【2014上海二模】上海市浦东新区2014年高考预测(二模)文科数学试题(含答案)(pdf版)
2014年全国高考上海市数学(文)试卷及答案【精校版】
2014年上海市高考数学试卷（文科）解析一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1． 函数212cos (2)y x =-的最小正周期是 .2. 若复数z=1+2i ，其中i 是虚数单位，则1()z z+z ⋅=___________.3. 设常数a R ∈，函数2()1f x x x a =-+-，若(2)1f =，则(1)f = .4. 若抛物线y 2=2px 的焦点与椭圆15922=+y x 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为___________.5. 某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名，为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样，若高三抽取20名学生，则高一、高二共抽取的学生数为 .6.若实数x,y 满足xy=1,则2x +22y 的最小值为______________.7. 若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.8. 在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于 .9. 设,0,()1,0,x a x f x x x x -+≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩若(0)f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围是 .10.设无穷等比数列{n a }的公比为q ，若)(lim 431 ++=∞→a a a n ，则q= .11．若2132)(x x x f -=，则满足0)(<x f 的x 取值范围是 .12.方程sin 1x x +=在区间[0,2]π上的所有解的和等于 .13.为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率 是 （结构用最简分数表示）.14. 已知曲线C：x =l ：x=6.若对于点A （m ，0）,存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得0AP AQ +=，则m 的取值范围为 .二、选择题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.15. 设R b a ∈,,则“4>+b a ”是“2,2>>b a 且”的（ ） （A ）充分条件 （B ）必要条件（C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件16. 已知互异的复数,a b 满足0ab ≠，集合{,}a b ={2a ,2b },则a b += （ ） （A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）1-17. 如图，四个边长为1的正方形排成一个大正方形，AB 是在正方形的一条边，(1,2,,7)i P i =是小正方形的其余各个顶点，则(1,2,,7)i AB AP i ⋅=的不同值的个数为（ ）（A ）7 （B ）5 （C ）3 （D ）118. 已知),(111b a P 与),(222b a P 是直线y=kx+1（k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组112211a xb y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是（ ）（A ）无论k ，21,P P 如何，总是无解 （B)无论k ，21,P P 如何，总有唯一解 （C ）存在k ，21,P P ，使之恰有两解 （D ）存在k ，21,P P ，使之有无穷多解 三．解答题（本大题共5题，满分74分） 19、（本题满分12分）底面边长为2的正三棱锥P ABC -, zxxk 其表面展开图是三角形321p p p ，如图，求△321p p p 的各边长及此三棱锥的体积V.20.（本题满分14分）本题有2个小题， 第一小题满分6分，第二小题满分1分。
2014年高考上海卷数学(文)真题试题试卷及答案
2014年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试题卷（文史类）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题．考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1.函数212cos (2)y x =-的最小正周期是_________.2.若复数z=1+2i ，其中i 是虚数单位，则1()z z+z ⋅=__________.3.设常数a ∈R ，函数2()1f x x x a =-+-，若(2)1f =，则(1)f =_________.4.若抛物线22y px =的焦点与椭圆15922=+y x 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为__________. 5.某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名，为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样，若高三抽取20名学生，则高一、高二共抽取的学生数为_________. 6.若实数x ，y 满足1xy =，则2x +22y 的最小值为_________.7.若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为________.（结果用反三角函数值表示） 8.在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图， 则切割掉的两个小长方体的体积之和等于________.9.设,0,()1,0,x a x f x x x x -+≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩若(0)f 是()f x 的最小值，则a 的 取值范围是_________.10.设无穷等比数列{n a }的公比为q ，若)(lim 431 ++=∞→a a a n ，则q =________.11.若2132()f x x x-=-，则满足0)(<x f 的x 取值范围是_________.12.方程sin 3cos 1x x +=在区间[0,2]π上的所有解的和等于_________.13.为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是 .（结果用最简分数表示）14.已知曲线C ：24x y =--，直线l ：x=6．若对于点A （m ，0），存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得0AP AQ +=，则m 的取值范围为__________.3511 12二、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．15.设,a b ∈R ，则“4>+b a ”是“2,2>>b a 且”的（ ）（A ）充分条件 （B ）必要条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件 16.已知互异的复数a ，b 满足0ab ≠，集合{,}a b ={2a ，2b }，则a b +=（ ） （A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）1-17.如图，四个边长为1的正方形排成一个大正方形，AB 是大正方形的一条边，(1,2,,7)i P i =是小正方形的其余各个顶点，则(1,2,,7)i AB AP i ⋅=的不同值的个数为（ ） （A ）7 （B ）5 （C ）3 （D ）118.已知),(111b a P 与),(222b a P 是直线1+=kx y （k 为常数）上两个不同 的点，则关于x 和y 的方程组⎩⎨⎧=+=+1,12211y b x a y b x a 的解的情况是（ ）（A ）无论k ，1P ，2P 如何，总是无解 （B ）无论k ，1P ，2P 如何，总有唯一解 （C ）存在k ，1P ，2P ，使之恰有两解 （D ）存在k ，1P ，2P ，使之有无穷多解 三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19.（本题满分12分）底面边长为2的正三棱锥ABC P -，其表面展开图是三角形123PP P ，如图，求△123PP P 的各边长及此三棱锥的体积V .P 1AC BP 2P 3P 3AB P 1 P 7 P 6 P 5P 2P 420.（本题满分14分）本题有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分1分.设常数0≥a ，函数aax f x x -+=22)(.（1）若a =4，求函数)(x f y =的反函数)(1x fy -=；（2）根据a 的不同取值，讨论函数)(x f y =的奇偶性，并说明理由．21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，某公司要在A ，B 两地连线上的定点C 处建造广告牌CD ，其中D 为顶端，AC 长35米，CB 长80米，设A ，B 在同一水平面上，从A 和B 看D 的仰角分别为α和β.（1）设计中CD 是铅垂方向，若要求βα2≥，问CD 的长至多为多少（结果精确到0.01米）？ （2）施工完成后CD 与铅垂方向有偏差，现在实测得，，45.1812.38==βα求CD 的长（结果精确到0.01米）？αACBβD22.（本题满分16分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分. 在平面直角坐标系xOy 中，对于直线l ：0ax by c ++=和点),(111y x P ，),(222y x P ，记1122)().ax by c ax by c η=++++（若η<0，则称点21,P P 被直线l 分隔.若曲线C 与直线l 没有公共点，且曲线C 上存在点21P P ，被直线l 分隔，则称直线l 为曲线C 的一条分隔线． （1）求证：点)2,1(A ，)0,1(-B 被直线01=-+y x 分隔；（2）若直线kx y =是曲线1422=-y x 的分隔线，求实数k 的取值范围；（3）动点M 到点(0,2)Q 的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为E ，求E 的方程，并证明y 轴为曲线E 的分割线．23.（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分. 已知数列{}n a 满足1133n n n a a a +≤≤，n ∈N *，11a =. （1）若2342,,9a a x a ===，求x 的取值范围；（2）若{}n a 是等比数列，且11000m a =，求正整数m 的最小值，以及m 取最小值时相应{}n a 的公比； （3）若12100,,,a a a 成等差数列，求数列12100,,,a a a 的公差的取值范围．2014年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（文科）参考答案一、填空题 1．π2【解析】()212cos 2cos4y x x =-=-，则π2T =. 【考点】二倍角余弦公式以及标准三角函数最小正周期的求解 2．6【解析】211516z z z z ⎛⎫+⋅=+=+= ⎪⎝⎭.【考点】复数的代数四则运算以及复数模的性质 3．3【解析】由()21f =得1414a a +-=⇒=，则()1143f =-=. 【考点】对函数概念的理解 4．2x =-【解析】易知焦点为()2,0，则准线方程为2x =-. 【考点】圆锥曲线基本量 5．70 【解析】()201600120070800+=. 【考点】分层抽样的方法（关键是样本比例相等） 6．22【解析】2222222x y xy +≥= 【考点】基本不等式求最值 7．1arccos 3θ=【解析】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，母线与轴所成角为θ. 由已知得233rl r l r ππ=⇒=，则1sin 3r l θ==，所以1arccos 3θ=.【考点】反正弦函数、解三角形 8．24【解析】2(322)24V =⨯⨯⨯=. 【考点】三视图、长方体体积的计算 9．2a ≤【解析】由题意知()02f ≤，即2a ≤. 【考点】分段函数的值域 10．152-+ 【解析】由题意得231111a a q a q q==--且01q <<，则152q -+=.【考点】无穷递缩等比数列的各项和 11．()0,1【解析】首先注意定义域()0,+∞；再由()0f x <得2132x x -<，作图即得结果为()0,1.【考点】幂函数与数形结合 12．7π3【解析】由已知化简得π1sin 32x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为ππ,2π333x π⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，则π5ππ,2π366x +=+，所以1π2x =，211π6x =，所以127π3x x +=. 【考点】三角方程 13．115【解析】3108115P C ==. 【考点】古典概型 14．23m ≤≤【解析】由已知得曲线C 为以原点为圆心，2为半径的左半圆．A 为P Q 、的中点. 设()6,Q n ，则()26,P m n --.因为()26,P m n --在曲线C 上，则2260m -≤-≤，即23m ≤≤. 【考点】向量与解析几何 二、选择题 15．B【解析】由“2a >且2b >”可以推出“+4a b >”；由“+4a b >”推不出“2a >且2b >”，故选B. 【考点】充分条件、必要条件、充分必要条件 16．D【解析】由题得22,1,1,a a a b b b ⎧==⎧⎪⇒⎨⎨==⎪⎩⎩（舍），或2222,1a b a b b a a b b a⎧=⎪⇒-=-⇒+=-⎨=⎪⎩.【考点】集合相等的含义、复数的运算 17．C【解析】cos i i AB AP AB AP θ⋅=⋅，cos i AP θ的值可能为0、1或2，所以i AB AP ⋅=0、2或4， 即i AB AP ⋅（i =1，2，…，7）的不同值的个数为3，故选C. 【考点】平面向量的数量积 18．B【解析】易得原点O 不在直线1y kx =+上，所以()()()111222,,0,0,,P a b P a b O 不在同一直线上， 故向量1OP 与向量2OP 不平行，所以1221a b a b ≠，方程组有唯一解，故选B. 【考点】二元线性方程组解的讨论 三、解答题19．在△123P P P 中，13PA P A =，23P C P C =， 所以AC 是中位线，故1224PP AC ==. ……3分 同理，234P P =，314P P =.所以△123P P P 是等边三角形，各边长均为4. ……6分 设Q 是△ABC 中心，则PQ ⊥平面ABC ，所以233AQ =，22263PQ AP AQ =-=. ……9分 从而，12233ABC V S PQ =⋅=△. ……12分【考点】椎体体积的计算20．（1）因为2424x x y +=-，所以4(1)21x y y +=-， ……3分得1y <-或1y >，且24(1)log 1y x y +=-.因此，所求反函数为124(1)()log 1y f x y -+=-，1x <-或1x >. ……6分（2）当0a =时，()1f x =，定义域为R ，故函数()y f x =是偶函数； ……8分当1a =时，21()21x x f x +=-，定义域为(,0)(0,)-∞+∞，2121()()2121x x x x f x f x --++-==-=---，故函数()y f x =是奇函数； ……11分当0a >且1a ≠时，定义域22(,log )(log ,)a a -∞+∞关于原点不对称，故函数()y f x =既不是奇函数，也不是偶函数. ……14分 【考点】反函数、函数的奇偶性、分类讨论 21．（1）记CD h =.根据已知得tan tan 20αβ≥>，tan 35h α=，tan 80h β=，所以2280035180hh h ⨯≥>⎛⎫- ⎪⎝⎭， ……4分 APB HCQ解得20228.28h ≤≈．因此，CD 的长之多约为28.28米. ……6分 （2）在△ABD 中，由已知，+=56.57αβ，115AB =， 由正弦定理得sin sin()BD ABααβ=+，解得85.064BD ≈. ……10分 在△BCD 中，由余弦定理得2222cos CD BC BD BC BD β=+-⋅⋅，解得26.93CD ≈.所以，CD 的长约为26.93米. ……14分 【考点】任意角的三角比、正弦定理和余弦定理22．（1）因为40η=-<，所以点,A B 被直线10x y +-=分隔. ……3分（2）直线y kx =与曲线2241x y -=有公共点的充要条件是方程组22,41y kx x y =⎧⎨-=⎩有解，即1||2k <. 因为直线y kx =是曲线2241x y -=的分隔线，故它们没有公共点，即1||2k ≥. 当1||2k ≥时，对于直线y kx =，曲线2241x y -=上的点(1,0)-和(1,0)满足20k η=-<， 即点(1,0)-和(1,0)被y kx =分隔. 故实数k 的取值范围是11,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭. ……9分 （3）设M 的坐标为(,)x y ，则曲线E 的方程为22(2)||1x y x +-⋅=，即222(2)1x y x ⎡⎤+-⋅=⎣⎦. ……11分对任意的0y ，0(0,)y 不是上述方程的解，即y 轴与曲线E 没有公共点. ……13分 又曲线E 上的点(1,2)-和(1,2)对于y 轴满足0η<，即点(1,2)-和(1,2)被y 轴分隔. 所以y 轴为曲线E 的分隔线. ……16分 【考点】新定义问题、曲线与方程 23．（1）由条件得263x ≤≤且933xx ≤≤，解得36x ≤≤. 所以x 的取值范围是[3，6]. ……3分（2）设{}n a 的公比为q ．由133n n a a ≤，且110n n a a q -=≠，得0n a >.因为+1133n n n a a a ≤≤，所以133q ≤≤.从而11111110003m m m a q q ---⎛⎫==≥ ⎪⎝⎭，131000m -≥，解得8m ≥. ……7分8m =时，711,310003q ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦. 所以，m 的最小值为8，8m =时，{}n a 的公比为741010. ……9分（3）设数列12100,,,a a a 的公差为d .则1+33n n n a a d a ≤≤，223n n a d a -≤≤，1,2,,99n =. ①当0d >时，999821a a a a >>>>，所以102d a <≤，即02d <≤； ……12分 ②当0d =时，999821a a a a ====，符合条件； ……14分③当0d <时，999821a a a a <<<<，所以9999223a d a -≤≤，2(198)2(198)3d d d -+≤≤+，又0d <，所以20199d -≤<． 综上，12100,,,a a a 的公差的取值范围为2,2199⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． ……18分 【考点】建立不等关系、解不等式、等差数列、等比数列、分类讨论．。
2014年上海高三数学二模试卷汇编——函数
第二部分 函数一、 函数的定义域、解析式、反函数，函数求值1. 【2014年黄浦区二模文理第1题】函数xxy -+=11log 2的定义域是 ． 【答案： (1,1)-】2. 【2014年黄浦区二模文理第6题】函数)0()(2≤-=x x x f 的反函数是)(1x f -，则反函数的解析式是=-)(1x f ．【答案： 1()0)f x x -=-?】3. 【2014年徐汇、金山、松江区二模文第4题】函数()20y x x x=+>的值域为______．【答案： )⎡+∞⎣】4. 【2014年徐汇、金山、松江区二模理第4题】函数()22y x x x=+≥的值域是_______．【答案： [)3,+∞ 】5. 【2014年奉贤区二模文第1题】函数()()42lg -=xx f 的定义域为________.【答案：{}2>x x 】6. 【2014年奉贤区二模理第1题】函数()12-=xx f 的反函数为________.【答案：()1log 2+=x y 】7. 【2014年虹口区二模文理第3题】函数2()41f x x x =-++（[]1,1x ∈-）的最大值等于 .【答案：4 】8. 【2014年虹口区二模文理第5题】已知函数()y f x =是函数x y a =(0a >且1a ≠）的反函数，其图像过点2(,)a a ，则()f x = ．【答案：2()log f x x = 】9. 【2014年浦东新区二模文理第5题】函数()y f x =的反函数为()1y f x -=，如果函数()y f x =的图像过点()2,2-，那么函数()11y fx -=+的图像一定过点______.【答案：(2,3)- 】10. 【2014年嘉定、长宁区二模文第7题】对于任意),1()1,0(∞+∈ a ，函数)1(lo g 111)(--=x x f a 的反函数)(1x f-的图像经过的定点的坐标是______________．【答案：)2,1( 】11. 【2014年崇明二模文第8题】已知函数()21x f x =+的反函数为1()y f x -=，则1()0f x -<的解集是 . 【答案：(1,2) 】12. 【2014年崇明二模理9】已知()2xf x =的反函数为111(), ()(1)(1)y f xg x f x f x ---==--+，则不等式()0g x <的解集是 ．【答案：(0,1)】13. 【2014年虹口区二模文理第16题】若函数()1f x ax =+在区间(1,1)-上存在一个零点，则实数a 的取值范围是（ ）.A 1a > .B 1a <- .C 1a <-或1a > .D 11a -<<【答案：C 】14. 【2014年嘉定、长宁区二模理第12题】若不等式2||≤+a x 在]2,1[∈x 时恒成立，则实数a 的取值范围是__________． 【答案：]0,3[- 】 二、 函数的单调性与奇偶性15. 【2014年普陀区二模文第6题】若集合D {||1|1}x x =-…，则函数11)(+=x x f (D x ∈)的值域为 . 【答案：]1,31[ 】16. 【2014年黄浦区二模文理第5题】5．函数)1,0(|log |)(≠>=a a x x f a 且的单调递增区间是 ． 【答案：[1,)+? 】17. 【2014年闵行区二模理第10题】设摩天轮逆时针方向匀速旋转，24分钟旋转一周，轮上观光箱所在圆的方程为221x y +=．已知时间0t =时，观光箱A 的坐标为1(,)22，则当024t ≤≤时（单位：分），动点A 的纵坐标y 关于t 的函数的单调递减区间是 ． 【答案：[2,14]】18. 【2014年浦东新区二模文理第17题】能够把椭圆2214x y +=的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为椭圆的“可分函数”，下列函数不是椭圆的“可分函数”为（ ）（A ）3()4f x x x =+（B ）5()ln 5x f x x -=+（C ）()arctan 4xf x =（D ）()x x f x e e -=+ 【答案： D 】19. 【2014年嘉定、长宁区二模文第18题】已知偶函数)(x f 对任意R ∈x 都有)2(2)()4(f x f x f =-+，则)2014(f 的值等于……（ ）A ．2B ．3C ．4D ．0 【答案：D 】20. 【2014年崇明二模文第18题】某同学对函数sin ()xf x x=进行研究后，得出以下五个结论：①函数()y f x =的图像是轴对称图形；②函数()y f x =对任意定义域中x 值，恒有()1f x <成立；③函数()y f x =的图像与x 轴有无穷多个交点，且每相邻两交点间距离相等；④对于任意常数0N >，存在常数b a N >>，函数()y f x =在[],a b 上单调递减，且1b a -≥；⑤当常数k 满足0k ≠时，函数()y f x =的图像与直线y kx =有且仅有一个公共点.其中所有正确结论的个数是 ( ) A.5B.4C.3D.2【答案：C 】21. 【2014年崇明二模理第18题】某同学对函数sin ()xf x x=进行研究后，得出以下五个结论：①函数()y f x =的图像是轴对称图形；②函数()y f x =对任意定义域中x 值，恒有()1f x <成立；③函数()y f x =的图像与x 轴有无穷多个交点，且每相邻两交点间距离相等；④对于任意常数0N >，存在常数b a N >>，函数()y f x =在[],a b上单调递减，且1b a -≥；⑤当常数k 满足0k ≠时，函数()y f x =的图像与直线y kx =有且仅有一个公共点．其中所有正确结论的序号是（ ） A ．①②③④B ．①③④⑤C ．①②④D ．①③④【答案：C 】 三、 函数的图像与数形结合22. 【2014年闸北区二模文科第9题】已知集合{}m x y y x A +==|),(，{}mx y y x B ==|),(，若集合B A 中有且仅有两个元素，则实数m 的取值范围是 . 【答案：(1,0)-】23. 【2014年闸北区二模理科第9题】已知集合{}x m y y x A ==|),(，{}m x y y x B +==|),(，若集合B A 中仅含有一个元素，则实数m 的取值范围是 ． 【答案：[]1,1- 】24. 【2014年闵行区二模理第9题】已知关于x 的不等式2320ax ax a ++-<的解集为R ，则实数a 的取值范围 ．【答案：8,05⎛⎤- ⎥⎝⎦】25. 【2014年闵行区二模文第9题】已知关于x 的不等式222(1)(3)0x a x a --++>的解集为R ，则实数a 的取值范围 ． 【答案：(1,5)- 】26. 【2014年闵行区二模理第14题】对于函数[]sin ,0,2()1(2),(2,)2x x f x f x x π⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，有下列4个命题：①任取[)120,x x ∈+∞、，都有12()()2f x f x -≤恒成立； ②()2(2)f x kf x k =+*()k ∈N ，对于一切[)0,x ∈+∞恒成立； ③函数()ln(1)y f x x =--有3个零点； ④对任意0x >，不等式()k f x x ≤恒成立，则实数k 的取值范围是9,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 则其中所有真命题的序号是 ． 【答案：①③ 】27. 【2014年闵行区二模文第14题】对于函数[]sin ,0,2()1(2),(2,)2x x f x f x x π⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，有下列4个命题：①任取[)120,x x ∈+∞、，都有12()()2f x f x -≤恒成立； ②()2(2)f x kf x k =+*()k ∈N ，对于一切[)0,x ∈+∞恒成立； ③函数()ln(1)y f x x =--有3个零点； ④对任意0x >，不等式2()f x x≤恒成立． 则其中所有真命题的序号是 ． 【答案：①③④．】28. 【2014年黄浦区二模文第14题】14．已知函数)(x f y =是定义域为R 的偶函数. 当≥x 时，⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤⎪⎭⎫ ⎝⎛=2l o g 20,21)(16x x x x f x．若关于x的方程2[()]()0fx a f x b +⋅+=R a b ∈、有且只有7个不同实数根，则b a +的值是 ． 【答案：1- 】29. 【2014年黄浦区二模理第14题】14．已知函数)(x f y =是定义域为R 的偶函数. 当≥x 时，⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤⎪⎭⎫ ⎝⎛=2l o g 20,21)(16x x x x f x．若关于x的方程2[()])0fx a f x b +⋅+=(R a b ∈、有且只有7个不同实数根，则实数a 的取值范围是 ． 【答案：524a -<<-】30. 【2014年虹口区二模理第18题】函数x x f sin )(=在区间)10,0(π上可找到n 个不同数1x ，2x ，……，n x ，使得nn x x f x x f x x f )()()(2211=== ，则n 的最大值等于（ ）.A 8 .B 9 .C 10 .D 11【答案：C 】31. 【2014年普陀区二模文第14题】若函数x x a x f +-=)((a 为常数)，对于定义域内的任意两个实数1x 、2x ，恒有1|)()(|21<-x f x f 成立，用)(a S 表示满足条件的所有正整数a 的和，则)(a S = . 【答案：15】32. 【2014年普陀区二模理第14题】已知函数⎩⎨⎧>≤+-=0,ln 0,2)(2x x x x x x f ，若不等式1|)(|-≥ax x f 恒成立，则实数a 的取值范围是 .【答案：(]0,4-】33. 【2014年普陀区二模文理第17题】若函数a x x x f -+=2)(，则使得“函数)(x f y =在区间)1,1(-内有零点”成立的一个必要非充分条件是………………………………………………………………（ ）)(A 241≤≤-a . )(B 241<≤-a . )(C 20<<a . )(D 041<<-a . 【答案：A 】34. 【2014年浦东新区二模文第18题】方程2lg 4(||200)(||202)x x x =---的解的个数为（ ） （A ）2 (B ）4 （C ）6 （D ）8 【答案： C 】35. 【2014年浦东新区二模；理第18题】方程27lg(100)(||200)(||202)2x x x -=---的解的个数为（ ）（A ）2（B ）4（C ） （D ）8【答案： B 】36. 【2014年嘉定、长宁区二模文第14题】已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤--=,2,)2(,20,)1(1)(2x x f x x x f 若对于正数n k （*N ∈n ），直线x k y n ⋅=与函数)(x f y =的图像恰有12+n 个不同交点，则=+++∞→)(lim 22221n n k k k ______．【答案：41】37. 【2014年四区二模文第14题】（文） 函数()f x 的定义域为实数集R ，⎪⎩⎪⎨⎧<≤--≤≤=.01,1)21(,10,)(x x x x f x对于任意的x R ∈都有(1)(1)f x f x +=-.若在区间[1,3]-上函数()()g x f x mx m =--恰有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是 . 【答案：]41,0(】38. 【2014年四区二模理第18题】函数()f x 的定义域为实数集R ，⎪⎩⎪⎨⎧<≤--≤≤=.01,1)21(,10,)(x x x x f x对于任意的x R ∈都有(1)(1)f x f x +=-.若在区间[1,3]-上函数()()g x f x mx m =--恰有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ）.)(A 10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦)(B 10,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭ )(C 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ )(D 10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案： D 】 四、 特殊函数（幂指对二次）39. 【2014年普陀区二模理第3题】方程1)4(log )1(log 42=+-+x x 的解=x . 【答案：5】40. 【2014年黄浦区二模文理第7题】7．方程1)34(l o g 2+=-x x的解=x ．【答案： 2log 3x =】41. 【2014年奉贤区二模文第3题】如果函数x x f a log )(=的图像过点⎪⎭⎫⎝⎛121，P ，则2lim()n n a a a →∞+++⋅⋅⋅=________.【答案： 1 】42. 【2014年四区二模理7文8】已知1lo g lo g 22=+y x ，则y x +的最小值为_____________. 【答案：22】43. 【2014年崇明二模文理第12题】如果函数(]()210,1()311,ax x f x ax x ⎧-∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，2()log g x x =，关于x 的不等式()()0f x g x ⋅≥对于任意(0,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是 . 【答案：11[,]32】44. 【2014年嘉定、长宁区二模理第14题】定义函数}}{{)(x x x f ⋅=，其中}{x 表示不小于x 的最小整数，如2}4.1{=，2}3.2{-=-．当],0(n x ∈（*N ∈n ）时，函数)(x f 的值域为n A ，记集合n A 中元素的个数为n a ，则=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++∞→n n a a a 111lim 21 ________________． 【答案：2】 五、 抽象函数与函数周期性45. 【2014年普陀区二模文第4题】若函数)(x f y =(x ∈R )满足条件：)()2(x f x f =+，且1)1(=f ，则=)101(f . 【答案：1】46. 【2014年普陀区二模理第6题】若偶函数)(x f y =(R x ∈)满足条件：)1()(x f x f +=-，则函数)(x f 的一个周期为 .【答案：1】47. 【2014年奉贤区二模文第12题】定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足：①当[1,3)x ∈时，1,12,()3,23,x x f x x x -≤≤⎧=⎨-<<⎩②(3)3()f x f x =，设关于x 的函数()()1F x f x =-的零点从小到大依次记为123,,,x x x ⋅⋅⋅，则123x x x ++=________. 【答案： 14 】48. 【2014年奉贤区二模理第12题】定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足：①当[1,3)x ∈时，1,12,()3,23,x x f x x x -≤≤⎧=⎨-<<⎩②(3)3()f x f x =，设关于x 的函数()()1F x f x =-的零点从小到大依次记为31542,x ,,,,x x x x ⋅⋅⋅，则12345x x x x x ++++=________. 【答案： 50 】49. 【2014年嘉定、长宁区二模文第18题】已知偶函数)(x f 对任意R ∈x 都有)2(2)()4(f x f x f =-+，则)2014(f 的值等于…（ ）A ．2B ．3C ．4D ．0 【答案：D 】50. 【2014年嘉定、长宁区二模理第18题】设函数)(x f y =的定义域为D ，若对于任意1x 、D x ∈2，当a x x 221=+时，恒有b x f x f 2)()(21=+，则称点),(b a 为函数)(x f y =图像的对称中心．研究函数3sin )(-+=x x x f π的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛20144027201440262014220141f f f f 的值为（ ）A ．4027B ．4027-C ．8054D ．8054- 【答案：D 】 六、函数应用题51. 【2014年闸北区二模文理第7题】如右图，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，得A 、B 、C 、D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E 、F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设x FB AE ==cm ．若要使包装盒的侧面积最大，则x 的值为______．【答案：15】52. 【2014年四区二模文理第20题】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分某公司承建扇环面形状的花坛如图所示，该扇环面花坛是由以点O 为圆心的两个同心圆弧AD 、弧BC 以及两条线段AB 和CD 围成的封闭图形．花坛设计周长为30米，其中大圆弧AD 所在圆的半径为10米．设小圆弧BC 所在圆的半径为x 米（100<<x ），圆心角为θ弧度． （1）求θ关于x 的函数关系式；（2）在对花坛的边缘进行装饰时，已知两条线段的装饰费用为4元/米，两条弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y ，当x 为何值时，y 取得最大值？【答案： (1)设扇环的圆心角为θ，则()30102(10)x x θ=++-， 所以10210xxθ+=+， (2) 花坛的面积为2221(10)(5)(10)550,(010)2x x x x x x θ-=+-=-++<<． 装饰总费用为()9108(10)17010x x x θ++-=+，O(第20题东BO第21题东第21题所以花坛的面积与装饰总费用的比22550550==1701010(17)x x x x y x x -++---++，令17t x =+，则3913243()101010y t t =-+≤，当且仅当t =18时取等号， 此时121,11x θ==． 答：当1x =时，花坛的面积与装饰总费用的比最大． 】53. 【2014闵行区二模文理第21题】21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分8分，第(2)小题满分6分．为了寻找马航MH370残骸,我国“雪龙号”科考船于2014年3月26日从港口O 出发，沿北偏东α角的射线OZ 方向航行，而在港口北偏东β角的方向上有一个给科考船补给物资的小岛A ，OA =海里，且==βαcos ,31tan 132.现指挥部需要紧急征调位于港口O 正东m 海里的B 处的补给船，速往小岛A 装上补给物资供给科考船．该船沿BA 方向全速追赶科考船，并在C 处相遇．经测算当两船运行的航线与海岸线OB 围成的三角形OBC 的面积S 最小时，这种补给方案最优.（1）求S 关于m 的函数关系式()S m ；（2）应征调位于港口正东多少海里处的补给船只，补给方案最优？【答案：（1）以O 点为原点，正北的方向为y 轴正方向建立直角坐标系，…（1分）则直线OZ 的方程为3y x =，设点A （x 0，y 0），则0900x β==，0600y β==，即A （900，600）， …………………（3分） 又B （m ，0），则直线AB 的方程为：600()900y x m m=--，…………（4分）由此得到C 点坐标为：200600(,)700700m mm m --，…（621300()||||(700)2700C m S m OB y m m ∴=⨯=>- …（8（2）由（1）知22300300()7001700m S m m m m==--+ …（10223003007001111700()14002800m m m =-+--+………（12分）所以当111400m =，即1400m =时，()S m 最小， （或令700t m =-，则222300300(700)700()300(1400)700m t S m t m t t+===++- 840000≥，当且仅当1400m =时，()S m 最小）∴征调1400m =海里处的船只时，补给方案最优. …………………（14分） 】 七、 函数综合大题54. 【2014年闸北区二模文科第14题】本题满分18分，第1小题满分8分，第2小题满分10分设函数xxx f 2323)(+-=R)(∈x . (1)求函数)(x f y =的值域和零点；(2)请判断函数)(x f y =的奇偶性和单调性，并给予证明.【答案：【解】(1)xx x x f 23612323)(++-=+-=， 02>x ，∴3+2x >3⇒0<132x +<13⇒0<632x+<2, 1)(1<<-∴x f ，故)(x f y =的值域为()1,1-；----------------------------------------6分令f(x)=0,即6132x=+，解得2log 3x =， ∴()y f x =的零点为.3log 2=x ----------------------------------------2分 (2)对任意的x ∈R ，)1(51752323)1(11f f ±=±≠=+-=---， ----------------------------------------2分故)(x f y =是非奇非偶函数. ---------------------------------------2分 所以，对任意的12,x x ∈R ，21x x <，)23)(23()22(6236236)()(21122121x x x x x x x f x f ++-=+-+=-.-------------------------------2分 因为022,023,0231221>->+>+xx x x ，所以)()(21x f x f >. ----------------------------------------2分 故()y f x =在定义域R 上是减函数. ---------------------------------------2分】55. 【2014年闸北区二模理科第13题】已知函数)(x f y =在定义域R 上是增函数，值域为()+∞,0，且满足：)(1)(x f x f =-． 设)(1)(1)(x f x f x F +-=．（1）求函数)(x F y =值域和零点；（2）判断函数)(x F y =奇偶性和单调性，并给予证明．【答案：解：（1）)(121)(1)(1)(x f x f x f x F ++-=+-=， 0)(>x f ，1)(110<+<∴x f1)(1<<-∴x F ，故，)(x F y =的值域为()1,1-；---------------------------------------- 4分)(1)(x f x f =- ，令0=x ，1)0(±=f ，0)(>x f ，1)0(=∴f ．故，)(x F y =的零点为.0=x ---------------------------------------------------------------------4分（2）对任意的R x ∈，)()(1)(1)(11)(11)(1)(1)(x F x f x f x f x f x f x f x F -=+--=+-=-+--=-，-------- 3分 所以，)(x F y =是奇函数．----------------------------------------------------------------------- 2分 由已知，)(x f y =在定义域R 上是增函数，所以，对任意的R x x ∈21,，21x x <，都有0)()(21<-x f x f ．又0))(1))((1()()()(12)(12)()(21122121>++-=+-+=-x f x f x f x f x f x f x F x F ．------------3分所以，)(x F y =在定义域R 上是减函数．-----------------------------------------------------2分】56. 【2014年奉贤区二模文第20题】已知函数9()||f x x a a x=--+，[1,6]x ∈，a R ∈． （1）若1a =，试判断并用定义证明函数()f x 的单调性； （2）当()3,1∈a 时，求函数()f x 的最大值的表达式()M a ．【解：(1)判断：若1a =，函数()f x 在[1,6]上是增函数.证明：当1a =时，9()f x x x=-， ()f x 在[1,6]上是增函数. 2分 在区间[1,6]上任取12,x x ，设12x x <，12121212121212129999()()()()()()()(9)0f x f x x x x x x x x x x x x x x x -=---=----+=<所以12()()f x f x <，即()f x 在[1,6]上是增函数. 6分(2) （文）因为13a <≤，所以92(),1,()9,6,a x x a xf x x a x x ⎧-+≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩8分当13a <≤时，()f x 在[1,]a 上是增函数， 9分 证明：当13a <≤时，()f x 在[1,]a 上是增函数（过程略） 11分()f x 在在[,6]a 上也是增函数当13a <≤时，()f x 在[1,6]上是增函数 12分 证明：当13a <≤时，()f x 在[1,]a 上是增函数（过程略） 13分所以当6x =时，()f x 取得最大值为92； 14分 】57. 【2014年奉贤区二模理第20题】已知函数9()||f x x a a x=--+，[1,6]x ∈，a R ∈． （1）若1a =，试判断并用定义证明函数()f x 的单调性；（2）当()3,1∈a 时，求证函数()f x 存在反函数．【解：(1)判断：若1a =，函数()f x 在[1,6]上是增函数. 证明：当1a =时，9()f x x x =-， ()f x 在[1,6]上是增函数.2分在区间[1,6]上任取12,x x ，设12x x <，12121212121212129999()()()()()()()(9)f x f x x x x x x x x x x x x x x x -=---=----+=<所以12()()f x f x <，即()f x 在[1,6]上是增函数.6分(2) （理）因为13a <≤，所以92(),1,()9,6,a x x a xf x x a x x ⎧-+≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩8分当13a <≤时，()f x 在[1,]a 上是增函数， 9分证明：当13a <≤时，()f x 在[1,]a 上是增函数（过程略） 11分()f x 在在[,6]a 上也是增函数当13a <≤时，()x f y =[]6,1∈x 上是增函数12分所以任意一个[]6,1∈x ，均能找到唯一的y 和它对应，所以()x f y =[]6,1∈x 时，()f x 存在反函数 14分】58. 【2014年普陀区二模文第21题】已知函数12)(-=x x f 的反函数为)(1x fy -=，记)1()(1-=-x f x g(1)求函数)()(21x g x fy -=-的最小值；(2)集合}2|)(|)](1[|{≥⋅+=x f x f x A ，对于任意的A x ∈，不等式0)()(21≥-+-x g m x f 恒成立，求实数m 的取值范围.【答案：（1）由12-=x y 得)1(log 2+=y x ，即)1(log )(21+=-x x f（1->x ）)1()(1-=-x f x g x 2log =（0>x ） )()(21x g x fy -=-x x 22log )1(log 2-+=)21(log 12log 222++=++=xx x x x 由于0>x ，所以21≥+xx （当且仅当1=x 时，等号成立） 所以当1=x 时，函数24log 2min ==y （2）【文科】2|12|22|)(|)](1[≥-⋅⇔≥⋅+xxx f x f ①若0≥x ，解得1≥x ，所以1≥x ； ②若0<x ，解得φ∈x .所以),1[+∞=A 由)1(log )(21+=-x x f （1->x ）得，x m x x g m x f 221log )1(log 2)()(2≥++⇔≥+-(1≥x )所以不等式1-+-≥x x m (1≥x )恒成立，函数143)21(12-≥---=-+-=x x x y ，所以1-≥m 】59. 【2014年普陀区二模理第21题】已知函数12)(-=x x f 的反函数为)(1x fy -=，记)1()(1-=-x f x g .（1）求函数)()(21x g x fy -=-的最小值；（2）【理科】若函数)()(2)(1x g m x f x F -+=-在区间),1[+∞上是单调递增函数，求实数m 的取值范围.【答案：【解】（1）由12-=x y 得)1(log 2+=y x ，即)1(l o g )(21+=-x x f（1->x ）)1()(1-=-x f x g x 2log =（0>x ） )()(21x g x fy -=-x x 22log )1(log 2-+=)21(log 12log 222++=++=xx x x x 由于0>x ，所以21≥+xx （当且仅当1=x 时，等号成立） 所以当1=x 时，函数24log 2min ==y （2）【理科】由)1(log )(21+=-x x f（1->x ）得，x m x x g m x f x F 221log )1(log 2)()(2)(-++=-+=-…8分)(x F x m x 22)]1([log ++=)]1(2)1([log 22++++=m xm x 在区间),1[+∞上是单调递增函数需满足：当1≥x 时，01>++m x ，即2->m ……10分),1[)|,1[|+∞⊆+∞+m …12分，即021|1|≤≤-⇔≤+m m ，…13分，所以02≤<-m …14分】60. 【2014年崇明二模文理第21题】设121()log 1axf x x x -=+-为奇函数，a 为常数.(1)求a 的值；(2)判断函数()f x 在(1,)x ∈+∞上的单调性，并说明理由； (3)若对于区间[]3,4上的每一个x 值，不等式1()()2x f x m >+恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案：（1）121()log 1axf x x x -=+- 为奇函数，()()0f x f x ∴-+=对定义域内的任意x 都成立，112211log log 011ax axx x x x +-∴-++=---，11111ax ax x x +-∴⋅=--- ， 解，得1a =-或1a =（舍去）. （2）由（1）知：121()log 1xf x x x +=+- ， 任取12,(1,)x x ∈+∞ ，设12x x < ，则：1221121211011(1)(1)x x x x x x x x ++--=>----， 121211011x x x x ++∴>>-- ，1211122211log log 11x x x x ++∴<-- 121112122211log log 11x x x x x x ++∴+<+--，12()()f x f x ∴<()f x ∴ 在(1,)x ∈+∞ 上是增函数.（3）令1()()(),[3,4]2xg x f x x =-∈ ，1()[3,4]2x y x =∈ 在 上是减函数，∴由（2）知，1()()(),[3,4]2x g x f x x =-∈是增函数，min 15()(3)8g x g ∴== ，对于区间[3,4] 上的每一个x 值，不等式1()()2x f x m >+ 恒成立，即()m g x < 恒成立， 158m ∴< .】61. 【2014年四区二模文第23题】本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分（文）设函数x x g 3)(=，x x h 9)(=. （1）解方程：0)1()(8)(=--h x g x h ； （2）令3)()()(+=x g x g x p ，求证：22013)20142013()20142012()20142()20141(=++++p p p p ； （3）若bx g ax g x f +++=)()1()(是实数集R 上的奇函数，且0))(2()1)((>⋅-+-x g k f x h f 对任意实数x 恒成立，求实数k 的取值范围.【答案：（文）（1）0)1()(8)(=--h x g x h 即：09389=-⋅-x x ，解得93=x，2=x（2）21323)21()20141007(===p p . 因为1333333333333)1()(11=+++=+++=-+--xxx xx xx x p x p ，所以，22013211006)20142013()20142()20141(=+=+++p p p ， （3）因为bx ax x f +++=)()1()(ϕϕ是实数集上的奇函数，所以1,3=-=b a .)1321(3)(+-=xx f ，)(x f 在实数集上单调递增. 由0))(2()1)((>⋅-+-x g k f x h f 得))(2()1)((x g k f x h f ⋅-->-，又因为)(x f 是实数集上的奇函数，所以，)2)(()1)((-⋅>-x g k f x h f ，又因为)(x f 在实数集上单调递增，所以2)(1)(-⋅>-x g k x h 即23132-⋅>-x xk 对任意的R x ∈都成立，即x xk 313+<对任意的R x ∈都成立，2<k .】62. 【2014年四区二模理第22题】（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分 （理）设函数x x g 3)(=，x x h 9)(=.（1） 解方程：)9)((log )8)(2(log 33+=-+x h x g x ； （2）令3)()()(+=x g x g x p ，3)(3)(+=x h x q ，求证：)20142013()20142012()20142()20141()20142013()20142012()20142()20141(q q q q p p p p ++++=++++ （3）若bx g ax g x f +++=)()1()(是实数集R 上的奇函数，且0))(2()1)((>⋅-+-x g k f x h f 对任意实数x 恒成立，求实数k 的取值范围.【答案：理（1）99)832(3+=-⋅⋅x x x ，93=x，2=x（2）21323)21()20141007(===p p ，2163)21()20141007(===q q ． 因为1333333333333)1()(11=+++=+++=-+--xxx xx xx x p x p ，1393399399399)1()(11=+++=+++=-+--x x x x x x x x q x q所以，211006)20142013()20142()20141(+=+++p p p ， 211006)20142013()20142()20141(+=+++q q q ． )20142013()20142()20141(p p p +++ =)20142013()20142()20141(q q q +++ ． （3）因为bx ax x f +++=)()1()(ϕϕ是实数集上的奇函数，所以1,3=-=b a .)1321(3)(+-=xx f ，)(x f 在实数集上单调递增.由0))(2()1)((>⋅-+-x g k f x h f 得))(2()1)((x g k f x h f ⋅-->-，又因为)(x f 是实数集上的奇函数，所以，)2)(()1)((-⋅>-x g k f x h f ，又因为)(x f 在实数集上单调递增，所以2)(1)(-⋅>-x g k x h 即23132-⋅>-x x k 对任意的R x ∈都成立，即x xk 313+<对任意的R x ∈都成立，2<k .】63. 【2014年虹口区二模文第23题理22题】函数)(x f y =的定义域为R ，若存在常数0>M ，使得x M x f ≥)(对一切实数x 均成立，则称)(x f 为“圆锥托底型”函数．（1）判断函数x x f 2)(=，3()g x x =是否为“圆锥托底型”函数？并说明理由． （2）若1)(2+=x x f 是“圆锥托底型” 函数，求出M 的最大值． （3）问实数k 、b 满足什么条件，b kx x f +=)(是“圆锥托底型” 函数． 【答案：解：（1）．222x x x=≥ ，即对于一切实数x 使得()2f x x ≥成立，∴x x f 2)(=“圆锥托底型” 函数．…………………………2分对于3()g x x =，如果存在0M >满足3x M x ≥，而当x =时，由M≥，∴2M M ≥，得0M ≤，矛盾，∴3()g x x =不是“圆锥托底型” 函数．……………5分（2） 1)(2+=x x f 是“圆锥托底型” 函数，故存在0>M ，使得2()1f x x M x =+≥对于任意实数恒成立．∴当0x ≠时，11M x x x x≤+=+，此时当1x =±时，1x x +取得最小值2，∴2M ≤．…………………………9分而当0x =时，(0)100f M =≥=也成立．∴M 的最大值等于2．……………………10分（3）①当0b =，0k =时，()0f x =，无论M 取何正数，取00x ≠，则有00()0f x M x =<，()0f x =不是“圆锥托底型” 函数．………………12分②当0b =，0k ≠时，()f x kx =，对于任意x 有()f x kx k x =≥，此时可取0M k <≤∴()f x kx =是“圆锥托底型” 函数．………………14分③当0b ≠，0k =时，()f x b =，无论M 取何正数，取0b x M>．有0b M x <，∴()f x b =不是“圆锥托底型” 函数．………………16分④当0b ≠，0k ≠时，b kx x f +=)(，无论M 取何正数，取00bx k=-≠，有00()0<M bf x M x k=-=，∴b kx x f +=)(不是“圆锥托底型” 函数． 由上可得，仅当0,0b k =≠时，b kx x f +=)(是“圆锥托底型” 函数．…………18分】64. 【2014年浦东新区二模文第22题】（文）定义区间),(d c ，),[d c ，],(d c ，],[d c 的长度均为c d -，其中c d >．（1）已知函数21xy =-的定义域为[],a b ，值域为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，写出区间[],a b 长度的最大值与最小值.（2）已知函数()2sin f x x =，将函数()y f x =的图像的每点横坐标缩短到原来的12倍，然后向左平移8π个单位，得到函数()y g x =的图像，区间[,]a b （,a b R ∈且a b <）满足：()y g x =在[,]a b 上至少含有2014个零点，在所有满足上述条件的[,]a b 中，求区间[,]a b 长度的最小值．（3）已知函数()M f x 的定义域为实数集[2,2]D =-,满足(),,M x x M f x x x M∈⎧=⎨-∉⎩(M 是D 的非空真子集) . 集合[]1,2A =,[]2,1B =-- ,求()()()()3A B A B f x F x f x f x =++ 的值域所在区间长度的总和．【答案 解：（1）1212x-=，解得1x =-或23log 2x =， 210x -=，解得0x =，……………………2分画图可得：区间[],a b 长度的最大值为2log 3，最小值为23log 2. …………………4分 （2）()2sin(2())2sin(2)84g x x x ππ=++=++6分11()0sin(2)4224g x x x k πππ=⇒+=-⇒=-或7,24x k k Z ππ=-∈， 即()g x 的零点相离间隔依次为6π和56π， …………………………………………8分故若()y g x =在[,]a b 上至少含有2014个零点，则b a -的最小值为 511007100666πππ-=．…………………………………………………………10分 （3）(),3,(1,1)23xx A B F x x x x ⎧∈⎪⎪=⎨⎪∈-⎪-⎩ …………………………………………………12分当x A B ∈ ，2112(),,3333F x ⎡⎤⎡⎤∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，………………………………………………………13分当(1,1)x ∈-，1()(1,)5F x ∈-，……………………………………………………14分 所以[2,2]x ∈-时，112()(1,),533F x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦……………………………………15分所以值域区间长度总和为2315。
2014年上海市静安、杨浦、青浦、宝山四区高三二模数学试卷(文科)及答案范文
静安杨浦青浦宝山2013学年度联合高考模拟考试数学试卷文科（满分150分，完卷时间120分钟） 2014.4一、填空题 (本大题共有14题，满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1.二阶行列式ii i ++-1101的值是 . （其中i 为虚数单位）2. 已知j i,是方向分别与x 轴和y 轴正方向相同的两个基本单位向量，则平面向量j i +的模等于 .3．二项式7)1(+x 的展开式中含3x 项的系数值为_______________.4.已知圆锥的母线长为5,侧面积为π15,则此圆锥的体积为__________.(结果中保留π)5.已知集合{}sin ,A y y x x R ==∈，{}21,B x x n n Z ==+∈，则AB = .（文）若),(ππ-∈x ，则方程12cos 2sin 3=-x x 的解是_____________. 9．（文）满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+,0,0,32,42y x y x y x 的目标函数y x f +=的最小值为_______.10. 阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为 .11．（文）在平面直角坐标系xOy 中，若中心在坐标原点的双曲线过点()2,3，且它的一个顶点与抛物线24y x =的焦点重合，则该双曲线的方程为 .12． （文）从5男3女8位志愿者中任选3人参加冬奥会火炬接力活动，所选3人中恰有两位女志愿者的概率是 ．13.（文）若三个数c a ,1,成等差数列（其中c a ≠），且22,1,c a 成等比数列，则nn ca c a )(lim 22++∞→的值为 ． 14． （文） 函数()f x 的定义域为实数集R ，⎪⎩⎪⎨⎧<≤--≤≤=.01,1)21(,10,)(x x x x f x 对于任意的x R ∈都第10题图有(1)(1)f x f x +=-.若在区间[1,3]-上函数()()g x f x mx m =--恰有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是 .二、选择题(本大题共有4题，满分20分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15.（文） 不等式12x x->的解集为……………………………………………（ ）. )(A }01|{>-<x x x 或 )(B }1|{-<x x )(C }1|{->x x )(D }01|{<<-x x16．“1=ω”是“函数x x x f ωω22cos sin )(-=的最小正周期为π”的…………（ ）.)(A 充分必要条件 )(B 充分不必要条件 )(C 必要不充分条件 )(D 既不充分又必要条件17. 若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,圆柱、球的表面积分别记为1S 、2S ,则1S :2S =………………………………………………………………（ ）.)(A 1:1 )(B 2:1 )(C 3:2 )(D 4:118. （文）已知向量，满足：1||||==，且||3||k k -=+（0>k ）．则向量与向量的夹角的最大值为 ……………………………… （ ）.)(A 3π )(B 32π )(C 6π )(D 65π三、解答题(本大题共有5题，满分74分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19．（本题满分12分）（文）已知几何体由正方体和直三棱柱组成，其三视图和直观图（单位：cm ）如图所示．设两条异面直线1AQ 和PD 所成的角为θ，求cos θ的值．1A 1D C 1 Q1A 正视图侧视图俯视图20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分某公司承建扇环面形状的花坛如图所示，该扇环面花坛是由以点O 为圆心的两个同心圆弧AD 、弧BC 以及两条线段AB 和CD 围成的封闭图形．花坛设计周长为30米，其中大圆弧AD 所在圆的半径为10米．设小圆弧BC 所在圆的半径为x 米（100<<x ），圆心角为θ弧度． （1）求θ关于x 的函数关系式；（2）在对花坛的边缘进行装饰时，已知两条线段的装饰费用为4元/米，两条弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y ，当x 为何值时，y 取得最大值？21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分（文）已知椭圆2222:1x y C a b+=()0a b >>的右焦点F (1,0)，长轴的左、右端点分别为12,A A ,且121FA FA ⋅=-. （1）求椭圆C 的方程；（2）过焦点F 斜率为k （0>k ）的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，弦AB 的垂直平分线与x 轴相交于D 点. 试问椭圆C 上是否存在点E 使得四边形ADBE 为菱形？若存在，求k 的值；若不存在，请说明理由.22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分（文）已知数列}{n a 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥=+==-+).2(,,8,21121n ca a a a a n n n （c 为常数，*N n ∈）（１）当2=c 时，求n a ； （２）当1=c 时，求2014a 的值；(第20题图)（3）问：使n n a a =+3恒成立的常数c 是否存在？并证明你的结论．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分（文）设函数x x g 3)(=，x x h 9)(=. （1）解方程：0)1()(8)(=--h x g x h ； （2）令3)()()(+=x g x g x p ，求证：22013)20142013()20142012()20142()20141(=++++p p p p ； （3）若bx g ax g x f +++=)()1()(是实数集R 上的奇函数，且0))(2()1)((>⋅-+-x g k f x h f 对任意实数x 恒成立，求实数k 的取值范围.四区2013学年度高考模拟考试数学试卷文理科解答参考答案及评分标准 2014.04说明1．本解答列出试题一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，但是原则上不应超出后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．3．第19题至第23题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数． 4．给分或扣分均以1分为单位．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 理1．2； 2．2 3．35； 4．π125．{}1,1-；6． 30x y +-= 7. 22； 8．41 9． ⎩⎨⎧==,sin 4,cos 4ααy x （α为参数）；10. 13811．.895613561525630156100=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE 12．3． 13.2314．1012sin =α 文1．2； 2．2 3．35； 4．π125．{}1,1-；6．}2,6,2,65{ππππ--7.30x y +-= ； 8．22 9．37； 10. 4111. 2213y x -=； 12．1253381556C C C = 13．当1-=ac 时，0lim 622222=⎪⎭⎫⎝⎛++∴⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→nn n n c a c a c a c a ； 当1=ac 时，c a =舍去． 14.]41,0(二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 15．D ；16．B ；17．C ；18．理D ；文A三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .19．（理）1(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(1,,0),(0,0,1)2A CB D F P --. (1) 证明方法一：Q 四边形是平行四边形，Q PA ⊥平面ABCD ∴PA DA ⊥，又AC DA ⊥，AC PA A =I ，∴DA ⊥平面PAC .方法二：证得DA uu u r是平面PAC 的一个法向量，∴DA ⊥平面PAC .(2)通过平面几何图形性质或者解线性方程组,计算得平面PAF 一个法向量为(1,2,0)m =u r， 又平面PCD 法向量为(1,1,1)n =r，所以||cos ,||||m n m n m n ⋅<>==u r ru r r u r r∴. （文）由//PQ CD ，且PQ CD =，可知//PD QC ，故1AQC ∠为异面直线1AQ 、PD 所成的角（或其补角）．由题设知2222111126AQ A B B Q =+=+=，12AC = 取BC 中点E ，则QE BC ⊥，且3QE =，222223110QC QE EC =+=+=．由余弦定理，得2221111cos cos 2AQ QC AC AQC AQ QC θ+-=∠=⋅== 20．(1)设扇环的圆心角为θ，则()30102(10)x x θ=++-， 所以10210xxθ+=+， (2) 花坛的面积为2221(10)(5)(10)550,(010)2x x x x x x θ-=+-=-++<<． 装饰总费用为()9108(10)17010x x x θ++-=+，所以花坛的面积与装饰总费用的比22550550==1701010(17)x x x x y x x -++---++，令17t x =+，则3913243()101010y t t =-+≤，当且仅当t =18时取等号， 此时121,11x θ==． 答：当1x =时，花坛的面积与装饰总费用的比最大．21．理（1）依题意不妨设1(0,)B b -，2(0,)B b ，则1(1,)FB b =--，2(1,)FB b =-.由12FB FB a ⋅=-，得21b a -=-. 又因为221a b -=，解得2,a b =.所以椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）依题意直线l 的方程为(1)y k x =-.由22(1),143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(34)84120k x k x k +-+-=.设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+.所以弦MN 的中点为22243(,)3434k kP k k-++.所以MN ==2212(1)43k k +=+. 直线PD 的方程为222314()4343k k y x k k k +=--++， 由0y =，得2243k x k =+，则22(,0)43k D k +，所以DP =所以224312(1)43DP k k MN k +==++=. 又因为211k +>，所以21011k <<+.所以104<<. 所以DP MN的取值范围是1(0,)4.（文）（1）依题设1(,0)A a -，2(,0)A a ，则1(1,0)FA a =--，2(1,0)FA a =-. 由121FA FA ⋅=-，解得22a =，所以21b =.所以椭圆C 的方程为2212x y +=. （2）依题直线l 的方程为(1)y k x =-.由22(1),22y k x x y =-⎧⎨+=⎩得()2222214220k x k x k +-+-=. 设11(,)A x y ,22(,)B x y ,弦AB 的中点为00(,)M x y ，则2122421k x x k +=+，21222(1)21k x x k -=+，202221k x k =+，0221k y k -=+， 所以2222(,)2121k kM k k -++. 直线MD 的方程为22212()2121kk y x k k k +=--++， 令0y =，得2221D k x k =+，则22(,0)21k D k +. 若四边形ADBE 为菱形，则02E D x x x +=，02E D y y y +=.所以22232(,)2121k kE k k -++. 若点E 在椭圆C 上，则2222232()2()22121k kk k -+=++.整理得42k =，解得2k =所以椭圆C 上存在点E 使得四边形ADBE 为菱形.22．理（1）99)832(3+=-⋅⋅xx x ，93=x ，2=x（2）21323)21()20141007(===p p ，2163)21()20141007(===q q ．因为1333333333333)1()(11=+++=+++=-+--xxx xx xx x p x p ，1393399399399)1()(11=+++=+++=-+--x x x x x x x x q x q所以，211006)20142013()20142()20141(+=+++p p p ， 211006)20142013()20142()20141(+=+++q q q ． )20142013()20142()20141(p p p +++ =)20142013()20142()20141(q q q +++ ． （3）因为bx ax x f +++=)()1()(ϕϕ是实数集上的奇函数，所以1,3=-=b a .)1321(3)(+-=x x f ，)(x f 在实数集上单调递增. 由0))(2()1)((>⋅-+-x g k f x h f 得))(2()1)((x g k f x h f ⋅-->-，又因为)(x f 是实数集上的奇函数，所以，)2)(()1)((-⋅>-x g k f x h f ，又因为)(x f 在实数集上单调递增，所以2)(1)(-⋅>-x g k x h 即23132-⋅>-x xk 对任意的R x ∈都成立，即x xk 313+<对任意的R x ∈都成立，2<k . （文）（1）46)1(62-=-+=n n a n （2） 21=a ，82=a ，63=a ，24-=a ，85-=a ，66-=a ，27=a ，88=a ，69=a ，210-=a ，811-=a ， 612-=a ，我们发现数列为一周期为６的数列．事实上，由n n n a a a =+-+11有n n n n a a a a -=-=+++123，n n n n a a a a =-==++++3336．……8分(理由和结论各2分)因为 463352014+⨯=，所以242014-==a a ．（3）假设存在常数c ，使n n a a =+3恒成立．由n n n ca a a =+-+11 ○1，及n n a a =+3，有1112+-++=+⇒=+n n n n n n ca a a ca a a ○2○1式减○2式得0)1)((1=+-+c a a n n ． 所以01=-+n n a a ，或01=+c ．当*N n ∈，01=-+n n a a 时，数列｛n a ｝为常数数列，不满足要求．由01=+c 得1-=c ，于是n n n a a a -=+-+11，即对于2≥∈n N n 且，都有11-+--=n n n a a a ，所以 n n n n n n a a a a a a --=--=+++++12123,，从而n n n n n n n a a a a a a a =-+=--=+++++11123, )1(≥n ．所以存在常数1-=c ，使n n a a =+3恒成立．23．理（1）1111a b a a ===，242112211--====--n a n n n n a a b ； （2）根据反证法排除11a =和*113()a a N ≥∈证明：假设12a ≠，又*N a n ∈，所以11a =或*113()a a N ≥∈①当11a =时，1111a b a a ===与13b =矛盾，所以11a ≠；②当*113()a a N ≥∈时，即1113a a b a ≥==，即11a a a ≥，又1+<n n a a ，所以11a ≤与*113()a a N ≥∈矛盾；由①②可知21=a ．（3）首先{}n a 是公差为1的等差数列，证明如下：1n n a a +>*2,n n N ⇒≥∈时1n n a a ->，所以11n n a a -≥+()n m a a n m ⇒≥+-，*(,)m n m n N <∈、 1111[1(1)]n n a a n n a a a a ++++⇒≥++-+即11n n n n c c a a ++-≥-由题设11n n a a +≥-又11n n a a +-≥11n n a a +⇒-=即{}n a 是等差数列．又{}n a 的首项11a =，所以n a n =，)223222(32n n n S ⋅++⋅+⋅+-= ，对此式两边乘以2，得14322232222+⋅--⋅-⋅--=n n n S两式相减得=⋅-++++=+13222222n n n n S 22211-⋅-++n n n 22211-=⋅+++n n n n S ，5021>⋅++n n n S 即5221≥+n ，当5≥n 时，526421>=+n ，即存在最小正整数5使得5021>⋅++n n n S 成立．注：也可以归纳猜想后用数学归纳法证明n a n =．（文）（1）0)1()(8)(=--h x g x h 即：09389=-⋅-x x ，解得93=x ，2=x（2）21323)21()20141007(===p p . 因为1333333333333)1()(11=+++=+++=-+--x x x x x x xx p x p ， 所以，22013211006)20142013()20142()20141(=+=+++p p p ， （3）同理科22（3）．。
上海市浦东新区高三数学下学期4月二模考试试题 文(含解析)
上海市黄浦区2014届高三下学期4月二模考试数学 文（含解析）考生注意：1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚； 3．本试卷共23道试题，满分150分；考试时间120分钟．一．填空题(本大题满分56分) 本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分． 1．函数xxy -+=11log 2的定义域是 ． 【答案】(1,1)- 【解析】由1+0111x x x>-<<-得，所以函数x xy -+=11log 2的定义域是(1,1)-。
2．函数x x y 22sin cos -=的最小正周期=T ．【答案】p【解析】x x y 22sin cos -=cos 2x =，所以22T ππ==。
3．已知全集R U =，集合{}|0,R A x x a x =+≥∈，{}||1|3,R B x x x =-≤∈．若U ()[2,4]C A B =-，则实数a 的取值范围是 ．【答案】4a <-【解析】易知集合{}|0,R A x x a x =+≥∈ {}|x x a =≥-，{}||1|3,R B x x x =-≤∈{}|24x x =-≤≤．所以{}|u C A x x a =<-，因为U ()[2,4]C A B =-，所以4a ->，所以实数a 的取值范围是4a <-。
4．已知等差数列{}*(N )n a n ∈的公差为3，11-=a ，前n 项和为n S ，则nnn S na ∞→lim的数值是 ． 【答案】2【解析】因为等差数列{}*(N )n a n ∈的公差为3，11-=a ，所以34n a n =-，23522n S n n =-，所以n n n S na∞→lim 34lim 23522n n n →∞-==-。
2014年上海市高考数学试卷(文科)答案与解析
2014年上海市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1．（4分）（2014•上海）函数y=1﹣2cos2（2x）的最小正周期是．=故答案为：2．（4分）（2014•上海）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）•=6．z+=4．（4分）（2014•上海）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为x=）的焦点与椭圆+解：由题意椭圆++=1得=牙齿健康状况2y=y=≥=2，=±27．（4分）（2014•上海）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与轴所成角的大小为arcsin（结果用反三角函数值表示）==3==arcsinarcsin9．（4分）（2014•上海）设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（﹣∞，x综合得出x+x+≥10．（4分）（2014•上海）设无穷等比数列{a n}的公比为q，若a1=（a3+a4+…a n），则q=．，由此能求出（（﹣，q=q=故答案为：11．（4分）（2014•上海）若f（x）=﹣，则满足f（x）＜0的x的取值范围是（0，1）．﹣，若满足＜，y=的解集为：（12．（4分）（2014•上海）方程sinx+cosx=1在闭区间[0，2π]上的所有解的和等于．x+==2k+=2k+sinx+sinx+cosx=x+=x+=2k，或x+，x=，+=故答案为：．选择的3天恰好为连续3天的概率是（结果用最简分数表示）．天共有种情况，，故答案为：．14．（4分）（2014•上海）已知曲线C：x=﹣，直线l：x=6，若对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得+=，则m的取值范围为[2，3]．通过曲线方程判断曲线特征，通过+，说明﹣+=，∈则17．（5分）（2014•上海）如图，四个边长为1的小正方形排成一个大正方形，AB是大正方形的一条边，P i（i=1，2，…，7）是小正方形的其余顶点，则•（i=1，2，…，7）的不同值的个数为（）∴=），），），），==∴=0=2，=4=0，，=4∴（18．（5分）（2014•上海）已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（）k=，19．（12分）（2014•上海）底面边长为2的正三棱锥P﹣ABC，其表面展开图是三角形P1P2P3，如图，求△P1P2P3=20．（14分）（2014•上海）设常数a≥0，函数f（x）=．（1）若a=4，求函数y=f（x）的反函数y=f﹣1（x）；的位置可得=，整理可得=，整理可得21．（14分）（2014•上海）如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC 长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α和β．（1）设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？，tan，，由正弦定理得a=≈22．（16分）（2014•上海）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c=0和点P1（x1，y1），P2（x2，y2），记η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），若η＜0，则称点P1，P2被直线l分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线．（1）求证：点A（1，2），B（﹣1，0）被直线x+y﹣1=0分隔；（2）若直线y=kx是曲线x2﹣4y2=1的分隔线，求实数k的取值范围；（3）动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为E，求E的方程，并证明y轴为）联立．当≥，﹣][，23．（18分）（2014•上海）已知数列{a n}满足a n≤a n+1≤3a n，n∈N*，a1=1．（1）若a2=2，a3=x，a4=9，求x的取值范围；（2）若{a n}是等比数列，且a m=，求正整数m的最小值，以及m取最小值时相应{a n}的公比；）由题意可得：，，由已知可得，，由于，可得，可得，由已知可得，解出即可．）由题意可得：；，由已知可得，，又．因此，1000===，由已知可得，时，不等式即，．．。
2014年上海市奉贤区高考数学二模试卷(文科)含详解
2014年上海市奉贤区高考数学二模试卷（文科）一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每空4分）1．（4分）函数f（x）=lg（2x﹣4）的定义域为．2．（4分）设z=a+i（a∈R+，i是虚数单位），满足||=，则a=．3．（4分）如果函数f（x）=log a x的图象过点P（，1），则（a+a2+…+a n）=．4．（4分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为．5．（4分）若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x﹣3y=0和x轴都相切，则该圆的标准方程是．6．（4分）在（x+1）n的二项展开式中，按x的降幂排列，只有第5项的系数最大，则各项的二项式系数之和为（答案用数值表示）．7．（4分）将外形和质地一样的4个红球和6个白球放入同一个袋中，将它们充分混合后，现从中取出4个球，取出一个红球记2分，取出一个白球记1分，若取出4个球总分不少于5分，则有种不同的取法．8．（4分）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为．9．（4分）设实数x，y满足，则x﹣2y的最大值等于．10．（4分）将函数f（x）=的图象向左平移m个单位（m＞0），若所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值是．11．（4分）已知抛物线y2=20x焦点F恰好是双曲线﹣=1的右焦点，且双曲线过点（，3），则该双曲线的渐近线方程为．12．（4分）定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：①当x∈[1，3]时，f（x）=②f（3x）=3f（x），设关于x的函数F（x）=f（x）﹣1的零点从小到大依次记为x1，x2，x3，…，则x1+x2+x3=．13．（4分）已知，{a n}是首项为a公差为1的等差数列，．如对任意的n∈N*，都有b n≥b8，成立，则a的取值范围是．14．（4分）以（0，m）间的整数（m＞1），m∈N）为分子，以m为分母组成分数集合A1，其所有元素和为a1；以（0，m2）间的整数（m＞1），m∈N）为分子，以m2为分母组成不属于集合A1的分数集合A2，其所有元素和为a2；…，依此类推以（0，m n）间的整数（m＞1，m∈N）为分子，以m n为分母组成不属于A1，A2，…，A n﹣1的分数集合A n，其所有元素和为a n；则a1+a2+…+a n=．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每小题5分，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）三角形ABC中，设=，=，若•（+）＜0，则三角形ABC 的形状是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．无法确定16．（5分）设数列{a n}（）A．若a n2=4n，n∈N*，则{a n}为等比数列B．若a n•a n+2=a n+12，n∈N*，则{a n}为等比数列C．若a m•a n=2m+n，m，n∈N*，则{a n}为等比数列D．若a n•a n+3=a n+1•a n+2，n∈N*，则{a n}为等比数列17．（5分）下列命题正确的是（）A．若x≠kπ，k∈Z，则B．若a＜0，则C．若a＞0，b＞0，则D．若a＜0，b＜0，则18．（5分）已知α、β∈R，且设p：α＞β，设q：α+sinαcosβ＞β+sinβcosα，则p是q的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，点D 是AB的中点．四面体B1﹣BCD的体积是2，求异面直线DB1与CC1所成的角．20．（14分）已知函数f（x）=|x﹣a|﹣+a，x∈[1，6]，a∈R．（1）若a=1，试判断并用定义证明函数f（x）的单调性；（2）当a∈（1，6）时，求函数f（x）的最大值的表达式M（a）．21．（14分）某人沿一条折线段组成的小路前进，从A到B，方位角（从正北方向顺时针转到AB方向所成的角）是50°，距离是3km；从B到C，方位角是110°，距离是3km；从C到D，方位角是140°，距离是（9+3）km．试画出大致示意图，并计算出从A到D的方位角和距离（结果保留根号）．22．（16分）如图，已知平面内一动点A到两个定点F1、F2的距离之和为4，线段F1F2的长为2．（1）求动点A的轨迹Γ的方程；（2）过点F1作直线l与轨迹Γ交于A、C两点，且点A在线段F1F2的上方，线段AC的垂直平分线为m．①求△AF1F2的面积的最大值；②轨迹Γ上是否存在除A、C外的两点S、T关于直线m对称，请说明理由．23．（18分）若函数f（x）满足：集合A={f（n）|n∈N*}中至少存在三个不同的数构成等比数列，则称函数f（x）是等比源函数．（1）判断下列函数：①y=x2；②y=lgx中，哪些是等比源函数？（不需证明）（2）证明：函数g（x）=2x+3是等比源函数；（3）判断函数f（x）=2x+1是否为等比源函数，并证明你的结论．2014年上海市奉贤区高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每空4分）1．（4分）函数f（x）=lg（2x﹣4）的定义域为{x|x＞2}．【考点】33：函数的定义域及其求法．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】根据对数函数的性质建立不等式即可求出函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则2x﹣4＞0，解得x＞2，∴函数的定义域为{x|x＞2}，故答案为：{x|x＞2}【点评】本题主要考查函数定义域的求法，根据函数成立的条件是解决本题的关键，比较基础．2．（4分）设z=a+i（a∈R+，i是虚数单位），满足||=，则a=1．【考点】A5：复数的运算．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则和模的计算公式即可得出．【解答】解：∵z=a+i，∴===．又满足||=，∴=，化为a2=1，又a＞0．∴a=1．故答案为：1．【点评】本题考查了复数的运算法则和模的计算公式，属于基础题．3．（4分）如果函数f（x）=log a x的图象过点P（，1），则（a+a2+…+a n）=1．【考点】4H：对数的运算性质；6F：极限及其运算．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】由对数函数的性质求出a=，再由等比数列前n项和公式求出a+a2+…+a n=1﹣（）n，由此能求出（a+a2+…+a n）的值．【解答】解：∵函数f（x）=log a x的图象过点P（，1），∴=1，解得a=，∴a+a2+…+a n===1﹣（）n，∴（a+a2+…+a n）==1．故答案为：1．【点评】本题考查极限的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和等比数列的知识点的合理运用．4．（4分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为10．【考点】EF：程序框图．【专题】11：计算题．【分析】根据已知中的程序框图可得：该程序的功能是计算出输出S=﹣12+22﹣32+42的值，代入运算可得答案．【解答】解：由已知可得该程序的功能是计算并输出S=﹣12+22﹣32+42的值∵S=﹣12+22﹣32+42=10故答案为：10【点评】本题考查的知识点是程序框图，其中根据循环条件判断出循环变量的终值，进而结合循环体分析出程序的功能是解答本题的关键．5．（4分）若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x﹣3y=0和x轴都相切，则该圆的标准方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2=1．【考点】J1：圆的标准方程；J7：圆的切线方程．【专题】11：计算题．【分析】依据条件确定圆心纵坐标为1，又已知半径是1，通过与直线4x﹣3y=0相切，圆心到直线的距离等于半径求出圆心横坐标，写出圆的标准方程．【解答】解：∵圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x﹣3y=0和x轴都相切，∴半径是1，圆心的纵坐标也是1，设圆心坐标（a，1），则1=，又a＞0，∴a=2，∴该圆的标准方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2=1；故答案为（x﹣2）2+（y﹣1）2=1．【点评】本题考查利用圆的切线方程求参数，圆的标准方程求法．6．（4分）在（x+1）n的二项展开式中，按x的降幂排列，只有第5项的系数最大，则各项的二项式系数之和为256（答案用数值表示）．【考点】DA：二项式定理．【专题】5P：二项式定理．【分析】由题意可得最大，可得n的值，再根据各项的二项式系数之和为2n，计算求得结果．【解答】解：由题意可得最大，故有n=8，则各项的二项式系数之和为28=256，故答案为：256．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．7．（4分）将外形和质地一样的4个红球和6个白球放入同一个袋中，将它们充分混合后，现从中取出4个球，取出一个红球记2分，取出一个白球记1分，若取出4个球总分不少于5分，则有195种不同的取法．【考点】D3：计数原理的应用．【专题】12：应用题；5O：排列组合．【分析】从10个球中取出4个使总分不低于5分的取法有4红或3红1白或2红2白或1红3白，用组合数写出四种不同情况的表示式，计算出最后结果．【解答】解：∵取出4个球总分不低于5分只能是4红或3红1白或2红2白或1红3白．∴有C44+C43C61+C42C62+C41C63=195种．故答案为：195．【点评】本题考查分类加法原理，解题的关键是对于分类要做到不重不漏，准确的表示出结果．8．（4分）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】11：计算题．【分析】通过侧面展开图的面积．求出圆锥的母线，底面的半径，求出圆锥的体积即可．【解答】解：由题意一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，因为4π=πl2，所以l=2，半圆的弧长为2π，圆锥的底面半径为2πr=2π，r=1，所以圆锥的体积为：=．故答案为：．【点评】本题考查旋转体的条件的求法，侧面展开图的应用，考查空间想象能力，计算能力．9．（4分）设实数x，y满足，则x﹣2y的最大值等于2．【考点】7C：简单线性规划．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【解答】解：设z=x﹣2y得y=，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y=，由图象可知当直线y=，过点B（2，0）时，直线y=的截距最小，此时z最大，代入目标函数z=x﹣2y，得z=2∴目标函数z=x﹣2y的最大值是2．故答案为：2．【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．10．（4分）将函数f（x）=的图象向左平移m个单位（m＞0），若所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值是．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；O1：二阶矩阵．【专题】57：三角函数的图像与性质．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得到的函数为y=2sin（x+m ﹣），再根据所得图象对应的函数为偶函数，则m﹣=kπ+，k∈z，由此求得m的最小值．【解答】解：把函数f（x）==sinx﹣cosx=2sin（x﹣）的图象向左平移m个单位（m＞0），得到函数y=2sin（x+m﹣）的图象，又所得图象对应的函数为偶函数，则m﹣=kπ+，k∈z，即m=kπ+，k∈z，故m的最小值为，故答案为：．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于中档题．11．（4分）已知抛物线y2=20x焦点F恰好是双曲线﹣=1的右焦点，且双曲线过点（，3），则该双曲线的渐近线方程为y=±x．【考点】K7：抛物线的标准方程．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先根据抛物线的方程求得焦点即双曲线的右焦点的坐标，进而求得a和b的关系式，把点（，3），代入双曲线方程求得a和b的值，最后求得双曲线的渐近线方程．【解答】解：依题意可知，解得：a=3，b=4∴双曲线的渐近线方程为y=±x=±x．故答案为：y=±x．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质和圆锥曲线的共同特征，考查了学生对双曲线基础知识的整体把握和灵活运用．12．（4分）定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：①当x∈[1，3]时，f（x）=②f（3x）=3f（x），设关于x的函数F（x）=f（x）﹣1的零点从小到大依次记为x1，x2，x3，…，则x1+x2+x3=14．【考点】52：函数零点的判定定理．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】根据已知，可得x1=2，x2+x3=12，代入可得x1+x2+x3的值，当x∈[0，1）时，不必考虑．利用已知可得：当x∈[3，6]时，由∈[1，2]，可得f（x）=3f（），f（x）∈[0，3]；同理，当x∈（6，9）时，f（x）∈[0，3]；此时f（x）∈[0，3]．【解答】解：∵①当x∈[1，3）时，f（x）∈[0，1]；②f（3x）=3f（x）．∴当≤x＜1时，则1≤3x＜3，由f（x）=f（3x）可知：f（x）∈[0，]．同理，当x∈（0，）时，0≤f（x）＜1，当x∈[3，6]时，由∈[1，2]，可得f（x）=3f（），f（x）∈[0，3]；同理，当x∈（6，9）时，由∈（2，3），可得f（x）=3f（），f（x）∈[0，3]；此时f（x）∈[0，3]．x1=2，x2+x3=12，∴x1+x2+x3=14．故答案为：14【点评】本题考查了函数的图象与性质、区间转换、对称性，属于中档题．13．（4分）已知，{a n}是首项为a公差为1的等差数列，．如对任意的n∈N*，都有b n≥b8，成立，则a的取值范围是（﹣8，﹣7）．【考点】8K：数列与不等式的综合．【专题】11：计算题．【分析】先根据题意求出数列{a n}的通项公式，然后求出b n的表达式，再根据不等式的性质解不等式即可求出a的取值范围．【解答】解：{a n}是首项为a公差为1的等差数列，∴数列{a n}的通项公式为a n=a+n﹣1，∵=1+=1+．∵b n≥b8∴1+≥1+，即≥，数列{a n}是递增数列，且公差为1，∴a8=a+8﹣1＜0，a9=a+9﹣1＞0，此时＜0，（n≥8）当0＜n＜8时也有a n＜a8，也有即≥，解得﹣8＜a＜﹣7，故答案为（﹣8，﹣7）．【点评】本题考查了等差数列的基本性质和不等式的解法，考查了学生的计算能力，解题时要认真审题，仔细解答，避免错误，属于中档题．14．（4分）以（0，m）间的整数（m＞1），m∈N）为分子，以m为分母组成分数集合A1，其所有元素和为a1；以（0，m2）间的整数（m＞1），m∈N）为分子，以m2为分母组成不属于集合A1的分数集合A2，其所有元素和为a2；…，依此类推以（0，m n）间的整数（m＞1，m∈N）为分子，以m n为分母组成不属于A1，A2，…，A n﹣1的分数集合A n，其所有元素和为a n；则a1+a2+…+a n=．【考点】12：元素与集合关系的判断；8B：数列的应用；F4：进行简单的合情推理．【专题】15：综合题；54：等差数列与等比数列．【分析】由题意，可根据所给的规则进行归纳，探究出规律，再利用数列的有关知识化简即可得出结论【解答】解：由题意a1=a2==﹣（）=﹣a1，a3=﹣a2﹣a1，…a n=﹣a n﹣1﹣…﹣a2﹣a1，由上推理可得a1+a2+…+a n==由等差数列的求和公式得a1+a2+…+a n==故答案为【点评】本题考查了等差数列的求和公式，归纳推理，元素与集合关系，考查了探究意识与创新解答问题的能力，本题难度较高，不易入手，惟有耐心细致的列举几个特殊例子才能发现解答本题的规律，此类探究型题可以培养出创新思维的能力二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每小题5分，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）三角形ABC中，设=，=，若•（+）＜0，则三角形ABC 的形状是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．无法确定【考点】GZ：三角形的形状判断．【专题】11：计算题；58：解三角形．【分析】依题意，可知+=；利用向量的数量积即可判断三角形ABC的形状．【解答】解：∵=，=，∴+=+=；∵•（+）＜0，∴•＜0，即||•||•cos∠BAC＜0，∵||•||＞0，∴cos∠BAC＜0，即∠BAC＞90°．∴三角形ABC为钝角三角形．故选：B．【点评】本题考查三角形的形状判断，+=的应用是关键，考查转化思想与运算能力，属于中档题．16．（5分）设数列{a n}（）A．若a n2=4n，n∈N*，则{a n}为等比数列B．若a n•a n+2=a n+12，n∈N*，则{a n}为等比数列C．若a m•a n=2m+n，m，n∈N*，则{a n}为等比数列D．若a n•a n+3=a n+1•a n+2，n∈N*，则{a n}为等比数列【考点】83：等差数列的性质；87：等比数列的性质．【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．【分析】利用等比数列的概念，通过特例法对A，B，C，D四个选项逐一判断排除即可．【解答】解：A中，=4n，n∈N*，∴a n=±2n，例如2，22，﹣23，﹣24，25，26，﹣27，﹣28，…不是等比数列，故A错误；B中，若a n=0，满足a n•a n+2=，n∈N*，但{a n}不是等比数列，故B错误；同理也排除D；对于C，∵a m•a n=2m+n，m，n∈N*，∴==2，即=2，∴{a n}为等比数列，故C正确．故选：C．【点评】本题考查等比数列的概念与性质，考查举例排除法的应用，考查分析问题与解决问题的能力，属于中档题．17．（5分）下列命题正确的是（）A．若x≠kπ，k∈Z，则B．若a＜0，则C．若a＞0，b＞0，则D．若a＜0，b＜0，则【考点】2K：命题的真假判断与应用．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】利用基本不等式，分别判断是否满足基本不等式成立的条件，然后做出判断即可．【解答】解：A.，当且仅当，即1+sin2x=2，sin2x=1取等号，所以A错误．B．当a＜0时，，当且仅当﹣a=，即a=﹣2时取等号，所以B错误．C．当0＜a＜1，0＜b＜1时，lga＜0．lgb＜0，所以C错误．D．若a＜0，b＜0，则，所以，当且仅当a=b时取等号，所以D正确．故选：D．【点评】本题主要考查基本不等式的应用，主要基本不等式成立的前提：一正二定三相等，缺一不可．18．（5分）已知α、β∈R，且设p：α＞β，设q：α+sinαcosβ＞β+sinβcosα，则p是q的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【分析】利用两角差的正弦公式化简命题q，利用充要条件的定义判断出p是q 的充要条件．【解答】解：q：α+sinαcosβ＞β+sinβcosα即α﹣β＞sin（β﹣α）⇔α﹣β＞0⇔α＞β故选：A．【点评】本题考查判断一个命题是另一个命题的什么条件，常将复杂的命题先化简，再判断．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，点D 是AB的中点．四面体B1﹣BCD的体积是2，求异面直线DB1与CC1所成的角．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】5G：空间角．【分析】利用平行线法找到异面直线所成的角，∠DB1B即异面直线DB1与CC1所成的角，然后放在三角形中计算．【解答】解：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中CC1∥BB1所以∠DB1B为异面直线DB1与CC1所成的角（或其补角）（3分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中=S△BCD•B1B==2得BB1=2 （7分）由点D是AB的中点得DB=直三棱柱ABC﹣A1B1C1中B1B⊥BDRt△B1BD中tan∠DB1B===所以∠DB1B=arctan（或∠DB1B=arccos）所以异面直线DB1与BC1所成的角为arctan（或arccos）（12分）【点评】本题考查异面直线所成的角的计算，先作后求是基本方法．20．（14分）已知函数f（x）=|x﹣a|﹣+a，x∈[1，6]，a∈R．（1）若a=1，试判断并用定义证明函数f（x）的单调性；（2）当a∈（1，6）时，求函数f（x）的最大值的表达式M（a）．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】53：导数的综合应用．【分析】（1）当a=1时，由x∈[1，6]，化简f（x），用单调性定义讨论f（x）的增减性；（2）由a∈（1，6）知，f（x）=，分1＜a≤3与3＜a＜6讨论函数的单调性，从而求得f（x）的最大值M（a）．【解答】解：（1）当a=1，x∈[1，6]时，f（x）为增函数，证明：∵f（x）=，任取x1，x2∈[1，6]，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）==＜0，∴f（x）在[1，6]是增函数；（2）∵a∈（1，6），∴f（x）=，①当1＜a＜3时，f（x）在[1，a]上是增函数，在[a，6]上也是增函数，∴当x=6时，f（x）取得最大值，②当3＜a＜6时，f（x）在[1，3]上是增函数，在[3，a]上是减函数，在[a，6]上是增函数，而f（3）=2a﹣6，f（6）=，当3＜a≤时，2a﹣6≤，当x=6时，f（x）取得最大值为．当≤a＜6时，2a﹣6＞，当x=3时，f（x）取得最大值为2a﹣6．综上得，M（a）=【点评】本题考查了含绝对值的函数的单调性的判断与证明以及函数的最值的求法问题，也考查了分类讨论思想与化归思想．21．（14分）某人沿一条折线段组成的小路前进，从A到B，方位角（从正北方向顺时针转到AB方向所成的角）是50°，距离是3km；从B到C，方位角是110°，距离是3km；从C到D，方位角是140°，距离是（9+3）km．试画出大致示意图，并计算出从A到D的方位角和距离（结果保留根号）．【考点】HU：解三角形．【专题】12：应用题；58：解三角形．【分析】作出示意图，连接AC，在△ABC中，由余弦定理求出AC，在△ACD 中，由余弦定理求出AD，从而可求∠CAD，即可得出结论．【解答】解：示意图，如图所示，（4分）连接AC，在△ABC中，∠ABC=50°+（180°﹣110°）=120°，又AB=BC=3，∴∠BAC=∠BCA=30°由余弦定理可得AC==3（7分）在△ACD中，∠ACD=360°﹣140°﹣（70°+30°）=120°，CD=3+9．由余弦定理得AD==（km）．（10分）由正弦定理得sin∠CAD==（12分）∴∠CAD=45°，于是AD的方位角为50°+30°+45°=125°，（13分）∴从A到D的方位角是125°，距离为km．（14分）【点评】本题考查解三角形的实际应用，考查余弦定理、正弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．22．（16分）如图，已知平面内一动点A到两个定点F1、F2的距离之和为4，线段F1F2的长为2．（1）求动点A的轨迹Γ的方程；（2）过点F1作直线l与轨迹Γ交于A、C两点，且点A在线段F1F2的上方，线段AC的垂直平分线为m．①求△AF1F2的面积的最大值；②轨迹Γ上是否存在除A、C外的两点S、T关于直线m对称，请说明理由．【考点】J3：轨迹方程；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】15：综合题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）根据平面内一动点A到两个定点F1、F2的距离之和为4，线段F1F2的长为2，可得轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆，建立平面直角坐标系，可得动点A的轨迹Γ的方程；（2）①当A在椭圆与y轴相交的地方，△AF1F2的高最大，面积最大，即可求△AF1F2的面积的最大值；②当AC⊥F1F2时，存在除A、C外的两点S、T关于直线m对称，证明AC与F1F2不垂直时，不存在除A、C外的两点S、T关于直线m对称即可．【解答】解：（1）因为4＞2，所以轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆，以线段F1F2的中点为坐标原点，以F1F2所在直线为x轴建立平面直角坐标系，可得动点A的轨迹Γ的方程为；（2）①由题意，|F1F2|=2，当A在椭圆与y轴相交的地方，△AF1F2的高最大，面积最大，∴△AF1F2的面积的最大值为•2•1=；②当AC⊥F1F2时，存在除A、C外的两点S、T关于直线m对称，下面证明AC与F1F2不垂直时，不存在除A、C外的两点S、T关于直线m对称．假设存在这样的两个不同的点S（x3，y3），T（x4，y4），设ST的中点为H（m，n），则k OH•k ST=﹣，k OM k AC=﹣，∴k OH=k OM=﹣，∴直线m过原点，斜率为﹣≠﹣∴假设不成立，∴AC与F1F2不垂直时，不存在除A、C外的两点S、T关于直线m对称．【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．23．（18分）若函数f（x）满足：集合A={f（n）|n∈N*}中至少存在三个不同的数构成等比数列，则称函数f（x）是等比源函数．（1）判断下列函数：①y=x2；②y=lgx中，哪些是等比源函数？（不需证明）（2）证明：函数g（x）=2x+3是等比源函数；（3）判断函数f（x）=2x+1是否为等比源函数，并证明你的结论．【考点】87：等比数列的性质．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】（1）①利用等比数列的性质和等比源函数的概率推导出y=x2，y=lgx都是等比源函数．（2）由g（x）=2x+3，推导出g（1）=5，g（6）=15，g（21）=45，由5，15，45成等比数列，得到函数g（x）=2x+3是等比源函数．（3）函数f（x）=2x+1不是等比源函数．例用反证法能证明函数f（x）=2x+1不是等比源函数．【解答】解：（1）①∵12，22，42，82构成等比数列，∴y=x2是等比源函数．②∵lg10，lg100，lg10000构成等比数列，∴y=lgx是等比源函数．（4分）（2）证明：∵g（x）=2x+3，∴g（1）=2+3=5，g（6）=12+3=15，g（21）=42+3=45，∵5，15，45成等比数列∴函数g（x）=2x+3是等比源函数．（10分）（3）函数f（x）=2x+1不是等比源函数．证明如下：假设存在正整数m，n，k且m＜n＜k，使得f（m），f（n），f（k）成等比数列，则（2n+1）2=（2m+1）（2k+1），整理得22n+2n+1=2m+k+2m+2k，等式两边同除以2m，得22n﹣m+2n﹣m+1=2k+2k﹣m+1．∵n﹣m≥1，k﹣m≥2，∴等式左边为偶数，等式右边为奇数，∴等式22n﹣m+2n﹣m+1=2k+2k﹣m+1不可能成立，∴假设不成立，∴函数f（x）=2x+1不是等比源函数．（18分）【点评】本题考查等比源函数的判断与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意反证法的合理运用．。
2014年全国高考上海市数学(文)试卷及答案【精校版】
(z
1 )
z =___________.
z
3. 设常数 a R ，函数 f ( x) x 1 x2 a ，若 f (2) 1，则 f (1)
.
4. 若抛物线 y2=2px 的焦点与椭圆 x 2 9
y2 1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为
5
___________.
5. 某校高一、高二、高三分别有学生 1600 名、 1200 名、 800 名，为了解该校高中学生的牙
积之和等于
.
x a, x 0,
9. 设 f ( x)
1
若 f (0) 是 f (x) 的最小值，则 a 的取值范围是
.
x , x 0,
x
10.设无穷等比数列 { an } 的公比为 q，若 a1 lim (a3 a4 ) ，则 q=
.
n
2
1
11．若 f (x) x3 x2 ，则满足 f ( x) 0 的 x 取值范围是
（2）根据 a 的不同取值，讨论函数 y f ( x) 的奇偶性，并说明理由 .
21.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分 .
如图，某公司要在 A、 B 两地连线上的定点 C 处建造广告牌 CD ，其中 D 为顶端， AC 长 35 米， CB 长 80 米，设 A、 B 在同一水平面上，从 A 和 B 看 D 的仰角分别为 和 .
l 没有公共点，且曲线 C 上存在点 P1， P2 被直线 l 分隔，则称直线 l 为曲线 C 的一条分隔线 . ⑴ 求证：点 A（1,2）， B（ 1，0）被直线 x y 1 0 分隔；
⑵若直线 y
kx 是曲线
2
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3
2
n
n
10．一个用若干块大小相同的立方块搭成的立体图形，主视图和俯视图是同 一图形(如图)，那么搭成这样一个立体图形最少需要 个小立方块．
11．已知数据 3, 4, x, y,11 的均值为 6，方差为 8，则 x y =_____． 12． 在 ABC 中, 角 B 所对的边长 b 6 , ABC 的面积为15 ,外接圆半径 R 5 ， 则 ABC 的周长为_______． 13．抛物线 y 4mx( m 0) 的焦点为 F，点 P 为该抛物线上的动点，又点 A( m, 0) ，则
）
3
数”，下列函数不是 椭圆的“可分函数”为（ ．． （A） f ( x) = 4 x + x （B） f ( x ) ln
2
5 x x x -x （C） f ( x ) arctan （D） f ( x) = e + e 5 x 4
18．方程 lg x 4 (| x | 200)(| x | 202) 的解的个数为（ ） （A）2 (B）4 （C）6 （D）8 三．解答题（本大题满分 74 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号规 定的区域内写出必要的步骤． 19． （本题满分 12 分）本题共有 2 个小题，第（1）小题满分 6 分，第（2）小题满分 6 分. 如图，在直三棱柱 ABC A1 B1C1 中， AB AC ，
AA1 AB AC 1 ， ABC
线段 A1 B1 上．
4
， D 是 CC1 的中点，点 M 在
（1） 当 M 为 A1 B1 中点时， 求异面直线 DM 与 AB 所成角的大小； （2）指出直线 CC1 与平面 MAB 的位置关系（不用证明） ，并求三棱锥 D MAB 的体积． 20． （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第（1）小题满分 6 分，第（2）小题满分 8 分. 如图，ABCD 是边长为 10 海里的正方形海域.现有一架飞机在该海域失事，两艘海事搜 救船在 A 处同时出发，沿直线 AP 、 AQ 向前联合搜 索， 且 PAQ D Q C
上海市浦东新区 2014 年高考预测（二模） 数学（文）试卷
一．填空题（本大题满分 56 分）本大题共有 14 题，考生应在答题纸编号的空格内直接填写 结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分. 1．已知全集 U= 1,2,3,4,5 ，若集合 A= 2,3 ，则 U A =_____． 2．双曲线
4
（其中点 P 、Q 分别在边 BC 、CD
上） ，搜索区域为平面四边形 APCQ 围成的海平面.设
PAB ，搜索区域的面积为 S . （1）试建立 S 与 tan 的关系式，并指出 的取值范
围； （2）求 S 的最大值，并求此时 的值.
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P A
)
B
21. （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第（1）小题满分 6 分，第（2）小题满分 8 分. 已 知 定 义 在 N 上 的 函 数 f ( x ) ， 对 任 意 正 整 数 n1 、 n2 ， 都 有
2
PF PA
的最小值为
．
14． 已知函数 f ( x ) 的定义域为 1,2,3 ， 值域为集合 1, 2,3, 4 的非空真子集， 设 A 1, f (1) ，
B 2, f (2) ， C 3, f (3) ，且 BA BC AC 0 ，则满足条件的函数 f ( x) 有＿＿个．
7．一个与球心距离为 3 的平面截球所得的圆的面积为 ，则球的体积为 ____ ． 8．把 3 本不同的语文书、7 本不同的数学书随机的排在书架上，则语文书排在一起的概率 是____． 9．设 a R ，( ax 1) 的二项展开式中含 x 项的系数为 7， 则 lim(a a a ) ____．
1 1
x ，如果函数 y f x 的图像过点 2, 2 ，那么
x 1 的图像一定过点______． 6．已知数列 an 为等差数列，若 a1 a3 4 ， a2 a4 10 ，则 an 的前 n 项的和
S n _____．
*
f (n1 n2 ) 1 f (n1 ) f (n2 ) ，且 f (1) 1 .
（1）若对任意正整数 n ，有 an f (2 ) 1 ，求 a1 、 a2 的值，并证明 {an } 为等比数列； （2）若对任意正整数 n ， f ( n) 使得不等式 取值范围．
n
f (n) 3 log 2 ( x 1) 恒成立，求实 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在 答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分． 15． “ x 1 ”是“
1 1 ”的( x
) （B）必要而不充分条件
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（A）充分而不必要条件
（C）充分必要条件
（D）既不充分也不必要条件
16．设 x、y 均是实数，i 是虚数单位，复数 ( x 2 y ) (5 2 x y )i 的实部大于 0，虚部不 小于 0，则复数 z＝x＋yi 在复平面上的点集用阴影表示为下图中的（ ）
17．能够把椭圆
x2 + y 2 = 1 的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为椭圆的“可分函 4
x2 y 2 1 的渐近线方程为 9 16
．
3．函数 f x
sin x 4 cos x 的最大值为_______． 1 3
4． 已知直线 l1 : ax y 2a 1 0 和 l2 : 2 x a 1 y 3 0 a R ， 若 l1 l2 ， 则 a __． 5．函数 y f x 的反函数为 y f 函数 y f