中考复习10 解直角三角形专题
中考数学专题复习：解直角三角形
中考数学专题复习：解直角三角形【基础知识回顾】一、锐角三角函数定义：在RE△ABC中,∠C=900, ∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,则∠A的正弦可表示为：sinA= ,∠A的余弦可表示为CBA= ∠A的正切：tanA= ,它们弦称为∠A的锐角三角函数【名师提醒：1、sinA、∠cosA、tanA表示的是一个整体,是两条线段的比,没有,这些比值只与有关,与直角三角形的无关2、取值范围<sinA< cosA< tanA> 】二、特殊角的三角函数值：【名师提醒：1、三个特殊角的三角函数值都是根据定义应用直角三角形性质算出来的,要在理解的基础上结合表格进行记忆2、当时,正弦和正切值随着角度的增大而余弦值随着角度的增大而sin A3、几个特殊关系：⑴sinA+cos2A= ,tanA=⑵若∠A+∠B=900,则sinA= cosA.tanB= 】三、解直角三角形：1、定义：由直角三角形中除直角外的个已知元素,求出另外个未知元素的过程叫解直角三角形2、解直角三角形的依据：RT∠ABC中,∠C900 三边分别为a、b、c⑴三边关系：⑵两锐角关系⑶边角之间的关系：sinA cosA tanAsinB cosB tanB【名师提醒：解直角三角形中已知的两个元素应至少有一个是当没有直角三角形时应注意构造直角三角形,再利用相应的边角关系解决】3、解直角三角形应用中的有关概念⑴仰角和俯角：如图：在用上标上仰角和俯角⑵坡度坡角：如图：斜坡AB的垂直度H和水平宽度L的比叫做坡度,用i表示,即i=坡面与水平面得夹角为用字母α表示,则i=hl=⑶方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角如图：OA表示OB表示OC表示（也可称西南方向）3、利用解直角三角形知识解决实际问题的一般步骤：⑴把实际问题抓化为数字问题（画出平面图形,转化为解直角三角形的问题）⑵根据条件特点选取合适的锐角三角函数去解直角三角形⑶解数学问题答案,从而得到实际问题的答案【名师提醒：在解直角三角形实际应用中,先构造符合题意的三角形,解题的关键是弄清在哪个直角三角形中用多少度角的哪种锐角三角函数解决】【重点考点例析】考点一：锐角三角函数的概念例1 （•内江）如图所示,△ABC的顶点是正方形网格的格点,则sinA的值为（）A．12B．55C．1010D．255思路分析：利用网格构造直角三角形,根据锐角三角函数的定义解答．解：如图：连接CD交AB于O,根据网格的特点,CD⊥AB,在Rt△AOC中,CO=2211+=2；AC=2213+=10；则sinA=OCAC=25510=．故选B．点评：本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理,作出辅助线CD并利用网格构造直角三角形是解题的关键．对应训练1．（•贵港）在平面直角坐标系中,已知点A（2,1）和点B（3,0）,则sin∠AOB的值等于（）A．55B．52C．32D．121．A考点：锐角三角函数的定义；坐标与图形性质；勾股定理．专题：计算题．分析：过A作AC⊥x轴于C,利用A点坐标为（2,1）可得到OC=2,AC=1,利用勾股定理可计算出OA,然后根据正弦的定义即可得到sin∠AOB的值．解答：解：如图过A作AC⊥x轴于C,∵A点坐标为（2,1）,∴OC=2,AC=1,∴OA=22OC AC+=5,∴sin∠AOB=1555ACOA==．故选A．点评：本题考查了正弦的定义：在直角三角形中,一个锐角的正弦等于这个角的对边与斜边的比值．也考查了点的坐标与勾股定理．考点二：特殊角的三角函数值例2 （•孝感）计算：cos245°+tan30°•sin60°= ．思路分析：将cos45°=22,tan30°=33,sin60°=32代入即可得出答案．解：cos245°+tan30°•sin60°=12+33×32=12+12=1．故答案为：1．点评：此题考查了特殊角的三角函数值,属于基础题,熟练记忆一些特殊角的三角函数值是解答本题的关键．对应训练（•南昌）计算：sin30°+cos30°•tan60°．思路分析：分别把各特殊角的三角函数代入,再根据二次根式混合运算的法则进行计算即可．解：原式=13322+⨯=1322+=2．点评：本题考查的是特殊角的三角函数值,熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．考点三：化斜三角形为直角三角形例3 （•安徽）如图,在△ABC中,∠A=30°,∠B=45°,AC=23,求AB的长．6．思路分析：过C作CD⊥AB于D,求出∠BCD=∠B,推出BD=CD,根据含30度角的直角三角形求出CD,根据勾股定理求出AD,相加即可求出答案．解：过C作CD⊥AB于D,∴∠ADC=∠BDC=90°,∵∠B=45°,∴∠BCD=∠B=45°,∴CD=BD,∵∠A=30°,AC=23,∴CD=3,∴BD=CD=3,由勾股定理得：AD=22=3,AC CD∴AB=AD+BD=3+3,答：AB的长是3+3．点评：本题考查了勾股定理,等腰三角形的性质和判定,含30度角的直角三角形性质等知识点的应用,关键是构造直角三角形,题目具有一定的代表性,是一道比较好的题目．对应训练3．（•重庆）如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,点D在BC边上,且△ABD是等边三角形．若AB=2,求△ABC的周长．（结果保留根号）3．考点：解直角三角形；三角形内角和定理；等边三角形的性质；勾股定理．专题：计算题．分析：根据等边三角形性质求出∠B=60°,求出∠C=30°,求出BC=4,根据勾股定理求出AC,相加即可求出答案．解答：解：∵△ABD是等边三角形,∴∠B=60°,∵∠BAC=90°,∴∠C=180°－90°－60°=30°,∴BC=2AB=4,在Rt△ABC中,由勾股定理得：AC=2222BC AB-=-=,4223∴△ABC的周长是AC+BC+AB=23+4+2=6+23．答：△ABC的周长是6+23．点评：本题考查了勾股定理,含30度角的直角三角形,等边三角形性质,三角形的内角和定理等知识点的应用,主要培养学生运用性质进行推理和计算的能力,此题综合性比较强,是一道比较好的题目．考点四：解直角三角形的应用例4 （•张家界）黄岩岛是我国南海上的一个岛屿,其平面图如图甲所示,小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示,其中∠B=∠D=90°,AB=BC=15千米,CD=32千米,请据此解答如下问题：（1）求该岛的周长和面积；（结果保留整数,2≈1.41436≈2.45）（2）求∠ACD的余弦值．考点：解直角三角形的应用．分析：（1）连接AC ,根据AB =BC =15千米,∠B =90°得到∠BAC =∠ACB =45° AC =152千米,再根据∠D =90°利用勾股定理求得AD 的长后即可求周长和面积； （2）直接利用余弦的定义求解即可． 解：（1）连接AC∵AB =BC =15千米,∠B =90°∴∠BAC =∠ACB =45° AC =152千米 又∵∠D =90°∴AD =22 -AC CD =22(152)(32)123-=（千米）∴周长=AB +BC +CD +DA =30+32+123=30+4.242+20.784≈55（千米） 面积=S △ABC +18 6 ≈157（平方千米） （2）cos ∠ACD =CD 321==AC 5152点评：本题考查了解直角三角形的应用,与时事相结合提高了同学们解题的兴趣,解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并求解． 对应训练6．（•益阳）超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末,小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图,观测点设在A 处,离益阳大道的距离（AC ）为30米．这时,一辆小轿车由西向东匀速行驶,测得此车从B 处行驶到C 处所用的时间为8秒,∠BAC =75°． （1）求B 、C 两点的距离；（2）请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度？（计算时距离精确到1米,参考数据：sin75°≈0.9659,cos75°≈0.2588,tan75°≈3.732,3≈1.732,60千米/小时≈16.7米/秒）考点：解直角三角形的应用．专题：计算题．分析：（1）由于A到BC的距离为30米,可见∠C=90°,根据75°角的三角函数值求出BC的距离；（2）根据速度=路程÷时间即可得到汽车的速度,与60千米/小时进行比较即可．解答：解：（1）法一：在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=75°,AC=30,∴BC=AC•tan∠BAC=30×tan75°≈30×3.732≈112（米）．法二：在BC上取一点D,连接AD,使∠DAB=∠B,则AD=BD,∵∠BAC=75°,∴∠DAB=∠B=15°,∠CDA=30°,在Rt△ACD中,∠ACD=90°,AC=30,∠CDA=30°,∴AD=60,CD=303,BC=60+303≈112（米）（2）∵此车速度=112÷8=14（米/秒）＜16.7 （米/秒）=60（千米/小时）∴此车没有超过限制速度．点评：本题考查了解直角三角形的应用,理解正切函数的意义是解题的关键．【聚焦山东中考】1．（•济南）如图,在8×4的矩形网格中,每格小正方形的边长都是1,若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上,则tan∠ACB的值为（）A．13B．12C．22D．31．A考点：锐角三角函数的定义．A．不变B．缩小为原来的C．扩大为原来的3倍D．不能确定3考点：特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形内角和定理．分析：首先根据绝对值与偶次幂具有非负性可知cosA－12=0,sinB－22=0,然后根据特殊角的三角函数值得到∠A、∠B的度数,再根据三角形内角和为180°算出∠C的度数即可．解答：解：∵|cosA－12|+（sinB－22）2=0,∴cosA－12=0,sinB－22=0,∴cosA=12,sinB=22,∴∠A=60°,∠B=45°,则∠C=180°－∠A－∠B=180°－60°－45°=75°,故答案为：75°．点评：此题主要考查了非负数的性质,特殊角的三角函数值,三角形内角和定理,关键是要熟练掌握特殊角的三角函数值．5．（•潍坊）校车安全是近几年社会关注的重大问题,安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C,再在笔直的车道l上确定点D,使CD与l垂直,测得CD的长等于21米,在l上点D的同侧取点A、B,使∠CAD=30°,∠CBD=60°．（1）求AB的长（精确到0.1米,参考数据：3=1.73,2=1.41）；（2）已知本路段对校车限速为40千米/小时,若测得某辆校车从A到B用时2秒,这辆校车是否超速？说明理由．5．考点：解直角三角形的应用．分析：（1）分别在Rt△ADC与Rt△BDC中,利用正切函数,即可求得AD与BD的长,继而求得AB的长；（2）由从A到B用时2秒,即可求得这辆校车的速度,比较与40千米/小时的大小,即可确定这辆校车是否超速．解答：解：（1）由題意得,在Rt△ADC中,AD=CD==21 3tan303=36.33,在Rt△BDC中,BD=CD==7 3tan303=12.11,则AB=AD－BD=36.33－12.11=24.22≈24.2（米）。
中考《解直角三角形》复习练习题及答案
中考数学复习专题练习解直角三角形一、选择题：1、在△ABC中，若cosA=，tanB=，则这个三角形一定是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形2、在直角△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B与∠C的对边分别是a、b和c,那么下列关系中,正确的是（）A．cosA= B．tanA= C．sinA= D．cosA=3、如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tanα的值是( )A．2 B． C． D．4、在Rt ABC中，∠C=90°，sinB=,则tanA的值为( )A. B. C. D.5、在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cosB的值为（）A． B． C． D．6、在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD的长是（）A. B．2 C．1 D．27、如图,在4×4的正方形方格中,△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形顶点上,则tan∠ACB值为( )A. B. C. D.8、如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC=5m，则坡面AB的长是（）A.10mB.mC.15m D．m9、如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为( )A.4米B.6米C.12米D.24米10、如图,在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为( )A. B.－1 C．2－ D.11、如图,已知的三个顶点都在方格图的格点上，则的值为( )A. B. C. D.12、如图，在四边形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC等于（）A． B． C． D．二、填空题:13、在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，若sinA=，cosB=，则∠C=________．14、已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，cosB=，则BC= ．15、如图，先锋村准备在坡角为α=30°山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为______米．16、如图，菱形ABCD的边长为15，sin∠BAC=，则对角线AC的长为______．17、如图,正方形ABCD的边长为4,点M在边DC上,M、N两点关于对角线AC对称,若DM=1,则tan∠ADN= ．18、如图，△ABC的三个顶点分别在边长为1的正方形网格的格点上，则tan(+) tan+tan.（填“＞”“＝”“＜”）19、如图在四边形ABCD中，∠ACB=∠BAD=105°，∠B=∠D=45°若 AD=,则AB=__________20、如图所示的半圆中，是直径，且，，则的值是．21、如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，，BE=2，则________.22、如图,在中,是边边上的中线,如果,tanB值是________23、如图，小明在一块平地上测山高，先在B处测得山顶A的仰角为30°，然后向山脚直行100米到达C处，再测得山顶A的仰角为45°，那么山高AD为米.24、如图，在顶角为30°的等腰三角形ABC中，AB=AC，若过点C作CD⊥AB于点D，则∠BCD=15°．根据图形计算tan15°= ．三、简答题:25、在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且c=,若关于x的方程(＋b)x2＋2ax＋(-b)=0有两个相等的实数根，方程2x2-(10sin A)x＋5sin A=0的两个实数根的平方和为6，求△ABC的面积．26、已知：如图，正方形ABCD中，点E为AD边的中点，联结CE. 求cos∠ACE和tan∠ACE的值.27、如图，一艘海轮在A点时测得灯塔C在它的北偏东42°方向上，它沿正东方向航行80海里后到达B处，此时灯塔C在它的北偏西55°方向上．（1）求海轮在航行过程中与灯塔C的最短距离（结果精确到0.1）；（2）求海轮在B处时与灯塔C的距离（结果保留整数）．（参考数据：sin55°≈0.819，cos55°≈0.574，tan55°≈1.428，tan42°≈0.900，tan35°≈0.700，tan48°≈1.111）28、如图，河流两岸a，b互相平行，C，D是河岸a上间隔50m的两个电线杆．某人在河岸b上的A处测得∠DAB=30°，然后沿河岸走了100m到达B处，测得∠CBF=60°，求河流的宽度CF的值．（结果精确到个位）29、张老师利用休息时间组织学生测量山坡上一棵大树CD的高度，如图，山坡与水平面成30°角（即∠MAN=30°），在山坡底部A处测得大树顶端点C的仰角为45°，沿坡面前进20米，到达B处，又测得树顶端点C的仰角为60°（图中各点均在同一平面内），求这棵大树CD的高度（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.732）30、如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD的中点，DE交AF于点M，点N为DE的中点．（1）若AB=4，求△DNF的周长及sin∠DAF的值；（2）求证：2AD•NF=DE•DM．31、中考英语听力测试期间T需要杜绝考点周围的噪音．如图，点A是某市一中考考点，在位于考点南偏西15°方向距离500米的C点处有一消防队．在听力考试期间，消防队突然接到报警电话，消防车需沿北偏东75°方向的公路CF前往救援．已知消防车的警报声传播半径为400米，若消防车的警报声对听力测试造成影响，则消防车必须改道行驶．试问：消防车是否需要改道行驶？说明理由．（≈1.732）参考答案1、A．2、C．3、B．4、D.5、B．6、B.7、B.8、A．9、B.10、A.11、D.12、B．13、答案为：60°14、答案为：9．15、答案为：（米）．16、答案为24．17、答案为：4．3 18、答案为：>. 19、答案为：.20、答案为： ;21、答案为：2 ;22、答案为：23、答案为：137．24、答案为：2﹣．25、解：∵方程(5＋b)x2＋2ax＋(5－b)=0有两个相等的实数根，且c=5，∴△=(2a)2－4(c＋b)(c-b)=0，∴a2＋b2=c2,则△ABC为直角三角形，且∠C=90°．设x1，x2是方程2x2－(10sin A)x＋5sin A=0的两个根，则根据根与系数的关系有x1＋x2=5sin A，x1·x2=sin A．∴x12＋x22=(x1＋x2)2－2x l·x2=(5sin A)2－2×sin A=6，解得sinA=或sinA=－(舍去)，∴a=csin A=3，b==4，S△ABC=ab==18．26、解：过点作于点，∵四边形是正方形，∴平分，．∴，．∵是中点，∴．设，则，，．在Rt△AEF中，，．∴．∴，．27、【解答】解：（1）过C作AB的垂线，设垂足为D，根据题意可得：∠1=∠2=42°，∠3=∠4=55°，设CD的长为x海里，在Rt△ACD中，tan42°=，则AD=x•tan42°，在Rt△BCD中，tan55°=，则BD=x•tan55°，∵AB=80，∴AD+BD=80，∴x•tan42°+x•tan55°=80，解得：x≈34.4，答：海轮在航行过程中与灯塔C的最短距离是34.4海里；（2）在Rt△BCD中，cos55°=，∴BC=≈60海里，答：海轮在B处时与灯塔C的距离约为60海里．28、【解答】解：过点C作CE∥AD，交AB于E∵CD∥AE，CE∥AD∴四边形AECD是平行四边形∴AE=CD=50m，EB=AB﹣AE=50m，∠CEB=∠DAB=30°又∠CBF=60°，故∠ECB=30°∴CB=EB=50m∴在Rt△CFB中，CF=CB•sin∠CBF=50•sin60°≈43m答：河流的宽度CF的值为43m．29、解：如图，过B作BE⊥CD交CD延长线于E，∵∠CAN=45°，∠MAN=30°，∴∠CAB=15°∵∠CBD=60°，∠DBE=30°，∴∠CBD=30°，∵∠CBE=∠CAB+∠ACB，∴∠CAB=∠ACB=15°，∴AB=BC=20，在Rt△BCE中，∠CBE=60°，BC=20，∴CE=BCsin∠CBE=20×BE=BCcos∠CBE=20×0.5=10，在Rt△DBE中，∠DBE=30°，BE=10，∴DE=BEtan∠DBE=10×，∴CD=CE﹣DE=≈11.5，答：这棵大树CD的高度大约为11.5米．30、：（1）解：∵点E、F分别是BC、CD的中点，∴EC=DF=×4=2，由勾股定理得，DE==2，∵点F是CD的中点，点N为DE的中点，∴DN=DE=×2=，NF=EC=×2=1，∴△DNF的周长=1++2=3+；在Rt△ADF中，由勾股定理得，AF===2，所以，sin∠DAF===；（2）证明：在△ADF和△DCE中，，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴AF=DE，∠DAF=∠CDE，∵∠DAF+∠AFD=90°，∴∠CDE+∠AFD=90°，∴AF⊥DE，∵点E、F分别是BC、CD的中点，∴NF是△CDE的中位线，∴DF=EC=2NF，∵cos∠DAF==，cos∠CDE==，∴=，∴2AD•NF=DE•DM．31、【解答】解：过A作AD⊥CF于D，由题意得∠CAG=15°，∴∠ACE=15°，∵∠ECF=75°，∴∠ACD=60°，在Rt△ACD中，sin∠ACD=，则AD=AC•sin∠ACD=250≈433米，433米＞400米，∴不需要改道．答：消防车不需要改道行驶．。
中考解直角三角形知识点整理复习
中考解直角三角形知识点整理复习解直角三角形是中考数学中的一个重要内容，考查学生对于三角函数的理解和运用能力。
下面是对于中考解直角三角形知识点的整理复习。
一、基本概念1.直角三角形：一个内角为直角（90°）的三角形。
2.角的三要素：角的名称、角的度数、角的符号（顺时针为负，逆时针为正）。
二、特殊角度的三角函数值1.0°和90°的三角函数值：正弦函数sin：sin0° = 0，sin90° = 1；余弦函数cos：cos0° = 1，cos90° = 0；正切函数tan：tan0° = 0，tan90° 不存在。
2.30°和60°的三角函数值：正弦函数sin：sin30° = 1/2，sin60° = √3/2；余弦函数cos：cos30° = √3/2，cos60° = 1/2；正切函数tan：tan30° = 1/√3，tan60° = √3三、三角函数在特定角度的性质1. 正弦函数sin的性质：当角A的终边经过点(x,y)时sinA = y/r其中r是点(x,y)到原点(0,0)的距离。
2. 余弦函数cos的性质：当角A的终边经过点(x,y)时cosA = x/r其中r是点(x,y)到原点(0,0)的距离。
3. 正切函数tan的性质：当角A的终边经过点(x,y)时tanA = y/x其中x不等于0。
4.三角函数的周期性：三角函数sin、cos、tan均是周期函数，其中sin和cos的周期是360°或2π弧度，tan的周期是180°或π弧度。
四、特殊角的三角函数值的计算1.特殊角度的三角函数值：根据三角函数在标准位置上的定义，可以计算出不同角度的三角函数值。
2.夹角的三角函数值：两个夹角相等的三角函数值相等，例如sin(A+B)=sinC。
2024年中考数学复习专题课件++ 解直角三角形的实际应用
解：延长 BA，交 PQ 的延长线于点 C，则∠ACQ＝90°，由题意得 BC＝225 m，PQ＝200 m， 在 Rt△BCQ 中，∠BQC＝45°， 则 CQ＝BC＝225 m，∴PC＝PQ＋CQ＝425 m， 在 Rt△PCA 中， tan∠APC＝tan 15°＝APCC＝4A2C5≈0.27， 解得 AC≈114.75 m，∴AB＝BC－AC≈110 m. 答：奇楼 AB 的高度约为 110 m.
8．(2023·贵州)贵州旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体 验，拟在景区内修建观光索道．设计示意图如图所示，以山脚 A 为起点， 沿途修建 AB，CD 两段长度相等的观光索道，最终到达山顶 D 处，中途设 计了一段与 AF 平行的观光平台 BC 为 50 m．索道 AB 与 AF 的夹角为 15°， CD 与水平线夹角为 45°，A，B 两处的水平距离 AE 为 582 m，DF⊥AF， 垂足为 F.(图中所有点都在同一平面内，点 A，E，F 在同一水平线上)
解：过点 D 作 DE⊥BC 于点 E，则四边形 ADEF 是矩形，在 Rt△DEC 中，CD ＝20，∠C＝18°， DE＝CD·sin C≈6.2.∴AF＝DE＝6.2. ∵ABFF＝34，∴AAFB＝35，∴AB＝53×6.2≈10(m)． 答：斜坡 AB 的长约为 10 m.
6．(2023·通辽)如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏 东 72°方向，距离灯塔 100 n mile 的 A 处，它沿正 南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 40°方向上的 B 处．这时，B 处距离灯塔 P 有多远？ (结果取整数；参考数据：sin 72°≈0.95， cos 72°≈0.31，tan 72°≈3.08，sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77， tan 40°≈0.84.)
中考解直角三角形知识点整理复习
x tan 21°
8 3
x
；
B
D
第 19 题图
在
Rt△CEG 中， tan
CGE
CE GE
，则 GE
tan
CE CGE
x tan 37°
4 3
x
∵ EF FG EG，∴ 8 x 50 4 x ． x 37.5 ，∴ CD CE ED 37.51.5 39 （米）．
3
3
答：古塔的高度约是 39 米． ························ 6 分
a2 b2
a 由 Sin A＝c，求∠A；∠B＝90°－A，b＝
c2 - a2
∠B＝90°－A，a＝b·Sin A，c＝cosA
A bC 一
和
角 一锐角
锐角，对边 （如∠A，a）
∠B＝90°－A，b＝，c＝
斜边，锐角（如 c，∠A）
∠B＝90°－A，a＝c·Sin A， b＝c·cos A
2、测量物体的高度的常见模型
35º 40
CB
D
面 CD 有多长
º
(结果精确到 0.1m．参考数据：sin40º ≈，cos40º ≈，sin35º ≈，tan35º ≈
（2012）20.（8 分）
附历年真题标准答案：
（2007）19．（本小题满分 6 分）
解：过 C 作 AB 的垂线，交直线 AB 于点 D，得到 Rt△ACD 与 Rt△BCD．
数学模型
所用 应测数据
工具
α β x
h1
h
皮尺
αβ a
h x
侧倾 器
仰角α 俯角β 高度 a
俯角α 俯角β
高度
数量关系
中考复习《解直角三角形》专题试卷含答案解析
中考复习解直角三角形专题试卷一、解答题1、如图，某市对位于笔直公路AC上两个小区A、B的供水路线进行优化改造．供水站M在笔直公路AD 上，测得供水站M在小区A的南偏东60°方向，在小区B的西南方向，小区A、B之间的距离为300（+1）米，求供水站M分别到小区A、B的距离．（结果可保留根号）2、如图，从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为30°和60度．如果这时气球的高度CD为90米．且点A、D、B在同一直线上，求建筑物A、B间的距离．3、如图，大楼AN上悬挂一条幅AB，小颖在坡面D处测得条幅顶部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚E处，然后向大楼方向继续行走10米来到C处，测得条幅的底部B的仰角为45°，此时小颖距大楼底端N 处20米．已知坡面DE=20米，山坡的坡度i=1：（即tan∠DEM=1：），且D、M、E、C、N、B、A在同一平面内，E、C、N在同一条直线上，求条幅的长度（结果精确到1米）（参考数据：≈1.73，≈1.41）4、如图，三沙市一艘海监船某天在黄岩岛P附近海域由南向北巡航，某一时刻航行到A处，测得该岛在北偏东30°方向，海监船以20海里/时的速度继续航行，2小时后到达B处，测得该岛在北偏东75°方向，求此时海监船与黄岩岛P的距离BP的长．（参考数据：≈1.414，结果精确到0.1）5、如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个码头，A在B的正东方向，一艘小船从A码头沿它的北偏西60°的方向行驶了20海里到达点P处，此时从B码头测得小船在它的北偏东45°的方向．求此时小船到B 码头的距离（即BP的长）和A、B两个码头间的距离（结果都保留根号）．6、如图，建筑物AB后有一座假山，其坡度为i=1：，山坡上E点处有一凉亭，测得假山坡脚C与建筑物水平距离BC=25米，与凉亭距离CE=20米，某人从建筑物顶端测得E点的俯角为45°，求建筑物AB的高．（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）7、某海域有A，B两个港口，B港口在A港口北偏西30°方向上，距A港口60海里，有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处，求该船与B港口之间的距离即CB的长（结果保留根号）．8、如图，随着我市铁路建设进程的加快，现规划从A地到B地有一条笔直的铁路通过，但在附近的C处有一大型油库，现测得油库C在A地的北偏东60°方向上，在B地的西北方向上，AB的距离为250（+1）米．已知在以油库C为中心，半径为200米的范围内施工均会对油库的安全造成影响．问若在此路段修建铁路，油库C是否会受到影响？请说明理由．9、保护视力要求人写字时眼睛和笔端的距离应超过30cm，图1是一位同学的坐姿，把他的眼睛B，肘关节C和笔端A的位置关系抽象成图2的△ABC，已知BC=30cm，AC=22cm，∠ACB=53°，他的这种坐姿符合保护视力的要求吗？请说明理由．（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）10、芜湖长江大桥是中国跨度最大的公路和铁路两用桥梁，大桥采用低塔斜拉桥桥型（如甲图），图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索CD与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离BC为2米，两拉索底端距离AD为20米，请求出立柱BH的长．（结果精确到0.1米，≈1.732）11、如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上），已知AB=80m，DE=10m，求障碍物B，C两点间的距离（结果精确到0.1m）（参考数据：≈1.414，≈1.732）12、（2016•黔东南州）黔东南州某校吴老师组织九（1）班同学开展数学活动，带领同学们测量学校附近一电线杆的高．已知电线杆直立于地面上，某天在太阳光的照射下，电线杆的影子（折线BCD）恰好落在水平地面和斜坡上，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，在C处测得电线杆顶端A得仰角为45°，斜坡与地面成60°角，CD=4m，请你根据这些数据求电线杆的高（AB）．（结果精确到1m，参考数据：≈1.4，≈1.7）13、如图，某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆高度．已知小明的眼睛与地面的距离（AB）是1.7m，看旗杆顶部M的仰角为45°；小红的眼睛与地面的距离（CD）是1.5m，看旗杆顶部M的仰角为30°．两人相距30米且位于旗杆两侧（点B，N，D在同一条直线上）．求旗杆MN的高度．（参考数据：，，结果保留整数）14、（2015•张家界）如图1是“东方之星”救援打捞现场图，小红据此构造出一个如图2所示的数学模型，已知：A、B、D三点在同一水平线上，CD⊥AD，∠A=30°，∠CBD=75°，AB=60m．(1)求点B到AC的距离.(2)求线段CD的长度．15、测量计算是日常生活中常见的问题，如图，建筑物BC的屋顶有一根旗杆AB，从地面上D点处观测旗杆顶点A的仰角为50°，观测旗杆底部B点的仰角为45°，（可用的参考数据：sin50°≈0.8，tan50°≈1.2）(1)若已知CD=20米，求建筑物BC的高度；(2)若已知旗杆的高度AB=5米，求建筑物BC的高度．16、如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB=800米，BC=200米，坡角∠BAF=30°，∠CBE=45°．(1)求AB段山坡的高度EF；(2)求山峰的高度CF．（ 1.414，CF结果精确到米）17、如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆CD的高度，先在教学楼的底端A点处，观测到旗杆顶端C的仰角∠CAD=60°，然后爬到教学楼上的B处，观测到旗杆底端D的俯角是30°，已知教学楼AB高4米．(1)求教学楼与旗杆的水平距离AD；（结果保留根号）(2)求旗杆CD的高度．18、如图，“中国海监50”正在南海海域A处巡逻，岛礁B上的中国海军发现点A在点B的正西方向上，岛礁C上的中国海军发现点A在点C的南偏东30°方向上，已知点C在点B的北偏西60°方向上，且B、C两地相距120海里．(1)求出此时点A到岛礁C的距离；(2)若“中海监50”从A处沿AC方向向岛礁C驶去，当到达点A′时，测得点B在A′的南偏东75°的方向上，求此时“中国海监50”的航行距离．（注：结果保留根号）答案解析部分一、解答题1、解：过点M作MN⊥AB于N，设MN=x米．在Rt△AMN中，∵∠ANM=90°，∠MAN=30°，∴MA=2MN=2x，AN=MN=x．在Rt△BMN中，∵∠BNM=90°，∠MBN=45°，∴BN=MN=x，MB=MN=x．∵AN+BN=AB，∴x+x=300（+l），∴x=300，∴MA=2x=600，MB=x=300．故供水站M到小区A的距离是600米，到小区B的距离是300米．2、解：由已知，得∠ECA=30°，∠FCB=60°，CD=90，EF∥AB，CD⊥AB于点D．∴∠A=∠ECA=30°，∠B=∠FCB=60°．在Rt△ACD中，∠CDA=90°，tanA=，∴AD=．在Rt△BCD中，∠CDB=90°，tanB=，∴DB=．∴AB=AD+BD=90+30=120．答：建筑物A、B间的距离为120米．3、解：过点D作DH⊥AN于H，过点E作FE⊥于DH于F，∵坡面DE=20米，山坡的坡度i=1：，∴EF=10米，DF=米，∵DH=DF+EC+CN=（+30）米，∠ADH=30°，∴AH=×DH=（10+）米，∴AN=AH+EF=（20+）米，∵∠BCN=45°，∴CN=BN=20米，∴AB=AN﹣BN=≈17米，答：条幅的长度是17米．4、解：过点B作BD⊥AP于D，由已知条件得：AB=20×2=40，∠P=75°﹣30°=45°，在Rt△ABD中，∵AB=40，∠A=30，∴BD=AB=20，在R t△BDP中，∵∠P=45°，∴PB=BD=≈28.3（海里）．答：此时海监船与黄岩岛P的距离BP的长约为28.3海里．5、解：如图：过P作PM⊥AB于M，则∠PMB=∠PMA=90°，∵∠PBM=90°﹣45°=45°，∠PAM=90°﹣60°=30°，AP=20海里，∴PM=AP=10海里，AM=cos30°AP=海里，∴∠BPM=∠PBM=45°，∴PM=BM=10海里，∴AB=AM+BM=（10+）海里，∴BP==海里，即小船到B码头的距离是海里，A、B两个码头间的距离是（10+）海里．6、【答案】解：过点E作EF⊥BC于点F，过点E作EN⊥AB于点N，∵建筑物AB后有一座假山，其坡度为i=1：，∴设EF=x，则FC=x，∵CE=20米，∴x2+（x）2=400，解得：x=10，则FC=m，∵BC=25m，∴BF=NE=（25+）m，∴AB=AN+BN=NE+EF=10+25+=（35+）m，答：建筑物AB的高为（35+）m．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解直角三角形的应用-仰角俯角问题【解析】【分析】首先过点E作EF⊥BC于点F，过点E作EN⊥AB于点N，再利用坡度的定义以及勾股定理得出EF、FC的长，求出AB的长即可．7、【答案】解：作AD⊥BC于D，∵∠EAB=30°，AE∥BF，∴∠FBA=30°，又∠FBC=75°，∴∠ABD=45°，又AB=60，∴AD=BD=30，∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°，∠ABC=45°，∴∠C=60°，在Rt△ACD中，∠C=60°，AD=30，则tanC=，∴CD==10，∴BC=30+10．答：该船与B港口之间的距离CB的长为：（30+10）海里．【考点】解直角三角形的应用-方向角问题【解析】【解答】作AD⊥BC于D，根据题意求出∠ABD=45°，得到AD=BD=30 ，求出∠C=60°，根据正切的概念求出CD的长，得到答案．【分析】作AD⊥BC于D，根据题意求出∠ABD=45°，得到AD=BD=30，求出∠C=60°，根据正切的概念求出CD的长，得到答案．8、【答案】解：过点C作CD⊥AB于D，∴AD=CD•cot45°=CD，BD=CD•cot30°= CD，∵BD+AD=AB=250（+1）（米），即CD+CD=250（+1），∴CD=250，250米＞200米．答：在此路段修建铁路，油库C是不会受到影响【考点】解直角三角形的应用-方向角问题【解析】【分析】根据题意，在△ABC中，∠ABC=30°，∠BAC=45°，AB=250（+1）米，是否受到影响取决于C点到AB的距离，因此求C点到AB的距离，作CD⊥AB于D点．此题考查了解直角三角形及勾股定理的应用，用到的知识点是方向角，关键是根据题意画出图形，作出辅助线，构造直角三角形，“化斜为直”是解三角形的基本思路，常需作垂线（高），原则上不破坏特殊角（30°、45°、60°）．9、【答案】解：他的这种坐姿不符合保护视力的要求，理由：如图2所示：过点B作BD⊥AC于点D，∵BC=30cm，∠ACB=53°，∴sin53°= = ≈0.8，解得：BD=24，cos53°= ≈0.6，解得：DC=18，∴AD=22﹣18=4（cm），∴AB= = = ＜，∴他的这种坐姿不符合保护视力的要求．【考点】解直角三角形的应用【解析】【分析】根据锐角三角函数关系得出BD，DC的长，进而结合勾股定理得出答案．此题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意得出BD，AD的长是解题关键．10、【答案】解：设DH=x米，∵∠CDH=60°，∠H=90°，∴CH=DH•sin60°= x，∴BH=BC+CH=2+ x，∵∠A=30°，∴AH= BH=2 +3x，∵AH=AD+DH，∴2 +3x=20+x，解得：x=10﹣，∴BH=2+ （10﹣）=10 ﹣1≈16.3（米）．答：立柱BH的长约为16.3米．【考点】解直角三角形的应用【解析】【分析】设DH=x米，由三角函数得出= x，得出BH=BC+CH=2+ x，求出AH= BH=2 +3x，由AH=AD+DH得出方程，解方程求出x，即可得出结果．本题考查了解直角三角形的应用；由三角函数求出CH和AH是解决问题的关键．11、【答案】解：如图，过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H．则DE=BF=CH=10m，在直角△ADF中，∵AF=80m﹣10m=70m，∠ADF=45°，∴DF=AF=70m．在直角△CDE中，∵DE=10m，∠DCE=30°，∴CE= = =10 （m），∴BC=BE﹣CE=70﹣10 ≈70﹣17.32≈52.7（m）．答：障碍物B，C两点间的距离约为52.7m．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【解析】【分析】如图，过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H．通过解直角△AFD得到DF 的长度；通过解直角△DCE得到CE的长度，则BC=BE﹣CE．本题考查了解直角三角形﹣仰角俯角问题．要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．12、【答案】解：延长AD交BC的延长线于G，作DH⊥BG于H，如图所示：在Rt△DHC中，∠DCH=60°，CD=4，则CH=CD•cos∠DCH=4×cos60°=2，DH=CD•sin∠DCH=4×sin60°=2 ，∵DH⊥BG，∠G=30°，∴HG= = =6，∴CG=CH+HG=2+6=8，设AB=xm，∵AB⊥BG，∠G=30°，∠BCA=45°，∴BC=x，BG= = = x，∵BG﹣BC=CG，∴x﹣x=8，解得：x≈11（m）；答：电线杆的高为11m．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解直角三角形的应用-方向角问题【解析】【分析】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．延长AD交BC的延长线于G，作DH⊥BG于H，由三角函数求出求出CH、DH的长，得出CG，设AB=xm，根据正切的定义求出BG，得出方程，解方程即可．13、【答案】解：过A作AE⊥MN，垂足为E，过C作CF⊥MN，垂足为F设ME=x，Rt△AME中，∠MAE=45°，∴AE=ME=x，Rt△MCF中，MF=x+0.2，CE= = （x+0.2），∵BD=AE+CF，∴x+ （x+0.2）=30∴x≈11.0，即AE=11.0，∴MN=11.0+1.7=12.7≈13．【考点】解直角三角形的应用【解析】【分析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形；本题涉及到两个直角三角形，应利用其公共边构造三角关系，进而可求出答案．二、综合题14、【答案】（1）解：过点B作BE⊥AC于点E，在Rt△AEB中，AB=60m，sinA=，BE=ABsinA=60×=30，cosA=，∴AE=60×=30m，在Rt△CEB中，∠ACB=∠CBD﹣∠A=75°﹣30°=45°，∴BE=CE=30m∴点B到AC的距离为30m.（2）解：过点B作BE⊥AC于点E，在Rt△AEB中，AB=60m，sinA=，BE=ABsinA=60×=30，cosA=，∴AE=60×=30m，在Rt△CEB中，∠ACB=∠CBD﹣∠A=75°﹣30°=45°，∴BE=CE=30m，∴AC=AE+CE=（30+30）m，在Rt△ADC中，sinA=，则CD=（30+30）×=（15+15）m．【考点】解直角三角形的应用【解析】【解答】过点B作BE⊥AC于点E，在直角三角形AEB中，利用锐角三角函数定义求出AE的长，在直角三角形CEB中，利用锐角三角函数定义求出BE与CE的长，由AE+CE求出AC的长，即可求出CD 的长．【分析】此题考查了构造直角三角形利用三角函数求线段长的知识点.15、【答案】（1）解：由题意可得：tan50°= ≈1.2，解得：AC=24，∵∠BDC=45°，∴DC=BC=20m，∴AB=AC﹣BC=24﹣20=4（m），答：建筑物BC的高度为4m；（2）解：设DC=BC=xm，根据题意可得：tan50°= = ≈1.2，解得：x=25，答：建筑物BC的高度为25m【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【解析】【分析】（1）直接利用tan50°= ，进而得出AC的长，求出AB的长即可；（2）直接利用tan50°=，进而得出BC的长求出答案．此题主要考查了解直角三角形的应用，正确应用锐角三角函数关系是解题关键．16、【答案】（1）解：作BH⊥AF于H，如图，在Rt△ABF中，∵sin∠BAH= ，∴BH=800•sin30°=400，∴EF=BH=400m（2）解：在Rt△CBE中，∵sin∠CBE= ，∴CE=200•sin45°=100 141.4，∴CF=CE+EF=141.4+400≈541（m）．答：AB段山坡高度为400米，山CF的高度约为541米【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题【解析】【分析】（1）作BH⊥AF于H，如图，在Rt△ABF中根据正弦的定义可计算出BH的长，从而得到EF的长；（2）先在Rt△CBE中利用∠CBE的正弦计算出CE，然后计算CE和EF的和即可．本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度与坡角问题：坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i═tanα．17、【答案】（1）解：∵教学楼B点处观测到旗杆底端D的俯角是30°，∴∠ADB=30°，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，∠ADB=30°，AB=4m，∴AD= = =4 （m），答：教学楼与旗杆的水平距离是4 m．（2）解：∵在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠CAD=60°，AD=4 m，∴CD=AD•tan60°=4 × =12（m），答：旗杆CD的高度是12m．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【解析】【分析】（1）根据题意得出∠ADB=30°，进而利用锐角三角函数关系得出AD的长；（2）利用（1）中所求，结合CD=AD•tan60°求出答案．此题主要考查了解直角三角的应用，正确应用锐角三角函数关系是解题关键．18、【答案】（1）解：如图所示：延长BA，过点C作CD⊥BA延长线与点D，由题意可得：∠CBD=30°，BC=120海里，则DC=60海里，故cos30°= = ，解得：AC=40 ，答：点A到岛礁C的距离为40 海里．（2）解：如图所示：过点A′作A′N⊥BC于点N，可得∠1=30°，∠BA′A=45°，A′N=A′E，则∠2=15°，即A′B平分∠CBA，设AA′=x，则A′E= x，故CA′=2A′N=2× x= x，∵x+x=40 ，∴解得：x=20（﹣1），答：此时“中国海监50”的航行距离为20（﹣1）海里．【考点】解直角三角形的应用-方向角问题【解析】【分析】（1）根据题意得出：∠CBD=30°，BC=120海里，再利用cos30°= ，进而求出答案；（2）根据题意结合已知得出当点B在A′的南偏东75°的方向上，则A′B平分∠CBA，进而得出等式求出答案．此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．。
中考解直角三角形知识点整理复习
中考解直角三角形知识点整理复习解直角三角形知识点复习一、定义直角三角形是指其中一个角是直角的三角形。
直角指的是一个角度为90°的角。
二、性质1.直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，即勾股定理。
设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，则有a^2+b^2=c^22.直角三角形的斜边是两个直角边中最长的边，而且直角三角形中的直角边是两个锐角的对边。
3.直角三角形中的两个锐角互余。
4.在直角三角形中，两个锐角的正弦、余弦和正切值互为倒数。
三、特殊直角三角形1.等腰直角三角形：定义：顶角为90°的等腰三角形。
性质：两个直角边相等，斜边为直角边的根号2倍。
2.30°-60°-90°直角三角形：定义：一个锐角为30°，一个锐角为60°的直角三角形。
性质：-斜边是短直角边的2倍；-长直角边是短直角边的根号3倍；-高（垂直于短直角边的线段）是短直角边的根号3倍的一半。
3.45°-45°-90°直角三角形：定义：两个锐角都为45°的直角三角形。
性质：-斜边是任意一个直角边的根号2倍；-高（垂直于底边的线段）是底边的一半。
四、解直角三角形问题的步骤1.已知两条边，求第三条边。
a)如果已知两条直角边a和b，可以直接使用勾股定理求解斜边c：c=√(a^2+b^2)。
b)如果已知一条直角边a和斜边c，可以使用勾股定理求解另一条直角边b：b=√(c^2-a^2)。
2.已知一条直角边和一个锐角，求另一条直角边和斜边。
a) 如果已知一条直角边a和一个锐角θ，可以求出另一条直角边b：b = a * tanθ。
b)如果已知一条直角边a和斜边c，可以求出另一条直角边b：b=√(c^2-a^2)。
c) 如果已知一条直角边a和一个锐角θ，可以求出斜边c：c = a / cosθ。
3.已知两条直角边之间的比例，求两个直角边和斜边的长度。
备战2023年重庆数学中考二轮复习知识点精练10 解直角三角形(解析版)
精练10--解直角三角形1．如图，某辆自行车放在水平的地面上，车把头下方A处与坐垫下方B处在平行于地面的水平线上，测得AB＝54cm，AC、BC与AB的夹角分别为45°与60°．（1）求点C到AB的距离（结果保留一位小数）．（2）若点C到地面的距离CD为30cm，坐垫中轴E与点B的距离BE为4cm（坐垫E 可按轴线BC上下伸缩调节）．茜茜根据自己身高比例，坐垫E到地面的距离为70cm 时，乘坐该自行车最舒适．茜茜坐上该自行车，感觉不是很舒适，问：如果要达到最佳舒适高度，茜茜应该如何调节坐垫E的位置？（结果保留一位小数）（参考数据：≈1.4，≈1.7）【解答】解：过点C 作CM⊥AB于点M，则∠CMA＝∠CMB＝90°，∵∠CAM＝45°，∠CBM＝60°，∴AM＝CM，BM＝，∵AB＝54（cm），∴CM+＝54，∴CM＝27（3﹣）≈35.1（cm），∴点C到AB的距离为35.1cm；（2）∵坐垫E到地面的距离为70cm时，乘坐该自行车最舒适，∴点E到AB的距离为70﹣30﹣35.1＝4.9（cm），过点E作EN⊥AB于点N，则EN＝4.9（cm），∠ENB＝90°，∵∠EBN＝∠CBM＝60°，∴BE＝＝≈5.8（cm）∵原BE为4cm，∴需将BE调长5.8﹣4＝1.8（cm）．2．某小区拟建设地下停车库入口，将原步行楼梯入口AC改造为斜坡AD．已知入口高AB ＝3m，坡面AC的坡度i＝1：1，新坡面坡角∠ADB＝30°．（1）求斜坡底部增加的长度CD为多少米？（保留根号）（2）入口处水平线AE＝5m，地下停车库坡道入口上方点E处有悬挂广告牌EF，EF⊥BD，EF＝0.5m．若一辆高度为2米的货车沿斜坡AD驶入车库，行进中是否会碰到广告牌的下端F？请说明理由．（参考数据：≈1.4，≈1.7）【解答】解：（1）∵坡面AC的坡度i＝1：1，∴AB：BC＝1：1，∴BC＝AB＝3m，∵∠ADB＝30°，∴tan∠ADB＝＝tan30°＝，∴BD＝AB＝3m），∴CD＝BD﹣BC＝（3﹣3）（m），答：斜坡底部增加的长度CD为（3﹣3）米；（2）若一辆高度为2米的货车沿斜坡AD驶入车库，行进中不会碰到广告牌的下端F，理由如下：如图，延长EF交AD于G，过F作FH⊥AD于H，由题意得：∠AEG＝90°，AE∥BD，∴∠EAG＝∠ADB＝30°，∵tan∠EAG＝＝tan30°＝，AE＝5m，∴EG＝AE＝（m），∴FG＝EG﹣EF＝﹣0.5＝（﹣）（m），在Rt△FGH中，∠FGH＝90°﹣∠EAG＝90°﹣30°＝60°，∵sin∠FGH＝＝sin60°＝，∴FH＝FG＝×（﹣）＝﹣≈2.075（m）＞2m，∴若一辆高度为2米的货车沿斜坡AD驶入车库，行进中不会碰到广告牌的下端F．3．如图，在同一剖面内，小明在点A处用测角仪测得居民楼的顶端F的仰角为27°，他水平向右前进了30米来到斜坡的坡脚B处，沿着斜坡BC上行25米到达C点，用测角仪测得点F的仰角为54°，然后，水平向右前进一段路程来到了居民楼的楼底E处，若斜坡BC的坡度为3：4，请你求出居民楼EF 的高度．（测角仪的高度忽略不计，计算结果精确到0.1米．）参考数据：sin27°≈0.45，tan27°≈0.51，sin54°≈0.81，tan54°≈1.38）【解答】解：如图，过点C作CG⊥AD于点G，EH⊥AD于点H，得矩形CGHE，∴CE＝GH，CG＝EH，在Rt△BCG中，BC＝25米，CG：BG＝3：4，∴CG＝EH＝15米，BG＝20米，在Rt△AFH中，AH＝AB+BC+GH ＝30+20+GH＝50+CE，∵∠F AG＝27°，∴FH＝AH•tan27°，∴EF+15≈（50+CE）×0.51，在Rt△FCE中，∵∠FCE＝54°，∴EF＝CE×tan54°≈1.38CE，∴1.38CE+15≈（50+CE）×0.51，解得CE＝，∴EF≈1.38CE≈16.7（米），∴居民楼EF的高度约为16.7米．4．如图，在某海域内有一小岛P，在以P为圆心，半径r为6海里的圆形海域内有暗礁，一轮船自东向西航行，它在A处测得小岛P位于北偏西45°的方向上，当这艘轮船行驶4海里后到达B地，此时观测小岛P位于B地北偏西30°的方向上．（1）求A、P之间的距离；（结果精确到0.1海里，参考数据：≈1.41，≈2.45）（2）该轮船由B地继续向西行驶（4﹣4）海里到达C地，此时观测小岛P位于C地北偏西15°的方向上，同时接到总部通知，由于突发状况，该轮船必须驶离东西航线并沿北偏西某航向行驶，那么该轮船由C处开始沿北偏西至少多少度的方向航行才能避开小岛P周围的暗礁安全通过这一海域？【解答】解：（1）过点P作PD⊥AB，交AB的延长线于点D，由题意得，∠BPD＝30°，∠P AD＝45°，AB＝4海里，设PD＝x海里，则AD＝x海里，∴BD＝AD﹣AB＝（x﹣4）海里，在Rt△PBD中，∵BD＝PD tan30°，∴x﹣4＝x，∴x＝2（3+），∴P A＝PD＝x＝6+2≈13.4（海里），答：A，P之间的距离约为13.4海里；（2）因为r﹣PD＝6﹣2（3+）＝6﹣6﹣2≈﹣1＜0，所以无触礁的危险；设轮船无触礁危险的新航线为射线CH，作PE⊥CH，垂足为E，当P到CH的距离PE＝6海里时，有sin∠PCE＝，设CD＝y海里，∵BC＝（4﹣4）海里，在Rt△PBD中，PD＝2（3+）海里，∠BPD＝30°，∴BD＝PD tan30°，∴y+4﹣4＝2（3+）×，解得y＝6﹣2，∴CD＝（6﹣2）海里，∴PC＝＝＝4，∴sin∠PCE＝＝＝，∴∠PCE＝60°，∴60°+15°＝75°，∴该轮船由C处开始沿北偏西至少75度的方向航行才能避开小岛P周围的暗礁安全通过这一海域．5．如图，某渔船向正东方向以14海里/时的速度航行，在A处测得小岛C在北偏东70°方向，2小时后渔船到达B处，测得小岛C在北偏东45°方向，已知该岛周围20海里范围内有暗礁．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.41）（1）求B处距离小岛C的距离（精确到0.1海里）；（2）为安全起见，渔船在B处向东偏南转了25°继续航行，通过计算说明船是否安全？【解答】解：（1）如图，过点C作CN⊥AD于M，CN ⊥BE于N，由题意得，∠CAD＝90°﹣70°＝20°，∠CBD＝90°﹣45°＝45°，AB＝14×2＝28海里，∵∠CBD＝45°，∴CM＝BM，在Rt△CAM中，∵tan∠ACM＝，∴tan70°＝，解得CM≈16，在Rt△BCM中，BC＝CM＝16≈22.6（海里），答：B处距离小岛C的距离约为22.6海里；（2）在Rt△BCN中，∠CBN＝45°+25°＝70°，BC＝16海里，∴CN＝BC•sin∠CBN≈16×0.94≈21.2（海里），∵21.2＞20，∴能安全通过，答：能安全通过．6．首钢滑雪大跳台是世界上首个永久性的单板大跳台，其优美的造型，独特的设计给全球观众留下深刻的印象，大跳台场地分为助滑区、起跳台、着陆坡和终点区域4个都分，现将大跳台抽象成如图的简图，FC表示运送运动员上跳台的自动扶梯，CD表示助滑区，Rt△DEH表示起跳台，EB表示着陆坡．已知∠CF A ＝60°，∠EBF＝30°，在助滑区D处观察到顶点C处的仰角是30°，且自动扶梯的速度是2m/s，运送运动员到达跳台顶端C点处需要30秒，BE＝24m，DE∥BF，CA、DG、EF都垂直于BF．（1）求大跳台AC的高度是多少米（结果精确到0.1m）；（2）首钢滑雪大跳台主体结构采用装配式钢结构体系和预制构件，“助滑区”和“着陆坡”赛道面宽35米，面板采用10mm耐候钢，密度为7850kg/m3，求铺装“助滑区”和“着陆坡”赛道的耐候钢总重量是多少吨（结果精确到1吨）．（≈1.41，≈1.73）【解答】解：（1）根据题意可知：AC＝2×30＝60（m），答：大跳台AC的高度是60米；（2）如图，过点D作DM⊥CA于点M，得矩形AMDG，矩形DGNE，在Rt△ACF中，CF＝60m，∠CF A ＝60°，∴AC＝CF•sin60°＝60×＝30（m），在Rt△EBN中，∠EBN＝30°，BE＝24m，∴EN＝BE＝12m，∴AM＝DG＝EN＝12m，∴CM＝AC﹣AM＝（30﹣12）m，∵DE∥BF，∴∠CDM＝∠E＝30°，∴CD＝2CM＝2（30﹣12）＝60﹣24≈79.8m，∴耐候钢的体积＝79.8×35×10﹣2+24×35×10﹣2＝36.33（m3），∴耐候钢总重量＝36.33×7850≈285190（吨）．答：赛道的耐候钢总重量约为285190吨．7．5G时代，万物互联．互联网、大数据、人工智能与各行业应用深度融合，助力数字经济发展，共建智慧生活．网络公司在改造时，把某一5G信号发射塔MN建在了山坡BC 的平台CD上，已知山坡BC的坡度为1：2.4．眼睛距地面1.6米的小明站在A处测得塔顶M的仰角是37°．向前步行6米到达B处，再延斜坡BC步行6.5米至平台点C处，测得塔顶M的仰角是50°．若A．B、C、D、M、N在同一平面内，且A、B和C、D、N分别在同一水平线上．（1）求平台CD距离地面的高度；（2）求发射塔MN的高度．（结果精确到0.1米．参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20）【解答】（1）解：如图，过点Q作QP⊥MN 于P，过点F作FE⊥MN于E，∵山坡BC的坡度为1：2.4，BC＝6.5米，设CG＝x，则BG＝2.4x，∴x2+（2.4x）2＝6.52，解得x＝，∴CG＝HN＝米，BG＝6米，（2）解：∵CG＝HN＝米，BG＝6米，∴AG＝12米，由题意知∠MQP＝37°，∠MFE＝50°，设EF＝a米，则PQ＝AH＝（a+12）（米），∵tan50°＝≈1.20，∴ME＝1.2a，∵tan37°＝≈0.75，∴MP＝（a+12），∵ME+EN+NH＝MP+PH，∴1.2a+1.6+＝（a+2）+1.6，解得a＝米，∴MN＝1.2a+1.6≈18.9（米）．8．如图，为了测量陶行知纪念馆AB的高度，小李在点C处放置了高度为1.5米的测角仪CD，测得纪念馆顶端A点的仰角∠ADE＝51°，然后他沿着坡度i＝1：2.4的斜坡CF 走了6.5米到达点F，再沿水平方向走4米就到达了纪念馆底端点B．（结果精确到0.1，参考数据：sin51°≈0.78，cos51°≈0.63，tan51°≈1.23）（1）求点D到纪念馆AB的水平距离；（2）求纪念馆AB的高度约为多少米？【解答】解：（1）延长AB交水平线于点M，过F作FN⊥CM 于N，延长DE交AM于H，则四边形HMCD为矩形，∴HM＝CD＝1.5米，DH＝CM，∵斜坡CF的坡度i＝1：2.4，∴＝，∴CN＝2.4FN，∵CF＝6.5米，∴BM＝FN＝2.5（米），CN＝6（米），∵MN＝BF＝4米，∴DH＝CM＝6+4＝10（米），答：点D到纪念馆AB的水平距离为10米；（2）在Rt△ADH中，tan∠ADE＝则AH＝DH•tan∠ADE＝10×tan51°≈12.3（米），∴AB＝AM﹣BM＝AH+HM﹣BM＝12.3+1.5﹣2.5≈11.3（米），答：纪念馆AB的高度约为11.3米．9．2022北京冬奥会已正式闭幕，但因冬奥燃起的冰雪消费热潮仍在持续中国滑雪场、冰雪产业正在逐步形成．如图，是某度假村兴建的专业滑雪场地，小南在观景台A处向前走15米到达观景点B处，测得滑雪场顶端E的仰角为22°，沿着坡度为1：2.4的斜坡走了26米到达坡底C处，然后往前走93米到达滑雪场底端D处．A、B、C、D、E、M、N在同一平面内，ED⊥MD，BN⊥MD，AM⊥MD，AB∥MD．（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）（1）求观景台A 处到坡底C的水平距离CM；（2）求滑雪场顶端E到CD的距离ED的长（结果精确到1米）．【解答】解：（1）延长AB 交DE于F，∵ED⊥MD，BN⊥MD，AM⊥MD，AB∥MD，∴AM∥BN∥FD，BF⊥EF，∴四边形AMNB和四边形BNDF是平行四边形，∴▱AMNB和▱BNDF是矩形，在Rt△BCN中，＝，BC＝26，BN2+CN2＝BC2，设BN＝x，CN＝2.4x，∴x2+（2.4x）2＝262，解得：x＝10，∴BN＝10，CN＝24，∵四边形AMNB是矩形，AB＝15，∴MN＝AB＝15，∴CM＝MN+CN＝15+24＝39（米），答：观景台A处到坡底C的水平距离CM为39米；（2）∵四边形BNDF是矩形，BN＝10，CD＝93，CN＝24，∴FD＝BN＝10，BF＝DN＝CN+CD＝24+93＝117，在Rt△BEF中，tan∠EBF＝＝tan22°，∴EF＝BF•tan22°≈117×0.40＝46.8，∴ED＝EF+FD＝56.8≈57（米）．答：滑雪场顶端E到CD的距离ED的长约为57米．10．如图，梯形ABCD是一个拦河坝的截面图，坝高5米，背水坡AD的坡度为1：1.2．为了提高河坝抗洪能力，防汛指挥部决定加固河坝，若坝顶CD加宽1米，新的背水坡EF 的坡角α为30°，河坝总长400米．（1）求大坝底端AF需加宽多少米？（精确到0.1米，参考数据：≈1.73，≈1.41）（2）某工程队每天加固150立方米，工程队能否在30天内完成河坝加固？（体积＝底面积×高）【解答】解：（1）过点D作DG⊥AB于G，过点E作EH⊥AB于H，则四边形EHGD为矩形，∴HG＝ED＝1米，∵坡AD的坡度为1：1.2，DG＝5米，∴AG＝5×1.2＝6米，∴AH＝AG﹣GH＝6﹣1＝5（米），在Rt△EFH中，∠F＝30°，∴FH＝＝＝5≈8.65（米），∴AF＝FH﹣AH＝8.65﹣5＝3.65≈3.7（米），答：大坝底端AF需加宽约为3.7米；（2）需加固的土方量为：×（1+3.7）×5×400＝4700（立方米），工程队每天加固150立方米，工程队30天内完成的土方量为：150×30＝4500（立方米），∵4500＜4700，∴工程队不能在30天内完成河坝加固，答：工程队不能在30天内完成河坝加固．11．图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面AE的倾斜角∠EAD为22°，长为3米的真空管AB与水平线AD的夹角为37°，安装热水器的铁架竖直管CE的长度为0.5米．（1）真空管上端B到水平线AD的距离．（2）求安装热水器的铁架水平横管BC的长度（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈0.4）【解答】解：（1）过B作BF⊥AD于F．在Rt△ABF中，sin∠BAF＝，则BF＝AB sin∠BAF＝3sin37°≈3×＝1.8（米）．答：真空管上端B到AD的距离约为1.8米；（2）在Rt△ABF中，cos∠BAF＝，则AF＝AB cos∠BAF＝3×cos37°≈2.25（米），∵BF⊥AD，CD⊥AD，BC∥FD，∴四边形BFDC是矩形．∴BF＝CD，BC＝FD，∵EC＝0.5米，∴DE＝CD﹣CE＝1.3米，在Rt△EAD中，tan∠EAD＝，则AD＝≈＝3.25（米），∴BC＝DF＝AD﹣AF＝3.25﹣2.25≈1.0（米），答：安装热水器的铁架水平横管BC的长度约为1.0米．12．如图所示，已知BC是水平面，AB、AD、CD是斜坡．AB的坡角为42°，坡长为200米，AD的坡角为60°，坡长为100米，CD的坡比i＝1：2．（1）求坡顶A到水平面BC的距离；（2）求斜坡CD的长度．（结果精确到1米，参考数据：sin42°≈0.70，≈1.73）【解答】解：（1）过点A作AE⊥BC于E，在Rt△ABE中，∠B＝42°，AB＝200米，则AE＝AB•sin B≈200×0.70＝140（米），答：坡顶A到水平面BC的距离约为140米；（2）过点D作DF⊥BC于F，DG⊥AE于G，则四边形EFDG为矩形，∴GE＝DF，在Rt△AGD中，∠ADG＝60°，AD＝100米，则AG＝AD•sin∠ADG＝100×≈86.5（米），∴DF＝GE＝AE﹣AG＝53.5（米），∵CD的坡比i＝1：2，∴DF：FC＝1：2，∴DF：CD＝1：3，∴CD＝3DF＝160.5≈161（米），答：斜坡CD的长度约为161米．13．数学兴趣小组想利用所学的知识了解某广告牌的高度，已知CD＝2m．经测量，得到其它数据如图所示．其中∠CAH＝37°，∠DBH＝67°，AB ＝10m，请你根据以上数据计算GH的长．（参考数据sin67，cos67°，tan67°，cos37°，sin37°，tan37°）【解答】解：延长CD交AH于点E，则CE⊥AH，如图所示．设DE＝xm，则CE＝（x+2）m，在Rt△AEC和Rt△BED中，tan37°＝，tan67°＝，∴AE＝，BE＝．∵AE﹣BE＝AB，∴﹣＝10，即﹣＝10，解得：x＝8，∴DE＝8m，∴GH＝CE＝CD+DE＝2m+8m＝10m．答：GH的长为10m．。
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解直角三角形专题
【类型一】见︒
60作垂直
30、︒
45、︒
例1、公交总站（A点）与B、C两个站点的位置如图所示，已知AC=6km，︒
=
B，
∠30
∠15
C。
求B站点离公交总站的距离即AB的长。
（结果保留根号）
=
︒
留根号）
检测1、如图,在△ABC中,∠A=30°,tan B= 3 2 , AC=2 3 ,
则AB的长是( )
检测1、如图，定义：在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ,锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作αtan c ，即BC
AC
c ==
的对边角的邻边角αααtan .
根据上述角的余切定义，解答下列问题：
（1）︒60tan c =___________；（2）求︒15tan c 的值.
检测2、如下图，在△ABC中，∠C=︒
105，AD⊥BC，垂足为D，AC=4cm，
30，∠BAC=︒
求BC的长（答案可带根号）
例6、在四边形ABCD中,︒
=
BC,4
=
CD,6
=
DA,求四边形
∠120
=
∠
=
BCD,5
CDA
ABCD的面积为_______．
检测1、如图,四边形ABCD中︒
D
=
BC,2
CD,则对角
=
∠90
B,1
∠60
=
DAB,︒
=
=
∠
线AC的长为（）
（1）求AC长；（2）求△ABC的面积．
【类型四】见坡度、坡角，俯角、仰角作垂直
例8、如图,“五∙一”期间在某商贸大厦上从点A到点B悬挂了一条宣传条幅,小明和小雯的家正好住在商贸大厦对面的家属楼上,小明在四楼D点测得条幅端点A的仰角为︒
45,测得条30,测得条幅端点B的俯角为︒
45;小雯在三楼仰角为︒
幅端点B的俯角为︒
30.若设楼层高度CD为3米,请你根据小明和小雯测得的数据
东的方向，则该船航行的距离（即
线与水平线夹角成︒
BC米,斜坡上的树60时,测得小树的在坡顶平地上的树影3
=
例11、如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，过BC的中点D作DE⊥AB，垂足为E，连接CE，求sin∠ACE的值.
例12、如图，已知321////l l l ，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角△ABC 的三个顶点分别在这三条平行直线上，则αsin 的值是（ ）。