2020-2021学年河北廊坊高二上数学月考试卷

2020-2021学年河北廊坊高二上数学月考试卷一、选择题1. 已知{a n}是等差数列，a6+a7=20，a7+a8=28，那么该数列的前13项和S13等于( )A.156B.132C.110D.1002. 长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AA1=2，AD=1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与A1E所成角的余弦值为( )A.3√1010B.√3010C.√3030D.−√30303. 点(1,2)到直线3x+4y−1=0的距离为( )A.1B.2C.3D.44. 在△ABC中，B=π4，BC边上的高等于13BC，则sin A=（）A.3 10B.√1010C.√55D.3√10105. 若用半径为2的半圆卷成一个圆锥，则圆锥的体积为( )A.√3πB.√3π3C.√53π D.√5π6. 已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=a n+2n−1，则a5=( )A.16B.17C.31D.327. 项数为奇数的等比数列{a n}，所有奇数项的和为255，所有偶数项的和为−126，末项是192，则首项a1=( )A.1B.2C.3D.48. 已知a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是( )A.若a // α，b // α，则a // bB.若α⊥β，a⊂α，b⊂β，则a⊥bC.若a⊥b，b⊥α，则a // αD.若α // β，a⊂α，则a // β9. 在班级的演讲比赛中，将甲、乙两名同学的得分情况制成如图所示的茎叶图．记甲、乙两名同学所得分数的平均分分别为x¯甲、x¯乙，则下列判断正确的是( )A.x¯甲<x¯乙，甲比乙成绩稳定B.x¯甲>x¯乙，甲比乙成绩稳定C.x¯甲<x¯乙，乙比甲成绩稳定D.x¯甲>x¯乙，乙比甲成绩稳定10. 设一元二次不等式ax2+bx+1>0的解集为{x|−1<x<2}，则ab的值为( )A.1B.−14C.4D.−1211. 在△ABC中，已知b=20，c=10√3，C=60∘，则此三角形的解的情况是( )A.有一解B.有两解C.无解D.有解但解的个数不确定12. 在下列各函数中，最小值等于2的函数是( )A.y=x+1xB.y=sin x+1sin x(0<x<π2)C.y=2√x2+4D.y=e x+4e x−2二、填空题某班有学生52人，现将所有学生随机编号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号，31号，44号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号是________.若A(4,3)，B(2,−1)，则线段AB的垂直平分线的方程是________.已知x >0，y >0， x +y +xy −8=0，则xy 的最大值是________.如图，四棱锥 P −ABCD 的底面为矩形，矩形的四个顶点A ，B ，C ，D 在球O 的同一个大圆上，且球的表面积为 16π，点P 在球面上，则四棱锥 P −ABCD 体积的最大值为________.三、解答题已知{a n }是等差数列，a 3=7，且a 2+a 6=18．若b n =√a +√a ．(1)求数列{a n }通项公式；(2)求数列{b n }的前n 项和T n ．已知关于x 的不等式ax 2−3x +2>0(a ∈R )．(1)若不等式ax 2−3x +2>0的解集为{x|x <1或x >b}，求a ，b 的值．(2)求不等式ax 2−3x +2>5−ax (a ∈R )的解集．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， b =1，a−b+c b =sin Csin A+sin B−sin C .(1)若A =2B ，求△ABC 的周长；(2)若CD 为AB 边上的中线，且CD =√3，求△ABC 的面积．已知曲线C:x 2+y 2+2kx +(4k +10)y +10k +20=0，其中k ≠−1. (1)求证：曲线C 都表示圆，并且这些圆心都在同一条直线上；(2)证明：曲线C 过定点；(3)若曲线C 与x 轴相切，求k 的值．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对照数据(1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ̂=b ̂x +a ̂；(2)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤. 试根据(1)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？(附：∑x i24i=1=86，∑x i4i=1y i =66.5，b̂=∑(x i −x ¯)n i=1(y i −y ¯)∑(x i −x ¯)2n i=1=∑x i n i=1y i −nx ¯y¯∑x i 2n i=1−nx¯2，a ̂=y ¯−b ̂x ¯，其中x ¯，y ¯为样本平均值)如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中， AC =BC =2，AA 1=2√2 ，∠ACB =90∘，M 是AA 1的中点，N 是BC 1中点．(1)求证： MN//平面A 1B 1C 1；(2)求直线BC 1与平面BCM 所成的角的正弦值．参考答案与试题解析2020-2021学年河北廊坊高二上数学月考试卷一、选择题 1.【答案】 A【考点】等差数列的前n 项和 等差数列的性质【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由a 6+a 7=20，a 7+a 8=28，可得4a 7=48， ∴ a 7=12， 故S 13=13(a 1+a 13)2=13a 7=156.故选A . 2.【答案】 C【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离 【解析】左侧图片未给出解析． 【解答】解：如图所示，建立D −xyz 空间直角坐标系，则A 1(1,0,2)，E (0,2,1)，B (1,2,0)，C 1(0,2,2)， BC 1→=(−1,0,2)，A 1E →=(−1,2,−1)， 设异面直线BC 1与A 1E 所成的角为θ，cos θ=|BC 1→⋅A 1E→|BC 1→|⋅|A 1E →||=|√5×√6|=√3030． 故选C ． 3.【答案】 B【考点】点到直线的距离公式 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：根据点到直线的距离公式可知：d =22=105=2.故选B . 4. 【答案】 D 【考点】 余弦定理 正弦定理 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：∵ 在△ABC 中，B =π4，BC 边上的高等于13BC ， ∴ AB =√23BC ． 由余弦定理得AC =√AB 2+BC 2−2⋅AB ⋅BC ⋅cos B =√29BC 2+BC 2−23BC 2=√53BC ． 又△ABC 的面积S =12BC ⋅13BC =12AB ⋅AC ⋅sin ∠BAC =12⋅√23BC ⋅√53BC ⋅sin ∠BAC ，∴ sin ∠BAC =3√1010． 故选D ． 5.【答案】 B【考点】柱体、锥体、台体的体积计算 【解析】半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则圆锥的母线长为R ，底面半径r =1，求出圆锥的高后，代入圆锥体积公式可得答案． 【解答】解：半径为R 的半圆卷成一个圆锥， 则圆锥的母线长为R ，设圆锥的底面半径为r ， 则2πr =πR ， 即r =1，∴ 圆锥的高ℎ=√R 2−r 2=√3， ∴ 圆锥的体积V =13π×12×√3=√33π. 故选B ． 6. 【答案】 A【考点】 数列递推式 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由题目条件知，数列{a n }满足a 1=1，a n+1=a n +2n−1， 则：a n+1−a n =2n−1， 因此得出： a 2−a 1=20， a 3−a 2=21， a 4−a 3=22， a 5−a 4=23，以上各式累加，得a 5−a 1=20+21+22+23，由此可得：a 5=16． 故选A ． 7.【答案】 C【考点】等比数列的性质 【解析】根据等比数列的性质得到奇数项为a 1(1+q 2+q 4+...+q 2n )=1q a 1(q +q 3+q 5+...+q 2n−1)+a 2n+1，求出公比，代入数据求出项数，然后求解首项．【解答】解：设等比数列有2n +1项，则奇数项有n +1项，偶数项有n 项，设公比为q ， 得到奇数项为a 1(1+q 2+q 4+...+q 2n )=255， 偶数项为a 1(q +q 3+q 5+...+q 2n−1)=−126， 所以qa 1(1+q 2+q 4+...+q 2n )=255q ，即a 1(q +q 3+q 5+...+q 2n−1)+qa 2n+1=255q ， 可得：−126+192q =255q ，解得q =−2． 所以所有奇数项和S 奇=255，末项是192， 将数列反向排列，则奇数项的和可列式：a 2n+1[1−(14)n+1]1−14=192[1−(14)n+1]1−14=255，即：(14)n+1=1256，解得n =3．所以共有7项，a 7=a 1(−2)6，解得a 1=3． 故选C ． 8.【答案】 D【考点】空间中直线与平面之间的位置关系 【解析】在A 中，a 与b 相交、平行或异面；在B 中，a 与b 相交、或异面；在C 中，a // α或a ⊂α；在D 中，由面面平行的性质定理得a // β． 【解答】解：由a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知： 在A 中：若a // α，b // α，则a 与b 相交、平行或异面，故A 错误；在B 中：若α⊥β，a ⊂α，b ⊂β，则a 与b 相交、平行或异面，故B 错误； 在C 中：若a ⊥b ，b ⊥α，则a // α或a ⊂α，故C 错误；在D 中：若α // β，a ⊂α，则由面面平行的性质定理得a // β，故D 正确． 故选D ． 9. 【答案】 C【考点】极差、方差与标准差 众数、中位数、平均数【解析】由茎叶图知分别求出两组数据的平均数和方差，由此能求出结果． 【解答】解：由茎叶图知：x ¯甲=15(76+77+88+90+94)=85，s 甲2=15[(76−85)2+(77−85)2+(88−85)2+(90−85)2+(94−85)2]=52，x ¯乙=15(75+86+88+88+93)=86，s 乙2=15[(75−86)2+(86−86)2+(88−86)2+(88−86)2+(93−86)2]=35.6，∴ x ¯甲<x ¯乙，s 甲2>s 乙2∴ x ¯甲<x ¯乙，乙比甲成绩稳定． 故选C ． 10.【答案】 B【考点】一元二次不等式的应用 【解析】根据一元二次不等式ax 2+bx +1>0的解集为{x|−1<x <2}，可得方程ax 2+bx +1＝0的解为−1，2，利用韦达定理即可解答本题． 【解答】解：∵ 一元二次不等式ax 2+bx +1>0的解集为{x|−1<x <2}， ∴ 方程ax 2+bx +1=0的解为x 1=−1，x 2=2. ∴ −1+2=−ba，(−1)×2=1a，∴ a =−12，b =12，∴ ab =−14． 故选B . 11. 【答案】 A【考点】 解三角形 正弦定理【解析】由正弦定理求得B ，由此即可作出判断． 【解答】解：由正弦定理可得，bsin B =csin C ， 即20sin B =10√3sin 60∘，∴ sin B =1，又B 为△ABC 的内角， ∴ B =90∘，则A =30∘， ∴ 该三角形有唯一解．故选A .12.【答案】 D【考点】基本不等式在最值问题中的应用 基本不等式 【解析】【解答】解：对于A 选项，由于x 可以取负数， 故最小值不为2，A 选项错误． 对于B 选项，y ≥2√sin x ⋅1sin x =2， 但是sin x =1sin x 在区间(0,π2)上不成立， 即基本不等式等号不成立，故B 选项错误． 对于C 选项， y =√x 2+4√x 2+4≥2√√x 2+4⋅1x 2+4=2，但是√x 2+4=√x 2+4无实数解，即基本不等式等号不成立，故C 选项错误． 对于D 选项，y ≥2√e x +4e x−2=2，当且仅当e x =4e x ，x =ln 2时，等号成立. 故选D ． 二、填空题【答案】 18【考点】 系统抽样方法 【解析】根据系统抽样的定义和方法，所抽取的4个个体的编号成等差数列，故可根据其中三个个体的编号求出另一个个体的编号． 【解答】解：某班有学生52人，现将所有学生随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量为4的样本， 则抽样间隔为524=13.∵ 其中三个个体的编号为5，31，44，故样本中还有一个学生的编号是：5+13=18. 故答案为：18. 【答案】x +2y −5=0【考点】两点间的距离公式直线的一般式方程【解析】左侧图片未给出解析．【解答】解：设线段AB的垂直平分线的任意一点为P(x,y)，则|PA|=|PB|，∵ A(4,3)，B(2,−1)，∴√(x−4)2+(y−3)2=√(x−2)2+(y+1)2，即：x2−8x+16+y2−6y+9=x2−4x+4+y2+2y+1，整理可得：x+2y−5=0.故答案为：x+2y−5=0．【答案】4【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：因为x+y+xy−8=0，且x>0，y>0，所以0=x+y+xy−8≥2√xy+xy−8，所以(√xy+4)(√xy−2)≤0，所以0<√xy≤2，所以0<xy≤4.故答案为：4．【答案】163【考点】球内接多面体基本不等式在最值问题中的应用柱体、锥体、台体的体积计算【解析】此题暂无解析【解答】解：设球的半径为R，由题知4πR2=16π，则R=2.再设大圆内的矩形长、宽分别为x，y，由题知x2+y2=(2R)2=16，则矩形面积xy≤x 2+y22=8，当且仅当x=y时上式取等号，即底面为正方形时，底面面积最大，此时S正方形ABCD=8.点P在球面上，当PO⊥底面ABCD时，PO=R，即ℎmax=R=2.故四棱锥P−ABCD体积的最大值为13×8×2=163.故答案为：163.三、解答题【答案】解：(1)设等差数列{a n}的公差为d，a3=7，且a2+a6=18．可得a1+2d=7，2a1+6d=18，解得a1=3，d=2，则a n=3+2(n−1)=2n+1.(2)b n=a n+a n+1=√2n+1+√2n+3=√2n+1√2n+3(√2n+1−√2n+3)(√2n+1+√2n+3)=−√2n+1+√2n+32=12(√2n+3−√2n+1)，∴前n项和T n=12(√5−√3+√7−√5+√9−√7+⋯+√2n+3−√2n+1)=12(√2n+3−√3)．【考点】数列的求和等差数列的通项公式【解析】（1）设等差数列的公差为d，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；（2）求得b n=a+a=√2n+1+√2n+3=12(√2n+3−√2n+1)，运用数列的裂项相消求和，化简可得所求和．【解答】解：(1)设等差数列{a n}的公差为d，a3=7，且a2+a6=18．可得a1+2d=7，2a1+6d=18，解得a1=3，d=2，则a n=3+2(n−1)=2n+1.(2)b n=a n+a n+1=√2n+1+√2n+3=√2n+1√2n+3(√2n+1−√2n+3)(√2n+1+√2n+3)=−√2n+1+√2n+32=12(√2n+3−√2n+1)，∴前n项和T n=12(√5−√3+√7−√5+√9−√7+⋯+√2n+3−√2n+1)=12(√2n+3−√3)．【答案】解：(1)将x=1代入ax2−3x+2=0，则a=1，∴不等式为x2−3x+2>0，即(x−1)(x−2)>0，∴不等式解集为{x|x>2或x<1}，∴b=2.(2)不等式为ax2+(a−3)x−3>0，即(ax−3)(x+1)>0.当a=0时，原不等式解集为{x|x<−1}，当a≠0时，方程(ax−3)(x+1)=0的根为x1=3a，x2=−1，∴ ①当a>0时，3a >−1，∴{x|x>3a或a<−1}；②当−3<a<0时，3a <−1，∴{x|3a<x<−1}；③当a=−3时，3a=−1，∴解集为⌀；④当a<−3时，3a >−1，∴{x|−1<x<3a}．【考点】一元二次不等式的解法【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)将x=1代入ax2−3x+2=0，则a=1，∴不等式为x2−3x+2>0，即(x−1)(x−2)>0，∴不等式解集为{x|x>2或x<1}，∴b=2.(2)不等式为ax2+(a−3)x−3>0，即(ax−3)(x+1)>0.当a=0时，原不等式解集为{x|x<−1}，当a≠0时，方程(ax−3)(x+1)=0的根为x1=3a，x2=−1，∴ ①当a>0时，3a>−1，∴{x|x>3a或a<−1}；②当−3<a<0时，3a<−1，∴{x|3a<x<−1}；③当a=−3时，3a=−1，∴解集为⌀；④当a<−3时，3a>−1，∴{x|−1<x<3a}．【答案】解：(1)因为a−b+cb=sin Csin A+sin B−sin C，所以a−b+cb=ca+b−c，即bc=a2−(b−c)2，即b2+c2−a22bc=12，即cos A=12，即A=π3.又A=2B，则B=π6，则C=π2.又b=1，则a=√3，c=2，即a+b+c=3+√3，即△ABC的周长为3+√3．(2)因为CD=√3，AC=1，在△ACD中，由余弦定理可得：CD2=AC2+AD2−2AC⋅AD cos A，则AD2−AD−2=0，即AD=2，即AB=4，所以S△ABC=12AB⋅AC⋅sin A=12×4×1×√32=√3．【考点】三角形求面积余弦定理正弦定理【解析】【解答】解：(1)因为a−b+cb=sin Csin A+sin B−sin C，所以a−b+cb=ca+b−c，即bc=a2−(b−c)2，即b2+c2−a22bc =12，即cos A=12，即A=π3.又A=2B，则B=π6，则C=π2.又b=1，则a=√3，c=2，即a+b+c=3+√3，即△ABC的周长为3+√3．(2)因为CD=√3，AC=1，在△ACD中，由余弦定理可得：CD2=AC2+AD2−2AC⋅AD cos A，则AD2−AD−2=0，即AD=2，即AB=4，所以S△ABC=12AB⋅AC⋅sin A=12×4×1×√32=√3．【答案】(1)证明：曲线方程化简得：(x+k)2+(y+2k+5)2=5(k+1)2，∵k≠−1，∴5(k+1)2>0，故曲线C都是圆，∴圆心(−k, −2k−5)，设x=−k，y=−2k−5，∴y=2x−5，则圆心在同一直线y=2x−5上.(2)证明：将x2+y2+2kx+(4k+10)y+10k+20=0整理为：k(2x+4y+10)+(x2+y2+10y+20)=0，∴{2x+4y+10=0，x2+y2+10y+20=0，解得：{x=1，y=−3，曲线C过定点(1, −3).(3)解：∵曲线C与x轴相切，∴|−2k−5|=√5|k+1|，解得：k=5±3√5，则曲线C与x轴相切时k=5±3√5．【考点】圆锥曲线中的定点与定值问题直线与圆的位置关系圆的一般方程【解析】此题暂无解析【解答】(1)证明：曲线方程化简得：(x+k)2+(y+2k+5)2=5(k+1)2，∵k≠−1，∴5(k+1)2>0，故曲线C都是圆，∴圆心(−k, −2k−5)，设x=−k，y=−2k−5，∴y=2x−5，则圆心在同一直线y=2x−5上.(2)证明：将x2+y2+2kx+(4k+10)y+10k+20=0整理为：k(2x+4y+10)+(x2+y2+10y+20)=0，∴{2x+4y+10=0，x2+y2+10y+20=0，解得：{x=1，y=−3，曲线C过定点(1, −3).(3)解：∵曲线C与x轴相切，∴|−2k−5|=√5|k+1|，解得：k=5±3√5，则曲线C与x轴相切时k=5±3√5．【答案】解：(1)由表中数据可得，x¯=3+4+5+64=4.5，y¯=2.5+3+4+4.54=3.5．∴b̂=∑x i y i4i=1−4x¯y¯∑x i24i=1−4x¯2=66.5−4×4.5×3.586−4×4.52=0.7，â=y¯−b̂x¯=3.5−0.7×4.5=0.35．故线性回归方程为ŷ=0.7x+0.35．(2)由(1)知线性回归方程为ŷ=0.7x+0.35，把x=100代入，得ŷ=0.7×100+0.35=70.35，所以生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低：90−70.35=19.65（吨标准煤）．【考点】求解线性回归方程【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由表中数据可得，x ¯=3+4+5+64=4.5， y ¯=2.5+3+4+4.54=3.5．∴ b ̂=∑x i y i 4i=1−4x ¯y ¯∑x i 24i=1−4x ¯2 =66.5−4×4.5×3.586−4×4.52=0.7，a ̂=y ¯−b̂x ¯=3.5−0.7×4.5=0.35． 故线性回归方程为y ̂=0.7x +0.35． (2)由(1)知线性回归方程为y ̂=0.7x +0.35， 把x =100代入，得y ̂=0.7×100+0.35=70.35，所以生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低：90−70.35=19.65（吨标准煤）． 【答案】(1)证明：如图，以点C 为坐标原点，以CB 所在直线为x 轴，CA 所在直线为y 轴，CC 1所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系．取B 1C 1中点D ，连结A 1D，由已知得A 1(0,2,2√2)，C 1(0,0,2√2)，M(0,2,√2)， N(1,0,√2)，D(1,0,2√2)，所以MN →=(1,−2,0)，A 1D →(1,−2,0)， 所以MN →=A 1D →，所以MN//A 1D ， 又MN ⊄平面A 1B 1C 1， A 1D ⊂平面A 1B 1C 1， 所以MN//平面A 1B 1C 1．(2)解：又C(0,0,0)，B(2,0,0)， 则BM →=(−2,2,√2)，CM →=(0,2,√2)， 设平面BCM 的法向量为n →=(a,b,c)， 则n →⋅BM →=0，n →⋅CM →=0，所以{−2a +2b +√2c =0，2b +√2c =0，令c =1，则a =0，b =−√22， 所以n →=(0,−√22,1)， 又BC 1→=(−2,0,2√2) ， 所 以cos <BC 1→,n →>=n →⋅BC 1→|n →|⋅|BC 1→|=23，则直线BC 1与平面BCM 所成角的正弦值为23． 【考点】用空间向量求直线与平面的夹角 直线与平面平行的判定【解析】 此题暂无解析 【解答】(1)证明：如图，以点C 为坐标原点，以CB 所在直线为x 轴，CA 所在直线为y 轴，CC 1所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系．取B 1C 1中点D ，连结A 1D ，由已知得A 1(0,2,2√2)，C 1(0,0,2√2)，M(0,2,√2)， N(1,0,√2)，D(1,0,2√2)，所以MN →=(1,−2,0)，A 1D →(1,−2,0)， 所以MN →=A 1D →，所以MN//A 1D ， 又MN ⊄平面A 1B 1C 1， A 1D ⊂平面A 1B 1C 1， 所以MN//平面A 1B 1C 1．(2)解：又C(0,0,0)，B(2,0,0)， 则BM →=(−2,2,√2)，CM →=(0,2,√2)，设平面BCM 的法向量为n →=(a,b,c)， 则n →⋅BM →=0，n →⋅CM →=0， 所以{−2a +2b +√2c =0，2b +√2c =0，令c =1，则a =0，b =−√22， 所以n →=(0,−√22,1)， 又BC 1→=(−2,0,2√2) ， 所 以cos <BC 1→,n →>=n →⋅BC 1→|n →|⋅|BC 1→|=23，则直线BC 1与平面BCM 所成角的正弦值为23．。