高二数学直线与方程典型习题教师版
高二数学同步检测直线与直线的方程新人教版
高二数学同步检测六直线与直线的方程 第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分) 1.若直线x=1的倾斜角为α,则α等于( ) A.0° B.45° C.90° D.不存在 答案:C解析:因为x=1是一条与x 轴垂直的直线,所以它的倾斜角为90°. 2.通过点(0,2),且倾斜角为60°的直线方程是( ) A.y=3x+2 B.y=3x-2C.y=33x+2 D.y=33x-2 答案:A解析:∵k=tan60°=3,∴过点(0,2)的直线方程为y=3x+2.3.如右图,已知直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3,则( )A.k 1＜k 2＜k 3B.k 3＜k 1＜k 2C.k 3＜k 2＜k 1D.k 1＜k 3＜k 2 答案:D解析:∵90°＜α1＜180°， ∴k 1＜0.又∵0°＜α3＜α2＜90°, ∴k 2＞k 3＞0, 即k 2＞k 3＞k 1.4.经过点A(2,1),在x 轴上截距为-2的直线方程是( ) A.x=-2 B.x-4y+2=0 C.4x+y+2=0 D.x-4y-2=0 答案:B解析:依题意知,直线经过点A(2,1)，B(-2,0), 由两点式,得222010++=--x y ,化简得x-4y+2=0. 5如果AC ＜0,且BC ＜0,那么直线Ax+By+C=0不通过( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 答案：C解析：直线Ax+By+C=0的斜率k=-BA , 直线在y 轴上的截距b=-BC . ∵AC＜0,BC ＜0, ∴AB＞0,k ＜0,b ＞0.∴直线通过二、四象限和第一象限. ∴直线不通过第三象限.6.已知点A(1,2)，B(3,1),则线段AB 的垂直平分线的方程是( ) A.4x+2y=5 B.4x-2y=5 C.x+2y=5 D.x-2y=5 答案:B 解析:因k AB =211321-=--,所以线段AB 的垂直平分线的斜率是2.又线段AB 的中点为(2,23), 所以所求直线方程为y-23=2(x-2), 即4x-2y-5=0.7.直线(2m 2-5m+2)x-(m 2-4)y+5m=0的倾斜角是4π，则m 的值为( ) A.2 B.3 C.-2 D.-3 答案：B解析：原方程可化为y=454252222-+-+-m mx m m m . 有tan 4π=425222-+-m m m =1,即m 2-5m+6=0,解之,得m=3,m=2.m=2时原方程不成立，应舍去.8.直线l 1:ax-y+b=0与l 2:bx-y+a=0(其中a≠0,b≠0,a≠b),在同一坐标系中的图象是下图中的( )答案：B解析:同一个选项中的直线反映出的a 、b 的取值应是一致的.排除C ，D. 解方程组⎩⎨⎧+==⎩⎨⎧=+-=+-,,1,0,0b a y x a y bx b y ax 得 即l 1与l 2的交点为(1,a+b),在第一象限,所以选B.9.直线xcosα+y+b=0(α、b∈R )的倾斜角范围是( ) A.［0,π］ B.［4π,2π］∪(2π,43π) C.［4π,43π］ D.［0, 4π］∪［43π,π)答案：D解析：∵直线的斜率k=-cosα,又α∈R , ∴-1≤cosα≤1.又倾斜角的范围为［0，π), ∴-1≤tanα≤1(α为倾斜角).10.当-1≤x≤1时，y=ax+2a+1的值有正也有负，则实数a 的取值范围是( ) A.a ＜0或a ＞1 B.0＜a≤1 C.-1＜a ＜-31 D.a≤-1或a ≥-31 答案:C解析:依题意知a≠0. 当a ＞0时,只需满足(1)0,(1)0,f f -<⎧⎨>⎩即10,310,a a +<⎧⎨+>⎩解得a∈;当a ＜0时,只需满足(1)0,(1)0,f f ->⎧⎨<⎩即10,310,a a +>⎧⎨+<⎩解得-1＜a ＜-31. 综上可知-1＜a ＜-31. 第Ⅱ卷(非选择题共60分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上) 11.过点(-2,-1)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是_________. 答案:x-2y=0或x+y+3=0解析:(1)直线过坐标原点时,在两个轴上的截距都为0, 方程为x-2y=0.(2)直线不过坐标原点时,设方程为aya x +=1.∵直线过(-2,-1), ∴aa 12-+-=1,得a=-3. ∴直线方程为x+y+3=0.12.直线的纵截距为-2，其倾斜角的正弦满足方程6x 2+x-1=0，则直线方程为________.答案：y=42x-2或y=-42x-2解析：方程6x 2+x-1=0的解为x 1=31,x 2=-21, ∴sinα=31或sinα=-21(舍去). 由sinα=31,得cosα=322或cosα=-322.∴斜率k=tanα=42或k=tanα=-42.∴满足条件的直线方程为 y=42x-2或y=-42x-2.13.已知A(a,2)，B(3,7)，C(-2,-9a)三点在同一直线上,则a 的值为________. 答案:2或92. 解析:当a=3 时,不适合条件,故a≠3. ∵A、B 、C 三点共线, ∴k AB =k BC ,即2397327++=--aa . 化简,得9a 2-20a+4=0,解得a=2或a=92, 即实数a 的值是2或92. 14.已知直线l 过点P(-1,2)，且与以A(-2，-3)和B(3，0)为端点的线段AB 相交，那么直线l 的斜率的取值范围是_________.答案：(-∞,-21］∪［5,+∞) 解析：∵k AP =2132+-+=5,k BP =213102-=---. 要使过P 点的直线与线段AB 相交，需k≥5或k≤-21. 三、解答题(本大题共5小题，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分8分)已知三角形的三个顶点A(-5,0)，B(3,-3)，C(0,2),求BC 边所在直线的方程以及该边上中线所在直线的方程. 解:如下图,过B(3,-3)，C(0,2)的两点式方程为30232--=---x y ,整理得5x+3y-6=0.这就是BC 边所在直线的方程.BC 边上的中线是顶点A 与BC 边中点M 所连线段,由中点坐标公式可得点M 的坐标为(223,203+-+),即(21,23-). 过A(-5,0),M(21,23-)的直线的方程为52350210++=---x y , 整理得21x+213y+25=0,即x+13y+5=0.16.(本小题满分8分)如图，在一段直的河岸同侧有A 、B 两个村庄，相距5 km ，它们距河岸的距离分别为3 km 、6 km.现在要在河边修一抽水站并铺设输水管道，同时向两个村庄供水.如果预计修建抽水站需8.25万元(含设备购置费和人工费)，铺设输水管每米需用24.5元(含人工费和材料费).现由镇政府拨款30万元，问A 、B 两村还需共同自筹资金多少，才能完成此项工程?(准确到100元)(参考数据：65=8.06，97=9.85，77.10=3.28，13.43=6.57)解：如图所示，建立直角坐标系，则A （0，3）.由|AB|=5，可知B （4，6)，那么点A 关于x 轴的对称点A′(0,-3). 连结A′B 交x 轴于C.由平面几何知识可知，当抽水站建在C 处时，铺设的输水管道最短. ∵|AC|+|BC|=|A′B|,∴|A′B|=97)36()04(22=++-=9.85(km).∴铺设管道所需资金为24.5×9.85×1 000=241 325≈241 400(元)，总费用8.25×10 000+241 400=323 900(元). ∴323 900-300 000=23 900（元).答：需要两村共同自筹资金23 900元.17.(本小题满分9分)已知直线过点P(-2,3),且与两坐标轴围成的三角形面积为4,求直线的方程.解法一:显然,直线l 与两坐标轴不垂直,设直线的方程为y-3=k(x+2).令x=0,得y=2k+3;令y=0,得x=-k3-2.于是直线与两坐标轴围成的三角形面积为21|2k+3|·|k3+2|=4,即(2k+3)(k 3+2)=±8. 若(2k+3)(k 3+2)=8,则整理得4k 2+4k+9=0,无解;若(2k+3)(k 3+2)=-8,则整理得4k 2+20k+9=0,解之,得k=-21,k=-29.∴所求直线的方程为y-3=-21(x+2)或y-3=-29(x+2),即x+2y-4=0和9x+2y+12=0.解法二:显然,直线在两坐标轴上的截距均不为零.设所求直线的方程为bya x +=1. ∵点P(-2,3)在直线上, ∴ba 32+-=1. ① 又∵直线与坐标轴围成的面积为4, ∴21|a|·|b|=4,即|a|·|b|=8. ② 由①②可得 (1)⎩⎨⎧==-8,823ab b a 或(2)⎩⎨⎧-=-=-.8,823ab b a解(1)得⎩⎨⎧==2,4b a 或⎪⎩⎪⎨⎧-=-=.6,34b a 方程组(2)无解.∴所求直线的方程为24yx +=1或 634-+-yx =1,即x+2y-4=0或9x+2y+12=0. 18.(本小题满分9分)已知函数f(x)=log 2(x+1),且a ＞b ＞c ＞0,试比较cc f b b f a a f )(,)(,)(的大小. 解:画出函数f(x)=log 2(x+1)的图象(如右图),则点A(a,f(a))，B(b,f(b))，C(c,f(c))在图象上,又()()(),,f a f b f c a b c的值恰好是直线OA ，OB ，OC 的斜率,因为函数f(x)=log 2(x+1)是增函数,且a ＞b ＞c ＞0,所以k OC ＞k OB ＞k OA ,即.()()()f a f b f c a b c<<19.(本小题满分10分)点A 是x 轴上的动点,一条直线经过点M(2,3),垂直于MA,交y 轴于点B,过A 、B 分别作x 、y 轴的垂线交于点P,求点P 的坐标(x,y)满足的关系. 解:如图,因为PA⊥x 轴,点P 的坐标为(x,y),所以设点A 的坐标为(x,0).因为PB⊥y 轴,所以点B 的坐标是(0,y). 由已知,k MA =x -23(x≠2),k MB =23y -. 因为MA⊥MB,所以k MA ·k MB =-1, 即x -23·23y -=-1(x≠2), 化简得2x+3y-13=0.当x=2时,由2x+3y-13=0知y=3,点P 与点M 重合.综合以上知,点P 的坐标(x,y)所满足的条件是2x+3y-13=0.。
高中数学第1章直线与方程1_5综合拔高练苏教版选择性必修第一册
综合拔高练五年高考练考点直线方程及其应用1.(2020全国Ⅲ,8,5分,)点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为()A.1B.√2C.√3D.22.(2018北京,7,5分,)在平面直角坐标系中,记d为点P(cosθ,sinθ)到直线x-my-2=0的距离.当θ,m变化时,d的最大值为()A.1B.2C.3D.43.(2016北京,7,5分,)已知A(2,5),B(4,1).若点P(x,y)在线段AB上,则2x-y的最大值为()A.-1B.3C.7D.8(x>0)上的一个动点, 4.(2019江苏,10,5分,)在平面直角坐标系xOy中,P是曲线y=x+4x则点P到直线x+y=0的距离的最小值是.5.(2016上海,3,4分,)已知平行直线l1:2x+y-1=0,l2:2x+y+1=0,则l1,l2的距离.三年模拟练应用实践1.(2020江苏震川高级中学高二月考,)直线2x+3y+6=0关于直线y=x对称的直线方程是()A.3x+2y+6=0B.2x-3y+6=0C.3x+2y-6=0D.3x-2y-6=02.(2020北京人大附中高二期中,)下面三条直线l1:3x+y=4,l2:x-y=0,l3:2x-3my=4不能构成三角形,则m的取值范围是 ()A.{-23} B.{23,-29}C.{-23,23,-29} D.{-23,23,0,-29}3.(2020上海金山中学高二期中,)设直线l的方程是ax+3y-2=0,其倾斜角为α,若α∈(π6,π2)∪(π2,3π4),则a的取值范围为.4.(2020江苏江安高级中学高二期中,)已知三条直线的方程分别为y=0,√3x-y+√3=0,√3x+y-√3=0,那么到三条直线的距离相等的点的坐标为.5.(2020江苏南通通州高级中学高二期中,)在平面直角坐标系xOy中,已知射线OA:x-y=0(x≥0),OB:2x+y=0(x≥0).过点P(1,0)作直线分别交射线OA,OB于点A,B.(1)当AB的中点在直线x-2y=0上时,求直线AB的方程;(2)当△AOB的面积取最小值时,求直线AB的方程;(3)当PA·PB取最小值时,求直线AB的方程.迁移创新6.(2020江苏常州横林高级中学高二期中,)如图,Rt△OAB的直角边OA在x轴上,顶点B 的坐标为(6,8),直线CD交AB于点D(6,3),交x轴于点C(12,0).(1)求直线CD的方程;(2)动点P在x轴上从点(-10,0)出发,以每秒1个单位的速度向x轴正方向运动,过点P作直线l垂直于x轴,设运动时间为t(单位:秒).①点P在运动过程中,是否存在某个位置,使得∠PDA=∠B?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;②请探索当t为何值时,在直线l上存在点M,在直线CD上存在点Q,使得以OB为一边,O,B,M,Q为顶点的四边形为菱形,并求出此时t的值.1.1~1.5综合拔高练五年高考练1.B解法一:点(0,-1)到直线y=k(x+1)的距离d=√2+1=√2+1,注意到k2+1≥2k,于是2(k2+1)≥k2+2k+1=|k+1|2,当且仅当k=1时取等号.即|k+1|≤√x2+1·√2,所以d=√≤√2,故点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为√2.故选B.解法二:由题意知,直线l:y=k(x+1)是过点P(-1,0)且斜率存在的直线,点Q(0,-1)到直线l 的最大距离在直线l与直线PQ垂直时取得,此时k=1,最大距离为PQ=√2,故选B.2.C解法一:由点到直线的距离公式得d=√2,cosθ-m sinθ=√1+x2(√x√x),令sinα=√,cosα=√,则cosθ-m sinθ=√1+x2sin(α-θ),∴d≤√2√2=√2√2=1+√2,∴当m=0时,d max=3,故选C.解法二:∵cos2θ+sin2θ=1,∴P点的轨迹是以原点为圆心的单位圆,又x-my-2=0表示过点(2,0)且斜率不为0的直线,如图,可得点(-1,0)到直线x=2的距离即为d的最大值.故选C.3.C如图,点P(x,y)在线段AB上且A(2,5),B(4,1),设z=2x-y,则y=2x-z,易知-z为y轴上的截距,则当-z最小时,z最大.由图知当直线y=2x-z经过点B (4,1)时,z 取得最大值,最大值为2×4-1=7. 4.答案 4解析 解法一:设P (x 0,x 0+4x 0),x 0>0,则点P 到直线x +y =0的距离d =|x 0+x 0+4|√2=√2(x 0+2x 0)≥4,当且仅当x 0=2x 0,即x 0=√2时取“=”.故点P 到直线x +y =0的距离的最小值是4.解法二:作直线x +y =0的平行线x +y +C =0(C ≠0)(图略),当直线x +y +C =0与曲线y =x +4x (x >0)相切于点P 时,点P 到直线x +y =0的距离最小,由{x +x +x =0,x =x +4x 得2x 2+Cx +4=0,所以Δ=C 2-32=0,解得C =±4√2.因为x >0,所以y >0,所以C <0,所以C =-4√2,故点P 到直线x +y =0的距离的最小值是√2=4.5.答案2√55解析 利用两平行线间距离公式得l 1,l 2的距离d =√22=2√55.三年模拟练1.A 直线2x +3y +6=0与坐标轴的交点分别为A (0,-2),B (-3,0), 设点A (0,-2)关于直线x -y =0的对称点为A 1(x 1,y 1),则{x 1-(-2)x 1-0=-1,x 12--2+x12=0,解得{x 1=-2,x 1=0,即A 1(-2,0),同理求得点B (-3,0)关于直线x -y =0的对称点为B 1(0,-3), 所以x x 1x 1=-32,所以直线A 1B 1的方程为y =-32(x +2),即3x +2y +6=0,所以直线2x +3y +6=0关于直线y =x 对称的直线方程为3x +2y +6=0. 故选A .2.C 由{3x +x =4,x -x =0解得{x =1,x =1,即直线l 1与l 2的交点为M (1,1),因为直线l 1:3x +y =4,l 2:x -y =0,l 3:2x -3my =4不能构成三角形, 所以l 3过点M ,或l 3与l 1或l 2平行, 若l 3过点M ,则2-3m =4,解得m =-23;若l 3∥l 1,则23x =-3,解得m =-29; 若l 3∥l 2,则23x =1,解得m =23. 综上,m 的可能取值为-23,23,-29. 故选C .3.答案 a <-√3或a >3解析 由ax +3y -2=0得y =-x 3x +23, 所以tan α=-x3, 因为α∈(π6,π2)∪(π2,3π4),所以tan α>√33或tan α<-1, 所以-x 3>√33或-x3<-1,所以a <-√3或a >3.4.答案 (0,-√3),(0,√33),(2,√3),(-2,√3)解析 如图所示,三条直线两两相交,交点为A (0,√3),B (1,0),C (-1,0),∠CAB 的平分线AO :x =0(y ≤√3)和∠ACB 的平分线CD :y =√33(x +1)(x ≥-1)的交点到三条直线的距离相等,联立{x =0,x =√33(x +1),得交点为(0,√33);∠ACB 的外角平分线CE :y =-√3(x +1)(x ≥-1)和∠ABC 的外角平分线BF :y =√3(x -1)(x ≤1)的交点到三条直线的距离相等,联立{x =-√3(x +1),x =√3(x -1),得交点为(0,-√3);∠ACB 的外角平分线CG :y =-√3(x +1)(x ≤-1)和∠CAB 的外角平分线AG :y =√3(x ≤0)的交点到三条直线的距离相等,联立{x =-√3(x +1),x =√3,得交点为(-2,√3);∠ABC 的外角平分线BH :y =√3(x -1)(x ≥1)和∠CAB 的外角平分线AH :y =√3(x ≥0)的交点到三条直线的距离相等,联立{x =√3(x -1),x =√3,得交点为(2,√3).故答案为(0,-√3),(0,√33),(2,√3),(-2,√3).5.解析 (1)设A (x 1,x 1),B (x 2,-2x 2),则AB 的中点坐标为(x 1+x 22,x 1-2x 22),因为AB 的中点在直线x -2y =0上, 所以x 1+x 22-2×x 1-2x 22=0,即x 1=5x 2,所以直线AB 的斜率k =x 1+2x 2x 1-x 2=7x 24x 2=74, 所以直线AB 的方程为y =74(x -1),即7x -4y -7=0. (2)设直线AB 的方程为x =my +1, 易知m ≠1,且m ≠-12. 联立{x =xx +1,x -x =0,解得x =y =11-x , 所以A (11-x,11-x)(m <1),联立{x =xx +1,2x +x =0,解得x =12x +1,y =-22x +1,所以B (12x +1,-22x +1)(x >-12),所以S △AOB =S △AOP +S △BOP =12×OP ×(11-x +22x +1)=12-2x +12x +1, 因为2-2m >0,2m +1>0, 所以12-2x +12x +1=(12-2x +12x +1)×2-2x +2x +13=13(1+1+2x +12-2x +2-2x2x +1)≥13(2+2√2x +12-2x ×2-2x2x +1)=43,当且仅当m =14时,等号成立,所以S △AOB 的最小值为43,此时m =14,直线AB 的方程为x =14y +1,即4x -y -4=0. (3)由(2)知,m ∈(-12,1),PA =√(11-x -1)2+(11-x )2=√x 2+11-x ,PB =√(12x +1-1)2+(-22x +1)2=2√x 2+12x +1,所以PA ·PB =√x 2+11-x×2√x 2+12x +1=2x 2+2-2x 2+x +1=2(x 2+1)-2(x 2+1)+x +3=2-2+x +3x 2+1,令m +3=t ∈(52,4),则x +3x 2+1=x(x -3)2+1=x x 2-6x +10=1x +10x -6≤2√x ·x-6=2√10-6,当且仅当t =√10,即m =√10-3时,x +3x 2+1取得最大值,PA ·PB 取得最小值,此时直线AB 的方程为x =(√10-3)y +1,即x -(√10-3)y -1=0. 思路点拨(1)设A (x 1,x 1),B (x 2,-2x 2),根据AB 的中点在直线x -2y =0上求出x 1=5x 2,利用斜率公式求出直线AB 的斜率,再由点斜式可求出直线AB 的方程;(2)设直线AB 的方程为x =my +1,求出A ,B 的坐标,利用S △AOB =S △AOP +S △BOP 求出面积关于m 的解析式,再根据基本不等式求最值可得m 和直线AB 的方程;(3)利用(2)中A ,B 的坐标求出PA 、PB ,得到PA ·PB 关于m 的函数关系式,再换元,利用基本不等式求出PA ·PB 取最小值时的m ,从而可得直线AB 的方程. 6.解析 (1)由题知直线CD 过点C (12,0),D (6,3), ∴直线方程为x -0x -12=3-06-12,即x +2y -12=0. (2)①如图1,作DP ∥OB ,则∠PDA =∠B , 由DP ∥OB ,得xx xx =xxxx , 即xx 6=38,∴PA =94,∴OP =6-94=154, ∴点P (154,0).根据对称性知,当AP =AP'时,∠P'DA =∠B ,P'(334,0), ∴满足条件的点P 的坐标为(154,0)或(334,0). ②如图2,当OP =OB =10时,作PQ ∥OB 交直线CD 于Q , 易知直线OB 的解析式为y =43x , 直线PQ 的解析式为y =43x +403,由{x =43x +403,x +2x -12=0解得{x =-4,x =8,∴Q (-4,8),∴PQ =√(-10+4)2+(0-8)2=10,∴PQ =OB ,∴四边形OPQB 是平行四边形, 又OP =OB ,∴平行四边形OPQB 是菱形. 此时点M 与点P 重合,且t =0. 如图3,当OQ =OB 时, 设Q (x ,-12x +6),则有m 2+(-12x +6)2=102, 解得m =12±4√895,∴点Q 的横坐标为12+4√895或12-4√895.设M 的横坐标为a , 则x +02=12+4√895+62或x +02=12-4√895+62,解得a =42+4√895或a =42-4√895.又点P 是从点(-10,0)开始运动, 则满足条件的t 的值为92+4√895或92-4√895.如图4,当Q 点与C 点重合时,M 点的横坐标为6,此时t =16. 综上,满足条件的t 值为0,16,92+4√895,92-4√895.。
第一章直线与直线方程同步课时作业高二数学北师大版(2019)选择性必修第一册第一章
1.1一次函数的图象与直线的方程1.2直线的倾斜角、斜率及其关系1.若直线经过O(0,0),A(1,√3)两点,则直线OA的倾斜角为()A.π6B.π3C.π4D.π22.已知直线l经过A(1,2),B(3,5),则直线l的一个方向向量为()A.(2,3)B.(3,2)C.(1,5)D.(-3,2)3.已知经过两点(5,m)和(m,8)的直线的斜率等于1,则m的值是()A.5B.8C.132D.74.一条直线l与x轴相交,其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°),则其倾斜角为()A.αB.180°-αC.180°-α或90°-αD.90°+α或90°-α5.若三点A(2,3),B(3,2),C12,m共线,则实数m的值为()A.2B.72C.92D.1126.a,b,c是两两不等的实数,则经过P(b,b+c),C(a,c+a)两点直线的倾斜角为.7.在平面直角坐标系中,正三角形ABC的边BC所在直线的斜率是0,则AC,AB所在直线的斜率之和为.8.直线l的一个方向向量d=(3,√3),则直线l的倾斜角是,直线的斜率是.9.已知点A(1,2),在坐标轴上求一点P使直线PA的倾斜角为60°.能力达标10.(2020江苏启东中学高二期中)已知直线l经过两点O(0,0),A(1,√3),直线m的倾斜角是直线l的倾斜角的两倍,则直线m的斜率是()A.-√3B.-√33C.√33D.√311.(2020山东菏泽期中)经过A (0,2),B (-1,0)两点的直线的方向向量为(1,λ),则λ=( ) A.1 B.2C.12D.1312.若a=ln21,b=ln32,c=ln54,则( )A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c13.(2020湖南长郡中学高二月考)直线l 经过A (2,1),B (1,m 2)(m ∈R )两点,那么直线l 的倾斜角的取值范围为( ) A.[0,p ) B.0,π4∪34π,π C.0,π4D.0,π4∪π2,π14.(多选题)直线l 过点P (1,0),且与以A (2,1),B (0,√3)为端点的线段有公共点,则直线l 的斜率可能是( ) A.-2B.12C.1D.√315.若直线l 与y 轴的夹角为60°,则直线l 的倾斜角为 ,斜率为 .16.已知过点(-√3,1)和点(0,b )的直线l 的倾斜角为α,α满足30°≤α≤60°,则b 的取值范围为 .17.已知两点A (-3,4),B (3,2),过点P (1,0)的直线l 与线段AB 有公共点. (1)求直线l 的斜率k 的取值范围; (2)求直线l 的倾斜角α的取值范围. 解如图所示,由题意可知 19.如图所示,菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合,一边在x轴的正半轴上,已知∠BOD=60°,求菱形OBCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率.1.若直线经过O(0,0),A(1,√3)两点,则直线OA的倾斜角为()A.π6B.π3C.π4D.π2答案B解析设直线OA的倾斜角为α,α∈[0,π),则tan α=√3-01-0=√3,∴α=π3.2.已知直线l经过A(1,2),B(3,5),则直线l的一个方向向量为()A.(2,3)B.(3,2)C.(1,5)D.(-3,2)答案A解析∵直线经过A(1,2),B(3,5),∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(3-1,5-2)=(2,3),∴直线l的一个方向向量为(2,3).3.已知经过两点(5,m)和(m,8)的直线的斜率等于1,则m的值是()A.5B.8C.132D.7答案C解析由斜率公式可得8-mm-5=1,解得m=132.4.一条直线l与x轴相交,其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°),则其倾斜角为()A.αB.180°-αC.180°-α或90°-αD.90°+α或90°-α答案D解析如图,当l向上方向的部分在y轴左侧时,倾斜角为90°+α;当l向上方向的部分在y 轴右侧时,倾斜角为90°-α.故选D.5.若三点A(2,3),B(3,2),C12,m共线,则实数m的值为()A.2B.72C.92D.112答案C解析根据斜率公式得k AB=-1,k AC=6-2m3, ∵A,B,C三点共线,∴k AB=k AC,∴6-2m3=-1,∴m=92.6.a,b,c是两两不等的实数,则经过P(b,b+c),C(a,c+a)两点直线的倾斜角为.答案45°解析由题意知,b≠a,所以k=c+a-(b+c)a-b=1,故倾斜角为45°.7.在平面直角坐标系中,正三角形ABC的边BC所在直线的斜率是0,则AC,AB所在直线的斜率之和为.答案0解析如图,易知k AB=√3,k AC=-√3,则k AB+k AC=0.8.直线l 的一个方向向量d =(3,√3),则直线l 的倾斜角是 ,直线的斜率是 . 答案π6√33解析d =(3,√3)=31,√33,设c =1,√33,则d ∥c .由向量d =(3,√3)是直线l 的一个方向向量,得c =1,√33也为直线l 的一个方向向量,则直线l 的斜率为√33,所以倾斜角为π6. 9.已知点A (1,2),在坐标轴上求一点P 使直线PA 的倾斜角为60°. 解当点P 在x 轴上时,设点P (a ,0),∵A (1,2),∴k PA =0-2a -1=-2a -1. 又∵直线PA 的倾斜角为60°,∴tan 60°=-2a -1,解得a=1-2√33. ∴点P 的坐标为1-2√33,0.当点P 在y 轴上时,设点P (0,b ). 同理可得b=2-√3,∴点P 的坐标为(0,2-√3). 综上所述,点P 的坐标为1-2√33,0或(0,2-√3). 能力达标10.(2020江苏启东中学高二期中)已知直线l 经过两点O (0,0),A (1,√3),直线m 的倾斜角是直线l 的倾斜角的两倍,则直线m 的斜率是( )A.-√3B.-√33C.√33D.√3答案A解析依题意k OA =√3-01-0=√3,所以直线l 的倾斜角为π3,所以直线m 的倾斜角为2π3,所以直线m 的斜率为tan 2π3=-√3.故选A .11.(2020山东菏泽期中)经过A (0,2),B (-1,0)两点的直线的方向向量为(1,λ),则λ=( ) A.1 B.2C.12D.13答案B解析经过A (0,2),B (-1,0)两点的直线的方向向量为(1,λ),∴2-00-(-1)=λ1, 解得λ=2. 故选B . 12.若a=ln21,b=ln32,c=ln54,则( )A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c答案B 解析lnxx -1=lnx -0x -1表示函数y=ln x 图象上的点(x ,y )与点D (1,0)连线的斜率,如图所示.令a=k DA ,b=k DB ,c=k DC ,由图知k DC <k DB <k DA ,即c<b<a.13.(2020湖南长郡中学高二月考)直线l 经过A (2,1),B (1,m 2)(m ∈R )两点,那么直线l 的倾斜角的取值范围为( ) A.[0,p )B.0,π4∪34π,πC.0,π4 D.0,π4∪π2,π答案D解析直线l 的斜率为k=y 1-y 2x 1-x 2=1-m 22-1=1-m 2,因为m ∈R ,所以k ∈(-∞,1],所以直线的倾斜角的取值范围是0,π4∪π2,π.故选D.14.(多选题)直线l 过点P (1,0),且与以A (2,1),B (0,√3)为端点的线段有公共点,则直线l 的斜率可能是( ) A.-2 B.12C.1D.√3答案ACD解析当直线l 过点B 时,设直线的斜率为k 1,则k 1=√3-00-1=-√3,当直线l 过点A 时,设直线的斜率为k 2,则k 2=1-02-1=1,故直线l 的斜率的取值范围为k ≥1或k ≤-√3,故选ACD.15.若直线l 与y 轴的夹角为60°,则直线l 的倾斜角为 ,斜率为 . 答案30°或150°√33或-√33解析如图所示,若直线为l 1,则直线的倾斜角为α1,α1=90°+60°=150°,tan α1=k 1=-√33,若直线为l 2,则直线的倾斜角为α2,α2=90°-60°=30°,k 2=tan α2=tan 30°=√33.16.已知过点(-√3,1)和点(0,b )的直线l 的倾斜角为α,α满足30°≤α≤60°,则b 的取值范围为 . 答案[2,4]解析设直线l 的斜率为k ,∵30°≤α≤60°,∴√33≤tan α≤√3, ∴√33≤k ≤√3. 又k=√3,∴√33≤√3≤√3,解得2≤b ≤4.17.已知两点A (-3,4),B (3,2),过点P (1,0)的直线l 与线段AB 有公共点. (1)求直线l 的斜率k 的取值范围; (2)求直线l 的倾斜角α的取值范围. 解如图所示,由题意可知k PA =4-0-3-1=-1,k PB =2-03-1=1.(1)要使直线l 与线段AB 有公共点,则直线l 的斜率k 的取值范围是k ≤-1或k ≥1. (2)由题意可知,直线l 的倾斜角介于直线PB 与PA 的倾斜角之间,又PB 的倾斜角是45°,PA 的倾斜角是135°,所以α的取值范围是45°≤α≤135°.18.点M (x ,y )在函数y=-2x+8的图象上,当x ∈[2,5]时,求y+1x+1的取值范围. 解y+1x+1=y -(-1)x -(-1)的几何意义是过M (x ,y ),N (-1,-1)两点的直线的斜率.∵点M 在函数y=-2x+8的图象上,且x ∈[2,5], ∴点M 在线段AB 上运动,且A (2,4),B (5,-2).设直线NA ,NB 的斜率分别为k NA ,k NB .∵k NA =53,k NB =-16, ∴-16≤y+1x+1≤53.∴y+1x+1的取值范围是-16,53. 19.如图所示,菱形OBCD 的顶点O 与坐标原点重合,一边在x 轴的正半轴上,已知∠BOD=60°,求菱形OBCD 各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率. 解在菱形OBCD 中,OD ∥BC ,∠BOD=60°,所以直线OD ,BC 的倾斜角相等,都为60°,所以斜率k OD =k BC =tan 60°=√3;∵CD ∥OB ,且OB 在x 轴上,所以直线OB ,CD 的倾斜角相等,都为0°, 所以斜率k OB =k CD =0; 由菱形的性质知,∠COB=12×60°=30°,∠OBD=60°,所以直线OC ,BD 的倾斜角分别为30°,120°,所以两条对角线的斜率分别为:k OC =tan 30°=√33,k BD =tan 120°=-√3.。
高二数学下：11.1《直线的方程》解答题专练(沪教版)
直线的方程1.过原点作一条直线，使它与直线x -y +12=0，2x +y +9=0围成的三角形面积为23面积单位，求这条直线的方程.2.已知直线l 过点p (3,2)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，求△AOB 面积最小时l 的方程.3.求经过P （3 -4），且横纵截距相等的直线方程.4.直线L 经过M （3 -2）点，且和X 轴，Y 轴正方向所围成的三角形的面积为4（平方单位），求L 的方程.5.求过直线4x －2y －1=0与直线x －2y +5=0的交点且与两点P 1（0，4）、P 2(2,0)距离相等的直线方程.6.求直线x －y －2=0关于直线3x －y +3=0对称的直线方程.7.已知直线l 在y 轴上的截距为－3,且它与两坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线l 的方程. 8.已知直线l 与直线3x +4y －7=0的倾斜角相等，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求直线l 的方程.9.△ABC 的三个顶点为A (0，4)、B (－2,6)、C (8，2)，求此三角形各边上中线所在直线的方程. 10.过点(4，－3)的直线l 在两坐标轴上截距的绝对值相等，求直线l 的方程. 11.直线l 过点(1，2)和第一、二、四象限，若直线l 的横截距与纵截距之和为6，求直线l 的方程.12.在ABC ∆中，BC 边上的高所在直线的方程为A y x ∠=+-,012的平分线所在直线的方程为,0=y 如果点B 的坐标为（1，2），求边长BC 的长.13.已知直线x y l 4:=和点P （6，4），在直线l 上求一点Q ，使过PQ 的直线与直线l 及x 轴在第一象限内围成的三角形的面积最小.14.已知直线082:,0103:21=-+=+-y x l y x l ，定点)1,0(p ，直线l 过点p 和21,l l 分别交于B A ,两点，且p 是线段AB 的中点，求直线l 的方程.15.△ABC 的顶点B (3,4)，AB 边上的高CE 所在直线方程为2x +3y -16=0，BC 边上的中线AD 所在直线方程为2x -3y +1=0，求AC 的长.16.使三条直线4x+y =4,mx+y =0,2x －3my =4不能围成三角形的m 值最多有几个?17.一直线被两直线l 1：４x ＋y ＋6＝0，l 2：3x －5y －6＝0截得的线段的中点恰好是坐标原点，求该直线方程.18.已知点P (x 1,y 1)在直线l :Ax +By +C =0(B ＜0)的上方，求证：Ax 1＋By 1＋C ＜0.19.一直线l 经过点P (-4,3),分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，且使AP ：PB =5：3,求直线l 的方程. 20.一根弹簧，挂5公斤的物体时，长10cm ，挂8公斤的物体时长16cm ，已知弹簧长度l (cm)和所挂物体的重量W (公斤)的关系可以用直线方程来表示，用两点式表示这个方程，并且根据这个方程，求弹簧长为12cm 时所挂物体的重量.21.设同在一条平面上的动点P 、Q 的坐标分别是()y x ,、()Y X ,，并且坐标间存在关系,,123,123+-=-+=y x Y y x X当动点P 不在平行于坐标轴的直线l 上移动时，动点Q 在这条直线l 垂直且通过点()1,2的直线上移动，求直线l 的方程.22.若R ∈m ，则直线0)11()3()12(=--++-m y m x m 是否恒过定点，若过请求出定点的坐标.若不过，请说明理由.23.过点P (2，1）作直线l 交x ，y 正半轴于AB 两点，当｜PA ｜·｜PB ｜取到最小值时，求直线l 的方程.24.已知过原点O 的一条直线与函数y ＝log ８x 的图象交于A 、B 两点，分别过点A 、B 作y 轴的平行线与函数y ＝log 2x 的图象交于C 、D 两点.(1)求证点C 、D 和原点O 在同一条直线上.(2)当BC 平行于x 轴时，求点A 的坐标.25.已知一直线l 被两平行线3x ＋４y －7＝0和3x ＋４y ＋８＝0所截线段长为32，且l 过点(2，3)，求l 的方程.参考答案1.所求的直线方程为x y x y 212523-=-=或 2.直线l 的方程为01232=-+y x3. x y 34-= 01=++y x4. 042=-+y x5. 3x －2y +1=0和4x +2y －15=06. 7x+y +22=07. y =±43x －3 8. 3x +4y ±24=0. 9. x +3y －14=0,x +2y －10=0,y =4 10. x －y －7=0或x+y －1=0或3x +4y=0. 11. 2x +y -4=0和x +y -3=0. 12. 54 13. Q （2，8） 14.044=-+y x 15. 17)12()15(22=-+-=AC 16. 4 17.直线l 的方程为x ＋6y ＝0. 18.略 19. 9x -20y +96=0 20.弹簧长为12cm 时所挂物体的重量为6公斤 21. 0123=--y x 或.0182=-+y x22.过定点)3,2(- 23.直线l 的方程为：x ＋y －3＝024. A坐标为(3，log８3).25. x－7y＋19＝0或7x＋y－17＝0.。
高中数学第1章直线与方程2、3直线的一般式方程提升训练苏教版选择性必修第一册
直线的一般式方程基础过关练题组一直线的一般式方程1.(多选)(2020江苏镇江中学高二月考)下列说法中正确的是()A.平面上任一条直线都可以用一个关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)表示B.当C=0时,方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)表示的直线过原点C.当A=0,B≠0,C≠0时,方程Ax+By+C=0表示的直线与x轴平行D.任何一条直线的一般式方程都能与其他形式互化2.(2020江苏南京燕子矶中学高二月考)在平面直角坐标系中,直线x+y-3=0的倾斜角α是()A.π6B.π4C.5π6D.3π43.直线l:x sin30°-y cos30°+1=0的斜率是()A.√33B.√3 C.-√3 D.-√334.(2020江苏无锡辅仁高级中学高二月考)直线2x-y+1=0在x轴上的截距是()A.1B.-1C.-12D.125.(2020江苏常州洛阳高级中学高二阶段测试)若方程mx+(m2-m)y+1=0表示一条直线,则实数m的取值范围是.6.(2020江苏连云港东海石榴高级中学高二月考)根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式.(1)斜率是√3,且经过点A(5,3);(2)斜率为4,在y轴上的截距为-2;(3)经过A(-1,5),B(2,-1)两点;(4)在x轴,y轴上的截距分别为-3,-1.题组二直线方程几种形式的相互转化及其应用7.(2020江苏盐城伍佑中学高二期中)若ac<0,bc<0,则直线ax+by+c=0可能是 ()8.(2020重庆杨家坪中学高二期中)已知直线(2a+1)x+ay-2=0在两坐标轴上的截距相等,则实数a= ()A.-13B.1 C.-13或-1 D.-19.(2020江苏太仓高级中学高二月考)直线kx+y+2=-k,当k变化时,所有的直线都过点.10.直线Ax+By+C=0的斜率为5,且A-2B+3C=0,则直线的方程是.11.(2020江苏扬州邗江中学高二月考)若直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R)不经过第四象限,则k 的取值范围为.12.设直线l的方程为(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=-2m+6,根据下列条件分别确定m的值.(1)直线l在x轴上的截距为-3;(2)直线l的倾斜角为45°.能力提升练题组一 直线的一般式方程及其应用 1.()直线x +(a 2+1)y +1=0的倾斜角的取值范围是( )A.[0,π4] B.[0,π2)∪[3π4,π)C.(π2,π) D.[3π4,π)2.(2020江苏宿迁泗洪中学高二月考,)已知直线Ax +By +C =0不经过第一象限,且A ,B ,C 均不为零,则有 ( )A.C <0B.C >0C.BC >0D.BC <0 3.(2020江苏丹阳高级中学高二期中,)已知m ≠0,直线ax +3my +2a =0在y 轴上的截距为2,则直线的斜率为( )A.1B.-13C.-23D.2 4.()直线l 1:(2m 2-5m +2)x -(m 2-4)y +5=0的斜率与直线l 2:x -y +3=0的斜率相同,则m = .5.(2020江苏宿豫中学高二期中,)过点A (-2,√3)且与直线x -√3y +5=0成60°的直线的一般式方程是 .6.(2020江苏南京师范大学附属中学高一期中,)若直线l :x -(m +1)y +3m -2=0(m ∈R)在x轴,y 轴上的截距相等,则直线l 的方程为 . 7.(2020江苏连云港板浦高级中学高二月考,)已知直线l 的方程为x -√3y +√3=0.若直线l 1与l 在y 轴上的截距相等,且l 1的倾斜角是l 的倾斜角的2倍,求直线l 1的一般式方程.题组二直线的一般式方程的应用8.(多选)(2020广东深圳高二月考,)已知直线l:mx+y+1=0,则下列结论正确的是()A.直线l恒过定点(0,1)B.当m=0时,直线l的斜率不存在C.当m=1时,直线l的倾斜角为3π4D.当m=2时,直线l的斜率为-29.(2020江苏江都中学高一月考,)已知直线l1:ax-y+b=0,l2:bx-y-a=0,则它们的图象可能为()10.(2020江苏阜宁第一高级中学月考,)若直线(m2-1)x-y+1-2m=0不过第一象限,则实数m的取值范围是.11.(2020江苏仪征中学高二期中,)点P(x,y)在第一象限内,且点P在直线l:3x+2y=6上移动,则xy的最大值是.12.(2020江苏邳州运河中学高二期中,)已知直线l过点(2,1),且在x轴,y轴上的截距相等.(1)求直线l的一般式方程;(2)若直线l在x轴,y轴上的截距均不为0,点P(a,b)在直线l上,求3a+3b的最小值.13.(2020江苏溧阳中学高二期中,)在平面直角坐标系中,过点P(3,1)作直线l分别与x 轴正半轴、y轴正半轴交于点A,B.(1)若AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,求直线l的一般式方程;(2)求当AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值时直线l的方程.答案全解全析 基础过关练1.ABC 易知选项A 正确.对于选项B,当C =0时,方程Ax +By +C =0(A ,B 不全为0),即Ax +By =0,显然有A ×0+B ×0=0,即直线过原点O (0,0),故此说法正确.对于选项C,当A =0,B ≠0,C ≠0时,方程Ax +By +C =0可化为y =-AA ,它表示的直线与x 轴平行,故此说法正确.对于选项D,说法错误.例如,当B =0时,方程Ax +By +C =0不能化为斜截式. 故选ABC.2.D 易知直线的斜率k =-1,所以tan α=-1(0≤α<π),所以直线的倾斜角为3π4.故选D.3.A 由直线l 的方程x sin30°-y cos30°+1=0,得斜率为sin30°cos30°=tan30°=√33.故选A .4.C 令y =0,得x =-12,所以直线2x -y +1=0在x 轴上的截距是-12.故选C. 5.答案 m ≠0解析 要使得mx +(m 2-m )y +1=0表示一条直线,则m ,m 2-m 不全为零, 即{A ≠0,A 2-A ≠0,解得m ≠0.6.解析 (1)由直线的点斜式方程,得y -3=√3(x -5),即√3x -y -5√3+3=0. (2)由直线的斜截式方程,得y =4x -2,即4x -y -2=0. (3)由直线的两点式方程,得A -5-1-5=A -(-1)2-(-1),即2x +y -3=0. (4)由直线的截距式方程,得A -3+A-1=1,即x +3y +3=0. 7.C 由题意知,直线方程可化为y =-A A x -AA , ∵ac <0,bc <0,∴ab >0,∴-A A <0,-A A>0, 故直线的斜率小于0,在y 轴上的截距大于0. 故选C.8.D 易知直线不过原点,且2a +1和a 均不为0. 令x =0,得y =2A ;令y =0,得x =22A +1.因为直线(2a +1)x +ay -2=0在两坐标轴上的截距相等, 所以2A =22A +1,解得a =-1.故选D.9.答案 (-1,-2)解析 kx +y +2=-k 可化为y +2=-k (x +1),根据直线的点斜式方程可知,此直线恒过点(-1,-2). 10.答案 15x -3y -7=0解析 直线Ax +By +C =0化为斜截式方程为y =-A A x -A A ,所以-AA =5,即A =-5B ,① 将①代入A -2B +3C =0,可得C =73B ,② 将①②代入直线方程,得-5Bx +By +73B =0,消去B ,化简可得15x -3y -7=0, 故直线的方程是15x -3y -7=0. 11.答案 [0,+∞)解析 因为kx -y +1+2k =0可化为y -1=k (x +2),所以直线l 过定点(-2,1), 而(-2,1)为第二象限中的点,且直线l 不经过第四象限,故斜率k ≥0. 12.解析 (1)由题意得{A 2-2A -3≠0,-2A +6A 2-2A -3=-3,解得{A ≠3且A ≠-1,A =-13,所以m =-13.故当m =-13时,直线l 在x 轴上的截距为-3. (2)由题意得{2A 2+A -1≠0,-A 2-2A -32A 2+A -1=1,解得{A ≠12且A ≠-1,A =43,所以m =43.故当m =43时,直线l 的倾斜角为45°.能力提升练1.D 设直线的斜率为k ,则k =-1A 2+1,∴-1≤k <0,∴倾斜角的取值范围是[3π4,π).2.C ∵直线Ax +By +C =0不经过第一象限,且A ,B ,C 均不为零, ∴-A A <0,-A A<0,即AB >0,BC >0.故选C.3.A 令x =0,得y =-2A 3A ,因为直线在y 轴上的截距为2,所以-2A3A =2,所以a =-3m ,原直线化为-3mx +3my -6m =0,所以斜率k =1.故选A . 4.答案 3解析 易知m ≠±2.直线l 1的斜率为2A 2-5A +2A 2-4,直线l 2的斜率为1,则2A 2-5A +2A 2-4=1,即2m 2-5m +2=m 2-4,即m 2-5m +6=0,所以m =3. 5.答案 x =-2或x +√3y -1=0解析 由直线方程x -√3y +5=0,可得此直线的斜率为√33,倾斜角为30°, 则与该直线成60°的直线的倾斜角为90°或150°, 又所求直线过点A (-2,√3),所以所求直线方程为x =-2或y -√3=-√33(x +2), 化为一般式可得所求直线方程为x =-2或x +√3y -1=0, 故答案为x =-2或x +√3y -1=0 6.答案 x +y -8=0或3x -5y =0解析 由已知得m +1≠0,即m ≠-1.对于直线l :x -(m +1)y +3m -2=0,当直线l 不经过原点时,令y =0,可得x =-3m +2,令x =0,可得y =3A -2A +1,因为直线在x 轴,y 轴上的截距相等,所以3A -2A +1=-3m +2,解得m =-2(A =23舍去),故直线l 的方程为x +y -8=0.当直线l 经过原点时,3m -2=0,解得m =23,故直线l 的方程为3x -5y =0. 综上,所求直线l 的方程为x +y -8=0或3x -5y =0.7.解析 直线l 的方程为x -√3y +√3=0,令x =0,解得y =1,则直线l 在y 轴上的截距为1,∵直线l 1与l 在y 轴上的截距相等,∴直线l 1在y 轴上的截距为1. 设l 的倾斜角为θ,则tan θ=√33,θ∈[0,π),∴θ=π6.∵l 1的倾斜角是l 的倾斜角的2倍,∴l 1的倾斜角为2θ,∴tan2θ=tan π3=√3, ∴直线l 1的方程为y =√3x +1,即√3x -y +1=0.8.CD 直线l :mx +y +1=0,令x =0,得y =-1,∴直线l 恒过定点(0,-1),故选项A 错误; 当m =0时,直线l :y +1=0,斜率k =0,故选项B 错误; 当m =1时,直线l :x +y +1=0,斜率k =-1,倾斜角为3π4,故选项C 正确;当m =2时,直线l :2x +y +1=0,斜率k =-2,故选项D 正确. 故选CD.9.D 由直线l 1:ax -y +b =0,l 2:bx -y -a =0,可得l 1:y =ax +b ,l 2:y =bx -a.依次分析各选项中l 1和l 2的斜率和在y 轴上的截距.对于A,l 1中a >0,b >0,l 2中b <0,a <0,不符合题意; 对于B,l 1中a >0,b <0,l 2中b >0,a <0,不符合题意; 对于C,l 1中a <0,b >0,l 2中b <0,a <0,不符合题意; 对于D,l 1中a <0,b >0,l 2中b >0,a <0,符合题意.故选D. 10.答案 [12,1]解析 将直线方程化为y =(m 2-1)x +(1-2m ).因为直线不过第一象限,所以{A 2-1≤0,1-2A ≤0,解得12≤m ≤1.11.答案 32解析 ∵点P (x ,y )在第一象限内, ∴x >0,y >0,又∵点P 在直线l :3x +2y =6上移动, ∴6=3x +2y ≥2√6AA ,当且仅当3x =2y =3,即x =1,y =32时等号成立,∴xy ≤32,即xy 的最大值是32.12.解析 (1)①截距为0时,易得直线方程为y =12x ,即x -2y =0;②截距不为0时,设直线方程为A A +AA =1,代入(2,1),得t =3,则直线l 的方程为x +y -3=0. 综上,直线l 的一般式方程为x -2y =0或x +y -3=0.(2)由题意得l 的方程为x +y -3=0,∵点P (a ,b )在直线l 上,∴a +b =3,∴3a+3b≥11 2√3A ·3A =2√3A +A =6√3,当且仅当a =b =32时等号成立,∴3a +3b 的最小值是6√3.13.解析 设A (a ,0),B (0,b ),a >0,b >0.(1)∵AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴(3-a ,1)=12(-3,b -1),即{3-A =-32,1=A -12,解得{A =92,A =3,∴直线l 的方程为A 92+A 3=1,即2x +3y -9=0. (2)∵A ,P ,B 三点共线,∴13-A =1-A 3,整理得3A +1A =1,∴AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3-a ,1)·(-3,b -1) =3a +b -10=(3a +b )(3A +1A )-10=3A A +3A A ≥2√3A A ×3A A =6,当且仅当3A A =3A A ,即a =b =4时等号成立. ∴直线l 的方程为A 4+A 4=1,即x +y -4=0.。
高二数学 上学期直线的方程例题一 试题
高二数学 上学期直线的方程例题〔一〕A (1,2),且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积是4,求这条直线的方程.解:由,可设直线方程为1=+by a x 又因直线过点A (1,2),所以121=+b a 所求直线与两坐标轴正半轴相交,故.421,0,0=ab b a 且 ⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧==+∴42(2) 8(1) 121b a ab b a 解得 ∴所求直线方程为142=+y x 即042=-+y x . 0653:,064:21=--=++y x l y x l 截得的线段的中点,恰好是坐标原点,求该直线方程.解:设所求直线与1l 、2l 的交点分别是A 、B ，设A 〔x 0,y 0〕因为A 、B 分别在1l 、2l 上，所以⎩⎨⎧=-+-=++(2)0653(1) 0640000y x y x ①+②得：,0600=+y x 即点A 在直线06=+y x 上，又直线06=+y x 过原点，所以直线l 的方程为：06=+y x例3．直线的斜率为61，且和坐标轴围成面积为3的三角形，求该直线的方程. 说明：由题意知所围三角形为直角三角形，而根据直角三角形面积公式，直线方程应设为截距式较好.解:设直线方程为1=+by a x ∵直线斜率61=k ,∴61=-a b . 又,321=ab 解得⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=-=1616b a b a 或所求直线方程为：066066=--=+-y x y x 或例3．过点P 〔2，1〕作直线l 交x ，y 正半轴于A 、B 两点，当PB PA ⋅取到最小值时，求直线l 的方程. 解:设直线l 的方程为)2(1-=-x k y ,分别令00==x y 和得)21,0(),0,12(k B kA -- 4248)1(48)44)(11(2222=⨯+≥++=++=⋅∴kk k k BP AP 当且仅当PB PA k k ⋅±==,112时即取到最小值4.又1,0-=∴k k所以直线l 的方程为:03=-+y x说明:此题在求解过程中运用了根本不等式,同时应注意结合直线与坐标轴正半轴相交而排除1=k 这一情形.A (1,4)是纵横截距的绝对值相等的直线一共有( )条说明:此题应注意直线方程截距式的适用前提是横、纵截距都存在且都不为零，同时注意体会分类讨论思想。
高中数学必修二直线与方程典型例题
第三章 直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率3.1．1 倾斜角与斜率【知识点归纳】1.直线的倾斜角：2.直线的斜率：3.直线的斜率公式：【典型例题】题型 一 求直线的倾斜角例 1 已知直线l 的斜率的绝对值等于3，则直线的倾斜角为( ).A.60°B.30°C.60°或120°D.30°或150°变式训练：设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线1l ，则1l 的倾斜角为( )。
A.45α+︒B.135α-︒C.135α︒-D.当0°≤α＜135°时为45α+︒，当135°≤α＜180°时，为135α-︒题型 二 求直线的斜率例 2如图所示菱形ABCD 中∠BAD =60°，求菱形ABCD 各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率.变式训练： 已知过两点22(2,3)A m m +-,2(3,2)B m m m --的直线l 的倾斜角为45°，求实数m 的值.题型 三 直线的倾斜角与斜率的关系例3右图中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则( ).A .k 1＜k 2＜k 3 B.k 3＜k 1＜k 2 C.k 3＜k 2＜k 1 D.k 1＜k 3＜k 2拓展 一 三点共线问题例4 已知三点A (a ，2)、B (3，7)、C (-2，-9a )在一条直线上，求实数a 的值．变式训练:若三点P (2，3)，Q (3，a )，R (4，b )共线，那么下列成立的是( ).A ．4,5a b ==B ．1b a -=C ．23a b -=D ．23a b -=拓展 二 与参数有关问题例 5 已知两点A (-2,- 3) ,B (3,0) ,过点P (-1,2)的直线l 与线段AB 始终有公共点，求直线l 的斜率k 的取值范围.变式训练：已知(2,3),(3,2)A B ---两点，直线l 过定点(1,1)P 且与线段AB 相交，求直线l 的斜率k 的取值范围.拓展 三 利用斜率求最值例 6 已知实数x 、y 满足28,x y +=当2≤x ≤3时，求y x 的最大值与最小值。
直线与方程练习题高二
直线与方程练习题高二直线与方程是高二数学中的重要内容，掌握直线与方程的相关知识对于解决各种问题具有重要作用。
下面是一些直线与方程的练习题，帮助你巩固相关知识点。
题目一：已知直线L1过点A(-1, 3)和点B(5, -1)，直线L2垂直于直线L1且过点B，求L2的方程。
解析：直线L1的斜率为：m1 = (y2 - y1)/(x2 - x1) = (-1 - 3)/(5 - (-1)) = -1直线L2的斜率为直线L1的斜率的倒数，即：m2 = -1/m1 = -1/-1 = 1直线L2通过点B(5, -1)，带入直线方程y = mx + b中，可得：-1 = 1*5 + bb = -6所以直线L2的方程为：y = x - 6题目二：已知直线L1过点C(2, 3)和点D(4, 7)，直线L2平行于直线L1且通过点D，求L2的方程。
解析：直线L1的斜率为：m1 = (y2 - y1)/(x2 - x1) = (7 - 3)/(4 - 2) = 2直线L2为平行于直线L1，故斜率也为2，直线L2通过点D(4, 7)，带入直线方程y = mx + b中，可得：7 = 2*4 + bb = -1所以直线L2的方程为：y = 2x - 1题目三：已知直线L1经过点E(2, -1)和点F(6, 5)，直线L2与直线L1垂直且过点E，求L2的方程。
解析：直线L1的斜率为：m1 = (y2 - y1)/(x2 - x1) = (5 - (-1))/(6 - 2) = 1直线L2的斜率为直线L1的斜率的倒数，即：m2 = -1/m1 = -1/1 = -1直线L2通过点E(2, -1)，带入直线方程y = mx + b中，可得：-1 = -2 + bb = 1所以直线L2的方程为：y = -x + 1题目四：已知直线L1经过点G(3, 2)和点H(7, 6)，直线L2与直线L1平行且通过点H，求L2的方程。
解析：直线L1的斜率为：m1 = (y2 - y1)/(x2 - x1) = (6 - 2)/(7 - 3) = 1直线L2为平行于直线L1，故斜率也为1，直线L2通过点H(7, 6)，带入直线方程y = mx + b中，可得：6 =7 + bb = -1所以直线L2的方程为：y = x - 1通过以上练习题，可以看出掌握直线与方程的相关知识对于解题非常关键。
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【知识点一：倾斜角与斜率】（1）直线的倾斜角①关于倾斜角的概念要抓住三点：1、与x 轴相交；2、x 轴正向；3、直线向上方向。
②直线与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为00 ③倾斜角α的范围00180α≤<（2）直线的斜率①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为090的直线斜率不存在. 记作tan kα=0(90)α≠⑴当直线l 与x 轴平行或重合时, 00α=,0tan 00k ==⑵当直线l 与x 轴垂直时,090α=,k 不存在.②经过两点1112212(,),(,)P x y P x y x x ≠（）的直线的斜率公式是2121y y k x x -=-③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率. （3）求斜率的一般方法：①已知直线上两点，根据斜率公式212121()y y k x x x x -=≠-求斜率；②已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数根据tan k α=来求斜率；（4）利用斜率证明三点共线的方法：已知112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，若123AB BC x x x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。
【知识点二：直线平行与垂直】（1）两条直线平行：对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有2121 // k k l l =⇔ 特别地，当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行（2）两条直线垂直：如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则有1- 2121=⋅⇔⊥k k l l 注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直；反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。
如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直. （2）线段的中点坐标公式【知识点四 直线的交点坐标与距离】 （1）两条直线的交点设两条直线的方程是1111:0l A x B y C ++=, 2222:0l A x B y C ++=两条直线的交点坐标就是方程组1112220A xB yC A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解。
①若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标； ②若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行. （2）几种距离两点间的距离：平面上的两点111222(,),(,)P x y P x y 间的距离公式 特别地，原点(0,0)O 与任一点(,)P x y 的距离22||OP x y =+点到直线的距离：点00(,)o P x y 到直线0Ax By C++=的距离两条平行线间的距离：两条平行线1200Ax By C Ax By C ++=++=与间的距离 注:1求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式；2求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算。
需要更多的高考数学复习资料【例】已知，，直线l 过原点O 且与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是（ ）A BC D答案：B分析：由于直线l 与线段AB 有公共点，故直线l 的斜率应介于OA ，OB 斜率之间． 解：由题意，，，由于直线l 与线段AB 有公共点，所以直线l 的斜率的取值范围是考点：本题主要考查直线的斜率公式，考查直线l 与线段AB 有公共点，应注意结合图象理解． 【例】在坐标平面内，与点A （1，2）距离为1，且与点B （3，1）距离为2的直线共有（ ） A 1条 B 2条 C 3条 D 4条 答案：B分析：由题意，A 、B 到直线距离是1和2，则以A 、B 为圆心，以1、2为半径作圆，两圆的公切线的条数即可．解：分别以A 、B 为圆心，以1、2为半径作圆，两圆的公切线有两条，即为所求． 考点：本题考查点到直线的距离公式，考查转化思想精讲精练【例】方程1=+y x 所表示的图形的面积为_________。
答案：2解：方程1=+y x 所表示的图形是一个正方形，其边长为2【例】设),0(为常数k k k b a ≠=+，则直线1=+by ax 恒过定点 ．答案：11(,)k k解：1=+by ax 变化为()1,()10,ax k a y a x y ky +-=-+-=对于任何a R ∈都成立，则010x y ky -=⎧⎨-=⎩【例】一直线过点(3,4)M -，并且在两坐标轴上截距之和为12，这条直线方程是__________．答案：4160x y -+=，或390x y +-= 解：设444(3),0,3;0,34;33412y k x y x x y k k k k---=+==-==+-++= 【例】已知A （1，2），B （3，4），直线l 1：x=0，l 2：y=0和l 3：x+3y ﹣1=0、设P i 是l i （i=1，2，3）上与A 、B 两点距离平方和最小的点，则△P 1P 2P 3的面积是________ 答案：分析：设出P 1，P 2，P 3，求出P 1到A ，B 两点的距离和最小时，P 1坐标，求出P 2，P 3的坐标，然后再解三角形的面积即可．解：设P 1（0，b ），P 2（a ，0），P 3（x 0，y 0） 由题设点P 1到A ，B 两点的距离和为显然当b=3即P 1（0，3）时，点P 1到A ，B 两点的距离和最小，同理P 2（2，0），P 3（1，0），所以 考点：本题考查得到直线的距离公式，函数的最值，考查函数与方程的思想，是中档题．【例】已知直线（a ﹣2）y=（3a ﹣1）x ﹣1，为使这条直线不经过第二象限，则实数a 的范围是___ ___ 答案：[2，+∞）分析：由已知中直线（a ﹣2）y=（3a ﹣1）x ﹣1不经过第二象限，我们分别讨论a ﹣2=0（斜率不存在），a ﹣2≠0（斜率存在）两种情况，讨论满足条件的实数a 的取值，进而综合讨论结果，得到答案． 解：若a ﹣2=0，即a=2时，直线方程可化为x=，此时直线不经过第二象限，满足条件； 若a ﹣2≠0，直线方程可化为y=x ﹣，此时若直线不经过第二象限，则≥0，≥0，解得a ＞0综上满足条件的实数a 的范围是[2，+∞）考点：本题考查的知识点是确定直线位置的几何要素，其中根据直线的斜截式方程中，当k≥0且b≤0时，直线不过第二象限得到关于a 的不等式组，是解答本题的关键，但解答时，易忽略对a ﹣2=0（斜率不存在）时的讨论，而错解为（2，+∞）。
【例】过点(5,4)A --作一直线l ，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5。
解：设直线为4(5),y k x +=+交x 轴于点4(5,0)k-，交y 轴于点(0,54)k -， 得22530160k k -+=，或22550160k k -+= 解得2,5k =或 85k = 25100x y ∴--=，或85200x y -+=为所求。
【例】直线313y x =-+和x 轴，y 轴分别交于点,A B ，在线段AB 为边在第一象限内作等边△ABC ，如果在第一象限内有一点1(,)2P m 使得△ABP 和△ABC 的面积相等，求m 的值。
解：由已知可得直线//CP AB ，设CP 的方程为3,(1)3y x c c =-+> 则33,32113AB c =⨯==+，33y x =-+过1(,)2P m 得13533,232m m =-+= 【例】已知点(1,1)A ，(2,2)B ，点P 在直线x y 21=上，求22PB PA +取得最小值时P 点的坐标。
解：设(2,)P t t ，则2222222(21)(1)(22)(2)101410PA PB t t t t t t +=-+-+-+-=-+当710t =时，22PB PA +取得最小值，即77(,)510P【例】求函数22()2248f x x x x x =-++-+的最小值。
解：2222()(1)(01)(2)(02)f x x x =-+-+-+-可看作点(,0)x 到点(1,1)和点(2,2)的距离之和，作点(1,1)关于x 轴对称的点(1,1)-22min ()1310f x ∴=+=【例】在△ABC 中，已知BC 边上的高所在直线的方程为x ﹣2y+1=0，∠ A 的平分线所在直线的方程为y=0．若点B 的坐标为（1，2），求点C 的坐标．分析：根据三角形的性质解A 点，再解出AC 的方程，进而求出BC 方程，解出C 点坐标．逐步解答． 解：点A 为y=0与x ﹣2y+1=0两直线的交点，∴ 点A 的坐标为（﹣1，0）． ∴ k AB ==1．又∵∠A 的平分线所在直线的方程是y=0，∴ k AC =﹣1． ∴ 直线AC 的方程是y=﹣x ﹣1． 而BC 与x ﹣2y+1=0垂直，∴ k BC =﹣2． ∴ 直线BC 的方程是y ﹣2=﹣2（x ﹣1）． 由y=﹣x ﹣1，y=﹣2x+4， 解得C （5，﹣6）考点：直线的点斜式方程。
本题可以借助图形帮助理解题意，将条件逐一转化求解 【例】直线l 过点P （2，1），且分别与x ，y 轴的正半轴于A ，B 两点，O 为原点． （1）求△AOB 面积最小值时l 的方程； （2）|PA|?|PB|取最小值时l 的方程．分析：（1）设AB 方程为，点P （2，1）代入后应用基本不等式求出ab 的最小值，即得三角形OAB 面积面积的最小值．（2）设直线l 的点斜式方程，求出A ，B 两点的坐标，代入|PA|?|PB|的解析式，使用基本不等式，求出最小值，注意检验等号成立条件． 解：（1）设A （a ，0）、B （0，b ），a ＞0，b ＞0，AB 方程为，点P （2，1）代入得≥2，∴ab≥8 （当且仅当a=4，b=2时，等号成立），故三角形OAB 面积S=ab≥4，此时直线方程为：，即x+2y ﹣4=0．（2）设直线l ：y ﹣1=k （x ﹣2），分别令y=0，x=0，得A （2﹣，0），B （0，1﹣2k ）． 则|PA|?|PB|==≥4，当且仅当k 2=1，即k=±1时，|PA|?|PB|取最小值， 又∵ k ＜0，∴ k=﹣1，这时l 的方程为x+y ﹣3=0．考点：本题考查直线在坐标轴上的截距的定义，直线的截距式方程，以及基本不等式的应用． 【例】求倾斜角是直线y ＝－3x ＋1的倾斜角的14，且分别满足下列条件的直线方程：(1)经过点(3，－1)；(2)在y 轴上的截距是－5.解：∵直线的方程为y ＝－3x ＋1，∴k ＝－3，倾斜角α＝120°，由题知所求直线的倾斜角为30°，即斜率为33. (1)∵直线经过点(3，－1)，∴所求直线方程为y ＋1＝33(x －3)，即3x －3y －6＝0.(2)∵直线在y 轴上的截距为－5，∴由斜截式知所求直线方程为y ＝33x －5，即3x －3y －15＝0. 【例】已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 交x 负半轴于A ，交y 正半轴于B ，△AOB 的面积为S ，试求S 的最小值并求出此时直线l 的方程。