【2014黄浦二模】上海市黄浦区2014届高三下学期4月二模考试数学(理)试题Word版含解析
上海市浦东新区高三数学下学期4月二模考试试题 理（含解析）(1)
上海市浦东新区2014年高考预测（二模）数学（理）试卷一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 已知全集{}U=1,2,3,4,5，若集合{}A=2,3，则UA =_____【答案】{}1,4,5【解析】因为全集{}U=1,2,3,4,5，集合{}A=2,3，所以UA ={}1,4,5。
2. 双曲线221916x y -=的渐近线方程为 .s 【答案】43y x =±【解析】易知a=3，b=4，所以双曲线221916x y -=的渐近线方程为43y x =±。
3.函数()31cos 4sin xx x f =的最大值为_______【答案】5 【解析】()sin 4cos 3sin 4cos 5sin()13x xf x x x x ϕ==-=-，其中4tan 3ϕ=，所以函数()31cos 4sin x x x f =的最大值为5.4.已知直线1:210l ax y a -++=和()()2:2130l x a y a R --+=∈，若12l l ⊥，则a =. 【答案】13【解析】因为12l l ⊥，所以12(1)0,3a a a +-==解得。
5.函数()y f x =的反函数为()1y f x -=，如果函数()y f x =的图像过点()2,2-，那么函数()11y fx -=+的图像一定过点______.【答案】(2,3)-【解析】因为函数()y f x =的图像过点()2,2-，所以反函数()1y f x -=过点()2,2-，所以函数()11y fx -=+的图像一定过点(2,3)-。
6. 已知数列{}n a 为等差数列，若134a a +=，2410a a +=，则{}n a 的前n 项的和n S =_____.【答案】23522n n - 【解析】因为134a a +=，所以22a =，又2410a a +=，所以418,1,3a a d ==-=所以，所以n S =23522n n -。
2014年黄浦区高三数学一模试卷及参考答案(理科)综述
黄浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷（理科）2014.1.9考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号 ，并将核对后的条形码贴在指定位置上2.本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟.、填空题（每题4分，满分56分，将答案填在答题纸上）【答案】（1,+cQ ） 【睥析】试题分析乂函数的定义域就是集函数式有意义的自变童的取值集合，如分母，偶泱根武的被开方数，塞次 矗的底数等等，此外还有基本初等函数:車身定义域的要求，如本题中解得^>1.x + 2 0考点；函数的定义域.2.己知全集 U =R ，集合 A=| x + 1| a 2,x^ R ， B = ；x|X —2 <0,^ Rix则 C U A B 【答案】（0,1] 【解析】试题分析=本题苜先求出集合血B,再求它们的运算，遠两个集合都是不尊式的解集，故解得A = {^\x<-3^>\}r 5 =因此（0占）门3=（0,1]・看点；集合的运算.3.已知幕函数f （X ）存在反函数，且反函数 f 九X ）过点（2, 4），则f （X ）的解析式是 ________.【答案】f （x ） = . x （x? 0） 【解析】试题分析：首先要弄清幕函数的形式，其次要弄懂反函数的性质，反函数图象过点（2,4），说明原函数图象过点（4, 2），设 f （x ） =x a ，则 4a =2，则 a =~，故 f （x ）二、.x （x 一 0）.1.函数log ? x -1的定义域是 x 22 考点：幕函数，反函数的性质4. 方程7 3 =2的解是 __________________ .9X —2【答案】"21惕2 【解析】试题分析：解这类方程，苜先要把3“作为整体着虑，方程可化为2 9^4=7.3\即2◎『-"-4 = 0,（2歹+1）（歹-4） = 0,其袂要知道＞0＞因此收方程有于=4, “1强4 =刀爼昇・考点；鹼礒方程・5. 己知数列｛a?是公差为2的等差数列，若 a 6是a 7和乱的等比中项，则 a n = _______________ .【答案】亦理 3【解析】试题分析】可以利用驱数列的通皿公式来解决，伽=引-2皿"7+2・检杲鸽和瞩的等比中项■ 则 = OjOg i 即（旳-2尸=牛（的 + 2）,解得cij = — r 于是a, = aj + 2（ft- 7） = 2f ＞——- 君点士等差数列的通项公5t一-4 4 -6. 已知向量a= cos^sin 二,b = 1,-2 ,若a // b ，则代数式2sin ^ _ co ^的值是 ___________________________________ .sin 。
上海市黄浦区高三数学下学期4月二模考试 理(含解析)
上海市黄浦区2014年高考模拟（二模）数学（理）试卷考生注意：1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚； 3．本试卷共23道试题，满分150分；考试时间120分钟．一．填空题(本大题满分56分) 本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分． 1．函数xxy -+=11log 2的定义域是 ． 【答案】(1,1)- 【解析】由1+0111x x x>-<<-得，所以函数x xy -+=11log 2的定义域是(1,1)-。
2．函数x x y 22sin cos -=的最小正周期=T ． 【答案】p【解析】x x y 22sin cos -=cos 2x =，所以22T ππ==。
3．已知全集R U =，集合{}|0,R A x x a x =+≥∈，{}||1|3,R B x x x =-≤∈．若U ()[2,4]C A B =-，则实数a 的取值范围是 ．【答案】4a <-【解析】易知集合{}|0,R A x x a x =+≥∈ {}|x x a =≥-，{}||1|3,R B x x x =-≤∈{}|24x x =-≤≤．所以{}|u C A x x a =<-，因为U ()[2,4]C A B =-，所以4a ->，所以实数a 的取值范围是4a <-。
4．已知等差数列{}*(N )n a n ∈的公差为3，11-=a ，前n 项和为n S ，则nnn S na ∞→lim的数值是 ． 【答案】2【解析】因为等差数列{}*(N )n a n ∈的公差为3，11-=a ，所以34n a n =-，23522n S n n =-，所以n n n S na∞→lim 34lim 23522n n n →∞-==-。
上海市六校2014届高三下学期第二次联考数学(理)试题(解析版)
上海市六校2014届高三下学期第二次联考数学（理）试题（解析版）一、填空题（每题4分，满分56分，将答案填在答题纸上）1.已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，4sin 5α=，则tan α= ．2.已知集合{}1,A m =-，{}|1B x x =>，若A B ≠∅，则实数m 的取值范围是 ．3.设等差数列{}n a 的前项和为n S ，若911a =，119a =，则19S 等于 ．4.若()()2i i a ++是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a 的值为 ． 【答案】12【解析】试题分析：()(2)221(21)(2)a i i a ai i a a i ++=++-=-++是纯虚数，则21020a a -=⎧⎨+≠⎩，解得12a =． 考点：复数的概念．5.抛物线24y x =的焦点到双曲线2214x y -=的渐近线的距离是 ．6.执行下图的程序框图，如果输入6i =，则输出的S 值为 ．7.不等式1011ax x <+对任意R x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是 ．【答案】(]4,0- 【解析】试题分析：原不等式为(1)10ax x +-<，即210ax ax +-<，0a =时，不等式为10-<，符合题意，当0a ≠时，有240a a a <⎧⎨∆=-<⎩40a ⇒-<<，综上所述a 的范围是40a -<≤．考点：行列式的定义，不等式恒成立问题．8.若n a 是()()*2,2,nx n n x +∈≥∈N R 展开式中2x项的系数，则2323222lim n n n a a a →∞⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪⎝⎭ ．9.已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为23π的扇形，则此圆锥的体积为 ．10.若点(,)P x y 在曲线cos ,2sin ,x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数，θ∈R ）上，则yx 的取值范围是 ．【答案】(),3,⎡-∞+∞⎣【解析】试题分析：由cos ,2sin ,x y θθ=⎧⎨=+⎩消去参数θ得22(2)1x y +-=①，设yk x =，则y kx =，代入①式并化简得：22(1)430k x kx +-+=，此方程有实数解，∴221612(1)0k k ∆=-+≥，解得k ≤k ≥考点：参数方程化普通方程，直线和圆有公共点．11.从0,1,2,,9⋅⋅⋅这10个整数中任意取3个不同的数作为二次函数()2f x ax bx c =++的系数，则使得()12f ∈Z 的概率为 ．12.已知点F 为椭圆:C 2212x y +=的左焦点，点P 为椭圆C 上任意一点，点Q 的坐标为()4,3，则PQ PF +取最大值时，点P 的坐标为 ．考点：椭圆的定义，三角形的性质．13.已知A、B、C为直线l上不同的三点，点O∉直线l，实数x满足关系式220x OA xOB OC++=，有下列命题：①2OB OC OA-⋅≥；②20OB OC OA-⋅<；③x的值有且只有一个；④x的值有两个；⑤点B是线段AC的中点．则正确的命题是．（写出所有正确命题的编号）14.已知数列{}n a 的通项公式为52n n a -=，数列{}n b 的通项公式为n b n k =+， 设,,,,n n n n n n n b a b c a a b ≤⎧=⎨>⎩若在数列{}n c 中，5n c c ≤对任意*n ∈N 恒成立，则实数k 的取值范围是 ． 【答案】[]5,3--二、选择题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件16.下列函数中，既是偶函数，又在区间()1,2内是增函数的为 （ ）（A ）2log y x = （B ）cos 2y x =（C ）222x xy --=（D ）22log 2x y x -=+17.已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m β⊥的是（ ）（A ）αβ⊥且m α⊂≠（B ）αβ⊥且mα∥（C ）m n 且n β⊥ （D ）m n ⊥且αβ18.对于函数()f x ，若存在区间[],A m n =，使得(){},y y f x x A A =∈=，则称函数()f x 为“可等域函数”，区间A 为函数()f x 的一个“可等域区间”．给出下列4个函数： ①()sin 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭；②()221f x x =-； ③()12x f x =-； ④()()2log 22f x x =-．其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为 （ ） （A ）①②③ （B ）②③ （C ）①③ （D ）②③④[0,)+∞，所以0m ≥，函数()12x f x =-在[0,)+∞上是增函数，考察方程21x x -=，由于函数2xy =与1y x =+只有两个交点(0,1),(1,2)，即方程21xx -=只有两个解0和1，因此此函数只有一个等可域区间[0,1]，对于④，函数2()log (22)f x x =-在定义域(1,)+∞上是增函数，若上函数有等可域区间[,]m n ，则(),()f m m f n n ==，但方程2log (22)x x -=无解（方程2log x x =无解），故此函数无可等域区间．综上只有②③正确，选B ．考点：函数的定义域与值域，单调性，方程的解等综合问题．三、解答题 （本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）19.（本题满分12分）本题共有2小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ， 且1cos22A C +=．（1）若3a =，b =c 的值；（2）若())sin sin f A AA A =-，求()f A 的取值范围．所以cos cos 22A C B π+-=1sin 22B ==．26B π=，所以3B π=． ………………3分由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，由（1）得3B π=，所以23A C π+=，20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 则32,662A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭. ∴sin 2(1,1]6A π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭. ∴()31,22f A ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦.∴()f A 的取值范围是31,22⎛⎤- ⎥⎝⎦. ………………12分 考点：（1）余弦定理；（2）二倍角公式与降幂公式，三角函数的取值范围20.（本题满分14分）本题共有2小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分．如图，几何体EF ABCD -中，CDEF 为边长为2的正方形，ABCD 为直角梯形，AB CD ，AD DC ⊥，2AD =，4AB =，90ADF ∠=．（1）求异面直线DF 和BE 所成角的大小； （2）求几何体EF ABCD -的体积．BED CA由题意得，AD DC⊥，AD DF⊥，,DC DF⊂≠平面CDEF，∴AD⊥平面CDEF，∴AD DE⊥，同理可证DE⊥面ABCD.∵//CD EF，CD EF DM==，∴EFDM为平行四边形，∴//ME DF.则MEB∠（或其补角）为异面直线DF和BE所成的角. ………………3分由平面几何知识及勾股定理可以得2226210ME BE BM===，，在MEB△中，由余弦定理得2223cos2ME BE BMMEBME BE+-∠==⋅．∵异面直线的夹角范围为0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，∴异面直线DF和BE所成的角为MBEACD………………7分（２）如图，连结EC ，过B 作CD 的垂线，垂足为N ，则BN ⊥平面CDEF ，且2BN =.………………9分∵EF ABCD V -E ABCD B ECF V V --=+ ……………11分1133ABCD EFC S DE S BN =⋅+⋅△△ 1111(42)222223232=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅⋅ 163=. ∴ 几何体EF ABCD -的体积为163.……14分 考点：（1）异面直线所成的角；（2）几何体的体积．21.（本题满分14分） 本题共有2小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分．NA为了保护环境，某工厂在国家的号召下，把废弃物回收转化为某种产品，经测算，处理成本y （万元）与处理量x （吨）之间的函数关系可近似的表示为：250900y x x =-+，且每处理一吨废弃物可得价值为10万元的某种产品，同时获得国家补贴10万元．（1）当[]10,15x ∈时，判断该项举措能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，请求出国家最少补贴多少万元，该工厂才不会亏损？ （2）当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？∵35[10,15]x =∉，()235325P x =--+在[10,15]上为增函数，可求得[P ∈--. ………………5分 ∴ 国家只需要补贴75万元，该工厂就不会亏损． ………………7分（2）设平均处理成本为90050y Q x x x==+- ………………9分5010≥=， ………………11分当且仅当900x x=时等号成立，由0x > 得30x =． 因此，当处理量为30吨时，每吨的处理成本最少为10万元． ………………14分考点：函数应用题，二次函数的值域，基本不等式的应用.22.（本题满分16分）本题共有3小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分6分．已知数列{}n a 中，11a =，对任意的*k ∈N ，21k a -、2k a 、21k a +成等比数列，公比为k q ；2k a 、21k a +、22k a +成等差数列，公差为k d ，且12d =． （1）写出数列{}n a 的前四项； （2）设11k k b q =-，求数列{}k b 的通项公式； （3）求数列{}k d 的前k 项和k D ．试题解析：（1）由题意得2213322a a a a a ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，2222a a =+，22a =或21a =-. ………………2分故数列{}n a 的前四项为1,2,4,6或1,1,1,3-. ………………4分221211k k a k a k +-+⎛⎫= ⎪⎝⎭，()22222121321121231121111k k k k k a a a k k a a k a a a k k +-+--+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()2121k k ka a k k q +==+， ()2121231,2k k k k k k k k a d a a k D q +++=-==+=. ………………13分 当112b =-时，同理可得42k d k =-，22k D k =. ………………16分解法二：（2）对1,1,1,3,-这个数列，猜想()*2123N m m q m m -=∈-， 下面用数学归纳法证明：ⅰ）当1m =时，12111213q ⋅-==-⋅-，结论成立.ⅱ）假设()*N m k k =∈时，结论成立，即2123k k q k -=-.（3）对1,1,1,3,-这个数列，猜想奇数项通项公式为()22123k a k -=-.显然结论对1k =成立. 设结论对k 成立，考虑1k +的情形. 由（2），()211,23k k q k k k -=≥∈-N 且21221,,k k k a a a -+成等比数列， 故()()22222121212123212323k k k k a a k k k k +---⎛⎫⎛⎫=⋅=-⋅=- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，即结论对1k +也成立. 从而由数学归纳法原理知()22123k a k -=-.于是()()22321k a k k =--（易见从第三项起每项均为正数）以及21242k k k d a a k +=-=-，此时()22422k D k k =++-=. ………………13分对于1,2,4,6,这个数列，同样用数学归纳法可证221k a k -=，此时()22121,1k k k k a k k d a a k +=+=-=+.此时()()32312k k k D k +=++++=. ………………16分考点：（1）数列的项；（2）等差数列、等比数列与递推公式；（3）累乘法，构造法求通项公式. 或数学归纳法.23.（本题满分18分）本题共有3小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分．如图，圆O与直线20x +=相切于点P ，与x 正半轴交于点A，与直线y 在第一象限的交点为B . 点C 为圆O 上任一点，且满足OC xOA yOB =+，动点(),D x y 的轨迹记为曲线Γ． （1）求圆O 的方程及曲线Γ的方程； （2）若两条直线1:l y kx =和21:l y x k=-分别交曲线Γ于点E 、F 和M 、N ，求四边形EMFN 面积的最大值，并求此时的k 的值． （3）证明：曲线Γ为椭圆，并求椭圆Γ的焦点坐标．【答案】（1）圆O 的方程为221xy +=，曲线Γ的方程为221x y xy ++=（,x y ⎡∈⎢⎣⎦）；（2）当1k =±时，四边形EMFN（3）证明见解析，其焦点坐标为1F ⎛⎝⎭， 2F ⎝⎭. 【解析】试题分析：（1）圆的半径等于圆心到切线的距离，曲线Γ的方程可通过已知OC xOA yOB =+变形得到，条件是1OA OB OC ===，3AOB π∠=，把已知式平方可得出,x y 的方程；（2）从12,l l 方程可看出12l l ⊥，即EF MN ⊥，因此12ABCD S EF MN =⋅，我们把1l 方程与曲线Γ方程联立方程组可解得E F 、两点坐标，从而得到EF ，把EF 中的k ，用1k -代可得出MN ，从而求出2EMFNS =，变试题解析：（1）由题意圆O的半径1r ==，故圆O 的方程为221x y +=. ………………2分由OC xOA yOB =+得，()22OC xOA yOB =+， 即222222cos60OC x OA y OB xy OA OB =++，得221x y xy ++=（,x y ⎡∈⎢⎣⎦）为曲线Γ的方程.（未写,x y 范围不扣分）…4分（2）由221y kx x y xy =⎧⎨++=⎩得E ⎛⎫，F ⎛⎫ ⎝，所以EF =MN ==. ………………6分由题意知12l l ⊥ ，所以四边形EMFN 的面积12S EF MN =⋅. 221x y xy ++=和直线y x =-的交点坐标为()()121,1,1,1A A --，1OA =1OB ===.在y x =-上取点12,F F ⎛ ⎝⎭⎝⎭.下面证明曲线Γ为椭圆：ⅰ）设(),P x y 为曲线Γ上任一点，则12PF PF +=======（因为43xy ≤）12A A ==..。
【2014黄浦二模】上海市黄浦区2014届高三下学期4月二模考试数学(文)试题Word版含解析
一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1.函数xxy -+=11log 2的定义域是 ．2.函数x x y 22sin cos -=的最小正周期=T ．3.已知全集R U =，集合{}|0,R A x x a x =+≥∈，{}||1|3,R B x x x =-≤∈．若U ()[2,4]C A B =-，则实数a 的取值范围是 ．4.已知等差数列{}*(N )n a n ∈的公差为3，11-=a ，前n 项和为n S ，则nnn S na ∞→lim的数值是 ． 【答案】2 【解析】试题分析：由题意13(1)34n a n n =-+-=-，(1)(1)32n n n S n -=-⋅+⨯=2352n n-，2(34)352n nna n n n n S -=- 226835n n n n -=-，nn n S na ∞→lim 题228668lim lim25353n n n n n n n n→∞→∞--===--． 考点：数列的极限．5.函数)1,0(|log |)(≠>=a a x x f a 且的单调递增区间是．6.函数)0()(2≤-=x x x f 的反函数是)(1x f-，则反函数的解析式是=-)(1x f．7.方程1)34(log 2+=-x x的解=x .【答案】2log 3x = 【解析】试题分析：由已知得1432xx +-=，即2(2)2230x x -⋅-=，(21)(23)0x x +-=，所以23x =，2log 3x =．考点：解对数方程．8.在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边的长度分别为c b a 、、，且ab c b a 3222=-+， 则=∠C .9.已知i (i 11-=x 是虚数单位，以下同)是关于x 的实系数一元二次方程02=++b ax x 的一个根，则实数=a ，=b ．10.若用一个平面去截球体，所得截面圆的面积为16π，球心到该截面的距离是3，则这个球的表面积是 ．11.已知直线05301221=+-=-+y x l y x l ：，：，则直线21l l 与的夹角的大小是 ．(结果用反三角函数值表示)【答案】arccos(arctan 7)10或12.已知实数y x 、满足线性约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤-+≥-.053,04,03y x y x y x 则目标函数1--=y x z 的最大值是．13.某个不透明的袋中装有除颜色外其它特征完全相同的7个乒乓球(袋中仅有白色和黄色两种颜色的球)，若从袋中随机摸一个乒乓球，得到的球是白色乒乓球的概率是72，则从袋中一次随机摸两个球，得到一个白色乒乓球和一个黄色乒乓球的概率是 ． 【答案】1021【解析】试题分析：由题意，袋中白色球有2个，黄色球有5个，随机摸两个的方法数有2721C =，而摸到的一个是白色球，一个是黄色球的方法数为2510⨯=，所求概率为1021． 考点：古典概型．14.已知函数)(x f y =是定义域为R 的偶函数. 当0≥x 时，⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤⎪⎭⎫ ⎝⎛=2log 20,21)(16x x x x f x．若关于x 的方程2[()]()0f x a f x b +⋅+=(R)a b ∈、有且只有7个不同实数根，则b a +的值是．二、选择题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.15.已知R a b ∈、，且0ab ≠，则下列结论恒成立的是 ( )．A ． ab b a 2≥+B ．2≥+a b b a C ．2||≥+abb a D ．222a b ab +> 【答案】C 【解析】试题分析：当,a b 都是负数时，A 不成立，当,a b 一正一负时，B 不成立，当a b =时，D不成立，因此只有C 是正确的. 考点：基本不等式.16.已知空间直线l 不在平面α内，则“直线l 上有两个点到平面α的距离相等”是“α||l ”的( )．A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件17.已知22R,0a b a b ∈+≠、，则直线0=+by ax l ：与圆：022=+++by ax y x 的位置关系是( )．A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定18.四棱锥S ABCD -的底面是矩形，锥顶点在底面的射影是矩形对角线的交点，四棱锥及其三视图如下(AB 平行于主视图投影平面)则四棱锥S ABCD -的体积= ( )A ．24B ．18CD ．8 【答案】D 【解析】试题分析：由三视图可知四棱锥的底面矩形的两边长分别为4和2，高为3，因此124383V =⨯⨯⨯=．考点：三视图与体积．三、解答题 （本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）19.(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分． 已知矩形11ABB A 是圆柱体的轴截面，1O O 、分别是下底面圆和上底面圆的圆心，母线长与底面圆的直径长之比为2:1，且该圆柱体的体积为32π，如图所示． (1)求圆柱体的侧面积S 侧的值；(2)若1C 是半圆弧11A B 的中点，点C 在半径OA 上，且12OC OA =，异面直线1CC 与1BB 所成的角为θ，求sin θ的值．∴ 2R =． ∴1=232S R AA ⋅=ππ侧． (2) 设D 是线段11AO 的中点，联结111DC DC OC 、、，则11111,||C O A B CD BB ⊥． 因此，1C CD ∠就是异面直线1CC 与1BB 所成的角，即1C CD ∠=θ．又2R =，011190CDC C O D ∠=∠=，∴11DC CC∴sin θ==． 考点：（1）圆柱的体积与侧面积；（2）异面直线所成的角．20.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．已知复数12cos i,1isin ,R z x z x x =+=-∈．(1)求||21z z -的最小值；(2)设21z z z ⋅=，记z z x f (Im Im )(=表示复数z 的虚部). 将函数)(x f 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把所得的图像向右平移2π个单位长度，得到函数)(x g 的图像. 试求函数)(x g 的解析式．平移的知识可很快得出()g x 的表达式.试题解析：(1)∵12cos i,1isin ,R z x z x x =+=-∈，∴12||z z -== ∴当sin()14x -=-π，即2(Z)4x k k π=π-∈时，12min ||1)z z -==.(2)∵12z z z =⋅，∴12sin cos (1sin cos )i z z z x x x x =⋅=++-. ∴1()1sin cos 1sin 2(R)2f x x x x x =-=-∈.21.(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．某通讯公司需要在三角形地带OAC 区域内建造甲、乙两种通信信号加强中转站，甲中转站建在区域BOC 内，乙中转站建在区域AOB 内．分界线OB 固定，且OB=(1百米，边界线AC始终过点B ，边界线OCOA 、满足0075,30,45A O C A OB B OC ∠=∠=∠=． 设OA x =(36x ≤≤)百米，OC y =百米.(1)试将y 表示成x 的函数，并求出函数y 的解析式；(2)当x 取何值时？整个中转站的占地面积OAC S ∆最小，并求出其面积的最小值．【答案】（1）(36)2y x x =≤≤-；（2）：当400x =米时，整个中转站的占地面积OAC S ∆最小，最小面积是4(210+⨯平方米. 【解析】试题分析：（1）要求函数关系式，实际上是建立起,x y 之间的等量关系，分析图形及已知条件，我们可借第21题图ABCO考点：求函数解析式，三角形的面积公式，分式函数的最值与基本不等式.22.(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．已知数列{}n a 满足n n n n n n a a a a a 3,)1(,12121221+=-+==+-(*N n ∈)． (1)求753a a a 、、的值；(2)求12-n a (用含n 的式子表示)；(3) 记n n n a a b 212+=-，数列{}n b *(N )n ∈的前n 项和为n S ，求n S (用含n 的式子表示)．)．【答案】（1）3573,13,39a a a ===；（2）*213(1)1(N )2n nn a n ---=-∈；（3）1133222n n +⋅--．∴*213(1)1(N )2n nn a n ---=-∈． (3) 由(2)可知，2213(1)(1)12n nnn n a a -+-=+-=-，*N n ∈． ∴*21232(N )n n n n b a a n -=+=-∈． ∴123n n S b b b b =++++ 23(32)(32)(32)(32)n =-+-+-++-1*3(13)13232(N )1322n n n n n +-=-=⋅--∈-．考点：（1）数列的项；（2）数列的通项公式；（3）分组求和．23.(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．已知点D 在双曲线22221(0,0)x y C a b a b-=>>：上，且双曲线的一条渐近线的方程是03=+y x ．(1)求双曲线C 的方程；(2)若过点)1,0(且斜率为k 的直线l 与双曲线C 有两个不同交点，求实数k 的取值范围；(3)设(2)中直线l 与双曲线C 交于B A 、两个不同点，若以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，求实数k 的值120x x y y +=，12y y 可用1212,x x x x +表示出来，而1212,x x x x +在(2)中可用k 表示出来，代入刚才的等式，得到k 的方程，可解得k ．试题解析：(1)由题知，有22121,a b b a⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩又以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，因此，(OA OB O ⊥为坐标原点）． 于是，0,OA OB ⋅=即12120x x y y +=，21212(1)()10k x x k x x ++++=，22222(1)21033k k k k -+++=--， 解得1k =±． 又1k =±满足230k -≠，且0∆>，所以，所求实数1k =±．考点：（1）双曲线的标准方程；(2)直线与双曲线有两个交点问题；(3)两直线垂直与圆锥网线综合题．。
2014学年上海市各区二模数学试卷25题整理
ACBE OD备用图2014学年上海市各区二模数学试卷25题整理25．（15闵行）（本题满分14分，其中第（1）小题各4分，第（2）、（3）小题各5分）如图，已知在梯形ABCD 中，AD // BC ，AB = DC = 5，AD = 4．M 、N 分别是边AD 、BC 上的任意一点，联结AN 、DN ．点E 、F 分别在线段AN 、DN 上，且ME // DN ，MF // AN ，联结EF ．（1）如图1，如果EF // BC ，求EF 的长；（2）如果四边形MENF 的面积是△ADN 的面积的38，求AM 的长；（3）如果BC = 10，试探索△ABN 、△AND 、△DNC 能否两两相似？如果能，求AN 的长；如果不能，请说明理由．25．（15杨浦）（本题满分14分，第(1)小题4分，第(2)小题6分，第（3）小题4分） 在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，BC =10，3tan 4ABC ∠=，点O 是AB 边上动点，以O 为圆 心，OB 为半径的⊙O 与边BC 的另一交点为D ，过点D 作AB 的垂线，交⊙O 于点E ，联结BE 、AE 。
（1） 当AE //BC （如图（1））时，求⊙O 的半径长；（2） 设BO =x ，AE =y ，求y 关于 x 的函数关系式，并写出定义域；（3） 若以A 为圆心的⊙A 与⊙O 有公共点D 、E ，当⊙A 恰好也过点C 时，求DE 的长。
A B C D M N E F（图1） A B C D M NE F （第25题图） 图（1）AB CD E O ABC备用图（第25题图）25．（15长宁）（本题满分14分）如图，已知矩形ABCD ，AB =12 cm ，AD =10 cm ，⊙O 与AD 、AB 、BC 三边都相切，与DC 交于点E 、F 。
已知点P 、Q 、R 分别从D 、A 、B 三点同时出发，沿矩形ABCD 的边逆时针方向匀速运动，点P 、Q 、R 的运动速度分别是1 cm/s 、x cm/s 、1.5 cm/s ，当点Q 到达点B 时停止运动，P 、R 两点同时停止运动.设运动时间为t （单位:s ）. （1）求证: DE =CF ；（2）设x = 3，当△P AQ 与△QBR 相似时，求出t 的值；（3）设△P AQ 关于直线PQ 对称的图形是△P A'Q ，当t 和x 分别为何值时，点A'与圆心O 恰好重合，求出符合条件的t 、x 的值.25. （15黄浦）（本题满分14分，第（1）小题满分3分，第（2）满分6分，（3）小题满分5分）如图8，Rt △ABC 中，90C ︒∠=，30A ︒∠=，BC =2，CD 是斜边AB 上的高，点E 为边AC 上一点（点E 不与点A 、C 重合），联结DE ，作CF ⊥DE ，CF 与边AB 、线段DE 分别交于点F 、G ．（1）求线段CD 、AD 的长；（2）设CE x =，DF y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； （3）联结EF ，当△EFG 与△CDG 相似时，求线段CE 的长．第25题图(备用图）图825．（15金山）（本题满分14分）如图，已知在ABC ∆中，10==AC AB ，34tan =∠B （1） 求BC 的长；（2） 点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，不重合的两动点M 、N 在边BC 上（点M 、N 不与点B 、C 重合），且点N 始终在点M 的右边，联结DN 、EM ，交于点O ，设x MN =，四边形ADOE 的面积为y ． ①求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；②当OMN ∆是等腰三角形且1=BM 时，求MN 的长．25．（15浦东）（本题满分14分，其中第（1）小题3分，第（2）小题6分，第（3）小题5分）如图，已知在△ABC 中，射线AM ∥BC ，P 是边BC 上一动点，∠APD =∠B ，PD 交射线AM 于点D ，联结CD ．AB =4，BC =6，∠B =60°． （1）求证：BP AD AP ⋅=2；（2）如果以AD 为半径的圆A 与以BP 为半径的圆B 相切，求线段BP 的长度；（3）将△ACD 绕点A 旋转，如果点D 恰好与点B 重合，点C 落在点E 的位置上，求此时∠BEP 的余切值．A B C P D （第25题图） M AB C （第25题备用图）M25．（15宝山嘉定）（本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分4分）在Rt △ABC 中，︒=∠90C ，2=BC ，Rt △ABC 绕着点B 按顺时针方向旋转，使点C 落在斜边AB 上的点D ，设点A 旋转后与点E 重合，联结AE ，过点E 作直线EM 与射线CB 垂直，交点为M ．（1）若点M 与点B 重合如图10，求BAE ∠cot 的值；（2）若点M 在边BC 上如图11，设边长x AC =，y BM =，点M 与点B 不重合，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）若EBM BAE ∠=∠，求斜边AB 的长．25．（15普陀）（本题满分14分）如图11-1，已知梯形ABCD 中，AD //BC ，90D ∠=，5BC =，3CD =，cot 1B =． P 是边BC 上的一个动点（不与点B 、点C 重合），过点P 作射线PE ，使射线PE 交射线BA 于点E ，BPE CPD ∠=∠．（1）如图11-2，当点E 与点A 重合时，求DPC ∠的正切值；（2）当点E 落在线段AB 上时，设BPx =，BE y =，试求y 与x 之间的函数解析式，并写出x 的取值范围；（3）设以BE 长为半径的⊙B 和以AD 为直径的⊙O 相切，求BP 的长．CBDA 图11备用图C BD A 图11备用图(E )P CBDA 图11-2CBDA 图11-125．（15松江）（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）如图，已知在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =90º，AB =4，AD=3，552sin =∠BCD ，点P 是对角线BD 上一动点，过点P 作PH ⊥CD ，垂足为H ． （1）求证：∠BCD =∠BDC ；（2）如图1，若以P 为圆心、PB 为半径的圆和以H 为圆心、HD 为半径的圆外切时，求DP 的长；（3）如图2，点E 在BC 延长线上，且满足DP =CE ，PE 交DC 于点F ，若△ADH 和△ECF 相似，求DP 的长．ABCHPD （第25题图1）ABCHPD EF（第25题图2）25．（15徐汇）如图，在ABC Rt ∆中，90ACB ∠=︒，AC =4，14cos A =，点P 是边AB 上的动点，以P A 为半径作⊙P ．（1）若⊙P 与AC 边的另一交点为点D ，设AP =x ，△PCD 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并直接写出函数的定义域；（2）若⊙P 被直线BC 和直线AC 截得的弦长相等，求AP 的长；（3）若⊙C 的半径等于1，且⊙P 与⊙CAP 的长．BA25．（15奉贤）（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）已知：如图，线段AB =8，以A 为圆心，5为半径作圆A ，点C 在⊙A 上，过点C 作CD //AB 交⊙A 于点D （点D 在C 右侧），联结BC 、AD ． （1）若CD=6，求四边形ABCD 的面积；（2）设CD =x ，BC =y ，求y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；（3）设BC 的中点为M ，AD 的中点为N ，线段MN 交⊙A 于点E ，联结CE ，当CD 取何值时，CE //AD ．DCB （第25题图）AB（备用图）A25．（15静安青浦）（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）在⊙O中，OC⊥弦AB，垂足为C，点D在⊙O上．（1）如图1，已知OA＝5，AB＝6，如果OD//AB，CD与半径OB相交于点E，求DE 的长；（2）已知OA＝5，AB＝6（如图2），如果射线OD与AB的延长线相交于点F，且△OCD 是等腰三角形，求AF的长；（3）如果OD//AB，CD⊥OB，垂足为E，求sin∠ODC的值．（第25题图1）BO A CDE（第25题图2）BOA C25．（15崇明）（本题满分14分，第(1)小题5分，第(2)小题5分，第(3)小题4分） 如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，8AC =，4tan 3B =，点P 是线段AB 上的一个动点，以点P 为圆心，PA 为半径的P 与射线AC 的另一个交点为点D ，射线PD 交射线BC 于点E ，点Q 是线段BE 的中点．（1）当点E 在BC 的延长线上时，设PA x =，CE y =，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；（2）以点Q 为圆心，QB 为半径的Q 和P 相切时，求P 的半径；（3）射线PQ 与P 相交于点M ，联结PC 、MC ，当PMC ∆是等腰三角形时，求AP 的长．（备用图1）BA C（备用图2）BAC。
上海黄浦4月高三数学二模(理科)
黄浦区2013年高考模拟考数学试卷(理科) 2013年4月11日考生注意：1．每位考生应同时收到试卷和答题纸两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚； 3．本试卷共23道试题，满分150分；考试时间120分钟. 一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题卷相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分． 1．若复数z 满足109z z-=，则z 的值为___________.2．函数()lg(42)f x x =-的定义域为___________.3．若直线l 过点(1,3)A -，且与直线230x y --=垂直，则直线l 的方 程为___________.4．等差数列{}n a 的前10项和为30，则14710a a a a +++=___________. 5．执行右边的程序框图，则输出的a 值是___________.6．设a 为常数，函数2()43f x x x =-+，若()f x a +在[0,)+∞上是增函 数，则a 的取值范围是___________.7．在极坐标系中，直线:cos 1l ρθ=被圆:4cos C ρθ=所截得的线段长 为___________.8．已知点(2,3)P -是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上一点，双曲线两个焦点间的距离等于4，则该双曲线方程是___________.9．在平行四边形ABCD 中，若2,1,60AB AD BAD ==∠=ou u u r u u u r ，则AB BD ⋅=u u u r u u u r ___________.10．已知,,A B C 是球面上三点，且4,90AB AC cm BAC ==∠=o，若球心O 到平面ABC的距离为__________3cm .11．在ABC ∆中，120,5,7A AB BC ∠===o，则sin sin BC的值为___________. 12．已知23230123(3)(3)(3)n x x x x a a x a x a x ++++=+-+-+-L (3)nn a x ++-L()n N *∈且012n n A a a a a =++++L ，则lim4nnn A →∞=___________.13．一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有1件次品. 用户先对产品进行随机抽检 以决定是否接受. 抽检规则如下：至多抽检3次，每次抽检一件产品(抽检后不放回)，只要 检验到次品就停止继续抽检，并拒收这箱产品；若3次都没有检验到次品，则接受这箱产品， 按上述规则，该用户抽检次数的数学期望是___________. 14．已知1()4f x x =-，若存在区间1[,](,)3a b ⊆+∞，使得 {}(),[,][,]y y f x x a b ma mb =⊆=，则实数m 的取值范围是___________.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在 答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．已知4cos25θ=，且sin 0θ<，则tan θ的值为 A ．2425- B. 247± C. 247- D. 24716．函数21()1(2)2f x x x =+<-的反函数是A ．3)y x =≤< B. 3)y x =>C ．3)y x =≤< D. 3)y x =>17．下列命题：①“102a <≤”是“存在n N *∈，使得1()2n a =成立”的充分条件；②“0a >” 是“存在n N *∈，使得1()2n a <成立”的必要条件；③“12a >”是“不等式1()2n a <对一切n N *∈恒成立”的充要条件. 其中所以真命题的序号是A ．③ B. ②③ C. ①② D. ①③18．如果函数2y x =-的图像与曲线22:4C x y λ+=恰好有两个不同的公共点，则实数λ 的取值范围是A ．[1,1)- B. {}1,0- C. (,1][0,1)-∞-U D. [1,0](1,)-+∞UA BCDA 1B 1ED 1C 1三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题卷相应编号的规定区域内写出必要的步骤19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分. 已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，1A D =. （1）求该四棱柱的侧面积与体积；（2）若E 为线段1A D 的中点，求BE 与平面ABCD 所成角的大小.20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知复数12sin ,(sin )z x i z x x i λ=+=-(,,x R i λ∈为虚数单位) （1）若122z z i =，且(0,)x π∈，求x 与λ的值；（2）设复数12,z z 在复平面上对应的向量分别为12,OZ OZ u u u u r u u u u r ，若12OZ OZ ⊥u u u u r u u u u r，且()f x λ=，求()f x 的最小正周期和单调递减区间.21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 某医药研究所开发一种新药，在实验药效时发现：如果成人按规定剂量服用，那么服药后每毫升血液中的含药量y （微克）与时间x （小时）之间满足211(01)2(1)41x x axx x ay a x --⎧<<⎪⎪+=⎨⋅⎪>⎪⎩+， 其对应曲线（如图所示）过点16(2,)5. （1）试求药量峰值（y 的最大值）与达峰时间（y 取最大值 时对应的x 值）； （2）如果每毫升血液中含药量不少于1微克时治疗疾病有效， 那么成人按规定剂量服用该药一次后能维持多长的有效时 间？（精确到0.01小时）22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分. 设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，经过点F 的动直线l 交抛物线C 于点11(,)A x y ，22(,)B x y 且124y y =-.（1）求抛物线C 的方程；（2）若2()OE OA OB =+u u u r u u u r u u u r(O 为坐标原点)，且点E 在抛物线C 上，求直线l 倾斜角；（3）若点M 是抛物线C 的准线上的一点，直线,,MF MA MB 的斜率分别为012,,k k k .求证： 当0k 为定值时，12k k +也为定值.23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分. 已知数列{}n a 具有性质：①1a 为整数；②对于任意的正整数n ，当n a 为偶数时，12n n a a +=；当n a 为奇数时，112n n a a +-=. （1）若1a 为偶数，且123,,a a a 成等差数列，求1a 的值；（2）设123m a =+(3m >且m ∈N )，数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：123m n S +≤+；（3）若1a 为正整数，求证：当211log n a >+(n ∈N )时，都有0n a =.一、填空题1. 3i ±2. [)1,2-3. 21y x =-+4. 125. 1216. [)2,+∞7. 8. 2213y x -= 9. 3- 10. 64π 11.35 12. 4313.271014. []3,4二、选择题15. C 16. D 17. B 18. A三、解答题【题目19】【解析】⑴根据题意可得：在1Rt AA D ∆中，高13AA ==∴(222323)232S =⨯+⨯+⨯⨯=22312V =⨯⨯=⑵过E 作EF AD ⊥，垂足为F ，连结BF ，则EF ⊥平面ABCD ， ∵BE ⊂平面ABCD ，∴EF BF ⊥∴在Rt BEF ∆中，EBF ∠就是BE 与平面ABCD 所成的角∵1,EF AD AA AD ⊥⊥，∴1EF AA ∥， 又E 是1A D 的中点，∴EF 是1AA D ∆的中位线， ∴11322EF AA == 在Rt AFB ∆中BF =∴3tan 210EBF ∠==∴EBF ∠=【题目20】【解析】⑴∵122z z i =，∴2sin 21(sin )x i x x i λ+=++∴2sin 12sin x x xλ=⎧⎪⎨=⎪⎩， ∵(0,)x π∈，∴6x π=或56π∴1λ=或12λ=-⑵根据题意可知：12(sin ,),(sin ,1),OZ x OZ x x λ==-u u u u r u u u u r∵12OZ OZ ⊥u u u u r u u u u r ，∴120OZ OZ ⋅=u u u u r u u u u r∴2sin cos 0x x x λ-=∴2sin cos x x x λ=+，∴11(1cos22)sin(2)262x x x πλ=-+=-+ ∴最小正周期：22T ππ==∵sin x 在3[2,2],22k k k Z ππππ++∈上单调减∴根据复合函数的单调性：32[2,2],622x k k k Z πππππ-∈++∈ ∴5[,],36x k k k Z ππππ∈++∈∴()f x 在5[,],36k k k Z ππππ++∈上单调减【题目21】【解析】将16(2,)5代入函数可得：8a =，∴2218,011()2,141x x xx x f x x +-⎧<<⎪⎪+=⎨⎪≥⎪⎩+⑴当(0,1)x ∈时，288()11x f x x x x==++ ∵12x x+>，∴0()4f x << 当[1,)x ∈+∞时，221242424()1142412114244x x x x x x x x f x +-⋅⋅====+⨯+++ ∵22x ≥ ∴112142x x ⨯+≥，∴0()4f x <≤ ∴当1x =时，有最大值为max (1)4y f ==⑵∵()f x 在(0,1)上单调增，在[1,)+∞上单调减，最大值为4 ∴()1f x =在(0,1)和[1,)+∞各有一解 当(0,1)x ∈时，28()11xf x x ==+，解得：4x = 当[1,)x ∈+∞时，212()141x x f x +-==+，解得：2log (8x =+∴当2[4(8x ∈+时，为有效时间区间∴有效的持续时间为：2log (8(4 3.85+-≈小时【题目22】设抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，经过点F 的动直线交抛物线与11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，且124y y =-；⑴求抛物线的方程；⑵若2()OE OA OB =+u u u r u u u r u u u r（O 为坐标原点），且点E 在抛物线C 上，求直线l 的倾斜角；⑶若点M 是抛物线C 的准线上的一点，直线,,MF MA MB 的斜率分别为012,,k k k ， 求证：当0k 为定值时，12k k +也为定值。
(上海版)2014届高三数学(第04期)名校试题分省分项汇编 专题12.立体几何 理(含解析)
（上海版）2014届高三数学（第04期）名校试题分省分项汇编 专题12.立体几何 理（含解析）一．基础题组1. 【上海市长宁、嘉定区2014届高三4月第二次模拟考试数学（理）试题】已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤<--≤≤=,21,)1(1,10,)(2x x x x x f 将)(x f 的图像与x 轴围成的封闭图形绕x 轴旋转一周，所得旋转体的体积为___________．2. 【上海市崇明县2014届高三高考模拟考试（二模）数学（理）试卷】已知圆柱M 的底面圆的半径与球O 的半径相同，若圆柱M 与球O 的表面积相等，则它们的体积之比V V 圆柱球：= （结果用数值作答）．3. 【上海市奉贤区2014届下学期高三二模数学试卷（理科）】已知长方体1111ABCD A B C D -，下列向量的数量积一定不为0的是 （ ）A ．11AD BC ⋅ B ．1BD AC ⋅ C ．1AB AD ⋅ D ．1BD BC ⋅4. 【上海市奉贤区2014届下学期高三二模数学试卷（理科）】若一个圆锥的侧面展开图是面积为π2的半圆面，则该圆锥的体积为________.5. 【上海市黄浦区2014年高考模拟（二模）数学（理）试题】若用一个平面去截球体，所得截面圆的面积为16π，球心到该截面的距离是3，则这个球的表面积是 ．6. 【上海市黄浦区2014年高考模拟（二模）数学（理）试题】已知空间直线l 不在平面α内，则“直线l 上有两个点到平面α的距离相等”是“α||l ”的( )．A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件7. 【上海市静安、杨浦、青浦、宝山四区2014高考模拟（理科）数学】已知圆锥的母线长为5,侧面积为π15,则此圆锥的体积为__________.(结果中保留π)8. 【上海市静安、杨浦、青浦、宝山四区2014高考模拟（理科）数学】若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,圆柱、球的表面积分别记为1S 、2S ,则1S :2S =…………………………（ ）.)(A 1:1 )(B 2:1 )(C 3:2 )(D 4:19. 【上海市闵行区2014届高三下学期教育质量调研（二模）数学(理)试题】用一平面去截球所得截面的面积为3πcm 2，已知球心到该截面的距离为1 cm ，则该球的体积 是 cm 3.10. 【上海市闵行区2014届高三下学期教育质量调研（二模）数学(理)试题】下列命题中，错误．．的是（ ）． （A ）过平面α外一点可以作无数条直线与平面α平行（B ）与同一个平面所成的角相等的两条直线必平行（C ）若直线l 垂直平面α内的两条相交直线，则直线l 必垂直平面α（D ）垂直于同一个平面的两条直线平行11. 【上海市徐汇、金山、松江区2014届高三第二学期学习能力诊断数学（理）试题】如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，0190,2,1ACB AA AC BC ∠====，则异面直线1A B 与AC 所成角的余弦值是____________．第7题图12. 【上海市徐汇、金山、松江区2014届高三第二学期学习能力诊断数学（理）试题】已知直线⊥l 平面α，直线m ⊆平面β，给出下列命题,其中正确的是-------------( ) ①m l ⊥⇒βα// ②m l //⇒⊥βα③βα⊥⇒m l // ④βα//⇒⊥m lA ．②④ B. ②③④ C. ①③ D. ①②③三．拔高题组1. 【上海市长宁、嘉定区2014届高三4月第二次模拟考试数学（理）试题】在如图所示的多面体中，四边形ABCD 为正方形，四边形ADPQ 是直角梯形，DP AD ⊥，⊥CD 平面ADPQ ，DP AQ AB 21==． （1）求证：⊥PQ 平面DCQ ；（2）求平面BCQ 与平面ADPQ 所成的锐二面角的大小．试题解析：（1）由已知，DA ，DP ，DC 两两垂直，可以D 为原点，DA 、DP 、DC 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系． …………（1分）设a AB =，则)0,0,0(D ，),0,0(a C ，)0,,(a a Q ，)0,2,0(a P ， 故),0,0(a =，)0,,(a a =，)0,,(a a -=， ………………（3分） 因为0=⋅，0=⋅，故⊥，⊥，即PQ DC ⊥，PQ DQ ⊥， ………………………（5分） 所以，⊥PQ 平面DCQ ． ………………………（6分）2. 【上海市崇明县2014届高三高考模拟考试（二模）数学（理）试卷】如图所示，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是矩形，1AB =，BC =12AA =，E 是侧棱1BB 的中点．（1）求证：1A E ⊥平面AED ；（2）求二面角1A A D E --的大小．200w v w ⎧+=⎪∴⎨+=⎪⎩3.【上海市虹口区2014届高三4月高考练习（二模）数学（理）试题】已知圆锥母线长为6，底面圆半径长为4，点M是母线PA的中点，AB是底面圆的直径，底面半径OC与母线PB所成的角的大小等于θ．θ=︒时，求异面直线MC与PO所成的角；（1）当60-的体积最大时，求θ的值．（2）当三棱锥M ACO⊥交AO于点D，连DC．试题解析：解：（1）连MO，过M作MD AO又PO ==MD ∴=43OC OM ==，．4. 【上海市奉贤区2014届下学期高三二模数学试卷（理科）】如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，090BAC ∠=，1AB AC AA ==．若D 为11B C 的中点，求直线AD 与平面11A BC 所成的角.【答案】60°【解析】试题分析：因为在直三棱柱111ABC A B C -中，090BAC ∠=，1AB AC AA ==．若D 为11B C 的中点，需求直线AD 与平面11A BC 所成的角.可以建立直角坐标系，通过平面11A BC 的法向量与直线AD 所在的向量的夹角的余弦值即为直线与平面所成角的正弦值.即可得结论.另外也可以通过构建直线所成的角，通过解三角形求得结论.在直角△AOG 中，AG ＝23AD AB 1， AO AB ，所以sin ∠AGO ＝AOAG． 10分故∠AGO ＝60°，即AD 与平面A 1BC 1所成的角为60°． 12分 考点：1.线面所成的角.2.空间想象力.5. 【上海市黄浦区2014年高考模拟（二模）数学（理）试题】已知直三棱柱111ABC A B C -中，0190,2,4ACB AC BC AA ∠====，D 是棱1AA 的中点．如图所示．(1)求证：1DC ⊥平面BCD ； (2)求二面角A BD C --的大小．又DCDB D =，所以，1DC BDC ⊥平面．6. 【上海市静安、杨浦、青浦、宝山四区2014高考模拟（理科）数学】如图，四棱锥P ABCD-中，底面ABCD 是平行四边形，︒=∠90CAD ，PA ⊥平面ABCD ，1PA BC ==，AB F 是BC 的中点.(1) 求证：DA ⊥平面PAC ；（2）若以A 为坐标原点，射线AC 、AD 、AP 分别是x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，已经计算得)1,1,1(=n 是平面PCD 的法向量，求平面PAF 与平面PCD所成锐二面角的余弦值.7.【上海市闵行区2014届高三下学期教育质量调研（二模）数学(理)试题】如图，在体A-中，BD长为E为棱BC的中点，求BCD（1）异面直线AE与CD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；A-的表面积．（2）正三棱锥BCD8. 【上海市徐汇、金山、松江区2014届高三第二学期学习能力诊断数学（理）试题】如图，△ABC 中，090=∠ACB ，030=∠ABC ，3=BC ，在三角形内挖去一个半圆（圆心O 在边BC 上，半圆与AC 、AB 分别相切于点C 、M ，与BC 交于点N ），将△ABC 绕直线BC 旋转一周得到一个旋转体．（1）求该几何体中间一个空心球的表面积的大小；（2）求图中阴影部分绕直线BC 旋转一周所得旋转体的体积．【答案】（1）43π；（2. 【解析】试题分析：（1）要求球的表面积，首先要求出球的半径，如图即半圆O 的半径，这可在OBM ∆中列方程解得，圆O 半径为,r 则有sin OM BOB =，即sin30︒=r =（3）要阴影部分旋转后的体积，我们要看阴影部分是什么几何体，看看能不能把变成我们熟知的锥台、球，或者上它们构成的，本 题中，是在三角形内部挖去一个小三角形，因此最后所得可以看作是一个圆锥里面挖去了一个球，从而其体积就等于一个圆锥的体积减去球的体积，即231433V AC BC OM ππ=⋅⋅-⋅.。
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一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1.函数xxy -+=11log 2的定义域是 ．2.函数x x y 22sin cos -=的最小正周期=T ．3.已知全集R U =，集合{}|0,R A x x a x =+≥∈，{}||1|3,R B x x x =-≤∈．若U ()[2,4]C A B =-，则实数a 的取值范围是 ．4.已知等差数列{}*(N )n a n ∈的公差为3，11-=a ，前n 项和为n S ，则nnn S na ∞→lim的数值是 ．【答案】25.函数)1,0(|log |)(≠>=a a x x f a 且的单调递增区间是 ．6.函数)0()(2≤-=x x x f 的反函数是)(1x f-，则反函数的解析式是=-)(1x f ．7.方程1)34(log 2+=-x x的解=x .考点：解对数方程．8.在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边的长度分别为c b a 、、，且ab c b a 3222=-+， 则=∠C .9.已知i (i 11-=x 是虚数单位，以下同)是关于x 的实系数一元二次方程02=++b ax x 的一个根，则实数=a ，=b ．10.若用一个平面去截球体，所得截面圆的面积为16π，球心到该截面的距离是3，则这个球的表面积是 ．11.已知向量)1,0()4,3(-=-=b a，，则向量在向量的方向上的投影是 ． 【答案】4 【解析】试题分析：向量在向量的方向上的投影是40a b b⋅==．考点：向量的投影．12.直线l 的参数方程是12,(R,2x t t y t=-+⎧∈⎨=-⎩t 是参数)，则直线l 的一个方向向量是 ．(答案不唯一)13.某个不透明的袋中装有除颜色外其它特征完全相同的8个乒乓球(其中3个是白色球，5个是黄色球)，小李同学从袋中一个一个地摸乒乓球(每次摸出球后不放回)，当摸到的球是黄球时停止摸球．用随机变量ξ表示小李同学首先摸到黄色乒乓球时的摸球次数，则随机变量ξ的数学期望值=ξE．14.已知函数)(x f y =是定义域为R 的偶函数. 当0≥x 时，⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤⎪⎭⎫ ⎝⎛=2log 20,21)(16x x x x f x．若关于x 的方程2[()]()0f x a f x b +⋅+=(R)a b ∈、有且只有7个不同实数根，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】524a -<<- 【解析】二、选择题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.15.已知R a b ∈、，且0ab ≠，则下列结论恒成立的是 ( )．A ． ab b a 2≥+B ．2≥+a b b a C ．2||≥+abb a D ．222a b ab +>16.已知空间直线l 不在平面α内，则“直线l 上有两个点到平面α的距离相等”是“α||l ”的 ( )．A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件 【答案】B 【解析】17.已知22R,0a b a b ∈+≠、，则直线0=+by ax l ：与圆：022=+++by ax y x 的位置关系是( )．A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定18.给出下列命题：(1)已知事件B A 、是互斥事件，若35.0)(,25.0)(==B P A P ，则60.0)(=B A P ； (2)已知事件B A 、是互相独立事件，若60.0)(,15.0)(==B P A P ，则51.0)(=B A P (A 表示事件A 的对立事件)； (3)183)1(xx +的二项展开式中，共有4个有理项．则其中真命题的序号是 ( ) A ．(1)、(2)． B ．(1)、(3)． C ．(2)、(3)． D ．(1)、(2)、(3)．数倍，由此0,6,12,18k =共4个数，即展开式中只有4个有理项，正确.选D. 考点：互斥事件的概率，互相独立事件的概率，二项展开式的通项公式.三、解答题 （本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）19.(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分． (理)已知直三棱柱111ABC A B C -中，0190,2,4ACB AC BC AA ∠====，D 是棱1AA 的中点．如图所示．(1)求证：1DC ⊥平面BCD ； (2)求二面角A BD C --的大小．C 1角与二面角互补或相等来求，下面就是想办法求法向量了，如平面ABD ，可设(,,)n x y z =是它的法向量，利用00n AB n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得到220,20.x y z -+=⎧⎨=⎩，只要令1x =，就可得到一个法向量(1,1,0).试题解析：(1)按如图所示建立空间直角坐标系．由题知，可得点(0,0,0)C 、(2,0,0)A 、(0,2,0)B 、(2,0,2)D 、1(2,0,4)A 、1(0,0,4)C ．于是，1(2,0,2),(2,0,2),(2,2,2)DC DC DB =-=--=--． 可算得110,0DC DC DC DB ⋅=⋅=．因此，11,DC DC DC DB ⊥⊥． 又DCDB D =，所以，1DC BDC ⊥平面．记n 与1DC 的夹角为θ，则111cos 2||||n DC n DC θ⋅==-， 23πθ=．结合三棱柱可知，二面角A BD C --是锐角， ∴所求二面角A BD C --的大小是3π． 考点：（1）线面垂直；（2）求二面角.20.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．已知复数12cos i,1isin ,R z x z x x =+=-∈．(1)求||21z z -的最小值；(2)设21z z z ⋅=，记z z x f (Im Im )(=表示复数z 的虚部). 将函数)(x f 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把所得的图像向右平移2π个单位长度，得到函数)(x g 的图像. 试求函数)(x g 的解析式．12min ||1)z z -==.21.(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．某通讯公司需要在三角形地带OAC 区域内建造甲、乙两种通信信号加强中转站，甲中转站建在区域BOC 内，乙中转站建在区域AOB 内．分界线OB 固定，且OB=(1百米，边界线AC始终过点B ，边界线OCOA 、满足0075,30,45A O C A OB B OC ∠=∠=∠=． 设OA x =(36x ≤≤)百米，OC y =百米.(1)试将y 表示成x 的函数，并求出函数y 的解析式；(2)当x 取何值时？整个中转站的占地面积OAC S ∆最小，并求出其面积的最小值．第21题图ABCO解得(36)2y x x =≤≤-．(2)由(1)知，(36)2y x x =≤≤-，因此，01sin 752AOCS xy ∆==142)4]42x x =-++-2≥+当且仅当422x x -=-，即4x =时，等号成立)．答：当400x =米时，整个中转站的占地面积OAC S ∆最小，最小面积是4(210+⨯平方米. 12分考点：求函数解析式，三角形的面积公式，分式函数的最值与基本不等式.22.(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．已知数列{}n a 满足nn n nn n a a a a a 3,)1(,12121221+=-+==+-(*N n ∈)．(1)求753a a a 、、的值； (2)求12-n a (用含n 的式子表示)；(3) (理)记数列{}n a 的前n 项和为n S ，求n S (用含n 的式子表示)．定n S 的最后一项n a 是项还是偶数项，这样分组才能明确. 试题解析：(1)n n n n n n a a a a a 3,)1(,12121221+=-+==+-(*N n ∈)，1211324325465376(1)0,33,14,313,112,339.a a a a a a a a a a a a ∴=+-==+==+==+==-==+=(2)由题知，有*21213(1)(N )nnn n a a n +--=+-∈．112123222325121121211225311313(1)3(1)(333)[(1)(1)(1)]3(1)3(1)n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a -----------⎫∴-=+-⎪-=+-⎪⎪⇒-=++++-+-++-⎬⎪-=+-⎪⎪-=+-⎭．∴*213(1)1(N )2n nn a n ---=-∈． (理)(3) ∵*213(1)1(N )2n nn a n ---=-∈， ∴*23(1)1(N )2n nn a n +-=-∈． ∴21232n n n a a -+=-． 又1231n n n S a a a a a -=+++++，01当n 为偶数时，12341()()()n n n S a a a a a a -=++++++122(32)(32)(32)n =-+-++-233322n n =⋅--．02当n 为奇数时，123421()()()n n n n S a a a a a a a --=+++++++111221223(1)(32)(32)(32)12n n n ++---=-+-++-+-11223(1)322n n n ++-=---．综上，有2*1122333,22(N )3(1)3.22n n n n n n S n n n ++⎧⋅--⎪⎪=∈⎨⎪----⎪⎩为偶数为奇数 考点：（1）数列的项；（2）数列的通项公式；（3）数列的前n 项和与分组求和.23.(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．(理)已知点),(y x M 是平面直角坐标系上的一个动点，点M 到直线4=x 的距离等于点M 到点(1,0)D 的距离的2倍．记动点M 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程； (2)斜率为21的直线l 与曲线C 交于B A 、两个不同点，若直线l 不过点)23,1(P ，设直线PB PA 、的斜率分别为PB PA k k 、，求PB PA k k +的数值；(3)试问：是否存在一个定圆N ，与以动点M 为圆心，以MD 为半径的圆相内切？若存在，求出这个定圆的方程；若不存在，说明理由．试题解析：(1)由题知，有|4|x -=.化简，得曲线C 的方程：22143x y +=． (2)∵直线l 的斜率为12，且不过3(1,)2P 点， ∴可设直线l ：1(1)2y x m m =+≠且．。