中考数学总复习 第三编 综合专题闯关篇 专题2 应用题的基本类型与解题策略 第3节 一次、二次函数的
初中数学闯关题解题技巧归纳
初中数学闯关题解题技巧归纳数学作为一门重要的学科，对于学生来说是一项必修的课程。
而在初中阶段，数学的学习变得更为深入和复杂。
为了帮助同学们更好地应对初中数学闯关题，本文将总结一些解题技巧和方法，以帮助同学们更好地理解和解决数学难题。
第一，理解题目在解决数学问题时，首先要充分理解题目中所给的条件和要求。
仔细阅读题目，分析关键信息，划出关键词，明确问题是什么，并构建一个解决方案。
这一步非常关键，因为如果在理解问题上出错，将会导致解题偏离轨道。
第二，画图和列式很多数学问题可以通过将具体情况转化为图形或列出相关的数学式子来解决。
对于几何题，我们可以根据条件绘制出图形，以直观地理解问题。
对于代数题，我们可以利用代数运算和方程来表示问题，从而求解。
画图和列式的方法可以帮助我们更好地理清思路，将问题抽象化，并为下一步的解题提供方向。
第三，寻找规律数学问题中常常存在一些规律性的特征，我们可以利用这些规律来简化解题过程。
例如，对于找规律的问题，我们可以观察数列中的数字之间的关系，然后找到递推公式或通项公式来求解。
在代数问题中，我们可以观察等式两边的特点，进行因式分解来简化计算。
寻找规律需要对问题进行深入思考和分析，掌握一些常见的数学定理和公式也是非常有帮助的。
第四，灵活运用定理和公式数学是有一定规律和定理的学科，我们在解决问题时可以运用所学的定理和公式。
例如，对于几何题，我们可以灵活应用垂直、对角、平行等基本定理来解决问题。
对于代数题，我们可以利用二次方程、勾股定理等公式来求解未知数。
熟练掌握并灵活应用这些定理和公式可以帮助我们更快地解决问题。
第五，多做练习题熟能生巧，这一点在数学学习中更显著。
做更多的练习题有助于我们熟悉解题的过程和方法，积累解题的经验。
通过反复练习，我们可以更好地理解数学理论，掌握解题技巧，并在实践中提高解题水平。
建议同学们多做各种类型的习题，包括选择题、填空题和解答题，以全面提升解题能力。
第六，合理利用辅助工具在解决一些复杂的数学问题时，合理利用辅助工具能够提高效率和减少错误率。
遵义专版中考数学总复习第三编综合专题闯关篇专题三图形变换问题的基本类型和解题策略第一节轴对称变换问题
2017年中考数学命题研究（遵义专版）
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Jie Shu Yu
一份信心，一份努力，一份成功；十分信心， 十分努力，十分成功。
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中考数学 第三编 综合专题闯关篇 题型二 解答题重难点
专题二函数的实际应用与决策专题命题规律纵观河北8年中考，函数的实际应用是河北每年中考必考内容，常考类型有：1.一次函数的实际应用(带有决策性问题)(2016年24题，2011年24题，2009年25题)；2.二次函数的实际应用(带有决策性问题)(2013年25题)；3.一次函数与二次函数结合的实际应用问题(最优问题)(2012年24题；2010年26题)．主要是考查学生将实际问题转化为数学问题的能力(分值10分左右，难度中上等)．解题策略从实际问题中建立函数模型，运用相关知识解决问题．此类问题综合性较强，一般结合方程(组)、一元二次方程、不等式以及统计知识来解决，对学生的综合能力要求较高．2017预测预计2017年河北中考对函数的实际应用，仍然会加大力度考查，难度不低，要求在复习中有针对性训练，分层提高．,中考重难点突破)一次函数的实际应用【经典导例】【例1】(2016邯郸二十三模拟)山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投入市场，某车行经营的A型车去年销售总额为5万元，今年每辆售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%.A、B两种型号车的进货和销售价格如下表：A型车B型车进货价格(元) 1 100 1 400销售价格(元) 今年的销售价格 2 000(1)今年A型车每辆售价多少元？(用列方程的方法解答)(2)该车行计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？【解析】(1)根据卖出的数量相同作为等量关系列方程；(2)建立获利的函数关系式，然后用一次函数的性质回答问题．【学生解答】(1)设今年A型车每辆售价为x元，则去年每辆售价为(x＋400)元．由题意，得50 000x＋400＝50 000（1－20%）x.解得x＝1 600.经检验，x＝1 600是所列方程的根．答：今年A型车每辆售价为1 600元．(2)设车行新进A型车m辆，则B型车为(60－m)辆，获利y元．由题意，得y＝(1 600－1 100)m＋(2 000－1 400)(60－m)，即y＝－100m＋36 000.∵B型车的进货数量不超过A型车数量的2倍．∴60－m≤2m.∴m≥20.由y 与m的关系式可知，－100＜0，y的值随m的值增大而减小．∴当m＝20时，获利最大，∴60－m＝60－20＝40(辆)．即当新进A型车20辆，B型车40辆时获利最大．【方法指导】弄清题意，建立相应数学模型是关键．1．(2015河北中考)水平放置的容器内原有210 mm高的水，如图，将若干个球逐一放入该容器中，每放入一个大球水面就上升 4 mm，每放入一个小球水面就上升 3 mm，假定放入容器中的所有球完全浸没水中且水不溢出．设水面高为y mm .(1)只放入大球，且个数为x 大，求y 与x 大的函数关系式；(不必写出x 大的取值范围) (2)仅放入6个大球后，开始放入小球，且小球个数为x 小． ①求y 与x 小的函数关系式；(不必写出x 小的取值范围) ②限定水面高不超过260 mm ，最多能放入几个小球？解：(1)容器中原来的水高210 mm ，加上放入大球后升高的高度就是容器中变化后的水面的高度．根据题意得y ＝4x 大＋210；(2)①先求得放入6个大球后水的高度，然后加上放入小球后水升高的高度即可．放入6个大球后水的高度是y ＝4×6＋210＝234(mm )．∴y＝3x 小＋234；②根据水面高度不超过260 mm ，即小于或等于260mm ，列不等式求得x 小的范围，在这个范围内取最大整数值即可．依据题意，得3x 小＋234≤260，解得x 小≤823.∵x 小为自然数，∴x 小的最大整数值为8.答：限定水面高不超过260 mm ，最多能放入8个小球．2．(2016沧州九中模拟)为了贯彻落实市委市府提出的“精准扶贫”精神．某校特制定了一系列关于帮扶A 、B 两贫困村的计划．现决定从某地运送152箱鱼苗到A 、B 两村养殖，若用大小货车共15辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗，已知这两种大小货车的载货能力分别为12箱/辆和8箱/辆，其运往A 、B 两村的运费如下表：目的地车型 A 村(元/辆) B 村(元/辆)大货车 800 900 小货车 400 600(1)这15(2)现安排其中10辆货车前往A 村，其余货车前往B 村，设前往A 村的大货车为x 辆，前往A 、B 两村总费用为y 元，试求出y 与x 的函数解析式；(3)在(2)的条件下，若运往A 村的鱼苗不少于100箱，请你写出使总费用最少的货车调配方案，并求出最少费用．解：(1)大货车为8辆，小货车为7辆； (2)y ＝100x ＋9 400 ；(3)由题意，得12x ＋8(10－x)≥100，解得x≥5，又∵x 不会超过大货车的总辆数8，∴5≤x ≤8.由y ＝100x ＋9 400知，y 随x 的增大而增大，∴当x ＝5时，y 取最小值，y 最小＝100×5＋9 400＝9 900(元)，∴总运费最少的货车调配方案为：前往A 村的大货车5辆，小货车5辆，前往B 村的大货车3辆，小货车2辆，最少总费用为9 900元．3．(2016保定八中二模)甲乙两人匀速从同一地点到 1 500 m 处的图书馆看书，甲出发5 min 后，乙以50 m /min 的速度沿同一路线行走．设甲乙两人相距s(m )，甲行走的时间为t(min )，s 关于t 的函数图象的一部分如图所示．(1)求甲行走的速度；(2)在坐标系中，补画s 关于t 函数图象的其余部分； (3)甲乙两人何时相距360 m?解：(1)甲行走的速度：150÷5＝30(m /min )； (2)补画的图象如图所示(C 点的横坐标为50)；(3)乙追上甲用的时间150÷(50－30)＝7.5(min )，此时t ＝5＋7.5＝12.5(min )．设直线AB 解析式为s ＝kt＋b(12.5≤t≤35)．∵A(12.5，0)，B(35，450)在直线AB 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝12.5k ＋b ，450＝35k ＋b.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝20，b ＝－250.∴s ＝20t －250.当s ＝360时，20t －250＝360，解得t ＝30.5.设直线BC 的解析式为s ＝mt ＋n(35<t≤50)．∵点B(35，450)，C(50，0)在直线BC 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝50m ＋n ，450＝35m ＋n.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－30，n ＝1 500.∴s ＝－30t ＋1 500.当s ＝360时，－30t ＋1 500＝360，解得t ＝38，∴当甲行走30.5 min 或38 min 时，甲、乙两人相距360 m .4．(2016邢台模拟)某商业公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量 m(件)与时间t(天)的关系如下表：时间t(天) 1 3 10 20 21 22 40 日销售量 m(件) 98 94 80 60 61 62 80未来40天关系式为：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧14t ＋25（1≤t≤20，t 为整数），－12t ＋40（21≤t≤40，t 为整数）.根据以上提供的条件解决下列问题：(1)认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数的知识分别确定1≤t≤20，21≤t ≤40时，满足这些数据的m(件)与t(天)之间的关系式；(2)请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大的销售利润是多少？(3)在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠a 元利润(a ＜4)给希望工程．公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t(天)的增大而增大，求a 的最小值．解：(1)m ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2t ＋100（1≤t≤20），t ＋40（21≤t≤40）；(2)当t ＝15时，利润最大，为612.5元； (3)a 的最小值是2.5.二次函数的实际应用【经典导例】【例2】(2016石家庄四十二中模拟)天猫网某店铺销售新疆薄皮核桃，这种食品是健脑的佳品，它的成本价为20元/kg ，经市场调查发现，该产品每天销售利润w(元)与销售价x(元/kg )有如下关系：w ＝ax 2＋bx －1 600，当销售价为22元/kg 时，每天的销售利润为72元；当销售价为26元/kg 时，每天的销售利润为168元．(1)求该产品每天的销售利润w(元)与销售价x(元/kg )的关系式； (2)当销售价定为24元/kg ，该产品每天的销售利润为多少元？(3)如果该店铺的负责人想要在销售价不超过32元的情况下每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？(4)如果物价部门规定这种产品的销售价不高于29元/kg ，此店铺每天获得的最大利润为多少元？【解析】(1)根据题意可求出y 与x 的二次函数关系式；(2)将x ＝24代入w ＝－2x 2＋120x －1 600中计算所得利润；(3)将w ＝150带入w ＝－2x 2＋120x －1 600＝150中计算出定价；(4)由二次函数解析式可知w ＝－2x 2＋120x －1 600＝－2(x －30)2＋200，所以当x ＝29时利润最大．【学生解答】(1)已知w ＝ax 2＋bx －1 600，且有当销售价为22元时，每天的销售利润为72元；当销售价为26元时，每天的销售利润为168元．所以有：72＝a ×222＋b×22－1 600，168＝a×262＋b×26－1 600.解得a ＝－2，b ＝120.∴该产品每天的销售利润w(元)与销售价x(元/kg )的关系式为w ＝－2x 2＋120x －1 600；(2)当x ＝24时，有w ＝－2×242＋120×24－1 600＝128.∴当销售价定为24元/kg 时，该产品每天的销售利润为128元；(3)当w ＝150时，有w ＝－2x 2＋120x －1 600＝150.解得x 1＝25，x 2＝35.∵x≤32，∴x ＝25.∴定价为25元/kg ；(4)w ＝－2x 2＋120x －1 600＝－2(x －30)2＋200.又∵物价部门规定这种产品的销售价不高于29元/kg ，∴当x ＝29元时，利润最大，为w ＝－2(29－30)2＋200＝198(元)．【方法指导】正确建立二次函数模型，利用配方法和二次函数的性质结合自变量的取值范围，求出最佳方案．5．(2013河北中考)某公司在固定线路上运输，拟用运营指数Q 量化考核司机的工作业绩．Q ＝W ＋100，而W 的大小与运输次数n 及平均速度x(km /h )有关(不考虑其他因素)，W 由两部分的和组成：一部分与x 的平方成正比，另一部分与x 的n 倍成正比．试行中得到了表中的数据．次数n 2 1 速度x 40 60 指数Q 420100(1)用含x 和n 的式子表示Q ；(2)当x ＝70，Q ＝450时，求n 的值； (3)若n ＝3，要使Q 最大，确定x 的值；(4)设n ＝2，x ＝40，能否在n 增加m%(m ＞0)同时x 减少m%的情况下，而Q 的值仍为420，若能，求出m 的值；若不能，请说明理由．[参考公式：抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的顶点坐标是(－b 2a ，4ac －b 24a)]解：(1)设W ＝k 1x 2＋k 2nx ，∴Q ＝k 1x 2＋k 2nx ＋100.由表中数据，得⎩⎪⎨⎪⎧420＝402k ＋2×40k 2＋100，100＝602k 1＋1×60k 2＋100.解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－110，k 2＝6.∴Q ＝－110x 2 ＋6nx ＋100； (2)由题意，得450＝－110×702＋6×70n＋100，∴n ＝2；(3)当n ＝3时，Q ＝－110x 2 ＋18x ＋100.由a ＝－110<0可知，要使Q 最大， x ＝－182×⎝ ⎛⎭⎪⎫－110＝90；(4)由题意得，420＝－110[40(1－m%)]2＋6×2(1＋m%)×40(1－m%)＋100, 即2(m%)2－m%＝0，解得m%＝12或m%＝0(舍去), ∴m ＝50.6．(2016青岛中考)某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件．试营销阶段发现：当销售单价为25元/件时，每天的销售量是250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．(1)写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式； (2)求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？ (3)商场的营销部结合上述情况，提出了A 、B 两种营销方案： 方案A ：该文具的销售单价高于进价且不超过30元； 方案B ：每件文具的利润不低于25元且不高于29元． 请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．解：(1)w ＝(x －20)[250－10(x －25)]＝－10(x －20)(x －50)＝－10x 2＋700x －10 000；(2)∵w＝－10x 2＋700x －10 000＝－10(x －35)2＋2 250，∴当x ＝35时，w 取得最大值2 250，即销售单价为35元时，每天销售利润最大，最大利润为2 250元；(3)∵w＝－10(x －35)2＋2 250，∴函数图象是以x ＝35为对称轴且开口向下的抛物线．∴对于方案A ，20＜x≤30，此时图象在对称轴左侧(如图)，w 随x 的增大而增大，∴x ＝30时，w 取得最大值2 000.∴当采用方案A 时，销售单价为30元可获得最大利润为2 000元；对于方案B ，45≤x ＜49，此时图象位于对称轴右侧(如图)，∴w 随x 的增大而减小，故当x ＝45时，w 取到最大值1 250，∴当采用方案B 时，销售单价为45元可获得最大利润为1 250元，两者比较，方案A 的最大利润更高．7．(2016张家口一模)某企业生产的一批产品上市后30天内全部售完，调查发现，国内市场的日销售量y 1(吨)与时间t(t 为整数，单位：天)的关系如图①所示的抛物线的一部分，而国外市场的日销售量y 2(吨)与时间t(t 为整数，单位：天)的关系如图②所示.(1)求y 1与时间t 的函数关系式及自变量t 的取值范围，并直接写出y 2与t 的函数关系式及自变量t 的取值范围；(2)设国内、国外市场的日销售总量为y 吨，直接写出y 与时间t 的函数关系式，当销售第几天时，国内、外市场的日销售总量最早达到75吨？(3)判断上市第几天国内、国外市场的日销售总量y 最大，并求出此时的最大值．解：(1)设y 1＝at 2＋bt ，把点(30，0)和(20，40)代入得，⎩⎪⎨⎪⎧900a ＋30b ＝0，400a ＋20b ＝40.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，b ＝6.∴y 1＝－15t 2＋6t(0≤t≤30，t 为整数)．设y 2＝kt ＋b ，当0≤t<20时，y 2＝2t ，当20≤t≤30时，⎩⎪⎨⎪⎧20k ＋b ＝40，30k ＋b ＝0.∴y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧2t （0≤t<20，且t 为整数），－4t ＋120（20≤t≤30为整数）； (2)由y ＝y 1＋y 2，得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－15t 2＋8t （0≤t<20，且t 为整数），－15t 2＋2t ＋120（20≤t≤30，且t 为整数）.由图象可知，销售20天，y ＝80, ∴y＝75时，t ＜20, 即－15t 2＋8t ＝75时，t 2－40t ＋25×15＝0，t 1＝15，t 2＝25>20(舍)．即销售第15天时，国内、外市场的日销售总量最早达到75吨；(3)当0≤t＜20时，y ＝－15t 2＋8t ＝－ 15(t －20)2＋80.∵t 为整数， ∴当t ＝19时，y 最大值为79.8吨．当20≤t≤30时，y ＝－15t 2＋2t ＋120＝－15(t －5)2＋125.∵当t ＝20时，y 随t 的增大而减小，∴当t ＝20时，y 的最大值为80吨．综上所述，上市后第20天国内、外市场日销售总量y 值最大，最大值为80吨．一次、二次函数综合应用【经典导例】【例3】(2016唐山九中二模)某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎，每年可在国内、国外市场上全部售完，该公司的年产量为6千件，若在国内市场销售，平均每件产品的利润y 1(元)与国内销售数量x(千件)的关系为：y 1＝⎩⎪⎨⎪⎧15x ＋90（0＜x≤2），－5x ＋130（2≤x＜6）.若在国外销售，平均每件产品的利润y 2(元)与国外的销售数量t(千件)的关系为：y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧100（0＜t≤2），－5t ＋110（2≤t＜6）.(1)用x 的代数式表示t 为：t ＝________；当0＜x≤4时，y 2与x 的函数关系式为：y 2＝________；当4≤x ＜________时，y 2＝100；(2)求每年该公司销售这种健身产品的总利润w(千元)与国内的销售数量x(千件)的函数关系式，并指出x 的取值范围．【学生解答】(1)6－x ；5x ＋80；6；(2)当0＜x≤2时，w ＝(15x ＋90)x ＋(5x ＋80)(6－x)＝10x 2＋40x ＋480；当2＜x≤4时，w ＝(－5x ＋130)x ＋(5x ＋80)(6－x)＝－10x 2＋80x ＋480；当4＜x ＜6时，w ＝(－5x ＋130)x＋100(6－x)＝－5x 2＋30x ＋600.w ＝⎩⎪⎨⎪⎧10x 2＋40x ＋480（0＜x≤2），－10x 2＋80x ＋480（2＜x≤4），－5x 2＋30x ＋600（4＜x ＜6）.8．(2012河北中考)某工厂生产一种合金薄板(其厚度忽略不计)，这些薄板的形状均为正方形，边长(单位：cm )在5～50之间．每张薄板的成本价(单位：元)与它的面积(单位：cm 2)成正比例．每张薄板的出厂价(单位：元)由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的，浮动价与薄板的边长成正比例．在营销过程中得到了表格中的数据．薄板的边长(cm ) 20 30 出厂价(元/张) 50 70(1)求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式；(2)已知出厂一张边长为40 cm 的薄板，获得的利润是26元．(利润＝出厂价－成本价) ①求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式；②当边长为多少时，出厂一张薄板获得的利润最大？最大利润是多少？[参考公式：抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的顶点坐标是(－b 2a ，4ac －b 24a)]解：(1)设一张薄板的边长为x cm ，它的出厂价为y 元，基础价为n 元，浮动价为kx 元，则y ＝kx ＋n.由表格中的数据得⎩⎪⎨⎪⎧50＝20k ＋n ，70＝30k ＋n.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，n ＝10.∴y ＝2x ＋10；(2)①设一张薄板的利润为P 元，它的成本价为mx 2元，由题意得P ＝y －mx 2＝2x ＋10－mx 2.将x ＝40，P ＝26代入P ＝2x ＋10－mx 2中，得26＝2×40＋10－m×402.解得m ＝125.∴P ＝－125x 2＋2x ＋10；②∵a ＝－125<0，∴当x ＝－b 2a ＝－22×（－125）＝25(在5～50之间)时，P 最大值＝4ac －b24a＝4×（－125）×10－224×（－125）＝35.即出厂一张边长为25 cm 的薄板，获得的利润最大，最大利润是35元．9．(2016梅州中考)九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：售价(元/件) 100 110 120 130 … 月销量(件) 200 180 160 140 …(1)请用含x 的式子表示：①销售该运动服每件的利润是________元；②月销量是________件；(直接写出结果)(2)设销售该运动服的月利润为y 元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？ 解：(1)(x －60)；(－2x ＋400)；(2)由题意得，y ＝(x －60)(－2x ＋400)＝－2x 2＋520x －24 000＝－2(x －130)2＋9 800.当x ＝130时，y 有最大值9 800.答：售价为130元，当月的利润最大，最大利润是9 800元．10．(2016保定十七中二模)某企业接到一批粽子生产任务，按要求在15天内完成，约定这批粽子的出厂价为每只6元．为按时完成任务，该企业招收了新工人．设新工人李明第x 天生产的粽子数量为y 只，y 与x 满足如下关系：⎩⎪⎨⎪⎧54x ，（0≤x≤5）30x ＋120.（5<x≤15）(1)李明第几天生产的粽子数量为420只？(2)如图，设第x 天每只粽子的成本是p 元，p 与x 之间的关系可用图中的函数图形来刻画．若李明第x 天创造的利润为w 元，求 w 关于x 的函数解析式，并求出第几天的利润最大，最大利润时多少元？(利润＝出厂价－成本)解：(1)设李明第n 天生产的粽子数量为420只，根据题意，得30n ＋120＝420，解得n ＝10. 答：李明第10天生产的粽子数量为420只；(2)由图象可知，当0≤x≤9时，p ＝4.1；当9≤x≤15时，设p ＝kx ＋b(k ≠0)，把点(9，4.1)，(15，4.7)代入上式，得⎩⎪⎨⎪⎧9k ＋b ＝4.1，15k ＋b －4.7.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝0.1，b ＝3.2.∴p ＝0.1x ＋3.2.①0≤x ≤5时，w ＝(6－4.1)×54x＝102.6x ，当x ＝5时，w 最大＝513(元)；②5<x≤9时，w ＝(6－4.1)×(30x＋120)＝57x ＋228，∵x 是整数，∴当x ＝9时，w 最大＝741(元)；③9<x≤15时，w ＝(6－0.1x －3.2)×(30x＋120)＝－3x 2＋72x ＋336＝－3(x －12)2＋768.∵－3<0，∴当x ＝12时，w 最大＝768(元)．综上所述，w 与x 之间的函数解析式为w ＝⎩⎪⎨⎪⎧102.6x （0≤x≤5），57x ＋228（5<x≤9），－3（x －12）2＋768（9<x≤15）.第12天的利润最大，最大值是768元．。
考数学第三编综合专题闯关篇题型二解答题重难点突破专题二函数的实际应用与决策试题
专题二函数的实际应用与决策纵观河北8年中考，函数的实际应用是河北每年中考必考内容，常考类型有： 1. 一次函数的实际应用（带有决策性问题）（2016年24题，2011年24题，2009年25题）；2.二次函数的实际应用（带有决策性问题）（2013年25 题）；3. 一次函数与二次函数结合的实际应用问题（最优问题）（2012年24题；2010年26题）.主要是考查学生将实际问题转化为数学问题的能力（分值10分左右，难度中上等）.从实际问题中建立函数模型，运用相关知识解决问题•此类问题综合性较强，一般结合方程（组）、一元二次方程、不等式以及统计知识来解决，对学生的综合能力要求较高.预计2017年河北中考对函数的实际应用，仍然会加大力度考查，难度不低，要求在复习中有针对性训练，分层提高.,中考重难点突破）一次函数的实际应用【经典导例】【例1】（2016邯郸二十三模拟）山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投入市场，某车行经营的A型车去年销售总额为5万元，今年每辆售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%.A、B两种型号车的进货和销售价格如下表：（1）今年A型车每辆售价多少元？（用列方程的方法解答）(2) 该车行计划新进一批 A 型车和新款B 型车共60辆，且B 型车的进货数量不超过 A 型车数量的两倍，应如 何进货才能使这批车获利最多？【解析】(1)根据卖出的数量相同作为等量关系列方程； (2)建立获利的函数关系式，然后用一次函数的性质回答问题.设车行新进 A 型车 m 辆，贝U B 型车为(60 — m)辆，获利 y 元•由题意，得 y = (1 600 — 1 100)m + (2 000 — 1 400)(60 — m),即y = — 100m ^36 000. TB 型车的进货数量不超过 A 型车数量的 2倍.二60— me2m.A 详20.由 y 与m 的关系式可知，—100V 0, y 的值随 m 的值增大而减小.•••当 m= 20时，获利最大，A 60 — m= 60 — 20 = 40(辆)•即当新进 A 型车20辆，B 型车40辆时获利最大.【方法指导】弄清题意，建立相应数学模型是关键.1. (2015河北中考)水平放置的容器内原有 210 mm 高的水，如图，将若干个球逐一放入该容器中，每放入一 个大球水面就上升 4 mm 每放入一个小球水面就上升 3 mm 假定放入容器中的所有球完全浸没水中且水不溢出.设水面高为 y mm(1) 只放入大球，且个数为 x 大，求y 与x 大的函数关系式；(不必写出x 大的取值范围) (2) 仅放入6个大球后，开始放入小球，且小球个数为 x 小. ① 求y 与x 小的函数关系式；(不必写出x 小的取值范围) ② 限定水面高不超过 260 mm 最多能放入几个小球？【学生解答】(1)设今年 A 型车每辆售价为 x 元，则去年每辆售价为(x + 400)元.由题意，得 50 000x + 400 50 000 (1 — 20%x.解得x = 1 600.经检验, x = 1 600是所列方程的根.答：今年A 型车每辆售价为1 600元.⑵解：「(1)容器中原来的水高210 mm加上放入大球后升高的高度就是容器中变化后的水面的高「度•根据题意得y= 4x大+ 210; (2)①先求得放入6个大球后水的高度，然后加上放入小球后水升高的高度即可.放入6个大球后水的高度是y = 4X 6+ 210 = 234( mm.二y= 3x小+ 234:②根据水面高度不超过260 mn,即小于或等于260一一一一一 2 mm列不等式求得x小的范围，在这个范围内取最大整数值即可.依据题意，得3x小+ 234Wv260,解得x小w &3.x小为自然数，••• x小的最大整数值为8.答：限定水面高不超过260 mm最多能放入8个小球.2. (2016沧州九中模拟)为了贯彻落实市委市府提出的“精准扶贫”精神.某校特制定了一系列关于帮扶A、B两贫困村的计划.现决定从某地运送152箱鱼苗到A、B两村养殖，若用大小货车共15辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗，已知这两种大小货车的载货能力分别为12箱/辆和8箱/辆，其运往A、B两村的运费如下表：(1) 这15辆车中大小货车各多少辆？(2) 现安排其中10辆货车前往A村，其余货车前往B村，设前往A村的大货车为x辆，前往A B两村总费用为y元，试求出y与x的函数解析式；(3) 在⑵的条件下，若运往A村的鱼苗不少于100箱，请你写出使总费用最少的货车调配方案，并求出最少费用.解：(1)大货车为8辆，小货车为7辆；(2) y = 100x + 9 400 ;(3) 由题意，得12x + 8(10 —x) > 100,解得x>5,又Tx不会超过大货车的总辆数8, • 5w x w 8.由y= 100x + 9 400知，y随x的增大而增大，•当x= 5时，y取最小值，y 最小= 100X 5+ 9 400 = 9 900(元)，•总运费最少的货车调配方案为：前往A村的大货车5辆，小货车5辆，前往B村的大货车3辆，小货车2辆，最少总费用为9 900 元.3. (2016保定八中二模)甲乙两人匀速从同一地点到 1 500 m处的图书馆看书，甲出发5 min后，乙以50mmin的速度沿同一路线行走.设甲乙两人相距s(m，甲行走的时间为t( min) , s关于t的函数图象的一部分如图所示.(1) 求甲行走的速度；(2) 在坐标系中，补画s关于t函数图象的其余部分；(3) 甲乙两人何时相距360 m?解：⑴甲行走的速度：150-5= 30( m/min)；(2) 补画的图象如图所示(C点的横坐标为50);(3) 乙追上甲用的时间150-(50 —30) = 7.5( min)，此时t = 5+ 7.5 = 12.5( min).设直线AB解析式为s = kt0= 12.5k + b, k = 20,+ b(12.5 W t W 35) .••• A(12.5 , 0) , B(35 , 450)在直线AB 上，二解得/• s = 20t —250.450= 35k + b. b =—250.当s = 360 时，20t —250 = 360,解得t = 30.5.设直线BC 的解析式为s = mt+ n(35<t W 50).二•点B(35 , 450),0 = 50m+ n, m=—30,C(50 , 0)在直线BC 上，•••解得••• s = —30t + 1 500.当s= 360 时，一30t + 1 500 =450 = 35m^ n. n= 1 500.360,解得t = 38,「.当甲行走30.5 min或38 min时，甲、乙两人相距360 m4. (2016邢台模拟)某商业公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量m(件)与时间t( 天)的关系如下表：未来40天内，该商品每天的价格y(元/件与时间t(天的函数关系式为：y = 1t + 25 (1W t W 20, t 为整数)，41—2t + 40 (21W t W 40, t 为整数).根据以上提供的条件解决下列问题：(1) 认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数的知识分别确定1W t W 20, 21 W t W 40时，满足这些数据的m(件)与t(天)之间的关系式；(2) 请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大的销售利润是多少？(3) 在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润(a v4)给希望工程•公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t(天)的增大而增大，求a的最小值.—2t + 100 (1 W t W 20),解：(1)m = t + 40 (21W t W 40);(2) 当t = 15时，利润最大，为612.5元；(3) a的最小值是2.5.二次函数的实际应用【经典导例】【例2】(2016石家庄四十二中模拟)天猫网某店铺销售新疆薄皮核桃，这种食品是健脑的佳品，它的成本价为20元/kg，经市场调查发现，该产品每天销售利润w(元)与销售价x(元/kg)有如下关系：w= ax2+ bx —1 600 ,当销售价为22元/kg时，每天的销售利润为72元；当销售价为26元/kg时，每天的销售利润为168元.(1) 求该产品每天的销售利润w(元)与销售价x(元/ kg)的关系式；（2）当销售价定为24元/kg，该产品每天的销售利润为多少元？（3）如果该店铺的负责人想要在销售价不超过32元的情况下每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？（4）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于29元/ kg,此店铺每天获得的最大利润为多少元？2【解析】（1）根据题意可求出y与x的二次函数关系式；（2）将x= 24代入w=- 2x + 120x — 1 600中计算所得利润；（3）将w= 150带入w=—2x2+ 120x —1 600 = 150中计算出定价；（4）由二次函数解析式可知w=—2x2+ 120x —1 600 =—2（x —30）2+ 200,所以当x= 29 时利润最大.【学生解答】（1）已知w= ax2+ bx—1 600，且有当销售价为22元时，每天的销售利润为72元；当销售价为26元时，每天的销售利润为168元.所以有：72= a x 22 + b x 22 —1 600 , 168 = a x 26 + b x 26—1 600.解得a=—2, b = 120. •••该产品每天的销售利润w（元）与销售价x（元/kg）的关系式为w=—2x2+ 120x —1 600 ；（2）当x=24时，有w= —2X 242+ 120X 24—1 600 = 128. •当销售价定为24元/kg时，该产品每天的销售利润为128元；⑶当w= 150 时，有w=—2x + 120x—1 600 = 150.解得X1 = 25, X2= 35. v x<32,「. x = 25. •定价为25 元/kg；⑷W =—2x + 120x — 1 600 =—2（x —30）+ 200.又v•物价部门规定这种产品的销售价不高于29元/kg，•当x =29 元时，利润最大，为w=—2（29 —30）+ 200 = 198（元）.【方法指导】正确建立二次函数模型，利用配方法和二次函数的性质结合自变量的取值范围，求出最佳方案.5. （2013河北中考）某公司在固定线路上运输，拟用运营指数Q量化考核司机的工作业绩. Q= VW 100,而W 的大小与运输次数n及平均速度x（km/ h）有关（不考虑其他因素），W由两部分的和组成：一部分与x的平方成正比，另一部分与x的n倍成正比•试行中得到了表中的数据.（1）用含x和n的式子表示Q;⑵当x= 70, Q= 450时，求n的值；⑶若n= 3,要使Q最大，确定x的值；⑷设n = 2, x = 40,能否在n增加m%（r>0）同时x减少m%勺情况下，而Q的值仍为420，若能，求出m的值；若不能，请说明理由.b 4ac __ b?［参考公式：抛物线y= ax2+ bx + c（a丰0）的顶点坐标是（—，）］2a 4a22 2420 = 40 k + 2X 40k2 + 100,解：（1）设W= k1x + k2nx, • Q= ky + k z nx + 100.由表中数据，得2解得100 = 60 匕+ 1x 60k 2+ 100.k 2 = 6.k 1 =— 丄10’• Q=— 110x 2 + 6nx + 100；1 2由题意，得 450 = — 10 X 70 + 6 X 70n + 100 ,「• n = 2;1 2 1当n = 3时，Q=— 10X + 18x + 100.由a =—而＜0可知，要使 Q 最大, 1 2由题意得，420=—和[40(1 — m%)]+ 6X 2(1 + m% X 40(1 — m%片 100,m%= 0(舍去),/• m= 50.6. (2016青岛中考)某商场要经营一种新上市的文具，进价为 20元/件•试营销阶段发现：当销售单价为 25 元/件时，每天的销售量是 250件；销售单价每上涨 1元，每天的销售量就减少 10件.(1) 写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润 w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式； (2) 求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？(3) 商场的营销部结合上述情况，提出了 A 、B 两种营销方案： 方案A :该文具的销售单价高于进价且不超过 30元； 方案B:每件文具的利润不低于 25元且不高于29元. 请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由.2 2解：(1)w = (x — 20)[250 — 10(x — 25)] =— 10(x — 20)(x — 50) =— 10x + 700x — 10 000 ; (2) v w =— 10x + 700x — 10 000 =— 10(x — 35)2 + 2 250 ,A 当x = 35时，w 取得最大值2 250，即销售单价为 35元时，每天 销售利 润最大，最大利润为 2 250元；(3) v w =— 10(x — 35)2+ 2 250 ,二函数图象是以 x = 35为对称轴且开口向下的抛 物线.•••对于方案 A 20v x < 30,此时图象在对称轴左侧 (如图)，w 随x 的增大而增大，• x = 30时，w 取得最大值2 000. •当采用方案 A 时，销售单价为 30元可获得最大利 润为2 000元；对于方案 B, 45< X V 49，此时图象位于对称轴右侧 (如图)，• w 随x 的增大而减小，故当 x = 45 时，w 取到最大值1 250 ,•当采用方案B 时，销售单价为 45元可获得最大利润为 1 250元，两者比较，方案 A 的最大利润更高.7. (2016张家口一模)某企业生产的一批产品上市后 30天内全部售完，调查发现，国内市场的日销售量y 1(吨)与时间t(t 为整数，单位：天)的关系如图①所示的抛物线的一部分，而国外市场的日销售量 y 2(吨)与时间t(t 为整数，单位：天)的关系如图②所示.(1) 求y 1与时间t 的函数关系式及自变量 t 的取值范围，并直接写出 y 2与t 的函数关系式及自变量t 的取值范围；(2) 设国内、国外市场的日销售总量为 y 吨，直接写出y 与时间t 的函数关系式，当销售第几天时，国内、夕卜市场的日销售总量最早达到 75吨？18x =— 厂=90;2 X ------ 10 即 2(m%)2— m%F 0,解得 m%F f 或(3) 判断上市第几天国内、国外市场的日销售总量y最大，并求出此时的最大值.12900a + 30b = 0,a =—二，1 2解：⑴ 设 y i = at + bt ，把点（30 , 0）和（20 , 40）代入得，解得5/• y i = —二t +400a + 20b = 40.5b = 6.20k + b = 40,6t （0 w t w 30, t 为整数）.设 y 2= kt + b ，当 0w t<20 时，y ? = 2t ，当 20< t < 30 时， /• y 2 =30k + b = 0.2t （ 0 w t<20，且1 为整数）， —4t + 120 （20w t w 30为整数）；—^t 2+ 8t （0w t<20，且 t 为整数），1=75 时，t V 20,即—+ 8t = 75 时，t — 40t + 25X 15= 0, t 1= 15 , t 2 = 25>20(舍).即销售第 15 天时，国内、 5 外市场的日销售总量最早达到 75吨；1 1(3) 当 0w t V 20 时，y = ——12+ 8t =— -(t — 20)2+ 80. vt 为整数，•••当 t = 19 时，y 最大值为 79.8 吨.当 5 51 2 1 220w t w 30 时，y = —[t + 2t + 120 = —=(t — 5) + 125. v •当 t = 20 时，y 随 t 的增大而减小，•当 t = 20 时，y 的 5 5 最大值为80吨•综上所述，上市后第 20天国内、外市场日销售总量 y 值最大，最大值为 80吨.一次、二次函数综合应用【经典导例】【例3】(2016唐山九中二模)某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎，每年可在国内、国外市场 上全部售完，该公司的年产量为 6千件，若在国内市场销售，平均每件产品的利润y i (元)与国内销售数量x(千件)的关系为：15x + 90 (0v x < 2), y i =—5x + 130 (2< x v 6).若在国外销售，平均每件产品的利润 yX 元)与国外的销售数量t(千件)的关系为：100 (0 v t W 2),y 2=—5t + 110 (2< t v 6).(1) 用x 的代数式表示t 为：t = ___________ ;当0 v x <4时，y 2与x 的函数关系式为：y 2= _______________ ;当4W xv _______ 时，y 2= 100;(2) 求每年该公司销售这种健身产品的总利润 w(千元)与国内的销售数量 x(千件)的函数关系式，并指出x 的取值范围.（2）由 y = y 1 + y 2，得 y =由图象可知，销售 20天，y = 80, ••• y2t + 120 （20w t w 30,且 t 为整数）2 【学生解答】(1)6 —x; 5x + 80; 6 ; (2)当0 v x<2 时，w= (15x + 90)x + (5x + 80)(6 —x) = 10x + 40x +480;当2v x<4 时，w= ( —5x + 130)x + (5x + 80)(6 —x) =—10x2+ 80x+ 480;当4v x v 6 时，w= ( —5x+ 130)x210x + 40x + 480 (0v x< 2),2 2+ 100(6 —x) =—5x + 30x + 600.w = —10x + 80x + 480 (2v x<4),2—5x + 30x + 600 ( 4v x v 6).& (2012河北中考)某工厂生产一种合金薄板(其厚度忽略不计)，这些薄板的形状均为正方形，边长(单位：cm)在5〜50之间•每张薄板的成本价(单位：元)与它的面积(单位：cm i)成正比例•每张薄板的出厂价(单位：元)由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的，浮动价与薄板的边长成正比例.在营销过程中得到了表格中的数据.(1)求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式；⑵已知出厂一张边长为40 cm的薄板，获得的利润是26元.(利润=出厂价一成本价)①求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式；②当边长为多少时，出厂一张薄板获得的利润最大？最大利润是多少？2[参考公式：抛物线 y = ax 2+ bx + c(a 丰0)的顶点坐标是(—上,4ac _-)]2a 4a解：(1)设一张薄板的边长为 x cm 它的出厂价为y 元，基础价为n 元，浮动价为kx 元，贝U y = kx + n.由表 50 = 20k + n , k = 2,格中的数据得 解得 ••• y = 2x +10;70= 30k + n. n = 10.(2)①设一张薄板的利润为P 元，它的成本价为 元，由题意得 P = y — m )<= 2x + 10 — mf.将x = 40, P = 261 1QQ|lO代入 P = 2x + 10— mx 中，得 26 = 2X 40+ 10 — mX 40 .解得 m= —. • P =——x + 2x + 10 ;5 251 24X(— 25)X 10— 2—1 -------------- = 35.即出厂一张边长为 25 cm 的薄板，获得的利润最大，最大利润是35元.4X(—25)9. (2016梅州中考)九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：已知该运动服的进价为每件 60元，设售价为x 元.(1) 请用含x 的式子表示：①销售该运动服每件的利润是 ______________ 元；②月销量是 ________ 件；(直接写出结 果)(2) 设销售该运动服的月利润为 y 元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？ 解：(1)(x — 60) ; ( — 2x + 400);22(2)由题意得，y = (x — 60)( — 2x + 400) = — 2x + 520x — 24 000 =— 2(x —130) + 9 800.当 x = 130 时，y 有最 大值9 800.答：售价为130元，当月的利润最大，最大利润是 9 800元. 10. (2016保定十七中二模)某企业接到一批粽子生产任务，按要求在 15天内完成，约定这批粽子的出厂价 为每只6元.为按时完成任务，该企业招收了新工人.设新工人李明第 x 天生产的粽子数量为 y 只，y 与x 满足54x ,( 0 < x W 5)如下关系：30x + 120. (5<x < 15)(1) 李明第几天生产的粽子数量为 420只？(2) 如图，设第x 天每只粽子的成本是 p 元，p 与x 之间的关系可用图中的函数图形来刻画•若李明第 x 天创 造的利润为 w 元，求W 关于x 的函数解析式，并求出第几天的利润最大，最大利润时多少元？ (利润=出厂价一 成本)—25<0，2 X （—丄）=25(在5〜50之间)时，4ac — b 2P 最大值-4a解：(1)设李明第n天生产的粽子数量为420只，根据题意，得30n+ 120= 420,解得n= 10. 答：李明第10天生产的粽子数量为420只；(2)由图象可知，当0W x W9 时，p= 4.1 ;当9W x w 15 时，设p= kx + b(k 丰 0)，把点(9 , 4.1) , (15, 4.7) 9k + b =4.1 , k = 0.1 ,代入上式，得解得••• p = 0.1x + 3.2.①0w x w 5 时，w= (6 — 4.1) X 54x= 102.6x，当x = 5 15k+ b—4.7. b = 3.2.时，w 最大=513(元)：②5<x W9 时，w= (6 — 4.1) X (30x + 120) = 57x + 228,v x 是整数，•当x= 9 时，w 最大= 741(元):③ 9<x w 15 时，w= (6 —0.1x —3.2) X (30x + 120) =—3x2+ 72x + 336 = —3(x —12) 2+ 768. V—3<0, • 102.6x (0w x w 5),当x = 12时，w最大=768(元)•综上所述，w与x之间的函数解析式为w= 57x + 228 (5<x w 9), 第122—3 ( x—12) + 768 (9<x w 15). 天的利润最大，最大值是768元.。
中考数学总复习第三编综合专题闯关篇专题二应用题的基本类型与解题策略第二节方程函数类综合应用试题
第二节方程、函数类综合应用,中考重难点突破)函数类应用问题，是根据实际背景材料来确定函数关系式，利用函数增减性解决问题方法，这类问题通常与方程或不等式进展联合考察．一般先建立方程(不等式)等模型，然后建立函数关系式，最后确定自变量取值范围，通过取值范围来确定最正确选择等知识点．其中建立方程(不等式)在这类问题中属于根底考点，确定自变量范围是解决问题关键．【例1】(2021汇川升学二模)某厂制作甲、乙两种环保包装盒．同样用6 m材料制成甲盒个数比制成乙盒个数少2个，且制成一个甲盒比制作一个乙盒需要多用20%材料.(1)求制作每个甲盒、乙盒各用多少材料？(2)如果制作甲、乙两种包装盒3 000个，且甲盒数量不少于乙盒数量2倍．那么请写出所需材料总长度l( m)与甲盒数量n(个)之间函数关系式，并求出最少需要多少米材料．【学生解答】解：(1)设制作每个甲盒用x m材料，制作每个乙盒用x1＋20%m材料，由题意得6x＝6×120%x－2，解得x＝35，经检验，x＝35是方程解．∴x1＋20%＝12.答：制作每个甲盒用35m材料，制作每个乙盒用12m材料；(2)∵甲盒数量是n个，∴乙盒数量是(3 000－n)个．∴l＝35n＋12(3 000－n)＝110n＋1 500.∵甲盒数量不少于乙盒数量2倍，∴n≥2(3 000－n)，∴n≥2 000.∴当n＝2 000时，所需材料最少，最少为：110×2 000＋1 500＝1 700(m)．【例2】(2021牡丹江中考)某体育用品商店试销一款本钱为50元排球，规定试销期间单价不低于本钱价，且获利不得高于40%.经试销发现，销售量y(个)与销售单价x(元)之间满足如下图一次函数关系．(1)试确定y与x之间函数关系式；(2)假设该体育用品商店试销这款排球所获得利润为Q元，试写出利润Q(元)与销售单价x(元)之间函数关系式；当试销单价定为多少元时，该商店可获最大利润？最大利润是多少元？(3)假设该商店试销这款排球所获得利润不低于600元，请确定销售单价x取值范围．【解析】此题考察了一次函数应用；二次函数应用．【学生解答】解：(1)设y ＝kx ＋b ，根据题意可得：⎩⎪⎨⎪⎧55k ＋b ＝65，60k ＋b ＝60，解得：⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝120.所求一次函数解析式为y ＝－x ＋120；(2)利润Q 与销售单价x 之间函数关系式为：Q ＝(x －50)(－x ＋120)＝－x 2＋170x －6 000；Q ＝－x 2＋170x －6000＝－(x －85)2＋1 225；因为x 需满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥50，x －5050≤40%，解得50≤x≤70，因为a ＝－1<0，在对称轴左侧，y 随x 增大而增大．所以当定价x ＝70时，该商店可获得最大利润，最大利润为Q ＝1 000元；(3)根据题意得Q ＝－(x －85)2＋1 225≥600，即－(x －85)2≤－625，解得60≤x≤110，又因为获利不得高于40%，即x －5050≤40%，解得x≤70，所以销售单价x 取值范围为60≤x≤70. 【规律总结】解这类实际应用题目往往先要建立方程或不等式模型去解出未知量；然后结合题意建立函数表达式；结合实际情况确定自变量取值范围．模拟题区1．(2021遵义一中二模)航天汽车销售公司5月份销售某种型号汽车，当月该型号汽车进价为30万元/辆，假设当月销售量超过5辆时，每多售出1辆，所有售出汽车进价均降低0.1万元/辆．根据市场调查，月销售量不会突破30台．(1)设当月该型号汽车销售量为x 辆(x≤30，且x 为正整数)，实际进价为y 万元/辆，求y 与x 函数关系式；(2)该型号汽车销售价为32万元/辆，公司方案当月销售利润25万元，那么该月需售出多少辆汽车？(注：销售利润＝销售价－进价)解：(1)由题意得：当0＜x≤5时，y ＝30；当5＜x≤30时，y ＝30－0.1(x －5)＝－0.1x ＋30.5.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧30〔0＜x≤5，x 为整数〕，－0.1x ＋30.5〔5＜x≤30，x 为整数〕；(2)当0＜x≤5时，(32－30)×5＝10＜25，不符合题意；当5＜x≤30时，[32－(－0.1x ＋)]x ＝25，解得：x 1＝－25(舍去)，x 2＝10.答：该月需售出10辆汽车．2.(2021遵义十一中三模)“低碳生活，绿色出行〞，自行车正逐渐成为人们喜爱交通工具．某运动商城自行车销售量自2021年起逐月增加，据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆．(1)假设该商城前4个月自行车销量月平均增长率一样，该商城4月份卖出多少辆自行车？(2)考虑到自行车需求不断增加，该商城准备投入3万元再购进一批两种规格自行车，A 型车进价为500元/辆，售价为700元/辆，B 型车进价为1 000元/辆，售价为1 300元/辆．根据销售经历，A 型车不少于B 型车2倍，但不超过B 型车 2.8倍．假设所进车辆全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？解：(1)设前4个月自行车销量月平均增长率为m ，根据题意列方程：64(1＋m)2＝100，解得：m 1＝－225%(不合题意，舍去)，m 2＝25%，100×(1＋25%)＝125(辆)．答：该商城4月份卖出125辆自行车；(2)设购进B 型车x 辆，销售利润为W 元，那么购进A 型车30 000－ 1 000x 500辆，根据题意得不等式组：2x≤30 000－1 000x 500≤，解得：12.5≤x≤15，∵自行车辆数为整数，∴13≤x ≤15，即x ＝13，14或15.销售利润W ＝(700－500)×30 000－1 000x 500＋(1 300－1 000)x.整理得：W ＝－100x ＋12 000，∵W 随着x 增大而减小，∴当x ＝13时，销售利润W 有最大值，此时30 000－1 000x 500＝34.答：该商城应购进A 型车34辆，B 型车13辆．中考真题区3．(2021宿迁中考)某景点试开放期间，团队收费方案如下：不超过30人时，人均收费120元；超过30人且不超过m(30<m≤100)人时，每增加1人，人均收费降低1元；超过m 人时，人均收费都按照m 人时标准．设景点接待有x 名游客某团队，收取总费用为y 元．(1)求y 关于x 函数解析式；(2)景点工作人员发现：当接待某团队人数超过一定数量时，会出现随着人数增加收取总费用反而减少这一现象．为了让收取总费用随着团队中人数增加而增加，求m 取值范围．解：(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 120x 〔0<x≤30〕，－x 2＋150x 〔30<x≤m〕，〔150－m 〕x 〔m<x≤100〕；(2)由(1)可知当0<x≤30或m<x≤100，函数值y 都是随着x 增加而增加，当30<x≤m 时，y ＝－x 2＋150x ＝－(x －75)2＋5 625，∵a ＝－1<0，∴x ≤75时，y 随着x 增加而增加，∴为了让收取总费用随着团队中人数增加而增加，∴30<m ≤75.4．(2021湖州中考)随着某市养老机构(养老机构指社会福利院、养老院、社区养老中心等)建立稳步推进，拥有养老床位不断增加.，求该市这两年(从2021年底到2021 年底)拥有养老床位数平均年增长率；(2)假设该市某社区今年准备新建一养老中心，其中规划建造三类养老专用房间共100间，这三类养老专用房间分别为单人间(1个养老床位)，双人间(2个养老床位)，三人间(3个养老床位)，因实际需要，单人间房间数在10至30之间(包括10与30)，且双人间房间数是单人间2倍，设规划建造单人间房间数为t.①假设该养老中心建成后可提供养老床位200个，求t 值；②求该养老中心建成后最多提供养老床位多少个？最少提供养老床位多少个？ 解：(1)设该市这两年(从2021年底到2021 年底)拥有养老床位数平均年增长率为x ，由题意可列出方程：2(1＋x)2，解得：x 1＝0.2＝20%，x 2＝－2.2(不合题意，舍去)．答：该市这两年拥有养老床位数平均年增长率为20%；(2)①设规划建造单人间房间数为t(10≤t≤30)，那么建造双人间房间数为2t ，三人间房间数为100－3t ，由题意得：t ＋4t ＋3(100－3t)＝200，解得t ＝25.答：t 值是25；②设该养老中心建成后能提供养老床位y 个，由题意得：y ＝t ＋4t ＋3(100－3t)＝－4t ＋300(10≤t≤30)，∵k ＝－4＜0，∴y 随t 增大而减小．当t ＝10时，y 最大值为300－4×10＝260(个)，当t ＝30时，y 最小值为300－4×30＝180(个)．答：该养老中心建成后最多提供养老床位260个，最少提供养老床位180个．5．(2021 成都中考)在美化校园活动中，某兴趣小组想借助如下图直角墙角(两边足够长)，用28 m 长篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB ，BC 两边)，设AB ＝x m .(1)假设花园面积为192 m 2，求x 值；(2)假设在P 处有一棵树与墙CD ，AD 距离分别是15 m 与6 m ，要将这棵树围在花园内(含边界，不考虑树粗细)，求花园面积S 最大值．解：(1)∵AB＝x m ，那么BC ＝(28－x)m ，∴x(28－x)＝192，解得：x 1＝12，x 2＝16，答：x 值为12 m 或16 m ；(2)由题意可得出：S ＝x(28－x)＝－x 2＋28x ＝－(x －14)2＋196，∵在P 处有一棵树与墙CD ，AD 距离分别是15 m 与6m ，∴⎩⎪⎨⎪⎧28－x≥15，x ≥6，解得6≤x≤13，∴当x ＝13时，S 最大＝195，故花园面积S 最大值为195 m 2.。
中考数学第三编综合专题闯关篇题型二解答题重难点突破专题三动态变化问题试题
专题三动态变化问题专题命题规律1．动态问题为河北中考的常考点，近8年共考察8次，对动点问题的考察都会结合几何图形的综合考察，且都是以解答题形式出现，分值为9～12分．2．考察类型：(1)几何图形中的动点问题(2021年25题，2021年25题，2021年26题)；(2)一次函数中的动点问题(2021年23题)；(3)二次函数中的动点问题(2021年26题)．2021预测预计2021年河北中考对动态变化问题仍会考察，且图形中的动点问题为重点考察对象，注意解决此类问题常会用到分类讨论思想与数形结合思想，并且一次函数中的动点问题难度会有所降低．,中考重难点突破)一次函数中的动点问题【经典导例】【例1】(2021河北中考)如图，A(0，1)，M(3，2)，N(4，4)．动点P从点A出发，沿y轴以每秒1个单位长度的速度向上移动，且过点P的直线l：y＝－x＋b也随之移动，设移动时间为t秒．(1)当t＝3时，求l的解析式；(2)假设点M，N位于l的异侧，确定t的取值范围；(3)直接写出t为何值时，点M关于l的对称点落在坐标轴上．【解析】(1)，(2)求出直线及y轴的交点，以及P点坐标及t之间的关系，用对应的点的坐标代入解析式，即可求出答案；(3)过点M作l的垂线，求出直线及坐标轴的交点，然后再来计算即可．【学生解答】(1)直线y＝－x＋b交y轴于点P(0，b)，由题意，得b＞0，t≥0，b＝1＋t，当t＝3时，b＝4.∴y＝－x＋4；(2)当直线y＝－x＋b过M(3，2)时，2＝－3＋b，解得b＝5，∵5＝1＋t，∴t＝4.当直线y＝－x＋b过N(4，4)时，4＝－4＋b，解得b＝8.∵8＝1＋t，∴t＝7.∴当点M，N位于l的异侧时，4＜t＜7；(3)t＝1时，落在y轴上；t＝2时，落在x轴上．【方法指导】k、b对一次函数图象y＝kx＋b的影响：①当k＞0时，y随x的增大而增大，当k＜0时，y随x的增大而减小；②k决定着一次函数图象的倾斜程度，|k|越大，其图象及x轴的夹角就越大；③b决定着直线及y轴的交点，当b大于0时，交点在y轴正半轴；当b小于0时，交点在y轴负半轴；④直线y＝kx＋b 可以看作由直线y＝kx平移|b|个单位长度得到(当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向下平移)；⑤直线y ＝k 1x ＋b 1、y ＝k 2x ＋b 2的几种位置关系：平行：k 1＝k 2，b 1≠b 2；重合：k 1＝k 2，b 1＝b 2；关于y 轴对称：k 1＋k 2＝0，b 1＝b 2；关于x 轴对称：k 1＋k 2＝0，b 1＋b 2＝0；垂直：k 1k 2＝－1.1．(2021邯郸二十五中一模)如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点A ，B ，C 的坐标分别为(0，5), (0，2)，(4，2)，直线l 的解析式为y ＝ kx ＋5－4k(k> 0)．(1)当直线l 经过点B 时，求一次函数的解析式；(2)通过计算说明：不管k 为何值，直线l 总经过点D;(3)直线l 及y 轴交于点M ，点N 是线段DM 上的一点， 且△NBD 为等腰三角形，试探究：①当函数y ＝ kx ＋5－4k 为正比例函数时，点N 的个数有________个；②点M 在不同位置时，k 的取值会相应变化，点N 的个数情况可能会改变，请直接写出点N 所有不同的个数情况以及相应的k 的取值范围．解：(1)将点B(0，2)代入y ＝kx ＋5－4k ，得k ＝34.∴直线l 的解析式为y ＝34x ＋2；(2)由题意可得，点D 坐标为(4，5)，把x ＝4代入y ＝kx ＋5－4k ，得y ＝5，∴不管k 为何值，直线l 总经过点D ；(3)①2；②当k≥2时，有3个点；当34<k<2时，有2个点；当k ＝34时，有0个点；当 0<x<34时，有1个点． 2．(2021承德二中二模)如图，直线y ＝kx －4及x 轴、y 轴分别交于B ，C 两点，且tan ∠OBC ＝43. (1)求点B 的坐标及k 的值；(2)假设点A 是第一象限内直线y ＝kx －4上一动点，那么当△AOB 的面积为6时，求点A 的坐标；(3)在(2)成立的条件下，在坐标轴上找一点P ，使得∠APC＝90°，直接写出P 点坐标．解：(1)当x ＝0时，y ＝kx －4＝－4，∴C(0，－4)，那么OC ＝4.又∵tan ∠OBC ＝OC OB ＝43，∴OB ＝3，∴B 点坐标为(3.0)．将x ＝3，y ＝0代入y ＝kx －4，得0＝3k －4，解得k ＝43；(2)点A 在第一象限，过点A 作AH⊥x 轴，垂足为H ，由题意得S △AOB ＝12OB ·AH ＝12×3×AH ＝6，∴AH ＝4，即点A 的纵坐标为4.将y ＝4代入y ＝43x －4，解得x ＝6，∴当△AOB 的面积为6时，点A 的坐标为(6，4)；(3)P 点的坐标为(0，4)或(－2，0)或(8，0)．3．(2021长沙中考)如图，直线l ：y ＝－x ＋1及x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点P ，Q 是直线l 上的两个动点，且点P 在第二象限，Q 在第四象限，∠POQ ＝135°.(1)求△AOB 的周长；(2)设AQ ＝t ＞0，试用含t 的代数式表示点P 的坐标；(3)当动点P ，Q 在直线l 上运动到使得△AOQ 及△BPO 的周长相等时，记tan ∠AOQ ＝m ，假设过点A 的二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 同时满足以下两个条件：①6a ＋3b ＋2c ＝0；②当m≤x≤m＋2，函数y 的最大值等于2m，求二次项系数a 的值． 解：(1)对函数y ＝－x ＋1，令x ＝0，那么y ＝1，∴B(0，1)，令y ＝0，那么x ＝1，∴A(1，0)，那么OA ＝1，OB ＝1，AB ＝2，△AOB 周长为1＋1＋2＝2＋2；(2)∵OA＝OB ，故∠ABO＝∠BAO＝45°，∴∠PBO ＝∠QAO＝135°，设∠POB＝x ，那么∠OPB＝∠AOQ＝180°－135°－x ＝45°－x ，∴△PBO ∽△OAQ ，故PB OA ＝OB AQ ，∴PB ＝OA ×OB AQ ＝1t，过点P 作PH⊥OB 于H 点，那么△PHB 为等腰直角三角形．∵PB＝1t ，那么PH ＝HB ＝22t，∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－22t ，1＋22t ； (3)由(2)知△PBO∽△OAQ ，假设它们周长相等，那么相似比为1，即△AOQ≌△BPO ，那么AQ ＝OB ＝1，∴t ＝1，同(2)中做法，得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋22，－22，∴m ＝221＋22＝2－1.∵m≤x≤m＋2，∴2－1≤x≤2＋1，∵抛物线过A 点，∴a ＋b ＋c ＝0，而6a ＋3b ＋2c ＝0，∴b ＝－4a ，c ＝3a ，故二次函数为y ＝ax 2－4ax ＋3a ，∴对称轴为x ＝2，取值范围是2－1≤x≤2＋1.Ⅰ.假设a>0，那么开口向上，在x ＝2－1取最大值y max ＝a(2－1)2－4a(2－1)＋3a ＝(10－62)a ，又∵y max ＝2m ＝22－1＝22＋2，∴(10－62)a ＝22＋2.解得a ＝11＋827.Ⅱ假设a<0，那么开口向下，在x ＝2取最大值22＋2，即4a ＋2b ＋c ＝22＋2，解得a ＝－22，所求a 的值为11＋827或－22－2. 二次函数中的动点问题【经典导例】【例2】(2021河北中考)如图，在平面直角坐标系中，点P 从原点O 出发，沿x 轴向右以每秒1个单位长度的速度运动t(t ＞0)秒，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过点O 与点P ，矩形ABCD 的三个顶点为A(1，0)，B(1，－5)，D(4，0)．(1)求c 、b ；(用含t 的代数式表示)(2)当4＜t ＜5时，设抛物线分别及线段AB 、CD 交于点M ，N.①在点P 的运动过程中，你认为∠AMP 的大小是否会变化？假设变化，说明理由；假设不变，求出∠AMP 的值；②求△MPN 的面积S 及t 的函数关系式，并求t 为何值时，S ＝218； (3)在矩形ABCD 的内部(不含边界)，把横、纵坐标都是整数的点称为“好点〞．假设抛物线将这些“好点〞分成数量相等的两局部，请直接写出t 的取值范围．【解析】(1)由抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过点O 与点P ，将点O 及点P 的坐标代入方程即可求得c ，b ；(2)①当x ＝1时，y ＝1－t ，求得点M 的坐标，那么可求得∠AMP 的度数；②由S ＝S 四边形AMNP －S △PAM ＝S △DPN ＋S 梯形NDAM －S △PAM ，即可求得关于t 的二次函数，列方程即可求得t 的值；(3)根据图形，即可直接求得答案，分别分析左边有4，3，2，1，0个好点时，t 的取值范围．【学生解答】(1)把x ＝0，y ＝0代入y ＝x 2＋bx ＋c ，得c ＝0，再把x ＝t ，y ＝0代入y ＝x 2＋bx ，得t 2＋bt ＝0，∵t ＞0，∴b ＝－t ；(2)①不变，∵抛物线的解析式为：y ＝x 2－tx ，且点M 的横坐标为1，∴当x ＝1时，y ＝1－t ，M(1，1－t)，∴AM ＝|1－t|＝t －1，∵OP ＝t ，∴AP ＝t －1，∴AM ＝AP ，∵∠PAM ＝90°，∴∠AMP ＝45°；②S＝S 四边形AMNP －S △PAM ＝S △DPN ＋S 梯形DNMA －S △PAM ＝12(t －4)(4t－16)＋12[(4t －16)＋(t －1)]×3－12(t －1)(t －1)＝32t 2－152t 32t 2－152t ＋6＝218，得t 1＝12，t 2＝92，∵4＜t ＜5，∴t 1＝12(舍去)，∴t ＝92；(3)①左边4个好点在抛物线上方，右边4个好点在抛物线下方：无解；②左边3个好点在抛物线上方，右边3个好点在抛物线下方，那么有－4＜y 2＜－3，－2＜y 3＜－1，即－4＜4－2t ＜－3，－2＜9－3t ＜－1，72＜t ＜4且103＜t ＜113，解得72＜t ＜113；③左边2个好点在抛物线上方，右边2个好点在抛物线下方：无解；④左边1个好点在抛物线上方，右边1个好点在抛物线下方：无解；⑤左边0个好点在抛物线上方，右边0个好点在抛物线下方：无解；综上所述，t 的取值范围是72＜t ＜113. 4．(2021保定八中三模)在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，线段AB 的两个端点A(0，2)，B(1，0)分别在y 轴与x 轴的正半轴上，点C 为线段AB 的中点，现将线段BA 绕点B 按顺时针方向旋转90°得到线段BD ，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)经过点D.(1) 如图①，假设该抛物线经过原点O ，且a ＝－13. ①求点D 的坐标及该抛物线的解析式；②连接CD ，在抛物线上是否存在点P ，使得∠POB 及∠BCD 互余？假设存在，请求出所有满足条件的点P 的坐标，假设不存在，请说明理由；(2)如图②，假设该抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)经过点E(1，1)，点Q 在抛物线上，且满足∠QOB 及∠BCD 互余，假设符合条件的Q 点的个数是4个，请直接写出a 的取值范围.解：(1)①过点D 作DF⊥x 轴于点F, ∵∠DBF ＋∠ABO＝90°，∠BAO ＋∠ABO＝90°，∴∠DBF ＝∠BAO.又∵∠AOB＝∠BFD＝90°， AB ＝BD ，∴△AOB ≌△BFD(AAS )，∴DF ＝BO ＝1，BF ＝AO ＝2，∴点D 的坐标为(3，1). 根据题意得a ＝－13，c ＝0，且a·32＋b·3＋c ＝1, 解得b ＝43， ∴抛物线的解析式y ＝－13x 2＋43x. ②∵点C ，D 的纵坐标都为1, ∴CD ∥x 轴．∴∠BCD＝∠ABO，∴∠BAO 及∠BCD 互余. 假设要使得∠POB 与∠BCD 互余，那么只要满足∠POB＝∠BAO. 设点P 的坐标为(x ，－13x 2＋43x), i ．当点P 1在x 轴上方时，如答图，过点P 1作P 1G ⊥x 轴于点G, 那么tan ∠P 1OB ＝tan ∠BAO ，即P 1G OG ＝BD AO .∴－13x 2＋43x x ＝12，解得x 1＝52，x 2＝0(舍去). ∴将x ＝52代入得－13x 2＋43x ＝54. ∴点P 1的坐标为(52，542在x 轴下方时，如答图，过点P 2作BH⊥x 轴于点H, 那么tan ∠P 2OB ＝tan ∠BAO ，即P 2H OH ＝BO AO . ∴－〔－13x 2＋43x 〕x ＝12，解得x 1＝0(舍去)．x 2＝112.将 x ＝112代入抛物线解析式得－13x 2＋43x ＝－114. ∴点P 2的坐标为(112，－114). 综上所述，在抛物线上存在点P ，使得∠POB 及∠BCD 互余，点P 的坐标为(52，54)或(112，－114)；(2)∵该抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)经过点E(1，1)，D(3，1)，∴抛物线的解析式为ax 2－4ax ＋3a ＋1.假设要使得∠QOB 与∠BCD 互余，那么只要满足∠QOB＝∠BAO，据此分a<0与a>0两种情况讨论．a 的取值范围为a<－13或a>4＋154. 5．(2021河北中考)如图，抛物线L ：y ＝－12(x －t)(x －t ＋4)(常数t>0)及x 轴从左到右的交点为B ，A, 过线段OA 的中点M 作MP⊥x 轴，交双曲线y ＝k x(k>0，x>0)于点P ，且OA·MP＝12.(1)求k 值；(2)当t ＝1时，求AB 长，并求直线MP 及L 对称轴之间的距离；(3)把L 在直线MP 左侧局部的图象(含及直线MP 的交点)记为G ，用t 表示图象G 最高点的坐标；(4)设L 及双曲线有个交点的横坐标为x 0，且满足4≤x 0≤6，通过L 位置随t 变化的过程，直接写出t 的取值范围．解：(1)设点P(x ，y)，那么MP ＝y ，由OA 的中点为M 知OA ＝2x ，代入OA·MP＝12，得2x·y＝12，即xy ＝6，∴k ＝xy ＝6；(2)当t ＝1时，令y ＝0，0＝－12(x －1)(x ＋3)，∴x 1＝1，x 2＝－3，∴由B 在A 左边，得B(－3，0)，A(1，0)，∴AB ＝4.∵L 的对称轴为x ＝－1，而M 为(12，0)，∴MP 及L 对称轴的距离为32； (3)∵A(t，0)，B(t －4，0)，∴L 的对称轴为x ＝t －2，又MP 为x ＝t 2.当t －2≤t 2，即t≤4时，顶点(t －2，2)就是G 的最高点；当t －2>t 2即t>4时，L 及MP 的交点(t 2，－18t 2＋t)就是G 的最高点；(4)5≤t≤8－2或7≤t≤8＋ 2. 及图形中的动态问题【经典导例】【例3】(2021河北中考)如图，A(－5，0)，B(－3，0)．点C 在y 轴的正半轴上，∠CBO ＝45°，CD ∥AB ，∠CDA ＝90°.点P 从点Q(4，0)出发，沿x 轴向左以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t 秒．(1)求点C 的坐标；(2)当∠BCP＝15°时，求t 的值；(3)以点P 为圆心，PC 为半径的⊙P 随点P 的运动而变化，当⊙P 及四边形ABCD 的边(或边所在的直线)相切时，求t 的值．【学生解答】(1)∵∠BCO＝∠CBO＝45°，∴OC ＝OB ＝3.又∵点C 在y 轴的正半轴上，∴点C 的坐标为(0，3)；(2)当点P 在点B 右侧时，如答图①.假设∠BCP＝15°，得∠PCO＝30°. ∴OP ＝OC·tan 30°＝3，此时t ＝4＋ 3.当点P 在点B 左侧时，如答图②，由∠BCP＝15°，得∠PCO＝60°，∴t 的值为4＋3或4＋33；(3)由题意知，假设⊙P 及四边形ABCD 的边相切，有以下三种情况：①当⊙P 及BC 相切于点C 时，有∠BCP＝90°，从而∠OCP＝45°，得到OP ＝3，此时t ＝1.②当⊙P 及CD 相切于点C 时，有PC⊥CD，即点P 及点O 重合， 此时t ＝4.③当⊙P 及AD 相切时，由题意，∠DAO ＝90°，∴点A 为切点．PC 2＝PA 2＝(9－t)2，PO 2＝(t －4)2，于是(9－t)2＝(t －4)2＋32，，∴t 的值为1或4或5.6.【方法指导】此题涉及到的知识有矩形的性质、锐角三角函数、圆的切线的相关知识，需要学生根据题目的条件进展分类讨论，从而确定问题的完整答案．6．(2021石家庄四十一中二模)如图，∠MON＝90°，A 是∠MON 内部的一点，过点A 作AB⊥ON，垂足为点B ，AB ＝3 cm ，OB ＝4 cm ，动点E ，F 同时从O 点出发，点E 以1.5 cm /s 的速度沿ON 方向运动，点F 以2 cm /s 的速度沿OM 方向运动，EF 及OA 交于点C ，连接AE ，当点E 到达点B 时，点F 随之停顿运动．设运动时间为t s (t ＞0)．(1)当t ＝1 s 时，△EOF 及△ABO 是否相似？请说明理由；(2)在运动过程中，不管t 取何值时，总有EF⊥OA.为什么？(3)连接AF ，在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使得S △AEF ＝12S 四边形AEOF ？假设存在，请求出此时t 的值；假设不存在，请说明理由．解：(1)相似．理由如下：当t ＝1，OE ＝1.5 cm ，OF ＝2 cm ，那么OE∶OF ＝3∶4.∵AB∶OB＝3∶4，∴OE ∶OF ＝AB∶OB.∵∠FOE＝∠ABO＝90°，∴△EOF ∽△ABO ；(2)无论t 为何值，在运动过程中，△EOF ∽△ABO ，那么∠FEO ＝∠OAB.∵∠AOB＋∠OAB＝90°，那么∠AOB＋∠FEO＝90°，∴∠OCE ＝90°，即EF⊥OA；(3)存在．∵S 四边形AEOF ＝S △AEF ＋S △EOF ，∴S △AEF ＝S △EOF .∵EF ⊥OA ，∴S △EOF ＝12EF ·OC ，S △AEF ＝12EF ·AC ，∴OC ＝AC ，∴EF 垂直平分OA ，∴OE ＝AE.∵OE＝32t ，BE ＝4－32t ，在Rt △ABE 中，∵AB 2＋BE 2＝AE 2，∴32＋(4－32t)2＝94t 2，解得t ＝2512，∴当t ＝2512时，S △AEF ＝12S 四边形AEOF . 7．(2021广东中考)如图，在同一平面上，两块斜边相等的直角三角板Rt △ABC 及Rt △ADC 拼在一起，使斜边AC 完全重合，且顶点B ，D 分别在AC 的两旁，∠ABC ＝∠ADC＝90°，∠CAD ＝30°， AB ＝BC ＝4 cm .(1) 填空：AD ＝________cm ，DC ＝________cm ；(2) 点M ，N 分别从A 点，C 点同时以每秒1 cm 的速度等速出发，且分别在AD ，CB 上沿A→D, C →B 的方向运动，当N 点运动到B 点时，M ，N 两点同时停顿运动，连接MN ，求当M ，N 点运动了x 秒时，点N 到AD 的距离；(用含x 的式子表示)(3) 在(2)的条件下，取DC 中点P ，连接MP ，NP ，设△PMN 的面积为y(cm 2)，在整个运动过程中，△PMN 的面积y 存在最大值，请求出这个最大值. (参考数据：sin 75°＝6＋24，sin 15°＝6－24) 解：(1)26；2 2.(2)过点N 作NE⊥AD 于点E ，作NF⊥DC 的延长线于点F ，那么NE ＝DF.∵∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，∴∠NCF＝75°，∠CNF＝15°，∴FC＝6－2 4x，∴NE ＝DF＝6－24x＋22，∴点N到AD的距离为(6－24x＋22)cm；(3)∵sin75°＝FNNC，FN＝6＋24x，∵PD＝CP＝2，PF＝6－24x＋2，S△PMN＝S梯形FNMD－S△MPD－S△NPF，∴y＝12(6＋24x＋26－x)(6－24x＋22)－12(26－x)×2－12(6－24x＋2)·(6＋24x)．即y＝2－68x2＋7－3－224x＋23，即y是x的二次函数：∵2－68<0，∴当x＝－7－3－2242×2－68＝7－3－226－2时，y最大值＝66＋73－102－3042－46.二次函数及几何图形【经典导例】【例4】(2021益阳中考)如图，顶点为A(3，1)的抛物线经过坐标原点O，及x轴交于点B.(1)求抛物线对应的二次函数的解析式；(2)过B作OA的平行线交y轴于点C，交抛物线于点D，求证：△OCD≌△OAB；(3)在x轴上找一点P，使得△PCD的周长最小，求出P点的坐标．【解析】(1)可设顶点求解析式；(2)可先利用函数分别求出C，D坐标，从而利用SSS来证明两三角形全等；(3)可利用轴对称求出C点关于x轴的对称点，再利用相似或直线C′D及x轴交点，求出P点坐标．【学生解答】解：(1)∵抛物线顶点为A(3，1)，设抛物线对应的二次函数的解析式为y＝a(x－3)2＋1，将原点坐标(0，0)代入解析式，得a＝－13，∴抛物线对应的二次函数的解析式为：y＝－13x2＋233x；(2)将y＝0代入y＝－13x2＋233x中，得B点坐标为(23，0)，设直线OA对应的一次函数的解析式为y＝kx，将A(3，1)代入解析式y ＝kx 中，得k ＝33，∴直线OA 对应的一次函数的解析式为y ＝33x.∵BD ∥AO ，设直线BD 对应的一次函数的解析式为y ＝33x ＋b ，将B(23，0)代入y ＝33x ＋b 中，得b ＝－2，∴直线BD 对应的一次函数的解析式为y ＝33x ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33x －2，y ＝－13x 2＋233x ，得交点D 的坐标为(－3，－3)，将x ＝0代入y ＝33x －2中，得C 点的坐标为(0，－2)，由勾股定理，得：OA ＝2＝OC ，AB ＝2＝CD ，OB ＝23＝OD.在△OAB 及△OCD 中，⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OC ，AB ＝CD ，OB ＝OD ，∴△OAB ≌△OCD ；(3)点C 关于x 轴的对称点C′的坐标为(0，2)，那么C′D 及x 轴的交点即为点P ，它使得△PCD 的周长最小．过点D 作DQ⊥y 轴，垂足为点Q ，那么PO∥DQ，∴△C ′PO ∽△C ′DQ ，∴PO DQ ＝C ′O C ′Q ，即PO 3＝25，∴PO ＝235，∴点P 的坐标为(－235，0)． 8．(2021张家口九中二模)如图，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 及x 轴交于点A ，B ，AB ＝2，及y 轴交于点C ，对称轴为直线x ＝2.(1)求抛物线的函数解析式；(2)设P 为对称轴上一动点，求△APC 周长的最值．解：(1)∵AB＝2，对称轴为直线x ＝2，∴A(1，0)，B(3，0)．∵抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 及x 轴交于点A ，B ，∴1，3是方程x 2＋bx ＋c ＝0的两个根．由根及系数的关系，得1＋3＝－b ，1×3＝c ，∴b ＝－4，c ＝3，∴抛物数的函数解析式为y ＝x 2－4x ＋3；(2)连接AC ，BC ，BC 交对称轴于点P ，连接PA.由(1)知抛物线的函数解析式为y ＝x 2－4x ＋3，点A ，B 的坐标分别为(1，0)，(3，0)，∴点C 的坐标为(0，3)，∴BC ＝32＋32＝32，AC ＝32＋12＝10.∵点A ，B 关于对称轴x ＝2对称，∴PA ＝PB ，∴PA ＋PC ＝PB ＋PC ，此时，PB ＋PC ＝BC ，当P 点在对称轴上运动时，PA ＋PC 的最小值等于BC ，∴△APC 周长的最小值为AC ＋AP ＋PC ＝AC ＋BC ＝32＋10.直角三角形、等腰三角形、特殊四边形性质问题【经典导例】【例5】(2021漳州中考)如图，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 及x 轴交于点A 与点B(3，0)，及 y 轴交于点C(0，3)．(1)求抛物线的解析式；(2)假设点M 是抛物线在x 轴下方上的动点，过点M 作MN//y 轴交直线BC 于点N ，求线MN 的最大值；(3)在(2)的条件下，当MN 取最大值时，在抛物线的对称轴l 上是否存在点P ，使△PBN 是等腰三角形？假设存在，请直接写出所有点P 的坐标；假设不存在，请说明理由．【解析】(1)可利用待定系数法求二次函数解析式；(2)要先求出MN 关于x 的函数解析式，利用函数性质求出MN 的最大值；(3)注意要分类讨论各种情况．【学生解答】(1)∵点B(3，0)，C(0，3)，在抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 上，∴抛物线的解析式y ＝x 2－4x ＋3；(2)令x 2－4x ＋3＝0，那么x 1＝1，x 2＝3，设直线BC 的解析式y ＝kx ＋b.∵点B(3，0)，C(0，3)在直线BC 上，∴直线BC 的解析式y ＝－x ＋3，设N(x ，－x ＋3)，那么M(x ，x 2－4x ＋3)(1<x<3)，∴MN ＝－x ＋3－(x 2－4x ＋3)＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －322＋94，∴当x ＝32时，MN 的最大值为94；(3)存在．所有点P 的坐标分别是：P 1⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2，3＋172，P 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2，3－172，P 3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2，142，P 4⎝⎛⎭⎪⎪⎫2，－142，P 5⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2，12. 9．(2021石家庄四十二中模拟)如图，二次函数的图象过点A(0，－3)，B(3，3)，对称轴为直线x ＝－12，点P 是抛物线上的一动点，过点P 分别作PM⊥x 轴于点M ，PN ⊥y 轴于点N ，在四边形PMON 上分别截取PC ＝13MP ，MD＝13OM ，OE ＝13ON ，NF ＝13NP. (1)求此二次函数的解析式；(2)求证：以C ，D ，E ，F 为顶点的四边形CDEF 是平行四边形；(3)在抛物线上是否存在这样的点P ，使四边形CDEF 为矩形？假设存在，请求出所有符合条件的P 点坐标；假设不存在，请说明理由．解：(1)∵二次函数图象的对称轴为直线y ＝－12，∴设二次函数的解析式为y ＝a(x ＋12)2＋k.∵点A(0，－3)，B(3，3)在抛物线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧14a ＋k ＝－3，a 〔3＋12〕2＋k ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，k ＝－134.∴抛物线的解解析式为y ＝(x ＋12)2－134，即y ＝x 2＋x －3；(2)连接CD ，DE ，EF ，FC.∵PM ⊥x 轴于点M ，PN ⊥y 轴于点N ，∴四边形PMON 为矩形，∴PM ＝ON ，PN ＝OM.∵PC ＝13MP ，OE ＝13ON ，∴PC ＝OE.∵MD＝13OM ，NF ＝13NP ，∴MD ＝NF ，∴PF ＝OD.在△PCF 及△OED 中，⎩⎪⎨⎪⎧PC ＝OE ，∠FPC ＝∠DOE＝90°，PF ＝OD.∴△PCF ≌△OED(SAS )，∴CF ＝DE ，同理可证：△CDM≌△EFN，∴CD ＝EF.∵CF＝DE ，CD ＝EF ，∴四边形CDEF 是平行四边形；(3)假设存在这样的点P ，使四边形CDEF 为矩形，设矩形PMON 的边长PM ＝ON ＝m ，PN ＝OM ＝n ，那么PC ＝13m ，MC ＝23m ，MD ＝13n ，PF ＝23n.假设四边形CDEF 为矩形，那么∠DCF＝90°，易证△PCF∽△MDC，∴PC MD ＝PFMC ，即13m 13n ＝23n 23m ，化简得m 2＝n 2，∴m ＝n ，即矩形PMON 为正方形，∴点P 为抛物线y ＝x 2＋x －3及坐标象限角平分线y ＝x 或y ＝－x 的交点．将y ＝x 代入y ＝x 2＋x －3，解得x 1＝3，x 2＝－3，∴P 1(3，3)，P 2(－3，－3)．将y ＝－x 代入y ＝x 2＋x －3，解得x 1＝－3，x 2＝1，∴P 3(－3，3)，P 4(1，－1)，∴抛物线上存在点P ，使四边形CDEF 为矩形，这样的点有四个，在四个坐标象限内各一个，其坐标分别为：P 1(3，3)，P 2(－3，－3)，P 3(－3，3)，P 4(1，－1)．10．(2021唐山模拟)如图，边长为1的正方形ABCD 一边AD 在x 负半轴上，直线l ：y ＝12x ＋2经过点B(x ，1)及x 轴，y 轴分别交于点H ，F ，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 的顶点E 在直线l 上．(1)求A ，D 两点的坐标及抛物线经过A ，D 两点时的解析式；(2)当抛物线的顶点E(m ，n)在直线l 上运动时，连接EA ，ED ，试求△EAD 的面积S 及m 之间的函数解析式，并写出m 的取值范围；(3)设抛物线及y 轴交于Q 点，当抛物线顶点E 在直线l 上运动时，以A ，C ，E ，Q 为顶点的四边形能否成为平行四边形？假设能，求出E 点坐标；假设不能，请说明理由.解：(1)∵直线l ：y ＝12x ＋2经过点B(x ，1)，∴1＝12x ＋2，解得x ＝－2，∴B(－2，1)，∴A(－2，0)，D(－3，0)．∵抛物线经过A ，D 两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧－4－2b ＋c ＝0，－9－3b ＋c ＝0，解得，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－5，c ＝－6，∴抛物线经过A ，D 两点时的解析式为y ＝－x 2－5x －6；(2)连接EA ，ED ，∵顶点E(m ，n)在直线l 上，∴n ＝12m ＋2，∴S ＝12×1×(12m ＋2)＝14m ＋1，即S ＝14m ＋1(m≠4)；(3)如图，假设以A ，C ，E ，Q 为顶点的四边形能成为平行四边形，那么AC ＝EQ ，AC ∥EQ ，作EM∥y 轴交过Q 点平行于x 轴的直线于点M ，那么EM⊥QM，△EMQ ≌△CDA ，∴QM ＝AD ＝1，∴点E 的横坐标为±1.∵顶点E 在直线l 上，∴y ＝12×(－1)＋2＝32，或y ＝12×1＋2＝52，∴E(－1，32)或(1，52)．又∵当点E 坐标为(1，52)时，以A ，C ，E ，Q 为顶点的四边形不能成为平行四边形，∴E 点坐标为(－1，32)．11．(2021潍坊中考)如图，抛物线y ＝13x 2＋bx ＋c 经过△ABC 的三个顶点，其中点A(0，1)，点B(－9，10)，AC ∥x 轴，点P 是直线AC 下方抛物线上的动点．(1)求抛物线的解析式；(2)过点P 且及y 轴平行的直线l 及直线AB ，AC 分别交于点E ，F ，当四边形AECP 的面积最大时，求点P 的坐标；(3)当点P 为抛物线的顶点时，在直线AC 上是否存在点Q ，使得以C ，P ，Q 为顶点的三角形及△ABC 相似，假设存在，求出点Q 的坐标；假设不存在，请说明理由．解：(1)把点A(0，1)，B(－9，10)的坐标代入y ＝13x 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧1＝c ，10＝13×〔－9〕2－9b ＋c.解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝1.所以，抛物线的解析式是y ＝13x 2＋2x ＋1；(2)∵AC∥x 轴，A(0，1)，由13x 2＋2x ＋1＝1，解得x 1＝－6，x 2＝0，∴C(－6，1)，设直线AB 的解析式是y ＝kx ＋b(k≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧1＝b ，10＝－9k ＋b.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝1.那么直线AB 的解析式是y ＝－x ＋1.设点P 的坐标为(m ，13m 2＋2m ＋1)，那么点E为坐标为(m ，－m ＋1)．那么EP ＝－m ＋1－(13m 2＋2m ＋1)＝－13m 2－3m.∵AC⊥EP，AC ＝6，∴S四边形AECP ＝S △AEC ＋S △APC ＝12AC ·EF ＋12AC ·PF ＝12AC ·(EF ＋PF)＝12AC ·EP ＝12×6×(－13m 2－3m)＝－m 2－9m ＝－(m ＋92)2＋814.又∵－6<m<0，那么当m ＝－94时，四边形AECP 面积的最大值是814，此时点P 的坐标是(－92，－54)；(3)由y ＝13x 2＋2x ＋1＝13(x ＋3)2－2，得顶点P 的坐标是(－3，－2)，此时PF ＝y F －y P ＝3，CF ＝x F －x C ＝3，那么在Rt △CFP 中，PF ＝CF ，∴∠PCF ＝45°，同理可求∠EAF＝45°，∴∠PCF ＝∠EAF，∴在直线AC 上存在满足条件的点Q ，使△CPQ 1∽△ABC 或△CQ 2P ∽△ABC.可求AB ＝92，AC ＝6，CP ＝32，①当△CPQ 1∽△ABC 时，设Q 1(t 1，1)，由CQ 1AC ＝CP AB ，得t 1＋66＝3292，解得t 1＝－4.②当△CQ 2P ∽△ABC 时，设Q 2(t 2，1)，由CQ 2AB ＝CP AC ，得t 2＋692＝326，解得t 2，满足条件的点Q 有两个，坐标分别是Q 1(－4，1)或Q 2(3，1)．。
中考复习如何备考数学应用题
中考复习如何备考数学应用题数学应用题一直是中考数学考试的重点和难点之一，需要考生掌握一定的数学知识，并且能够将所学知识应用到实际问题中，解决实际问题。
下面将为大家介绍中考复习如何备考数学应用题的方法和技巧。
一、理清数学知识框架1. 确定复习范围：首先要了解中考数学应用题的考察范围，包括平面几何、立体几何、函数与方程、统计与概率等方面的知识。
2. 建立数学知识框架：在了解考察范围的基础上，建立自己的数学知识框架，将各个知识点有机地连接起来，形成完整的体系，这样有助于我们在做题时更加灵活和熟练。
二、强化基础知识1. 温故知新：在备考数学应用题时，要先进行基础知识的复习和巩固，温故而知新。
回顾已学过的知识点，重点关注容易出错或易混淆的概念和方法，强化记忆和理解。
2. 查漏补缺：在复习的过程中，要及时查找并补充自己的学习漏洞，针对弱点进行有针对性的训练，做到知识无死角。
三、掌握解题方法1. 阅读清晰题目：在做数学应用题时，首先要仔细阅读题目，理解题目所描述的实际问题，明确需要求解的内容和条件。
2. 提取问题要点：将问题要点提取出来，包括已知条件和待求量，对于复杂题目可以进行问题拆解，将大问题分解为小问题，逐步解决。
3. 运用数学方法：根据已知条件和所需求的内容，选择合适的数学方法和公式进行求解。
需要注意的是，一定要正确运用所学知识，不要盲目使用公式，要根据题目要求进行灵活变形。
4. 检验答案合理性：在得出答案后，要进行反复检验，看结果是否合理，是否符合实际问题的情况，有时需要借助绘图或实际意义来验证答案的正确性。
四、做题技巧1. 注意单位换算：在做数学应用题时，特别要注意单位之间的换算关系，避免在计算过程中出现单位错误。
2. 画图辅助：对于几何类的应用题，可以借助几何图形进行辅助分析和求解，将抽象的问题具体化，更加直观和明了。
3. 多练习：通过大量的练习题，熟悉不同类型的数学应用题，增加解题的经验和技巧，提高应对不同题型的能力。
考数学第三编综合专题闯关篇题型二解答题重难点突破专题一猜想证明与探究试题
（河北专版）2017中考数学第三编综合专题闯关篇题型二解答题重难点突破专题一猜想证明与探究试题题型二解答题重难点突破专题一猜想证明与探究1 •猜想与证明问题河北中考近8年共考查8次，为每年必考内容，都是以解答题的形式出现，分值为9—14分.2•考查类型：（1）与图形的位似有关，探究两条边之间的关系，此类题在2012年考查过一次，主要是利用三角形的性质来解决，分值为9分；（2）与尺规作图有关，利用正方形的性质探究边与边之间的关系，其中有一问会涉及到如何作图，此题在2011年考查过一次，分值为9分；（3）与旋转有关，主要是利用旋转前后的性质，分别涉及到直线和正方形，在2010年和2009年考查过，分值为10分，在2013年考查过，分值为11分；（4）折叠问题主要是折叠过程中对图形变化具体情况的分析，此题在2014年考查过，分值为11分；与图形的折叠、平移有关，2015年考查，分值14分，平移问题主要是用到了平移前后的性质和三角形的性质，探究边与边之间的关系，在2008年考查过，分值为10分.2016年在此题型上来考查.预计2017年河北中考很有可能考查此内容，在训练时多做涉及利用三角形全等、三角形相似等有关的知识的综合题.,中考重难点突破）与图形旋转有关的证明【经典导例】【例1】（2010河北中考）在图①至图③中，直线MN与线段AB相交于点O, / 1 = 7 2= 45(1) 如图①，若Ad OB请写出AC与BD的数量关系和位置关系；⑵将图①中的MN绕点O顺时针旋转得到图②，其中AO OB.求证：AC= BD AC丄BD(3)将图②中的BDOB拉长为AO的k倍得到图③，求AC的值.【学生解答】(1)AO = BD, AOL BD (2)如图②，过点 B 作BE// CA 交DO 于点E ,「./ ACO=Z BEO 又•/ AO= OB / AOC=Z BOE 二△ AOC^A BOE 二 AC= BE.又••律 1= 45°, A / ACO=Z BEO= 135° . /-Z DEB= 45°, v/ 2= 45°, /• BE = BD Z EBD= 90° . /• AC = BD.延长 AC 交 DB 的延长线于点 F , •/ BE / AC /•/ AFD= 90° , /• AC 丄 BD【方法指导】(1)在探索两线段的数量关系时常以三角形全等或者相似为工具，由对应角的关系得到两线段相 等或者对应成比例•有时需先进行等量代换，将两线段放到相似三角形或全等三角形中，若出现直角三角形，则 利用直角三角形的性质求解.(2) 两线段的位置关系通常为平行或垂直•先观察图形，根据图形先推测两线段的位置关系是平行或垂直•若 平行，则常通过以下方法进行证解：①平行线的判定定理；②平行四边形对边平行；③三角形中位线性质等•若 垂直，则可考虑以下途径：①证明两线段所在直线夹角为 90°;②两线段是矩形的邻边；③两线段是菱形的对角线；④勾股定理的逆定理；⑤利用等腰三角形三线合一的性质等方式证明.1. (2015重庆中考)在厶ABC 中，AB= AC / A = 60°,点 D 是线段 BC 的中点，/ EDM 120°, DE 与线段 AB 相交于点E , DF 与线段AC(或AC 的延长线)相交于点F.(1) 如图1，若DF 丄AC 垂足为点 F , AB= 4,求BE 的长；1(2) 如图2，将(1)中的/ EDF 绕点D 顺时针旋 转一定的角度，DF 仍与线段 AC 相交于点F.求证：BE + CF =- AB;(3) 如图3，将(2)中的/ EDF 继续绕点 D 顺时针旋转一定的角度，使 DF 与线段AC 的延长线交与点 F ,作DN 丄AC 于点 N,若 DN = FN,求证：BE + CF = ：3(BE — CF).解：⑴ 由四边形AEDF 的内角和为360 °,可知DEL AB 故BE = 1; (2)取AB 的中点G,连接DG.易证：DG 为 △ ABC 的中位线，故 DG = DC , / BGD = ZC = 60 ° ,又四边形 AEDF 的对角互补，故/ GED =1Z DFC /.^ DEG2A DFC 故 EG^ CF.A BE + CF = BE + EG^ BG^ gAB; (3)取 AB 的中点 G,连接 DG 同(2)，易证 1⑶如图③，过点 B 作 BE// CA 交 DO 于点 E , /Z BEO=Z ACO 又 vZ BO =Z AOC /•△ BE BO Bo® AOC /AAC = A O 又v OB= kAO,由(2)的方法易得BDBE= BD 二 AC= «△DEG2A DFC 故E* CF,故BE- CF= BE— EG^ Bd ^AB.设CN= x,在Rt^ DCN中 , CD= 2x , DN= 3x ,在Rt△DFN 中，NF= DN= 3x ,故EG^ CF= ( 3 —1)x.BE = BG+ EG^ DC+ CF= 2x+ ( 3 —1)x = ( 3 + 1)x.故BE+ CF= (3+ 1)x + ( 3—1)x = 2 3x. 3(BE —CF)= 3[( - 3+ 1)x —( 3 —1)x] = 2 3x.故BE+ CF= 3(BE —CF).2. (2016河北中考)如图，△ OAB中，OA= OB= 10 , Z AOB= 80°,以点O为圆心，6为半径的优弧M分别交OA OB 于点M N.(1) 点P在右半弧上(Z BOP是锐角),将OP绕点O逆时针旋转80°得OP .求证：AP= BP ;(2) 点T在左半弧上，若AT与弧相切，求点T到OA的距离；(3) 设点Q在优弧MNk ,当厶AOQ的面积最大时，直接写出Z BOQ的度数.解：(1) •••/ AOP=Z AOBH Z BOP= 80° +Z BOP / BOP =Z POP +Z BOP= 80° +Z BOP /-Z AOP= OA= OB,Z BOP，又T OA= OB OP= OP，在△ AOP 和厶BOP 中，Z AOP=Z BOP , /.△ AOP^A BOP (SAS，•/ AP=OP= OP .BP ;(2)如图1,连接OT,过点T 作TF U OA 于点H, •/ AT 与M N相切，/•/ ATO= 90°,/ AT= OA—OT =2 2 1 1 1 1 8X 6 2410 —6 = 8 ,•••—X OA^ TH=-X AT X OT,即一X 10X TH=-X 8X 6,即卩TH= ，•/ T= ，即为所求的距离；¥ 2 2 2 210 5(3) 如图2，当OQLOA时，△ AOQ的面积最大.理由：：OQL0A, /• QO是厶AOQ中最长的高，则△ AOQ的面积最大，•••/ BOQ=Z AOQ-Z AOB= 90°+ 80°= 170°, 当Q 点在优弧M f N右侧上，T OQL OA, /• QO是厶AOQ 中最长的高，则△ AOQ的面积最大，BOQ=Z AOQ-Z AO= 90°—80°= 10°,综上所述：当/ BOQ的度数为10°或170°时，△ AOQ的面积最大.3. (2016廊坊二模)如图①，已知△ ABC是等腰直角三角形，Z BAC= 90°，点D是BC的中点.作正方形DEFG使点A, C分别在DG和DE上，连接AE, BG.(1) 试猜想线段BG和AE的数量关系是________ ;(2) 将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转a (0 ° <a< 360° ).①判断(1)中的结论是否仍然成立？请利用图②证明你的结论；②若BC= DE= 4,当AE取最大值时，求AF的值.解：图①(1) AE = BG (2)①成立，BG= AE.如图①，连接AD「.•在Rt A BAC中，AB= AC, D为斜边BC的中点，二AD= BD, AD丄BCADG-Z BDG= 90° . ：•四边形EFGD为正方形，二DE= DQ 且/ GDE= 90°,二/ ADG-Z ADE=BD= AD,90°,「.Z BDG=Z ADE在厶BDG和厶ADE中，Z BDG=Z ADE BDG^A ADE(SA$，二GD= AEGD= ED.图②②••• BG= AE,「.当BG取得最大值时AE取得最大值，如图②，当旋转面为270°时，BG= AE.v BC= DE= 4, D1为BC 的中点，四边形DEFG为正方形，••• BD= CD= 2BC= 2, EF= DG= DE= 4,「. BG= BD- GD= 2+ 4 = 6, A AE=BG =6,A AF= ,62+ 42= 2 . 13.4. （2016沧州八中模拟）如图①，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中Z C= 90°, ZB=Z E= 30°.（1）操作发现如图②，固定△ ABC使厶DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：①线段DE与AC的位置关系是 ________;②设△ BDC的面积为$,△ AEC的面积为S2,贝U S与S2的数量关系是 _________ .（2）猜想论证当厶DEC绕点C旋转到图③所示的位置时，小明猜想（1）中S与S的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△ BDC和△ AEC中BC CE边上的高，请你证明小明的猜想.（3）拓展探究已知/ ABC= 60°,点 D 是其角平分线上一点， BD - CD= 4, DE// AB 交BC 于点E （如图④）.若在射线 BA 上存在点F ,使DCF - BDE,请直接写出相应的 BF 的长.解：⑴①DE// AC ②S 1-S;⑵ 如图：•••△ DEC 是由△ ABC 绕点 C 旋转得到，••• BC -CE AC -CD.：/ACN bZ BCN - 90°,/ DCW /BCN -/ ACN -/ DCM180°— 90°- 90°, •/ ACN -/。