由质点系的角动量定理得刚体绕定轴转动的角动量定理
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刚体及其运动规律
解： 设轴反力为 Nx，Ny。
由转动定律： 由质心运动定律：
O c
得： 讨论： 当 l =2l/3 时， Nx =0 。 l > 2l/3 时，Nx >0 ，l < 2l/3 时， Nx <0 。
[例] 半径为 R1 和 R2、转动惯量为 J1 和 J2 的两个圆柱 体，可绕垂直轴转动，最初大圆柱体的角速度为 0，现将 小圆柱体靠近碰到大圆柱体。由于摩擦，小圆柱体被带着 转动，当相对滑动停止时，两圆柱体各以恒定角速度沿相 反方向转动。求小圆柱的最终角速度多大？
M
m
[例] 一质量为m ，长为 l 的均质细杆，转轴在O点，距A 端 l/3 。今使棒从静止开始由水平位置绕O点转动，求(1) 水平位置的角速度和角加速度。(2)垂直位置时的角速度 和角加速度。 c B A 解： O
(1) 方向：
(2)
A
c
Bபைடு நூலகம்
O
[例] 一半径为R，质量为m的均匀圆盘平放在粗糙的水 平面上。若它的初角速度为0，绕中心o旋转，问经过 多长时间圆盘才停止？（设摩擦系数为）
x
转动平面
2. 刚体的角速度 角加速度
角速度
的方向：
角加速度的方向： 加速转动时，两者同方向，减速转动时，两者反方向。
3. 线量与角量的关系：
j
r
匀角加（减）速转动：
匀加(减)速直线平动：
式中：
是 t =0 时刻的角速度和角位置。
说明：作定轴转动时，刚体内各点具有相同的角量， 但不同位置的质点具有不同的线量。
1
2 得：
[例] 均质细棒：m1、 l ，水平轴O，小球：m2与棒 相碰，碰前 碰后 如图，设碰撞时间很短，棒保 持竖直，求碰后棒的角速度。 O 解： 系统对O轴角动量守恒
质点系角动量守恒定律
第五章 角动量•关于对称性
前言 质点的角动量 质点系的角动量定理及角动量守恒定律 质点系对质心的角动量定理和守恒定律 对称性 • 对称性与守恒律 经典动力学的适用范围
§5.1 前
一、本章的基本内容及研究思路
言
角动量概念的建立和转动有密切联系，在研究物体的运动 时，人们经常可以遇到质点或质点系绕某一确定点或轴线运动 的情况，并且在这类运动中也存在着某些共同的重要规律。例 如，天文观测表明，行星绕日运动遵从开普勒第二定律，在近 日点附近绕行速度较快，远日点速度较慢，这个特点如果用角 动量及其规律很容易说明。特别是在有些过程中动量和机械能
都不守恒，却遵从角动量守恒定律，这就为求解这类运动问题 开辟了新途径。
角动量不但能描述经典力学中的运动状态，在近代物理理 论中仍然是表征微观运动状态的重要物理量，例如原子核的角 动量，通常称为原子核的自旋，就是描写原子核特性的。 角动量守恒定律和动量守恒定律一样，是自然界最基本最
普遍的定律之一。由于角动量这个物理量，从概念到数学表达，
都比动量要难理解，我们循序渐进逐步深入地来理解。 本章还要触及对称性的概念，尽管经典力学中的对称性没
有在微观领域中那么重要，但是介绍一下与本课水平相当的对
称性问题是十分有益的。
二、本章的基本要求
1. 理解质点及质点系角动量的物理意义； 2. 掌握质点、质点系的角动量定理； 3. 掌握角动量守恒定律； 4. 理解对称性的概念，了解守恒律与对称性的关系。
由上（1）式可以看出，在过程中如果外力对参考点的力矩
的矢量和始终为零，则质点系对该点的角动量保持不变，称为 质点系对该点的角动量守恒定律，即
当τi 0时,
L 常量.
由（2）式可以看出，有时外力矩对参考点虽不为零，但 是，外力矩沿某固定的 z 轴分量为零，则质点系对 z 轴的角动 量保持不变，叫做质点系对 z 轴的角动量守恒定律。即
前言 质点的角动量 质点系的角动量定理及角动量守恒定律 质点系对质心的角动量定理和守恒定律 对称性 • 对称性与守恒律 经典动力学的适用范围
§5.1 前
一、本章的基本内容及研究思路
言
角动量概念的建立和转动有密切联系，在研究物体的运动 时，人们经常可以遇到质点或质点系绕某一确定点或轴线运动 的情况，并且在这类运动中也存在着某些共同的重要规律。例 如，天文观测表明，行星绕日运动遵从开普勒第二定律，在近 日点附近绕行速度较快，远日点速度较慢，这个特点如果用角 动量及其规律很容易说明。特别是在有些过程中动量和机械能
都不守恒，却遵从角动量守恒定律，这就为求解这类运动问题 开辟了新途径。
角动量不但能描述经典力学中的运动状态，在近代物理理 论中仍然是表征微观运动状态的重要物理量，例如原子核的角 动量，通常称为原子核的自旋，就是描写原子核特性的。 角动量守恒定律和动量守恒定律一样，是自然界最基本最
普遍的定律之一。由于角动量这个物理量，从概念到数学表达，
都比动量要难理解，我们循序渐进逐步深入地来理解。 本章还要触及对称性的概念，尽管经典力学中的对称性没
有在微观领域中那么重要，但是介绍一下与本课水平相当的对
称性问题是十分有益的。
二、本章的基本要求
1. 理解质点及质点系角动量的物理意义； 2. 掌握质点、质点系的角动量定理； 3. 掌握角动量守恒定律； 4. 理解对称性的概念，了解守恒律与对称性的关系。
由上（1）式可以看出，在过程中如果外力对参考点的力矩
的矢量和始终为零，则质点系对该点的角动量保持不变，称为 质点系对该点的角动量守恒定律，即
当τi 0时,
L 常量.
由（2）式可以看出，有时外力矩对参考点虽不为零，但 是，外力矩沿某固定的 z 轴分量为零，则质点系对 z 轴的角动 量保持不变，叫做质点系对 z 轴的角动量守恒定律。即
物理-定轴转动刚体的角动量定理和角动量守恒定律
或 Lz = I = 恒量
当刚体相对惯性系中某给定转轴的合外力矩为 零时，该刚体对同一转轴的角动量保持不变。
——对转轴的角动量守恒定律
二、定轴转动中的角动量守恒
说明 1、 关于该守恒定律的条件：
Mz Miz 0
特别地，若每一个力的力矩均为零，即 则
二、定轴转动中的角动量守恒
M iz ri Fi sini 0 的几种情况
10
f
20
O1 R1 A
R2 O2 fB
随堂练习
当两圆柱接触处无相对滑动时，两者转速相反
10
20
O1 R1 A
R2 O2 B
且两者接触点的线速率相等！
二、定轴转动中的角动量守恒
由定轴转动的角动量定理
Mz
dLz dt
若刚体所受对转轴的合外力矩 M z 0，则有
dLz d ( I ) 0
dt
dt
二、定轴转动中的角动量守恒
(3) 对共轴非刚体系（其中各质元到转轴的距离可 变则）系：统的转动惯量可变，此时系统对转轴的角动量守恒，
即：I =恒量
• 特别地，若各质元的 保持一致，
Lz =I =恒量
当 I 增大时， 就减小； 当 I 减小时， 就增大 。
二、定轴转动中的角动量守恒
例如：花样滑冰运动员在冰面上旋转时 运动了角动量守恒定律
（1）
（2）
（3）
二、定轴转动中的角动量守恒
2、对转轴的角动量守恒定律的适用范围： • 不仅适用于刚体， • 也适用于绕同一转轴转动的任意质点系。
二、定轴转动中的角动量守恒
3、对转轴的角动量守恒的几种典型表现 (1) 对定轴刚体：I 不变， 大小和方向均不变；
角动量与刚体转动
这个例子表明，对于一个运动质点，在指定参考 系中，相对不同的固定参考点，有不同的角动量。质 点动量的方向不指向参考点时，它具有绕定点转动的 倾向，角动量不为零。如果质点作惯性运动 ( M 0) ， 质点角动量是守恒量。 [例题2] 质点 m 在 z 0平面内以速率 v 绕原点O逆时 针匀速转动。圆周轨道半径为 r ，求它相对于原点O 的角动量。 l 解：质点的动量矢量随时 变化，但它相对于原点O o r 的角动量却是个常矢量。 m v
立即得到
dl M dt
——称为质点的角动量定理
式中 M r F 是合外力相对惯性系中固定参考 点的力矩。
l r mv 是质点 m 相对于同一参考点的角
动量 。
表明相对于同一参考点，质点受到的合(外)力 矩等于质点角动量的时间变化率。
这个定理把质点所受的合外力矩和它角动量的瞬 时变化率联系起来了。 显然，若 M 0 则
r
m
F
在小球与 O点距离缩短的过程中，轨道是缓慢 收缩的螺旋线，径向拉力并不垂直于轨道切线， 正是拉力的切向分量使小球有切向加速度，速率 增加。
小球动能变化
Ek Ek 0 1 2 1 2 1 2 r02 mv mv0 mv0 ( 2 1) 2 2 2 r
小球轨道半径由 r0收缩到 r的过程中，拉力 F 所作的功
i
注意：外力矩与参考点的选择有关。
二、
系统内力性质的小结
⑴ 内力成对出现，所有内力的矢量和为零。 ⑵ 一对内力的功与参考系的选择无关，一对保守 内力的功还与路径无关且等于系统相关势能的减少， 非保守内力的功是系统机械能和其它形式能量转换 的量度。 ⑶ 在任一过程中，所有内力冲量的矢量和为零。 ⑷ 内力不影响系统质心的运动状态，不改变系统 的总动量。内力的冲量使总动量在系统内部重新分 配。 ⑸ 系统内力相对任一固定参考点的力矩矢量和 为零，内力矩不改变系统的总角动量。
刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律
典型例子
[例题]如图(a)表示半径为R的放水弧形闸门，可绕图中
左方质点转动，总质量为m,质心在距转轴
7 9
2 处，闸 R 3
门及钢架对质点的总转动惯量为 I mR 2 ,可用钢丝 绳将弧形闸门提起放水，近似认为在开始提升时钢架 部分处于水平，弧形部分的切向加速度为a=0.1g，g为 重力加速度,不计摩擦,不计水浮力.
图(a)
（1）求开始提升时的瞬时，钢丝绳对弧形闸门的拉力 和质点对闸门钢架的支承力. （2）若以同样加速度提升同样重量的平板闸门[图(b)]
需拉力是多少？
FT
W
图(b)
[解]（1）以弧形闸门及钢架 为隔离体，受力如图(a)所示. 建立直角坐标系Oxy， 根据质心运动定理 FT FN W mac 向x及y轴投影得
考虑到
t
12v0 dr g 7lg v cos t cos( t) dt 2 24v0 7l
例：圆盘（R，M），人（m）开始静止，人
走一周，求盘相对地转动的角度.
1 I 2 MR 2 2
解： 系统对转轴 角动量守恒
M=0
I11 () I 22 0
I1 mR
2
人— ，盘— （对地的角位移） d d m 1 2 dt dt
I1d I 2 d
1 2 0
2
1 M 2
I d I d
0
2m 2 2m M
例：
圆盘质量M,半径R,J=MR2/2, 转轴光滑,人的质量m,开始时， 两者静止．求：人在盘上沿边 缘走过一周时，盘对地面转过 的角度．
in ex
角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.
角动量和角动量守恒定律资料
l l0
v0
v
20
解：由角动量守恒和机械能守恒可得
mv 0l0 mvl sin
1 mv 2 1 mv 2 1 k (l l ) 2 0 0 2 2 2
∴
l l0
v0
v
2 k ( l l ) 2 0 v v0 4 m s 1 m
v 0 l0 arcsin( ) 30 vl
4
22
已知
m 1.20 10 kg
4
h 100km
u 1.00 10 m s 2 g 1.62m s
4
1
R 1700km 求 所需消耗燃料的质量 m
vB
R
O B
. 解 设飞船在点 A 的 速度 v0 , 月球质量 mM , 由万有引力和牛顿定律
vA
M
m, v0
l
1 v f 4 v0
l f dt J f ldt
因,
ff
由两式得
3mv 0l 9mv 0 1 这里 J Ml 2 4J 4 Ml 3
例 质量很小长度为l 的均匀细杆,可绕过其中心 O 并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动.当细杆静止于水平 位置时, 有一只小虫以速率v0 垂直落在距点O为 l/4 处, 并背离点O 向细杆的端点A 爬行.设小虫与细杆的质量均 为m.问:欲使细杆以恒定的角速度转动, 小虫应以多大速 率向细杆端点爬行? 解 小虫与细杆的碰撞视为完全非弹性碰撞，碰撞 前后系统角动量守恒
L Li mi ri 2 mi ri 2 J
i i i
式中
J mi ri
i
2
5.2 质点的角动量定理与角动量定理定律
21
5.2 质点的角动量定理与角动量守恒定律 第5章 刚体的定轴转动
例：质量为Ｍ的圆锥摆摆球，以速率 v 运动时， 判断：1）对Ｏ参考点的角动量是否守恒？
2）对Ｃ参考点的角动量是否守恒？
2）以C为参考点。
重力矩：
r M
=
r l
×
mgr
M = lmg sin θ
张力矩：
r M
=
r l
×
r T
=
0
lθ c
16世纪末至17世纪初，开普勒仔细地分析整理了 前人记录下的大量精确的有关行星运动的资料，总 结出行星运动的规律、即开普勒三定律。
rrr
r M
=
rr ×
r F
=
i x
j y
k
r
r
r
z = Mxi + My j + Mzk
Fx Fy Fz
8
5.2 质点的角动量定理与角动量守恒定律 第5章 刚体的定轴转动
rrr
r M
=
rr
×
r F
=
i x
j y
k z
Fx Fy Fz
其中：
⎧ ⎪
M
x
=
yFz
−
zFy
⎨M y = zFx − xFz
r
注意：定理中的力矩和角动量都必须是相对于同 一参考点而言的。
说明: 1）冲量矩是质点角动量变化的原因。
2）质点角动量的变化是力矩对时间的积累结果。 17
5.2 质点的角动量定理与角动量守恒定律 第5章 刚体的定轴转动
四、质点的角动量守恒定律
当
v M
=
0
,
时，
(4-2)刚体转动定律、刚体角动量守恒定律
内
外 外 外 质点系的
内
得
内 质点系所受的
内
外 外
冲量矩 质点系的角动量
矩的矢量和 的时间变化率 若各质点的速度或所受外力与参考点共面，则其角动量或力矩只含正 内力矩在求矢 反两种方向，可设顺时针为正向，用代数和代替矢量和。 量和时成对相消 微分形式 称为
外
角动量增量 质点受外力
刚体转动定律、质点系角动量守恒定律
即：
i j k Mo r F x y z Fx F y Fz i yFz zFy j zFx xFz k xFy yFx
M z xFy yFx
Mz为力对 o 点 的力矩在 z 轴方向的分量
注意. 力矩求和只能对同一参考点（或轴）进行。
另一类常见现象
刚体转动定律、质点系角动量守恒定律 ② J 可变，ω亦可变，但 Jω 乘积不变 茹可夫斯基櫈
张臂
大
用外力矩 启动转盘后 撤除外力矩
收臂 小 大
小
花样滑冰常见例
刚体转动定律、质点系角动量守恒定律 忽略脚底摩擦力矩的作用，角动量守恒 J1 J11 J 22 所以 2 1 J2
在冲击等问题中
M 内力 M外力 L 常量
角动量守恒定律是自然界的一个基本定律，有很多实例
刚体转动定律、质点系角动量守恒定律
角动量守恒现象举例 适用于一切转动问题，大至天体，小至粒子...
茹科夫斯基凳实验 为什么银河系呈旋臂盘形结构？ 为什么直升飞机的尾翼要安装螺旋桨？ 为什么猫从高处落下时总能四脚着地？
1 T1 r T2 r J mr 2 2
T1
r
(3)
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J J0
刚体对定轴转动的角 动量守恒定律
4.5刚体定轴转动的角动量定理及角动量守恒
例
如图所示桌面上有一均匀细杆，质量为m、长度为l，它与桌面
之间的摩擦因数为．细杆以初始角速度0绕垂直于杆的质心
轴转动，问细杆经过多长时间停止转动？
解 重力及桌面的支持力的力矩和为零
细杆的质量密度为： m/ l
dx Ox
x
距O为x处的质量元： dm λd x
质元受的摩擦力矩为： dM gxdm
细杆受的摩擦力矩为： M l/2 dM 2 l/2 gxdx 1 mgl
l/2
0
4
L0 J0
L0
t 0
1 4
mgldt
0
J0
t l0 3g
4.5刚体定轴转动的角动量定理及角动量守恒
例
如图所示的两个共轴飞轮，对公共轴OO的转动惯量分别为J1、 J2，角速度分别为 1 、2，求两飞轮啮合后共同的角速度．
解
J1 J2
啮合前后系统角动量守恒
O
O
J11 J22 (J1 J2 )
1 2
J11 J22
J1 J2
4.5刚体定轴转动的角动量定理及角动量守恒
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4.5刚体定轴转动的角动量定理及角动量守恒
由质点系的角动量定理得刚体绕定轴转动的角动量定理
Mz
dLz dt
d(J)
dt
M zdt dLz
力矩的时间累积效应： 冲量矩、角动量、角动量定理．
经历一段时间
t
0 M zdt J J0
刚体在一段时间 内受到的冲量矩 =刚体角动量的 增量
外力对转轴的力矩和为零 M z 0
刚体对定轴转动的角 动量守恒定律
4.5刚体定轴转动的角动量定理及角动量守恒
例
如图所示桌面上有一均匀细杆，质量为m、长度为l，它与桌面
之间的摩擦因数为．细杆以初始角速度0绕垂直于杆的质心
轴转动，问细杆经过多长时间停止转动？
解 重力及桌面的支持力的力矩和为零
细杆的质量密度为： m/ l
dx Ox
x
距O为x处的质量元： dm λd x
质元受的摩擦力矩为： dM gxdm
细杆受的摩擦力矩为： M l/2 dM 2 l/2 gxdx 1 mgl
l/2
0
4
L0 J0
L0
t 0
1 4
mgldt
0
J0
t l0 3g
4.5刚体定轴转动的角动量定理及角动量守恒
例
如图所示的两个共轴飞轮，对公共轴OO的转动惯量分别为J1、 J2，角速度分别为 1 、2，求两飞轮啮合后共同的角速度．
解
J1 J2
啮合前后系统角动量守恒
O
O
J11 J22 (J1 J2 )
1 2
J11 J22
J1 J2
4.5刚体定轴转动的角动量定理及角动量守恒
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4.5刚体定轴转动的角动量定理及角动量守恒
由质点系的角动量定理得刚体绕定轴转动的角动量定理
Mz
dLz dt
d(J)
dt
M zdt dLz
力矩的时间累积效应： 冲量矩、角动量、角动量定理．
经历一段时间
t
0 M zdt J J0
刚体在一段时间 内受到的冲量矩 =刚体角动量的 增量
外力对转轴的力矩和为零 M z 0