北京市延庆县第三协作区2015_2016学年九年级数学上学期期中试题(含解析)新人教版
北京市延庆县2016届九年级数学上册期末考试题
2015-2016学年北京市延庆县九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．⊙O的半径为R，点P到圆心O的距离为d，并且d≥R，则P点( )A．在⊙O内或⊙O上 B．在⊙O外 C．在⊙O上 D．在⊙O外或⊙O上2．把10cm长的线段进行黄金分割，则较长线段的长（≈2.236，精确到0.01）是( ) A．3.09cm B．3.82cm C．6.18cm D．7.00cm3．如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB、AC相交于点D、E，若AD=4，DB=2，则AE：EC的值为( )A．0.5 B．2 C．D．4．反比例函数y=的图象如图所示，则k的值可能是( )A．B．1 C．2 D．﹣15．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，那么AB的长为( )A．sinA B．cosA C．D．6．如图，正三角形ABC内接于圆O，动点P在圆周的劣弧AB上，且不与A，B重合，则∠BPC等于( )A．30°B．60°C．90°D．45°7．抛物线y=x2的图象向左平移2个单位，在向下平移1个单位，得到的函数表达式为( )A．y=x2+2x+1 B．y=x2+2x﹣2 C．y=x2﹣2x﹣1 D．y=x2﹣2x+18．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确的结论有( )A．2个B．3个C．4个D．5个9．如图所示，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上的一点，AE⊥EF，下列结论：①∠BAE=30°；②CE2=AB•CF；③CF=FD；④△ABE∽△AEF．其中正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图所示，已知△ABC中，BC=8，BC上的高h=4，D为BC上一点，EF∥BC，交AB 于点E，交AC于点F（EF不过A、B），设E到BC的距离为x．则△DEF的面积y关于x 的函数的图象大致为( )A．B．C．D．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．若，则=__________．12．两个相似多边形相似比为1：2，且它们的周长和为90，则这两个相似多边形的周长分别是__________，__________．13．已知扇形的面积为15πcm2，半径长为5cm，则扇形周长为__________cm．14．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，则以2.5为半径的⊙C与直线AB的位置关系是__________．15．请选择一组你喜欢的a、b、c的值，使二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象同时满足下列条件：①开口向下；②当x＜2时，y随x的增大而增大；当x＞2时，y随x的增大而减小．这样的二次函数的解析式可以是__________．16．如图，正方形OABC，ADEF的顶点A、D、C在坐标轴上，点F在AB 上，点B、E 在函数（x＞0）的图象上，若阴影部分的面积为12﹣，则点E的坐标是__________．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．计算：．18．如图：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8，∠B=60°，解直角三角形．19．已知反比例函数图象的两个分支分别位于第一、第三象限．（1）求k的取值范围；（2）取一个你认为符合条件的K值，写出反比例函数的表达式，并求出当x=﹣6时反比例函数y的值．20．已知圆内接正三角形的边心距为2cm，求它的边长．21．已知：如图，D是BC上一点，△ABC∽△ADE，求证：∠1=∠2=∠3．22．如图，A、B两座城市相距100千米，现计划在两城市间修筑一条高速公路（即线段AB）．经测量，森林保护区中心P点既在A城市的北偏东30°的方向上，又在B城市的南偏东45°的方向上．已知森林保护区的范围是以P为圆心，35千米为半径的圆形区域内．请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越森林保护区？请通过计算说明．（参考数据：≈1.732，≈1.414）23．如图，AB是⊙O的直径，CB是弦，OD⊥CB于E，交劣弧CB于D，连接AC．（1）请写出两个不同的正确结论；（2）若CB=8，ED=2，求⊙O的半径．24．密苏里州圣路易斯拱门是座雄伟壮观的抛物线形的建筑物，是美国最高的独自挺立的纪念碑，如图．拱门的地面宽度为200米，两侧距地面高150米处各有一个观光窗，两窗的水平距离为100米，求拱门的最大高度．25．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB的延长线上的一点，AE⊥DC 交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．求证：DE是⊙O的切线．26．已知：抛物线y=x2+bx+c经过点（2，﹣3）和（4，5）．（1）求抛物线的表达式及顶点坐标；（2）将抛物线沿x轴翻折，得到图象G，求图象G的表达式；（3）在（2）的条件下，当﹣2＜x＜2时，直线y=m与该图象有一个公共点，求m的值或取值范围．27．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：（1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？（2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．28．（1）探究新知：如图1，已知△ABC与△ABD的面积相等，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由．（2）结论应用：①如图2，点M，N在反比例函数y=（k＞0）的图象上，过点M作ME⊥y轴，过点N作NF⊥x轴，垂足分别为E，F，试证明：MN∥EF；②若①中的其他条件不变，只改变点M，N的位置如图3所示，请判断MN与EF是否平行．29．设a，b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当m≤x≤n 时，有m≤y≤n，我们就称此函数是闭区间[m．n]上的“闭函数”．如函数y=﹣x+4，当x=1时，y=3；当x=3时，y=1，即当1≤x≤3时，有1≤y≤3，所以说函数y=﹣x+4是闭区间[1，3]上的“闭函数”．（1）反比例函数y=是闭区间[1，2016]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；（2）若二次函数y=x2﹣2x﹣k是闭区间[1，2]上的“闭函数”，求k的值；（3）若一次函数y=kx+b（k≠0）是闭区间[m，n]上的“闭函数”，求此函数的表达式（用含m，n的代数式表示）．2015-2016学年北京市延庆县九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．⊙O的半径为R，点P到圆心O的距离为d，并且d≥R，则P点( )A．在⊙O内或⊙O上 B．在⊙O外 C．在⊙O上 D．在⊙O外或⊙O上【考点】点与圆的位置关系．【分析】根据点与圆的位置关系进行判断．【解答】解：∵d≥R，∴点P在⊙O上或点P在⊙O外．故选D．【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d=r点P在圆内⇔d＜r．2．把10cm长的线段进行黄金分割，则较长线段的长（≈2.236，精确到0.01）是( ) A．3.09cm B．3.82cm C．6.18cm D．7.00cm【考点】黄金分割．【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．【解答】解：根据题意得：较长线段的长是10×=10×0.618=6.18cm．故选C．【点评】此题考查了黄金分割点的概念，熟记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的，较长的线段=原线段的是本题的关键．3．如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB、AC相交于点D、E，若AD=4，DB=2，则AE：EC的值为( )A．0.5 B．2 C．D．【考点】平行线分线段成比例．【专题】几何图形问题．【分析】首先由DE∥BC可以得到AD：DB=AE：EC，而AD=4，DB=2，由此即可求出AE：EC的值．【解答】解：∵DE∥BC，∴AD：DB=AE：EC，而AD=4，DB=2，∴AE：EC=AD：DB=4：2=2．故选B．【点评】本题主要考查平行线分线段成比例定理，有的同学因为没有找准对应关系，从而导致错选其他答案．4．反比例函数y=的图象如图所示，则k的值可能是( )A．B．1 C．2 D．﹣1【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】根据函数所在象限和反比例函数上的点的横纵坐标的积小于1判断．【解答】解：∵反比例函数在第一象限，∴k＞0，∵当图象上的点的横坐标为1时，纵坐标小于1，∴k＜1，故选A．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，用到的知识点为：反比例函数图象在第一象限，比例系数大于0；比例系数等于在它上面的点的横纵坐标的积．5．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，那么AB的长为( )A．sinA B．cosA C．D．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，可得答案．【解答】解：Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，得sinA=．AB==，故选：D．【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．6．如图，正三角形ABC内接于圆O，动点P在圆周的劣弧AB上，且不与A，B重合，则∠BPC等于( )A．30°B．60°C．90°D．45°【考点】圆周角定理；等边三角形的性质．【专题】压轴题；动点型．【分析】由等边三角形的性质知，∠A=60°，即弧BC的度数为60°，可求∠BPC=60°．【解答】解：∵△ABC正三角形，∴∠A=60°，∴∠BPC=60°．故选B．【点评】本题利用了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．和等边三角形的性质求解．7．抛物线y=x2的图象向左平移2个单位，在向下平移1个单位，得到的函数表达式为( )A．y=x2+2x+1 B．y=x2+2x﹣2 C．y=x2﹣2x﹣1 D．y=x2﹣2x+1【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【解答】解：根据“上加下减，左加右减”的原则可知，二次函数y=x2的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到的图象表达式为y=（x+2）2﹣1，即y=x2+2x+1．故选A．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．8．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确的结论有( )A．2个B．3个C．4个D．5个【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】压轴题；数形结合．【分析】观察图象：开口向下得到a＜0；对称轴在y轴的右侧得到a、b异号，则b＞0；抛物线与y轴的交点在x轴的上方得到c＞0，所以abc＜0；当x=﹣1时图象在x轴下方得到y=a﹣b+c=0，即a+c=b；对称轴为直线x=1，可得x=2时图象在x轴上方，则y=4a+2b+c＞0；利用对称轴x=﹣=1得到a=﹣b，而a﹣b+c＜0，则﹣b﹣b+c＜0，所以2c＜3b；开口向下，当x=1，y有最大值a+b+c，得到a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞m（am+b）（m≠1）．【解答】解：开口向下，a＜0；对称轴在y轴的右侧，a、b异号，则b＞0；抛物线与y轴的交点在x轴的上方，c＞0，则abc＜0，所以①不正确；当x=﹣1时图象在x轴下方，则y=a﹣b+c=0，即a+c=b，所以②不正确；对称轴为直线x=1，则x=2时图象在x轴上方，则y=4a+2b+c＞0，所以③正确；x=﹣=1，则a=﹣b，而a﹣b+c=0，则﹣b﹣b+c=0，2c=3b，所以④不正确；开口向下，当x=1，y有最大值a+b+c；当x=m（m≠1）时，y=am2+bm+c，则a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞m（am+b）（m≠1），所以⑤正确．故选：A．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，当a＞0，开口向上，函数有最小值，a＜0，开口向下，函数有最大值；对称轴为直线x=﹣，a与b同号，对称轴在y轴的左侧，a与b异号，对称轴在y轴的右侧；当c＞0，抛物线与y轴的交点在x轴的上方；当△=b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点．9．如图所示，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上的一点，AE⊥EF，下列结论：①∠BAE=30°；②CE2=AB•CF；③CF=FD；④△ABE∽△AEF．其中正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．【分析】由正方形的性质和三角函数得出∠BAE＜30°，①不正确；由题中条件可得△CEF∽△BAE，进而得出对应线段成比例，得出②正确，CF=FD，③不正确；进而又可得出△ABE∽△AEF，得出④正确，即可得出题中结论．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CAD，∠B=∠C=∠D=90°，∵E是BC的中点，∴BE=CE=BC=AB，∵AE＞AB，∴sin∠BAE=＜，∴∠BAE＜30°，①不正确；∵AE⊥EF，∴∠BAE=∠CEF，∴△CEF∽△BAE，∴==，∴CE•BE=AB•CF，CF=BE=CD，∵BE=CE，CF=FD，∴CE2=AB•CF，②正确，③不正确；由△CEF∽△BAE可得，∴∠EAF=∠BAE的正切值相同，∴∠EAF=∠BAE，又∠B=∠C=90°．∴△ABE∽△AEF，∴④正确；正确的有2个，故选：B．【点评】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定及性质、三角函数；熟练掌握正方形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．10．如图所示，已知△ABC中，BC=8，BC上的高h=4，D为BC上一点，EF∥BC，交AB 于点E，交AC于点F（EF不过A、B），设E到BC的距离为x．则△DEF的面积y关于x 的函数的图象大致为( )A．B．C．D．【考点】函数的图象；相似三角形的判定与性质．【专题】压轴题．【分析】可过点A向BC作AH⊥BC于点H，所以根据相似三角形的性质可求出EF，进而求出函数关系式，由此即可求出答案．【解答】解：过点A向BC作AH⊥BC于点H，所以根据相似比可知：，即EF=2（4﹣x）所以y=×2（4﹣x）x=﹣x2+4x．故选D．【点评】考查根据几何图形的性质确定函数的图象和函数图象的读图能力．要能根据几何图形和图形上的数据分析得出所对应的函数的类型和所需要的条件，结合实际意义画出正确的图象．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．若，则=．【考点】比例的性质．【专题】计算题．【分析】根据已知条件，可得出a和b的值，代入原式即可得出结果．【解答】解：根据题意，得a=，b=，则==，故填．【点评】考查了比例的基本性质及其灵活运用．12．两个相似多边形相似比为1：2，且它们的周长和为90，则这两个相似多边形的周长分别是30，60．【考点】相似多边形的性质．【分析】根据相似多边形的周长之比等于相似比，求出两个多边形的周长比，根据题意列出方程，解方程即可．【解答】解：∵两个相似多边形相似比为1：2，∴两个相似多边形周长比为1：2，设较小的多边形的周长为x，则较大的多边形的周长为x，由题意得，x+2x=90，解得，x=30，则2x=60，故答案为：30；60．【点评】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的周长之比等于相似比是解题的关键．13．已知扇形的面积为15πcm2，半径长为5cm，则扇形周长为6π+10cm．【考点】扇形面积的计算．【分析】根据扇形的面积公式求出扇形弧长，根据扇形周长公式计算即可．【解答】解：由扇形的面积公式S=lr，得，l==6πcm，则扇形周长=（6π+10）cm，故答案为：6π+10．=lR（其中l为扇形的弧长）是解题【点评】本题考查的是扇形的面积的计算，掌握S扇形的关键．14．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，则以2.5为半径的⊙C与直线AB的位置关系是相交．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】过C作CD⊥AB于D，根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式求出CD，得出d＜r，根据直线和圆的位置关系即可得出结论．【解答】解：以2.5为半径的⊙C与直线AB的位置关系是相交；理由如下：过C作CD⊥AB于D，如图所示：∵在Rt△ABC中，∠C=90，AC=4，BC=3，∴由勾股定理得：AB==5，∵△ABC的面积=AC×BC=AB×CD，∴3×4=5CD，∴CD=2.4＜2.5，即d＜r，∴以2.5为半径的⊙C与直线AB的关系是相交，故答案为：相交．【点评】本题考查了勾股定理，三角形的面积，直线和圆的位置关系的应用；解此题的关键是能正确作出辅助线，并进一步求出CD的长，注意：直线和圆的位置关系有：相离，相切，相交．15．请选择一组你喜欢的a 、b 、c 的值，使二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象同时满足下列条件：①开口向下；②当x ＜2时，y 随x 的增大而增大；当x ＞2时，y 随x 的增大而减小．这样的二次函数的解析式可以是y=﹣x 2+4x ．【考点】待定系数法求二次函数解析式．【专题】压轴题；开放型．【分析】根据①的条件可知：a ＜0；根据②的条件可知：抛物线的对称轴为x=2；满足上述条件的二次函数解析式均可．【解答】解：由①知：a ＜0；由②知：抛物线的对称轴为x=2；可设抛物线的解析式为y=a （x ﹣2）2+h （a ＜0）；当a=﹣1，h=4时，抛物线的解析式为y=﹣（x ﹣2）2+4=﹣x 2+4x ．（答案不唯一）【点评】本题是一个开放性题目，主要考查二次函数的性质及解析式的求法．本题比较灵活，培养学生灵活运用知识的能力．16．如图，正方形OABC ，ADEF 的顶点A 、D 、C 在坐标轴上，点F 在AB 上，点B 、E 在函数（x ＞0）的图象上，若阴影部分的面积为12﹣，则点E 的坐标是（+1，﹣1）．【考点】反比例函数系数k 的几何意义．【专题】计算题．【分析】根据反比例函数系数k 的几何意义得到S 正方形OABC =S 正方形ODEG =4，则S 矩形BCGF =S正方形ADEF ，所以S 正方形ADEF =6﹣2，利用正方形的性质可计算出正方形的边长AD=DE==﹣1，则E 点的纵坐标为﹣1，然后利用反比例函数图象上点的坐标特征可确定E 点坐标．【解答】解：∵四边形OABC ，ADEF 为正方形，∴S 正方形OABC =S 正方形ODEG =4，∴S 矩形BCGF =S 正方形ADEF ，而阴影部分的面积为12﹣，∴S 正方形ADEF =6﹣2，∴AD=DE==﹣1，当y=﹣1时，x==+1，∴E 点坐标为（+1，﹣1）． 故答案为（+1，﹣1）．【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．计算：．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】分别把sin30°=，cos45°=，tan60°=代入计算即可．【解答】解：原式=4×﹣×+=2﹣1+3=4．【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握二次根式等考点的运算．18．如图：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8，∠B=60°，解直角三角形．【考点】解直角三角形．【分析】根据三角形的内角和求出∠A，再根据正弦定理求出AB，最后根据勾股定理即可求出AC．【解答】解：∵∠C=90°，∠B=60°，∴∠A=30°，∴sinA===，∴AB=16，∴AC===8．【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．解直角三角形要用到的关系：锐角直角的关系：∠A+∠B=90°；三边之间的关系：a2+b2=c2；边角之间的关系：锐角三角函数关系．19．已知反比例函数图象的两个分支分别位于第一、第三象限．（1）求k的取值范围；（2）取一个你认为符合条件的K值，写出反比例函数的表达式，并求出当x=﹣6时反比例函数y的值．【考点】反比例函数的性质．【分析】（1）由反比例函数图象过第一、三象限，得到反比例系数k﹣1大于0，列出关于k 的不等式，求出不等式的解集得到k的范围；（2）根据k的取值范围取k=2，得到y=，代入x=﹣6，求得即可．【解答】解：（1）∵反比例函数图象两支分别位于第一、三象限，∴k﹣1＞0，解得：k＞1；（2）∵k＞1，∴取k=2，在反比例函数的表达式为y=，把x=﹣6代入得，y==﹣．【点评】此题考查了反比例函数的性质．反比例函数y=（k≠0），当k＞0时函数图象位于第一、三象限；当k＜0时，函数图象位于第二、四象限．20．已知圆内接正三角形的边心距为2cm，求它的边长．【考点】正多边形和圆．【分析】如图，作辅助线；求出∠AOC=60°，借助直角三角形的边角关系求出AC的长，即可解决问题．【解答】解：如图，连接OA、OB；∵AB为⊙O的内接正三角形的一边，OC⊥AB于点C；∴∠AOB==120°；∵OA=OB，∴∠AOC=∠AOB=60°，AC=BC；∵tan60°=，而OC=2，∴AC=2，AB=4（cm）．【点评】该题主要考查了正多边形和圆的性质及其应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．21．已知：如图，D是BC上一点，△ABC∽△ADE，求证：∠1=∠2=∠3．【考点】相似三角形的性质．【分析】由相似三角形的性质易证∠1=∠2，再由三角形内角和定理易证∠2=∠3，进而可证明∠1=∠2=∠3．【解答】证明：∵△ABC∽△ADE，∴∠C=∠E，∠BAC=∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，即∠1=∠2，在△AOE和△DOC中，∠E=∠C，∠AOE=∠DOC（对顶角相等），∴∠2=∠3，∴∠1=∠2=∠3．【点评】本题考查了相似三角形的性质，熟记相似三角形的各种性质是解题关键．22．如图，A、B两座城市相距100千米，现计划在两城市间修筑一条高速公路（即线段AB）．经测量，森林保护区中心P点既在A城市的北偏东30°的方向上，又在B城市的南偏东45°的方向上．已知森林保护区的范围是以P为圆心，35千米为半径的圆形区域内．请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越森林保护区？请通过计算说明．（参考数据：≈1.732，≈1.414）【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．【分析】过点P作PC⊥AB，C是垂足．AC与BC就都可以根据三角函数用PC表示出来．根据AB的长，得到一个关于PC的方程，解出PC的长．从而判断出这条高速公路会不会穿越森林保护区．【解答】解：过点P作PC⊥AB，C是垂足，则∠A=30°，∠B=45°，AC==PC，BC==PC．∵AC+BC=AB，∴PC+PC=100，∴PC=50（﹣1）≈50×（1.732﹣1）=36.6＞35．答：森林保护区的中心与直线AB的距离大于保护区的半径，所以计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区．【点评】本题主要考查解直角三角形的应用﹣方向角问题，解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．23．如图，AB是⊙O的直径，CB是弦，OD⊥CB于E，交劣弧CB于D，连接AC．（1）请写出两个不同的正确结论；（2）若CB=8，ED=2，求⊙O的半径．【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】（1）根据直角所对的圆周角是直角、垂径定理写出结论；（2）根据勾股定理求出DE的长，设⊙O的半径为R，根据勾股定理列出关于R的方程，解方程得到答案．【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠C=90°，∵OD⊥CB，∴CE=BE，=，则三个不同类型的正确结论：∠C=90°；CE=BE；=；（2）∵OD⊥CB，∴CE=BE=BC=4，又DE=2，∴OE2=OB2﹣BE2，设⊙O的半径为R，则OE=R﹣2，∴R2=（R﹣2）2+42，解得R=5．答：⊙O的半径为5．【点评】本题考查的是垂径定理和勾股定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．24．密苏里州圣路易斯拱门是座雄伟壮观的抛物线形的建筑物，是美国最高的独自挺立的纪念碑，如图．拱门的地面宽度为200米，两侧距地面高150米处各有一个观光窗，两窗的水平距离为100米，求拱门的最大高度．【考点】二次函数的应用；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式．【分析】因为拱门是抛物线形的建筑物，所以符合抛物线的性质，以CD的中垂线为y轴，CD所在的直线为x轴，可列出含有未知量的抛物线解析式，由A、B的坐标可求出抛物线的解析式，然后就变成求抛物线的顶点坐标的问题．【解答】解：如图所示建立平面直角坐标系，此时，抛物线与x轴的交点为C（﹣100，0），D（100，0），设这条抛物线的解析式为y=a（x﹣100）（x+100），∵抛物线经过点B（50，150），可得150=a（50﹣100）（50+100）．解得，∴．即抛物线的解析式为，顶点坐标是（0，200）∴拱门的最大高度为200米．【点评】本题考查的二次函数在实际生活中的应用，根据题意正确的建立坐标轴可使问题简单化，数形结合，很基础的二次函数问题．25．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB的延长线上的一点，AE⊥DC 交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．求证：DE是⊙O的切线．【考点】切线的判定；平行线的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质．【专题】证明题．【分析】连接0C，根据等腰三角形的性质和角平分线性质求出∠EAC=∠ACO，推出OC∥AE，推出OC⊥ED即可．【解答】证明：连接0C，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵AC平分∠EAB，∴∠EAC=∠OAC，则∠OCA=∠EAC，∴OC∥AE，∵AE⊥DE，∴OC⊥DE，∴DE是⊙O的切线．【点评】本题主要考查对平行线的性质和判定，等腰三角形的性质，切线的判定，角平分线性质等知识点的理解和掌握，能推出OC⊥ED是解此题的关键．26．已知：抛物线y=x2+bx+c经过点（2，﹣3）和（4，5）．（1）求抛物线的表达式及顶点坐标；（2）将抛物线沿x轴翻折，得到图象G，求图象G的表达式；（3）在（2）的条件下，当﹣2＜x＜2时，直线y=m与该图象有一个公共点，求m的值或取值范围．【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与几何变换．【分析】（1）直接把A、B两点的坐标代入y=x2+bx+c得到关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、c即可得到抛物线的解析式；利用配方法把解析式变形为顶点式，然后写出顶点坐标．（2）根据关于x轴对称的两点x坐标相同，y坐标互为相反数，即可求得图象G的表达式；（3）求得抛物线的顶点坐标和x=﹣2时的函数值，结合图象即可求得m的值．【解答】解：（1）根据题意得，解得，所以抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3．∵抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）．（2）根据题意，﹣y=x2﹣2x﹣3，所以y=﹣x2+2x+3．（3）∵抛物线y=x2﹣2x﹣3的顶点为（1，﹣4），当x=﹣2时，y=5，抛物线y=﹣x2+2x+3的顶点（1，4），当x=﹣2时，y=﹣5．∴当﹣2＜x＜2时，直线y=m与该图象有一个公共点，则4＜m＜5或﹣5＜m＜﹣4．【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征以及翻折的性质，（3）结合图象是解题的关键．27．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：（1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？（2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．【考点】相似三角形的判定；一元二次方程的应用；分式方程的应用；矩形的性质．【专题】压轴题；动点型．【分析】（1）关于动点问题，可设时间为x，根据速度表示出所涉及到的线段的长度，找到相等关系，列方程求解即可，如本题中利用，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的作为相等关系；（2）先假设相似，利用相似中的比例线段列出方程，有解的且符合题意的t值即可说明存在，反之则不存在．【解答】解：（1）设经过x秒后，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的，则有：（6﹣2x）x=×3×6，即x2﹣3x+2=0，解方程，得x1=1，x2=2，经检验，可知x1=1，x2=2符合题意，所以经过1秒或2秒后，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的．（2）假设经过t秒时，以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似，由矩形ABCD，可得∠CDA=∠MAN=90°，因此有或即①，或②解①，得t=；解②，得t=经检验，t=或t=都符合题意，所以动点M，N同时出发后，经过秒或秒时，以A，M，N为顶点的三角形与△ACD 相似．【点评】主要考查了相似三角形的判定，矩形的性质和一元二次方程的运用以及解分式方程．要掌握矩形和相似三角形的性质，才会灵活的运用．注意：一般关于动点问题，可设时间为x，根据速度表示出所涉及到的线段的长度，找到相等关系，列方程求解即可．28．（1）探究新知：如图1，已知△ABC与△ABD的面积相等，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由．（2）结论应用：①如图2，点M，N在反比例函数y=（k＞0）的图象上，过点M作ME⊥y轴，过点N作NF⊥x轴，垂足分别为E，F，试证明：MN∥EF；②若①中的其他条件不变，只改变点M，N的位置如图3所示，请判断MN与EF是否平行．【考点】反比例函数综合题．【专题】综合题；压轴题．【分析】（1）分别过点C，D，作CG⊥AB，DH⊥AB，垂足为G，H，根据CG∥DH，得到△ABC与△ABD同底，而两个三角形的面积相等，因而CG=DH，可以证明四边形CGHD 为平行四边形，∴AB∥CD．（2）判断MN与EF是否平行，根据（1）中的结论转化为证明S△EFM=S△EFN即可．【解答】解：（1）分别过点C，D，作CG⊥AB，DH⊥AB，垂足为G，H，则∠CGA=∠DHB=90°，∴CG∥DH∵△ABC与△ABD的面积相等∴CG=DH∴四边形CGHD为平行四边形∴AB∥CD．（2）①证明：连接MF，NE，设点M的坐标为（x1，y1），点N的坐标为（x2，y2），∵点M，N在反比例函数（k＞0）的图象上，∴x1y1=k，x2y2=k，∵ME⊥y轴，NF⊥x轴，∴OE=y1，OF=x2，∴S△EFM=x1•y1=k，。
北师大版九年级数学上-期中答案.docx
初中数学试卷桑水出品2015-2016学年第一学期九年级期中联考数学试卷答案三、解答题（本题共7小题，其中第17题5分，第18题8分，第19题8分，第20题6分，第21题8分，第22题8分，第23题9分，共52分） 17．（5分）解： a ＝4.b ＝-8,c ＝-1 ……………………………………………… 1’ ∵ b 2-4ac ＝(-8) 2-4×4×(-1)＝80＞0…………………………………………………… 2’∴x ＝a ac b b 242-±-＝4280)8(⨯±--＝252±……………….4’∴x 1＝252+ ,x 2＝252- …………………………………….5’18.（8分）解：（1）P(摸到红球)＝31…………………… ……2’ (2)………… 6’一共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，而两次取出相同颜色球的结果有3种，…∴P （两次取出相同颜色球）＝93＝31…… ……………… 8’19（8分） 证明：（1）∵四边形ABDE 是平行四边形（已知）， ∴AB ∥DE ，AB=DE （平行四边形的对边平行且相等）； ∴∠B=∠EDC （两直线平行，同位角相等）； 又∵AB=AC （已知）， ∴AC=DE （等量代换），∠B=∠ACB （等边对等角）， ∴∠EDC=∠ACD （等量代换）； ∵在△ADC 和△ECD 中，，∴△ADC ≌△ECD （SAS ）；(证得AC=DE 给2分，证得∠EDC=∠ACD 给2分，最后结论1分) （2）∵四边形ABDE 是平行四边形（已知），∴BD ∥AE ，BD=AE （平行四边形的对边平行且相等）， ∴AE ∥CD ； 又∵BD=CD ，∴AE=CD （等量代换），∴四边形ADCE 是平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）； 7’ 由（1）可知，AC=DE ，∴▱ADCE 是矩形． 8’ 20．（6分） .解：（1）画图略 2分（2）画图略 2分 坐标为（1,0） 1分 （3）面积10平方单位 1分21.（8分）解：设每件衬衫应降价x 元. 1’ 则依题意，得：（40-x ）（20+2x ）=1200， 5’整理，得2302000x x -+=，解得:1210,20x x ==. 7’∵商场要尽快减少库存， ∴只取x 2=20答：若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价20元． 8’22.（8分）（1）证明∵根据作法可知：MN是线段AD的垂直平分线，1’∴AE=DE，AF=DF，2’∴∠EAD=∠EDA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠EDA=∠CAD，∴DE∥AC，3’同理DF∥AE，∴四边形AEDF是平行四边形，4’∵AE=DE∴▱AEDF是菱形. 5’（2）解：∵▱AEDF是菱形.∴AE=DE=DF=AF，∵AF=4，∴AE=DE=DF=AF=4，6’∵DE∥AC，∴=，∵BD=6，AE=4，CD=3，∴=，∴BE=8，8’23.（9分）解：（1）∵矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上,∴BC∥x轴, BA∥y轴，∵BC∥x轴，点B的坐标为（2，3），∴BC=2，∵点D为BC的中点，∴CD=1，∴点D的坐标为（1，3），1’代入双曲线y=（x＞0）得k=1×3=3；2’∵BA∥y轴，∴点E的横坐标与点B的横坐标相等，为2，∵点E在双曲线y=3x上，∴y=∴点E的坐标为（2，）；3’（2）∵点E的坐标为（2，），B的坐标为（2，3），点D的坐标为（1，3），∴BD=1，BE=，BC=2当点F在点C的下方时，若△FBC∽△DEB，则即：∴FC=4 3∴OF=3-43=53∴点F1的坐标为（0，）4’设直线F1B的解析式y1=kx+b（k≠0）则解得：k=，b=∴直线F1B的解析式y1=2533x+5’若△FBC∽△E DB，则CF BC EB DB=即：2 31 2CF=∴FC=3∴OF=3-3=0∴点F2的坐标为（0，0）6’设直线F2B的解析式y2=mx（k≠0）则2m=3,解得：m=32，∴直线F2B的解析式y2=32x 7’当点F在点C上方时，同理可得：y3=21333x-+;y4=362x-+综上所述，直线FB的解析式有4种可能，分别是：y1=2533x+；y2=32x；y3=21333x-+;y4=362x-+9’。
2015-2016学年北京市延庆县初三一模数学试卷(含答案)
延庆区2016年毕业考试试卷初三数学一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．龙庆峡冰灯于2016年1月中旬接待游客。
今年的龙庆峡冰灯以奥运五环、冬奥会运动项目等奥运元素为题材，分为彩灯区、娱乐区、冰展区，总面积达到200 000平方米。
将200 000用科学记数法表示应为A ．20×104B ．0.20×106C ．2.0×106D ．2.0×1052. 如图，数轴上有A ，B ，C ，D 四个点，其中表示互为相反数的点是A ．点A 与点BB ．点A 与点DC ．点B 与点DD ．点B 与点C3．一个布袋里装有6个只有颜色不同的球，其中2个红球，4个白球．从布袋里任意摸 出1个球，则摸出的球是白球的概率为 A ．21B ．31C ．32 D ．61 4. 剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，是中心对称图形的为A ．B ．C ．D ． 5. 若分式21x x --的值为0，则x 的值为 A ． 1或2 B ．2C ．1D ．0 6．如图，在4×4的正方形网格中，tan α的值等于A ．2B ．12CD7. 已知如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E ,CD =6,AE则⊙O 的直径为A . 6B.8C.10D.12 8．若将抛物线y=12x 2先向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是A ．21(2)12y x =+- B ．21(2)12y x =-- C ．2(2)1y x =+- D ．1)2x (21y +-=9. 用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出A O B AOB '''∠=∠的依据是 A ．（SAS ） B ．（SSS ） C ．（AAS ） D ．（ASA ）10．如图，大小两个正方形在同一水平线上，小正方形从图①的位置开始，匀速向右平移，到图③的位置停止运动．如果设运动时间为x ，大小正方形重叠部分的面积为y ，则 下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是A B C D图③图②图①二、填空题（本题共18分, 每小题3分）11．分解因式：22an amn 2am +-= . 12.函数y =x 的取值范围是 .13. 《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为图方便，我们 把它改为横排，如图1、图2．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x ，y 的系数与相应的常数项．把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为： .14. 如图，AB ∥DC ，要使四边形ABCD 是平行四边形， 还需补充一个．．条件： .15. 关于x 的一元二次方程a x 2+bx +41=0有实数根，写出一组满足条件的实数a ，b 的值： a =______，b =______．16. 下面的图表是我国数学家发明的“杨辉三角”， 此图揭示了()na b +（n 为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律．请你观察，并根据此规律写出：（a+b ）7的展开式共有 项， na b +（）的展开式共有 项，各项的系数和．．．是 ．三、3219423x y x y ⎧⎨⎩+=+=共有5项共有3项共有2项共有4项各项系数和：4各项系数和：2各项系数和：8各项系数和：16(a+b)4 = a 4+4a 3b+6a 2b 2+4ab 3+b 4• • • • • • •(a+b)3=a 3+3a 2b+3ab 2+b 3• • • • • • •• • • • • • •(a+b)2=a 2+2ab+b 2(a+b)1=a+b • • • • • • •644113311211111四、解答题（本题共72分，第17—26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 17. 计算:1tan 602-+-18.已知：x 2-5x =6，请你求出代数式10x -2x 2+5的值．19. 解方程：542332x x x+=--20. 解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<-+≤+.321),2(542x x x x 把它的解集在数轴上表示出来，并求它的整数解.21. 已知：如图，菱形ABCD 中，过AD 的中点E 作AC 的垂线EF ，交AB 于点M ，交CB 的延长线于点F ．如果FB 的长是2，求菱形ABCD 的周长．22. 如图，点P （－3，1）是反比例函数my x=的图象上的 一点． （1）求该反比例函数的表达式； （2）设直线y kx =与双曲线m y x =的两个交点分别为P 和P′，当mx＜kx 时，直接写出x 的取值范围．23. 列方程或方程组解应用题：食品安全是老百姓关注的话题，在食品中添加过量的添加剂对人体有害，但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输．某饮料加工厂生产的A、B两种饮料均需加入同种添加剂，A饮料每瓶需加该添加剂2克，B饮料每瓶需加该添加剂3克，已知生产100瓶A、B两种饮料中，共添加270克该添加剂，问A、B两种饮料各生产了多少瓶？24.如图，甲船在港口P的南偏西60︒方向，距港口86海里的A处，沿AP方向以每小时15海里的速度匀速驶向港口P．乙船从港口P出发，沿南偏东45︒方向匀速驶离港口P，现两船同时出发，2小时后乙船在甲船的正东方向．求乙船的航行速度．（结果精1.4141.7322.236≈）A25. 已知：如图，AB为⊙O的直径，PA、PC是⊙O的切线，A、C为切点，∠BAC=30．（1）求∠P的大小；（2）若AB=6，求PA的长．26.阅读对人成长的影响是巨大的，一本好书往往能改变人的一生，每年的4月23日被联合国教科文组织确定为“世界读书日”．某校倡导学生读书，下面的表格是学生阅读课外书籍情况统计表，图1是该校初中三个年级学生人数分布的扇形统计图，其中八年级学生人数为204人，请你根据图表中提供的信息，解答下列问题：（1）求该校八年级学生的人数占全校学生总人数的百分比；（2）求表中a，b的值；（3）求该校学生平均每人读多少本课外书？27. 已知：抛物线y=x²+bx+c经过点A（2，-3）和B（4，5）. （1）求抛物线的表达式及顶点坐标；（2）将抛物线沿x轴翻折，得到图象G1，求图象G1的表达式；（3）设B点关于对称轴的对称点为E，抛物线G2:y＝ax2（a≠0）与线段EB恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围28. 在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ）和Q （x ，y ′），给出如下定义：如果()()0'0y x y y x ⎧⎪=⎨-⎪⎩≥＜，那么称点Q 为点P 的“妫川伴侣”． 例如：点（5，6）的“妫川伴侣”为点（5，6），点（－5，6）的“妫川伴侣” 为点（－5，－6）．（1）① 点（2，1）的“妫川伴侣”为 ；② 如果点A （3，－1），B （－1，3）的“妫川伴侣”中有一个在函数3y x=的图象上，那么这个点是 （填“点A ”或“点B ”）．（2）①点M *（－1，－2）的“妫川伴侣”点M 的坐标为 ；② 如果点N *（m +1，2）是一次函数y = x + 3图象上点N 的“妫川伴侣”， 求点N 的坐标．（3）如果点P 在函数24y x =-+（－2＜x ≤a ）的图象上，其“妫川伴侣”Q 的纵坐标y ′的取值范围是－4＜y ′≤4，那么实数a 的取值范围是 ．()图2图1A'B29. 阅读下面材料:小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC （其中∠BAC 是一个可以变化的角）中，AB =2，AC =4，以BC 为边在BC 的下方作等边△PBC ，求AP 的最大值。
2015-2016学年北京XX中学九年级上期中数学试卷含答案
（2）以坐标原点 O 为位似中心，在第二象限内再画一个放大的△A2B2C2，使得它与△ABC 的位似比等于 2：1．
21．如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，D、E 分别为 AB、AC 边上的点，且 = ，连结 DE．若 AC=3，AB=5．求证： （1）△ABC∽△AED； （2）DE⊥AB．
A．2：1 B．1：2 C．4：1 D．1：4
3．如图，D 是△ABC 的边 AC 上的一点，则下列条件中不能判定△ABC∽△ADE 的是 ()
A．∠ADE=∠B B． = C．∠AED=∠C D． =
4．如图，A，B 两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了 A、B 间的距离：先在 AB 外
选一点 C，然后测出 AC，BC 的中点 M，N，并测量出 MN 的长为 12m，由此他就知道了
x
…
0
1
2
3
4
y
…
4
1
0
1
4
点 A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数的图象上，则当 1＜x1＜2，3＜x2＜4 时，y1 与 y2C．y1≥y2 D．y1 ≤y
2
10．如图，正方形 ABCD 中，AB=8cm，对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E，F 分别从 B，C 两点同时出发，以 1cm/s 的速度沿 BC，CD 运动，到点 C，D 时停止运动，设运动 时间为 t（s），△OEF 的面积为 s（cm2），则 s（cm2）与 t（s）的函数关系可用图象表示为
A、B 间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是(
)
A．AB=24m B．MN∥AB C．△CMN∽△CAB D．CM：MA=1：2
5．下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是(
北京市延庆区2015-2016学年最新九年级上数学期末试题(含答案)
E D CBA延庆区2015-2016学年第一学期期末测试卷初三数学一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．⊙O 的半径为R ，点P 到圆心O 的距离为d ，并且d ≥ R ，则P 点 A.在⊙O 内或圆周上 B.在⊙O 外C.在圆周上D.在⊙O 外或圆周上2. 把10cm 长的线段进行黄金分割，则较长线段的长（236.25≈, 精确到0.01）是A ．3.09cmB ．3.82cmC ．6.18cmD ．7.00cm 3．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别与AB 、AC 相交于点D 、E ， 若AD =4，DB =2，则AE ︰EC 的值为 A . 0.5 B . 2 C . 32 D . 23 4. 反比例函数xky =的图象如图所示,则K 的值可能是 A .21B . 1C . 2D . -1 5. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =1，那么AB 的长为A ．sin AB ．cos AC ．1cos AD ． 1sin A6．如图，正三角形ABC 内接于⊙O ，动点P 在圆周的劣弧AB 上， 且不与A,B 重合，则∠BPC 等于A .30︒B .60︒ C. 90︒ D. 45︒ 7．抛物线y=21x 2的图象向左平移2个单位，在向下平移1个单位，得到的函数表达式为A . y =21x 2+ 2x + 1B ．y =21x 2+ 2x - 2C . y =21x 2 - 2x - 1 D. y =21x 2- 2x + 18. 已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，有下列5个结论： ① 0>abc ；② c a b +<；③ 024>++c b a ； ④ b c 32<； ⑤ )(b am m b a +>+，（1≠m 的实数）其中正确的结论有A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个9. 如图所示，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上的一点，AE ⊥EF ，下列结论：①∠BAE ＝30°；②CE 2＝AB·CF ；③CF ＝31FD ；④△ABE ∽△AEF .其中正确的有A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10．如图，已知△ABC 中，BC =8，BC 边上的高h =4，D 为BC 边上一个动点，EF ∥BC ，交AB 于点E ，交AC 于点F ，设E 到BC 的距离为x ，△DEF 的面积为y ，则y 关于x 的函数图象大致为A. B. C. D.二、填空题（本题共18分, 每小题3分） 11．若5127==b a ，则32ba -= ． 12. 两个相似多边形相似比为1:2,且它们的周长和为90,则这两个相似多边形的周长分别 是 , ． 13.已知扇形的面积为15πcm 2,半径长为5cm ,则扇形周长为 cm ．14. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =4, BC =3,则以2.5为半径的⊙C 与直线AB 的位置关系 是 ．15. 请选择一组你喜欢的a,b,c 而减小.16. 如图，正方形OABC ，。
北京市北京三中2015_2016学年度九年级数学上学期期中试题
北京市北京三中2015-2016学年度九年级数学上学期期中试题考生须知1．本试卷共8页，共五道大题，29道小题，满分120分。
考试时间120分钟。
2．试题答案一律书写在答题纸上，在试卷上作答无效。
3．在答题纸上，除作图使用铅笔外，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
4．不得使用涂改液（带），没有在指定位置答题或在答题框外答题一律不给分.选择题（本题共30分，每小题3分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． １．如图，在△ABC 中，若DE ∥BC ，AD ∶BD =1∶2，若△ADE 的面积等于2，则△ABC 的面积等于（ ）.A.6B.8C.12D.182．在平面直角坐标系中，已知点(3,0)A 和点)4,0(-B ，则OAB ∠cos 等于（ ）.A ．43B ．53C ．43- D ．543．抛物线()225y x =--+的顶点坐标是（ ）.A ．(-2，5)B ．(2，5)C ．(-2，-5)D ．(2，-5)4．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若BC ＝1，AC ＝2，则sin A 的值为（ ）. A 5B 25 C ．12D ．2 5．下列三角函数值错误的是（ ）. A ．sin 1302︒=B ．3sin 60︒=．tan 451︒= D ．cos603︒= 6． 如图，身高为1.6米的某同学想测量学校旗杆的高度，当他站在C 处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AC ＝2.0米， BC ＝8.0米，则旗杆的高度是（ ）.A ．6.4米B ．7.0米C ．8.0米D ．9.0米7．将抛物线 224=+y x 绕顶点旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为（ ）. A ． 224=--y xB ． 224=-+y xC ．224=-y xD ． 22=-y x8． 如图，将△ABC 的三边分别扩大一倍得到△A 1B 1C 1（顶点均在格点上），若它们是以P 点为位似中心的A CB 第1题图第6题图A位似图形，则P 点的坐标是（ ）. A ．(-3，-3) B ． (-3，-4) C ．(-4，-3) D ． (-4，4)9．同一直角坐标系中，函数y mx m =+和12++-=x mx y （m 是常数，且0m ≠）的图象可能是（ ）10．如图，正方形ABCD 中，AB ＝8cm ，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别从B ，C 两点同的速度沿BC ，CD 运动，到点C D 时停止运动．设运动时间为t (s)，△OEF 的面积为S (cm 2)，则S (cm 2)与t (s)的函数关系可用图象表示为( )A B C D二、填空题（本题共18分，每小题3分）11． 如图，在△ABC 中，DE ∥AB 分别交AC ，BC 于点D ，E ，若AD =3，CD =4，则△CDE 与△CAB 的周长的比为 ．12．点A （1x ，1y ）、B （2x ，2y ）在二次函数221y x x =--的图象上，若2x ＞1x ＞1，则 1y 与2y 的大小关系是1y 2y ．（用“＞”、“＜”、“=”填空） 13. 在正方形网格中，ABC △的位置如图所示，则tan B 的值为__________．14．关于x 的二次函数22y x kx k =-+-的图象与y 轴的交点在x 轴的上方，请写出一个．．满足条件的二次函数的表达式： ．15. 如图，在Rt△ABC 中，∠ACB =90︒，AC =12，BC =5，CD ⊥AB 于点D ，那么sin BCD ∠的 值是 ． xoy 中，直线2x =和抛物线2y ax =在第16. 在平面直角坐标系一象限交于点A ， 过A 作AB x ⊥轴于点B .如果a 取1，2，3，…，xy O Ａ． xy O Ｂ． x yO Ｃ．x yO Ｄ． A B E O F第8题图第10题图n时对应的△AOB 的面积为,,,321S S S …，n S ，那么1S =_____；+++321S S S …+n S =___________.三、解答题（本题共30分，每小题5分）17．计算：32sin 453tan 30cos602︒-︒+︒+-.18．若二次函数23y ax bx =++的图象经过A （1，0）、B （2，－1）两点，求此二次函数的解 析式.19．如图，△ABC 中，点D 在AB 上，∠ACD =∠ABC ，若AD =2，AB =6，求AC 的长．20．已知二次函数342+-=x x y （1）用配方法将342+-=x x y 化成k h x a y +-=2）（的形式；（2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；（3）当30<<x 时，求y 的取值范围． 21． 如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD 的高度，他们先在点A 处测得树顶C 的仰角为30°，然后沿AD 方向前行10m ，到达B 点，在B 处测得树顶C 的仰角高度为60°（A 、B 、D 三点在同一直线上）。
北京市十五中届九年级数学上学期期中试卷(含解析)新人教版【含解析】
2015-2016学年北京十五中九年级（上）期中数学试卷一、选择题1.二次函数y=﹣（x+1）2﹣2的最大值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．22．把抛物线y=2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为（）A．y=2（x+3）2+4 B．y=2（x+3）2﹣4 C．y=2（x﹣3）2﹣4 D．y=2（x﹣3）2+43．在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=1，AB=，则tanA的值为（）A．B．C．D．24．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，如果∠ADE=120°，那么∠B等于（）A．130°B．120°C．80° D．60°5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，CD⊥AB于点D，那么sin∠BCD的值是（）A．B．C．D．6．已知二次函数y=2（x+1）（x﹣a），其中a＞0，且对称轴为直线x=2，则a的值是（）A．3 B．5 C．7 D．不确定7．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为（）A．2 B．4 C．4 D．88．二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A．a＞0B．不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜5C．a﹣b+c＞0D．当x＞2时，y随x的增大而增大9．设二次函数y1=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0，x1≠x2）的图象与一次函数y2=dx+e（d≠0）的图象交于点（x1，0），若函数y=y1+y2的图象与x轴仅有一个交点，则（）A．a（x1﹣x2）=d B．a（x2﹣x1）=d C．a（x1﹣x2）2=d D．a（x1+x2）2=d10．如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB=2．设弦AP的长为x，△APO的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题11.比较大小：cos27°cos63°．12．关于x的二次函数y=x2﹣kx+k﹣2的图象与y轴的交点在x轴的上方，请写出一个满足条件的二次函数的表达式：．13．如图，边长为1的小正方形网格中，⊙O的圆心在格点上，则∠AED的余弦值是．14．如图，经过原点O的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧上一点，则∠ACB= ．15．课本上将绳的一端固定住，另一端系一支笔，将绳子绷直，用笔绕着另一端画一圈就是一个圆，于是我们定义：圆是由到一定点距离都等于定长的所有的点组成的图形．下面是一种画椭圆的方法：（1）在地平面上选两个点，钉上两个钉子；（2）测量两个钉子间距离；（3）选用大于两钉子间距离长度的绳子；（4）将绳子两端分别系在钉子上；（5）将绳子绷直，用笔在绷直的拐角地方划线；（6）将绳子绕一圈，椭圆就得到啦！（如图所示）根据这个过程请你给椭圆下一个定义：．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABOC是正方形，点A的坐标为（1，1）．B是以点B 为圆心，BA为半径的圆弧；O是以点O为圆心，OA1为半径的圆弧，C是以点C为圆心，CA2为半径的圆弧，A是以点A为圆心，AA3为半径的圆弧，继续以点B、O、C、A为圆心按上述作法得到的曲线AA1A2A3A4A5…称为“正方形的渐开线”，那么点A5的坐标是，点A2015的坐标是．三、解答题（第17～26题，每题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分.本题共72分）17．计算：sin60°﹣4cos230°+sin45°•tan60°．18．在△ABC中，∠A=120°，AB=12，AC=6．求tanB的值．19．已知二次函数y=x2﹣4x+3．（1）该函数的顶点坐标是，与x轴的交点坐标是；（2）在平面直角坐标系中，用描点法画出该二次函数的图象；（3）根据图象回答：当0≤x＜3时，y的取值范围是．20．某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，据调查显示，每个档次的日产量及相应的单件利润如表所示（其中x为正整数，且1≤x≤10）；为了便于调控，此工厂每天只生产一个档次的产品，当生产质量档次为x的产品时，当天的利润为y万元．（1）求y关于x的函数关系式；（2）工厂为获得最大利润，应选择生产哪个档次的产品？并求出当天利润的最大值．21．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AC边上．若DB=6，AD=CD，sin∠CBD=，求AD的长和tanA的值．22．国家海洋局将中国钓鱼岛最高峰命名为“高华峰”，并对钓鱼岛进行常态化立体巡航．如图1，在一次巡航过程中，巡航飞机飞行高度为2001米，在点A测得高华峰顶F点的俯角为30°，保持方向不变前进1200米到达B点后测得F点俯角为45°，如图2．请据此计算钓鱼岛的最高海拔高度多少米．（结果保留整数，参考数值： =1.732， =1.414）23．我们知道，已知圆心和半径，可以作一个圆．不难理解，经过一个已知点A作圆，能作出无数个．回答下列问题：（1）经过两个已知点A，B作圆，能作出圆个，圆心分布在；（2）如图，已知不共线的三点A，B，C，能作出圆个，请你利用尺规作图，确定圆心O的可能的位置．（要求保留作图痕迹，不写作法）24．如图，AB是⊙O的直径，过点B作BM⊥AB，弦CD∥BM，交AB于点F，且DA=DC，连接AC，AD，延长AD交BM于点E．（1）求证：△ACD是等边三角形；（2）若DE=1，求圆O的半径．25．设函数y=（x﹣1）[（k﹣1）x+（k﹣3）]（k是常数）．（1）当k取1和2时的函数y1和y2的图象如图所示，请你在同一直角坐标系中画出当k取0时函数的图象；（2）根据图象，写出你发现的一条结论．26．阅读下面材料：小乔遇到了这样一个问题：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为CB，CA边上的点，且AE=BC，BD=CE，BE与AD的交点为P，求∠APE的度数；小乔发现题目中的条件分散，想通过平移变换将分散条件集中，如图2，过点B作BF∥AD且BF=AD，连接EF，AF，从而构造出△AEF与△CBE全等，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．请回答：∠APE的度数为．参考小乔同学思考问题的方法，解决问题：如图3，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，D、E分别为CB，CA上的点，且AE=BC，BD=，BE 与AD交于点P，在图3中画出符合题意的图形，并求出sin∠APE的值．27．已知在平面直角坐标系xOy中（如图），抛物线y=ax2﹣4与x轴的负半轴相交于点A，与y轴相交于点B，AB=．点P在抛物线上，线段AP与y轴的正半轴交于点C，线段BP与x轴相交于点D．设点P的横坐标为m．（1）求这条抛物线的解析式；（2）用含m的代数式表示线段CO的长；（3）如果把A、B之间的抛物线（包含A、B两点）图象记为G，直线l：y=﹣x+b与图象G只有一个公共点，求b的值．28．设点Q到图形W上每一个点的距离的最小值称为点Q到图形W的距离．例如正方形ABCD满足A （1，0），B（2，0），C（2，1），D（1，1），那么点O（0，0）到正方形ABCD的距离为1．（1）如果⊙P是以（3，4）为圆心，1为半径的圆，那么点O（0，0）到⊙P的距离为；（2）①求点M（3，0）到直线y=2x+1的距离；②如果点N（0，a）到直线y=2x+1的距离为3，那么a的值是；（3）如果点G（0，b）到抛物线y=x2的距离为3，请直接写出b的值．29．在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x+2与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线y=ax2+bx﹣经过点A和点C（4，0）．（1）求该抛物线的表达式．（2）连接CB，并延长CB至点D，使DB=CB，请判断点D是否在该抛物线上，并说明理由．（3）在（2）的条件下，过点C作x轴的垂线EC与直线y=2x+2交于点E，以DE为直径画⊙M，①求圆心M的坐标；②若直线AP与⊙M相切，P为切点，直接写出点P的坐标．2015-2016学年北京十五中九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1.二次函数y=﹣（x+1）2﹣2的最大值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【考点】二次函数的最值．【分析】所给形式是二次函数的顶点式，易知其顶点坐标是（﹣1，﹣2），也就是当x=﹣1，函数有最大值﹣2．【解答】解：∵y=﹣（x+1）2﹣2，∴此函数的顶点坐标是（﹣1，﹣2），即当x=﹣1函数有最大值﹣2故选：A．【点评】本题考查了二次函数的最值，解题关键是掌握二次函数顶点式，并会根据顶点式求最值．2．把抛物线y=2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为（）A．y=2（x+3）2+4 B．y=2（x+3）2﹣4 C．y=2（x﹣3）2﹣4 D．y=2（x﹣3）2+4【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】计算题．【分析】抛物线y=2x2的顶点坐标为（0，0），则把它向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的顶点坐标为（﹣3，4），然后根据顶点式写出解析式．【解答】解：把抛物线y=2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数解析式为y=2（x+3）2+4．故选A．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．3．在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=1，AB=，则tanA的值为（）A．B．C．D．2【考点】解直角三角形；勾股定理；锐角三角函数的定义．【分析】首先根据勾股定理求得直角边AC的长度；然后由锐角三角函数的定义求得tanA的值．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=1，AB=，∴AC==2；∴tanA==；故选C．【点评】本题综合考查了解直角三角形、锐角三角函数的定义、勾股定理．掌握相应的锐角三角函数值的求法是解决本题的关键．4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，如果∠ADE=120°，那么∠B等于（）A．130°B．120°C．80° D．60°【考点】圆内接四边形的性质．【分析】由四边形ABCD内接于⊙O，可得∠B+∠ADC=180°，又由∠ADC+∠ADE=180°，即可求得∠B=∠ADE=120°．【解答】解：∵∠ADC+∠ADE=180°，∠B+∠ADC=180°，∴∠B=∠ADE=120°．故选B．【点评】此题考查了圆的内接多边形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，CD⊥AB于点D，那么sin∠BCD的值是（）A．B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理．【分析】首先在Rt△ABC中利用勾股定理求出AB，再根据同角的余角相等得出∠A=∠BCD，进而利用锐角三角函数关系即可求出sin∠BCD的值．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=12，BC=5，∴AB==13，．∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠BCD+∠B=90°，∠A+∠B=90°，∴∠A=∠BCD，∴sin∠BCD=sinA==．故选B．【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系的定义，得出sin∠BCD=sinA是解题关键．6．已知二次函数y=2（x+1）（x﹣a），其中a＞0，且对称轴为直线x=2，则a的值是（）A．3 B．5 C．7 D．不确定【考点】二次函数的性质．【分析】根据二次函数y=2（x+1）（x﹣a），得出二次函数图象与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（a，0），则对称轴为x==2，进一步求得a的数值即可．【解答】解：∵二次函数y=2（x+1）（x﹣a）与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（a，0），∴对称轴x==2，解得：x=5．故选：B．【点评】此题考查二次函数的性质，掌握二次函数的对称性、求对称轴的方法以及求与x轴交点的坐标是解决问题的关键．7．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为（）A．2 B．4 C．4 D．8【考点】垂径定理；等腰直角三角形；圆周角定理．【分析】根据圆周角定理得∠BOC=2∠A=45°，由于⊙O的直径AB垂直于弦CD，根据垂径定理得CE=DE，且可判断△OCE为等腰直角三角形，所以CE=OC=2，然后利用CD=2CE进行计算．【解答】解：∵∠A=22.5°，∴∠BOC=2∠A=45°，∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，∴CE=DE，△OCE为等腰直角三角形，∴CE=OC=2，∴CD=2CE=4．故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等腰直角三角形的性质和垂径定理．8．二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A．a＞0B．不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜5C．a﹣b+c＞0D．当x＞2时，y随x的增大而增大【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与不等式（组）．【分析】根据图象开口方向向下得出a的符号，进而利用图象的对称轴得出图象与x轴的交点坐标，再利用图象得出不等式ax2+bx+c＞0的解集．【解答】解：A、图象开口方向向下，则a＜0，故此选项错误；B、∵图象对称轴为直线x=2，则图象与x轴另一交点坐标为：（﹣1，0），∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜5，故此选项正确；C、当x=﹣1，a﹣b+c=0，故此选项错误；D、当x＞2时，y随x的增大而减小，故此选项错误．故选：B．【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系以及二次函数与不等式的解集，利用数形结合得出是解题关键．9．设二次函数y1=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0，x1≠x2）的图象与一次函数y2=dx+e（d≠0）的图象交于点（x1，0），若函数y=y1+y2的图象与x轴仅有一个交点，则（）A．a（x1﹣x2）=d B．a（x2﹣x1）=d C．a（x1﹣x2）2=d D．a（x1+x2）2=d【考点】抛物线与x轴的交点．【专题】压轴题．【分析】首先根据一次函数y2=dx+e（d≠0）的图象经过点（x1，0），可得y2=d（x﹣x1），y=y1+y2=ax2+（d﹣ax2﹣ax1）x+ax1x2﹣dx1；然后根据函数y=y1+y2的图象与x轴仅有一个交点，可得函数y=y1+y2与x轴的交点为（x1，0），再结合对称轴公式求解．【解答】解：∵一次函数y2=dx+e（d≠0）的图象经过点（x1，0），∴dx1+e=0，∴y2=d（x﹣x1），∴y=y1+y2=a（x﹣x1）（x﹣x2）+d（x﹣x1）=ax2﹣axx2﹣ax1x+ax1x2+dx﹣dx1=ax2+（d﹣ax2﹣ax1）x+ax1x2﹣dx1∵当x=x1时，y1=0，y2=0，∴当x=x1时，y=y1+y2=0，∵y=ax2+（d﹣ax2﹣ax1）x+ax1x2﹣dx1与x轴仅有一个交点，∴y=y1+y2的图象与x轴的交点为（x1，0）∴=x1，化简得：a（x2﹣x1）=d故选：B．【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，以及曲线上点的坐标与方程的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出：函数y=y1+y2与x轴的交点为（x1，0）．10．如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB=2．设弦AP的长为x，△APO的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【专题】压轴题．【分析】作OC⊥AP，根据垂径定理得AC=AP=x，再根据勾股定理可计算出OC=，然后根据三角形面积公式得到y=x•（0≤x≤2），再根据解析式对四个图形进行判断．【解答】解：作OC⊥AP，如图，则AC=AP=x，在Rt△AOC中，OA=1，OC===，所以y=OC•AP=x•（0≤x≤2），所以y与x的函数关系的图象为A选项．故选：A．排除法：很显然，并非二次函数，排除B选项；采用特殊位置法；当P点与A点重合时，此时AP=x=0，S△PAO=0；当P点与B点重合时，此时AP=x=2，S△PAO=0；当AP=x=1时，此时△APO为等边三角形，S△PAO=；排除B、C、D选项，故选：A．【点评】本题考查了动点问题的函数图象：先根据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图象，注意自变量的取值范围．二、填空题11.比较大小：cos27°＞cos63°．【考点】锐角三角函数的增减性．【分析】根据余弦函数随锐角的增大而减小，可得答案．【解答】解：由余弦函数随锐角的增大而减小，得cos27°＞cos63°，故答案为＞．【点评】本题考查了锐角三角函数的增加性，利用余弦函数随锐角的增大而减小是解题关键．12．关于x的二次函数y=x2﹣kx+k﹣2的图象与y轴的交点在x轴的上方，请写出一个满足条件的二次函数的表达式：y=x2﹣3x+1答案不唯一．【考点】二次函数的性质．【专题】开放型．【分析】与y轴的交点在x轴的上方即常数项大于0，据此求解．【解答】解：∵关于x的二次函数y=x2﹣kx+k﹣2的图象与y轴的交点在x轴的上方，∴k﹣2＞0，解得：k＞2，∴答案为：y=x2﹣3x+1答案不唯一．【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是了解与y轴的交点在x轴的上方即常数项大于0．13．如图，边长为1的小正方形网格中，⊙O的圆心在格点上，则∠AED的余弦值是．【考点】圆周角定理；勾股定理；锐角三角函数的定义．【专题】网格型．【分析】根据同弧所对的圆周角相等得到∠ABC=∠AED，在直角三角形ABC中，利用锐角三角函数定义求出cos∠ABC的值，即为cos∠AED的值．【解答】解：∵∠AED与∠ABC都对，∴∠AED=∠ABC，在Rt△ABC中，AB=2，AC=1，根据勾股定理得：BC=，则cos∠AED=cos∠ABC==．故答案为：【点评】此题考查了圆周角定理，锐角三角函数定义，以及勾股定理，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．14．如图，经过原点O的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧上一点，则∠ACB= 90°．【考点】圆周角定理；坐标与图形性质．【分析】由经过原点O的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧上一点，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得答案．【解答】解：∵∠AOB=90°，∴∠ACB=∠AOB=90°．故答案为：90°．【点评】此题考查了圆周角的性质．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．15．课本上将绳的一端固定住，另一端系一支笔，将绳子绷直，用笔绕着另一端画一圈就是一个圆，于是我们定义：圆是由到一定点距离都等于定长的所有的点组成的图形．下面是一种画椭圆的方法：（1）在地平面上选两个点，钉上两个钉子；（2）测量两个钉子间距离；（3）选用大于两钉子间距离长度的绳子；（4）将绳子两端分别系在钉子上；（5）将绳子绷直，用笔在绷直的拐角地方划线；（6）将绳子绕一圈，椭圆就得到啦！（如图所示）根据这个过程请你给椭圆下一个定义：平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于两定点的距离）的点的轨迹．【考点】圆的认识．【分析】根据椭圆的定义，可得答案．【解答】解：椭圆下一个定义：平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于两定点的距离）的点的轨迹，故答案为：平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于两定点的距离）的点的轨迹．【点评】本题考查了圆的认识，利用椭圆的画法获得有效信息是解题关键．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABOC是正方形，点A的坐标为（1，1）．B是以点B 为圆心，BA为半径的圆弧；O是以点O为圆心，OA1为半径的圆弧，C是以点C为圆心，CA2为半径的圆弧，A是以点A为圆心，AA3为半径的圆弧，继续以点B、O、C、A为圆心按上述作法得到的曲线AA1A2A3A4A5…称为“正方形的渐开线”，那么点A5的坐标是（6，0），点A2015的坐标是（﹣2015，1）．【考点】规律型：点的坐标．【分析】点A的坐标为（1，1），则BA1=1，A1坐标为（2，0），依此类推，A2（0，﹣2），A3（﹣3，1），A4（1，5），A5是以B为圆心，BA4为半径的圆弧与x轴的交点，则A5（6，0），2015÷4=503…3，A2015应与A3（﹣3，1）的坐标规律一样，故A2015（﹣2015，1）．【解答】解：∵点A的坐标为（1，1），四边形ABOC是正方形，BA1=1，∴A1坐标为（2，0），∵O是以点O为圆心，OA1为半径的圆弧，∴A2（0，﹣2），∵C是以点C为圆心，CA2为半径的圆弧，∴A3（﹣3，1），∵A是以点A为圆心，AA3为半径的圆弧，∴A4（1，5），依此类推，A5是以B为圆心，BA4为半径的圆弧与x轴的交点，则A5（6，0），A5（6，0）与A1（2，0）坐标规律相同，∵2015÷4=503…3，∴A2015应与A3（﹣3，1）的坐标规律一样，故A2015（﹣2015，1）．故答案为：（6，0），（﹣2015，1）．【点评】本题主要考查了点的坐标的变化规律和对“正方形的渐开线”的理解，发现规律，理解“正方形的渐开线”是解答此题的关键．三、解答题（第17～26题，每题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分.本题共72分）17．计算：sin60°﹣4cos230°+sin45°•tan60°．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】将特殊角的三角函数值代入，然后合并运算即可．【解答】解：原式=×﹣4×（）2+×=﹣3+=．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，一些特殊角的三角函数值是要求同学们熟练记忆的内容．18．在△ABC中，∠A=120°，AB=12，AC=6．求tanB的值．【考点】解直角三角形．【分析】过点C作CD⊥AB，根据∠A=120°，∠DAC=60°，由三角函数得出AD，CD，在Rt△BCD中，∠B的正切即可得出答案．【解答】解：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，∴∠A=120°，∴∠D AC=60°，∴cos60°=，sin60°=，∵AB=12，AC=6，∴AD=AC•cos60°=6×=3，CD=AC•sin60°=6×=3，在Rt△BCD中，tanB===．【点评】本题考查了解直角三角形，解直角三角形的关键是把给出的这些三角形的条件放到直角三角形中，如果不是直角三角形就要通过添加辅助线来完成．19．已知二次函数y=x2﹣4x+3．（1）该函数的顶点坐标是（2，﹣1），与x轴的交点坐标是（1，0），（3，0）；（2）在平面直角坐标系中，用描点法画出该二次函数的图象；（3）根据图象回答：当0≤x＜3时，y的取值范围是﹣1≤y≤3 ．【考点】二次函数与不等式（组）；二次函数的图象；二次函数的性质．【分析】（1）把函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标即可，再令y=0，解关于x的一元二次方程即可得到与x轴的交点坐标；（2）根据二次函数与坐标轴的交点和顶点坐标作出图象即可；（3）根据函数图象写出y的取值范围即可．【解答】解：（1）∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴顶点坐标为（2，﹣1），令y=0，则x2﹣4x+3=0，解得x1=1，x2=3，所以，与x轴的交点坐标是（1，0），（3，0）；（2）如图所示；（3）0≤x＜3时，y的取值范围是﹣1≤y≤3．故答案为：（1）（2，﹣1），（1，0），（3，0）；（3）﹣1≤y≤3．【点评】本题考查了二次函数与不等式的关系，抛物线与x轴的交点问题，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质以及函数图象的作法是解题的关键．20．某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，据调查显示，每个档次的日产量及相应的单件利润如表所示（其中x为正整数，且1≤x≤10）；为了便于调控，此工厂每天只生产一个档次的产品，当生产质量档次为x的产品时，当天的利润为y万元．（1）求y关于x的函数关系式；（2）工厂为获得最大利润，应选择生产哪个档次的产品？并求出当天利润的最大值．【考点】二次函数的应用．【分析】（1）根据总利润=单件利润×销售量就可以得出y与x之间的函数关系式；（2）由（1）的解析式转化为顶点式，由二次函数的性质就可以求出结论．【解答】解：（1）由题意，得y=（100﹣5x）（2x+4），y=﹣10x2+180x+400（1≤x≤10的整数）；答：y关于x的函数关系式为y=﹣10x2+180x+400；（2）∵y=﹣10x2+180x+400，∴y=﹣10（x﹣9）2+1210．∵1≤x≤10的整数，∴x=9时，y最大=1210．答：工厂为获得最大利润，应选择生产9档次的产品，当天利润的最大值为1210万元．【点评】本题考查了总利润=单件利润×销售量的运用，二次函数的解析式的运用，顶点式的运用，解答时求出函数的解析式是关键．21．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AC边上．若DB=6，AD=CD，sin∠CBD=，求AD的长和tanA的值．【考点】解直角三角形；勾股定理．【分析】在Rt△DBC中利用三角函数即可求得CD的长，然后利用勾股定理即可求得BC的长，则AD 即可求得，进而求得AC的长，然后利用三角函数的定义即可求解．【解答】解：∵∠C=90°，sin∠CBD=，DB=6，∴CD=DB•sin∠CBD=6×=4．∴AD=CD=×4=2．∵CB===2，AC=AD+CD=2+4=6，在Rt△ABC中，∠C=90°，∴tanA===．【点评】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．22．国家海洋局将中国钓鱼岛最高峰命名为“高华峰”，并对钓鱼岛进行常态化立体巡航．如图1，在一次巡航过程中，巡航飞机飞行高度为2001米，在点A测得高华峰顶F点的俯角为30°，保持方向不变前进1200米到达B点后测得F点俯角为45°，如图2．请据此计算钓鱼岛的最高海拔高度多少米．（结果保留整数，参考数值： =1.732， =1.414）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】设CF=x，在Rt△ACF和Rt△BCF中，分别用CF表示AC、BC的长度，然后根据AC﹣BC=1200，求得x的值，用h﹣x即可求得最高海拔．【解答】解：设CF=x，在Rt△ACF和Rt△BCF中，∵∠BAF=30°，∠CBF=45°，∴BC=CF=x，=tan30°，即AC=x，∵AC﹣BC=1200米，∴x﹣x=1200，解得：x=600（+1），则DF=h﹣x=2001﹣600（+1）≈362（米）．答：钓鱼岛的最高海拔高度约362米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据俯角构造直角三角形求出AC、BC 的长度，难度一般．23．我们知道，已知圆心和半径，可以作一个圆．不难理解，经过一个已知点A作圆，能作出无数个．回答下列问题：（1）经过两个已知点A，B作圆，能作出圆无数个个，圆心分布在线段AB的垂直平分线上；（2）如图，已知不共线的三点A，B，C，能作出圆 1 个，请你利用尺规作图，确定圆心O的可能的位置．（要求保留作图痕迹，不写作法）【考点】作图—应用与设计作图；圆的认识．【分析】（1）根据圆的定义，垂直平分线的性质即可得到答案．（2）画出线段AB、BC的垂直平分线的交点就是圆心点O．【解答】解：（1）经过两个已知点A，B作圆，能作出无数个圆个，圆心在线段AB的垂直平分线上．故答案分别为无数个、线段AB的垂直平分线上．（2）过不在同一直线上的三点可以确定一个圆．故答案为1．作线段AB的垂直平分线MN，作线段BC的垂直平分线EF，直线MN与直线EF的交点就是圆心点O的位置．（见下图）【点评】本题考查圆的有关性质，确定圆有两个要素①圆心②半径，通过训练此题可以培养动手能力．24．如图，AB是⊙O的直径，过点B作BM⊥AB，弦CD∥BM，交AB于点F，且DA=DC，连接AC，AD，延长AD交BM于点E．（1）求证：△ACD是等边三角形；（2）若DE=1，求圆O的半径．【考点】相似三角形的判定与性质；等边三角形的判定；圆周角定理．【分析】（1）由BM⊥AB，CD∥BM，得到CD⊥AB，而AB是⊙O的直径，根据垂径定理得到=，于是得到AD=AC，然后根据已知DA=DC，得出AD=AC=CD，即可证明△ACD是等边三角形；（2）连接OE，过O作ON⊥AD于N，由（1）知，△ACD是等边三角形，得到∠DAC=60°又直角三角形的性质得到BE=AE，ON=AO，设⊙O的半径为r，则ON=r，AN=DN=r，由于得到EN=1+r，BE=AE=，在Rt△ONE与Rt△BEO中，由勾股定理列方程即可求解．【解答】（1）证明：∵BM⊥AB，CD∥BM，∴AB⊥CD，∵AB是⊙O的直径，∴=，∴AD=AC，∵DA=DC，∴AD=AC=CD，∴△ACD是等边三角形；（2）解：连接OE，过O作ON⊥AD于N，由（1）知，△ACD是等边三角形，∴∠DAC=60°．∵AD=AC，CD⊥AB，∴∠DAB=30°，∴BE=AE，ON=AO，设⊙O的半径为r，∴ON=r，AN=DN=r，∴EN=1+r，BE=AE=．在Rt△ONE与Rt△BEO中，OE2=ON2+NE2=OB2+BE2，即（r）2+（1+r）2=r2+（）2，解得r1=，r2=﹣（不合题意舍去）．故圆O的半径为．【点评】本题考查了切线的性质，垂径定理，等边三角形的判定，直角三角形的性质，勾股定理，过O作ON⊥AD于N，构造直角三角形是解题的关键．25．设函数y=（x﹣1）[（k﹣1）x+（k﹣3）]（k是常数）．（1）当k取1和2时的函数y1和y2的图象如图所示，请你在同一直角坐标系中画出当k取0时函数的图象；（2）根据图象，写出你发现的一条结论函数图象都经过点（1，0）和（﹣1，4）（答案不唯一）．【考点】二次函数与不等式（组）．【分析】（1）把k=0代入函数解析式即可得到所求的函数解析式，根据函数解析式作出图象；（2）根据函数图象回答问题．【解答】解：（1）当k=0时，y=﹣（x﹣1）（x+3），所画函数图象如图所示：（2）根据图象知，函数图象都经过点（1，0）和（﹣1，4）故答案为：函数图象都经过点（1，0）和（﹣1，4）（答案不唯一）．故答案为：函数图象都经过点（1，0）和（﹣1，4）（答案不唯一）．【点评】本题考查的是二次函数与不等式，能根据题意画出函数图象，利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．26．阅读下面材料：小乔遇到了这样一个问题：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为CB，CA边上的点，且AE=BC，BD=CE，BE与AD的交点为P，求∠APE的度数；小乔发现题目中的条件分散，想通过平移变换将分散条件集中，如图2，过点B作BF∥AD且BF=AD，连接EF，AF，从而构造出△AEF与△CBE全等，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．请回答：∠APE的度数为45°．参考小乔同学思考问题的方法，解决问题：如图3，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，D、E分别为CB，CA上的点，且AE=BC，BD=，BE 与AD交于点P，在图3中画出符合题意的图形，并求出sin∠APE的值．【考点】圆的综合题．【分析】（1）利用平行四边形的判定与性质得出AF=BD，进而得出△AEF≌△CBE（SAS），即可得出：∠APE的度数；（2）根据题意首先得出△AEF∽△CBE，进而得出tan∠FBE==，即可求出sin∠APE的值．【解答】解：（1）如图2，过点B作BF∥AD且BF=AD，连接EF，AF，∵BF∥AD且BF=AD，∴四边形AFBD是平行四边形，∴AF=BD，在△AEF和△CBE中∵，∴△AEF≌△CBE（SAS），∴EF=BE，∠AEF+∠CEB=90°，∴∠EBF=45°，∵AD∥BF，∴∠APE=45°；故答案为：45°；（2）如图3，过点B作FB∥AD且FB=AD，连接EF和AF，∴四边形AFBD是平行四边形，∠APE=∠FBE，AF=DB，∵AB是⊙O直径，∴∠C=90°，∴∠FAE=∠BCE=90°，∵CE=2BD，BC=2AE，∴CE=2AF，∴ ==2，∴△AEF∽△CBE，。
北京市教院附中2015-2016学年九年级数学上学期期中试题(含解析)
北京市教院附中2015-2016学年九年级数学上学期期中试题一、选择题（共10道小题，每小题3分，共30分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．二次函数y=﹣（x+1）2﹣2的最大值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．22．如果4x=5y（y≠0），那么下列比例式成立的是（）A． =B． =C． =D． =3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，如果AC=3，AB=6，那么AD的值为（）A．B．C．D．34．如图，在△ABC中，若DE∥BC，AD：BD=1：2，若△ADE的面积等于2，则△ABC的面积等于（）A．6 B．8 C．12 D．185．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，则cosB的值是（）A．B．C．D．6．把抛物线y=x2+1向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线（）A．y=（x+3）2﹣1 B．y=（x+3）2+3 C．y=（x﹣3）2﹣1 D．y=（x﹣3）2+37．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则a、b、c满足（）A．a＜0，b＜0，c＞0 B．a＜0，b＜0，c＜0 C．a＜0，b＞0，c＞0 D．a＞0，b＜0，c＞08．如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，AB=4，则A1B1的长为（）A．1 B．2 C．4 D．89．二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A．a＞0B．不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜5C．a﹣b+c＞0D．当x＞2时，y随x的增大而增大10．如图，在等边△ABC中，AB=4，当直角三角板MPN的60°角的顶点P在BC上移动时，斜边MP 始终经过AB边的中点D，设直角三角板的另一直角边PN与AC相交于点E．设BP=x，CE=y，那么y 与x之间的函数图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．点P（﹣2，y1）和点Q（﹣1，y2）分别为抛物线y=x2﹣4x+3上的两点，则y1y2．（用“＞”或“＜”填空）．12．在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为1m，同时测得一栋建筑物的影长为12m，那么这栋建筑物的高度为m．13．在△ABC中，∠C=90°，tanA=，则sinB= ．14．如图，点D为△ABC外一点，AD与BC边的交点为E，AE=3，DE=5，BE=4，要使△BDE∽△ACE，且点B，D的对应点为A，C，那么线段CE的长应等于．15．二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m的最大值为．16．如图，点A1、A2、A3、…，点B1、B2、B3、…，分别在射线OM、ON上，A1B1∥A2B2∥A3B3∥A4B4∥…．如果A1B1=2，A1A2=2OA1，A2A3=3OA1，A3A4=4OA1，…．那么A2B2= ，A n B n= ．（n 为正整数）三、解答题（本题共30分，每小题5分）17．计算：tan60°﹣cos30°×tan45°+sin30°．18．若二次函数y=ax2+bx+3的图象经过A（1，0）、B（2，﹣1）两点，求此二次函数的解析式．19．已知：如图，在△ABC中，D是AC上一点，E是AB上一点，且∠AED=∠C．（1）求证：△AED∽△ACB；（2）若AB=6，AD=4，AC=5，求AE的长．20．如图，△ABC的顶点在格点上，且点A（﹣5，﹣1），点C（﹣1，﹣2）．以原点O为位似中心，位似比为2，在第一象限内将△ABC放大，画出放大后的图形△A′B′C′并写出△A′B′C′各顶点坐标．21．已知二次函数的解析式是y=x2﹣2x﹣3．（1）与x轴的交点坐标是，顶点坐标是；y的取值范围是．22．如图，小聪用一块有一个锐角为30°的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距米，小聪身高AB为1.7米，求这棵树的高度．四、解答题（本题共20分，每小题5分）23．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，（1）求证：AC2=AB•AD；（2）求证：CE∥AD；（3）若AD=4，AB=6，求的值．24．已知抛物线y=x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m．（1）求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点；（2）若此抛物线与直线y=x﹣3m+3的一个交点在y轴上，求m的值．25．某工厂设计了一款产品，成本为每件20元．投放市场进行试销，经调查发现，该种产品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足y=﹣2x+80 （20≤x≤40），设销售这种产品每天的利润为W（元）．（1）求销售这种产品每天的利润W（元）与销售单价x（元）之间的函数表达式；（2）当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？26．有这样一个问题：探究函数y=x2+的图象与性质．小东根据学习函数的经验，对函数y=x2+的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）函数y=x2+的自变量x的取值范围是；1﹣（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（1，），结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）．五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）27．在平面直角坐标系xOy中，过点（0，2）且平行于x轴的直线，与直线y=x﹣1交于点A，点A 关于直线x=1的对称点为B，抛物线C1：y=x2+bx+c经过点A，B．（1）求点A，B的坐标；（2）求抛物线C1的表达式及顶点坐标；（3）若抛物线C2：y=ax2（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．28．对于二次函数y=x2﹣3x+2和一次函数y=﹣2x+4，把y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线L．现有点A（2，0）和抛物线L上的点B（﹣1，n），请完成下列任务：【尝试】（1）当t=2时，抛物线y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）的顶点坐标为；（2）判断点A是否在抛物线L上；（3）求n的值；【发现】通过（2）和（3）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线L总过定点，坐标为．【应用】二次函数y=﹣3x2+5x+2是二次函数y=x2﹣3x+2和一次函数y=﹣2x+4的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由．29．矩形ABCD一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得点B落在CD边上的点P处．（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．①求证：△OCP∽△PDA；②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长．（2）如图2，在（1）的条件下，擦去AO和OP，连接BP．动点M在线段AP上（不与点P、A重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问动点M、N 在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？若不变，求出线段EF的长度；若变化，说明理由．2015-2016学年北京市教院附中九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10道小题，每小题3分，共30分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．二次函数y=﹣（x+1）2﹣2的最大值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【考点】二次函数的最值．【分析】所给形式是二次函数的顶点式，易知其顶点坐标是（﹣1，﹣2），也就是当x=﹣1，函数有最大值﹣2．【解答】解：∵y=﹣（x+1）2﹣2，∴此函数的顶点坐标是（﹣1，﹣2），即当x=﹣1函数有最大值﹣2故选：A．【点评】本题考查了二次函数的最值，解题关键是掌握二次函数顶点式，并会根据顶点式求最值．2．如果4x=5y（y≠0），那么下列比例式成立的是（）A． =B． =C． =D． =【考点】比例的性质．【分析】根据等式的性质：等式的两边都除以同一个不为零的数，结果不变，可得答案．【解答】解：4x=5y（y≠0），两边都除以20，得=，故B正确；故选：B．【点评】本题考查了比例的性质，利用了等式的性质：等式的两边都除以20是解题关键．3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，如果AC=3，AB=6，那么AD的值为（）A．B．C．D．3【考点】射影定理．【分析】根据射影定理得到：AC2=AD•AB，把相关线段的长度代入即可求得线段AD的长度．【解答】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，∴AC2=AD•AB，又∵AC=3，AB=6，∴32=6AD，则AD=．故选：A．【点评】本题考查了射影定理．每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．4．如图，在△ABC中，若DE∥BC，AD：BD=1：2，若△ADE的面积等于2，则△ABC的面积等于（）A．6 B．8 C．12 D．18【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】由条件可以求出AD：BD=2；3，再由条件可以得出△ADE∽△ABC，最后由相似三角形的性质就可以得出结论．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵AD：BD=1：2，∴AD：AB=DE：BC=1：3，∴S△ADE：S△ABC=（AD）2：（AB）2=1：9，∵△ADE的面积等于2，∴△ABC的面积等于18，故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的判定及相似三角形的面积之比等于相似比的平方运用．解答本题求出两三角形相似是关健．5．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，则cosB的值是（）A．B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】根据勾股定理，可得AB的长，根据余弦等于邻边比斜边，可得答案．【解答】解：在Rt，△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，由勾股定理，得AB==．cosB===，故选：C．【点评】本题考查了锐角三角函数，利用勾股定理求出斜边，再利用余弦等于邻边比斜边．6．把抛物线y=x2+1向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线（）A．y=（x+3）2﹣1 B．y=（x+3）2+3 C．y=（x﹣3）2﹣1 D．y=（x﹣3）2+3【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】易得原抛物线的顶点及平移后抛物线的顶点，根据平移不改变抛物线的二次项系数可得新的抛物线解析式．【解答】解：由题意得原抛物线的顶点为（0，1），∴平移后抛物线的顶点为（3，﹣1），∴新抛物线解析式为y=（x﹣3）2﹣1，故选：C．【点评】考查二次函数的几何变换；用到的知识点为：二次函数的平移不改变二次项的系数；得多新抛物线的顶点是解决本题的突破点．7．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则a、b、c满足（）A．a＜0，b＜0，c＞0 B．a＜0，b＜0，c＜0 C．a＜0，b＞0，c＞0 D．a＞0，b＜0，c＞0【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】压轴题．【分析】由于开口向下可以判断a＜0，由与y轴交于正半轴得到c＞0，又由于对称轴x=﹣＜0，可以得到b＜0，所以可以找到结果．【解答】解：根据二次函数图象的性质，∵开口向下，∴a＜0，∵与y轴交于正半轴，∴c＞0，又∵对称轴x=﹣＜0，∴b＜0，所以A正确．故选A．【点评】考查二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定．8．如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，AB=4，则A1B1的长为（）A．1 B．2 C．4 D．8【考点】位似变换．【专题】计算题．【分析】根据位似变换的性质得到=，B1C1∥BC，再利用平行线分线段成比例定理得到=，所以=，然后把OC1=OC，AB=4代入计算即可．【解答】解：∵C1为OC的中点，∴OC1=OC，∵△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，∴=，B1C1∥BC，∴=，∴=，即=∴A1B1=2．故选B．【点评】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行．9．二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A．a＞0B．不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜5C．a﹣b+c＞0D．当x＞2时，y随x的增大而增大【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与不等式（组）．【分析】根据图象开口方向向下得出a的符号，进而利用图象的对称轴得出图象与x轴的交点坐标，再利用图象得出不等式ax2+bx+c＞0的解集．【解答】解：A、图象开口方向向下，则a＜0，故此选项错误；B、∵图象对称轴为直线x=2，则图象与x轴另一交点坐标为：（﹣1，0），∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜5，故此选项正确；C、当x=﹣1，a﹣b+c=0，故此选项错误；D、当x＞2时，y随x的增大而减小，故此选项错误．故选：B．【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系以及二次函数与不等式的解集，利用数形结合得出是解题关键．10．如图，在等边△ABC中，AB=4，当直角三角板MPN的60°角的顶点P在BC上移动时，斜边MP 始终经过AB边的中点D，设直角三角板的另一直角边PN与AC相交于点E．设BP=x，CE=y，那么y 与x之间的函数图象大致是（）A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【分析】根据等边三角形的性质得BD=2，PC=4﹣x，∠B=∠C=60°，由于∠MPN=60°，易得∠DPB=∠PEC，根据三角形相似的判定方法得到△BPD∽△CEP，利用相似比即可得到y=x（4﹣x），配方得到y=﹣（x﹣2）2+2，然后根据二次函数的性质对各选项进行判断．【解答】解：∵等边△ABC中，AB=4，BP=x，∴BD=2，PC=4﹣x，∠B=∠C=60°，∵∠MPN=60°，∴∠DPB+∠EPC=120°，∵∠EPC+∠PEC=120°，∴∠DPB=∠PEC，∴△BPD∽△CEP，∴=，即=，∴y=x（4﹣x）=﹣（x﹣2）2+2，（0≤x≤4）．故选B．【点评】本题考查了动点问题的函数图象：通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．也考查了等边三角形的性质．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．点P（﹣2，y1）和点Q（﹣1，y2）分别为抛物线y=x2﹣4x+3上的两点，则y1＞y2．（用“＞”或“＜”填空）．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】先根据函数解析式确定出对称轴为直线x=2，再根据二次函数的增减性，x＜2时，y随x 的增大而减小解答．【解答】解：∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴二次函数图象的对称轴为直线x=2，∵2＞﹣1＞﹣2，∴y1＞y2．故答案为：＞．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性，求出对称轴解析式是解题的关键．12．在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为1m，同时测得一栋建筑物的影长为12m，那么这栋建筑物的高度为24 m．【考点】相似三角形的应用．【分析】根据同时同地的物高与影长成正比列式计算即可得解．【解答】解：设这栋建筑物的高度为xm，由题意得， =，解得x=24，即这栋建筑物的高度为24m．故答案为：24．【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟记同时同地的物高与影长成正比是解题的关键．13．在△ABC中，∠C=90°，tanA=，则sinB= ．【考点】互余两角三角函数的关系．【分析】根据题意画出图形，设BC=4x，则AC=3x，根据勾股定理求出AB的长，进而可得出结论．【解答】解：如图所示，∵在△ABC中，∠C=90°，tanA=，∴设BC=4x，则AC=3x，∴AB==5x，∴s inB===．故答案为：．【点评】本题考查的是互余两三角函数的关系，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．14．如图，点D为△ABC外一点，AD与BC边的交点为E，AE=3，DE=5，BE=4，要使△BDE∽△ACE，且点B，D的对应点为A，C，那么线段CE的长应等于．【考点】相似三角形的判定．【专题】计算题．【分析】根据对顶角相等得到∠AEC=∠BED，则根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，当=时，△BDE∽△ACE，然后利用比例性质计算CE的长．【解答】解：∵∠AEC=∠BED，∴当=时，△BDE∽△ACE，即=，∴CE=．故答案为．【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，此判定方法要合理使用公共角或对顶角．15．二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m的最大值为 3 ．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】先根据抛物线的开口向上可知a＞0，由顶点纵坐标为﹣3得出b与a关系，再根据一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根可得到关于m的不等式，求出m的取值范围即可．【解答】解：∵抛物线的开口向上，顶点纵坐标为﹣3，∴a＞0．﹣=﹣3，即b2=12a，∵一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，∴△=b2﹣4am≥0，即12a﹣4am≥0，即12﹣4m≥0，解得m≤3，∴m的最大值为3，故答案为3．【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，根据题意判断出a的符号及a、b的关系是解答此题的关键．16．如图，点A1、A2、A3、…，点B1、B2、B3、…，分别在射线OM、ON上，A1B1∥A2B2∥A3B3∥A4B4∥…．如果A1B1=2，A1A2=2OA1，A2A3=3OA1，A3A4=4OA1，…．那么A2B2= 6 ，A n B n= n（n+1）．（n为正整数）【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】规律型．【分析】根据OA1=1，求出A1A2、A2A3、A3A4的值，推出A n A n﹣1的值，根据平行线分线段成比例定理得出=，代入求出A2B2=6=2×（2+1），A3B3=12=3×（3+1），A4B4=20=4（4+1），推出A n B n=n（n+1）即可．【解答】解：∵OA1=1，∴A1A2=2×1=2，A2A3=3×1=3，A3A4=4，…A n﹣2A n﹣1=n﹣1，A n﹣1A n=n，∵A1B1∥A2B2∥A3B3∥A4B4∥…，∴=，∴=，∴A2B2=6=2×（2+1），A3B3=12=3×（3+1），A4B4=20=4（4+1），…，∴A n B n=n（n+1），故答案为：6，n（n+1）．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，解此题的关键是根据求出的结果得出规律，题型较好，但是有一定的难度．三、解答题（本题共30分，每小题5分）17．计算：tan60°﹣cos30°×tan45°+sin30°．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．【解答】解：原式=﹣×1+=+．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．18．若二次函数y=ax2+bx+3的图象经过A（1，0）、B（2，﹣1）两点，求此二次函数的解析式．【考点】待定系数法求二次函数解析式．【专题】计算题．【分析】先把A点和B点坐标代入y=ax2+bx+3得到关于a和b的方程组，然后解方程组即可．【解答】解：根据题意得，解得．所以此二次函数的解析式为y=x2﹣4x+3．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．19．已知：如图，在△ABC中，D是AC上一点，E是AB上一点，且∠AED=∠C．（1）求证：△AED∽△ACB；（2）若AB=6，AD=4，AC=5，求AE的长．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）根据有两对角相等的两个三角形相似证明即可．（2）由（1）中的相似三角形可得关于AE的比例式，代入已知数据计算即可求出AE的长．【解答】（1）证明：∵∠AED=∠ABC，∠A=∠A，∴△AED∽△ABC；（2）∵△AED∽△ABC，∴，∵AB=6，AD=4，AC=5，∴，∴AE=．【点评】本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比．本题中把若干线段的长度用同一线段来表示是求线段是否成比例时常用的方法．20．如图，△ABC的顶点在格点上，且点A（﹣5，﹣1），点C（﹣1，﹣2）．以原点O为位似中心，位似比为2，在第一象限内将△ABC放大，画出△ABC放大后的图形△A′B′C′并写出△A′B′C′各顶点坐标．【考点】作图-位似变换．【分析】直接利用位似图形的性质结合位似比得出对应点坐标，进而得出答案．【解答】解：如图所示：△A′B′C′即为所求，A′（10，2），B′（10，6），C′（2，4）．【点评】此题主要考查了位似变换，根据题意得出对应点位置是解题关键．21．已知二次函数的解析式是y=x2﹣2x﹣3．（1）与x轴的交点坐标是（﹣1，0），（3，0），顶点坐标是（1，﹣4）；y的取值范围是当﹣2＜x＜1时，﹣4＜y＜5；当1＜x＜2时，﹣4＜y＜﹣3 ．【考点】二次函数的图象；二次函数的性质．【分析】（1）根据抛物线y=x2﹣2x﹣3，可以求得抛物线与x轴和y轴的交点；（2）根据第一问中的三个坐标和二次函数图象具有对称性，在表格中填入合适的数据，然后再描点作图即可；（3）根据第二问中的函数图象结合对称轴可以直接写出答案．【解答】解：（1）令y=0，则0=x2﹣2x﹣3．解得x1=﹣1，x2=3．抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交点的坐标为（﹣1，0），（3，0）．y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）x2﹣4，所以它的顶点坐标为（1，﹣4）；图象如图所示：；（3）当﹣2＜x＜1时，﹣4＜y＜5；当1＜x＜2时，﹣4＜y＜﹣3．【点评】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数与x轴、y轴的交点、求顶点坐标，画二次函数的图象，关键是可以根据图象得出所求问题的答案．22．如图，小聪用一块有一个锐角为30°的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距米，小聪身高AB为1.7米，求这棵树的高度．【考点】解直角三角形的应用．【分析】先根据题意得出AD的长，在Rt△ACD中利用锐角三角函数的定义求出CD的长，由CE=CD+DE 即可得出结论．【解答】解：由题意，易知∠CAD=30°，∠CDA=90°，AD=3，CE⊥BE，DE=AB=1.7米，∴，∴．∴CE=3+1.7=4.7．答：这棵树的高度为4.7米．【点评】本题考查的是解直角三角形在实际生活中的应用，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．四、解答题（本题共20分，每小题5分）23．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，（1）求证：AC2=AB•AD；（2）求证：CE∥AD；（3）若AD=4，AB=6，求的值．【考点】相似三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．【分析】（1）由AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，可证得△ADC∽△ACB，然后由相似三角形的对应边成比例，证得AC2=AB•AD；（2）由E为AB的中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得CE=AB=AE，继而可证得∠DAC=∠ECA，得到CE∥AD；（3）易证得△AFD∽△CFE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得的值．【解答】（1）证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∵∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∴AD：AC=AC：AB，∴AC2=AB•AD；（2）证明：∵E为AB的中点，∴CE=AB=AE，∴∠EAC=∠ECA，∵∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠ECA，∴CE∥AD；（3）解：∵CE∥AD，∴△AFD∽△CFE，∴AD：CE=AF：CF，∵CE=AB，∴CE=×6=3，∵AD=4，∴，∴．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．24．已知抛物线y=x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m．（1）求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点；（2）若此抛物线与直线y=x﹣3m+3的一个交点在y轴上，求m的值．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】（1）根据二次函数的交点与图象的关系，证明其方程有两个不同的根即△＞0即可；（2）根据题意，令x=0，整理方程可得关于m的方程，解可得m的值．【解答】（1）证明：令y=0得：x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m=0，∵△=（2m﹣1）2﹣4（m2﹣m）×1＞0，∴方程有两个不等的实数根，∴原抛物线与x轴有两个不同的交点；（2）解：令x=0，根据题意有：m2﹣m=﹣3m+3，解得m=﹣3或1．【点评】本题是二次函数的综合题，考查二次函数和一元二次方程的关系，二次函数的图象与解析式的关系，抛物线与x轴的交点等．25．某工厂设计了一款产品，成本为每件20元．投放市场进行试销，经调查发现，该种产品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足y=﹣2x+80 （20≤x≤40），设销售这种产品每天的利润为W（元）．（1）求销售这种产品每天的利润W（元）与销售单价x（元）之间的函数表达式；（2）当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？【考点】二次函数的应用．【分析】（1）根据“总利润=单件的利润×销售量”列出二次函数关系式即可；（2）将得到的二次函数配方后即可确定最大利润．【解答】解：（1）w=y（x﹣20）=（x﹣20）（﹣2x+80）=﹣2x2+120x﹣1600（2）w=2x2+120x﹣1600=﹣2（x﹣30）2+200，则当销售单价定为30元时，工厂每天获得的利润最大，最大利润是200元．【点评】此题主要考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）．26．有这样一个问题：探究函数y=x2+的图象与性质．小东根据学习函数的经验，对函数y=x2+的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）函数y=x2+的自变量x的取值范围是x≠0；1﹣（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（1，），结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）该函数没有最大值．【考点】二次函数的图象；反比例函数的图象；反比例函数的性质；二次函数的性质．【分析】（1）由图表可知x≠0；（2）根据图表可知当x=3时的函数值为m，把x=3代入解析式即可求得；（3）根据坐标系中的点，用平滑的直线连接即可；（4）观察图象即可得出该函数的其他性质．【解答】解：（1）x≠0，（2）令x=3，∴y=×32+=+=；∴m=；（3）如图（4）该函数的其它性质：①该函数没有最大值；②该函数在x=0处断开；③该函数没有最小值；④该函数图象没有经过第四象限．故答案为该函数没有最大值．【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，根据图表画出函数的图象是解题的关键．五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）27．在平面直角坐标系xOy中，过点（0，2）且平行于x轴的直线，与直线y=x﹣1交于点A，点A 关于直线x=1的对称点为B，抛物线C1：y=x2+bx+c经过点A，B．（1）求点A，B的坐标；（2）求抛物线C1的表达式及顶点坐标；（3）若抛物线C2：y=ax2（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．【考点】二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式．【分析】（1）当y=2时，则2=x﹣1，解得x=3，确定A（3，2），根据AB关于x=1对称，所以B（﹣1，2）．（2）把（3，2），（﹣2，2）代入抛物线C1：y=x2+bx+c得，求出b，c的值，即可解答；（3）画出函数图象，把A，B代入y=ax2，求出a的值，即可解答．【解答】解：（1）当y=2时，则2=x﹣1，解得：x=3，∴A（3，2），∵点A关于直线x=1的对称点为B，∴B（﹣1，2）．（2）把（3，2），（﹣2，2）代入抛物线C1：y=x2+bx+c得：解得：∴y=x2﹣2x﹣1．顶点坐标为（1，﹣2）．（3）如图，当C2过A点，B点时为临界，代入A（3，2）则9a=2，解得：a=，代入B（﹣1，2），则a（﹣1）2=2，解得：a=2，∴．【点评】本题考查了二次函数的性质，解集本题的关键是求出二次函数的解析式，并结合图形解决问题．28．对于二次函数y=x2﹣3x+2和一次函数y=﹣2x+4，把y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线L．现有点A（2，0）和抛物线L上的点B（﹣1，n），请完成下列任务：【尝试】（1）当t=2时，抛物线y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）的顶点坐标为（1，﹣2）；（2）判断点A是否在抛物线L上；（3）求n的值；【发现】通过（2）和（3）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线L总过定点，坐标为（2，0）、（﹣1，6）．．【应用】二次函数y=﹣3x2+5x+2是二次函数y=x2﹣3x+2和一次函数y=﹣2x+4的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】【尝试】（1）将t的值代入“再生二次函数”中，通过配方可得到顶点的坐标；（2）将点A的坐标代入抛物线E上直接进行验证即可；（3）已知点B在抛物线E上，将该点坐标代入抛物线E的解析式中直接求解，即可得到n的值．【发现】将抛物线l展开，然后将含t值的式子整合到一起，令该式子为0（此时无论t取何值都不会对函数值产生影响），即可求出这个定点的坐标．【应用1】将【发现】中得到的两个定点坐标代入二次函数y=﹣3x2+5x+2中进行验证即可．【解答】解：【尝试】（1）∵将t=2代入抛物线l中，得：y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）=2x2﹣4x=2（x﹣1）2﹣2，∴此时抛物线的顶点坐标为：（1，﹣2）．（2）∵将x=2代入y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4），得 y=0，∴点A（2，0）在抛物线l上．（3）将x=﹣1代入抛物线l的解析式中，得：n=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）=6．【发现】∵将抛物线E的解析式展开，得：y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）=t（x﹣2）（x+1）﹣2x+4∴抛物线l必过定点（2，0）、（﹣1，6）．【应用1】将x=2代入y=﹣3x2+5x+2，y=0，即点A在抛物线上．将x=﹣1代入y=﹣3x2+5x+2，计算得：y=﹣6≠6，即可得抛物线y=﹣3x2+5x+2不经过点B，二次函数y=﹣3x2+5x+2不是二次函数y=x2﹣3x+2和一次函数y=﹣2x+4的一个“再生二次函数”．【点评】考查了二次函数的综合知识，该题通过新定义的形式考查了二次函数等综合知识，理解新名词的含义尤为关键．最后一题的综合性较强，通过几何知识找出C、D点的坐标是此题的难点所在．29．矩形ABCD一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得点B落在CD边上的点P处．（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．①求证：△OCP∽△PDA；②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长．（2）如图2，在（1）的条件下，擦去AO和OP，连接BP．动点M在线段AP上（不与点P、A重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问动点M、N 在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？若不变，求出线段EF的长度；若变化，说明理由．【考点】相似形综合题．【分析】（1）①先证出∠C=∠D=90°，再根据∠1+∠3=90°，∠1+∠2=90°，得出∠2=∠3，即可证出△OCP∽△PDA；②根据△OCP与△PDA的面积比为1：4，得出CP=AD=4，设OP=x，则CO=8﹣x，由勾股定理得 x2=（8﹣x）2+42，求出x，最后根据AB=2OP即可求出边AB的长；（2）作MQ∥AN，交PB于点Q，求出MP=MQ，BN=QM，得出MP=MQ，根据ME⊥PQ，得出EQ=PQ，根据∠QMF=∠BNF，证出△MFQ≌△NFB，得出QF=QB，再求出EF=PB，由（1）中的结论求出PB==4，最后代入EF=PB即可得出线段EF的长度不变．【解答】解：（1）①如图1，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=∠D=90°，∴∠1+∠3=90°，∵由折叠可得∠APO=∠B=90°，∴∠1+∠2=90°，∴∠2=∠3，又∵∠D=∠C，∴△OCP∽△PDA；②如图1，∵△OCP与△PDA的面积比为1：4，∴===，∴CP=AD=4，设OP=x，则CO=8﹣x，在Rt△PCO中，∠C=90°，由勾股定理得 x2=（8﹣x）2+42，。
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北京市延庆县第三协作区2015-2016学年九年级数学上学期期中试题一、选择（每小题3分，共33分）1．已知=，那么下列式子中一定成立的是（）A．4m=3n B．3m=4n C．m=4n D．mn=122．如果反比例函数y=在各自象限内，y随x的增大而减小，那么m的取值范围是（）A．m＜0 B．m＞0 C．m＜﹣1 D．m＞﹣13．抛物线y=x2向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到新的图象的二次函数表达式是（）A．y=（x+1）2+2 B．y=（x﹣1）2﹣2 C．y=（x+1）2﹣2 D．y=（x﹣1）2+24．如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则下列结论：①BC=2DE；②△ADE∽△ABC；③．其中正确的有（）A．3个B．2个C．1个D．0个5．如图，▱ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于（）A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．2：36．将y=x2+6x+7化为y=a（x﹣h）2+k的形式，h，k的值分别为（）A．3，﹣2 B．﹣3，﹣2 C．3，﹣16 D．﹣3，﹣167．如果点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）都在反比例函数y=的图象上，那么（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y2＜y1＜y3D．y3＜y2＜y18．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC=∠A，BC=，AC=3，则CD的长为（）A．1 B．C．2 D．9．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中△ABC相似的是（）A．B．C．D．10．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中错误的是（）A．当x＜，y随x的增大而减小B．函数有最小值C．a+b+c＜0 D．当﹣1＜x＜2时，y＞011．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则直线y=ax+b与反比例函数y=在同一坐标系内的大致图象为（）A．B．C．D．二、填空题（12-23题每空2分，24题前两空每空1分，最后一空2分共30分）12．请写出一个开口向下，并且与y轴交于点（0，﹣2）的抛物线的表达式．13．若反比例函数y=的图象位于第二、四象限内，则m的取值范围是．14．抛物线y=（x﹣2）2+1的顶点坐标是，对称轴是．15．抛物线y=﹣+3x﹣2与y=ax2的形状相同，而开口方向相反，则a= ．16．在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为m．17．如图，点P在反比例函数y=的图象上，且PD⊥x轴于点D．若△POD的面积为3，则k的值是．18．如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E．若AD=1，DB=2，则△ADE的面积与△ABC 的面积的比等于．19．抛物线y=2x2+8x+m与x轴只有一个公共点，则m的值为．20．如图，∠DAB=∠CAE，要使△ABC∽△ADE，则补充的一个条件可以是（注：只需写出一个正确答案即可）．21．如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，点D在AC上，且AD=2，如果要在AB上找一点E，使△ADE与原三角形相似，那么AE= ．22．如图所示的抛物线是二次函数y=ax2﹣3x+a2﹣1的图象，那么a的值是．23．初三数学课本上，用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列了如下表格：x …﹣2 ﹣1 0 1 2 …y …﹣4 ﹣2 …根据表格上的信息回答问题：该二次函数y=ax2+bx+c在x=3时，y= ．24．在函数的图象上有点P1，P2，P3，…，P n，P n+1，它们的横坐标依次为1，2，3，…，n，n+1．过点P1，P2，P3，…，P n，P n+1分别作x轴、y轴的垂线段，构成如图所示的若干个矩形，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为S1，S2，S3，…，S n，则点P1的坐标为；S2= ；S n= ．（用含n的代数式表示）三、解答题25．根据下列条件，分别求出对应的二次函数表达式．（1）已知图象过点（6，0），顶点坐标为（4，﹣8）．（2）已知抛物线与x轴的交点是A（﹣2，0），B（3，0），且经过点C（0，6）．26．如图矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F．（1）求证：△ABE∽△DFA；（2）若AB=6，AD=12，BE=8，求DF的长．27．如图，▱ABCD中，E是CB延长线上一点，DE交AB于F．求证：AD•AB=AF•CE．28．如图，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2=的图象交于A（m，3），B（﹣3，n）两点．（1）求一次函数的表达式；（2）观察函数图象，直接写出关于x的不等式＞kx+b的解集．（3）求△AOB的面积．29．已知二次函数y1=ax2+bx﹣3的图象经过点A（2，﹣3），B（﹣1，0），与y轴交于点C，与x轴另一交点交于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）求点C、点D的坐标；（3）画出二次函数的图象；（4）若一条直线y2，经过C、D两点，请直接写出y1＞y2时，x的取值范围．30．如图，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从点A出发，沿着AB以每秒4cm的速度向点B 运动；同时点Q从C点出发，沿着CA以每秒3cm的速度向点A运动．设运动时间为x．（1）当x为何值时，PQ∥BC？（2）△APQ能否与△CQB相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由．31．某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间满足关系：y=ax2+bx﹣75．其图象如图所示．（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元？（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？32．已知：如图，一次函数y=x+2的图象与反比例函数（1，m）的图象交于A、B两点，且点A的坐标为（1，m）．（1）求反比例函数C（n，1）的表达式；（2）点C（n，1）在反比例函数AB⊥CD的图象上，求△AOC面积；（3）在x轴上找出点P，使△ABP是以AB为斜边的直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．33．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2+2x+m2+2的开口向下，且抛物线与y轴的交于点A，与x轴交于B，C两点（B在C左侧）．点A的纵坐标是3．（1）求抛物线的解析式；（2）求直线AB的解析式；（3）将抛物线在点C左侧的图形（含点C）记为G．若直线y=kx+n（n＜0）与直线AB平行，且与图形G恰有一个公共点，结合函数图象写出n的取值范围．34．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．直线y=kx+b与抛物线y=mx2﹣x+n同时经过A（0，3）、B（4，0）．（1）求m，n的值．（2）点M是二次函数图象上一点，（点M在AB下方），过M作MN⊥x轴，与AB交于点N，与x轴交于点Q．求MN的最大值．（3）在（2）的条件下，是否存在点N，使△AOB和△NOQ相似？若存在，求出N点坐标，不存在，说明理由．2015-2016学年北京市延庆县第三协作区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择（每小题3分，共33分）1．已知=，那么下列式子中一定成立的是（）A．4m=3n B．3m=4n C．m=4n D．mn=12【考点】比例的性质．【分析】根据比例的性质：分子分母交叉相乘，可得答案．【解答】解：由=，得4m=3n．A、4m=3n，故A正确；B、4m=3n，故B错误；C、m=，故C错误；D、4m=3n，故D错误；故选：A．【点评】本题考查了比例的性质，利用比例的性质：分子分母交叉相乘是解题关键．2．如果反比例函数y=在各自象限内，y随x的增大而减小，那么m的取值范围是（）A．m＜0 B．m＞0 C．m＜﹣1 D．m＞﹣1【考点】反比例函数的性质．【分析】如果反比例函数y=在各自象限内，y随x的增大而减小，那么m的取值范围是（）【解答】解：∵反比例函数y=的图象在所在象限内，y的值随x值的增大而减小，∴m+1＞0，解得m＞﹣1．故选D．【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．3．抛物线y=x2向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到新的图象的二次函数表达式是（）A．y=（x+1）2+2 B．y=（x﹣1）2﹣2 C．y=（x+1）2﹣2 D．y=（x﹣1）2+2【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】计算题．【分析】原抛物线顶点坐标为（0，0），平移后抛物线顶点坐标为（﹣1，﹣2），根据顶点式可确定抛物线解析式．【解答】解：由题意，得平移后抛物线顶点坐标为（﹣1，﹣2），又平移不改变二次项系数，∴得到的二次函数解析式为y=（x+1）2﹣2．故选C．【点评】主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．4．如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则下列结论：①BC=2DE；②△ADE∽△ABC；③．其中正确的有（）A．3个B．2个C．1个D．0个【考点】三角形中位线定理；相似三角形的判定与性质．【分析】若D、E是AB、AC的中点，则DE是△ABC的中位线，可根据三角形中位线定理得出的等量条件进行判断．【解答】解：∵D、E是AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线；∴DE∥BC，BC=2DE；（故①正确）∴△ADE∽△ABC；（故②正确）∴，即；（故③正确）因此本题的三个结论都正确，故选A．【点评】此题主要考查了三角形中位线定理以及相似三角形的判定和性质．5．如图，▱ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于（）A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．2：3【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】如图，证明AD∥BC，AD=BC；得到△DEF∽△BCF，进而得到；证明BC=AD=2DE，即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC；∴△DEF∽△BCF，∴；∵点E是边AD的中点，∴BC=AD=2DE，∴．故选B．【点评】该题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定及其性质等几何知识点及其应用问题；牢固掌握平行四边形的性质、相似三角形的判定及其性质是关键．6．将y=x2+6x+7化为y=a（x﹣h）2+k的形式，h，k的值分别为（）A．3，﹣2 B．﹣3，﹣2 C．3，﹣16 D．﹣3，﹣16【考点】二次函数的三种形式．【分析】将一般式化为顶点式，由于二次项系数是1，只需加上一次项系数的一半的平方来凑成完全平方式，从而得出h，k的值．【解答】解：∵y=x2+6x+7=x2+6x+9﹣9+7=（x+3）2﹣2，∴h=﹣3，k=﹣2．故选：B．【点评】此题考查二次函数的解析式的三种形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y=a（x﹣h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）．7．如果点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）都在反比例函数y=的图象上，那么（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y2＜y1＜y3D．y3＜y2＜y1【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】直接把各点代入反比例函数的解析式，求出y1，y2，y3的值，再比较出其大小即可．【解答】解：∵点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）都在反比例函数y=的图象上，∴y1==﹣3，y2=，y3==1．∵﹣3＜1＜，∴y1＜y3＜y2．故选B．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．8．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC=∠A，BC=，AC=3，则CD的长为（）A．1 B．C．2 D．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】由条件可证明△CBD∽△CAB，可得到=，代入可求得CD．【解答】解：∵∠DBC=∠A，∠C=∠C，∴△CBD∽△CAB，∴=，即=，∴CD=2，故选C．【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．9．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中△ABC相似的是（）A．B．C．D．【考点】相似三角形的判定．【专题】网格型．【分析】本题主要应用两三角形相似判定定理，三边对应成比例，分别对各选项进行分析即可得出答案．【解答】解：已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例．故选：B．【点评】此题考查三角形相似判定定理的应用．10．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中错误的是（）A．当x＜，y随x的增大而减小B．函数有最小值C．a+b+c＜0 D．当﹣1＜x＜2时，y＞0【考点】二次函数的性质．【分析】观察可判断函数有最小值；由抛物线可知当﹣1＜x＜2时，可判断函数值的符号；观察当x=1时，函数值的符号，可判断a+b+c的符号；由抛物线对称轴和开口方向可知y随x的增大而减小，可判断结论．【解答】解：A、由图象可知在对称轴的左侧y随x的增大而减小，故正确；B、由图象可知函数有最小值，故正确；C、当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0，故正确；D、由抛物线可知当﹣1＜x＜2时，y＜0，故错误．故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象的性质，解析式的系数的关系．关键是掌握各项系数与抛物线的性质之间的联系．11．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则直线y=ax+b与反比例函数y=在同一坐标系内的大致图象为（）A．B．C．D．【考点】二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象．【专题】压轴题．【分析】本题形数结合，根据二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象位置，可判断a、b、c的符号；再由一次函数y=ax+b，反比例函数y=中的系数符号，判断图象的位置．经历：图象位置﹣系数符号﹣图象位置．【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象开口向下，a＜0；与y轴交于正半轴，c＞0；对称轴x=﹣＜0，故b＜0；于是直线y=ax+b过二、三、四象限，反比例函数y=过二、四象限．故选B．【点评】此题考查一次函数，二次函数，反比例函数中系数及常数项与图象位置之间关系．二、填空题（12-23题每空2分，24题前两空每空1分，最后一空2分共30分）12．请写出一个开口向下，并且与y轴交于点（0，﹣2）的抛物线的表达式y=﹣x2﹣2x﹣2（答案不唯一）．【考点】二次函数的性质．【专题】计算题；开放型．【分析】写出一个二次函数，使其二次项系数为负数，常数项为﹣2即可．【解答】解：根据题意得：y=﹣x2﹣2x﹣2（答案不唯一），故答案为：y=﹣x2﹣2x﹣2（答案不唯一）【点评】此题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．13．若反比例函数y=的图象位于第二、四象限内，则m的取值范围是m＜1 ．【考点】反比例函数的性质．【分析】直接根据反比例函数的性质即可得出结论．【解答】解：∵反比例函数y=的图象位于第二、四象限内，∴m﹣1＜0，解得m＜1．故答案为：m＜1．【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．14．抛物线y=（x﹣2）2+1的顶点坐标是（2，1），对称轴是x=2 ．【考点】二次函数的性质．【分析】利用抛物线的顶点式，直接写出顶点坐标与对称轴即可．【解答】解：∵抛物线y=（x﹣2）2+1，∴顶点坐标是（2，1），对称轴是x=2．故答案为：（2，1），x=2．【点评】此题考查了二次函数的性质，二次函数y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h．15．抛物线y=﹣+3x﹣2与y=ax2的形状相同，而开口方向相反，则a= ．【考点】二次函数的性质．【分析】抛物线的形状与|a|有关，开口方向与a的正负有关．【解答】解：∵抛物线y=﹣x2+3x﹣2与y=ax2的形状相同，∴二次项系数的绝对值相等，都为；∵开口方向相反，∴二次项系数互为相反数，即y=ax2中，a=．故答案为：．【点评】此题考查二次函数的性质，抛物线的开口大小由|a|决定，|a|越大，抛物线的开口越窄；|a|越小，抛物线的开口越宽．16．在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为15 m．【考点】相似三角形的应用．【分析】根据同时同地物高与影长成正比列式计算即可得解．【解答】解：设旗杆高度为x米，由题意得， =，解得x=15．故答案为：15．【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了同时同地物高与影长成正比，需熟记．17．如图，点P在反比例函数y=的图象上，且PD⊥x轴于点D．若△POD的面积为3，则k的值是﹣6 ．【考点】反比例函数系数k的几何意义．【分析】根据反比例函数比例系数k的几何意义即可直接求解．【解答】解：S△POD=|k|=3，又∵k＜0，∴k=﹣6．故答案是：﹣6．【点评】本题考查了反比函数k的几何意义，过图象上的任意一点作x轴、y轴的垂线，所得三角形的面积是|k|，是经常考查的知识点，也体现了数形结合的思想．18．如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E．若AD=1，DB=2，则△ADE的面积与△ABC 的面积的比等于1：9 ．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】根据DE∥BC，即可证得△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即可求解．【解答】解：∵AD=1，DB=2，∴AB=AD+DB=3，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=（）2=（）2=1：9．故答案为1：9．【点评】本题考查了三角形的判定和性质：熟练掌握相似三角形的面积比是相似比的平方是解题的关键．19．抛物线y=2x2+8x+m与x轴只有一个公共点，则m的值为8 ．【考点】抛物线与x轴的交点．【专题】判别式法．【分析】由抛物线y=2x2+8x+m与x轴只有一个公共点可知，对应的一元二次方程2x2+8x+m=0，根的判别式△=b2﹣4ac=0，由此即可得到关于m的方程，解方程即可求得m的值．【解答】解：∵抛物线与x轴只有一个公共点，∴△=0，∴b2﹣4ac=82﹣4×2×m=0；∴m=8．故答案为：8．【点评】此题主要考查了二次函数根的判别式的和抛物线与x轴的交点个数的关系．20．如图，∠DAB=∠CAE，要使△ABC∽△ADE，则补充的一个条件可以是∠B=∠D（注：只需写出一个正确答案即可）．【考点】相似三角形的判定．【专题】开放型．【分析】已知一组角对应相等，要使△ABC∽△ADE，则可补充∠B=∠D或∠AED=∠ACB、AD：AB=AB：AC．【解答】解：根据相似三角形的判定：两角对应相等，两三角形相似；两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．已知∠DAB=∠CAE，则∠DAE=∠BAC，要使△ABC∽△ADE，则补充的一个条件可以是∠B=∠D或∠AED=∠ACB、AD：AB=AB：AC．【点评】相似三角形的判定：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似；（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．21．如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，点D在AC上，且AD=2，如果要在AB上找一点E，使△ADE与原三角形相似，那么AE= 或．【考点】相似三角形的判定．【专题】计算题．【分析】两三角形有一公共角，再求夹此公共角的两边对应成比例即可．点E位置未确定，所以应分别讨论，△ABC∽△ADE或△ABC∽△AED．【解答】解：第一种情况：要使△ABC∽△ADE，∠A为公共角，AB：AD=AC：AE，即8：2=6：AE，∴AE=；第二种情况：要使△ABC∽△AED，∠A为公共角，AB：AE=AC：AD，即8：AE=6：2，∴AE=．故答案为：或．【点评】考查相似三角形的判定定理：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．需注意的是边的对应关系．22．如图所示的抛物线是二次函数y=ax2﹣3x+a2﹣1的图象，那么a的值是﹣1 ．【考点】二次函数的图象．【分析】由图象可知，抛物线经过原点（0，0），二次函数y=ax2﹣3x+a2﹣1与y轴交点纵坐标为a2﹣1，所以a2﹣1=0，解得a的值．再图象开口向下，a＜0确定a的值．【解答】解：由图象可知，抛物线经过原点（0，0），所以a2﹣1=0，解得a=±1，∵图象开口向下，a＜0，∴a=﹣1．【点评】主要考查了从图象上把握有用的条件，准确选择数量关系解得a的值，简单的图象最少能反映出2个条件：开口向下a＜0；经过原点a2﹣1=0，利用这两个条件即可求出a的值．23．初三数学课本上，用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列了如下表格：x …﹣2 ﹣1 0 1 2 …y …﹣4 ﹣2 …根据表格上的信息回答问题：该二次函数y=ax2+bx+c在x=3时，y= ﹣4 ．【考点】二次函数的图象．【专题】压轴题；图表型．【分析】由表格可知，（0，﹣2），（2，﹣2）是抛物线上两对称点，可求对称轴x=1，再利用对称性求出横坐标为3的对称点（﹣1，﹣4）即可．【解答】解：观察表格可知，当x=0或2时，y=﹣2，根据二次函数图象的对称性，（0，﹣2），（2，﹣2）是抛物线上两对称点，对称轴为x==1，顶点（1，﹣2），根据对称性，x=3与x=﹣1时，函数值相等，都是﹣4．故答案为：﹣4．【点评】观察二次函数的对应值的表格，关键是寻找对称点，对称轴，利用二次函数的对称性解答．24．在函数的图象上有点P1，P2，P3，…，P n，P n+1，它们的横坐标依次为1，2，3，…，n，n+1．过点P1，P2，P3，…，P n，P n+1分别作x轴、y轴的垂线段，构成如图所示的若干个矩形，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为S1，S2，S3，…，S n，则点P1的坐标为（1，8）；S2= ；S n= ．（用含n的代数式表示）【考点】反比例函数系数k的几何意义．【专题】规律型．【分析】先根据反比例函数图象上点的坐标特征得到P1（1，8），P2（2，4），P3（3，），P4（4，2），再利用矩形的面积公式分别计算出S1=，S2=，S3=，观察面积的值得到分子为8，分母为序号数和比序号数大1的数的积，由此得到Sn=．【解答】解：当x=1时，y==8，则P1（1，8）；当x=2时，y==4，则P2（2，4）；当x=3时，y==，则P3（3，）；当x=4时，y==2，则P4（4，2）；S1=1×（﹣）=，S2=1×（﹣）=，S3=1×（﹣）=，…，所以Sn=．故答案为（1，8），，．【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．三、解答题25．根据下列条件，分别求出对应的二次函数表达式．（1）已知图象过点（6，0），顶点坐标为（4，﹣8）．（2）已知抛物线与x轴的交点是A（﹣2，0），B（3，0），且经过点C（0，6）．【考点】待定系数法求二次函数解析式．【分析】（1）设抛物线顶点式解析式为y=a（x﹣4）2﹣8，然后把点（6，0）代入进行计算即可得解；（2）设抛物线交点式解析式y=a（x+2）（x﹣3），然后把点（0，6）代入计算即可得解．【解答】解：（1）设y=a（x﹣4）2﹣8，则a（6﹣4）2﹣8=0，解得a=2，则y=2（x﹣4）2﹣8；（2）设y=a（x+2）（x﹣3），则a（0+2）（0﹣3）=6，解得a=﹣1，则y=﹣（x+2）（x﹣3）．【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．26．如图矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F．（1）求证：△ABE∽△DFA；（2）若AB=6，AD=12，BE=8，求DF的长．【考点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质．【分析】（1）△ABE和△DFA都是直角三角形，还需一对角对应相等即可．根据AD∥BC可得∠DAF=∠AEB，问题得证；（2）运用相似三角形的性质求解．【解答】（1）证明：∵DF⊥AE，∴∠AFD=90°．（1分）∴∠B=∠AFD=90°．（2分）又∵AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB．（3分）∴△ABE∽△DFA．（4分）（2）解：∵AB=6，BE=8，∠B=90°，∴AE=10．（6分）∵△ABE∽△DFA，∴=．（7分）即=．∴DF=7.2．（8分）【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质，以及矩形的性质、勾股定理等知识点，难度中等．27．如图，▱ABCD中，E是CB延长线上一点，DE交AB于F．求证：AD•AB=AF•CE．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【专题】证明题．【分析】根据已知条件很容易就可推出△ECD∽△DAF，求出对应边的比例式，根据CD=AB，进行相关线段的等量代换即可．【解答】证明：在▱ABCD中，因为AB∥DC，所以∠CDE=∠BFE=∠AFD，又因为∠A=∠C，所以△ECD∽△DAF，所以=，又CD=AB，所以=，故AD•AB=AF•CE．【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，本题的关键是证明△ECD和△D AF相似，根据平行四边形的性质找到相等关系，进行等量代换．28．如图，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2=的图象交于A（m，3），B（﹣3，n）两点．（1）求一次函数的表达式；（2）观察函数图象，直接写出关于x的不等式＞kx+b的解集．（3）求△AOB的面积．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）把A和B代入反比例函数解析式即可求得坐标，然后用待定系数法求得一次函数的解析式；（2）不等式＞kx+b的解集就是：对于相同的x的值，反比例函数的图象在上边的部分自变量的取值范围；（3）根据三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：（1）∵A（m，3），B（﹣3，n）两点在反比例函数y2=的图象上，∴m=2，n=﹣2．∴A（2，3），B（﹣3，﹣2）．根据题意得：，解得：，∴一次函数的解析式是：y1=x+1；（2）根据图象得：0＜x＜2或x＜﹣3．（3）∵一次函数的解析式是y1=x+1；∴直线AB与y轴的交点为（0，1），∴S△AOB=+=．【点评】本题综合考查一次函数与反比例函数的图象与性质，同时考查用待定系数法求函数解析式．本题需要注意无论是自变量的取值范围还是函数值的取值范围，都应该从交点入手思考；需注意反比例函数的自变量不能取0．29．已知二次函数y1=ax2+bx﹣3的图象经过点A（2，﹣3），B（﹣1，0），与y轴交于点C，与x轴另一交点交于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）求点C、点D的坐标；（3）画出二次函数的图象；（4）若一条直线y2，经过C、D两点，请直接写出y1＞y2时，x的取值范围．【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象；二次函数与不等式（组）．【专题】计算题．【分析】（1）把A点和B点坐标代入y1=ax2+bx﹣3得到关于a、b的方程组，然后解方程组即可；（2）计算自变量为0所对应的函数值即可得到C点坐标，计算函数值为0所对应的函数值即可得到D点坐标；（3）把解析式配成顶点式，然后利用描点法画出二次函数图象；（4）观察函数图象，写出抛物线在直线上方所对应的自变量的取值范围即可．【解答】解：（1）根据题意得，解得．所以抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3；（2）当x=0时，y=x2﹣2x﹣3=﹣3，则C（0，﹣3）；当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3，则D（3，0）；（3）y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，则抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），如图，（4）当x＜﹣1或x＞3时，y1＞y2．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．30．如图，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从点A出发，沿着AB以每秒4cm的速度向点B 运动；同时点Q从C点出发，沿着CA以每秒3cm的速度向点A运动．设运动时间为x．（1）当x为何值时，PQ∥BC？（2）△APQ能否与△CQB相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】动点型．【分析】（1）当PQ∥BC时，根据平行线分线段成比例定理，可得出关于AP，PQ，AB，AC的比例关系式，我们可根据P，Q的速度，用时间x表示出AP，AQ，然后根据得出的关系式求出x的值．（2）本题要分两种情况进行讨论．已知了∠A和∠C对应相等，那么就要分成AP和CQ对应成比例以及AP和BC对应成比例两种情况来求x的值．【解答】解：（1）由题意得，PQ平行于BC，则AP：AB=AQ：AC，AP=4x，AQ=30﹣3x∴=∴x=（2）假设两三角形可以相似情况1：当△APQ∽△CQB时，CQ：AP=BC：AQ，即有=解得x=，经检验，x=是原分式方程的解．此时AP=cm，情况2：当△APQ∽△CBQ时，CQ：AQ=BC：AP，即有=解得x=5，经检验，x=5是原分式方程的解．此时AP=20cm．综上所述，AP=cm或AP=20cm．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，根据三角形相似得出线段比或面积比是解题的关键．31．某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间满足关系：y=ax2+bx﹣75．其图象如图所示．（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元？（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？【考点】二次函数的应用．【专题】销售问题．【分析】（1）根据待定系数法，可得二次函数解析式，根据顶点坐标，可得答案；（2）根据函数值大于或等于16，可得不等式的解集，可得答案．【解答】解；（1）y=ax2+bx﹣75图象过点（5，0）、（7，16），∴，解得，y=﹣x2+20x﹣75的顶点坐标是（10，25）当x=10时，y最大=25，答：销售单价为10元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润为25元；（2）∵函数y=﹣x2+20x﹣75图象的对称轴为直线x=10，可知点（7，16）关于对称轴的对称点是（13，16），又∵函数y=﹣x2+20x﹣75图象开口向下，∴当7≤x≤13时，y≥16．答：销售单价不少于7元且不超过13元时，该种商品每天的销售利润不低于16元．【点评】本题考查了二次函数的应用，利用待定系数法求解析式，利用顶点坐标求最值，利用对称点求不等式的解集．32．已知：如图，一次函数y=x+2的图象与反比例函数（1，m）的图象交于A、B两点，且点A的坐标为（1，m）．（1）求反比例函数C（n，1）的表达式；（2）点C（n，1）在反比例函数AB⊥CD的图象上，求△A OC面积；（3）在x轴上找出点P，使△ABP是以AB为斜边的直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．。