质点角动量及其守恒定律
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角动量及其守恒定律
m r2 r1 J0
22
因为 1 2， 1 1 2 E k 1 J 1 1 ( J 1 1 ) 1 2 2 相 E k1 E k 2 等 1 1 2 E k 2 J 2 2 ( J 2 2 ) 2 2 2 即系统的机械能不守恒。
23
人双臂收回过程中，内力做功，
J 2
l/2
r dr
2
1 12
l
3
0
1 12
ml
2
如转轴过端点垂直于棒 l 1 2 J r d r ml 2 0 3
例3 一质量为 m 、半径为 R 的均匀圆盘，求通 过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量 .
解 设圆盘面密度为 ， 在盘上取半径为 r ，宽为 d r 的圆环
v M (2 gh )
u l 2
1 2
M
h N
B
l 2 1 12
2
2
把M、N和跷板作为 一个系统, 角动量守恒
mvM l 2 J 2 mu
C l
m l 1 2 1 6 m ( 2 gh )
A l/2
ml
2
解得
mvMl 2 m l
2
2
12 ml
2
2 2 2
质量连续分布刚体的转动惯量
J
m
j
j j
r
2
r dm
2
d m ：质量元
例2 一质量为 m 、长为 l 的均匀细长棒，求 通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量 .
O
l 2
O
dr
l 2
r
dr
O´
45--质点的角动量-角动量守恒定律
v0 r0 r1
A
1 2
mv12
1 2
mv02
1 2
mv02
r02 r12
1
6
质点的角动量 角动量守恒定律
1
一.角动量
质点对一固定参考点的
角L动量r：
P
r
mv
L o r m
θ P
p
大小：L＝ r m v sin
方向：右手螺旋定则判定
L
r
p
注意：
a) 必须指明是对谁的角动量；
LP or
b)作圆周运动的质点的角动量 L＝ r m v
c)角动量是描述转动状态的物理量；
d)质点的角动量又称为动量矩。
2
二.质点角动量定理
力对一固定参考点的力矩
M
r
F
r是P点相对于固定点O的位矢。
M or
d
F
θ
p
大小：M＝F r sin
方向：右手螺旋定则判定
M
r
F
将角动量对时间求导，有：
dL dt
ddt(r
mv)
dr dt
mv
r
dmv dt
r
F
得到
M
dL
dt
F
dP
dt
3
将
M
dL
两边同时乘以 dt ，得：
5
例、质量为m的小球系在绳子的一端，绳穿过 光滑水平面上一小孔，使小球限制在水平面上 运动。先使小球以速度v0绕小孔作半径为r0的 圆周运动，然后缓慢向下拉绳使圆周半径减小
为r1，求：（1）小球距管心r1时的速度；（2） 由r0缩短到r1过程中拉绳作的功。
解：角动量守恒
2.4质点的角动量定理和角动量守恒定律
t1
质点的角动量定理：对同一参考点O，质点 所受的冲量矩等于质点角动量的增量.
M 0,
例 2-6
四. 质点的角动量守恒定律
L 恒矢量 （有心力作用）
7
作用于质点的合外力对参考点 O 的力矩，等 于质点对该点 O 的角动量随时间的变化率. 强调：力矩和角动量都是相对同一个参考点的。
6
dL
dm v
dr
物理学
M
dL
t1 dt t2 M d t ：力矩对给定点的冲量，称为冲量矩
t2
M d t L 2 L1
Mi 0
F
F
M i 2r F 0
4
i
Fi 0 ,
i
物理学
三 质点的角动量定理
dp dt F
dL dt
？
5
物理学
d (r mv ) r mv dt dt dt dt dr dL dp v , v mv 0 r rF dt dt dt dL 质点角动量定理 M 的微分形式 dt
物理学
2.4 质点的角动量定理和角动量守恒定律
z
1. 质点的角动量 质量为 m 的质点以速 度 v 运动，某时相对 参考 点O 的位矢为 r ，则定义 质点对O的角动量为： L r p r mv 大小: L rm v sin 方向: 符合右手法则 角动量单位：kg· 2·-1 m s
O
z
F
r
d
*
P
M rF
d : 力臂
M
力矩的方向： （叉乘的方向）
07. 质点角动量与角动量守恒定律
mv2r2 mv1r1
v2r2 v1r1
表明小球对圆心的 角动量保持不变。
例：行星运动的开普勒第二定律。
解：太阳作为力心，行星受到有心引力， 万有引力，行星相对力心（太阳）的角动 量守恒。行星作平面运动，其轨道是以太 阳为焦点的椭圆。
0
r α
L mvr sin r r sin dr mr sin m lim t 0 dt t 2s m lim t 0 t ds 2m dt
显然，上关系中的Ｌ，Ｍ是相对同一参考 点而言。 类似质点的动量定理的讨论，有
dL Mdt
t2 L 2 L 2 Mdt t1
（冲量矩）
上关系用的不多，但基本概念应清楚。 如已知ｔ１～ｔ２的Ｌ变化，求平均力矩。
三、 角动量守恒定律 对某一参考点，若质点受的合外力矩为零， 则质点相对此点的角动量不变， Ｌ＝常矢 即质点相对此点的角动量守恒。 质点角动量守恒定律又表明了运动中存在 的一个不变量。 ∵Ｌ＝ｍｒ×ｖ 其方向也不变，决定了 质点在ｒ与ｖ确定的平面上运动。
§2－7 质点的角动量 角动量定理 一、力矩 角动量 力矩的定义：Ｍ＝ｒ×Ｆ
F M r 0 ｒＯ
α
Ｍ的大小：
Ｍ＝ｒＦｓｉｎα＝ｒ Ｆ ｒ ，力臂，０到力作用线的垂直距离。 Ｍ的方向： 右手螺旋法则。右手四指由ｒ向Ｆ方向 （小于π）转，拇指的方向，显然Ｍ垂直ｒ， Ｆ构成的平面。
Ｏ Ｏ
ＳＩ：ｍＮ（量纲同功，物理量不同。） 力矩的定义与力的三要素（力的大小、方 向、力作用点的位置（坐标）有关。）
ds/dt行星对太阳的位矢在单位时间扫过的面 积，掠面速度。 ∵Ｌ大小不变，ds/dt不变。
行星与太阳的连线在相同时间内扫过相等的面积
质点角动量定理 角动量守恒
v2
o
v1
4)角动量守恒定律是物理学的基本定律之一。不 仅适用于宏观体系，也适用于微观系统。
2.5 质点角动量定理 角动量守恒
例1 一小球在光滑平面上作圆运动，小球被穿 过中心的线拉住 。开始时绳半径为r1 ，小球速 率为 v1 ；后来，往下拉绳子，使半径变为 r2 ， 小球速率变为 v2 ，求v2 =？
ri fi 0
i
有
dL M外 dt
质点系的角动量定理：质点系对某定点的角 动量的时间变化率等于质点系对该点的合外 力矩。
2.5 质点角动量定理 角动量守恒
结论：
1）内力对定点的力矩之和为零。 2）只有外力矩才能改变系统的总角动量。 3.质点系的对轴的角动量
L Lx i Ly j Lz k
当质点系对某点的合外力矩为零时，则质点 系对该点的角动量保持不变，称为角动量守恒定 律。
角动量守 恒例题
2.5 质点角动量定理 角动量守恒
盘状星系——角动量守恒的结果
质点系对o点的角动量
r2
o
r1
L Li ri Pi
i i
质点系对o点的角动量等于系统中各质点对 同一点角动量的矢量和。
2.5 质点角动量定理 角动量守恒
2.质点系的角动量定理
用 f i 表示第i个质点所受内力之和
用 Fi 表示第i个质点所受外力之和
三、质点的角动量定理 dP 由牛顿第二定律 F dt
dP 两边用位矢叉乘 r F r dt dp d dr r (r p) p dt d dt t
由速度定义
dr v v p 0 dt
质点系角动量守恒定律
dL τ ，再考虑诸质点所受惯性力的力矩，即得 dt
dL τ i外 ri (mi ac ) dt 式中惯性力矩又可写作 mi ri dL ( mi ri) ac ( ) mac τ i外 m dt
此即质点系对质心的角动量定理，与惯性系中角动量定理具有完 全相同的形式。是表明质心系特殊和重要性的又一个例子。
第五章 角动量•关于对称性
前言 质点的角动量 质点系的角动量定理及角动量守恒定律 质点系对质心的角动量定理和守恒定律 对称性 • 对称性与守恒律 经典动力学的适用范围
§5.1 前
一、本章的基本内容及研究思路
言
角动量概念的建立和转动有密切联系，在研究物体的运动 时，人们经常可以遇到质点或质点系绕某一确定点或轴线运动 的情况，并且在这类运动中也存在着某些共同的重要规律。例 如，天文观测表明，行星绕日运动遵从开普勒第二定律，在近 日点附近绕行速度较快，远日点速度较慢，这个特点如果用角 动量及其规律很容易说明。特别是在有些过程中动量和机械能
当τ iz 0时,
Lz 常量.
§5.4 质点系对质心的角动量定理和 守 恒 定 律
前面给出的角动量定理和角动量守恒定律都相对于惯性系 而言，现在研究质心参考系中质点系角动量的变化规律。如图 （a），C xyz 即质心参考系。C 为质心，x ' , y ' 和 z 坐标轴
与惯性参考系 O xyz 的 x, y 和 z 轴总保持平行，而质心具有 加速度 ac 。 z
四、质点对轴的角动量定理和守恒定律（自阅）
§5.3 质点系的角动量定理及角动量守恒定 律
一、质点系角动量定理
设质点系由 N 个质点组成，对选定的某固定参考点，第 i 个 质 点的角动量定理的表达式为τ dLi
§4.4.1 质点角动量及其守恒定律
z
L
mv
m
(
kg· m2/s
)
o
x
大小：L rmv sin
r
y
方向：依右手定则
☻ L 不仅与质点的 v 有关, 且与原点o的选取有关 。
对圆运动，o点选在圆心。对有心力场的运动， o点
常选在力心上。
·4 ·
Chapter 4. 刚体
§4. 4 质点角动量及其守恒定律
积分形式：对同一参考点o，质点所受的冲量矩等于
·7 ·
Chapter 4. 刚体
§4. 4 质点角动量及其守恒定律
3. 质点角动量守恒定律
dL 若 M 0 ，即 M 0 ，则 L= 常矢量，质点 dt 的角动量守恒。
角动量守恒条件：
F
d 0F F 0
M r F 0
Chapter 4. 刚体
§4. 4 质点角动量及其守恒定律
§4.3 质点角动量及其守恒定律
·1 ·
Chapter 4. 刚体
§4. 4 质点角动量及其守恒定律
v
m
若 v 常数，则：
o
r
动量守恒吗？ p mv 常矢量 但 L r mv 常矢量
·2 ·
o
太阳
rB
B
rAv A rBvB rB rA vB v A
·10 ·
Chapter 4. 刚体
§4. 4 质点角动量及其守恒定律
水平台面上转动的小球角动量守恒
v
o
r F 0
F
rmv 常数
·11 ·
Chapter 4. 刚体
L
mv
m
(
kg· m2/s
)
o
x
大小：L rmv sin
r
y
方向：依右手定则
☻ L 不仅与质点的 v 有关, 且与原点o的选取有关 。
对圆运动，o点选在圆心。对有心力场的运动， o点
常选在力心上。
·4 ·
Chapter 4. 刚体
§4. 4 质点角动量及其守恒定律
积分形式：对同一参考点o，质点所受的冲量矩等于
·7 ·
Chapter 4. 刚体
§4. 4 质点角动量及其守恒定律
3. 质点角动量守恒定律
dL 若 M 0 ，即 M 0 ，则 L= 常矢量，质点 dt 的角动量守恒。
角动量守恒条件：
F
d 0F F 0
M r F 0
Chapter 4. 刚体
§4. 4 质点角动量及其守恒定律
§4.3 质点角动量及其守恒定律
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Chapter 4. 刚体
§4. 4 质点角动量及其守恒定律
v
m
若 v 常数，则：
o
r
动量守恒吗？ p mv 常矢量 但 L r mv 常矢量
·2 ·
o
太阳
rB
B
rAv A rBvB rB rA vB v A
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Chapter 4. 刚体
§4. 4 质点角动量及其守恒定律
水平台面上转动的小球角动量守恒
v
o
r F 0
F
rmv 常数
·11 ·
Chapter 4. 刚体
5-2 质点系的角动量定理及角动量守恒定律
若质点系的所有质点均分别在与 z 轴垂直的平 面内运动，且一共同的角速度绕 z 轴作圆周运动， 则质点系对 z 轴的角动量为
Lz ri mi vi mi ri
i i
2
当质点系对轴的角动量守恒时：
ri 变小，则
M z 0 ，Lz 常量
增大；
ri 变大，则
减小.
质点系对轴的角动量定理
质点系对轴的角动量定理
dLz Mz dt
如果在一个过程中，质点系所受的外力 对 z 轴的力矩始终保持为零，则质点系对该 轴的角动量守恒.
M z 0 ，Lz 常量
质点系对轴的角动量守恒定律
当内力矩远大于外力矩时，质点系对轴的角动量 也是守恒的. （例：P170例1）
在直角坐标系中，上式沿三个坐标轴的投影式为
dLy dLx dLz M x M ix , My , Mz . dt dt dt
• 如果只考虑上式中某一个分量，例如 z 分量，则 表现为对轴的特征：即质点系对于 z 轴的角动量对时 间的变化率等于质点系所受一切外力对 z 轴力矩的代 数和，叫做质点系对 z 轴的角动量定理。
ri fij rj f ji (ri rj ) fij 0
ri fij 0
i i j
成对出现的内力对参考点的力矩矢量和为零. 由于系统内力总是成对出现，则系统内力矩的矢量和为零. • 可见，系统的内力矩只能使系统内各质点的角动量改变， 但不能改变质点系总的角动量。
如果在一个过程中，始终无外力矩作用或所受 的外力矩为零，则质点系的总角动量守恒 .
M外 0 ，L 常矢量
质点系对某一固定点的角动量守恒定律
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中，r代表的是从定点指
•
R
r
•
向质点的矢量，而非质点
的位矢 R。不过位移与坐
标系选取无关，所以有：
dR
dr
v
dt dt
2.4.4 质点角动量守恒定律
1. 质点角动量守恒定律
由质点角动量定理的微分形式可知，若 M 0 ，则：
L
r
p
常矢量
这叫质点角动量守恒定律。
2. 有心力作用下质点的运动 若质点始终受到一个指向固定点（称作力心）的作用力，
L
ri
pi
常矢量
i
这叫质点系角动量守恒定律。
必须指出：质点系所受合外力为零时，其角动量未必是守 恒的；反之，若质点系角动量守恒，也不意味着它所受合外 力为零。由此得到一个重要推论：质点系角动量守恒时，其 动量未必守恒；质点系动量守恒时，其角动量也未必守恒。
则称质点受有心力作用。例如，行星绕太阳的运动过程中， 太阳的万有引力就是有心力。
由于有心力始终通过力心，其力矩必然恒等于零，于是受 有心力作用的质点，对力心的角动量必守恒。
例2 — 17
L
r
v
m
L rm dr sin 2m dS 常量
dt
dt
dS 常量 dt
这便是开普勒行星第二运动定律。
2. 质点对定点的角动量
用质点的位置和动量，经过一个矢积运算，就可以构造出
质点对定点的角动量：
L
r
p
r
mv
L rmvsin ph
L
o• h
r
•
p
关于角动量的上述定义，同力矩的定义极为相似。
质点对定点的角动量，反映了质点绕着那个固定点的转动
情况。更几何化一点说，反映的是从定点到质点的那条连线
单位时间扫过的面积（面积速度）。 p
dr dr sin
O•
dS r ຫໍສະໝຸດ dS 1 r dr sin dS 1 r dr sin
2
dt 2 dt
L rm dr sin 2m dS
dt
dt
3. 圆周运动中的角动量 如果质点作圆周运动，则它对圆心的角动量大小为：
L mRv mR2
2.4.3 质点角动量定理
2.4 角动量及其守恒定律
2.4.1 力对定点的力矩
1. 影响物体转动状态的三个因素
•
•
•
分析表明，影响物体转动状态的因素有三个： （1）力的大小； （2）力的方向； （3）力的作用线到转轴的垂直距离（力臂）。
影响物体转动状态的三个因素其实可以用一个物理量来反 映，这就是我们将要介绍的力矩。
2. 力对定点的力矩
2.4.5 质点系角动量定理和角动量守恒定律
1. 质点系角动量定理
质点系对定点的角动量被定义为：
L
Li
ri pi
i
i
dL dt i
ri
dpi dt
i
ri
( Fi
f ji )
j i
容易证明，任何一对内力对同 一个定点的力矩矢量和为零：
ri f ji rj fij 0
ri
O•rj
fij
f ji
所以必有：
ri
f ji
0
i ji
于是质点系角动量定理的微分形式就成为：
dL
dt i
ri Fi
i
Mi M外
质点系角动量定理的积分形式如下：
t2
M外dt L2 L1
t1
2. 质点系角动量守恒定律
由质点系角动量定理的微分形式可知，若 M外 0 ，则：
1. 质点角动量定理的微分形式
dL
d
(r
mv )
r d (mv)
dr
mv
dt dt
dt dt
rF M
M
dL
dt
2. 质点角动量定理的积分形式
t2
Mdt L2 L1
t1
上式左边的积分叫冲量矩。
质点所受合力的冲量矩，等于质点角动量的增量，这叫 质点角动量定理。
有一点需要说明：在推导质点角动量定理微分形式的过程
定义力对定点的力矩：
M
M
r
F
o•
r
F
h
M M rF sin Fh
（1） （2）
M M
的方向垂直于 的大小等于由
F和 F和
rr决所定决的定平的行平四面边；形面积。
2.4.2 质点角动量
1. 对运动状态描述的补充 在质点运动学中我们已经知道，描述质点运动状态，只要
位置 r和动量 p（或速度）就足够了。但要描述质点系的运
动状态，只有位置和动量就不够了。请看下面的例子：
两个圆盘系统的总动量都为零，但它们明显地具有不同的 运动状态。我们必须有新的物理量来区分这两种状态才行。
用来区分上述两种不同状态的物理量叫角动量，也叫动量 矩。虽然从原则上说，描述质点运动状态完全可以不需要角 动量，但我们还是从定义质点角动量出发，然后再将其推广 到质点系（特别是后面要重点介绍的刚体系统）。
•
R
r
•
向质点的矢量，而非质点
的位矢 R。不过位移与坐
标系选取无关，所以有：
dR
dr
v
dt dt
2.4.4 质点角动量守恒定律
1. 质点角动量守恒定律
由质点角动量定理的微分形式可知，若 M 0 ，则：
L
r
p
常矢量
这叫质点角动量守恒定律。
2. 有心力作用下质点的运动 若质点始终受到一个指向固定点（称作力心）的作用力，
L
ri
pi
常矢量
i
这叫质点系角动量守恒定律。
必须指出：质点系所受合外力为零时，其角动量未必是守 恒的；反之，若质点系角动量守恒，也不意味着它所受合外 力为零。由此得到一个重要推论：质点系角动量守恒时，其 动量未必守恒；质点系动量守恒时，其角动量也未必守恒。
则称质点受有心力作用。例如，行星绕太阳的运动过程中， 太阳的万有引力就是有心力。
由于有心力始终通过力心，其力矩必然恒等于零，于是受 有心力作用的质点，对力心的角动量必守恒。
例2 — 17
L
r
v
m
L rm dr sin 2m dS 常量
dt
dt
dS 常量 dt
这便是开普勒行星第二运动定律。
2. 质点对定点的角动量
用质点的位置和动量，经过一个矢积运算，就可以构造出
质点对定点的角动量：
L
r
p
r
mv
L rmvsin ph
L
o• h
r
•
p
关于角动量的上述定义，同力矩的定义极为相似。
质点对定点的角动量，反映了质点绕着那个固定点的转动
情况。更几何化一点说，反映的是从定点到质点的那条连线
单位时间扫过的面积（面积速度）。 p
dr dr sin
O•
dS r ຫໍສະໝຸດ dS 1 r dr sin dS 1 r dr sin
2
dt 2 dt
L rm dr sin 2m dS
dt
dt
3. 圆周运动中的角动量 如果质点作圆周运动，则它对圆心的角动量大小为：
L mRv mR2
2.4.3 质点角动量定理
2.4 角动量及其守恒定律
2.4.1 力对定点的力矩
1. 影响物体转动状态的三个因素
•
•
•
分析表明，影响物体转动状态的因素有三个： （1）力的大小； （2）力的方向； （3）力的作用线到转轴的垂直距离（力臂）。
影响物体转动状态的三个因素其实可以用一个物理量来反 映，这就是我们将要介绍的力矩。
2. 力对定点的力矩
2.4.5 质点系角动量定理和角动量守恒定律
1. 质点系角动量定理
质点系对定点的角动量被定义为：
L
Li
ri pi
i
i
dL dt i
ri
dpi dt
i
ri
( Fi
f ji )
j i
容易证明，任何一对内力对同 一个定点的力矩矢量和为零：
ri f ji rj fij 0
ri
O•rj
fij
f ji
所以必有：
ri
f ji
0
i ji
于是质点系角动量定理的微分形式就成为：
dL
dt i
ri Fi
i
Mi M外
质点系角动量定理的积分形式如下：
t2
M外dt L2 L1
t1
2. 质点系角动量守恒定律
由质点系角动量定理的微分形式可知，若 M外 0 ，则：
1. 质点角动量定理的微分形式
dL
d
(r
mv )
r d (mv)
dr
mv
dt dt
dt dt
rF M
M
dL
dt
2. 质点角动量定理的积分形式
t2
Mdt L2 L1
t1
上式左边的积分叫冲量矩。
质点所受合力的冲量矩，等于质点角动量的增量，这叫 质点角动量定理。
有一点需要说明：在推导质点角动量定理微分形式的过程
定义力对定点的力矩：
M
M
r
F
o•
r
F
h
M M rF sin Fh
（1） （2）
M M
的方向垂直于 的大小等于由
F和 F和
rr决所定决的定平的行平四面边；形面积。
2.4.2 质点角动量
1. 对运动状态描述的补充 在质点运动学中我们已经知道，描述质点运动状态，只要
位置 r和动量 p（或速度）就足够了。但要描述质点系的运
动状态，只有位置和动量就不够了。请看下面的例子：
两个圆盘系统的总动量都为零，但它们明显地具有不同的 运动状态。我们必须有新的物理量来区分这两种状态才行。
用来区分上述两种不同状态的物理量叫角动量，也叫动量 矩。虽然从原则上说，描述质点运动状态完全可以不需要角 动量，但我们还是从定义质点角动量出发，然后再将其推广 到质点系（特别是后面要重点介绍的刚体系统）。