46--质点系的角动量
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角动量及其守恒定律
m r2 r1 J0
22
因为 1 2， 1 1 2 E k 1 J 1 1 ( J 1 1 ) 1 2 2 相 E k1 E k 2 等 1 1 2 E k 2 J 2 2 ( J 2 2 ) 2 2 2 即系统的机械能不守恒。
23
人双臂收回过程中，内力做功，
J 2
l/2
r dr
2
1 12
l
3
0
1 12
ml
2
如转轴过端点垂直于棒 l 1 2 J r d r ml 2 0 3
例3 一质量为 m 、半径为 R 的均匀圆盘，求通 过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量 .
解 设圆盘面密度为 ， 在盘上取半径为 r ，宽为 d r 的圆环
v M (2 gh )
u l 2
1 2
M
h N
B
l 2 1 12
2
2
把M、N和跷板作为 一个系统, 角动量守恒
mvM l 2 J 2 mu
C l
m l 1 2 1 6 m ( 2 gh )
A l/2
ml
2
解得
mvMl 2 m l
2
2
12 ml
2
2 2 2
质量连续分布刚体的转动惯量
J
m
j
j j
r
2
r dm
2
d m ：质量元
例2 一质量为 m 、长为 l 的均匀细长棒，求 通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量 .
O
l 2
O
dr
l 2
r
dr
O´
第二章第四节 质点的角动量 角动量定理
dLi = dL dt dt
即质点系对给定点（参考点）的角动量的时间变化率等于作用 在体系上所有外力对该点力矩矢量和．
质点的角动量 角动量定理
概要
1 质点的角动量 2 力对一参考点的力矩 3 质点对参考点的角动量定理和守恒定律
1 角动量
角动量是描述物体的转动特征的物理量.
定义
L
=
r
×
mv
=
r
×
p
L 是质点对参考点的动量矩(角动量)
r 是参考点指向质点的矢量.
大小：L = rp sinθ
方向： r × mv
×
FN
= r × (F1 + F2 + + FN )
=
r
×
∑
Fi
即诸力对参考点的力矩的矢量和等于合力对同 一参考点的力矩.
说明:力矩与参考点的选择有关.
3 质点角动量定理
M
=
dL
dt
质点对任一固定点的角动量的时间变化率 等于合外力对该 点的力矩．
质点系对参考点的角动量定理
∑ ∑ M i外 =
2 力对一参考点的力矩
定义
M
=
r
×
F
r ——参考点指向质点
的位置矢量.
大小: M = rF sinα
z
M
O x
F
α
r
P
y
方向：
r
Hale Waihona Puke × F M
单位：N·m 量纲：ML2T-2
r
F
若质点受N个力同时作用时
M
=
质点角动量定理及角动量守恒定律
解如图3-7所示．因为卫星所受地球引力的作用线通过地球中心，所以卫星对地球中心的角动量守恒．已知在卫星轨道的近地点径矢的大小
在远地点径矢的大小
设卫星在远地点的速度为v2因远、近地点的速度与该处径矢垂直，放由的动量守恒定律可得
r1mv1=r2mv2
由此得
求卫星的运行周期T．由开普勒第二定律可知
由几何关系知，椭圆面积=πab，其中a、b分别为椭圆的半长、短轴，它们可由远、近地点的径矢求出
我们把质点对z轴上任意一点的角动量L在z轴上的投影，叫做质点对于z轴的角动量，用Lx表示．上面已证明，Lz的数值是与参考点无关的．
在国际单位制中，角动量的单位为千克·米2／秒（kg·m2·s-1）．
例1如图3-2所示，质量为m的质点以速率v绕半径为r的圆轨道作匀速率运动．求此质点相对于圆心O点的角动量．
解已知氢原子中电子的质量为9.11×10-31kg，它绕原子核运动的平均半径为5.29×10-11m，角速度为4.13×1016s-1，所以它对原子核中心的角动量为
L=mr2ω=(9.11×10-31)×)5.29×10-11)2×(4.13×1016)kg·m2·s-1
=1.05×10-34kg·m2·s-1．
质点在有心力作用下的运动是一种重要的运动形式．有心力运动的上述特征既不能用动量也不能用能量概念来说明，但利用角动量守恒却给出了简洁而中肯的描述．从这里我们也可以看到力学中引入角动量概念的必要性．
例5我国在1971年发射的科学实验卫星在以地心为焦点的椭圆轨道上运动．已知卫星近地点高度为h1=266km，远地点高度为h2=1826km，卫星经过近地点时速率为v1=8.13km·s-1，试求卫星通过远地点时的速度和卫星运行周期．计算中取地球半径R=6.37×103km，空气阻力不计．
在远地点径矢的大小
设卫星在远地点的速度为v2因远、近地点的速度与该处径矢垂直，放由的动量守恒定律可得
r1mv1=r2mv2
由此得
求卫星的运行周期T．由开普勒第二定律可知
由几何关系知，椭圆面积=πab，其中a、b分别为椭圆的半长、短轴，它们可由远、近地点的径矢求出
我们把质点对z轴上任意一点的角动量L在z轴上的投影，叫做质点对于z轴的角动量，用Lx表示．上面已证明，Lz的数值是与参考点无关的．
在国际单位制中，角动量的单位为千克·米2／秒（kg·m2·s-1）．
例1如图3-2所示，质量为m的质点以速率v绕半径为r的圆轨道作匀速率运动．求此质点相对于圆心O点的角动量．
解已知氢原子中电子的质量为9.11×10-31kg，它绕原子核运动的平均半径为5.29×10-11m，角速度为4.13×1016s-1，所以它对原子核中心的角动量为
L=mr2ω=(9.11×10-31)×)5.29×10-11)2×(4.13×1016)kg·m2·s-1
=1.05×10-34kg·m2·s-1．
质点在有心力作用下的运动是一种重要的运动形式．有心力运动的上述特征既不能用动量也不能用能量概念来说明，但利用角动量守恒却给出了简洁而中肯的描述．从这里我们也可以看到力学中引入角动量概念的必要性．
例5我国在1971年发射的科学实验卫星在以地心为焦点的椭圆轨道上运动．已知卫星近地点高度为h1=266km，远地点高度为h2=1826km，卫星经过近地点时速率为v1=8.13km·s-1，试求卫星通过远地点时的速度和卫星运行周期．计算中取地球半径R=6.37×103km，空气阻力不计．
角动量
M z = m2 gR − m1 gR = 0
系统的总角动量守恒：
m2 v2 R − m1v1 R = 0
m1=m2,所以v1=v2
同高从静态开始 往上爬
L − L0 = m1v1 R − m2 v2 R > 0 ∴ m1v1 R > m2 v2 R ⇒ v1 > v2
体重轻的先到顶点
dL M z = m2 gR − m1 gR = >0 dt
∫ =∫
∫
L 2 L − 2
L
0
L
x dm
mL x λ dx = 3
2
2
A L/2
C
0
IC =
x 2 λ dx = mL 2 / 12
例、求质量为m、半径为R的均匀圆环的转 动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。
O
R dm
解： I = R2dm = R2 dm = mR2
∫
∫
例：求质量为m、半径为R均匀圆盘的转动惯量。轴 与盘平面垂直并通过盘心。
ωB
⎧ J Aω A + J Bω B = ( J A + J B )ω ⎨ 2 2 J A = m A RA 2 , J B = m B RB 2 ⎩ 2 2 m A RAω A + m B RBω B ω= 2 2 m A RA + m B RB = 100 rad⋅ s −1
A
B
ω
例、如图所示,一质量为m的小球以水平速度射入一静止悬于顶 端长棒的下端,碰后以速度v’反向运动,已知棒长为l,质量为M。 设碰撞前后杆视为一直保持竖直位置，求碰撞后杆的角速度 解:由小球和杆组成的系统受到的外力有重 力和轴对杆的作用，它们对O轴的力矩分量 为零，所以系统对O轴的角动量分量守恒
第三章 动量和角动量
mi
由n个质点组成的质点系： dpi Fi F外i F内i dt i i i i
质点系
F外i
F内i mi
合外力 F外 零 dp 质点系的动量定理 dpi d dp F外 pi 右边： （微分形式） dt dt dt dt i i p2 持续一段时间： F外dt dp p2 p1
弹性碰撞 碰撞
动量守恒，机械能守恒 动量守恒 动量守恒
非完全弹性碰撞
完全非弹性碰撞
3）若某一方向合外力为零, 则此方向动量守恒 .
F外x 0 , F外y 0 , F外z 0 ,
px mi vix C x pz mi viz C z p y mi viy C y
解：由质点的动量定理，
t1
t2 I Fdt p2 p1
F t mgt p2 p1
4m / s
F/N 30
0-4s： I
t=4s时： v
0
1 0-7s： I (4 7) 30 mg t p2 p1 2
t=7s时： v
x2 x1
x
解得：x1 3.33m, x2 1.67m
小结
动量定理及动量守恒定律 1. 动量定理
t2 对 质 点: I F dt P2 P1 t1 Fdt dP t2 对 质 点 系 I F外 dt P2 P1 t1 F外 dt dP
第三章 动量和角动量
力的累积效应
力对时间的累积冲量 力对空间的累积做功
动量 能量
3-1 质点的动量定理
1、冲量 动量定理 牛顿第二定律
质点系角动量守恒定律
dL τ ，再考虑诸质点所受惯性力的力矩，即得 dt
dL τ i外 ri (mi ac ) dt 式中惯性力矩又可写作 mi ri dL ( mi ri) ac ( ) mac τ i外 m dt
此即质点系对质心的角动量定理，与惯性系中角动量定理具有完 全相同的形式。是表明质心系特殊和重要性的又一个例子。
第五章 角动量•关于对称性
前言 质点的角动量 质点系的角动量定理及角动量守恒定律 质点系对质心的角动量定理和守恒定律 对称性 • 对称性与守恒律 经典动力学的适用范围
§5.1 前
一、本章的基本内容及研究思路
言
角动量概念的建立和转动有密切联系，在研究物体的运动 时，人们经常可以遇到质点或质点系绕某一确定点或轴线运动 的情况，并且在这类运动中也存在着某些共同的重要规律。例 如，天文观测表明，行星绕日运动遵从开普勒第二定律，在近 日点附近绕行速度较快，远日点速度较慢，这个特点如果用角 动量及其规律很容易说明。特别是在有些过程中动量和机械能
当τ iz 0时,
Lz 常量.
§5.4 质点系对质心的角动量定理和 守 恒 定 律
前面给出的角动量定理和角动量守恒定律都相对于惯性系 而言，现在研究质心参考系中质点系角动量的变化规律。如图 （a），C xyz 即质心参考系。C 为质心，x ' , y ' 和 z 坐标轴
与惯性参考系 O xyz 的 x, y 和 z 轴总保持平行，而质心具有 加速度 ac 。 z
四、质点对轴的角动量定理和守恒定律（自阅）
§5.3 质点系的角动量定理及角动量守恒定 律
一、质点系角动量定理
设质点系由 N 个质点组成，对选定的某固定参考点，第 i 个 质 点的角动量定理的表达式为τ dLi
§5.2 角动量定理及其守恒律
f1 r1 f1 r2 f 2 r 12 r1 r1 f1 r1 f 2 o (r1 r2 ) f1 r12 f1 0
f2
r2
内容
⒈质点系对点的角动量定理:
M外 dL dt
质点系在碰撞过程中对o轴的角动量守恒
o
⊙ 正方向
胶泥碰前速度
v0 2gh
h
m'
v m vo
m v
据角动量守恒
m' 2ghR (m'm)vR mvR
v
m' 2 gh m ' 2m
例1：人造地球卫星，绕地球作椭圆轨道运动， 地球在椭圆的一个焦点上，则卫星的( (A)动量不守恒，动能守恒． (B)动量守恒，动能不守恒． (C)对地心的角动量守恒，动能不守恒． (D)对地心的角动量不守恒，动能守恒． )
⒋质点对轴的角动量守恒定律：
若M z 0，则Lz = C
说 明
在应用角动量定理或角动 量守恒定律时，力矩和角动 量必须选取惯性系中的同一 参考点或同一参考轴.
o'
α L
T
o
F
mg
角动量守恒与选取的参考点或参考轴有关。
M o
Fl cos
L o'
mvl ,
例1
解得：v1 5.91104 m / s; v2 3.88 104 m / s
二、质点系的角动量
第i个质点对o点的角动量
Li ri P i
P2
r2
P 1
质点系对o点的角动量
dLi ri Fi ri f i 对 mi 使用角动量定理： dt
f2
r2
内容
⒈质点系对点的角动量定理:
M外 dL dt
质点系在碰撞过程中对o轴的角动量守恒
o
⊙ 正方向
胶泥碰前速度
v0 2gh
h
m'
v m vo
m v
据角动量守恒
m' 2ghR (m'm)vR mvR
v
m' 2 gh m ' 2m
例1：人造地球卫星，绕地球作椭圆轨道运动， 地球在椭圆的一个焦点上，则卫星的( (A)动量不守恒，动能守恒． (B)动量守恒，动能不守恒． (C)对地心的角动量守恒，动能不守恒． (D)对地心的角动量不守恒，动能守恒． )
⒋质点对轴的角动量守恒定律：
若M z 0，则Lz = C
说 明
在应用角动量定理或角动 量守恒定律时，力矩和角动 量必须选取惯性系中的同一 参考点或同一参考轴.
o'
α L
T
o
F
mg
角动量守恒与选取的参考点或参考轴有关。
M o
Fl cos
L o'
mvl ,
例1
解得：v1 5.91104 m / s; v2 3.88 104 m / s
二、质点系的角动量
第i个质点对o点的角动量
Li ri P i
P2
r2
P 1
质点系对o点的角动量
dLi ri Fi ri f i 对 mi 使用角动量定理： dt
质点系统的角动量
质点系统的角动量角动量是物体旋转时所具有的性质，质点系统的角动量是由其中所有质点的角动量之和组成的。
质点系统的角动量具有许多重要的特性和应用，如守恒定律和撞击问题。
本文将探讨质点系统的角动量及其相关概念和应用。
一、质点系统的角动量定义质点系统的角动量是由其中每个质点的质量、速度和与某一旋转轴的距离共同决定的。
对于一个质量为m的质点，其角动量可以用以下公式表示：L = m * r * v * sinθ其中L表示角动量，m表示质点的质量，v表示质点的速度，r表示质点与旋转轴的距离，θ表示速度方向和质点距离旋转轴的夹角。
二、质点系统的角动量守恒定律质点系统的角动量守恒定律是指在没有外力和外力矩作用下，质点系统的总角动量保持不变。
这意味着在系统内部发生作用时，质点系统整体的角动量不会改变。
例如，考虑一个由两个质点组成的系统，当两个质点之间的距离发生变化时，一个质点靠近旋转轴，另一个质点离开旋转轴。
质点的速度会相应改变，但是质点系统的总角动量保持不变。
三、质点系统的角动量守恒的应用质点系统的角动量守恒定律在解决撞击问题时发挥了重要的作用。
当两个物体发生碰撞时，守恒定律可用于计算碰撞前后物体的角动量变化。
考虑一个由两个质点组成的系统，在碰撞前，两个质点的角动量分别为L1和L2。
碰撞发生后，两个质点的角动量分别为L1'和L2'。
根据角动量守恒定律，可以得到：L1 + L2 = L1' + L2'通过对碰撞前后质点的速度和质量进行分析，可以解出碰撞后质点的速度和角动量变化。
四、实际示例：自行车轮转动中的角动量进一步说明质点系统的角动量，我们可以以自行车轮的转动为例。
当自行车轮旋转时，每个质点在轮辐上的角动量会以一定的方式组合成轮子整体的角动量。
当骑行者使自行车轮旋转速度加快时，轮子的角动量也将相应增加。
这可以通过调整骑行者身体的位置来实现。
如果骑行者将身体朝轮子的一个方向倾斜，轮子会产生相反方向的反作用力，从而改变了质点系统的角动量。
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外力矩 内力矩
对各质点求和 得到
质点系角动量定理
质点系角动量定理 质点系角动量守恒定律
46--质点系的角动量
2020/9/12
一、作用于质点系的力矩 设质点系中第 i个质点受外力 Fi 作用则质点系受 到外力对固定参考点O的力矩矢量和应为：
1、重力的力矩
ห้องสมุดไป่ตู้
在重心和质心重合的情况下，可将总重力作用 点放在质心上来计算重力的力矩。 2、内力力矩
质点系内力力矩的矢量和为0。
二、质点系角动量定理和角动量守恒定律 根据质点角动量定理，第 i 个质点受到的力矩为
对各质点求和 得到
质点系角动量定理
质点系角动量定理 质点系角动量守恒定律
46--质点系的角动量
2020/9/12
一、作用于质点系的力矩 设质点系中第 i个质点受外力 Fi 作用则质点系受 到外力对固定参考点O的力矩矢量和应为：
1、重力的力矩
ห้องสมุดไป่ตู้
在重心和质心重合的情况下，可将总重力作用 点放在质心上来计算重力的力矩。 2、内力力矩
质点系内力力矩的矢量和为0。
二、质点系角动量定理和角动量守恒定律 根据质点角动量定理，第 i 个质点受到的力矩为