数，求随机变量的分布列及其数学期望．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】试题分析：{1,2,6)M N ⋂=.故选B. 考点：集合的运算.2．D解析：D 【解析】 【分析】由cos cos θθ=以及绝对值的定义可得cos 0θ≥,再结合已知得sin 0,cos 0θθ<>,根据三角函数的符号法则可得. 【详解】由cos cos θθ=，可知cos 0θ≥，结合sin cos 0θθ<，得sin 0,cos 0θθ<>， 所以角θ是第四象限角， 故选:D 【点睛】本题考查了三角函数的符号法则,属于基础题.3．C解析：C 【解析】由算法流程图知s ＝0＋12＋14＋16＝1112.选C. 4．B解析：B 【解析】 【分析】先根据向量垂直得到a (a +2b ),=0，化简得到a b =﹣2，再根据投影的定义即可求出．∵平面向量a ,b 是非零向量,|a |=2,a ⊥(a +2b ), ∴a (a +2b ),=0， 即()2·20a a b += 即a b =﹣2∴向量b 在向量a 方向上的投影为·22a b a -==﹣1， 故选B ． 【点睛】本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．解答关键在于要求熟练应用公式．5．C解析：C 【解析】 【分析】定义域相同，对应关系一致的函数是同一函数，由此逐项判断即可. 【详解】①中()f x =的定义域为(),0∞-，()f x =(),0∞-，但()f x ==-与()f x =②中()f x x =与()g x =R ，但()g x x ==与()f x x =对应关系不一致，所以②不是同一函数； ③中()0f x x =与()01g x x =定义域都是{}|0x x ≠，且()01f x x ==，()011g x x==对应关系一致，所以③是同一函数；④中()221f x x x =--与()221g t t t =--定义域和对应关系都一致，所以④是同一函数.故选C 【点睛】本题主要考查同一函数的概念，只需定义域和对应关系都一致即可，属于基础题型.6．B解析：B 【解析】记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A ，即仅第一个实习生加工一等品(A 1)与仅第二个实习生加工一等品(A 2)两种情况， 则P (A )=P (A 1)+P (A 2)=2 3×14+13×34=512故选B.解析：D 【解析】解：利用展开图可知，线段AB 与CD 是正方体中的相邻两个面的面对角线，仅仅异面，所成的角为600，因此选D8．C解析：C 【解析】试题分析：通过选项a 的值回代验证，判断集合中有3个元素即可． 解：当a=1时，由a 2=1，2﹣a=1，4组成一个集合A ，A 中含有2个元素， 当a=﹣2时，由a 2=4，2﹣a=4，4组成一个集合A ，A 中含有1个元素， 当a=6时，由a 2=36，2﹣a=﹣4，4组成一个集合A ，A 中含有3个元素， 当a=2时，由a 2=4，2﹣a=0，4组成一个集合A ，A 中含有2个元素， 故选C ．点评：本题考查元素与集合的关系，基本知识的考查．9．C解析：C 【解析】 【分析】由不等式的性质，对各个选项逐一验证即可得，其中错误的可举反例． 【详解】选项A ，当c ＝0时，由a ＞b ，不能推出ac 2＞bc 2，故错误； 选项B ，当a ＝﹣1，b ＝﹣2时，显然有a ＞b ，但a 2＜b 2，故错误； 选项C ，当a ＞b 时，必有a 3＞b 3，故正确；选项D ，当a ＝﹣2，b ＝﹣1时，显然有a 2＞b 2，但却有a ＜b ，故错误． 故选：C ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及不等式的性质，属基础题．10．C解析：C 【解析】 【分析】当0x <时，()(1)y f x ax b x ax b a x b =--=--=--最多一个零点；当0x 时，32321111()(1)(1)3232y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=-++--=-+-，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画函数草图，根据草图可得． 【详解】当0x <时，()(1)0y f x ax b x ax b a x b =--=--=--=，得1bx a=-；()y f x ax b =--最多一个零点；当0x 时，32321111()(1)(1)3232y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=-++--=-+-， 2(1)y x a x =+-'，当10a +，即1a -时，0y '，()y f x ax b =--在[0，)+∞上递增，()y f x ax b =--最多一个零点．不合题意；当10a +>，即1a >-时，令0y '>得[1x a ∈+，)+∞，函数递增，令0y '<得[0x ∈，1)a +，函数递减；函数最多有2个零点；根据题意函数()y f x ax b =--恰有3个零点⇔函数()y f x ax b =--在(,0)-∞上有一个零点，在[0，)+∞上有2个零点， 如图：∴01b a <-且3211(1)(1)(1)032b a a a b ->⎧⎪⎨+-++-<⎪⎩， 解得0b <，10a ->，310(116,)b a a >>-+∴>-． 故选C ．【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及,a b 两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底.11．A解析：A 【解析】 【分析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取,a b 的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 【详解】当0, 0a >b >时，a b +≥，则当4a b +≤时，有4a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件. 【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取,a b 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.12．B解析：B 【解析】根据频率分布直方可知成绩低于60分的有第一、二组数据，在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005，0.01，每组数据的组距为20， 则成绩低于60分的频率P=(0.005+0.010)×20=0.3. 又因为低于60分的人数是15人， 所以该班的学生人数是15÷0.3=50. 本题选择B 选项.二、填空题13．【解析】【分析】由题意知渐近线方程是再据得出与的关系代入渐近线方程即可【详解】∵双曲线的两个顶点三等分焦距∴又∴∴渐近线方程是故答案为【点睛】本题考查双曲线的几何性质即双曲线的渐近线方程为属于基础题解析：y =±【解析】 【分析】由题意知，渐近线方程是b y x a =±，1223a c =⨯，再据222c ab =+，得出 b 与a 的关系，代入渐近线方程即可． 【详解】∵双曲线22221x y a b-= (0,0)a b >>的两个顶点三等分焦距，∴1223a c =⨯，3c a =，又222c a b =+，∴b =∴渐近线方程是by x a=±=±，故答案为y =±． 【点睛】本题考查双曲线的几何性质即双曲线22221x y a b-= (0,0)a b >>的渐近线方程为b y xa =±属于基础题．14．【解析】【分析】变换得到代入化简得到得到答案【详解】则故故答案为：【点睛】本题考查了指数对数变换换底公式意在考查学生的计算能力 解析：10【解析】 【分析】变换得到2log a m =，5log b m =，代入化简得到11log 102m a b+==，得到答案. 【详解】25a b m ==，则2log a m =，5log b m =，故11log 2log 5log 102,10m m m m a b+=+==∴=. 故答案为：10. 【点睛】本题考查了指数对数变换，换底公式，意在考查学生的计算能力.15．6【解析】【分析】画出不等式组表示的可行域由可得平移直线结合图形可得最优解于是可得所求最小值【详解】画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示由可得平移直线结合图形可得当直线经过可行域内的点A 时直线解析：6 【解析】 【分析】画出不等式组表示的可行域，由32z x y =-可得322z y x =-，平移直线322zy x =-，结合图形可得最优解，于是可得所求最小值． 【详解】画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示．由32z x y =-可得322zy x =-． 平移直线322z y x =-，结合图形可得，当直线322zy x =-经过可行域内的点A 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 取得最小值．由题意得A 点坐标为(2,0)，∴min 326z =⨯=，即32z x y =-的最小值是6．故答案为6．【点睛】求目标函数(0)z ax by ab =+≠的最值时，可将函数z ax by =+转化为直线的斜截式：a z y xb b =-+，通过求直线的纵截距z b的最值间接求出z 的最值．解题时要注意：①当0b >时，截距z b 取最大值时，z 也取最大值；截距z b取最小值时，z 也取最小值；②当0b <时，截距z b 取最大值时，z 取最小值；截距z b取最小值时，z 取最大值． 16．【解析】则则的最小值为点睛:本题主要考查基本不等式解决本题的关键是由有在用基本不等式求最值时应具备三个条件：一正二定三相等①一正：关系式中各项均为正数；②二定：关系式中含变量的各项的和或积必须有一个解析：3+【解析】21a b +=，则1111223+3b a a b a b a b a b +=++=+≥+（）（）11a b+的最小值为3+点睛:本题主要考查基本不等式，解决本题的关键是由21a b +=，有11112a b a b a b+=++（）（），在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.17．【解析】试题分析：因为和关于轴对称所以那么（或）所以【考点】同角三角函数诱导公式两角差的余弦公式【名师点睛】本题考查了角的对称关系以及诱导公式常用的一些对称关系包含：若与的终边关于轴对称则若与的终边 解析：79- 【解析】试题分析：因为α和β关于y 轴对称，所以2,k k Z αβππ+=+∈，那么1sin sin 3βα==，cos cos 3αβ=-=（或cos cos 3βα=-=）， 所以()2227cos cos cos sin sin cos sin 2sin 19αβαβαβααα-=+=-+=-=-. 【考点】同角三角函数，诱导公式，两角差的余弦公式【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若α与β的终边关于y 轴对称，则2,k k Z αβππ+=+∈ ，若α与β的终边关于x 轴对称，则2,k k Z αβπ+=∈，若α与β的终边关于原点对称，则2,k k Z αβππ-=+∈. 18．660【解析】【分析】【详解】第一类先选女男有种这人选人作为队长和副队有种故有种；第二类先选女男有种这人选人作为队长和副队有种故有种根据分类计数原理共有种故答案为解析：660【解析】【分析】【详解】第一类，先选1女3男，有316240C C =种，这4人选2人作为队长和副队有2412A =种，故有4012480⨯= 种；第二类，先选2女2男，有226215C C =种，这4人选2人作为队长和副队有2412A =种，故有1512180⨯=种，根据分类计数原理共有480180660+=种，故答案为660.19．【解析】【分析】【详解】设AB=2作CO ⊥面ABDEOH ⊥AB 则CH ⊥AB ∠CHO 为二面角C−AB−D 的平面角CH=3√OH=CHcos ∠CHO=1结合等边三角形ABC 与正方形ABDE 可知此四棱锥为 解析：16【解析】【分析】【详解】设AB =2,作CO ⊥面ABDEOH ⊥AB ，则CH ⊥AB ，∠CHO 为二面角C −AB −D 的平面角，CH =3√，OH =CH cos ∠CHO =1，结合等边三角形ABC 与正方形ABDE 可知此四棱锥为正四棱锥，3,11(),2212AN EM CH ANAC AB EM AC AE AN EM====+=-∴⋅= 故EM ,AN 116=，20．1：8【解析】考查类比的方法所以体积比为1∶8解析：1：8【解析】考查类比的方法，11111222221111314283S h V Sh V S h S h ⋅⨯＝＝＝＝，所以体积比为1∶8. 三、解答题21．（1）证明见解析（2）3 【解析】【分析】（1）先证明AC ⊥平面PBC ，然后可得平面EAC ⊥平面PBC ；（2）建立坐标系，根据二面角P AC E --可得PC 的长度，然后可求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值.【详解】（1）PC ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，得AC PC ⊥.又1AD CD ==，在Rt ADC∆中，得AC =，设AB 中点为G ，连接CG ，则四边形ADCG 为边长为1的正方形，所以CG AB ⊥，且BC =因为222AC BC AB +=，所以AC BC ⊥，又因为BC PC C ⋂=，所以AC ⊥平面PBC ，又AC ⊂平面EAC ，所以平面EAC ⊥平面PBC .（2）以C 为坐标原点，分别以射线CD ､射线CP 为y 轴和z 轴的正方向，建立如图空间直角坐标系， 则()0,0,0C ，()1,1,0A ，()1,1,0B -.又设()()0,0,0P a a >，则11,,222a E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()1,1,0CA =，()0,0,CP a =，11,,222a CE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()1,1,PA a =-. 由BC AC ⊥且BC PC ⊥知，()1,1,0m CB ==-为平面PAC 的一个法向量. 设(),,n x y z =为平面EAC 的一个法向量，则0n CA n CE ⋅=⋅=，即00x y x y az +=⎧⎨-+=⎩，取x a =，y a =-，则(),,2n a a =--，有26cos ,2m nm n m n a ⋅===⋅+，得2a =，从而()2,2,2n =--，()1,1,2PA =-. 设直线PA 与平面EAC 所成的角为θ，则sin cos ,n PAn PA n PA θ⋅==⋅22423612-+==⨯. 即直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为23.【点睛】本题主要考查空间平面与平面垂直及线面角的求解，平面与平面垂直一般转化为线面垂直来处理，空间中的角的问题一般是利用空间向量来求解.22．（1）2()210f x x x =-（2）223268,,22535(),,2225210,,2t t t g t t t t t ⎧--≤⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩【解析】(1)因为()f x 是二次函数，不等式()0f x <的解集是0,5，所以可设()(5)(0).f x ax x a =->,然后因为-1比5离对称轴的距离远，所以最大值为(-1)=6a,求出a 值，从而求出f(x)的解析式.（II ）本小题属于二次函数轴定区间动的问题，分三种情况讨论分别求其最小值即可. 解：（1）()f x 是二次函数，且()0f x <的解集是(0,5),∴可设()(5)(0).f x ax x a =->()f x ∴在区间[]1,4-上的最大值是(1)6.f a -=由已知，得612,a =2,a ∴=2()2(5)210().f x x x x x x R ∴=-=-∈（2）由（1）知22525()2102.22f x x x x ⎛⎫∴=-=-- ⎪⎝⎭，开口向上，对称轴为52x = ①当512t +≤，即32t ≤时，()f x 在[],1t t +上是单调递减， ()()()2221101268g t t t t t ∴=+-+=--②当52t ≥时，()f x 在[],1t t +上是单调递减 ()22210210g t t t t t ∴=-=-③当512t t ≤≤+，即3522t ≤≤时，()f x 在对称轴处取得最小值 ()52522g t f ⎛⎫∴==- ⎪⎝⎭23．（1）证明见解析；（2）112. 【解析】【分析】（1）连接PF ，BD 由三线合一可得AD ⊥BF ，AD ⊥PF ，故而AD ⊥平面PBF ，于是AD ⊥PB ；（2）先证明PF ⊥平面ABCD ，再作PF 的平行线，根据相似找到G ，再利用等积转化求体积．【详解】连接PF ，BD,∵PAD ∆是等边三角形，F 为AD 的中点，∴PF ⊥AD ，∵底面ABCD 是菱形，3BAD π∠=，∴△ABD 是等边三角形，∵F 为AD 的中点，∴BF ⊥AD ，又PF ，BF ⊂平面PBF ，PF ∩BF ＝F ，∴AD ⊥平面PBF ，∵PB ⊂平面PBF ，∴AD ⊥PB ．（2）由（1）得BF ⊥AD ，又∵PD ⊥BF ，AD ，PD ⊂平面PAD ，∴BF ⊥平面PAD ，又BF ⊂平面ABCD ，∴平面PAD ⊥平面ABCD ，由（1）得PF ⊥AD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，∴PF ⊥平面ABCD ，连接FC 交DE 于H,则△HEC 与△HDF 相似，又1142EC BC FD ==，∴CH=13CF ， ∴在△PFC 中,过H 作GH //PF 交PC 于G ，则GH⊥平面ABCD ，又GH ⊂面GED ，则面GED⊥平面ABCD ，此时CG=13CP, ∴四面体D CEG -的体积111311223382312D CEG G CED CED V V S GH PF --==⋅=⨯⨯⨯⨯⨯=． 所以存在G 满足CG=13CP, 使平面DEG ⊥平面ABCD ，且112D CEG V -=. 【点睛】 本题考查了线面垂直的判定与性质定理，面面垂直的判定及性质的应用，考查了棱锥的体积计算，属于中档题．24．（1）见解析；（26 【解析】【分析】(1)根据线面平行的判定定理直接证明即可；（2）连接BD 交EF 与点N ，先由题中条件得到MND ∠为二面角M EF D ﹣﹣的平面角，再解三角形即可得出结果.【详解】（1）PB 平面MEF ．证明如下：在图1中，连接BD ，交EF 于N ，交AC 于O ， 则1124BN BO BD ==，在图2中，连接BD 交EF 于N ，连接MN ，在DPB 中，有14BN BD =，14PM PD =， MN PB ∴． PB ⊄平面MEF ，MN ⊂平面MEF ，故PB 平面MEF ；（2）连接BD 交EF 与点N ，图2中的三角形PDE 与三角形PDF 分别是图1中的Rt ADE 与Rt CDF ，PD PE PD PF ∴⊥⊥，，又PE PE P ⋂＝，PD ∴⊥平面PEF ，则PD EF ⊥，又EF BD ⊥，EF ∴⊥平面PBD ，则MND ∠为二面角M EF D ﹣﹣的平面角．可知PM PN ⊥，则在Rt MND 中，12PM PN ＝，=，则22PM PN 3MN =+=．在MND 中，332MD DN =＝，，由余弦定理，得22262MN DN MD cos MND MN DN +-∠==⋅． ∴二面角M EF D ﹣﹣的余弦值为6．【点睛】本题主要考查线面平行的判定，以及二面角的求法，熟记线面平行的判定定理以及二面角的概念即可，属于常考题型.25．（1）；（2）；（3）.【解析】试题分析：（1）根据直方图的意义，求出后四个小矩形的面积和即可求得被调查者满意或非常满意该项目的频率；（2）根据频率分布直方图，被调查者非常满意的频率是，根据独立重复试验次发生次的概率公式可得结果；（3）随机变量的所有可能取值为0，1，2，利用组合知识根据古典概型概率公式分别求出各随机变量的概率，即可得分布列，根据期望公式可得结果.试题解析：（1）根据题意：60分或以上被认定为满意或非常满意，在频率分布直方图中，评分在的频率为：；（2）根据频率分布直方图，被调查者非常满意的频率是，用样本的频率代替概率，从该市的全体市民中随机抽取1人，该人非常满意该项目的概率为，现从中抽取3人恰有2人非常满意该项目的概率为：；（3）∵评分低于60分的被调查者中，老年人占，又从被调查者中按年龄分层抽取9人，∴这9人中，老年人有3人，非老年人6人，随机变量的所有可能取值为0，1，2，的分布列为：012的数学期望.。
2019-2020年高三数学上学期第一次模拟试卷 理(含解析)
2019-2020年高三数学上学期第一次模拟试卷理（含解析）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i为虚数单位，复数等于（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C． 1﹣i D． 1+i2．设全集I=R，集合A={y|y=log2x，x＞2}，B={x|y=}，则（）A． A⊆B B． A∪B=A C． A∩B=∅ D． A∩（∁I B）≠∅3．如图是某体育比赛现场上七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）A． 5和1.6 B． 85和1.6 C． 85和0.4 D． 5和0.44．“∀n∈N*，2a n+1=a n+a n+2”是“数列{a n}为等差数列”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．即不充分也不必要条件5．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）A． 2 B． C． D． 36．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：x+2y+5=0，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=17．设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β B．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α∥βC．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥β D．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α∥β8．函数y=4cosx﹣e|x|（e为自然对数的底数）的图象可能是（）A． B． C． D．9．对于函数y=sin（2x﹣），下列说法正确的是（）A．函数图象关于点（，0）对称B．函数图象关于直线x=对称C．将它的图象向左平移个单位，得到y=sin2x的图象D．将它的图象上各点的横坐标缩小为原来的倍，得到y=sin（x﹣）的图象10．已知点G是△ABC的外心，是三个单位向量，且2++=，如图所示，△ABC的顶点B，C 分别在x轴的非负半轴和y轴的非负半轴上移动，O是坐标原点，则||的最大值为（）A． B． C． 2 D． 3二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知函数f（x）=tanx+sinx+xx，若f（m）=2，则f（﹣m）= ．12．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是；13．设a=∫12（3x2﹣2x）dx，则二项式（ax2﹣）6展开式中的第6项的系数为．14．若目标函数z=kx+2y在约束条件下仅在点（1，1）处取得最小值，则实数k的取值范围是．15．若X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ．则称τ是集合X上的一个拓扑．已知集合X={a，b，c}，对于下面给出的四个集合τ：①τ={∅，{a}，{c}，{a，b，c}}；②τ={∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}；③τ={∅，{a}，{a，b}，{a，c}}；④τ={∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}．其中是集合X上的拓扑的集合τ的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共75分．请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，b=3．（Ⅰ）求角B；（Ⅱ）若sinA=，求△ABC的面积．17．某大学准备在开学时举行一次大学一年级学生座谈会，拟邀请20名来自本校机械工程院的概率；（Ⅱ）从这20名学生中随机选出3名学生发言，设来自医学院的学生数为ξ，求随机变量ξ的概率分布列和数学期望．18．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面 ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD ∥BC，∠BAD=90°，AD=AA1=3，BC=1，E1为A1B1中点．（Ⅰ）证明：B1D∥平面AD1E1；（Ⅱ）若AC⊥BD，求平面ACD1和平面CDD1C1所成角（锐角）的余弦值．19．已知数列{a n}是等差数列，S n为{a n}的前n项和，且a10=19，S10=100；数列{b n}对任意n ∈N*，总有b1•b2•b3…b n﹣1•b n=a n+2成立．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）记c n=（﹣1）n，求数列{c n}的前n项和T n．20．已知椭圆C：+y2=1与直线l：y=kx+m相交于E、F两不同点，且直线l与圆O：x2+y2=相切于点W（O为坐标原点）．（Ⅰ）证明：OE⊥OF；（Ⅱ）设λ=，求实数λ的取值范围．21．已知函数f（x）=x2+kx+1，g（x）=（x+1）ln（x+1），h（x）=f（x）+g′（x）．（Ⅰ）若函数g（x）的图象在原点处的切线l与函数f（x）的图象相切，求实数k的值；（Ⅱ）若h（x）在[0，2]上单调递减，求实数k的取值范围；（Ⅲ）若对于∀t∈[0，﹣1]，总存在x1，x2∈（﹣1，4），且x1≠x2满f（x i）=g（t）（i=1，2），其中e为自然对数的底数，求实数k的取值范围．xx山东省青岛市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i为虚数单位，复数等于（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C． 1﹣i D． 1+i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值．解答：解：=．故选：D．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．2．设全集I=R，集合A={y|y=log2x，x＞2}，B={x|y=}，则（）A． A⊆B B． A∪B=A C． A∩B=∅ D． A∩（∁I B）≠∅考点：集合的包含关系判断及应用．专题：计算题；集合．分析：化简集合A，B，即可得出结论．解答：解：由题意，A={y|y=log2x，x＞2}=（1，+∞），B={x|y=}=[1，+∞），∴A⊆B，故选：A．点评：本题考查集合的包含关系判断及应用，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集．3．如图是某体育比赛现场上七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）A． 5和1.6 B． 85和1.6 C． 85和0.4 D． 5和0.4考点：茎叶图；众数、中位数、平均数．专题：图表型．分析：根据均值与方差的计算公式，分布计算出所剩数据的平均数和方差分即可．解答：解：根据题意可得：评委为某选手打出的分数还剩84，84，84，86，87，所以所剩数据的平均数为=85，所剩数据的方差为[（84﹣85）2+（84﹣85）2+（86﹣85）2+（84﹣85）2+（87﹣85）2]=1.6．故选B．点评：本题考查茎叶图、平均数和方差，对于一组数据通常要求的是这组数据的众数，中位数，平均数，方差，它们分别表示一组数据的特征，这样的问题可以出现在选择题或填空题．4．“∀n∈N*，2a n+1=a n+a n+2”是“数列{a n}为等差数列”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．即不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由2a n+1=a n+a n+2，可得a n+2﹣a n+1=a n+1﹣a n，可得数列{a n}为等差数列；若数列{a n}为等差数列，易得2a n+1=a n+a n+2，由充要条件的定义可得答案．解答：解：由2a n+1=a n+a n+2，可得a n+2﹣a n+1=a n+1﹣a n，由n的任意性可知，数列从第二项起每一项与前一项的差是固定的常数，即数列{a n}为等差数列，反之，若数列{a n}为等差数列，易得2a n+1=a n+a n+2，故“∀n∈N*，2a n+1=a n+a n+2”是“数列{a n}为等差数列”的充要条件，故选C点评：本题考查充要条件的判断，涉及等差数列的判断，属基础题．5．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）A． 2 B． C． D． 3考点：简单空间图形的三视图．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据三视图判断几何体为四棱锥，再利用体积公式求高x即可．解答：解：根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图是：V==3⇒x=3．故选D．点评：由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．6．已知双曲线﹣=1（a＞0， b＞0）的一条渐近线平行于直线l：x+2y+5=0，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1考点：双曲线的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由已知得，由此能求出双曲线方程．解答：解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：x+2y+5=0，双曲线的一个焦点在直线l上，∴，解得a=2，b=，∴双曲线方程为﹣=1．故选：A．点评：本题考查双曲线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线性质的合理运用．7．设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β B．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α∥βC．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥β D．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α∥β考点：平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用线面平行、垂直的判定定理和性质定理及面面垂直的判定定理即可判断出答案．解答：解：选择支C正确，下面给出证明．证明：如图所示：∵m∥n，∴m、n确定一个平面γ，交平面α于直线l．∵m∥α，∴m∥l，∴l∥n．∵n⊥β，∴l⊥β，∵l⊂α，∴α⊥β．故C正确．故选C．点评：正确理解和掌握线面平行、垂直的判定定理和性质定理及面面垂直的判定定理是解题的关键．8．（5分）（xx•绍兴二模）函数y=4cosx﹣e|x|（e为自然对数的底数）的图象可能是（）A． B． C． D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：先验证函数y=4cosx﹣e|x|是否具备奇偶性，排除一些选项，在取特殊值x=0时代入函数验证即可得到答案．解答：解：∵函数y=4cosx﹣e|x|，∴f（﹣x）=4cos（﹣x）﹣e|﹣x|=4cosx﹣e|x|=f（x），函数y=4cosx﹣e|x|为偶函数，图象关于y轴对称，排除BD，又f（0）=y=4cos0﹣e|0|=4﹣1=3，只有A适合，故选：A．点评：本题主要考查函数的图象，关于函数图象的选择题，通常先验证奇偶性，排除一些选项，再代特殊值验证，属于中档题．9．对于函数y=sin（2x﹣），下列说法正确的是（）A．函数图象关于点（，0）对称B．函数图象关于直线x=对称C．将它的图象向左平移个单位，得到y=sin2x的图象D．将它的图象上各点的横坐标缩小为原来的倍，得到y=sin（x﹣）的图象考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析： A，将x=代入可得y≠0，故不正确；B，将x=代入可得：y=﹣1，由正弦函数的图象和性质可知正确；C，求出平移后的函数解析式即可判断．D，求出平移后的函数解析式即可判断．解答：解：A，将x=代入可得：y=sin（2×﹣）=1，故不正确；B，将x=代入可得：y=sin（2×﹣）=﹣1，由正弦函数的图象和性质可知正确；C，将它的图象向左平移个单位，得到y=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+）的图象，故不正确；D，将它的图象上各点的横坐标缩小为原来的倍，得到函数y=sin（4x﹣）的图象，故不正确．故选：B．点评：本题考查正弦函数的对称性、周期性，考查综合分析与应用能力，属于中档题．10．已知点G是△ABC的外心，是三个单位向量，且2++=，如图所示，△ABC的顶点B，C 分别在x轴的非负半轴和y轴的非负半轴上移动，O是坐标原点，则||的最大值为（）A． B． C． 2 D． 3考点：向量的加法及其几何意义．专题：平面向量及应用．分析：根据题意，得出：①G是BC的中点，△ABC是直角三角形，且斜边BC=2；②点G的轨迹是以原点为圆心、1为半径的圆弧；③OA经过BC的中点G时，||取得最大值为2||．解答：解：∵点G是△ABC的外心，且2++=，∴点G是BC的中点，△ABC是直角三角形，∠BAC是直角；又∵是三个单位向量，∴BC=2；又∵△ABC的顶点B、C分别在x轴和y轴的非负半轴上移动，∴点G的轨迹是以原点为圆心、1为半径的圆弧；又∵||=1，∴OA经过BC的中点G时，||取得最大值，最大值为2||=2．故选：C．点评：本题考查了平面向量的加法与减法的几何意义与应用问题，是基础题目．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知函数f（x）=tanx+sinx+xx，若f（m）=2，则f（﹣m）= 4028 ．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据解析式得出f（﹣x）+f（x）=4030，f（m）+f（﹣m）=4030，即可求解．解答：解：∵函数f（x）=tanx+sinx+xx，∴f（﹣x）=﹣tanx﹣sinx+xx，∵f（﹣x）+f（x）=4030，∴f（m）+f（﹣m）=4030，∵f（m）=2，∴f（﹣m）=4028．故答案为：4028．点评：本题考查了函数的性质，整体运用的思想，属于容易题，难度不大．12．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是132 ；考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，i的值，当i=10时，不满足条件i≥11，退出循环，输出s的值为132．解答：解：模拟执行程序框图，可得i=12，s=1满足条件i≥11，s=12，i=11满足条件i≥11，s=132，i=10不满足条件i≥11，退出循环，输出s的值为132．故答案为：132．点评：本题主要考查了程序框图和算法，依次正确写出每次循环得到的s，i的值是解题的关键，属于基本知识的考查．13．设a=∫12（3x2﹣2x）dx，则二项式（ax2﹣）6展开式中的第6项的系数为﹣24 ．考点：定积分；二项式系数的性质．专题：导数的概念及应用；二项式定理．分析：先根据定积分的计算法则求出a的值，再根据二项式展开式的通项公式求出第6项的系数．解答：解：a=∫12（3x2﹣2x）dx=（x3﹣x2）|=4，∴（ax2﹣）6=（4x2﹣）6，∵T k+1=，∴T6=T5+1=﹣•4x﹣3，=﹣24x﹣3，∴展开式中的第6项的系数为﹣24，故答案为：﹣24．点评：本题考查了定积分的计算法则和根据二项式展开式的通项公式，属于与基础题．14．若目标函数z=kx+2y在约束条件下仅在点（1，1）处取得最小值，则实数k的取值范围是（﹣4，2）．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，确定目标取最优解的条件，即可求出k的取值范围．解答：解：作出不等式对应的平面区域，由z=kx+2y得y=﹣x+，要使目标函数z=kx+2y仅在点B（1，1）处取得最小值，则阴影部分区域在直线z=kx+2y的右上方，∴目标函数的斜率﹣大于x+y=2的斜率且小于直线2x﹣y=1的斜率即﹣1＜﹣＜2，解得﹣4＜k＜2，即实数k的取值范围为（﹣4，2），故答案为：（﹣4，2）．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．根据条件目标函数仅在点（1，1）处取得最小值，确定直线的位置是解决本题的关键．15．若X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ．则称τ是集合X上的一个拓扑．已知集合X={a，b，c}，对于下面给出的四个集合τ：①τ={∅，{a}，{c}，{a，b，c}}；②τ={∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}；③τ={∅，{a}，{a，b}，{a，c}}；④τ={∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}．其中是集合X上的拓扑的集合τ的序号是②④．考点：集合的包含关系判断及应用．专题：压轴题；新定义．分析：根据集合X上的拓扑的集合τ的定义，逐个验证即可：①{a}∪{c}={a，c}∉τ，③{a，b}∪{a，c}={a，b，c}∉τ，因此①③都不是；②④满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ，因此②④是，从而得到答案．解答：解：①τ={∅，{a}，{c}，{a，b，c}}；而{a}∪{c}={a，c}∉τ，故①不是集合X上的拓扑的集合τ；②τ={∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}，满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ因此②是集合X上的拓扑的集合τ；③τ={∅，{a}，{a，b}，{a，c}}；而{a，b}∪{a，c}={a，b，c}∉τ，故③不是集合X上的拓扑的集合τ；④τ={∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}．满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ因此④是集合X上的拓扑的集合τ；故答案为②④．点评：此题是基础题．这是考查学生理解能力和对知识掌握的灵活程度的问题，重在理解题意．本题是开放型的问题，要认真分析条件，探求结论，对分析问题解决问题的能力要求较高．三、解答题：本大题共6小题，共75分．请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，b=3．（Ⅰ）求角B；（Ⅱ）若sinA=，求△ABC的面积．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（I）利用正弦定理与余弦定理即可得出；（II）利用正弦定理、两角和差的正弦公式、三角形的面积计算公式即可得出．解答：解：（Ⅰ）∵，∴，∴a2﹣b2=ac﹣c2，∴，∵B∈（0，π），∴．（Ⅱ）由b=3，，，得a=2，由a＜b得A＜B，从而，故，∴△ABC的面积为．点评：本题考查了正弦定理与余弦定理、正弦定理、两角和差的正弦公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．某大学准备在开学时举行一次大学一年级学生座谈会，拟邀请20名来自本校机械工程院的概率；（Ⅱ）从这20名学生中随机选出3名学生发言，设来自医学院的学生数为ξ，求随机变量ξ的概率分布列和数学期望．考点：离散型随机变量及其分布列；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）从20名学生随机选出3名的方法数为，选出3人中任意两个均不属于同一学院的方法数为，由此利用等可能事件概率计算公式能求出这3名学生中任意两个均不属于同一学院的概率．（Ⅱ）ξ可能的取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的概率分布列和数学期望．解答：解：（Ⅰ）从20名学生随机选出3名的方法数为，选出3人中任意两个均不属于同一学院的方法数为：所以（Ⅱ）ξ可能的取值为0，1，2，3，，所以ξ的分布列为0 1 2 3P所以点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要注意排列组合知识的合理运用．18．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面 ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD ∥BC，∠BAD=90°，AD=AA1=3，BC=1，E1为A1B1中点．（Ⅰ）证明：B1D∥平面AD1E1；（Ⅱ）若AC⊥BD，求平面ACD1和平面CDD1C1所成角（锐角）的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）连结A1D交AD1于G，四边形ADD1A1为平行四边形，从而B1D∥E1G，由此能证明B1D∥平面AD1E1．（Ⅱ）以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面ACD1的一个法向量和平面CDD1C1的一个法向量，由此利用向量法能求出平面ACD1和平面CDD1C1所成角（锐角）的余弦值．解答：解：（Ⅰ）证明：连结A1D交AD1于G，因为ABCD﹣A1B1C1D1为四棱柱，所以四边形ADD1A1为平行四边形，所以G为A1D的中点，又E1为A1B1中点，所以E1G为△A1B1D的中位线，从而B1D∥E1G…（4分）又因为B1D⊄平面AD1E1，E1G⊂平面AD1E1，所以B1D∥平面AD1E1．…（5分）（Ⅱ）解：因为AA1⊥底面ABCD，AB⊂面ABCD，AD⊂面ABCD，所以AA1⊥AB，AA1⊥AD，又∠BAD=90°，所以AB，AD，AA1两两垂直．…（6分）如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．设AB=t，则A（0，0，0），B（t，0，0），C（t，1，0），D（0，3，0），C1（t，1，3），D1（0，3，3）．从而，．因为AC⊥BD，所以，解得．…（8分）所以，．设是平面ACD1的一个法向量，则即令x1=1，则．…（9分）又，．设是平面CDD1C1的一个法向量，则即令x2=1，则．…（10分）∴，∴平面ACD1和平面CDD1C1所成角（锐角）的余弦值．…（12分）点评：本小题考查空间中直线与平面的位置关系、空间向量的应用等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想．19．已知数列{a n}是等差数列，S n为{a n}的前n项和，且a10=19，S10=100；数列{b n}对任意n ∈N*，总有b1•b2•b3…b n﹣1•b n=a n+2成立．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）记c n=（﹣1）n，求数列{c n}的前n项和T n．考点：数列的求和；等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由题意和等差数列的前n项和公式求出公差，代入等差数列的通项公式化简求出a n，再化简b1•b2•b3…b n﹣1•b n=a n+2，可得当n≥2时b1•b2•b3…b n﹣1=2n﹣1，将两个式子相除求出b n；（2）由（1）化简c n=（﹣1）n，再对n分奇数和偶数讨论，分别利用裂项相消法求出T n，最后要用分段函数的形式表示出来．解答：解：（Ⅰ）设{a n}的公差为d，则a10=a1+9d=19，，解得a1=1，d=2，所以a n=2n﹣1，）所以b1•b2•b3…b n﹣1•b n=2n+1…①当n=1时，b1=3，当n≥2时，b1•b2•b3…b n﹣1=2n﹣1…②①②两式相除得因为当n=1时，b1=3适合上式，所以．（Ⅱ）由已知，得则T n=c1+c2+c3+…+c n=，当n为偶数时，==，当n为奇数时，==．综上：．点评：本题考查数列的递推公式，等差数列的通项公式、前n项和公式，裂项相消法求数列的和，以及分类讨论思想，考查化简、计算能力，属于中档题．20．已知椭圆C：+y2=1与直线l：y=kx+m相交于E、F两不同点，且直线l与圆O：x2+y2=相切于点W（O为坐标原点）．（Ⅰ）证明：OE⊥OF；（Ⅱ）设λ=，求实数λ的取值范围．考点：椭圆的简单性质．专题：方程思想；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由直线l与圆O相切，得圆心到直线l的距离d=r，再由直线l与椭圆C相交，得出E、F点的坐标关系，从而证明OE⊥OF；（Ⅱ）根据直线l与圆O相切于点W，以及OE⊥OF，得出λ=的坐标表示，求出λ的取值范围．解答：解：（Ⅰ）∵直线l与圆O相切，∴圆x2+y2=的圆心到直线l的距离d==，∴；由，得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0；设E（x1，y1），F（x2，y2），则，；∴∴OE⊥OF；（Ⅱ）∵直线l与圆O相切于W，，∴；由（Ⅰ）知x1x2+y1y2=0，∴x1x2=﹣y1y2，即；从而，即，∴；∵﹣≤x1≤，∴λ∈[，2]．点评：本题考查了直线与圆锥曲线的综合应用问题，也考查了直线与圆相切的应用问题，考查了方程思想的应用问题，是综合性题目．21．已知函数f（x）=x2+kx+1，g（x）=（x+1）ln（x+1），h（x）=f（x）+g′（x）．（Ⅰ）若函数g（x）的图象在原点处的切线l与函数f（x）的图象相切，求实数k的值；（Ⅱ）若h（x）在[0，2]上单调递减，求实数k的取值范围；（Ⅲ）若对于∀t∈[0，﹣1]，总存在x1，x2∈（﹣1，4），且x1≠x2满f（x i）=g（t）（i=1，2），其中e为自然对数的底数，求实数k的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）求出g（x）的定义域和导数，求得切线的斜率和切点，写出切线方程，联立f（x），消去y，运用判别式为0，即可得到k；（Ⅱ）求出h（x）的导数，h（x）在[0，2]上单调递减，则h′（x）≤0对x∈[0，2]恒成立，运用导数求出h′（x）在[0，2]的最大值，解不等式即可得到k的范围；（Ⅲ）分别求出g（t）在t∈[0，﹣1]的值域A和f（x）在x∈（﹣1，4）的值域B，由题意可得A包含于B，得到不等式组，解出即可得到k的范围．解答：解：（Ⅰ）函数g（x）的定义域为（﹣1，+∞），g′（x）=ln（x+1）+1，则g（0）=0，g′（0）=1，∴切线l：y=x，由，∵l与函数f（x）的图象相切，∴；（Ⅱ），导数，令，对x∈[0，2]恒成立，则在[0，2]递增，即h′（x）在[0，2]上为增函数，∴，∵h（x）在[0，2]上单调递减，∴h′（x）≤0对x∈[0，2]恒成立，即，∴；（Ⅲ）当时，g′（x）=ln（x+1）+1＞0，∴g（x）=（x+1）ln（x+1）在区间上为增函数，∴时，，∵的对称轴为x=﹣k，∴为满足题意，必须﹣1＜﹣k＜4，此时，f（x）的值恒小于f（﹣1）和f（4）中最大的一个，∵对于，总存在x1，x2∈（﹣1，4），且x1≠x2满足f（x i）=g（t）（i=1，2），∴，∴，∴．点评：本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间及极值、最值，同时考查任意存在问题注意转化为函数的值域的包含关系，考查运算能力，属于中档题和易错题．。
(完整版)2019-2020年高三第一次模拟试题数学(文)含答案,推荐文档
2019-2020 年高三第一次模拟试题数学（文）含答案考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120 分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚；（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．参考公式：1 [(x -x) 2+ (x -x) 2+ + (x -x)2 ]，其中为样本的平均数样本数据的标准差s =n 1 2 n柱体体积公式，其中为底面面积，为高；锥体体积公式，其中为底面面积，为高球的表面积和体积公式，，其中为球的半径第Ⅰ卷（选择题共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A = {x | x 2 -x - 2 ≤ 0}, B = {x | y = ln(1 -x)}, 则（）A. B．C．D． 2．若复数满足，则在复平面内，对应的点的坐标是（）A．B．C．D． 3．已知中，，且的面积为，则（）A．B．C．或D．或4.已知是边长为2 的正三角形的边上的动点，则（）A．有最大值为8 B．是定值6 C．有最小值为2 D．与点的位置有关5．设，且，则（）A．B．C．D． 6．掷同一枚骰子两次，则向上点数之和不小于6 的概率是（）A．B．C． D．7．数列是公差不为零的等差数列，并且是等比数列的相邻三项，若，则等于（）A．B．C．D． 8．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的的值是（）A．2 B．C．D．39．如图所示程序框图中，输出（）A. B. C. D.⎩ ⎪ ⎩10．点在同一个球的球面上，，若四面体体积的最大值为，则这个球的表面积为（ ） A ． B ． C ． D ． 11．已知圆，直线，点在直线上．若在圆上存在点，使得（为坐标原点），则的取值范围是 （ ） A ． B ．C ．D ．⎧| log x |,0 < x < 2⎪ 212. 已知函数 f (x ) = ⎨，若存在实数满足 ⎪sin( 4 x ),2 ≤ x ≤ 10 f (x 1 ) = f (x 2 ) = f (x 3 ) = f (x 4 ) ，且，则的取值范围是（ ）A.（20，32）B.（9,21）C.（8,24）D.（15，25）第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第 13 题～第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答．第 22 题～第 24 题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．13. 已知数列中，，则⎧x - y + 1 ≥ 014. 如果满足约束条件⎨x + y - 2 ≤ 0 ，则目标函数的最大值是⎪x - 2 y ≤ 0 15. 过抛物线的焦点 F 作倾斜角为的直线交抛物线于、两点，若线段的长为 8，则16. 已知函数的图像为曲线，若曲线存在与直线垂直的切线，则实数的取值范围为三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤2 17．（本小题满分 12 分）已知函数 f (x ) = 2 cos(2x + ) + 3sin 2x（1） 求函数的最小正周期和最大值；（2） 设的三内角分别是．若，且,求边和的值．3MD Q18．（本小题满分 12 分）某班同学利用寒假在 5 个居民小区内选择两个小区逐户进行一次“低碳生活习惯”的调查，以计算每户的碳月排放量．若月排放量符合低碳标准的称为“低碳族” ，否则称为“非低碳族”．若小区内有至少％的住户属于“低碳族”，则称这个小区为 “低碳小区”， 否则称为“非低碳小区” ．已知备选的 5 个居民小区中有三个非低碳小区，两个低碳小区．（1） 任选两个小区进行调查，求所选的两个小区恰有一个为“非低碳小区”的概率； （2） 假定选择的“非低碳小区”为小区，调查显示其“低碳族”的比例为，数据如图 1 所示，经过同学们的大力宣传，三个月后，又进行了一次调查，数据如图 2 所示，问这时小区是否达到“低碳小区”的标准？19．（本小题满分 12 分）如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,, ,平面底面,为的中点, ，BC = 1AD = 1, CD = 2（Ⅰ）求证: 平面； （Ⅱ）求三棱锥的体积。
2019-2020年高考第一次模拟考试数学(理科)试题 含答案
绝密★启用前2019-2020年高考第一次模拟考试数学（理科）试题 含答案注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．参考公式：棱锥的体积公式：13V Sh =．其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{4,5,6,8},{3,5,7,8}A B ==，则AB 中元素的个数为A ．8B ．7C ．6D ．5 2．已知复数(87)(3)z i i =---，则z 在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3． “a b >”是 “22ac bc >”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4．已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的一条渐近线的斜率为12，则该双曲线的离心率为B.C.2D.5．不等式组5315+15 3.x y y x x y +≤⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩，，表示的平面区域的面积为A. 7B.5C. 3D.146．设,l m 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是 A.若//,//,//m l m l αα则； B.若,,//m l m l αα⊥⊥则； C.若//,,//,l m l m αβαβ⊥⊥则； D. 若,//,,//,//m m l l αββααβ⊂⊂则； 7．将5本不同的书摆成一排，若书甲与书乙必须相邻，而书丙与书丁不能相邻，则不同的摆法种数为A. 48B. 24C. 20D. 12 8．非空数集A 如果满足：①0A ∉；②若对,x A ∀∈有1A x∈，则称A 是“互倒集”.给出以下数集：①2{|10}x R x ax ∈++=； ②2{|410}x x x -+<；③ln 1{|,[,1)(1,]}x y y x e x e =∈⋃；④22,[0,1)51.[1,2]x x x x x y y +∈+∈⎧⎫⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪=⎨⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎭.其中“互倒集”的个数是A.4B. 3C.2D. 1二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9－13题）9．已知(sin ,cos ),2,1a b αα==（-），若a b ⊥，则tan α的值为 ． 10．已知函数log a y x =(0,1)a a >≠的图象经过点1(2,)2，则其反函数的解析式y = ．11．在△ABC 中，A B C ∠∠∠、、的对边分别为a b c 、、，若3a =，2B A ∠=∠，cos A =，则b =______ ． 12．某射击运动员在练习射击中，每次射击命中目标的概率是35，则这名运动员在10次射击中，至少有9次命中的概率是 ．（记1035p =（），结果用含p 的代数式表示）13．已知函数3()f x x =对应的曲线在点(,())()k k a f a k N *∈处的切线与x 轴的交点为1(,0)k a +，若11a =31010(1()3f a ++=- ．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中，直线sin()24πρθ+=被圆=4ρ截得的弦长为 .15．（几何证明选讲选做题）如图1，BE 、CF 分别为钝角△ABC 的两条高，已知1,AE =3,AB CF ==则BC 边的长18.（1）证明：AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD A B C D ∴⊥，-------------------1分又BC CD ⊥， AB BC B =， CD ∴⊥平面ABC ，------------------------------2分又E 、F 分别是AC 、AD 的中点，∴//.EF CD ---------------------------------------3分∴EF ⊥平面ABC又EF ⊂平面BEF ，∴平面BEF ⊥平面ABC -----------4分（3）解法1：以点C 为坐标原点，CB 与CD 所在的直线分别为x 、y 轴建立空间直角坐标系如图示，--------------------------------------------------------9分则(000)C ，，,(100),(010),(10B D A ，，，，111(,0(,,22222E F ，∴1(,022BE =-，,11(,222BF =-，,---------------10分 设平面BEF 的一个法向量为(,,)n a b c =，由0n BE n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得102211022a c a b ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-++=⎪⎩令c =6,0a b ==，∴(6,0,n =，------------------12分∵BA =是平面BCD 的法向量，设平面BEF 与平面BCD 所成的锐二面角大小为θ，则cos ||||6n BA n BA θ⋅===⋅⨯,---------------------------------------------------14分19.解：（1）由2122232(21)S a a a =+=-⨯-和211a =可得15a = --------------------2分（2）解法1：当2n ≥时，由1n n n a S S -=-得13(1)(1)3(1)(2)n n n a na n n n a n n -=-------，---------------------------------4分⇒1(1)(1)6(1)n n n a n a n ----=-16(2,)n n a a n n N *-⇒-=≥∈---------------------6分∴数列{}n a 是首项15a =，公差为6的等差数列，∴16(1)61n a a n n =+-=--------------------------------------------------------7分 ∴21()322n n n a a S n n +==+-----------------------------------------------------8分（2）解法1：由曲线C 关于y 轴对称可知，若存在点N ，使得以PQ 为直径的圆恒过点N ，则点N 必在y 轴上，设(0,)N n ，--------------------------------------------------6分又设点200(,)4x P x ，由直线2:l y kx m =+与曲线C 有唯一公共点P 知，直线2l 与曲线C 相切，由214y x =得1'2y x =，∴001'|2x x k y x ===，---------------------------------------7分∴直线2l 的方程为2000()42x xy x x -=-，--------------------------------------------8分令1y =-得2022x x x -=，∴Q 点的坐标为002(,1)2x x --，-----------------------------9分200002(,),(,1)42x x NP x n NQ n x ∴=-=------------------------------------------10分∵点N 在以PQ 为直径的圆上，∴22220002(1)()(1)20(*)244x x x NP NQ n n n n n ⋅=--+-=-++-=---------------12分要使方程(*)对0x 恒成立，必须有21020n n n -=⎧⎨+-=⎩解得1n =，-------------------------13分∴在坐标平面内存在点N ，使得以PQ 为直径的圆恒过点N ，其坐标为(0,1)．---------14分②③联立解得0,1.x y =⎧⎨=⎩或0,1.x y =⎧⎨=-⎩，-----------------------------------------------12分 ∴在坐标平面内若存在点N ，使得以PQ 为直径的圆恒过点N ，则点N 必为(0,1)或(0,1)-， 将(0,1)的坐标代入①式得，①式， 左边=00002(1)2(1)()[]y y x x --+--002(1)2(1)0y y =-+-==右边， 将(0,1)-的坐标代入①式得，①式， 左边=00002(1)()[]2(1)y x y x ---=-不恒等于0，------------------------------------13分∴在坐标平面内是存在点N ，使得以PQ 为直径的圆恒过点N ，点N 坐标为为(0,1)．--14分]设1()cos(1)H x x x =-，则()()()()()2222c o s 1s i n 1s i n 1c o s 1'()c o s (1)c o s (1)x x x x x x H x x x x x -------==------7分当()0,1x ∈时，()sin 10x -<，()cos 10x ->所以'()0H x <在()0,1上恒成立，即函数()H x 在()0,1上单调递减，-------------------8分∴当()0,1x ∈时，()(1)1H x H >=，∴1a ≤.-----------------------------------------------------------------------9分（3）证法1：由（2）知，当1a =时，()sin(1)ln G x x x =--(1)0G >=,sin(1)ln x x ⇒->1sin(1)ln x x⇒-<，------------------------------------------10分∵对任意的k N *∈有21(0,1)(1)k ∈+，∴211(0,1)(1)k -∈+ ∴22211(1)sin ln ln 1(1)(2)1(1)k k k k k +<=++-+，--------------------------------------12分∴22222211123(1)sin sin sin ln ln ln23(1)1324(2)n n n n ++++<++++⨯⨯+ 22223(1)2(1)ln[]ln1324(2)2n n n n n++=⋅⋅⋅=⨯⨯++ln 2<， 即211sin ln 2(1)nk k =<+∑．--------------------------------------------------------14分。
2019-2020数学高考一模试题(及答案)
2019-2020数学高考一模试题(及答案)一、选择题1．2532()x x-展开式中的常数项为（ ）A ．80B ．-80C ．40D ．-402．若以连续掷两颗骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 落在圆229x y +=内的概率为（ ）A ．536B ．29C ．16D ．193．若满足sin cos cos A B Ca b c==，则ABC ∆为（ ） A ．等边三角形 B ．有一个内角为30°的直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．有一个内角为30°的等腰三角形4．设向量a r ，b r满足2a =r ，||||3b a b =+=r r r ，则2a b +=r r （ ）A ．6B ．32C ．10D ．425．如图，12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线C 交于,A B 两点．若11::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．23y x =±B ．2y x =±C ．3y x =D ．2y x =±6．已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若x >y ，则x 2>y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(⌝q )；④(⌝p )∨q 中，真命题是( ) A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④7．2n n +<n+1(n∈N *),某同学应用数学归纳法的证明过程如下: (1)当n=1时211+不等式成立.(2)假设当n=k(k∈N *)时,不等式成立,2k k +<k+1. 那么当n=k+1时()()()2222(k 1)k 1k 3k 2k3k 2k 2(k 2)+++=++<+++++所以当n=k+1时,不等式也成立.根据(1)和(2),可知对于任何n∈N *,不等式均成立. 则上述证法（ ） A ．过程全部正确 B ．n=1验得不正确C ．归纳假设不正确D ．从n=k 到n=k+1的证明过程不正确8．函数()f x 的图象如图所示，()f x '为函数()f x 的导函数，下列数值排序正确是（ ）A ．()()()()02332f f f f ''<<<-B ．()()()()03322f f f f ''<<-<C ．()()()()03232f f f f ''<<<-D ．()()()()03223f f f f ''<-<<9．在如图的平面图形中，已知1,2,120OM ON MON ==∠=o,2,2,BM MA CN NA ==u u u u v u u u v u u u v u u u v则·BC OM u u u vu u u u v的值为A ．15-B ．9-C ．6-D ．0 10．由a 2，2﹣a ，4组成一个集合A ，A 中含有3个元素，则实数a 的取值可以是（ ） A ．1B ．﹣2C ．6D ．211．已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则U A B =I ð（ ） A ．{}1- B ．{}0,1 C ．{}1,2,3-D ．{}1,0,1,3-12．把红、黄、蓝、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是 A ．对立事件B ．互斥但不对立事件C ．不可能事件D ．以上都不对二、填空题13．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________ 件. 14．在区间[1,1]-上随机取一个数x ，cos2xπ的值介于1[0,]2的概率为 ．15．已知实数,x y 满足不等式组201030y x y x y -≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则yx 的取值范围为__________．16．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，3c =，2C B =，则ABC V 的面积为______．17．在体积为9的斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，S 是C 1C 上的一点，S —ABC 的体积为2，则三棱锥S —A 1B 1C 1的体积为___．18．高三某班一学习小组的,,,A B C D 四位同学周五下午参加学校的课外活动，在课外活动中，有一人在打篮球，有一人在画画，有一人在跳舞，另外一人在散步，①A 不在散步，也不在打篮球；②B 不在跳舞，也不在散步；③“C 在散步”是“A 在跳舞”的充分条件；④D 不在打篮球，也不在散步；⑤C 不在跳舞，也不在打篮球.以上命题都是真命题，那么D 在_________.19．如图，已知P 是半径为2，圆心角为3π的一段圆弧AB 上一点，2A B B C =u u u v u u u v ，则PC PA ⋅u u u v u u u v的最小值为_______．20．已知向量a r与b r的夹角为60°，|a r|=2，|b r|=1，则|a r+2 b r|= ______ .三、解答题21．如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D,E 分别是AB ，BB 1的中点.（Ⅰ）证明： BC 1//平面A 1CD;（Ⅱ）设AA 1= AC=CB=2，AB=22，求三棱锥C 一A 1DE 的体积.22．已知复数12i z m =-，复数21i z n =-，其中i 是虚数单位，m ，n 为实数. （1）若1m =，1n =-，求12z z +的值； （2）若212z z =，求m ，n 的值.23．为评估设备生产某种零件的性能，从设备生产该零件的流水线上随机抽取100个零件为样本，测量其直径后，整理得到下表：经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值.（I ）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行判定（表示相应事件的概率）： ①； ②； ③.判定规则为：若同时满足上述三个式子，则设备等级为甲；若仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部都不满足，则等级为了.试判断设备的性能等级.（Ⅱ）将直径尺寸在之外的零件认定为是“次品”.①从设备的生产流水线上随机抽取2个零件，求其中次品个数的数学期望；②从样本中随意抽取2个零件，求其中次品个数的数学期望.24．随着“互联网+交通”模式的迅猛发展，“共享自行车”在很多城市相继出现。
2019-2020数学高考第一次模拟试题附答案
2019-2020数学高考第一次模拟试题附答案一、选择题1．若复数21iz =-，其中i 为虚数单位，则z = A ．1+iB ．1−iC ．−1+iD ．−1−i2．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数学之和为偶数的概率是（ ） A ．12B ．13C ．23D ．343．已知a R ∈，则“0a =”是“2()f x x ax =+是偶函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知复数z 满足()12i z +=，则复数z 的虚部为（ ） A ．1B ．1-C ．iD ．i -5．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是A ．13B ．12C ．23D ．566．函数()()2ln 1f x x x=+-的一个零点所在的区间是( )A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,47．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4为朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有 A ．4种B ．10种C ．18种D ．20种8．如图所示，程序据图（算法流程图）的输出结果为（ ）A ．34 B ．16C ．1112D ．25249．设i 为虚数单位，复数z 满足21ii z=-，则复数z 的共轭复数等于（ ） A ．1-iB ．-1-iC ．1+iD ．-1+i10．函数y =2x sin2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．11．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－2π<φ<2π)的部分图象如图所示，则ω、φ的值分别是( )A ．2，－3πB ．2，－6π C ．4，－6πD ．4，3π 12．在ABC V 中，若 13,3,120AB BC C ==∠=o ，则AC =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题13．若三点1 (2,3),(3,2),(,)2A B C m--共线，则m的值为．14．在ABC∆中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若3Aπ=，3a=，b=1,则c=_____________15．已知实数,x y满足不等式组201030yx yx y-≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则yx的取值范围为__________．16．()sin5013tan10+=o o________________.17．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为▲18．如图，圆C（圆心为C）的一条弦AB的长为2，则AB AC⋅u u u r u u u r=______．19．已知四棱锥S ABCD-的三视图如图所示，若该四棱锥的各个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积等于_________.20．设函数21()ln2f x x ax bx=--，若1x=是()f x的极大值点，则a取值范围为_______________.三、解答题21．在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为1231x ty⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t为参数）.在以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中,曲线C的极坐标方程是2sin4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭.（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）设点()0,1P -.若直l 与曲线C 相交于两点,A B ,求PA PB +的值. 22．已知等差数列{}n a 满足：12a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得60800n S n >+ ？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由.23．如图，矩形ABCD 和菱形ABEF 所在的平面相互垂直，ABE 60∠=︒，G 为BE 的中点.(Ⅰ)求证：AG ⊥平面ADF ；(Ⅱ) 求AB 3=BC 1=，求二面角D CA G --的余弦值.24．红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A ，乙对B ，丙对C 各一盘，已知甲胜A ，乙胜B ，丙胜C 的概率分别为0.6，0.5，0.5，假设各盘比赛结果相互独立．（I ）求红队至少两名队员获胜的概率；（II ）用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E ξ． 25．已知函数1(1)f x m x x =---+. （1）当5m =时，求不等式()2f x >的解集；（2）若二次函数223y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 试题分析：22(1i)1i,1i 1i (1i)(1i)z z +===+∴=---+，选B. 【考点】复数的运算，复数的概念【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，一般考查复数运算与概念或复数的几何意义，也是考生必定得分的题目之一.2．B解析：B 【解析】试题分析：由题意知本题是一个古典概型概率的计算问题．从这4张卡片中随机抽取2张，总的方法数是246C =种，数学之和为偶数的有13,24++两种，所以所求概率为13，选B ． 考点：古典概型．3．C解析：C 【解析】因为()2f x x ax =+是偶函数，所以22()()20f x x ax f x x ax ax -=-==+∴=所以0a =.所以“0a =”是“()2f x x ax =+是偶函数”的充要条件.故选C.4．B解析：B 【解析】设,,z a bi a b R =+∈（） ，由()1i 22z z i z +=⇒=--（）2a bi i a bi ⇒+=--（），2a bi b a i ⇒+=-+-（） ,2a b b a =-⎧⇒⎨=-⎩ 1b ⇒=- ，故选B. 5．C 解析：C 【解析】试题分析：将4种颜色的花种任选2种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花坛中，有6种种法，其中红色和紫色的花不在同一个花坛的种数有4种，故所求概率为23，选C. 【考点】古典概型【名师点睛】作为客观题形式出现的古典概型试题,一般难度不大,解答中的常见错误是在用列举法计数时出现重复或遗漏,避免此类错误发生的有效方法是按照一定的标准进行列举.6．B解析：B 【解析】 【分析】先求出(1)(2)0,f f <根据零点存在性定理得解. 【详解】由题得()21ln 2=ln 2201f =--<，()22ln3=ln3102f =-->，所以(1)(2)0,f f <所以函数()()2ln 1f x x x=+-的一个零点所在的区间是()1,2. 故选B 【点睛】本题主要考查零点存在性定理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.7．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】分两种情况：①选2本画册，2本集邮册送给4位朋友，有C 42＝6种方法；②选1本画册，3本集邮册送给4位朋友，有C 41＝4种方法．所以不同的赠送方法共有6＋4＝10(种)．8．C解析：C 【解析】由算法流程图知s ＝0＋12＋14＋16＝1112.选C. 9．B解析：B 【解析】 【分析】利用复数的运算法则解得1i z =-+，结合共轭复数的概念即可得结果. 【详解】 ∵复数z 满足21ii z=-，∴()()()2121111i i i z i i i i +===---+， ∴复数z 的共轭复数等于1i --，故选B. 【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．D解析：D 【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在π(,π)2上的符号，即可判断选择.详解：令()2sin 2xf x x =， 因为,()2sin 2()2sin 2()xx x R f x x x f x -∈-=-=-=-，所以()2sin 2xf x x =为奇函数，排除选项A,B;因为π(,π)2x ∈时，()0f x <，所以排除选项C ，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．11．A解析：A 【解析】 【分析】由函数f （x ）＝2sin （ωx+φ）的部分图象，求得T 、ω和φ的值． 【详解】由函数f （x ）＝2sin （ωx+φ）的部分图象知，3T 5π412=-（π3-）3π4=， ∴T 2πω==π，解得ω＝2； 又由函数f （x ）的图象经过（5π12，2）， ∴2＝2sin （25π12⨯+φ）， ∴5π6+φ＝2kππ2+，k∈Z， 即φ＝2kππ3-， 又由π2-＜φπ2＜，则φπ3=-； 综上所述，ω＝2、φπ3=-． 故选A ． 【点睛】本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，是基础题．12．A解析：A 【解析】余弦定理2222?cos AB BC AC BC AC C =+-将各值代入 得2340AC AC +-=解得1AC =或4AC =-(舍去)选A.二、填空题13．【解析】试题分析：依题意有即解得考点：三点共线 解析：12【解析】试题分析：依题意有AB AC k k =，即531522m --=+，解得12m =. 考点：三点共线．14．2【解析】【分析】根据条件利用余弦定理可建立关于c 的方程即可解出c 【详解】由余弦定理得即解得或（舍去）故填2【点睛】本题主要考查了利用余弦定理求三角形的边属于中档题解析：2 【解析】 【分析】根据条件，利用余弦定理可建立关于c 的方程，即可解出c. 【详解】由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得231c c =+-，即220c c --=，解得2c =或1c =-（舍去）.故填2. 【点睛】本题主要考查了利用余弦定理求三角形的边，属于中档题.15．【解析】【分析】作出可行域表示与（00）连线的斜率结合图形求出斜率的最小值最大值即可求解【详解】如图不等式组表示的平面区域（包括边界）所以表示与（00）连线的斜率因为所以故【点睛】本题主要考查了简单解析：1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】 作出可行域，yx表示(),x y 与（0，0）连线的斜率，结合图形求出斜率的最小值，最大值即可求解. 【详解】如图，不等式组201030y x y x y -⎧⎪--⎨⎪+-⎩………表示的平面区域ABC V （包括边界），所以yx 表示(),x y 与（0，0）连线的斜率，因为()()1,22,1A B ，，所以122OA OB k k ==，，故1,22y x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划问题，涉及斜率的几何意义，数形结合的思想，属于中档题.16．【解析】【分析】利用弦化切的运算技巧得出然后利用辅助角二倍角正弦以及诱导公式可计算出结果【详解】原式故答案为：【点睛】本题考查利用三角恒等变换思想求非特殊角的三角函数值在计算时要结合角之间的关系选择 解析：1【解析】 【分析】利用弦化切的运算技巧得出()cos103sin 50cos 0sin 50131an10++=⋅o ooooo，然后利用辅助角、二倍角正弦以及诱导公式可计算出结果. 【详解】 原式()2sin 1030sin50cos103sin102sin 40cos 40sin50cos10cos10++===o o o o o o o ooo()sin 9010sin80cos101cos10cos10cos10-====o oo o o o o . 故答案为：1. 【点睛】本题考查利用三角恒等变换思想求非特殊角的三角函数值，在计算时要结合角之间的关系选择合适的公式化简计算，考查计算能力，属于中等题.17．1：8【解析】考查类比的方法所以体积比为1∶8解析：1：8【解析】考查类比的方法，11111222221111314283S hV S hV S hS h⋅⨯＝＝＝＝，所以体积比为1∶8.18．2【解析】【分析】过点C作CD⊥AB于D可得Rt△ACD中利用三角函数的定义算出再由向量数量积的公式加以计算可得的值【详解】过点C作CD⊥AB 于D则D为AB的中点Rt△ACD中可得cosA==2故答解析：2【解析】【分析】过点C作CD⊥AB于D，可得1AD AB12==，Rt△ACD中利用三角函数的定义算出1cos AAC=，再由向量数量积的公式加以计算，可得AB AC⋅u u u v u u u v的值．【详解】过点C作CD⊥AB于D，则D为AB的中点．Rt△ACD中，1AD AB12==，可得cosA=11,cosAADAB AC AB AC AB AC ABAC AC AC=∴⋅=⋅=⋅⋅=u u u u v u u u u v u u u u v u u u u v u u u u vu u u v u u u v=2．故答案为2【点睛】本题已知圆的弦长，求向量的数量积．着重考查了圆的性质、直角三角形中三角函数的定义与向量的数量积公式等知识，属于基础题．19．【解析】【分析】先还原几何体再从底面外心与侧面三角形的外心分别作相应面的垂线交于O即为球心利用正弦定理求得外接圆的半径利用垂径定理求得球的半径即可求得表面积【详解】由该四棱锥的三视图知该四棱锥直观图解析：1015π【解析】【分析】先还原几何体，再从底面外心与侧面三角形SAB的外心分别作相应面的垂线交于O，即为球心，利用正弦定理求得外接圆的半径，利用垂径定理求得球的半径，即可求得表面积.【详解】由该四棱锥的三视图知，该四棱锥直观图如图，因为平面SAB ⊥平面ABCD ，连接AC,BD 交于E ，过E 作面ABCD 的垂线与过三角形ABS 的外心作面ABS 的垂线交于O ，即为球心，连接AO 即为半径，令1r 为SAB ∆外接圆半径，在三角形SAB 中，SA=SB=3,AB=4,则cos 23SBA ∠=, ∴sin 5SBA ∠=，∴132sin 5r SBA ==∠，∴125r =，又OF=12AD =, 可得2221R r OF =+， 计算得，28110112020R =+= ， 所以210145S R ππ==. 故答案为101.5π 【点睛】本题考查了三视图还原几何体的问题，考查了四棱锥的外接球的问题，关键是找到球心，属于较难题.20．【解析】试题分析：的定义域为由得所以①若由得当时此时单调递增当时此时单调递减所以是的极大值点；②若由得或因为是的极大值点所以解得综合①②：的取值范围是故答案为考点：1利用导数研究函数的单调性；2利用 解析：【解析】试题分析：()f x 的定义域为()()10,,'f x ax b x+∞=--，由()'00f =，得1b a =-，所以()()()11'ax x f x x+-=.①若0a ≥，由()'0f x =，得1x =，当01x <<时，()'0f x >，此时()f x单调递增，当1x >时，()'0f x <，此时()f x 单调递减，所以1x =是()f x 的极大值点；②若0a <，由()'0f x =，得1x =或1x a=-.因为1x =是()f x 的极大值点，所以11a->，解得10a -<<，综合①②：a 的取值范围是1a >-，故答案为()1,-+∞. 考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数研究函数的极值. 三、解答题21．（110y --=，22(1)(1)2x y -+-=；（2）1.【解析】【分析】（1）利用代入法消去参数方程中的参数可求直线l 的普通方程，极坐标方程展开后，两边同乘以ρ，利用222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+== ，即可得曲线C 的直角坐标方程；（2）直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，利用韦达定理、直线参数方程的几何意义即可得结果.【详解】（1）将直线l 的参数方程消去参数t 并化简，得直线l 10y --=.将曲线C 的极坐标方程化为2sin 22ρθθ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭. 即22sin 2cos ρρθρθ=+.∴x 2+y 2=2y+2x.故曲线C 的直角坐标方程为()()22112x y -+-=.（2）将直线l 的参数方程代入()()22112x y -+-=中，得 2211222t ⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.化简，得(2130t t -++=.∵Δ>0，∴此方程的两根为直线l 与曲线C 的交点A ，B 对应的参数t 1，t 2.由根与系数的关系，得121t t +=，123t t =，即t 1，t 2同正.由直线方程参数的几何意义知,12121PA PB t t t t +=+=+=.【点睛】本题主要考查参数方程和普通方程的转化、极坐标方程和直角坐标方程的转化以及直线参数方程的应用，属于中档题. 消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法；极坐标方程化为直角坐标方程，只要将cos ρθ和sin ρθ换成x 和y 即可.22．(1) 通项公式为2n a = 或42n a n =-;(2) 当2n a = 时，不存在满足题意的正整数n ；当42n a n =- 时，存在满足题意的正整数n ，其最小值为41.【解析】【详解】（1）依题意，2,2,24d d ++成等比数列，故有()()22224d d +=+，∴240d d -=，解得4d =或0d =.∴()21442n a n n =+-⋅=-或2n a =.（2）当2n a = 时，不存在满足题意的正整数n ； 当42n a n =-，∴()224222n n n S n ⎡⎤+-⎣⎦==. 令2260800n n >+，即2304000n n -->，解得40n >或10n <-（舍去），∴最小正整数41n =.23．（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）7-【解析】【分析】（Ⅰ）由矩形ABCD 和菱形ABEF 所在的平面相互垂直，AD AB ⊥，进而证得AD ⊥平面ABEF ，证得AD AG ⊥，再根菱形ABEF 的性质，证得AG AF ⊥，利用线面垂直的判定定理，即可证得AG ⊥平面ADF .(Ⅱ) 由(Ⅰ)可知AD ，AF ，AG 两两垂直，以A 为原点，AG 为x 轴，AF 为y 轴，AD 为z 轴，建立空间直角坐标系，分别求得平面ACD 和平面ACG 一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.【详解】（Ⅰ）证明：∵矩形ABCD 和菱形ABEF 所在的平面相互垂直，AD AB ⊥， ∵矩形ABCD ⋂菱形ABEF AB =，∴AD ⊥平面ABEF ，∵AG ⊂平面ABEF ，∴AD AG ⊥，∵菱形ABEF 中，ABE 60∠=︒，G 为BE 的中点，∴AG BE ⊥，∴AG AF ⊥， ∵AD AF A ⋂=，∴AG ⊥平面ADF .(Ⅱ) 由(Ⅰ)可知AD ，AF ，AG 两两垂直，以A 为原点，AG 为x 轴，AF 为y 轴，AD 为z 轴，建立空间直角坐标系， ∵AB 3=，BC 1=，则AD 1=，3AG 2=， 故()A 000，，，33C 12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，，()D 001，，，3A 002⎛⎫ ⎪⎝⎭，，， 则33122AC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，，，()001AD =u u u r ，，，3002AG u u u r ，，⎛⎫= ⎪⎝⎭， 设平面ACD 的法向量()1111n x y z =u r ，，，则11111133·02·0AC n x y z AD n z ⎧=-+=⎪⎨⎪==⎩u u u r u r u u u r u r ， 取13y =，得()1130n u r ，，=， 设平面ACG 的法向量()2222n x y z =u u r ，，，则22222233·10223·02AC n x y z AG n x ⎧=-+=⎪⎪⎨⎪==⎪⎩u u u r u u r u u u r u u r ， 取22y =，得()2023n u u r ，，=， 设二面角D CA G --的平面角为θ，则1212|?|2321cos θ27·n n n n ===⨯u r u u u r u r u u r ， 由图可知θ为钝角，所以二面角D CA G --的余弦值为21- . 【点睛】本题考查了立体几何中的线面垂直的判定与证明和直线与平面所成的角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.24．（Ⅰ）0.55；（Ⅱ）详见解析【解析】【分析】【详解】解：（I ）设甲胜A 的事件为D ，乙胜B 的事件为E ，丙胜C 的事件为F ，则,,D E F 分别表示甲不胜A 、乙不胜B ，丙不胜C 的事件．因为()0.6,()0.5,()0.5===P D P E P F ，()0.4,()0.5,()0.5∴===P D P E P F ．红队至少两人获胜的事件有：,,,DEF DEF DEF DEF ，由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率 ()()()()0.60.50.50.60.50.50.40.50.50.60.50.50.55P P DEF P DEF P DEF P DEF =+++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=（II ）由题意知ξ可能的取值为0，1，2，3． 又由（I ）知,,DEF DEF DEF 是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立， 因此(0)()0.40.50.50.1P P DEF ξ===⨯⨯=，(1)()()()ξ==++P P DEF P DEF P DEF(1)0.40.50.50.40.50.50.60.50.50.35ξ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=P (3)()0.60.50.50.15P P DEF ξ===⨯⨯=，由对立事件的概率公式得(2)1[(0)(1)(3)]0.4.P P P P ξξξξ==-=+=+== 所以ξ的分布列为：因此25．（Ⅰ）4,03⎛⎫-⎪⎝⎭；（Ⅱ）4m ≥ 【解析】试题分析：（1）当m=5时，把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（2）由二次函数y=x 2+2x+3=（x+1）2+2在x=﹣1取得最小值2，f （x ）在x=﹣1处取得最大值m ﹣2，故有m ﹣2≥2，由此求得m 的范围．试题解析： （1）当5m =时，()()()()521311521x x f x x x x ⎧+<-⎪=-≤≤⎨⎪->⎩，由()2f x >得不等式的解集为3322x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭. （2）由二次函数()222312y x x x =++=++，知函数在1x =-取得最小值2，因为()()()()2121121m x x f x m x m x x ⎧+<-⎪=--≤≤⎨⎪->⎩，在1x =-处取得最大值2m -，所以要是二次函数223y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点.只需22m -≥，即4m ≥.。
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2019-2020高考数学第一次模拟试卷含答案一、选择题1．已知2a ib i i+=+ ，,a b ∈R ，其中i 为虚数单位，则+a b =（ ） A ．-1B ．1C ．2D ．32．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为A ．甲、乙、丙B ．乙、甲、丙C ．丙、乙、甲D ．甲、丙、乙3．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为 A ．23 B ．35C ．25D ．154．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ()0,0A ω>>的图象与直线()0y a a A =<<的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8，则()f x 的单调递减区间是（ ）A ．[]6,63k k ππ+，k Z ∈B ．[]63,6k k ππ-，k Z ∈C ．[]6,63k k +，k Z ∈D ．[]63,6k k -，k Z ∈5．一个容量为80的样本中数据的最大值是140,最小值是51,组距是10,则应将样本数据分为( ) A ．10组 B ．9组 C ．8组 D ．7组 6．若()34i x yi i +=+,,x y R ∈,则复数x yi +的模是 （ ）A ．2B ．3C ．4D ．57．设i 为虚数单位，复数z 满足21ii z=-，则复数z 的共轭复数等于（ ） A ．1-i B ．-1-i C ．1+i D ．-1+i 8．若奇函数()f x 在[1,3]上为增函数，且有最小值0，则它在[3,1]--上 （ ）A ．是减函数，有最小值0B ．是增函数，有最小值0C ．是减函数，有最大值0D ．是增函数，有最大值09．若干年前，某教师刚退休的月退休金为6000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（ ）.A ．6500元B ．7000元C ．7500元D ．8000元10．已知i 为虚数单位，复数z 满足(1)i z i +=，则z =（ ） A ．14B ．12C ．22D ．211．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的焦距为2c ，焦点到双曲线C 的渐近线的距离为3c ，则双曲线的渐近线方程为（） A ．3y x =±B ．2y x =±C ．y x =±D ．2y x =±12．已知非零向量AB u u u v 与AC u u uv 满足0AB AC BC AB AC ⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭u u u v u u u vu u u v u u u v u u u v 且12AB AC AB AC ⋅=u u u v u u u v u u u v u u u v ，则ABC V 的形状是（ ） A ．三边均不相等的三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形D ．以上均有可能二、填空题13．曲线21y x x=+在点（1，2）处的切线方程为______________． 14．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3A π=，3a =，b=1,则c =_____________15．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，3c =，2C B =，则ABC V 的面积为______．16．371()x x+的展开式中5x 的系数是 .（用数字填写答案）17．等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C AB D --的余弦值为3，M N ，分别是AC BC ，的中点，则EM AN ，所成角的余弦值等于 ． 18．已知直线：与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点.则_________.19．如图，已知P 是半径为2，圆心角为3π的一段圆弧AB 上一点，2A B B C =u u u v u u u v ，则PC PA ⋅u u u v u u u v的最小值为_______．20．已知集合P中含有0,2,5三个元素,集合Q 中含有1,2,6三个元素,定义集合P+Q 中的元素为a+b ,其中a ∈P ,b ∈Q ,则集合P+Q 中元素的个数是_____.三、解答题21．已知数列{}n a 满足1112,22n n n a a a ++==+. （1）设2nn na b =，求数列{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ； （3）记()()211422nnn n n nn c a a +-++=，求数列{}n c 的前n 项和n T .22．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC ⋅=u u u r u u u r，1cos 3B =，3b =，求：（1）a 和c 的值； （2）cos()B C -的值.23．已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ=2,ρ2-2ρcos(θ-)=2.(1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程. (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.24．如图，矩形ABCD 和菱形ABEF 所在的平面相互垂直，ABE 60∠=︒，G 为BE 的中点.(Ⅰ)求证：AG ⊥平面ADF ；(Ⅱ) 求AB 3=BC 1=，求二面角D CA G --的余弦值. 25．某公司培训员工某项技能，培训有如下两种方式： 方式一：周一到周五每天培训1小时，周日测试 方式二：周六一天培训4小时，周日测试公司有多个班组，每个班组60人，现任选两组(记为甲组、乙组)先培训；甲组选方式一，乙组选方式二，并记录每周培训后测试达标的人数如表：()1用方式一与方式二进行培训，分别估计员工受训的平均时间(精确到0.1)，并据此判断哪种培训方式效率更高？()2在甲乙两组中，从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人来自甲组的概率．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】利用复数除法运算法则化简原式可得2ai b i-=+，再利用复数相等列方程求出,a b的值，从而可得结果.【详解】因为22222a i ai iai b ii i+--==-=+-，,a b∈R，所以2211b ba a==⎧⎧⇒⎨⎨-==-⎩⎩，则+1a b=，故选B.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.2．A解析：A【解析】【分析】利用逐一验证的方法进行求解.【详解】若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A ． 【点睛】本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查．3．B解析：B 【解析】 【分析】本题首先用列举法写出所有基本事件，从中确定符合条件的基本事件数，应用古典概率的计算公式求解． 【详解】设其中做过测试的3只兔子为,,a b c ，剩余的2只为,A B ，则从这5只中任取3只的所有取法有{,,},{,,},{,,},{,,},{,,},{,,}a b c a b A a b B a c A a c B a A B ，{,c,},{,c,},{b,,},{c,,}b A b B A B A B 共10种．其中恰有2只做过测试的取法有{,,},{,,},{,,},{,,},a b A a b B a c A a c B {,c,},{,c,}b A b B 共6种，所以恰有2只做过测试的概率为63105=，选B ． 【点睛】本题主要考查古典概率的求解，题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．应用列举法写出所有基本事件过程中易于出现遗漏或重复，将兔子标注字母，利用“树图法”，可最大限度的避免出错．4．D解析：D 【解析】 【详解】由题设可知该函数的最小正周期826T =-=，结合函数的图象可知单调递减区间是2448[6,6]()22k k k Z ++++∈，即[36,66]()k k k Z ++∈，等价于[]63,6k k -，应选答案D ．点睛：解答本题的关键是充分利用题设中的有效信息“函数()()sin f x A x ωϕ=+(0,0)A ω>>的图象与直线(0)y a a A =<<的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8”．结合图像很容易观察出最小正周期是826T =-=，进而数形结合写出函数的单调递减区间，从而使得问题获解．5．B解析：B由题意知，(14051)108.9-÷=，所以分为9组较为恰当，故选B.6．D解析：D 【解析】试题分析：根据题意可知34xi y i -=+，所以有3{4y x =-=，故所给的复数的模该为5，故选D.考点：复数相等，复数的模.7．B解析：B 【解析】 【分析】利用复数的运算法则解得1i z =-+，结合共轭复数的概念即可得结果. 【详解】 ∵复数z 满足21ii z=-，∴()()()2121111i i i z i i i i +===---+， ∴复数z 的共轭复数等于1i --，故选B. 【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】因为()f x 为奇函数，且在[1,3]上为增函数，且有最小值0， 所以()f x 在[3,1]--上为增函数，且有最大值0，选D.9．D解析：D 【解析】 【分析】设目前该教师的退休金为x 元，利用条形图和折线图列出方程，求出结果即可． 【详解】设目前该教师的退休金为x 元，则由题意得：6000×15%﹣x×10%＝100．解得x ＝8000． 故选D ． 【点睛】本题考查由条形图和折线图等基础知识解决实际问题，属于基础题．解析：C 【解析】由题得(1)11112222i i i i z i z i -+====+∴==+故选C. 11．A解析：A 【解析】 【分析】利用双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>，求出a ，b 的关系式，然后求解双曲线的渐近线方程． 【详解】双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的焦点(),0c 到渐近线0bx ay +=，可得：=，可得2b c =，ba =C的渐近线方程为y =．故选A ． 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，构建出,a b 的关系是解题的关键，考查计算能力，属于中档题.12．C解析：C 【解析】 【分析】AB AB u u u v u u u v 和AC AC u u u vu u uv 分别表示向量AB u u u v 和向量AC u u u v 方向上的单位向量，0AB AC BC AB AC ⎛⎫⎪+⋅=⎪⎝⎭u u u v u u u vu u u v u u u v u u u v 表示A ∠平分线所在的直线与BC 垂直，可知ABC V 为等腰三角形，再由12AB AC AB AC ⋅=u u u v u u u v u u uv u u u v 可求出A ∠，即得三角形形状。