《直线与方程》教案+例题精析
高中数学必修二《直线与方程》教案设计
高中数学必修二《直线与方程》教案设计一、教学目标1.知识目标：o学生能够掌握直线的点斜式、两点式和一般式方程的表达形式及其相互转换。
o学生能够理解直线方程中斜率、截距的概念，并能根据给定条件求出直线方程。
o学生能够运用直线方程解决简单的几何问题，如求两直线的交点、判断两直线是否平行或垂直。
2.能力目标：o培养学生的逻辑思维能力和抽象思维能力，通过直线方程的学习，提高数学建模能力。
o提高学生的运算能力，能够熟练进行直线方程的推导和计算。
o增强学生的问题解决能力，能够运用所学知识解决实际问题。
3.情感态度价值观目标：o培养学生严谨的数学学习态度，注重逻辑推理和证明过程。
o激发学生的学习兴趣，鼓励学生积极探索数学奥秘，培养数学学习的自信心。
o培养学生的合作精神，通过小组讨论和合作学习，提高团队协作能力。
二、教学内容-重点：直线的点斜式、两点式和一般式方程的表达及相互转换；斜率、截距的概念及应用。
-难点：直线方程的应用，如求两直线的交点、判断两直线的位置关系。
三、教学方法-讲授法：用于直线方程的基本概念和理论的讲解。
-讨论法：通过小组讨论，加深学生对直线方程的理解和应用。
-案例分析法：通过具体案例分析，提高学生解决实际问题的能力。
-多媒体教学法：利用多媒体资源，如、动画等，直观展示直线方程的图形和推导过程。
四、教学资源-教材：《高中数学必修二》-教具：黑板、粉笔、直尺、圆规-多媒体资源：课件、直线方程推导动画、几何画板软件-实验器材：无需特定实验器材五、教学过程六、课堂管理1.小组讨论：每组4-5人，确保每组成员水平均衡，指定小组长负责协调讨论和记录。
2.维持纪律：明确课堂规则，如举手发言、不打断他人讲话等，对违规行为及时提醒和处理。
3.激励策略：对积极参与讨论、表现突出的学生给予表扬和奖励，如加分、小礼品等。
七、评价与反馈1.课堂小测验：每节课结束前进行小测验，检查学生对本节课内容的掌握情况。
2.课后作业：布置适量的课后作业，巩固所学知识，要求学生按时完成并提交。
直线与方程知识梳理、典型例题讲解与习题
直线与方程知识梳理、典型例题讲解与习题一、复习引入介绍斜率概念、两条直线平行与垂直的判断公式，直线方程的三种形式。
（1）两条直线平行：对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有2121 // k k l l =⇔ 特别地，当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行（2）两条直线垂直：如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则有1- 2121=⋅⇔⊥k k l l（3）（1）两条直线的交点设两条直线的方程是1111:0l A x B y C ++=, 2222:0l A x B y C ++=两条直线的交点坐标就是方程组11122200A xB yC A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解。
①若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；②若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行.（4）几种距离两点间的距离：平面上的两点111222(,),(,)P x y P x y 间的距离公式22122121||()()PP x x y y =-+-特别地，原点(0,0)O 与任一点(,)P x y 的距离22||OP x y =+点到直线的距离：点00(,)o P x y 到直线0Ax By C ++=的距离0022||Ax By C d A B ++=+两条平行线间的距离：两条平行线1200Ax By C Ax By C ++=++=与间的距离1222||C C d A B -=+二、课堂讲解讲解、.一直线被两直线0653:,064:21=--=++y x l y x l 截得线段的中点是P 点，当P 点分别为(0,0)，(0,1)时，求此直线方程。
.解：由4603560x y x y ++=⎧⎨--=⎩得两直线交于2418(,)2323-，记为2418(,)2323A -，则直线AP 垂直于所求直线l ，即43l k =，或245l k =43y x ∴=，或2415y x -=，即430x y -=，或24550x y -+=为所求。
高一数学必修2 直线与方程 精讲
一、直线的一般式方程【知识要点】1. 一般式：0A x B y C ++=，注意A 、B 不同时为0. 直线一般式方程0(0)Ax By C B ++=≠化为斜截式方程A C y x B B =--，表示斜率为A B -，y 轴上截距为CB-的直线. 2 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线，可设所求方程为'0Ax By C ++=； 与直线0Ax By C ++=垂直的直线，可设所求方程为'0Bx Ay C -+=. 过点00(,)P x y 的直线可写为00()()0A x x B y y -+-=.经过点0M ，且平行于直线l 的直线方程是00()()0A x x B y y -+-=； 经过点0M ，且垂直于直线l 的直线方程是00()()0B x x A y y ---=.3. 已知直线12,l l 的方程分别是：1111:0l A x B y C ++=（11,A B 不同时为0），2222:0l A x B y C ++=（22,A B 不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别： （1）1212120l l A A B B ⊥⇔+=；（2）1212211221//0,0l l A B A B AC A B ⇔-=-≠； （3）1l 与2l 重合122112210,0A B A B AC A B ⇔-=-=； （4）1l 与2l 相交12210A B A B ⇔-≠.如果2220A B C ≠时， 则11112222//A B C l l A B C ⇔=≠； 1l 与2l 重合111222A B C A B C ⇔==； 1l 与2l 相交1122A BA B ⇔≠. 【经典例题】例1、已知直线1l ：220x my m +--=，2l ：10mx y m +--=，问m 为何值时： （1）12l l ⊥； （2）12//l l .例2、（1）求经过点(3,2)A 且与直线420x y +-=平行的直线方程；（2）求经过点(3,0)B 且与直线250x y +-=垂直的直线方程.例3、已知直线l 的方程为3x +4y －12=0，求与直线l 平行且过点（－1，3）的直线的方程．例4、直线方程0Ax By C ++=的系数A 、B 、C 分别满足什么关系时，这条直线分别有以下性质?（1）与两条坐标轴都相交； （2）只与x 轴相交；（3）只与y 轴相交； （4）是x 轴所在直线； （5）是y 轴所在直线.【经典练习】1．如果直线0Ax By C ++=的倾斜角为45︒，则有关系式（ ）.A. A B =B. 0A B +=C. 1AB =D. 以上均不可能 2．若0a b c -+=，则直线0ax by c ++=必经过一个定点是（ ）. A. (1,1) B. (1,1)- C. (1,1)- D. (1,1)-- 3．直线1(0)ax by ab +=≠与两坐标轴围成的面积是（ ）. A ．12ab B ．1||2ab C ．12ab D ．12||ab 4． 直线（32-）x +y =3和直线x +（23-）y =2的位置关系是（ ）. A. 相交不垂直 B. 垂直 C. 平行D. 重合5．已知直线mx +ny +1=0平行于直线4x +3y +5=0，且在y 轴上的截距为13，则m ，n 的值分别为（ ）.A. 4和3B. －4和3C. －4和－3D. 4和－3 6．若直线x +a y+2=0和2x +3y +1=0互相垂直，则a = .7．过两点（5，7）和（1，3）的直线一般式方程为 ；若点（a ，12）在此直线上，则a ＝ ． 8．根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式： （1）斜率是－12，经过点A （8，－2）； （2）经过点B (4，2)，平行于x 轴； （3）在x 轴和y 轴上的截距分别是32,－3； （4）经过两点1P （3，－2）、2P （5，－4）.9．已知直线12,l l 的方程分别是：1111:0l A x B y C ++=（11,A B 不同时为0），2222:0l A x B y C ++=（22,A B 不同时为0），且12120A A B B +=. 求证12l l ⊥.10．已知直线1:60l x my ++=，2:(2)320l m x y m -++=，求m 的值，使得：（1）l 1和l 2相交； （2）l 1⊥l 2； （3）l 1//l 2； （4）l 1和l 2重合.二、两条直线的交点坐标【知识要点】1. 一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组1112220A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩.若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标； 若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合.2. 方程111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=为直线系，所有的直线恒过一个定点， 其定点就是1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=的交点.【经典例题】例1、判断下列各对直线的位置关系. 如果相交，求出交点坐标. （1）直线l 1: 2x －3y +10=0 , l 2: 3x +4y －2=0； （2）直线l 1: 1nx y n -=-, l 2: 2ny x n -=.例2、求经过两条直线280x y +-=和210x y -+=的交点，且平行于直线4370x y --=的直线方程.例3、已知直线(2)(31)1a y a x -=--. 求证：无论a 为何值时直线总经过第一象限.例4、若直线l ：y ＝kx 3-与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，求直线l 的倾斜角的取值范围.【经典练习】1．直线3510x y +-=与4350x y +-=的交点是（ ）. A. (2,1)- B. (3,2)- C. (2,1)- D. (3,2)-2．直线1:(21)2l x y -+=与直线2:(21)3l x y ++=的位置关系是（ ）. A. 平行 B. 相交 C. 垂直 D. 重合3．已知直线12,l l 的方程分别为 1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=，且12l l 与只有一个公共点，则（ ）.A. 11220A B A B -≠B. 12210A B A B -≠C.1122A B A B ≠D. 1212A AB B ≠ 4．经过直线240x y -+=与50x y -+=的交点，且垂直于直线20x y -=的直线的方程是（ ）.A. 280x y +-=B. 280x y --=C. 280x y ++=D. 280x y -+= 5．直线a x ＋2y ＋８＝0，4x ＋3y ＝10和2x －y ＝10相交于一点，则a 的值为（ ）. A. 1 B. －1 C. 2 D. －26．直线1l ：2x ＋3y ＝12与2l ：x －2y ＝４的交点坐标为 .7．（07年上海卷.理2）若直线1210l x my ++=： 与直线231l y x =-：平行，则m = ． 8．已知直线l 1: 2x -3y +10=0 , l 2: 3x +4y -2=0. 求经过l 1和l 2的交点，且与直线l 3: 3x -2y +4=0垂直的直线l 的方程.9．试求直线1:l 20x y --=关于直线2l :330x y -+=对称的直线l 的方程.10．已知直线方程为(2+λ)x +(1-2λ)y +4-3λ=0. （1）求证不论λ取何实数值，此直线必过定点；（2）过这定点引一直线，使它夹在两坐标轴间的线段被这点平分，求这条直线方程.三、两点间的距离【知识要点】1. 平面内两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，则两点间的距离为：22121212||()()PP x x y y =-+-. 特别地，当12,P P 所在直线与x 轴平行时，1212||||PP x x =-； 当12,P P 所在直线与y 轴平行时，1212||||PP y y =-；当12,P P 在直线y kx b =+上时，21212||1||PPk x x =+-. 2. 坐标法解决问题的基本步骤是：（1）建立坐标系，用坐标表示有关量； （2）进行有关代数运算；（3）把代数运算的结果“翻译”成几何关系.【经典例题】例1、在直线20x y -=上求一点P ，使它到点(5,8)M 的距离为５，并求直线PM 的方程.例2、直线2x －y －4=0上有一点P ，求它与两定点A (4，－1)，B (3，4)的距离之差的最大值.例3、如图，已知函数2()1f x x =+，设,a b R ∈，且a b ≠，求证|()()|f a f b -<||a b -.oxA (1,a )B (1,b )y【经典练习】1．已知(2,1),(2,5)A B --，则|AB |等于（ ）. A. 4 B.10 C. 6 D. 2132．已知点(2,1),(,3)A B a --且||5AB =，则a 的值为（ ）. A. 1 B. －5 C. 1或－5 D. －1或53．点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，线段AB 的中点M 的坐标是(3,4)，则||AB 的长为（ ）. A. 10 B. 5 C. 8 D. 64．已知(1,2),(0,4)A B -，点C 在x 轴上，且AC =BC ，则点C 的坐标为（ ）. A. 11(,0)2-B. 11(0,)2-C. 11(0,)2D. 11(,0)25．已知点(1,3),(5,1)M N -，点(,)P x y 到M 、N 的距离相等，则点(,)P x y 所满足的方程是（ ）.A. 380x y +-=B. 340x y --=C. 390x y -+=D. 380x y -+= 6．已知(7,8),(10,4),(2,4)A B C -，则BC 边上的中线AM 的长为 . 7．已知点P （2，－4）与Q （0，8）关于直线l 对称，则直线l 的方程为 . 8．已知点(1,2),(3,4),(5,0)A B C ，判断ABC ∆的类型．9．已知(1,0)(1,0)M N -、，点P 为直线210x y --=上的动点．求22PM PN +的最小值，及取最小值时点P 的坐标．四、点到直线的距离及两平行线距离【知识要点】1. 点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离公式为0022||Ax By C d A B++=+.2. 利用点到直线的距离公式，可以推导出两条平行直线11:0l Ax By C ++=，22:0l Ax By C ++=之间的距离公式1222||C C d A B-=+，推导过程：在直线2l 上任取一点00(,)P x y ，则0020Ax By C ++=，即002Ax By C +=-. 这时点00(,)P x y 到直线11:0l Ax By C ++=的距离为001122222||||Ax By C C C d A BA B++-==++.【经典例题】例1、求过直线1110:33l y x =-+和2:30l x y -=的交点并且与原点相距为1的直线l 的方程.例2、在函数24y x =的图象上求一点P ，使P 到直线45y x =-的距离最短，并求这个最短的距离.例3、求证直线L ：(2)(1)(64)0m x m y m +-+-+=与点(4,1)P -的距离不等于3.例4、求直线1:2310l x y +-=与2:4650l x y +-=的正中平行直线方程. .【经典练习】1．点（0，5）到直线y =2x 的距离是（ ）.A. 52B. 5C. 32D. 522．动点P 在直线40x y +-=上，O 为原点，则OP 的最小值为（ ）.A.10 B. 22 C. 6 D. 23．（03年全国卷）已知点(,2)(0)a a >到直线:30l x y -+=的距离为1，则a =（ ）. A ．2 B ．－2C ．21-D ．21+4．两平行直线51230102450x y x y ++=++=与间的距离是（ ）.A.213 B. 113C. 126D. 5265．直线l 过点P (1，2)，且M (2，3)，N (4，－5)到l 的距离相等，则直线l 的方程是（ ）.A. 4x+y －6=0B. x +4y －6=0C. 2x +3y －7=0或x +4y －6=0D. 3x +2y －7=0或4x+y －6=0 6．两平行直线2y x =和25y x =+间的距离是 .7．与直线l ：51260x y -+=平行且到l 的距离为2的直线的方程为 .8．（1）已知点A （a ，6）到直线3x －4y ＝2的距离d =4，求a 的值.（2）在直线30x y +=求一点P , 使它到原点的距离与到直线320x y +-=的距离相等.五、直线与方程复习【知识要点】理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；能根据两条直线的斜率判定平行或垂直；握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式）；能用解方程组的方法求两直线的交点坐标；掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.【经典例题】例1、设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且｜P A ｜＝｜PB ｜，若直线PA 的方程为10x y -+=，则直线PB 的方程是（ ）.A.240x y --=B. 210x y --= 2C.50x y +-=D.270x y +-=例2、一直线被两直线1l ：460x y ++=，2l ：3560x y --=截得的线段的中点恰好是坐标原点，求该直线方程.例3、光线从A （－3，4）点射出，到x 轴上的B 点后，被x 轴反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射线恰好过点D （－1，6），求BC 所在直线的方程.【经典练习】1． 在x 轴和y 轴上的截距分别为－2、3的直线方程是（ ）. A. 2360x y --= B. 3260x y --=C. 3260x y -+=D. 2360x y -+=2．若直线0Ax By C ++=通过第二、三、四象限，则系数A 、B 、C 需满足条件（ ）. A. A 、B 、C 同号 B. AC ＜0，BC ＜0C. C ＝0，AB ＜0D. A ＝0，BC ＜03． 到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是（ ）. A. x －y =0B. x +y =0C. |x |－y =0D. |x |－|y |=04．下列四种说法中的正确的是（ ）.A. 经过定点P 0（x 0，y 0）的直线都可以用方程y －y 0=k （x －x 0）表示B. 经过任意两个不同点111222(,),(,)P x y P x y 的直线都可以用方程121121()()()()y y x x x x y y --=--表示C. 不经过原点的直线都可以用方程1x ya b+=表示 D. 经过定点A （0，b ）的直线都可以用方程y =kx +b 表示5．已知点(0,1)P -，点Q 在直线x -y +1=0上，若直线PQ 垂直于直线x +2y -5=0，则点Q 的坐标是（ ）.A ．（－2，1）B ．（2，1）C ．（2，3）D ．（－2，－1） 6．已知两点A （1，－1）、B （3，3），点C （5，a ）在直线AB 上，则实数a 的值是 . 7．点P 在直线x +y -4=0上，O 为原点，则|OP |的最小值是 . 8．求经过直线772400x y x y +-=-=和的交点，且与原点距离为125的直线方程．9．已知点A 的坐标为(4,4)-，直线l 的方程为3x ＋y －2＝0，求：（1）点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标； （2）直线l 关于点A 的对称直线l '的方程.第24讲 §3.2.3 直线的一般式方程¤学习目标：根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的一般式，体会一般式与直线其它方程形式之间的关系.¤知识要点：1. 一般式（general form ）：0A x B y C ++=，注意A 、B 不同时为0. 直线一般式方程0(0)Ax By C B ++=≠化为斜截式方程A C y x B B =--，表示斜率为A B -，y 轴上截距为CB-的直线.2 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线，可设所求方程为'0Ax By C ++=；与直线0Ax By C ++=垂直的直线，可设所求方程为'0Bx Ay C -+=. 过点00(,)P x y 的直线可写为00()()0A x x B y y -+-=.经过点0M ，且平行于直线l 的直线方程是00()()0A x x B y y -+-=； 经过点0M ，且垂直于直线l 的直线方程是00()()0B x x A y y ---=.3. 已知直线12,l l 的方程分别是：1111:0l A x B y C ++=（11,A B 不同时为0），2222:0l A x B y C ++=（22,A B 不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别： （1）1212120l l A A B B ⊥⇔+=； （2）1212211221//0,0l l A B A B AC A B ⇔-=-≠； （3）1l 与2l 重合122112210,0A B A B AC A B ⇔-=-=； （4）1l 与2l 相交12210A B A B ⇔-≠. 如果2220A B C ≠时，则11112222//A B C l l A B C ⇔=≠；1l 与2l 重合111222A B CA B C ⇔==；1l 与2l 相交1122A B A B ⇔≠. ¤例题精讲：【例1】已知直线1l ：220x my m +--=，2l ：10mx y m +--=，问m 为何值时： （1）12l l ⊥； （2）12//l l .解：（1）12l l ⊥时，12120A A B B +=，则110m m ⨯+⨯=，解得m ＝0.（2）12//l l 时，12211m m m m--=≠--, 解得m ＝1. 【例2】（1）求经过点(3,2)A 且与直线420x y +-=平行的直线方程； （2）求经过点(3,0)B 且与直线250x y +-=垂直的直线方程. 解：（1）由题意得所求平行直线方程4(3)(2)0x y -+-=，化为一般式4140x y +-=. （2） 由题意得所求垂直直线方程(3)2(0)0x y ---=，化为一般式230x y --=.【例3】已知直线l 的方程为3x +4y －12=0，求与直线l 平行且过点（－1，3）的直线的方程．分析：由两直线平行，所以斜率相等且为34-，再由点斜式求出所求直线的方程. 解：直线l:3x +4y －12=0的斜率为34-， ∵ 所求直线与已知直线平行， ∴所求直线的斜率为34-， 又由于所求直线过点（－1，3），所以，所求直线的方程为：33(1)4y x -=-+，即3490x y +-=.点评：根据两条直线平行或垂直的关系，得到斜率之间的关系，从而由已知直线的斜率及点斜式求出所求直线的方程. 此题也可根据直线方程的一种形式00()()0A x x B y y -+-=而直接写出方程，即3(1)4(3)0x y ++-=，再化简而得.【例4】直线方程0Ax By C ++=的系数A 、B 、C 分别满足什么关系时，这条直线分别有以下性质?（1）与两条坐标轴都相交；（2）只与x 轴相交；（3）只与y 轴相交；（4）是x 轴所在直线；（5）是y 轴所在直线.分析：由直线性质，考察相应图形，从斜率、截距等角度，分析系数的特征. 解：（1）当A ≠0，B ≠0，直线与两条坐标轴都相交. （2）当A ≠0，B =0时，直线只与x 轴相交. （3）当A ＝0，B ≠0时，直线只与y 轴相交.（4）当A ＝0，B ≠0，C ＝0，直线是x 轴所在直线. （5）当A ≠0，B ＝0，C ＝0时，直线是y 轴所在直线. 点评：结合图形的几何性质，转化为方程形式所满足的代数形式. 对于直线的一般式方程，需要特别注意以上几种特殊位置时的方程形式.第24练 §3.2.3 直线的一般式方程※基础达标1．如果直线0Ax By C ++=的倾斜角为45︒，则有关系式（ ）.A. A B =B. 0A B +=C. 1AB =D. 以上均不可能 2．若0a b c -+=，则直线0ax by c ++=必经过一个定点是（ ）. A. (1,1) B. (1,1)- C. (1,1)- D. (1,1)-- 3．直线1(0)ax by ab +=≠与两坐标轴围成的面积是（ ）. A ．12ab B ．1||2ab C ．12abD ．12||ab 4．（2000京皖春）直线（32-）x +y =3和直线x +（23-）y =2的位置关系是（ ）.A. 相交不垂直B. 垂直C. 平行D. 重合 5．已知直线mx +ny +1=0平行于直线4x +3y +5=0，且在y 轴上的截距为13，则m ，n 的值分别为（ ）.A. 4和3B. －4和3C. －4和－3D. 4和－3 6．若直线x +a y+2=0和2x +3y +1=0互相垂直，则a = .7．过两点（5，7）和（1，3）的直线一般式方程为 ；若点（a ，12）在此直线上，则a ＝ ．※能力提高8．根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：（1）斜率是－12，经过点A （8，－2）； （2）经过点B (4，2)，平行于x 轴；（3）在x 轴和y 轴上的截距分别是32,－3； （4）经过两点1P （3，－2）、2P （5，－4）.9．已知直线12,l l 的方程分别是：1111:0l A x B y C ++=（11,A B 不同时为0），2222:0l A x B y C ++=（22,A B 不同时为0），且12120A A B B +=. 求证12l l ⊥.※探究创新10．已知直线1:60l x my ++=，2:(2)320l m x y m -++=，求m 的值，使得： （1）l 1和l 2相交；（2）l 1⊥l 2；（3）l 1//l 2；（4）l 1和l 2重合.第25讲 §3.3.1 两条直线的交点坐标¤学习目标：进一步掌握两条直线的位置关系，能够根据方程判断两直线的位置关系，理解两直线的交点与方程的解之间的关系，能用解方程组的方法求两直线的交点坐标.¤知识要点：1. 一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组1112220A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩. 若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合.2. 方程111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=的交点.¤例题精讲：【例1】判断下列各对直线的位置关系. 如果相交，求出交点坐标.（1）直线l 1: 2x －3y +10=0 , l 2: 3x +4y －2=0； （2）直线l 1: 1nx y n -=-, l 2: 2ny x n -=.解：（1）解方程组231003420x y x y -+=⎧⎨+-=⎩， 得22x y =-⎧⎨=⎩.所以，l 1与l 2相交，交点是（－2，2）.（2）解方程组12nx y n ny x n-=-⎧⎨-=⎩，消y 得 22(1)n x n n -=+.当1n =时，方程组无解，所以两直线无公共点，1l //2l .当1n =-时，方程组无数解，所以两直线有无数个公共点，l 1与l 2重合. 当1n ≠且1n ≠-，方程组有惟一解，得到1n x n =-，211n y n -=-， l 1与l 2相交. ∴当1n =时，1l //2l ；当1n =-时，l 1与l 2重合；当1n ≠且1n ≠-，l 1与l 2相交，交点是21(,)11n n n n ---. 【例2】求经过两条直线280x y +-=和210x y -+=的交点，且平行于直线4370x y --=的直线方程.解：设所求直线的方程为28(21x y x y λ+-+-+=，整理为(2)(12)x y λλλ++-+-=.∵ 平行于直线4370x y --=， ∴ (2)(3)(12)40λλ+⨯---⨯=，解得2λ=. 则所求直线方程为4360x y --=.【例3】已知直线(2)(31)1a y a x -=--. 求证：无论a 为何值时直线总经过第一象限. 解：应用过两直线交点的直线系方程，将方程整理为(3)(21)0a x y x y -+-+-=.对任意实数a 恒过直线30x y -=与210x y -+=的交点为(15,35)，∴ 直线系恒过第一象限内的定点为(15,35).所以，无论a 为何值时直线总经过第一象限.点评：化为111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=后，解方程组1112220A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩所得到的解，为何就是直线恒过的定点坐标？实质就是方程组的解能使方程成立，即点在直线上.【例4】若直线l ：y ＝kx 3-与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，求直线l 的倾斜角的取值范围.解：如图，直线2x +3y －6=0过点A （3，0），B （0，2），直线l ：y ＝kx 3-必过点（0，－3）.当直线l 过A 点时，两直线的交点在x 轴；当直线l 绕C 点逆时针（由位置AC 到位置BC ）旋转时，交点在第一象限. 根据303033AC k --==-，得到直线l 的斜率k >33. ∴倾斜角范围为(30,90)︒︒. 点评：此解法利用数形结合的思想，结合平面解析几何中直线的斜率公式，抓住直线的变化情况，迅速、准确的求得结果. 也可以利用方程组的思想，由点在某个象限时坐标的符号特征，列出不等式而求.第25练 §3.3.1 两条直线的交点坐标※基础达标1．直线3510x y +-=与4350x y +-=的交点是（ ）. A. (2,1)- B. (3,2)- C. (2,1)- D. (3,2)-2．直线1:(21)2l x y -+=与直线2:(21)3l x y ++=的位置关系是（ ）.A. 平行B. 相交C. 垂直D. 重合3．已知直线12,l l 的方程分别为 1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=，且12l l 与只有一个公共点，则（ ）.A. 11220A B A B -≠B. 12210A B A B -≠C.1122A B A B ≠D. 1212A AB B ≠ 4．经过直线240x y -+=与50x y -+=的交点，且垂直于直线20x y -=的直线的方程是（ ）.A. 280x y +-=B. 280x y --=C. 280x y ++=D. 280x y -+= 5．直线a x ＋2y ＋８＝0，4x ＋3y ＝10和2x －y ＝10相交于一点，则a 的值为（ ）.A. 1B. －1C. 2D. －26．直线1l ：2x ＋3y ＝12与2l ：x －2y ＝４的交点坐标为 .7．（07年上海卷.理2）若直线1210l x my ++=： 与直线231l y x =-：平行，则m = ． ※能力提高8．已知直线l 1: 2x -3y +10=0 , l 2: 3x +4y -2=0. 求经过l 1和l 2的交点，且与直线l 3: 3x -2y +4=0垂直的直线l 的方程.9．试求直线1:l 20x y --=关于直线2l :330x y -+=对称的直线l 的方程.※探究创新10．已知直线方程为(2+λ)x +(1-2λ)y +4-3λ=0. （1）求证不论λ取何实数值，此直线必过定点；（2）过这定点引一直线，使它夹在两坐标轴间的线段被这点平分，求这条直线方程.第26讲 §3.3.2 两点间的距离¤学习目标：探索并掌握两点间的距离公式. 初步了解解析法证明，初步了解由特殊到一般，再由一般到特殊的思想与“数”和“形”结合转化思想.¤知识要点：1. 平面内两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，则两点间的距离为：22121212||()()PP x x y y =-+-. 特别地，当12,P P 所在直线与x 轴平行时，1212||||PP x x =-；当12,P P 所在直线与y 轴平行时，1212||||PP y y =-；当12,P P 在直线y kx b =+上时，21212||1||PPk x x =+-. 2. 坐标法解决问题的基本步骤是：（1）建立坐标系，用坐标表示有关量；（2）进行有关代数运算；（3）把代数运算的结果“翻译”成几何关系.¤例题精讲：【例1】在直线20x y -=上求一点P ，使它到点(5,8)M 的距离为５，并求直线PM 的方程.解：∵ 点P 在直线20x y -=上，∴ 可设(,2)P a a ， 根据两点的距离公式得22222(5)(28)5,542640PM a a a a =-+-=-+=即,解得3225a a ==或，∴3264(2,4)(,)55P 或． ∴ 直线PM 的方程为8585643248258555y x y x ----==----或， 即4340247640x y x y -+=--=或.【例2】直线2x －y －4=0上有一点P ，求它与两定点A (4，－1)，B (3，4)的距离之差的最大值.解：找A 关于l 的对称点A ′，A ′B 与直线l 的交点即为所求的P 点. 设'(,)A a b , 则12144124022b a a b +⎧⨯=-⎪⎪-⎨+-⎪⨯--=⎪⎩，解得01a b =⎧⎨=⎩， 所以线段22|'|(41)(30)32A B =-+-=. 【例3】已知AO 是△ABC 中BC 边的中线，证明|AB |2＋|AC |2=2（|AO |2＋|OC |2）. 解：以O 为坐标原点，BC 为x 轴，BC 的中垂线为y 轴，建立如图所示坐标系xOy . 设点A (a ,b)、B (-c ,0)、C (c ,0),由两点间距离公式得：|AB |=22()a c b ++，|AC |=22()a c b -+，|AO |=22a b +， |OC |=c .∴ |AB |2＋|AC |2=2222()a b c ++， |AO |2＋|OC |2=222a b c ++.∴ |AB |2＋|AC |2=2（|AO |2＋|OC |2）.点评：此解体现了解析法的思路. 先建立适当的直角坐标系，将△ABC 的顶点用坐标表示出来，再利用解析几何中的“平面内两点间的距离公式”计算四条线段长，即四个距离，从而完成证明. 还可以作如下推广：平行四边形的性质：平行四边形中，两条对角线的平方和，等于其四边的平方和.三角形的中线长公式：△ABC 的三边长为a 、b 、c ，则边c 上的中线长为2221222a b c +-. y xB (-c ,0) A (a ,b )C (c ,0) O【例4】已知函数2()1f x x =+，设,a b R ∈，且a b ≠，求证|()()|f a f b -<||a b -. 解：由|()()|f a f b -=22|11|a b +-+，在平面直角坐标系xoy 中，取两点(1,),(1,)A a B b ，则2||1,OA a =+ 2||1O B b =+, ||||AB a b =-.△O AB 中，||||||||OA OB AB -<，∴ 22|11|a b +-+<||a b -. 故原不等式成立.点评：此证法为数形结合法，由22a b +联想到平面内点到原点的距离公式，构造两点与三角形，将要证明的不等式转化为三角形中三边的不等关系.第26练 §3.3.2 两点间的距离※基础达标1．已知(2,1),(2,5)A B --，则|AB |等于（ ）.A. 4B. 10C. 6D. 2132．已知点(2,1),(,3)A B a --且||5AB =，则a 的值为（ ）.A. 1B. －5C. 1或－5D. －1或5 3．点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，线段AB 的中点M 的坐标是(3,4)，则||AB 的长为（ ）. A. 10 B. 5 C. 8 D. 64．已知(1,2),(0,4)A B -，点C 在x 轴上，且AC =BC ，则点C 的坐标为（ ）.A. 11(,0)2-B. 11(0,)2-C. 11(0,)2D. 11(,0)25．已知点(1,3),(5,1)M N -，点(,)P x y 到M 、N 的距离相等，则点(,)P x y 所满足的方程是（ ）.A. 380x y +-=B. 340x y --=C. 390x y -+=D. 380x y -+=6．已知(7,8),(10,4),(2,4)A B C -，则BC 边上的中线AM 的长为 .7．已知点P （2，－4）与Q （0，8）关于直线l 对称，则直线l 的方程为 . ※能力提高8．已知点(1,2),(3,4),(5,0)A B C ，判断ABC ∆的类型．9．已知(1,0)(1,0)M N -、，点P 为直线210x y --=上的动点．求22PM PN +的最小值，及取最小值时点P 的坐标．oxA (1,a )B (1,b )y※探究创新10．燕隼（sun ）和红隼是同属于隼形目隼科的鸟类．它们的体形大小如鸽，形略似燕，身体的形态特征比较相似．红隼的体形比燕隼略大．通过抽样测量已知燕隼的平均体长约为31厘米，平均翅长约为27厘米；红隼的平均体长约为35厘米，平均翅长约为25厘米. 近日在某地发现了两只形似燕隼或红隼的鸟. 经测量，知道这两只鸟的体长和翅长分别为A （32.65厘米，25.2厘米），B （33.4厘米，26.9厘米）. 你能否设计出一种近似的方法，利用这些数据判断这两只鸟是燕隼还是红隼？第27讲 §3.3.3 点到直线的距离及两平行线距离¤学习目标：探索并掌握点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离. 体会数形结合、转化的数学思想，培养研究探索的能力.¤知识要点：1. 点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离公式为0022||Ax By C d A B++=+.2. 利用点到直线的距离公式，可以推导出两条平行直线11:0l Ax By C ++=，22:0l Ax By C ++=之间的距离公式1222||C C d A B-=+，推导过程为：在直线2l 上任取一点00(,)P x y ，则0020A x B y C ++=，即002A x B y C +=-. 这时点00(,)P x y 到直线11:0l Ax By C ++=的距离为001122222||||Ax By C C C d A B A B++-==++. ¤例题精讲：【例1】求过直线1110:33l y x =-+和2:30l x y -=的交点并且与原点相距为1的直线l 的方程.解：设所求直线l 的方程为310(3)0y x x y λ+-+-=, 整理得(31)(3)100x y λλ++--=.由点到直线的距离公式可知，22101(31)(3)d λλ==++-, 解得3λ=±. 代入所设，得到直线l 的方程为14350x x y =-+=或.【例2】在函数24y x =的图象上求一点P ，使P 到直线45y x =-的距离最短，并求这个最短的距离.解：直线方程化为450x y --=. 设2(,4)P a a , 则点P 到直线的距离为22222|445||4(1/2)4|4(1/2)417174(1)a a a a d ------+===+-.高一数学21 当12a =时，点1(,1)2P 到直线的距离最短，最短距离为41717. 【例3】求证直线L ：(2)(1)(64)0m x m y m +-+-+=与点(4,1)P -的距离不等于3. 解：由点线距离公式，得22|(2)4(1)(1)(64)|(2)(1)m m m d m m +-+--+=+++ =22|3|(2)(1)m m m ++++. 假设3d =，得到222(3)9[(2)(1)]m m m +=+++，整理得21748360m m ++=.∵ 248417361400∆=-⨯⨯=-<， ∴ 21748360m m ++=无实根.∴ 3d ≠，即直线L 与点(4,1)P -的距离不等于3.点评：此解妙在反证法思路的运用. 先由点线距离公式求出距离，然后从“距离不等于3”的反面出发，假设距离是3求m ，但求解的结果是m 无解. 从而假设不成立，即距离不等于3.另解：把直线L ：(2)(1)(64)0m x m y m +-+-+=按参数m 整理，得(4)260x y m x y --+--=.由{40260x y x y --=--=，解得{22x y ==-. 所以直线L 恒过定点(2,2)Q -. 点P 到直线L 取最大距离时, PQ ⊥L ，即最大距离是PQ =22(24)(21)-+-+=5. ∵ 5<3， ∴直线L 与点(4,1)P -的距离不等于3.点评：此解妙在运用直线系111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=恒过一个定点的知识，其定点就是1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=的交点. 由运动与变化观点，当直线PQ ⊥L 时，点线距离为最大.【例4】求直线1:2310l x y +-=与2:4650l x y +-=的正中平行直线方程.解：直线1l 的方程化为4620x y +-=. 设正中平行直线的方程为460x y C ++=， 则2222|2||5|4646C C ----=++，即|2||5|C C +=+，解得72C =-. 所以正中平行直线方程为74602x y +-=. 点评：先化一次项系数为相同，巧设正中平行直线方程，利用两组平行线间距离相等而求.结论：两条平行直线11:0l Ax By C ++=，22:0l Ax By C ++=的正中平行直线方程为12()/20Ax By C C +++=。
人教版高中必修二《直线与方程》教学案例
人教版高中必修二《直线与方程》教学案例《人教版高中必修二《直线与方程》教学案例》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！第1节直线与方程复习目标：1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式，了解斜截式与一次函数的关系.一、课前预习基础回顾考点1 直线的倾斜角与斜率1.直线的倾斜角(1)定义：x轴_____与直线_____的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角.当直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.动态定义：旋转(2)倾斜角的范围为_______________.2.直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角α的________叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k=______，倾斜角是90°的直线没有斜率.(2)过两点的直线的斜率公式经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k=_________.考点2 直线方程的几种形式关键要素：点，斜率，截距名称条件方程适用范围点斜式斜率k与点(x1，y1)y-y1=k(x-x1)不含直线x=x1斜截式斜率k与直线在y轴上的截距by=kx+b不含垂直于x轴的直线两点式两点(x1，y1)，(x2，y2)=不含直线x=x1(x1=x2)和直线y=y1(y1=y2)截距式直线在x轴、y轴上的截距分别为a、b+=1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax+By+C=0(A，B不同时为0)平面直角坐标系内的直线都适用[双基夯实]一、疑难辨析判断下列结论的正误.(正确的打“√”，错误的打“×”)1.直线的倾斜角越大，其斜率越大.( )2.当直线的斜率不存在时，其倾斜角存在.( )3.过点P(x1，y1)的直线方程一定可设为y-y1=k(x-x1).( )4.直线方程的截距式+=1中，a，b均应大于0.( )二、小题快练1.[2017·贵州模拟]已知直线l经过点P(-2,5)，且斜率为-，则直线l的方程为( )A.3x+4y-14=0B.3x-4y+14=0C.4x+3y-14=0D.4x-3y+14=02.[课本改编]直线x+y+1=0的倾斜角是( )A.B.C.D.3.[课本改编]过两点(0,3)，(2,1)的直线方程为( )A.x-y-3=0B.x+y-3=0C.x+y+3=0D.x-y+3=04.若点A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a的值为______.考向1 直线的倾斜角与斜率看菜如图，比较直线，，的斜率、、的大小.1.直线2x-y+4=0同时过第()象限A.一，二，三B.二，三，四C.一，二，四D.一，三，四2.直线l1：ax-y+b=0,l2:bx-y+a=0,在同一坐标系下l1和l2的图像是()3.如图，已知直线l1：y=-2x+4与直线l2：y=kx+b(k≠0)在第一象限交于点M.若直线l2与x轴的交点为A(-2，0)，则k的取值范围是_______.拓展：(1)若M在第二象限，则k的取值范围是_______.(2)若M在第四象限，则k的取值范围是_______.【变式训练3】已知直线l：kx-y+1+2k=0(k∈R).(1)证明：直线l过定点;(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围;例1 直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为_______________________.探究1若将题中P(1,0)改为P(-1,0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围.直线l的斜率直线l的倾斜角α区别直线l垂直于x轴时l的斜率不存在直线l垂直于x轴时l的倾斜角是90°联系①直线的斜率与直线的倾斜角(90°除外)为一一对应关系.②当α∈[0°，90°)时，α越大，l的斜率越大;当α∈(90°，180°)时，α越大，l的斜率越大.③所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率.【变式训练1】如果直线l经过A(2,1)，B(1，m2)(m∈R)两点，那么直线l的倾斜角α的取值范围是( )A.0≤α≤πB.0≤α≤或<α<πC.0≤α≤D.≤α<或<α<π考向2 求直线的方程例2 根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(-4,0)，倾斜角的正弦值为;(2)直线过点(-3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12;(3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.【变式训练2】已知△ABC的三个顶点分别为A(-3,0)，B(2,1)，C(-2,3)，求：(1)BC边所在直线的方程;(2)BC边上中线AD所在直线的方程;(3)BC边的垂直平分线DE的方程.触类旁通求直线方程的两种方法(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程，选择时，应注意各种形式的方程的适用范围，必要时要分类讨论.(2)待定系数法，即设定含有参数的直线方程，由条件列出方程(组)，再求出参数，最后将其代入直线方程.考向3 直线方程的应用例3 已知直线l过点M(1,1)，且与x轴，y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点.求：(1)当|OA|+|OB|取得最小值时，直线l的方程;(2)当|MA|2+|MB|2取得最小值时，直线l的方程.【变式训练3】已知直线l：kx-y+1+2k=0(k∈R).(1)证明：直线l过定点;(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围;(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程.核心规律1.明确直线方程各种形式的适用条件点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x轴的直线;两点式方程不能表示垂直于x、y轴的直线;截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线.2.求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方程，再求直线方程中的系数，这种方法叫待定系数法.满分策略1.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在;每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率.2.根据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围;二是要考虑正切函数的单调性.3.截距为一个实数，既可以为正数，也可以为负数，还可以为0，这是解题时容易忽略的一点.1.直线的倾斜角与斜率(1)在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按__________方向旋转到和直线重合时所转过的____________称为这条直线的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为__________.(2)倾斜角的范围为________________.(3)倾斜角与斜率的关系：α≠90°时，k=________，倾斜角是90°的直线斜率________.(4)过两点的直线的斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k=_____________________.2.直线方程的五种基本形式名称方程适用范围点斜式不含直线x=x0斜截式不含垂直于x轴的直线两点式不含直线x=x1(x1≠x2)和直线y=y1(y1≠y2)截距式不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式平面直角坐标系内的直线都适用自我检测1.若A(-2,3)，B(3，-2)，C三点共线，则m的值为________.2.直线l与两条直线x-y-7=0，y=1分别交于P、Q两点，线段PQ的中点为(1，-1)，则直线l的斜率为_______________________________________________________.3.下列四个命题中，假命题是________(填序号).①经过定点P(x0，y0)的直线不一定都可以用方程y-y0=k(x-x0)表示;②经过两个不同的点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)来表示;③与两条坐标轴都相交的直线不一定可以用方程+=1表示;④经过点Q(0，b)的直线都可以表示为y=kx+b.4.如果A·C<0，且B·C<0，那么直线Ax+By+C=0不通过第________象限.5.已知直线l的方向向量与向量a=(1,2)垂直，且直线l过点A(1,1)，则直线l的方程为______________.二、教学过程探究点一倾斜角与斜率例1 已知两点A(-1，-5)、B(3，-2)，直线l的倾斜角是直线AB 倾斜角的一半，求l的斜率.变式迁移1直线xsinα-y+1=0的倾斜角的变化范围是______________.探究点二直线的方程例2 过点M(0,1)作直线，使它被两直线l1：x-3y+10=0，l2：2x+y-8=0所截得的线段恰好被M所平分，求此直线方程.变式迁移2 求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P(3,2)且在两坐标轴上的截距相等;(2)经过点A(-1，-3)，倾斜角等于直线y=3x的倾斜角的2倍.探究点三直线方程的应用例3 过点P(2,1)的直线l交x轴、y轴正半轴于A、B两点，求使：(1)△AOB面积最小时l的方程;(2)PA·PB最小时l的方程.变式迁移3 为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪(如图)，另外△EFA内部有一文物保护区不能占用，经测量AB=100m，BC=80m，AE=30m，AF=20m，应如何设计才能使草坪面积最大?拓展延伸：例4 已知实数x，y满足y=x2-2x+2(-1≤x≤1).试求的最大值与最小值.三、回顾与反思：人教版高中必修二《直线与方程》教学案例这篇文章共9802字。
2023年直线与方程教案高三【精选4篇】
2023年直线与方程教案高三【精选4篇】直线与方程教案高三篇一《直线的方程》教案一、教学目标知识与技能：理解直线方程的点斜式的特点和使用范围过程与方法：在知道直线上一点和直线斜率的基础上，通过师生探讨得出点斜式方程情感态度价值观：养成数形结合的思想，可以使用联系的观点看问题。
二、教学重难点教学重点：点斜式方程教学难点：会使用点斜式方程三、教学用具：直尺，多媒体四、教学过程1、复习导入，引入新知我们确定一条直线需要知道哪些条件呢？（直线上一点，直线的斜率）那么我们能不能用直线上这一点的坐标和直线的斜率把整条直线所有点的坐标应该满足的关系表达出来呢？这就是我们今天所要学习的课程《直线的方程》。
2、师生互动，探索新知探究一：在平面直角坐标系中，直线l过点p（0,3），斜率k=2，q(x,y)是直线l上不同于点p的任意一点，如ppt上图例所示。
通过上节课所学，我们可以得出什么？由于p,q都在这条直线上，我们就可以用这两点的坐标来表示直线l的斜率，可以得出公式：y-3x-0=2 那我们就可以的出方程y=2x+3 所以就有l上的任意一点坐标（x,y）都满足方程y=2x=3,满足方程y=2x+3的每一个（x,y）所对应的点都在直线l上。
因此我们可以的出结论：一般的如果一条直线l上任意一点的坐标(x,y)都满足一个方程，满足该方程的每一个数对（x,y）所确定的点都在直线l上，我们就把这个方程称为l的直线方程，因此，当我们知道了直线上的一点p（x,y），和它的斜率，我们就可以求出直线方程。
3、知识剖析，深化理解我们刚刚知道了如何来求直线方程，那现在同学来做做这一个例子。
设q(x,y)是直线l上不同于点p的任意一点，由于点p,q都在l，求直线的方程。
设点p（x0，,y0），先表示出这个直线的额斜率是y-y0x-x0=k，然后可以推得公式y-y0=k(x-x0)那如果当x=x0，这个公式就没有意义，还有就是分母不能为零，所以这里要注意（x不能等于x0）1）过点，斜率是k的直线l上的点，其坐标都满足方程（1）吗？p(x0,y0)(x0,y0)，斜率为k的直线l上吗？2）坐标满足方程（1）的点都在经过p那么像这种由直线上一个点和一个斜率所求的方程，就称为直线方程的点斜式。
《直线与方程》教学设计案例
《直线与方程》教学设计案例《《直线与方程》教学设计案例》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！单元教学设计是指对某一单元的教学内容作出具体的教学活动设计，这里的单元可是一章，也可是以某个知识内容为主的知识模块。
单元教学设计要有整体性、相关性、阶梯性和综合性。
本文以人教A 版高中数学必修2《直线与方程》一章为例进行了单元教学设计，设计内容包括单元教学目标、要素分析(其中包含数学分析、标准分析、学生分析、重点分析、教材比较分析、教学方式分析等)、教学流程设计、典型案例设计和反思与改进等。
一、单元教学目标(1)理解并体会用代数方法研究直线问题的基本思路：先在平面直角坐标系中建立直线的代数方程，再通过方程，用代数方法解决几何问题。
(2)初步形成用代数方法解决几何问题的能力，体会数形结合的思想。
二、要素分析1.数学分析：直线与方程为人教A版教材必修2第三章内容，必修2包括立体几何初步、解析几何初步，其中立体几何初步分为空间几何体，点、直线、平面之间的位置关系。
直线与方程是继立体几何的学习之后从代数的观点认识、描述、刻画直线，是在平面直角坐标系中建立直线的方程，运用代数方法研究它们的几何性质及其相互位置关系。
它在高中数学中的地位非常重要，可以说是高中数学体系中的“交通枢纽”。
它与代数中的一次函数、二元一次方程、几何中的直线和不等式及线性规划等内容都有关联。
在本章教学中，学生应该经历如下的过程：首先将直线的倾斜角代数化，探索确定直线位置的几何要素，建立直线的方程，把直线问题转化为代数问题;处理代数问题;分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题。
这种数形结合的思想贯穿教学的始终，并且在后续课程中不断体现。
2.标准分析：①坐标法的渗透与掌握：解析几何研究问题的主要方法是坐标法，它是解析几何中最基本的研究方法。
②作为后续学习的基础，要灵活地根据条件确定或者待定直线的方程，如将直线方程预设成点斜式、斜截式或一般式，等等。
高中数学直线与方程教案
高中数学直线与方程教案教学目标：学生能够掌握直线方程的求解方法，了解直线方程与几何的关系，能够灵活运用直线方程解决实际问题。
教学重点：直线方程的基本概念和求解方法。
教学难点：直线方程与几何问题的应用。
教学内容：一、直线的方程形式及性质1. 直线的一般方程：Ax + By + C = 02. 直线的斜率与截距3. 直线的截距式和点斜式二、直线的方程求解1. 通过已知点和斜率求直线方程2. 通过两点求直线方程3. 通过截距求直线方程三、直线方程的应用1. 直线与圆的位置关系2. 直线与直线的位置关系3. 直线方程解决实际问题的应用教学方法：讲解结合练习，引导学生自主发现问题，并通过实际问题进行实践。
教学过程：一、直线的方程形式及性质1. 引出直线的一般方程Ax + By + C = 0的定义及性质，让学生理解直线方程的意义。
2. 通过实例演示直线的斜率与截距的计算方法。
3. 探讨直线的截距式和点斜式的应用及意义。
二、直线的方程求解1. 通过已知点和斜率求直线方程的例题演练，让学生灵活掌握解题方法。
2. 通过两点和截距求直线方程的练习，引导学生掌握不同情况下的求解方法。
三、直线方程的应用1. 通过例题演示直线与圆的位置关系，让学生理解直线与曲线的相互关系。
2. 引导学生通过实际问题应用直线方程解决难题，培养学生的问题解决能力。
教学总结：通过本节课的学习，学生应该能够掌握直线方程的基本概念和求解方法，了解直线方程与几何问题的关系，能够灵活运用直线方程解决实际问题。
同时，希望同学们能够通过实际问题的解答，感受到数学在生活中的应用和意义。
直线与方程_知识点总结_例题习题精讲_详细答案_提高训练
【知识点一：倾斜角与斜率】 （1）直线的倾斜角①关于倾斜角的概念要抓住三点：1、与x 轴相交；2、x 轴正向；3、直线向上方向。
②直线与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为00 ③倾斜角α的范围000180α≤< （2）直线的斜率①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为090的直线斜率不存在. 记作tan k α=0(90)α≠⑴当直线l 与x 轴平行或重合时, 00α=,0tan 00k ==⑵当直线l 与x 轴垂直时, 090α=,k 不存在.②经过两点1112212(,),(,)P x y P x y x x ≠（）的直线的斜率公式是2121y y k x x -=-③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率.（3）求斜率的一般方法：①已知直线上两点，根据斜率公式212121()y y k x x x x -=≠-求斜率；②已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数根据tan k α=来求斜率； （4）利用斜率证明三点共线的方法：已知112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，若123AB BC x x x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。
【知识点二：直线平行与垂直】（1）两条直线平行：对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有2121 // k k l l =⇔ 特别地，当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行（2）两条直线垂直：如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则有1- 2121=⋅⇔⊥k k l l 注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直；反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。
如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直. 【知识点三：直线的方程】 名称 方程的形式 已知条件 局限性①点斜式11()y y k x x -=-11(,)x y 为直线上一定点， k 为斜率不包括垂直于x 轴的直线②斜截式 y kx b =+ k 为斜率，b 是直线在y 轴上的截距不包括垂直于x 轴的直线知能梳理问题：过两点111222(,),(,)P x y P x y 的直线是否一定可用两点式方程表示？ 【不一定】 (1)若1212x x y y =≠且，直线垂直于x 轴,方程为1x x =； (2)若1212x x y y ≠=且，直线垂直于y 轴,方程为12y y =； (3)若1212x x y y ≠≠且，直线方程可用两点式表示直线的点斜式方程实际上就是我们熟知的一次函数的解析式； 利用斜截式求直线方程时，需要先判断斜率存在与否.用截距式方程表示直线时，要注意以下几点：方程的条件限制为0,0a b ≠≠，即两个截距均不能为零，因此截距式方程不能表示过原点的直线以及与坐标轴平行的直线；用截距式方程最便于作图，要注意截距是坐标而不是长度.截距与距离的区别：截距的值有正、负、零。
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考点1：倾斜角与斜率（一）直线的倾斜角例1例1. 若θ为三角形中最大内角，则直线0tan :=++m y x l θ的倾斜角的范围是（ ） A.⎪⎭⎫ ⎝⎛⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛32,22,0πππ B.⎪⎭⎫ ⎝⎛⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛32223ππππ，， C.⎪⎭⎫ ⎝⎛⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛πππ，，330 D.⎪⎭⎫ ⎝⎛⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛πππ，，32202 若直线:l y kx =2360x y +-=的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）A ．,63ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（二）直线的斜率及应用3、利用斜率证明三点共线的方法：已知112233(,),(,),(,),A x y B x y C x y 若123AB AC x x x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。
例2、设,,a b c 是互不相等的三个实数，如果333(,)(,)(,)A a a B b b C c c 、、在同一直线上，求证：0a b c ++=1．设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=，则,a b 满足（ ）A ．1=+b aB ．1=-b aC ．0=+b aD ．0=-b a2．过点P (－2,m )和Q (m ,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为（） A.1 B.4 C.1或3 D.1或43．已知直线l 则直线的倾斜角为（ ） A. 60° B. 30° C. 60°或120° D. 30°或150°4．若三点P （2，3），Q （3，a ），R (4，b )共线，那么下列成立的是（ ）.A ．4,5a b ==B ．1b a -=C ．23a b -=D ．23a b -=5．右图中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则（ ）.A .k 1＜k 2＜k 3 B. k 3＜k 1＜k 2 C. k 3＜k 2＜k 1 D. k 1＜k 3＜k 26．已知两点A (x ，－2)，B (3，0)，并且直线AB 的斜率为2，则x ＝ .7．若A (1，2)，B (-2，3)，C (4，y )在同一条直线上，则y 的值是 .8．已知(2,3),(3,2)A B ---两点，直线l 过定点(1,1)P 且与线段AB 相交，求直线l 的斜率k 的取值范围.9、直线l ：ax ＋(a ＋1)y ＋2＝0的倾斜角大于45°，则a 的取值范围是________．考点2：求直线的方程例3. 已知点P (2，－1)．(1)求过P 点且与原点距离为2的直线l 的方程； (2)求过P 点且与原点距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？ (3)是否存在过P 点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．1、求过点P （2，-1），在x 轴和y 轴上的截距分别为a 、b,且满足a=3b 的直线方程。
2、设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且|P A |＝|PB |，若直线P A 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是（ ）A. x ＋y －5＝0 B. 2x －y －1＝0 C. 2y －x －4＝0 D. 2x ＋y －7＝03、直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12，则该直线方程为________．4、过点P (－2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程为_____________．5、已知点A (2，－3)是直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0与直线a 2x ＋b 2y ＋1＝0的交点，则经过两个不同点P 1(a 1，b 1)和P 2(a 2，b 2)的直线方程是( )A ．2x －3y ＋1＝0 B ．3x －2y ＋1＝0 C ．2x －3y －1＝0 D ．3x －2y －1＝06、.过点P (0,1)且和A (3,3)，B (5，－1)的距离相等的直线方程是( )A ．y ＝1B ．2x ＋y －1＝0C ．y ＝1或2x ＋y －1＝0D ．2x ＋y －1＝0或2x＋y ＋1＝07.如图，过点P （2，1）作直线l ，分别为交x 、y 轴正半轴于A 、B 两点。
（1）当⊿AOB的面积最小时，求直线l 的方程；（2）当｜PA ｜·｜PB ｜取最小值时，求直线l 的方程。
8．若方程014)()32(22=+--+-+m y m m x m m 表示一条直线，则实数m 满足（ ）A ．0≠m B ．23-≠m C ．1≠m D ．1≠m ，23-≠m ，0≠m 考点3：三、直线的交点坐标与距离公式一 两条直线的交点坐标例4．直线3510x y +-=与4350x y +-=的交点是（ ） A. (2,1)- B. (3,2)- C. (2,1)- D. (3,2)-1．经过直线240x y -+=与50x y -+=的交点，且垂直于直线20x y -=的直线的方程是（ ）.A. 280x y +-=B. 280x y --=C. 280x y ++=D. 280x y -+=2．直线1:1)2l x y +=与直线2:1)3l x y +=的位置关系是（） A. 平行 B. 相交 C. 垂直 D. 重合3．已知直线12,l l 的方程分别为 1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=，且12l l 与只有一个公共点，则（ ）.A. 11220A B A B -≠B. 12210A B A B -≠C. 1122A B A B ≠D. 1212A AB B ≠ 4．直线a x ＋2y ＋８＝0，4x ＋3y ＝10和2x －y ＝10相交于一点，则a 的值为（ ）.A. 1B. －1C. 2D. －25．已知直线l 1: 2x -3y +10=0 , l 2: 3x +4y -2=0. 求经过l 1和l 2的交点，且与直线l 3: 3x -2y +4=0垂直的直线l 的方程.6．已知直线方程为(2+λ)x +(1-2λ)y +4-3λ=0.（1）求证不论λ取何实数值，此直线必过定点；（2）过这定点引一直线，使它夹在两坐标轴间的线段被这点平分，求这条直线方程.二 两点间的距离例5 1．已知(2,1),(2,5)A B --，则|AB |等于（ ）2．已知点(2,1),(,3)A B a --且||5AB =，则a 的值为（） A. 1 B. －5 C. 1或－5 D. －1或53．点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，线段AB 的中点M 的坐标是(3,4)，则||AB 的长为（ ）.A. 10B. 5C. 8D. 64．已知(1,2),(0,4)A B -，点C 在x 轴上，且AC =BC ，则点C 的坐标为（ ）.A. 11(,0)2-B. 11(0,)2-C. 11(0,)2D. 11(,0)25．已知点(1,3),(5,1)M N -，点(,)P x y 到M 、N 的距离相等，则点(,)P x y 所满足的方程是（ ）.A. 380x y +-=B. 340x y --=C. 390x y -+=D. 380x y -+=6．已知(7,8),(10,4),(2,4)A B C -，则BC 边上的中线AM 的长为 .7．已知点P （2，－4）与Q （0，8）关于直线l 对称，则直线l 的方程为 .三 点到直线的距离及两平行线距离例5 2 已知点(1,3),(3,1),(1,0)A B C -，求△ABC 的面积．例5 3 已知直线l 经过直线250x y +-=与20x y -=的交点．若点(5,0)A 到l 的距离为3，求l 的方程．1．点（0，5）到直线y =2x 的距离是（ ） A. 52B. C. 32D. 2．动点P 在直线40x y +-=上，O 为原点，则OP 的最小值为（ ）A.B.C. D. 23．已知点(,2)(0)a a >到直线:30l x y -+=的距离为1，则a =（ABC1 D14．两平行直线51230102450x y x y ++=++=与间的距离是（）. A. 213 B. 113C. 126D. 526 5．直线l 过点P (1，2)，且M (2，3)，N (4，－5)到l 的距离相等，则直线l 的方程是（ ）.A. 4x+y －6=0B. x +4y －6=0C. 2x +3y －7=0或x +4y －6=0D. 3x +2y －7=0或4x+y －6=06．两平行直线2y x =和25y x =+间的距离是 .考点4：（二）有关对称问题例6、求直线1:23l y x =+关于直线:1l y x =+对称的直线2l 的方程。
（三）解析法（坐标法）应用例7如图，已知P 是等腰三角形ABC 的底边BC 上一点，P M ⊥AB 于M ，PN ⊥AC 于N ，用解析法证明|PM|+|PN|为定值。
考点5：两直线的交点与距离例8(1)求经过直线l 1：3x ＋2y －1＝0和l 2：5x ＋2y ＋1＝0的交点，且垂直于直线l 3：3x －5y ＋6＝0的直线l 的方程．(2)已知点P (2，－1)，①求过点P 且与原点距离为2的直线l 的方程；②求过点P 且与原点距离最大的直线l 的方程，并求最大距离．变式训练 直线l 经过点P (2，－5)且与点A (3，－2)和点B (－1,6)的距离之比为1∶2，求直线l 的方程． 考点6：对称问题例9 光线由点P (－1,3)射出，遇直线l ：x ＋y ＋1＝0反射，反射光线经过点Q (4，－2)，求入射光线与反射光线所在的直线方程．变式训练 1、已知点A 的坐标为(－4,4)，直线l 的方程为3x ＋y －2＝0，求：(1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线l 关于点A 的对称直线l ′的方程．2、平面直角坐标系中直线y ＝2x ＋1关于点(1,1)对称的直线方程是( )A ．y ＝2x －1B ．y ＝－2x ＋1C ．y ＝－2x ＋3D ．y ＝2x －3考点7： 两条直线的平行例10 已知过点(2,)A m -和点(,4)B m 的直线与直线210x y +-=平行，则m 的值为（ ）A ．0B ．8-C ．2D ．101．下列说法中正确的是（ ）. A. 平行的两条直线的斜率一定存在且相等 B. 平行的两条直线的倾斜角一定相等 C. 垂直的两直线的斜率之积为-1 D. 只有斜率相等的两条直线才一定平行2．已知直线mx +ny +1=0平行于直线4x +3y +5=0，且在y 轴上的截距为13，则m ，n 的值分别为（ ）. A. 4和3 B. －4和3 C. －4和－3 D. 4和－33.已知两条直线12:330,:4610.l ax y l x y +-=+-=若12//l l ，则a =（） Ａ．5 Ｂ．4 C ．3 D ．24.已知两条直线012)1(:1=++-y x a l ,03:2=++ay x l 平行,则=a （ ）A ．-1B ．2C ．0或-2D ．-1或25、已知直线l 1：x ＋my ＋6＝0，直线l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，问当m 为何值时，l 1与l 2：(1)相交？(2)垂直？(3)平行？(4)重合？6、已知直线x ＋a 2y ＋6＝0与直线(a －2)x ＋3ay ＋2a ＝0平行，则a 的值为( )A ．0或3或－1B ．0或3C ．3或－1D ．0或－17、已知直线0323=-+y x 和016=++my x 互相平行，则它们之间的距离是 ( ) A. 4 B.13132 C. 26135 D. 26137 考点8：两条直线的垂直例11. 直线10x ay ++=与直线(1)230a x y +-+=互相垂直，则a 的值为（） A ．2- B. 1- C ．1 D ．2 1.直线1l :kx +(1-k )y -3=0和2l :(k -1)x +(2k +3)y -2=0互相垂直,则k =A ．-3或-1B ．3或1 C ．-3或1 D ．-1或3 5．点2.已知0≠a 直线04)2(=+++y b ax 与直线03)2(=--+y b ax 互相垂直，则ab 的最大值等于 A.0 B.2 C.4 D.23、直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是（ ）A. 3x ＋2y －1＝0B. 3x ＋2y ＋7＝0C. 2x －3y ＋5＝0D. 2x －3y ＋8＝0考点9、最值问题：1、P 为x 轴上的一点，(1,1),(3,4)A B ，则||||PA PB +的最小值是_____2．已知(1,0)(1,0)M N -、，点P 为直线210x y --=上的动点．求22PM PN +的最小值，及取最小值时点P 的坐标．3、已知点P （2，-1）。