7 第5章角动量及角动量守恒定律
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第5章-角动量角动量守恒定律
② 在点2处
2
力矩 M 2
力矩定义式 M r v
P
{ 方向：垂直图平面向里， 大小； M 2 Gm0m / R
R
m
900
m0
1
角动量 L2
同上理可得 m 的速度v2 Gm0 / R
{
方向：垂直图平面向外，
L2
大小； L2 m Gm0 R
例4、地球在远日点时，它离太阳的距离为r1 1.52 1011 m，
子从静止开始以速度 v 相对绳子向上爬，求重物上升
的速度。
(复习题一、三. 19)
解 设猴子、重物对地面的速度分别为 v1、v 2 。
由猴、重物组成的系统角动量守恒，得
v1 v2
R
∵ v1 v猴绳 v绳-地 v v绳-地
v1
v2
而 v绳地 v物地 v2 , 则 v1 v v2
物体运动仅受有心力作用时， 力对力心 O点的力矩始终为零。
m 有心
在有心力作用下，运动物体
r 力F
对力心 O 的角动量守恒。
力心o
L1 L2
r1
mv1
r2
mv2
行星绕太阳运动：
引力指向太阳，行星在引
力动的(，力有而矩心且为力零)r作，//F用M，下对r绕 力太F心阳O0运,
，且有
d
2 2
d12
d
2 3
，试求：(1)小球所受重
{ 力相对 A,
解 (1) MA
B力, 矩C 的M力矩r；
(2)小球相对 F
方向：垂直图平面向里，
大小；
大学物理角动量转动惯量及角动量的守恒定律
方向垂直于轴，其效果是改
变轴的方位，在定轴问题中，
第二项
与轴承约束力矩平衡。
M 2rF
方称为向力平对行于轴的轴矩，，其效表果为代是数改变量绕：轴M 转z 动 状r态，F
即： i j k
Mo rFx y z
Fx FyFz
i yFz zFy jzFxxFzk xFyyFx
Mz xFyyFx
由
rc
i
miri M
rc
i
miri M
ri m ivcM rc vc0
i
质心对自己的位矢
L r c m iv ir i m iv c r i m iv i
i
i
i
与 i 有关
第三项：
rimivi 各质点相对于质心角动量的矢量和
i
反映质点系绕质心的旋转运动，与参考点O的选择无关，
o ri
vi
mi
L io 大 方小 向 Lio ： ： rimiv沿 i miri2 即 L iomiri2
在轴上确定正方向，角速度 表示为代数量，则
定义质点对 z 轴的角动量为:
LizLiom iri2
刚体对 z 轴的总角动量为：
Lz Liz ri2mi
i
i
ri2mi
i
对质量连续分布的刚体：
02
3
4. 求质量 m ,半径 R 的均匀球体对直径的转动惯量
解：以距中心 r，厚 dr 的球壳
dr
R
r
o
为积分元
dV4r2dr
m
m
4 R3
3
dJ3 2dmr22m R3 4rdr
dm dV
J
R
dJ
7 第5章角动量及角动量守恒定律
ω
z
dx
r r x⊥v = x 2ω d m dLz = x（xω d m) ⋅
Lz = 2ω ∫0
l 2
v = xω
x
(kg ⋅ m 2 / s)
x
1 2 x d m = ml ⋅ ω 12
2
角动量为z轴方向
19
r r r 1) 对O点 作用在一个质点上的力矩 M = r × F 一个质点 N ⋅m 力矩的大小： M = rF sin α r Z r r 方向 (r × F ) M 右手螺旋 r
r r r M = r×F
（三）力矩
特点：矢量性 瞬时性 状态量
Mz
θ
mr
r
α 对Z轴的力矩: M
X
F
z
r r = k⋅M
o
Y
M z = Fr sin α ⋅ cos θ
20
2）对O点
r r r r M = ∑ M i= ∑ ri × F外i
i
作用在质点系的力矩
i
3）对O点 作用在连续分布物体的“弥散 力”的力矩 r r r r r M = ∫ dM dM = r × dF
2
势能及其零点的选取
保守力与势能的积分关系 (1) 重力势能:
E
r r F ⋅ dr
a
E Pa = mgh a
势能零点b的位置
(2) 弹性势能： E = 1 kx 2 P 2
弹簧原长处为零势能位置。 弹簧原长处
Mm 选无穷远处为势能零点。 (3) 万有引力势能： P = −G E 无穷远处 r
连续分布物体
r L=
物体
r dL ∫
r v v L = ∫ r × v dm
圆周运动：角动量和角动量守恒
角动量守恒在量子力学和粒子物理学中也有着重要的应用，对于理解微观世界的运动规律具有重要意义。
角动量守恒在未来的发展前景和影响将更加广泛，对于推动科学技术的发展和进步具有重要意义。
如何理解和掌握角动量守恒定律
6
学习角动量守恒定律的方法和技巧ຫໍສະໝຸດ 理解角动量守恒定律的难点和重点
角动量的定义：理解角动量的物理意义和数学表达式
角动量守恒可以帮助我们理解各种旋转运动现象，例如地球自转、陀螺旋转等。
角动量守恒还可以帮助我们解决一些实际问题，例如设计旋转机械、分析旋转物体的稳定性等。
角动量守恒在科技领域的应用价值
光学器件：利用角动量守恒原理，制造出高性能的光学器件，如光纤陀螺仪等
粒子加速器：利用角动量守恒原理，提高粒子加速器的性能和效率
角动量守恒定律
3
角动量守恒的条件
系统不受外力矩作用
系统的角动量守恒定律适用于旋转参考系和惯性参考系
系统的角动量变化率为零
系统内力矩之和为零
角动量守恒的证明方法
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
角动量守恒定律：L=mvr
牛顿第二定律：F=ma
角动量守恒的条件：系统不受外力矩作用
角动量守恒的证明：通过牛顿第二定律和角动量守恒定律，推导出角动量守恒的条件，从而证明角动量守恒定律。
角动量守恒定律：在圆周运动中，角动量保持恒定
角动量的大小：与物体的质量和速度成正比
角动量的变化：在圆周运动中，角动量不会发生变化，除非有外力作用
圆周运动中角动量守恒的证明
角动量守恒定律：在封闭系统中，系统内各物体的角动量之和保持不变
证明过程：假设物体在圆周运动中受到外力作用，根据牛顿第二定律，外力作用在物体上会产生加速度
第5章角动量角动量守恒定律
任一行星和太阳之间的联线,在相等 的时间内扫过的面积相等, 即掠面速 度不变.
(2) 说明天体系统的旋转盘状结构.
v
r
O
B S
A r
[证明]
(1) 行星对太阳O的角动量的大小为 L r p rmvsin
其中 是径矢 r 与行星的动量 p 或速度 v 之间的夹角.
用 s 表示 t 时间内行星所走过的弧长, 则有
dt
若 M外 0
则 dL 0 或 L 常矢量
dt
若对某一固定点，质点所受合外力矩为零， 则质点对
该固定点的角动量矢量保持不变。
例：质点做匀速直线运动中，对0点 角动量是否守恒？
Lo r mv
rmvsin
r mv
L
r
O r
A
p mv
6
例 试利用角动量守恒定律:
1) 证明关于行星运动的开普勒定律:
v1
r1
B S
A
O
r1
积, 如图中所示.
其中 d /dt 称为掠面速度.
由于万有引力是有心力, 它对力心O的力矩总是等于零, 所以角动量守恒, L=常量, 行星作平面运动, 而且
d L 常量
dt 2m
这就证明了掠面速度不变, 也就是开普勒第二定律.
8
(2) 角动量守恒说明天体系统的旋转盘状结构
lim L r ms sin
t0 t
lim L
2m 2m d
t0 t
dt
若用 r 表示从O到速度矢量 v 的垂直距离, 则有
r sin s rs 2
7
lim L
2m 2m d
t0 t
dt
C D
其中 是 t时间内行星 v2
(2) 说明天体系统的旋转盘状结构.
v
r
O
B S
A r
[证明]
(1) 行星对太阳O的角动量的大小为 L r p rmvsin
其中 是径矢 r 与行星的动量 p 或速度 v 之间的夹角.
用 s 表示 t 时间内行星所走过的弧长, 则有
dt
若 M外 0
则 dL 0 或 L 常矢量
dt
若对某一固定点，质点所受合外力矩为零， 则质点对
该固定点的角动量矢量保持不变。
例：质点做匀速直线运动中，对0点 角动量是否守恒？
Lo r mv
rmvsin
r mv
L
r
O r
A
p mv
6
例 试利用角动量守恒定律:
1) 证明关于行星运动的开普勒定律:
v1
r1
B S
A
O
r1
积, 如图中所示.
其中 d /dt 称为掠面速度.
由于万有引力是有心力, 它对力心O的力矩总是等于零, 所以角动量守恒, L=常量, 行星作平面运动, 而且
d L 常量
dt 2m
这就证明了掠面速度不变, 也就是开普勒第二定律.
8
(2) 角动量守恒说明天体系统的旋转盘状结构
lim L r ms sin
t0 t
lim L
2m 2m d
t0 t
dt
若用 r 表示从O到速度矢量 v 的垂直距离, 则有
r sin s rs 2
7
lim L
2m 2m d
t0 t
dt
C D
其中 是 t时间内行星 v2
第5章角能量角能量守恒定律
行星绕太阳运动: 引力F 指向太阳( 有心力)
r//
F
M
r
F
0
有心力 力矩为零 对力心的角动量守恒
第五章 角能量、角能量守恒定律
本章主要阐述四个问题： 一、角动量 二、力矩。 三、质点角动量定理、角动量守恒定律。 四、质点系角动量定理、角动量守恒定律。
四、 质点系角动量定理
0
dt
v M
v dL
dt
质点所受的合外力矩等于它的角动量对时间的变化率
三、 质点角动量守恒定律
uur 如果M＝0则
d
ur L
ur 0即L＝常矢量
dt
如果对于某一固定点，质点所受的合外力矩为零，则此质 点对该固定点的角动量矢量保持不变。
注意： 1、角动量守恒定律也是自然界普遍适用的一条基本规律。
平
面
服从右手螺旋法则。
x
O
r
r
m
y
p
单 位 ： kg m2 s1
质点对某参考点的角动量反映质点绕该参考点旋转运动的强弱。
特例：质点圆周运动的角动量 v r L rmvsin 90o mvr
第五章 角能量、角能量守恒定律
本章主要阐述四个问题： 一、角动量。 二、力矩。 三、质点角动量定理、角动量守恒定律。 四、质点系角动量定理、角动量守恒定律。
精品课件！
精品课件！
【例题2】证明关于行星运动的 开普勒第二定律：行星对太阳的 矢径在相等的时间内扫过相等的 面积。这个结论也叫等面积原理。
L
v
r
r m
证明：行星受力方向与矢径在一条直线（有心力），故角动 量守恒。
角动量、角动量守恒定律的分析
02
3
4. 求质量 m ,半径 R 的球体对直径的转动惯量
解：以距中心 r ，厚 dr 的球壳
R
dr
r
为积分元
o
dV 4r 2dr
m
m 4 R3
3
dJ
2 3
dm r 2
2mr 4dr R3
dm dV
J
R
dJ
0
2mr 4dr R3
2 5
mR2
注意： 对同轴的转动惯量才具有可加减性。
直于杆，分别过杆的中点和一端端点的轴的转动惯量。
解：(1) 轴过中点
dm
x
L2
ox
L 2
L
J
r 2dm
m L
1 3
L3 8
L
x2dm
x 2 2
L
L3 8
1 12
2
mL2
m dx L
m L
1 3
x3
2 L
2
(2) 轴过一端端点
dm
o
x
Lx
J r2dm x2dm L x2 mdx 0L m 1 x3 L 1 mL2 L3 0 3
o r m p
p
or
* 质点对某参考点的角动量反映质点绕该参考点旋
转运动的强弱。
*必须指明参考点，角动量才有实际意义。
2. 质点系角动量
L
系i统L内i vr所ii 有i vr质rcci 点 rvp对iii 同 无一有i'：'参：r对i对考参质考点m心点i角vi 动o量r1pr的c1 矢crrp量2ir2i和
i
i
i
式中 J ri2mi
i
刚体对轴的转动惯量
5--角动量 角动量守恒定律x
t=0
刚体定轴转动
ω ω
v
v
4. 线量与角量关系
dS = r ⋅ dθ
பைடு நூலகம்r a
切向分量 法向分量
dv dω at = = r = rα dt dt v2 an = = rω2 r
匀变速定轴转动
v v v v =ω×r
z
ω
v
20
r
O
dS
dθ P
匀变速直线运动
dS v= dt dv a= dt
v = v0 + at 1 2 S = v0t + at 2 2 v2 − v0 = 2aS
一对内力的力矩互相抵消 一对内力的力矩互相抵消 力矩
v v v v dL 量 M外 = 0时 = 0 L = ∑Li = 常 dt v M外 = 0 讨论; 不要求系统孤立, 讨论 1) 不要求系统孤立 只要求 v 2) 矢量式有 个分量式 即 M 的某个分量 矢量式有3个分量式 个分量式,即 的某个分量=0, 则相应角 外
v m ri i
∑
∑
角动量守恒说明天体系统的旋转盘状结构
12
猫尾巴的功能
已知：轻绳， 忽略滑轮的质量和轴的摩擦) 已知：轻绳，v10 = v20 =0，(忽略滑轮的质量和轴的摩擦) 问：m1= m2时，(A) m1先到；(B) m2先到；(C) 同时到 先到； 先到；
m1≠ m2时，(A) m1先到；(B) m2先到；(C) 同时到 若m1< m2 先到； 先到；
由角动量定理
r N
以向纸 内为正
O R
M外
dL r (爬) (不爬 mg 不爬) r 不爬 若 m1 > m2 : < 0, ∴ L < 0 m2g 爬 1 dt 轻的升得快； 有 m1v1 − m2 v2 < 0, ∴ v1 < v2 轻的升得快；
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mgl
x dx
x
Lz
l
2 2 0
x2 dm
1 ml 2 12
dF
Mz
dLz dt
d 3g
dt
l
棒作匀减角速度转动.
dL dt
(五)
M
角动量守恒定律
当 M 0时 L2 L1 恒 矢 量
守恒指过程中任意时刻
合外力矩为零，质点或质点系总角动量守恒
对同一定点
角动量守恒条件
1 孤立系（质点或质点系不受任何外力作用） 2 有心力场 对力心角动量守恒
解:对象: 滑轮+绳+A+B z轴正向:O点向外 .
对z 轴的合力矩为0 对z轴,系统角动量守恒
A 、 B对O点速率v'A,v'B
rmvA rmvB 0 则 vA vB
可见,不论A、B对绳的速率vA、vB如何 二人对O（即地面参考系）的速率相同
结论：同时到达O点
例: 质量为m的小球系在绳的一端，另一端通过圆孔向
方向垂直于纸面向里
例 质量为m,长为l的均匀直棒在粗糙桌面上绕中
心解轴: 旋dM转,棒r与 d桌F面间的摩擦系数为.求摩擦力矩
元段dx所受摩擦力:
d F g d m g
m
d
x
z
dM
M
x d F
l
2 2 0
d
M
g mlx d
1
l
mgl
4
x
x dx x
dF
摩擦力矩沿z轴的负方向
（四）角动量定理
势能及其零点的选取
保守力与势能的积分关系
"0"
E F dr
Pa
a
(1) 重力势能:
EPa mgha
势能零点b的位置
(2) 弹性势能： E 1 kx2 弹簧原长处为零势能位置。 P2
(3)
万有引力势能：E P
G
Mm选无穷远处为势能零点。 r
A E E E 保守力的功等于势能的减少
ab
1
2
F
由动能定理
A
1 2
m v22
1 2
m v12
1 2
m v12
(
r1 r2
)2
1
思考：该题为什么强调始末时质点轨迹为圆？
已知: 光滑水平桌面 小球m 和初始运
动方向;弹性绳（k)自然长度 l0
问：当小球与O点的距离为最大时 小球的速度及它的初速率．
L方 向 ： v
解：以小球与绳为系统 机械能守恒：
本次课的重点与难点
重 角动量 力矩 点 质点/质点系 角动量定理
质点/质点系 角动量守恒定律及应用
难 1.熟练掌握运用角动量守恒定律 点 2.正确判断角动量守恒定律的条件
（一） 质点的角动量
定义 质点对定点0点的角动量：
L r p r mv
kg·m2·s-1
大小： L mvrsin L
判断下列情况角动量是否守恒：
圆锥摆运动中，做水平
C
匀速圆周运动的小球m,
T
（1）对C点的角动量 否
O
mg
C'
（2）对O点的角动量 是
（3）对竖直轴CC’的角动量 是
例: 半径为r 的轻滑轮的中心轴O水平地固定在高处,其
上穿过一条轻绳,质量相同的两人A、B 以不同的爬绳速 率vA、vB从同一高度同时向上爬,试问谁先到达O处.
(1) 1
2
m
v12
1 2
k(l1
l0
)2
1 2
m v2
1 2
k(l
l0
)2
O
l1
对O点角动量守恒 l1mv1 sin300 lmvsin90
l
v1
1 300
L1方 向 ：
(2)
当小球与O点的距离为最大时小球的 速度方向与弹性绳的辐射线方向垂直
v1 v
已知: 地球的质量和半径
分别为M和R． 一质量 为 m的小球以速度 v0
力矩的大小：
Z 方向
M
r F
rF sin
M
右手螺旋
M
F
M rF
θ
m
对Z轴的力矩:
Mz
kM
r
o
X Mz Fr sin cos
Y
2）对O点 作用在质点系的力矩
M Mi ri F外i
i
i
3）对O点 作用在连续分布物体的“弥散力”
的力矩
dM r dF
M dM
物体
例：质量为
注意：区分质点对Z轴的角动 量还是对某一点O的角动量
例：质量为
m
的质点某时刻的位置如图，速度为
v
6j
受力为 F 2 j （SI）
y
求：该时刻质点对0点的角动量 L ？
（4，3）
解：
L
r mv ,
r 4i 3 j
0
x
L (4i 3 j ) 6mj 24m k (Z轴正方向)
N
Байду номын сангаас
r
B
vG
（二） 质点系的角动量
对定点O点 质点系 L
Li
ri Pi
i
i
连续分 布物体
dL r dp r vdm
dp d(mv) vdm
L dL
物体
L r vdm m
例质量为m长为l的均匀直棒在粗糙桌面上绕中心轴
旋转 求当直棒旋转的角速度为ω时角动量?
解:取Oxz坐标系转动为z轴方向
2.在任意t时刻，质点对原点0的角动量.
M r F L r mv
0P b
x
解: 在t时刻
r
bi
1
gt
2
j
F mgj
M r F
v
gtj
(
bi
1
2
gt 2
j
)
mg j
bmg k
y
2
方向垂直于纸面向里
L
mr
v
m(bi
1 2
gt 2 j ) gtj
bmgt k
L
v
r 0Sun r
角动量的大小变化和方向不变
例：半径为R的光滑圆环铅直放置，质量为m的小球穿在
圆环上，开始小球静止于A点并下滑
求：小球滑至B点时对O点的角动量和角速度
解： 由机械能守恒
mgRsin 1 mv2 0 1 mR22
2
2
OR A
(
2g
sin
)
1 2
L
R R
mv
L R2m
L2
A
k
R o
Rmv0 3Rmv sin
v0
C 3R
v o'
万有引力是保守力，以m,M为系统，机械能守恒：
1 2
m
v02
GMm 1 m v2 R2
GMm 3R
v
作业:
5.5; 5.6; 5.10; 5.12 下次课： 习题课
质点力学
《大学物理能力训练与知识拓展》
对某一个质点
dL dt
d dt
r p
v p
d
r
dt
r
p F
r
ddt
r
p F
M
一个质点角动量定理
M
dL
对相同的空间O点
质点系的角动量定理
dt
dL
M外力 dt
M外 力 Mi
i
对O点的冲量矩
t2
Mdt
t1
L2 L1
dL
L2
L1
角动量定理在直角坐标系中分量式
dL
对o点 M
上次课主要内容回顾
变力的功
dA F dr
元功定义
一对力的功
dA f2 dr21
两个物体间一对力所做的功之和与参考系选择无关，等
于一个物体所受到的另一个物体的作用力与该物体对另 一个物体的相对元位移的点积
A
F dr
F
dr
1
2
对于一个系统，总功等于系统中所有（内，外） 力所做的功的代数和。
矢量性 瞬时性 状态量
例质点匀 速率圆周运 动
（对圆心的）角动量：
L
L mr v
r v
Or v
大小 L mvrsin mvr 方向： m
角动量的大小和方向都不变
例 行星匀速率绕太阳公转时的椭圆轨道运动对定
点（太阳）的角动量：
L r p m(r v)
v
大小： L mvrsin 方向：
3 对某轴外力矩的和为零，则对该轴的
角动量守恒
MX Mix 0 ; Lx 常量
角动量守恒的应用
开普勒第二定律的证明：
r // f
M r f 0
L
行星受有心力作用，角动量守恒 行星的动量时刻在变,但其角动量不变.
v
r
m
r
在研究质点受有心力作用的运动时,角动量将代替动 量起着重要的作用.
下，水平面光滑，开始小球作圆周运动（r1,v1)然 后向下拉绳，使小球的运动轨迹为r2的圆周
求：（1）v2=？ （2）由r1r2时，F作的功
解：1 作用在小球的力始终通过O点
由质点角动量守恒：
（有心力）
v2
mv 1r1 mv 2r2
v1
２由v2r1vr12(时rr12，) F(作的v1功)
r r O
沿地球表面向右飞 行．当OC的长度为３R 时，不计地球自转和空 气阻力．
v0 A
R
C
o 3R
v o'