对质点系角动量定理的讨论
07. 质点角动量与角动量守恒定律
mv2r2 mv1r1
v2r2 v1r1
表明小球对圆心的 角动量保持不变。
例：行星运动的开普勒第二定律。
解：太阳作为力心，行星受到有心引力， 万有引力，行星相对力心（太阳）的角动 量守恒。行星作平面运动，其轨道是以太 阳为焦点的椭圆。
0
r α
L mvr sin r r sin dr mr sin m lim t 0 dt t 2s m lim t 0 t ds 2m dt
显然，上关系中的Ｌ，Ｍ是相对同一参考 点而言。 类似质点的动量定理的讨论，有
dL Mdt
t2 L 2 L 2 Mdt t1
（冲量矩）
上关系用的不多，但基本概念应清楚。 如已知ｔ１～ｔ２的Ｌ变化，求平均力矩。
三、 角动量守恒定律 对某一参考点，若质点受的合外力矩为零， 则质点相对此点的角动量不变， Ｌ＝常矢 即质点相对此点的角动量守恒。 质点角动量守恒定律又表明了运动中存在 的一个不变量。 ∵Ｌ＝ｍｒ×ｖ 其方向也不变，决定了 质点在ｒ与ｖ确定的平面上运动。
§2－7 质点的角动量 角动量定理 一、力矩 角动量 力矩的定义：Ｍ＝ｒ×Ｆ
F M r 0 ｒＯ
α
Ｍ的大小：
Ｍ＝ｒＦｓｉｎα＝ｒ Ｆ ｒ ，力臂，０到力作用线的垂直距离。 Ｍ的方向： 右手螺旋法则。右手四指由ｒ向Ｆ方向 （小于π）转，拇指的方向，显然Ｍ垂直ｒ， Ｆ构成的平面。
Ｏ Ｏ
ＳＩ：ｍＮ（量纲同功，物理量不同。） 力矩的定义与力的三要素（力的大小、方 向、力作用点的位置（坐标）有关。）
ds/dt行星对太阳的位矢在单位时间扫过的面 积，掠面速度。 ∵Ｌ大小不变，ds/dt不变。
行星与太阳的连线在相同时间内扫过相等的面积
3.4 角动量定理 角动量守恒定律
L r P sin
r， P
S
P
r
O
特例：质点作圆周运动
方向：垂直
组成的平面
L M L2 T
L rp mr v
1
SI
k g m /s
2
量纲：
讨论
惯性参照系
(1) 质点的动量矩（角动量）与质点的动量及位矢(取决 于固定点的选择)有关； (2) 当质点作平面运动时，质点对运动平面内某参考点 O 的动量矩也称为质点对过O 垂直于运动平面的轴的 动量矩 ； L
dr dt
二、力对定点的力矩
dL dt
d r p dt
dr dt
o
p r
dp dt
p v p 0
dL dt r dp dt rF M
M
F
O .
定义
为力对定点O的力矩 M rF 力对O 点的力矩 大小： M r F sin
M
A
r Lo T
A
R T 0
R
r
mg
O
m gR sin m gr
LA R mv
r
对于O点：
M
g
M
A
r T
rT cos
LO r m v
r mg
m gr
质点作任何运动都可以用角动量来描述其运动状态。 例 质点对圆心的动量矩。 行星在椭圆轨道上的动量矩。
F 0 P 0
M 0 L 0
形式上完全相同，所以记忆上就可简化。从动量定理变换到 角动量定理，只需将相应的量变换一下，名称上改变一下。
§2-5角动量定理 角动量守恒定律
太原理工大学物理系
L r P
在直角坐标系中
L ( xi yj zk ) ( Px i Py j Pz k )
L x y z
i j k p x p y p z
太原理工大学物理系
L
v
方向：垂直 r ，P 组成的平面
太原理工大学物理系
r
讨论: 1) 同一质点相对于不同的点，角动量不同。 2) 在说明质点的角动量时，必须指明是对哪个 点而言的。
3）质点以角速度作半径为r的圆运动，相对 圆心的角动量
L = mvr
L
p
mr J
2
o r
2）在具体的坐标系中，角动量在各坐标轴的分 量称作对轴的角动量。力矩在各坐标轴的分量， 称作对轴的力矩。
L Lx i Ly j Lz k L 是质点对o点的角动量
Lx Ly Lz
分别是质点对x、y、z轴的角动量.
M M x i M y j M z k M 是力对o点的力矩
三、质点的角动量定理 dP 由牛顿第二定律 F dt
dP 两边用位矢叉乘 r F r dt dp d dr r (r p) p dt dt dt
dr 由速度定义 v dt
v p 0 dL dp d r (r p) dt dt dt
i
ri fi 质点系受到的内力矩的矢量和
i
矩
太原理工大学物理系
可以证明：内力对定点的力矩之和为零，即
ri fi 0
i
质点系内的重要结论之三
5.2 质点的角动量定理与角动量定理定律
M r F M r F i j k
x Fx
y Fy
z Fz
L r p r mv Lrp i j k x y z p x p y pz
15
5.2 质点的角动量定理与角动量守恒定律
dp dL F, ? Lrp dt dt dL d dp dr ( r p) r p dt dt dt dt dr dL dp υ, υ p 0 r r F dt dt dt 表述： 作用在质点上的合力对某参 dL M 考点 的力矩 ，等于质点对同一参考 dt 点的角动量随时间的变化率。
(质点角动量定理的微分形式)
16
三、质点的角动量定理
5.2 质点的角动量定理与角动量守恒定律
在实际过程中，要研究的是力矩对时间的积累效应。
dL M dt
t2
t1
M dt L2 L1
冲量矩：
t1
t2
M dt
质点的角动量定理：质点所受合力矩的冲量矩 等于质点角动量的增量。 注意：定理中的力矩和角动量都必须是相对于同 一参考点而言的。 说明:
解： 摆球受力如图。
1）以O为参考点。
c l
T 重力矩： M R mg 逆时针方向。 m R o M Rmg υ 张力矩：M R T 顺时针方向。 mg
M RT sin( 900 ) RT cos θ Rmg
对Ｏ点的合力矩为零，角动量守恒。
M x yFz zFy M y zFx xFz M xF yF y x z
质点系角动量定理
由上例可以看出，并非质点仅在圆周运动时才具有角动量， 质点作直线运动时，对于不在此直线上的参考点也具有角动量。
另外，还可以看出，如果把参考点选在该直线上，则sin 0，
质点对该点的角动量永远等于零。因此，当谈到角动量时，必 须指明是对哪个参考点而言的，否则没有意义。
二、力对一参考点的力矩
轴线的一个分量，下面将给出力矩的一般定义。
如右图所示，O 是空间一点，F 是作
z
F
用力，A 表示受力点，受力点相对于 τ 参考点O 的位置矢量 r 与力 F 矢量的
φ
矢量积τ 叫做力 F 对参考点O的矩，
rA
其数学表达式为τ= r× F
xO
y
由定义可知，同一个力对于不同的参考点有不同的力矩，
因此讲到力矩时必须指明是相对哪一点而言的。当力 F不为零 时，力矩τ仍可能为零，这有两种情况：一是力的作用点就在参 考点 O ，此时位置矢量 r =0；另一种是沿力的方向的延长线通
L
于参考点的位置，故又与参考点的
φ
选择有关。例如，图（b）中对 o点
r
的角动量与对 o点角动量是不相同
O
y
的。
x
（a）
z
Lz L
o r mv s
L Lz r
o （b）
应当指出的是，虽然质点相 对于任一直线（例如 z 轴） 上的不同参考点的角动量是
不相等的，但是这些角动量
在该直线上的投影却是相等 的。如图（b）所示，取 S 平
三、质点对参考点的角动量定理和守恒定律
1
rv
常量
dt
dt
dt
2
因在平面内运动，故 r v 恒矢量 2
第6节 角点系的角动量定理
则整个圆盘对中心轴的转动惯量为
I dI R 2 r3dr 1 mR2
0
2
以上计算表明，质量相同，转轴位置相同的刚体，由于质量分布不同，转 动惯量不同.
10
以上各例说明： (1)刚体的转动惯量
与刚体的总质量有关， 与刚体的质量分布有关， 与轴的位置有关。
(2)质量元的选取： 线分布 面分布 体分布
解 (1)求质量为m，半径为R的圆环对中心轴的转动惯量.如图2.36(a)所 示，在环上任取一质元，其质量为dm，该质元到转轴的距离为R，则该质 元对转轴的转动惯量为
dI R2dm
考虑到所有质元到转轴的距离均为R，所以细圆环对中心轴的转动惯量为
I dI R2dm R2 dm mR2
m
I miri2
命名为对轴的转动惯量，
（式中 ri 为 mi 到轴的距离）
此时质点系对轴的角动量定理为
Miz
d dt
(miri2 )
dILeabharlann dt54、转动惯量的计算 对于单个质点 质点系
若物体质量连续分布，
I mr2 n
I m r2 ii
i1
2
I r2dm r dV m m
转动惯量的单位：千克·米2（kg·m2）
n
ri
Fi外
n
i 1
i
n1 ri
j 1
f ji
d dt
n i 1
(ri mivi )
由于内力成对出现，每对内力对O的力矩之和为零，因此内 力矩之总和为零，于是有
n
i 1
ri
Fi外
d dt
n
(
i 1
ri mivi )
第5讲 质点的角动量角动量守恒定律
5.1 质点的角动量定理 5.2 质点系的角动量定理 5.3 角动量守恒定律
Law of Conservation of Angular Momentum
在自然界中经常会遇到质点围绕着一定的中心运转 的情况。例如，行星绕太阳的公转，人造卫星绕地 球转动，电子绕原子核转动以及刚体的转动等等。 在这些问题中，动量定理及其守恒定律未必适用， 这时若采用角动量概念讨论问题就比较方便。
r F v mv r F 令 r F M ─力矩 dL 于是有 M 可见: 引起转动状态改变的原 dt 因是由于力矩的作用
dL M —角动量定理的微分形式 dt 质点所受的合力矩等于其角动量对时间的变化率。
例题4 用绳系一小球使它在光滑的水平面上做匀速 率圆周运动，其半径为 r0 ，角速度为ω0 。 现通过圆心处的小孔缓慢地往下拉绳使半径 逐渐减小。求当半径缩为 r 时的角速度。 解： 以小孔 o 为原点 绳对小球的拉力为有心力，
r o
v
r0 m
其力矩为零。 则小球对o 点的角动量守恒。
初态
mv0r0 mr0 20
n ——各个质点所受的各内力矩 M int ri fij 的矢量和。 i 1 j i
考察一对内力矩的矢量和。内力是成对出现的
ri f ij rj f ji ri rj f ij
角动量也是一个重要概念。□
5.1 质点的角动量定理
一 质点的角动量 对于作匀速直线运动的质点，可以用动量也可用 角动量的概念进行描述。 设质点沿 AB 作匀速直线运动， 在相等的时间间隔Δt 内，走过的 距离 ΔS = vΔt 都相等。 选择O 为原点，从O 到质点处引 位矢 r 。 r 在单位时间内扫过的 面积，称为掠面速度。
2.5 质点角动量定理 角动量守恒
v2
地球
o
太阳
M Fd 0
v1
§2.5 质点角动量定理 角动量守恒（一角动量 二力矩）
2.5.3 质点的角动量定理 想法：动量随时间的变化率
力矩M
r
F
角动量 L
r
p
dp
d
(mv)
F
— — dL ？
推导：
dL
d
(r
p)
dt dt dr p r dp
dt
dt dt
dt
dt
其中
v mv 0
从而
M
dL
dt
——定理
r
F
M
质点角动量定理：质点对固定点的角动量随时间的变化率
等于质点所受合力对该点的力矩。
§2.52.当.45 质M质点点的角0 角动时量动定量理守恒d角L定动dt律量守0恒（L一 角恒动矢量量—二力—矩角三动定量M理守）恒ddLt定律 即：当质点所受合力矩为零时，质点的角动量守恒
r1
1
O
例：（P53：例2-12）已求知：：v光滑平面m、k、v0 、l0（原长）、l.
解：物块受有心力作用——对O点角动量守恒
LA LB rA mv0 rB mv
Ol
v
B
大小 rAmv0 sin 90 rBmv sin l0 , k
l0mv0 lmv sin 两个未知量？
Байду номын сангаас
v0 mA
大小 方向 大小 方向
LA rAm1v1 sin(
—— 里 LB Rm2v2 —— 外
) Rm1v1
G1
(2)选向里为正方向 M 合外 (m2 m1)Rg
G2
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目录摘要 (1)Abstract (1)1 引言 (1)2 惯性系中质点系角动量定理 (1)2.1惯性系中角动量定理的推导 (1)2.2在惯性系中角动量表达式的一点讨论 (2)2.3惯性系中质点对轴的角动量定理 (3)2.4刚体定轴转动时对转轴的角动量 (3)3 非惯性系中的角动量定理 (4)4 应用 (5)4.1质点系质心系的角动量定理在刚体定轴转动中的应用 (5)4.2刚体做定轴转动时对轴上任一点的角动量定理和应用 (5)5 结论 (6)参考文献 (7)对质点系角动量定理的讨论摘 要：通过对质点系角动量定理推导以及讨论其在具，体问题中的应用，并且结合其在惯性系、非惯性系以及质心系的情况下的公式和它们之间的联系，明确了解了角动量定理在解决力学相关问题的重要性，从而为解决相关力学问题提供帮助。
关键词：质点系；角动量；参考点；轴；质心Discussion on the Theorem of Angular Momentum of ParticleAbstract : Through to discuss of the particle system and angular moment theorem andits specific problems, and to combinate with the application in the inertial system, noninertial system under the conditions of the heart and the quality of the formula and the relationship between them, we understanded the angular momentum in solving problems which related to the mechanical theorems and its importance clearly , and proved a lot of help to solve the related mechanical problems.Key W ords : Particle; Angular momentum; Reference points; Axis; centroid.1引言角动量定理在质点系中的应用在力学相关问题中非常重要，本论文主要是通过上学期对质点系角动量在惯。
性系，非惯性系，以及质心系内的研究与讨论，总结出的一些公式和规律，为掌握解决问题方法提供方便。
2惯性系中质点系角动量定理2.1惯性系中角动量定理的推导质点系内各质点对参考点O 的角动量的矢量和看作质点系对O 点的角动量，设由n 个质点组成的质点系，在惯性参考系中，各质点的速度分别用1v ，2v ……i v …n v表示，相对于参考点O 的位置矢量分别为1r ，2r ……i r …n r，质量分别为1m ，2m ……i m ……n m 将质点系的角动量记作L。
则∑⨯i i i v m r L =(1)而任一质量对于参考点O 的角动量定理用于质点系内的质点I ：dtLd M i i = (2)i L 表示质点i 的角动量，质点i 所受的力矩可分为内力矩内i M 和外力矩外i M，于是dtL d M M ii i=+外内 (3) 根据牛顿第三定律，质点i 与质点j 之间的相互作用力ji ij F F-=，且二力作用在一条直线上，ij F 与ji F 到点O 的垂直距离都等于d ，故作用力ij F 与反作用力ji F对O 点的力矩大小相等方向相反，可见成对出现的内力对O 点的力矩矢量和为0，将求和与导数运算交换顺序后，并考虑到∑i L 即质点系的角动量L，得∑∑==dtL d dt L d dtL d ii (4)为力矩的矢量和，成为质点系对参考点O 的角动量定理[1]。
2.2在惯性系中角动量表达式的一点讨论各种表达式之间有一定的联系。
在惯性系中对动点P 的角动量PL可表示为()C P O i i P i i i i i P ii i Pi P v m r L v m r v m r v m r r v m r L⨯-=⨯-⨯=⨯-=⨯=∑∑∑∑ (5)(5)式表明：质点系相对于惯性系中变动参考点P 的角动量P L，等于其相对于点O 的角动量OL 与其总动量C v m 平移到点P 后相对同一定点O 的角动量v m r P⨯之差[2]。
当动点P 就是质心C 时，由公式得到一般的结果C C C O v m r L L⨯⨯= (6)若把(6)式代入(5)式，可得一个非常有用的公式，即C PC C C P C C C O v m r L v m r v m r L L⨯+=⨯-⨯+=' (7)(7)式表明：质点系相对于惯性系中动点P 的角动量PL等于其对质心C的角动量CL 与质点系动量C v m 对P 点的角动量C PC v m r⨯'之矢量和。
2.3惯性系中质点对轴的角动量定理现在仅研究几个质点分别与Z 轴的垂直的平面内运动的情况，将其应用于某一点i 得()()dtv m r d dt d L M i i i i iz iz γsin==]3[ (8)质点i 所有的合力对Z 轴的力矩可分为内力矩内i M和外力矩外i M，故上式可写作()()∑=+dtv m r d MMi i i i i i γsin外内(9)由于0=∑内i M，其在Z 轴上的投影也等于0，再将求和与求导运算交换顺序，(9)式可写作()()dt L d dt v m r d z M zi i i i i=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑γsin 外 (10) 其表示质点系所受一切外力对Z 轴的力矩之和，()∑i i i i v m r γsin为质点系对Z 轴的角动量，上式表示质点系对于Z 轴的角动量对时间的变化率等于参考点所受一切外力对于Z 轴的力矩之和，叫做质点对Z 轴的角动量定理[3]。
2.4刚体定轴转动时对转轴的角动量对轴的角动量是作为对点的角动量在坐标轴上的投影而引入的。
由于刚体是较为特殊的质点系所以通过下面的综述使解决刚体的问题变得更为简单。
设OZ 轴即刚体转轴，将公式应用于刚体，刚体对轴的角动量为∑⨯=i i i z v r m L(11)因z i i r v ω⨯=，故有()z i i i r m L ω2= (12)(12)式右括号内为各质元质量与其到转动轴线垂直距离平方乘积之和，显然，它决定与刚体本身的质量分布以及转动轴线的位置，i m 叫作刚体对定轴Z 的转动惯量。
用z I 表示r m iiZ I 2∑=(13)式中2i i r m为转动惯量[4]。
刚体对Z 轴的角动量可写作z z z I L ω=，将它与动量相比，转动惯量和角速度分别可与惯性质量和速度相比拟。
这转动惯量恰是对一定转轴转动惯性的度量，正是由于这种特性导致刚体这种质点系的角动量定理变得简单了：zz i i I dtdr m ω⨯=∑2 (14)将其变形后可得()z z iz I d M ω⨯=∑(15)(15)式中dt M iz称为作用于刚体地i 个外力矩的冲量矩。
上式意为刚体对Z 轴角动量的增量等于该轴外力矩冲量矩的代数和，式用冲量矩表述的角动量定理。
并由此又进而推出了转动定理：他表示刚体绕定轴转动时刚体对该轴的转动惯量与角加速度的乘积在数量上等于对此转动轴线的合力矩，叫做刚体定轴转动的转动定理。
由此可以与牛顿第二定律相比：力使质点产生加速度，而力矩产生角加速度。
3非惯性系中的角动量定理在非惯性系(或质心系)中对定点P (设与上述惯性系中i 点是同一点)的角动量PL ' 可表示为()pcPC p i i PC i i Ci ii PC Ci i i Pi p v m r L v m r v m r v m r r v m r L ''''''''''⨯+=⨯+⨯=⨯+=⨯=∑∑∑∑ (16)(16)式表明：在非惯性系中对定点P 的角动量PL，等于其对质心C 的角动量C L '与质心C 对点P 的位矢PC r '与PC v m '叉积之矢量和]5[。
虽然(16)式与(7)式形式相似，但其本质不同。
(7)式为在惯性系中对动点P 计算角动量P L，为在非惯性系中对同一点P 为定点计算角动量PL ' 。
可见，在不同参考系中即便是对同一点如P 点计算角动量，一般也不相等。
但对质心C，这个特殊点则恒有C C L L '=这是因为()i i cic i cii c i cii i ci C v m r v m r v v m r v m r L⨯+⨯=+⨯=⨯=∑∑∑'''''(17)显然(17)式等号右边第一项为00'''=⨯=⨯=⨯c c c i i ci v v r m v m r，第二项为C i i ci L v m r '''=⨯，即有C C L L ' =。
这说明：在惯性系中对质心C 计算角动量C L 与在质心系中对质心C 计算角动量C L '总是相等的[6]，这正是质心的一个重要特征，考虑到C C L L '=。
则由(9)式与(10)式可得()ppc pc c PC P P v m r v m v m r L L ⨯=-⨯=''''- (18)从(1)式可以看出，在两个相互平动的参考系中对同一点P 计算角动量所得值一般是不等的，除非是对质心C 或PCr ' 与PCv 平行时才有C C L L '=，这一点应当特别注意，表中式c pc p C a m r m dtJ d⨯-=''' (19)在平动加速参考系中对质心以外的其他参考点来说，合外力矩不等于角动量的时间变化率，出现附加项(惯性力力矩)c c M dtL d ''= (20)若参考点P 与质心C 重合，则0'=pc r，此时附加项为零，(17)式与(18)式等价；若pc r '平行于c a ，则附加项也为零，(19)式与(20)式等价；若0=c a （p v不一定为零），则附加项也为零，(19)式与(20)式也等价。
这说明，一般情况下附加项与点C 的加速度有关，与点C 的速度无关[7]。
4应用4.1质点系质心系的角动量定理在刚体定轴转动中的应用角动量定理的数学表达式为：dtL d Ma a= (21)其中：i i a F r M⨯=∑外，i i i o v m r L⨯=∑分别为质点系外力矩的矢量和与质点系的角动量。