【百强校】湖南省衡阳市第八中学2018_2019学年高二数学下学期期期末考试试题数学(理)(含解析)

衡阳市八中2018_2019学年高二下学期期期末考试理科数学一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.设集合{}1,2,3,4,5U =，{}2,4A =，{}1,2,3B =，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）．A. {}4B. {}2,4C. {}4,5D.{}1,3,4【答案】A 【解析】【详解】图中阴影部分所表示的集合A 中的元素除去集合B 中的元素构成的集合，故图中阴影部分所表示的集合是A u C B ⋂={}4，故选A.2.已知双曲线C 与椭圆E ：221925+=x y 有共同的焦点，它们的离心率之和为145，则双曲线C 的标准方程为（ ） A. 221124x y -=B. 221412x y -=C. 221412y x -=D.221124y x -= 【答案】C 【解析】 【分析】由椭圆方程求出双曲线的焦点坐标，及椭圆的离心率，结合题意进一步求出双曲线的离心率，从而得到双曲线的实半轴长，再结合隐含条件求得双曲线的虚半轴长得答案．【详解】由椭圆221925x y +=，得225a =，29b =，则22216c a b =-=，∴双曲线与椭圆的焦点坐标为()10,4F -，()20,4F ， ∴椭圆的离心率为45，则双曲线的离心率为144255-=． 设双曲线的实半轴长为m ，则42m=，得2m =，则虚半轴长n =∴双曲线的方程是221412y x -=．故选：C ．【点睛】本题考查双曲线方程的求法，考查了椭圆与双曲线的简单性质，是中档题．3.在复平面内，复数11iz =+，则z 对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】 化简复数11iz =+，计算z ，再计算对应点的象限. 【详解】复数11-1111+1(1)(1-)2222i z i z i i i i ===-⇒=++ 对应点为：11(,)22故答案选A【点睛】本题考查了复数的计算，共轭复数，复数对应点象限，意在考查学生的计算能力.4.已知点F 为抛物线 C ：24y x = 的焦点. 若过点F 的直线 l 交抛物线C 于A ， B 两点，交该抛物线的准线于点M ，且1MA AF λ=u u u r u u u r ，2MB BF λ=u u u r u u u r，则12λλ+=（ ）A. 12-B. 0C. 1D. 2【答案】B 【解析】 【分析】将长度利用相似转换为坐标关系，联立直线和抛物线方程，利用韦达定理求得答案. 【详解】易知：焦点F 坐标为(1,0)，设直线方程为：(1)y k x =- 1122(,),(,)A x y B x y22222124(44)01(1)y xk x k x k x x y k x ⎧=⇒-++=⇒=⎨=-⎩ 如图利用AFG ANQ ∆∆:和FBP FHM ∆∆: 相似得到：111111x MA MA AF AF x λλ+=⇒=-=--u u u r u u u r ，222211x MB MB BF BF x λλ+=⇒==-u u u r u u u r12121212121122011(1)(1)x x x x x x x x λλ++-+=-+==---- 【点睛】本题考查了抛物线与直线的关系，相似，意在考查学生的计算能力.5.已知5(1)(1)ax x ++的展开式中2 x 的系数为 5，则a =（ ）A. 4B. 3C. 2D. -1【答案】D 【解析】 【分析】将化简为：55(1)(1)x ax x +++分别计算2 x 的系数，相加为5解得a .【详解】555(1)(1)(1)(1)ax x x ax x ++=+++5(1)x +中2 x 的系数为：2510C = 5(1)ax x +2 x 的系数为：155aC a =2 x 的系数为：10551a a +=⇒=-故答案选D【点睛】本题考查了二项式定理的计算，分成两种情况简化了计算.6.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》 中记载的算筹. 古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算， 算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把 各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示， 十位、千位、十万位用横式表示， 以此类推．例如 8455 用算筹表示就是，则以下用算筹表示的四位数正确的为（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】根据题意直接判断即可.【详解】根据“各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示”的原则，只有C 符合，故选C. 【点睛】本题主要考查合情推理，属于基础题型.7.将函数sin()()6y x x R π=+∈的图象上所有的点向左平移4π个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的 2 倍（纵坐标不变），则所得到的图象的解析式为（ ） A. 5sin(2)()12y x x R π=+∈ B. 5sin()()212x y x R π=+∈C. sin()()212x y x R π=-∈ D. 5sin()()224x y x R π=+∈ 【答案】B 【解析】试题分析：函数sin()6y x π=+，()x R ∈的图象上所有点向左平移4π个单位长度得sin()46y x ππ=++，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，得5sin()212x y π=+，选B.考点：三角函数图像变换8.函数ln ()x f xx=的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】取特殊值排除选项得到答案.【详解】取ln22,(2)02x f==>，排除C取1ln112,()01222x f==<，排除BD故答案选A【点睛】本题考查了函数的图像，通过特殊值排除可以简化计算.9.某锥体的正视图和侧视图均为如图所示的等腰三角形，则该几何体的体积最小值为（）A.4πB.12C. 1D. 2【答案】B【解析】 【分析】锥体高一定，底面积最小时体积最小，底面图形可以是圆，等腰直角三角形，正方形，等腰直角三角形是面积最小，计算得到答案.【详解】锥体高一定，底面积最小时体积最小，底面图形可以是圆，等腰直角三角形，正方形，等腰直角三角形是面积最小111113322V =⨯⨯⨯⨯=故答案选B【点睛】本题考查了锥体的体积，判断底面是等腰直角三角形是解题的关键.10.已知函数()(ln )xe f x k x x x=--，若()f x 只有一个极值点，则实数k 的取值范围是A. (,)e -+∞B. (,)e -∞C. (,]e -∞D.1(,]e-∞【答案】C 【解析】 【分析】由2()()(1),(0,)x kx e f x x x x -∈'=-+∞，令()0f x '=，解得1x =或x ek x=，令()xe g x x =，利用导数研究其单调性、极值，得出结论.详解】221(1)()()(1)(1),(0,)x x e x kx e f x k x x x x x--=--=-∈+∞'， 令()0f x '=，解得1x =或xek x=，令()x e g x x =，可得2(1)()x e x g x x'-=， 当1x =时，函数()g x 取得极小值，(1)g e =，所以当k e <时，令()0f x '=，解得1x =，此时函数()f x 只有一个极值点，当k e =时，此时函数()f x 只有一个极值点1，满足题意， 当k e >时不满足条件，舍去.综上可得实数k 的取值范围是(,]e -∞，故选C.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与极值、方程与不等式的解法、分类讨论思想，属于难题.11.已知高为 H的正三棱锥 P ABC -的每个顶点都在半径为R 的球O 的球面上，若二面角 P AB C --的正切值为 4 ，则RH=（ ） A.37B.35C.59D.58【答案】D 【解析】 【分析】过P 作PM ⊥平面ABC 于M ，D 为AB 中点，连接,PD CD .证明面角 P AB C --的平面角为PDC ∠,计算得到2HCM =,通过勾股定理计算得到答案. 【详解】如图：正三棱锥 P ABC -，过P 作PM ⊥平面ABC 于M ，D 为AB 中点，连接,PD CD .易知：,M CD O PM ∈∈D 为AB 中点,PD AB CD AB ⇒⊥⊥⇒二面角P AB C --的平面角为PDC ∠正切值为442H H DM CM ⇒=⇒= 在Rt OMC ∆中，根据勾股定理：2225()()28H R R H R H =-+⇒= 故答案选D【点睛】本题考查了三棱锥的外接球，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.12.已知实数x ，y 满足约束条件5001202x y y x y x ⎧⎪+-≥⎪-≥⎨⎪⎪--≤⎩，若不等式()()2212420a x xy a y -++-≥恒成立，则实数a 的最大值为（ ）A.73B.53【答案】A 【解析】【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，考查目标函数yt x=，由目标函数的几何意义可知，目标函数在点()23C ，处取得最大值max 32y t x ==，在点A 或点B 处取得最小值min 1t =，即312t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，．题中的不等式即：()2222224a x y x xy y +≤++，则：22222224421221x xy y t t a x y t ++++≤=++恒成立，原问题转化为求解函数()2242131212t t f t t t ++⎛⎫=≤≤ ⎪+⎝⎭的最小值，整理函数的解析式有：()22211112424221211131224112122t t t f t t t t t ⎛⎫⎪ ⎪⎛⎫ ⎪++- ⎪ ⎪=⨯=⨯+=+ ⎪ ⎪ ⎪++ ⎪⎝⎭-++ ⎪ ⎪-⎝⎭，令12m t =-，则112m ≤≤， 令()34g m m m=+，则()g m 在区间132⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，上单调递减，在区间31⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，上单调递增， 且()172124g g ⎛⎫==⎪⎝⎭，，据此可得，当112m t ==，时，函数()g m 取得最大值，则此时函数()f t 取得最小值，最小值为：()2241211712113f ⨯+⨯+==⨯+．综上可得，实数a 的最大值为73．本题选择A 选项．【方法点睛】本题主要考查基本不等式，在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等．①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值．若等号不成立，则利用对勾函数的单调性解决问题．二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 把答案填在答题卡中的横线上）13.已知向量(2,1)a =-r ，(,1)b λ=r，若a b a b +=-r r r r ，则λ= ______．【答案】12【解析】 【分析】由a b a b +=-r r r r 得到0a b ⋅=r r ，计算得到答案.【详解】已知向量(2,1)a =-r ，(,1)b λ=r，若a b a b +=-r r r r 2222022a b b a b b a a b b a b a a +=⋅+=⋅+⇒⋅=-⇒+-r r r r r r r r r r r rr r12102a b λλ⋅=-=⇒=r r所以答案为：12【点睛】本题考查了向量的计算，将条件转化为0a b ⋅=r r是解题的关键.14.设3a 0.2=，0.2b 3=，0.3c log 2=，则a ，b ，c 的大小关系用“<”连接为______． 【答案】c a b << 【解析】 【分析】分别判断出1a <，1b >，0c <，从而得到三者大小关系.【详解】3000.20.21a <=<=Q ，0.20331b =>=，0.30.3log 2log 10c =<= 则,,a b c 的大小关系用“<”连接为c a b << 本题正确结果：c a b <<【点睛】本题考查指对数比较大小类的问题，解决此类问题的方法主要有两种：1.构造合适的函数模型，利用单调性判断；2.利用临界值进行区分.15.某细胞集团，每小时有2个死亡，余下的各个分裂成2个，经过8小时后该细胞集团共有772个细胞，则最初有细胞__________个. 【答案】7. 【解析】 【分析】设开始有细胞a 个，利用细胞生长规律计算经过1小时、2小时后的细胞数，找出规律，得到经过8小时后的细胞数898282222a a =----L ，根据条件列式求解. 【详解】设最初有细胞a 个，因为每小时有2个死亡，余下的各个分裂成2个，所以经过1个小时细胞有1a =2(2)222a a -⋅=-，经过2个小时细胞有21(2)2a a =-⋅=2232[(22)2]2222a a --⋅=--， ······经过8个小时细胞有898282222a a =----L ，又8772a =， 所以89822222772a ----=L ，8824(21)772a --=，7a =. 故答案为7.【点睛】本题考查等比数列求和公式的应用，找出规律、构造数列是解题关键，考查阅读理解能力及建模能力，属于基础题.16.如图所示，在三棱锥 D ABC -中，若AB CB =，AD CD =，E 是AC 的中点，则下列命题中正确的是_______(填序号)． ①平面 ABC ⊥平面ABD ； ②平面 ABC ⊥平面BCD ；③平面 ABC ⊥平面BDE ，且平面ACD ⊥平面BDE ； ④平面 ABC ⊥平面ACD ，且平面 ACD ⊥平面BDE .【答案】③ 【解析】 【分析】由AB=BC ，AD=CD ，说明对棱垂直，推出平面ABC⊥平面BDE ，且平面ADC⊥平面BDE ，即可得出结论．【详解】因为AB ＝CB ，且E 是AC 的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC ⊥平面BDE ． 因为AC 在平面ABC 内，所以平面ABC ⊥平面BDE ．又由于AC ⊂平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面BDE ， 故答案为：③．【点睛】本题考查了平面与平面垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）（一）必考题：60 分．17.已知在ABC △中，角 A 、 B 、 C 的对边分别是a 、b 、c ，且22sin 3cos()0A B C ++=． （1）求角 A 的大小；（2）若ABC △的面积，S = 4c =，求 sin sin B C +的值．【答案】（1）3π； （2【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数关系得到2（1﹣cos 2A ）﹣3cosA=0，解出角A 的余弦值，进而得到角A ；（2）根据三角形的面积公式和余弦定理得到，再结合正弦定理得到最终结果. 【详解】（1）∵在△ABC 中2sin 2A+3cos （B+C ）=0，∴2（1﹣cos 2A ）﹣3cosA=0，解得cosA=12，或cosA=﹣2（舍去）， ∵0＜A ＜π，∴A=3π；（2）∵△ABC 的面积S=12，∴bc=20， 再由c=4可得b=5，故b+c=9，由余弦定理可得：a 2=b 2+c 2﹣2bccosA=（b+c ）2﹣3bc=21，∴sinB+sinC ()sin sin sin 9b A c A A b c a a a =+=⨯+==∴sinB+sinC 的值是14. 【点睛】这个题目考查了同角三角函数的化简求值，考查了三角形面积公式和正余弦定理的应用，解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60BAD ︒∠=，90APD ︒∠=，且AD PB =.（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）若AD PB ⊥，求二面角D PB C --的余弦值. 【答案】（1）见解析； （2）77. 【解析】 【分析】（1）先根据计算得线线线线垂直，再根据线面垂直判定定理以及面面垂直判定定理得结论，（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角. 【详解】（1）证明：取AD 中点O ，连结OP ，OB ，BD ， 因为底面ABCD 为菱形，60BAD ∠=o ，所以AD = AB BD =． 因为O 为AD 的中点，所以OB AD ⊥．在△APD 中，90APD o ∠=， O 为AD 的中点，所以12PO AD AO ==． 设2AD PB a ==,则3OB a =，PO OA a ==，因为22222234PO OB a a a PB +=+==，所以OP OB ⊥． 在△APD 中，90APD o ∠=，O 为AD 的中点，所以12PO AD AO ==． 在△ BOP 和△ BOA 中，因为PO AO =，PB AD AB ==，BO BO =， 所以△ BOP ≅△ BOA ．所以90BOP BOA o ∠=∠=．所以OP OB ⊥．因为OP AD O ⋂=，OP ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以OB ⊥平面PAD ．因为OB ⊂平面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD ．（2）因为AD PB ⊥，AD OB ⊥，OB PB B ⋂=，PB ⊂平面POB ，OB ⊂平面POB ， 所以AD ⊥平面POB ．所以PO AD ⊥．由（1）得PO OB ⊥，AD OB ⊥，所以OA ，OB ，OP 所在的直线两两互相垂直． 以O 为坐标原点，分别以,,OA OB OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．设2AD =，则()1,0,0A ，()1,0,0D -，()3,0B ，()0,0,1P ，所以()1,0,1PD =--u u u v ，()3,1PB =-u u u v ，()2,0,0BC AD ==-u u u v u u u v，设平面PBD 的法向量为()111,,n x y z =，则1111•0,•30,n PD x z n PB z ⎧=--=⎪⎨=-=⎪⎩u u u vu u u v 令11y =，则13x =-13z =(3,1,3n =-． 设平面PBC 的法向量为()222,,m x y z =，则222•20,•30,m BC x m PB z ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩u u u v u u u v 令21y =，则20x =，23z =(3m =． 设二面角D PB C --为θ，由于θ为锐角， 所以cos cos ,m n θ= 2727==⨯． 所以二面角D PB C --27．【点睛】本题考查线面垂直判定定理、面面垂直判定定理以及利用空间向量求二面角，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.19.已知椭圆E :22221(0)x y a b a b +=>>的离心率32e =，过椭圆的上顶点A 和右顶点B 的直线与原点O 25， （1）求椭圆E 的方程；（2）是否存在直线l 经过椭圆左焦点与椭圆E 交于M ,N 两点，使得以线段MN 为直径的圆恰好经过坐标原点O ？若存在,求出直线l 方程；若不存在,请说明理由.【答案】（1）2214x y +=；（2）21130x y -+=，或211230x +-=. 【解析】试题分析：（1）由题意，根据离心率定义得到a 与c 的关系式，再由点,A B 求出直线AB 的方程，根据点到直线距离公式，得到a 与b 的关系式，再结合222a b c =+，从而得出椭圆方程；（2）根据题意，可将直线l 斜率存在与否进行分类讨论，由“线段MN 为直径”，得0OM ON ⋅=u u u u r u u u r，再利用向量数量积的坐标运算，从而解决问题.试题解析：（1）由已知得，32c e a ==因为过椭圆的上顶点A 和右顶点B 的直线与原点25，所以2225a b=+，解得2,1,3a b c ===故所求椭圆E 的方程:2214x y +=（2）椭圆E左焦点()，①当直线l 斜率不存在时，直线l 与椭圆E交于11,22⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭两点，显然不存在满足条件的直线.………6分②当直线l 斜率存在时，设直线:ly kx =+联立2214y kx x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，消y 得，()2222141240k x x k +++-=由于直线l 经过椭圆E 左焦点，所以直线l 必定与椭圆E 有两个交点，0∴∆>恒成立设()()1122,,,M x y N x y则12x x +=，212212414k x x k -=+若以MN 为直径的圆过O 点，则0OM ON ⋅=u u u u v u u u v，即12120x x y y += (*)而()()()222121212123y y kx kxk x x x x k ==+++，代入(*)式得，()()2221212130k x xx x k +++=即()22222221241301414k kk k k-+⋅⋅+=++，解得2411k =，即11k =或11k =-．所以存在11k =或11k =-使得以线段MN 为直径的圆过原点O ．故所求的直线方程为20x -+=，或20x -=.20.已知函数()()21ln 12g x a x x b x =++-. （1）若()g x 在点()()1,1g 处的切线方程为8230x y --=,求,a b 的值; （2）若121,,b a x x =+是函数()g x 的两个极值点,试比较4-与()()12g x g x +的大小. 【答案】（1）1,1a b ==-； （2）()()124g x g x +<-. 【解析】【分析】（1）先求得切点的坐标，然后利用切点和斜率列方程组，解方程组求得,a b 的值.（2）将()g x 转化为只含有a 的式子.对函数()g x 求导，利用二次函数零点分布的知识求得a 的取值范围并利用韦达定理写出12,x x 的关系式.化简()()12g x g x +的表达式，并利用构造函数法求得()()128ln212g x g x +<-.用差比较法比较出8ln212-与4-的大小关系.【详解】（1）根据题意可求得切点为51,2⎛⎫⎪⎝⎭,由题意可得,()()'1a g x x b x =++-, ∴()()512'14g g ⎧=⎪⎨⎪=⎩,即15122114b a b ⎧+-=⎪⎨⎪++-=⎩,解得1,1a b ==-.（2）∵1b a =+,∴()21ln 2g x a x x ax =+-,则()'ag x x a x=+-. 根据题意可得20x ax a -+=在()0,∞+上有两个不同的根12,x x .即202400aa a a ⎧>⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩,解得4a >,且1212,x x a x x a +==. ∴()()()()()2221212121211ln ln 22g x g x a x x x x a x x a a a a +=++-+=--. 令()21ln (4)2f x x x x x x =-->,则()'ln 11ln f x x x x x =+--=-, 令()ln h x x x =-,则当4x >时,()1'10h x x=-<,∴()h x 在()4,∞+上为减函数,即()()()4ln440,'0h x h f x <=-<<即, ∴()f x 在()4,∞+上为减函数,即()()48ln212f x f <=-, ∴()()128ln212g x g x +<-,又∵()()228ln21248ln288ln218ln ,ln 0e e而---=-=-=<, ∴28ln0e<,即8ln2124-<-, ∴()()124g x g x +<-.【点睛】本小题主要考查利用导数求解有关切线方程的问题，考查利用导数研究函数的极值点问题，难度较大.21.某饮料公司根据市场调查数据分析得到以下结果：如果某款饮料年库存积压率低于千分之一，则该款饮料为畅销产品，可以继续大量生产. 如果年库存积压率高于千分之一，则说明需要调整生产计划. 现公司 2013—2018 年的某款饮料生产，年销售利润及年库存积压相关数据如下表所示：注：=年库存积压件数年库存积压率年生产件数（1）从公司 2013—2018 年的相关数据中任意选取 2 年的数据，求该款饮料这 2 年中至少有 1 年畅销的概率.（2）公司根据上表计算出年销售利润与年生产件数的线性回归方程为9.909.30y x ∧=-.现公司计划 2019 年生产 11 千万件该款饮料，且预计 2019 年可获利 108 千万元. 但销售部 门发现，若用预计的 2019 年的数据与 2013—2018 年中畅销年份的数据重新建立回归方程， 再通过两个线性回归方程计算出来的 2019 年年销售利润误差不超过 4 千万元，该款饮料的 年库存积压率可低于千分之一. 如果你是决策者，你认为 2019 年的生产和销售计划是否需要调整？请说明理由. 【答案】（1）1415；（2）不需要调整. 【解析】 【分析】（1）计算出每年的年度库存积压率，可知13，15，17，18年畅销，14，16年不畅销；列举出所有年份中任取2年的取法共15种，其中2年均为不畅销的取法仅有1种，故根据古典型及对立事件的概率可求得结果；2）数据重组后依据公式计算出新的回归直线方程，并求出2019年的年销售利润预估值；再计算出原回归直线方程的2019年的年销售利润预估值，可知两值相差3.66千万元，由此可得结论 【详解】（1）公司2013-2018年年度存积压率分别为：2.9130001000<， 5.8150001000>，3160001000<，9180001000>，7.5190001000<，81110001000<则该饮品在13，15，17，18年畅销记1A ，2A ，3A ，4A ，14，16年不畅销记为1B ，2B任取2年的取法有：()12,A A ，()13,A A ，()14,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()23,A A ，()24,A A ，()21,A B ，()22,A B ，()34,A A ，()31A B ，()32,A B ，()42,A B ，()12,B B ，共15种.其中2年均不畅销的取法是()12,B B ，共1种 ∴该款饮料这年中至少有1年畅销的概率为：11411515P =-= （2）由题意得，2019年数据与2013，2015，2017，2018年数据重组如下表：经计算得8x =，72y = ∵513380i i i x y ==∑，521368i i x ==∑∴51252155i ii i i x y x y b x x∧==-⋅==-∑∑23380587212510.423685812-⨯⨯=≈-⨯7210.42811.36a y b x ∧∧=-⋅=-⨯=-∴10.4211.36y x ∧=-当11x =时，10.421111.36103.26y ∧=⨯-=，此时预估年销售利润为103.26千万元 将11x =代入9.909.30y x ∧=-中得，9.90119.3099.6y ∧=⨯-=，此时预估年销售利润为99.6千万元∵|103.26-99.6|=3.66<4，故认为2019年的生产和销售计划不需要调整.【点睛】本题考查了概率的计算，回归方程，意在考查学生的计算能力和解决问题的能力.（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修 4－4：坐标系与参数方程 22.在平面直角坐标系 xOy 中，曲线1C ：的参数方程是1x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩，（α为参数）. 以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为1ρ=. （1）分别写出1C 的极坐标方程和2C 的直角坐标方程； （2）若射线 l 的极坐标方程(0)3πθρ=≥，且 l 分别交曲线1C 、2 C 于 A ，B 两点，求AB . 【答案】（1）1C :22cos 20ρρθ--=,2C :221x y +=;（2）1.【解析】试题分析：（1）首先写出1C 的直角坐标方程，再根据互化公式写出极坐标方程，和2C 的直角坐标方程,互化公式为cos ,sin ,x y ρθρθρ=== ；（2）根据图象分析出12AB ρρ=- .试题解析：（1）将1C 参数方程化为普通方程为()2213x y -+=，即22220x y x +--=， ∴1C 的极坐标方程为22cos 20ρρθ--=.将2C 极坐标方程化为直角坐标方程为221x y +=.（2）将=3πθ代入1:C 22cos 20ρρθ--=整理得220ρρ--=， 解得12ρ=，即12OA ρ==.∵曲线2C 是圆心在原点，半径为1的圆， ∴射线=3πθ ()0ρ≥与2C 相交，即21ρ=，即21OB ρ==. 故12211AB ρρ=-=-=.选修 4－5：不等式选讲23.已知函数()6f x x x =+-.（1）求不等式()10f x ≤的解集；（2）记()f x 的最小值为 m ，若正实数a ， b ，c 满足a b c m ++=，求证：m .【答案】（Ⅰ）[]2,8-;（Ⅱ）见解析.【解析】 试题分析: （Ⅰ）利用绝对值的意义，写出分段函数，即可求不等式f （x ）≤10的解集；（Ⅱ）利用绝对值不等式，求出m ，再利用柯西不等式进行证明．试题解析：（Ⅰ） ()26,0,6,06,26, 6.x x f x x x x -+≤⎧⎪=<≤⎨⎪->⎩当0x ≤时，由2610x -+≤，解得20x -≤≤；当06x <≤时，因为610<，所以06x <≤；当6x >时，由2610x -≤，解得68x <≤综上可知，不等式()10f x ≤的解集为[]2,8-.（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ()f x 的最小值为6，即6m =.（或者6x x +-≥ ()66x x --=），所以6a b c ++=， 由柯西不等式可得()()123a b c ++++=222⎛⎫++ ⎪⎝⎭222⎛⎫++ ⎪⎝⎭2≥+6m ≤=.。