大学文科数学_2011_1.7
2011年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标)解析版
2011年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）解析版参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合{0M =，1，2，3，4}，{1N =，3，5}，P M N =，则P 的子集共有( ) A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个【考点】1E ：交集及其运算 【专题】11：计算题【分析】利用集合的交集的定义求出集合P ；利用集合的子集的个数公式求出P 的子集个数．【解答】解：{0M =，1，2，3，4}，{1N =，3，5}， {1P MN ∴==，3}P ∴的子集共有224=故选：B ．【点评】本题考查利用集合的交集的定义求交集、考查一个集合含n 个元素，则其子集的个数是2n ． 2．（5分）复数5(12ii=- ) A ．2i -B ．12i -C ．2i -+D ．12i -+【考点】5A ：复数的运算 【专题】11：计算题【分析】将分子、分母同时乘以12i +，再利用多项式的乘法展开，将2i 用1- 代替即可． 【解答】解：55(12)212(12)(12)i i i i i i i +==-+--+ 故选：C ．【点评】本题考查复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数． 3．（5分）下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞上单调递增的函数是( ) A ．32y x =B ．||1y x =+C ．24y x =-+D ．||2x y -=【考点】3K ：函数奇偶性的性质与判断 【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用【分析】由函数的奇偶性和单调性的定义和性质，对选项一一加以判断，即可得到既是偶函数又在(0,)+∞上单调递增的函数．【解答】解：对于A ．32y x =，由3()2()f x x f x -=-=-，为奇函数，故排除A ；对于B ．||1y x =+，由()||1()f x x f x-=-+=，为偶函数，当0x >时，1y x =+，是增函数，故B 正确；对于C ．24y x =-+，有()()f x f x -=，是偶函数，但0x >时为减函数，故排除C ； 对于D ．||2x y -=，有()()f x f x -=，是偶函数，当0x >时，2x y -=，为减函数，故排除D ． 故选：B ．【点评】本题考查函数的性质和运用，考查函数的奇偶性和单调性及运用，注意定义的运用，以及函数的定义域，属于基础题和易错题．4．（5分）椭圆221168x y +=的离心率为( )A ．13B ．12C D 【考点】4K ：椭圆的性质 【专题】11：计算题【分析】根据椭圆的方程，可得a 、b 的值，结合椭圆的性质，可得c 的值，有椭圆的离心率公式，计算可得答案．【解答】解：根据椭圆的方程221168x y +=，可得4a =，b =则c ==则椭圆的离心率为c e a ==， 故选：D ．【点评】本题考查椭圆的基本性质：222a b c =+，以及离心率的计算公式，注意与双曲线的对应性质的区分．5．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是( )A．120B．720C．1440D．5040【考点】EF：程序框图【专题】5K：算法和程序框图【分析】执行程序框图，写出每次循环p，k的值，当k N<不成立时输出p的值即可．【解答】解：执行程序框图，有6N=，1k=，1p=1P=，k N<成立，有2k=2P=，k N<成立，有3k=6P=，k N<成立，有4k=24P=，k N<成立，有5k=120P=，k N<成立，有6k=720P=，k N<不成立，输出p的值为720．故选：B．【点评】本题主要考察了程序框图和算法，属于基础题．6．（5分）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为()A．13B．12C．23D．34【考点】CB：古典概型及其概率计算公式【专题】5I ：概率与统计【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是33⨯种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组有3种结果，根据古典概型概率公式得到结果． 【解答】解：由题意知本题是一个古典概型， 试验发生包含的事件数是339⨯=种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组， 由于共有三个小组，则有3种结果， 根据古典概型概率公式得到3193P ==， 故选：A ．【点评】本题考查古典概型概率公式，是一个基础题，题目使用列举法来得到试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，出现这种问题一定是一个必得分题目．7．（5分）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2(θ= ) A ．45-B ．35-C ．35D ．45【考点】GS ：二倍角的三角函数；5I ：直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系 【专题】11：计算题【分析】根据直线的斜率等于倾斜角的正切值，由已知直线的斜率得到tan θ的值，然后根据同角三角函数间的基本关系求出cos θ的平方，然后根据二倍角的余弦函数公式把所求的式子化简后，把cos θ的平方代入即可求出值． 【解答】解：根据题意可知：tan 2θ=， 所以222111cos sec tan 15θθθ===+， 则213cos22cos 12155θθ=-=⨯-=-．故选：B ．【点评】此题考查学生掌握直线的斜率与倾斜角之间的关系，灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题．8．（5分）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为( )A ．B ．C ．D ．【考点】7L ：简单空间图形的三视图 【专题】13：作图题【分析】由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，根据组合体的结构特征，得到组合体的侧视图． 【解答】解：由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体， 是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成， ∴侧视图是一个中间有分界线的三角形，故选：D ．【点评】本题考查简单空间图形的三视图，考查由三视图看出原几何图形，再得到余下的三视图，本题是一个基础题．9．（5分）已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直．l 与C 交于A ，B 两点，||12AB =，P 为C 的准线上一点，则ABP ∆的面积为( )A ．18B ．24C ．36D ．48【考点】KH ：直线与圆锥曲线的综合 【专题】44：数形结合法【分析】首先设抛物线的解析式22(0)y px p =>，写出次抛物线的焦点、对称轴以及准线，然后根据通径||2AB p =，求出p ，ABP ∆的面积是||AB 与DP 乘积一半． 【解答】解：设抛物线的解析式为22(0)y px p =>， 则焦点为(2p F ，0)，对称轴为x 轴，准线为2px =- 直线l 经过抛物线的焦点，A 、B 是l 与C 的交点， 又AB x ⊥轴||212AB p ∴== 6p ∴=又点P 在准线上 (||)622p pDP p ∴=+-==11()6123622ABP S DP AB ∆∴==⨯⨯=故选：C ．【点评】本题主要考查抛物线焦点、对称轴、准线以及焦点弦的特点；关于直线和圆锥曲线的关系问题一般采取数形结合法．10．（5分）在下列区间中，函数()43x f x e x =+-的零点所在的区间为( ) A ．1(4，1)2B ．1(4-，0)C ．1(0,)4D ．1(2，3)4【考点】52：函数零点的判定定理 【专题】52：导数的概念及应用【分析】根据导函数判断函数()43x f x e x =+-单调递增，运用零点判定定理，判定区间． 【解答】解：函数()43x f x e x =+-()4x f x e ∴'=+当0x >时，()40x f x e '=+>∴函数()43x f x e x =+-在(,)-∞+∞上为0(0)320f e =-=-<1()102f >1()204f = 11()()024f f <，∴函数()43x f x e x =+-的零点所在的区间为1(4，1)2故选：A ．【点评】本题考察了函数零点的判断方法，借助导数，函数值，属于中档题． 11．（5分）设函数，则()sin(2)cos(2)44f x x x ππ=+++，则( )A ．()y f x =在(0,)2π单调递增，其图象关于直线4x π=对称B ．()y f x =在(0,)2π单调递增，其图象关于直线2x π=对称C ．()y f x =在(0,)2π单调递减，其图象关于直线4x π=对称D ．()y f x =在(0,)2π单调递减，其图象关于直线2x π=对称【考点】5H ：正弦函数的单调性；6H ：正弦函数的奇偶性和对称性 【专题】57：三角函数的图象与性质【分析】利用辅助角公式（两角和的正弦函数）化简函数()sin(2)cos(2)44f x x x ππ=+++，然后求出对称轴方程，判断()y f x =在(0,)2π单调性，即可得到答案．【解答】解：因为()sin(2)cos(2))442f x x x x x πππ=++++=．由于cos 2y x=的对称轴为1()2x k k Z π=∈，所以y x =的对称轴方程是：()2k x k Z π=∈，所以A ，C 错误；c o s 2y x =的单调递减区间为222()k x k k Z πππ+∈剟，即()2k xk k Z πππ+∈剟，函数()y f x =在(0,)2π单调递减，所以B 错误，D 正确．故选：D ．【点评】本题是基础题，考查三角函数的化简，三角函数的性质：对称性、单调性，考查计算能力，常考题型．12．（5分）已知函数()y f x =的周期为2，当[1x ∈-，1]时2()f x x =，那么函数()y f x =的图象与函数||y lgx =的图象的交点共有( ) A ．10个B ．9个C ．8个D ．1个【考点】3Q ：函数的周期性；4N ：对数函数的图象与性质 【专题】16：压轴题；31：数形结合【分析】根据对数函数的性质与绝对值的非负性质，作出两个函数图象，再通过计算函数值【解答】解：作出两个函数的图象如上函数()y f x =的周期为2，在[1-，0]上为减函数，在[0，1]上为增函数 ∴函数()y f x =在区间[0，10]上有5次周期性变化，在[0，1]、[2，3]、[4，5]、[6，7]、[8，9]上为增函数， 在[1，2]、[3，4]、[5，6]、[7，8]、[9，10]上为减函数， 且函数在每个单调区间的取值都为[0，1]，再看函数||y lgx =，在区间(0，1]上为减函数，在区间[1，)+∞上为增函数， 且当1x =时0y =；10x =时1y =，再结合两个函数的草图，可得两图象的交点一共有10个，故选：A ．【点评】本题着重考查了基本初等函数的图象作法，以及函数图象的周期性，属于基本题． 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知a 与b 为两个垂直的单位向量，k 为实数，若向量a b +与向量ka b -垂直，则k = 1 ．【考点】9T ：数量积判断两个平面向量的垂直关系 【专题】11：计算题【分析】利用向量垂直的充要条件：数量积为0；利用向量模的平方等于向量的平方列出方程，求出k 值． 【解答】解：a b ⊥∴0a b =a b ka b +-与垂直∴()()0a b ka b +-=即220ka ka b a b b +--=1k ∴=【点评】本题考查向量垂直的充要条件、考查向量模的性质：向量模的平方等于向量的平方． 14．（5分）若变量x ，y 满足约束条件32969x y x y +⎧⎨-⎩剟剟，则2z x y =+的最小值为 6- ．【考点】7C ：简单线性规划 【专题】11：计算题【分析】在坐标系中画出约束条件的可行域，得到的图形是一个平行四边形，把目标函数2z x y =+变化为122zy x =-+，当直线沿着y 轴向上移动时，z 的值随着增大，当直线过A 点时，z 取到最小值，求出两条直线的交点坐标，代入目标函数得到最小值．【解答】解：在坐标系中画出约束条件的可行域， 得到的图形是一个平行四边形， 目标函数2z x y =+， 变化为122zy x =-+，当直线沿着y 轴向上移动时，z 的值随着增大， 当直线过A 点时，z 取到最小值， 由9y x =-与23x y +=的交点得到(4,5)A - 42(5)6z ∴=+-=-故答案为：6-．【点评】本题考查线性规划问题，考查根据不等式组画出可行域，在可行域中，找出满足条件的点，把点的坐标代入，求出最值．15．（5分）ABC ∆中，120B ∠=︒，7AC =，5AB =，则ABC ∆的面积为 ． 【考点】HP ：正弦定理；HR ：余弦定理 【专题】58：解三角形【分析】先利用余弦定理和已知条件求得BC ，进而利用三角形面积公式求得答案．【解答】解：由余弦定理可知225491cos 252BC B BC +-==-，求得8BC =-或3（舍负）ABC ∴∆的面积为11sin 5322AB BC B =⨯⨯=【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．在求三角形面积过程中，利用两边和夹角来求解是常用的方法．16．（5分）已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的316，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为13． 【考点】5L ：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；LG ：球的体积和表面积 【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】所成球的半径，求出球的面积，然后求出圆锥的底面积，求出圆锥的底面半径，即可求出体积较小者的高与体积较大者的高的比值．【解答】解：不妨设球的半径为：4；球的表面积为：64π，圆锥的底面积为：12π，圆锥的底面半径为：；由几何体的特征知球心到圆锥底面的距离，求的半径以及圆锥底面的半径三者可以构成一个直角三角形2，所以圆锥体积较小者的高为：422-=，同理可得圆锥体积较大者的高为：426+=； 所以这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为：13．故答案为：13【点评】本题是基础题，考查旋转体的体积，球的内接圆锥的体积的计算，考查计算能力，空间想象能力，常考题型． 三、解答题（共8小题，满分70分）17．（12分）已知等比数列{}n a 中，113a =，公比13q =．（Ⅰ）n S 为{}n a 的前n 项和，证明：12nn a S -=（Ⅱ）设31323log log log n n b a a a =++⋯+，求数列{}n b 的通项公式． 【考点】89：等比数列的前n 项和 【专题】15：综合题【分析】()I 根据数列{}n a 是等比数列，113a =，公比13q =，求出通项公式n a 和前n 项和n S ，然后经过运算即可证明．()II 根据数列{}n a 的通项公式和对数函数运算性质求出数列{}n b 的通项公式．【解答】证明：()I 数列{}n a 为等比数列，113a =，13q =1111()333n n n a -∴=⨯=，111(1)13331213n nn S --==- 又111322nna S --==12nn a S -∴= 1()3n nII a =31323333log log log log 3(2log 3)(log 3)n n b a a a n ∴=++⋯+=-+-+⋯+-(12)n =-++⋯+(1)2n n +=-∴数列{}n b 的通项公式为：(1)2n n n b +=-【点评】本题主要考查等比数列的通项公式、前n 项和以及对数函数的运算性质．18．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形．60DAB ∠=︒，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD ．（Ⅰ）证明：PA BD ⊥（Ⅱ）设1PD AD ==，求棱锥D PBC -的高．【考点】LF ：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW ：直线与平面垂直 【专题】11：计算题；14：证明题；15：综合题【分析】（Ⅰ）因为60DAB ∠=︒，2AB AD =，由余弦定理得BD ，利用勾股定理证明BD AD ⊥，根据PD ⊥底面ABCD ，易证BD PD ⊥，根据线面垂直的判定定理和性质定理，可证PA BD ⊥；()II 要求棱锥D PBC -的高．只需证BC ⊥平面PBD ，然后得平面PBC ⊥平面PBD ，作DE PB ⊥于E ，则DE ⊥平面PBC ，利用勾股定理可求得DE 的长．【解答】解：（Ⅰ）证明：因为60DAB ∠=︒，2AB AD =，由余弦定理得BD ， 从而222BD AD AB +=，故BD AD ⊥ 又PD ⊥底面ABCD ，可得BD PD ⊥ 所以BD ⊥平面PAD ．故PA BD ⊥．()II 解：作DE PB ⊥于E ，已知PD ⊥底面ABCD ，则PD BC ⊥，由()I 知，BD AD ⊥，又//BC AD ，BC BD ∴⊥．故BC ⊥平面PBD ，BC DE ⊥， 则DE ⊥平面PBC ．由题设知1PD =，则BD 2PB =．根据DE PB PD BD =，得DE =即棱锥D PBC - 【点评】此题是个中档题．考查线面垂直的性质定理和判定定理，以及点到面的距离，查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题能力．19．（12分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为A 配方和B 配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A 配方的频数分布表B 配方的频数分布表（1）分别估计用A 配方，B 配方生产的产品的优质品率；（2）已知用B 配方生产的一件产品的利润y （单位：元）与其质量指标值t 的关系式为2,942,941024,102t y t t -<⎧⎪=<⎨⎪⎩…… 估计用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B 配方生产的上述100件产品平均一件的利润．【考点】CH ：离散型随机变量的期望与方差 【专题】5I ：概率与统计【分析】（1）由试验结果先求出用A 配方生产的产品中优质品的频率和用B 配方生产的产品中优质品的频率，由此能分别估计用A 配方，B 配方生产的产品的优质品率． （2）由条件知，用B 配方生产的一件产品的利润大于0，当且仅当其质量指标值94t …．由试验结果知，质量指标值94t …的频率为0.96．由此能求出用B 配方生产的产品平均一件的利润．【解答】解：（1）由试验结果知，用A 配方生产的产品中优质品的频率为2280.3100+=， 所以用A 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3． 由试验结果知，用B 配方生产的产品中优质品的频率为32100.42100+=， 所以用B 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42．（2）由条件知，用B 配方生产的一件产品的利润大于0，当且仅当其质量指标值94t …．由试验结果知，质量指标值94t …的频率为0.96． 所以用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率估计值为0.96． 用B 配方生产的产品平均一件的利润为 1[4(2)542424] 2.68100⨯⨯-+⨯+⨯=（元)． 【点评】本题考查产品的优质品率的求法，考查产品平均一件的利润的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意频数分布表的合理运用．20．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上． （Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）若圆C 与直线0x y a -+=交与A ，B 两点，且OA OB ⊥，求a 的值． 【考点】1J ：圆的标准方程；8J ：直线与圆相交的性质 【专题】5B ：直线与圆【分析】（Ⅰ）法一：写出曲线与坐标轴的交点坐标，利用圆心的几何特征设出圆心坐标，构造关于圆心坐标的方程，通过解方程确定出圆心坐标，进而算出半径，写出圆的方程； 法二：可设出圆的一般式方程，利用曲线与方程的对应关系，根据同一性直接求出参数， （Ⅱ）利用设而不求思想设出圆C 与直线0x y a -+=的交点A ，B 坐标，通过OA OB ⊥建立坐标之间的关系，结合韦达定理寻找关于a 的方程，通过解方程确定出a 的值．【解答】解：（Ⅰ）法一：曲线261y x x =-+与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3+，0)，(3-，0)．可知圆心在直线3x =上，故可设该圆的圆心C 为(3,)t ，则有22223(1)t t +-=+，解得1t =，故圆C 3=，所以圆C 的方程为22(3)(1)9x y -+-=． 法二：圆220x y Dx Ey F ++++=0x =，1y =有10E F ++=0y =，2610x x -+=与20x Dx F ++=是同一方程，故有6D =-，1F =，2E =-，即圆方程为226210x y x y +--+=（Ⅱ）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，其坐标满足方程组22(3)(1)9x y a x y -+=⎧⎨-+-=⎩，消去y ，得到方程222(28)210x a x a a +-+-+=，由已知可得判别式△2561640a a =-->．在此条件下利用根与系数的关系得到124x x a +=-，212212a a x x -+=①，由于O AO B ⊥可得12120y x x y +=，又11y x a =+，22y x a =+，所以可得212122()0x x a x x a +++=②由①②可得1a =-，满足△2561640a a =-->．故1a =-．【点评】本题考查圆的方程的求解，考查学生的待定系数法，考查学生的方程思想，直线与圆的相交问题的解决方法和设而不求的思想，考查垂直问题的解决思想，考查学生分析问题解决问题的能力，属于直线与圆的方程的基本题型． 21．（12分）已知函数()1alnx bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为230x y +-=．（Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）证明：当0x >，且1x ≠时，()1lnxf x x >-． 【考点】6E ：利用导数研究函数的最值；6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程 【专题】15：综合题；16：压轴题；32：分类讨论；35：转化思想【分析】()I 据切点在切线上，求出切点坐标；求出导函数；利用导函数在切点处的值为切线的斜率及切点在曲线上，列出方程组，求出a ，b 的值．()II 构造新函数，求出导函数，通过研究导函数的符号判断出函数的单调性，求出函数的最值，证得不等式．【解答】解：221()()()(1)x a lnx b x I f x x x+-'=-+． 由于直线230x y +-=的斜率为12-，且过点(1,1)所以1122b a b =⎧⎪=-⎨-⎪⎩解得1a =，1b = ()II 由()I 知1()1lnx f x x x=++所以2211()(2)11lnx x f x lnx x x x--=---考虑函数21()2(0)x h x lnx x x-=->，则2222222(1)(1)()x x x h x x x x ---'=-=-所以当1x ≠时，()0h x '<而h （1）0=， 当(0,1)x ∈时，()0h x >可得21()01h x x >-； 当()()()211,,0,01x h x h x x ∈+∞-时可得从而当0x >且1x ≠时， ()()011lnx lnxf x f x x x ->>--即 【点评】本题考查导函数的几何意义：在切点处的导数值为切线的斜率、考查通过判断导函数的符号求出函数的单调性；通过求函数的最值证明不等式恒成立．22．（10分）如图，D ，E 分别为ABC ∆的边AB ，AC 上的点，且不与ABC ∆的顶点重合．已知AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程2140x x mn -+=的两个根．（Ⅰ）证明：C ，B ，D ，E 四点共圆；（Ⅱ）若90A ∠=︒，且4m =，6n =，求C ，B ，D ，E 所在圆的半径．【考点】7N ：圆周角定理；NC ：与圆有关的比例线段 【专题】11：计算题；14：证明题【分析】()I 做出辅助线，根据所给的AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程2140x x mn -+=的两个根，得到比例式，根据比例式得到三角形相似，根据相似三角形的对应角相等，得到结论．()II 根据所给的条件做出方程的两个根，即得到两条线段的长度，取CE 的中点G ，DB 的中点F ，分别过G ，F 作AC ，AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连接DH ，根据四点共圆得到半径的大小．【解答】解：()I 连接DE ，根据题意在ADE ∆和ACB ∆中，AD AB mn AE AC ⨯==⨯，即AD AEAC AB=又DAE CAB ∠=∠，从而ADE ACB ∆∆∽ 因此ADE ACB ∠=∠C ∴，B ，D ，E 四点共圆．（Ⅱ）4m =，6n =时，方程2140x x mn -+=的两根为12x =，212x =． 故2AD =，12AB =．取CE 的中点G ，DB 的中点F ，分别过G ，F 作AC ，AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连接DH ．C ，B ，D ，E 四点共圆，C ∴，B ，D ，E 四点所在圆的圆心为H ，半径为DH ．由于90A ∠=︒，故//GH AB ，//HF AC ．5HF AG ==，1(122)52DF =-=．故C ，B ，D ，E 四点所在圆的半径为【点评】本题考查圆周角定理，考查与圆有关的比例线段，考查一元二次方程的解，考查四点共圆的判断和性质，本题是一个几何证明的综合题．23．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos (22sin x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数）M 是1C 上的动点，P 点满足2OP OM =，P 点的轨迹为曲线2C （Ⅰ）求2C 的方程；（Ⅱ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，求||AB ．【考点】3J ：轨迹方程；4Q ：简单曲线的极坐标方程 【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】()I 先设出点P 的坐标，然后根据点P 满足的条件代入曲线1C 的方程即可求出曲线2C 的方程；()II 根据()I 将求出曲线1C 的极坐标方程，分别求出射线3πθ=与1C 的交点A 的极径为1ρ，以及射线3πθ=与2C 的交点B 的极径为2ρ，最后根据21||||AB ρρ=-求出所求．【解答】解：()I 设(,)P x y ，则由条件知(2x M ，)2y．由于M 点在1C 上，所以2cos 222sin 2xy αα⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩即4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩从而2C 的参数方程为 4cos (44sin x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数） （Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=． 射线3πθ=与1C 的交点A 的极径为14sin3πρ=， 射线3πθ=与2C 的交点B 的极径为28sin3πρ=．所以21||||AB ρρ=-=【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，以及轨迹方程的求解和线段的度量，属于中档题．24．设函数()||3f x x a x =-+，其中0a >． （Ⅰ）当1a =时，求不等式()32f x x +…的解集 （Ⅱ）若不等式()0f x …的解集为{|1}x x -…，求a 的值． 【考点】5R ：绝对值不等式的解法【专题】11：计算题；16：压轴题；32：分类讨论【分析】（Ⅰ）当1a =时，()32f x x +…可化为|1|2x -…．直接求出不等式()32f x x +…的解集即可．（Ⅱ）由()0f x …得||30x a x -+…分x a …和x a …推出等价不等式组，分别求解，然后求出a 的值．【解答】解：（Ⅰ）当1a =时，()32f x x +…可化为 |1|2x -…．由此可得3x …或1x -…． 故不等式()32f x x +…的解集为 {|3x x …或1}x -…．（Ⅱ）由()0f x …得 ||30x a x -+…此不等式化为不等式组 30x a x a x ⎧⎨-+⎩……或30x aa x x ⎧⎨-+⎩…… 即4x a a x ⎧⎪⎨⎪⎩……或2x a a x ⎧⎪⎨-⎪⎩……因为0a >，所以不等式组的解集为{|}2ax x -…由题设可得12a-=-，故2a =【点评】本题是中档题，考查绝对值不等式的解法，注意分类讨论思想的应用，考查计算能力，常考题型．。
2011年高考试题——数学文(全国卷)精校版
2011年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(必修+选修I)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷1至2页。
第Ⅱ卷3至4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷．．．．上作答无效．．．．．。
3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
一、选择题（1）设集合U={}1,2,3,4,{}1,2,3,M ={}2,3,4,N =则U=⋂ð（M N ） （A ）{}12， （B ）{}23， （C ）{}2，4 （D ）{}1，4（2）函数0)y x =≥的反函数为（A ）2()4x y x R =∈ （B ）2(0)4x y x =≥ （C ）24y x =()x R ∈ （D ）24(0)y x x =≥（3）设向量a,b 满足|a|=|b|=1,则2a b +=（A（B（C（D（4）若变量x ，y 满足约束条件63-21x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则=23z x y +的最小值为（A ）17 （B ）14 （C ）5 （D ）3（5）下面四个条件中，使a>b 成立的充分而不必要的条件是(A) 1a b >+(B) 1a b >-(C) a 2> b 2 (D) a 3> b 3(6) 设S n 为等差数列{}n a 的前n 项和，若a 1=1，公差d =2，S k +2-S k =24，则k =(A)8 (B)7 (C) 6 (D) 5（7）设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于（A ）13（B ）3 （C ）6 （D ）9(8) 已知直二面角α- l –β，点A ∈α，AC ⊥l ,C 为垂足，点B ∈β，BD ⊥l,D 为垂足.若AB =2，AC =BD =1，则CD =（A ） 2 （B （C （D ）1(9)4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有(A) 12种 (B) 24种 (C) 30种 (D)36种(10)设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，()f x =2(1)x x -，则5()2f -=(A) -12 (B)1 4- (C)14 (D)12(11)设两圆1C 、2C 都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离12C C =(A)4 (B) (C)8 (D)(12)已知平面α截一球面得圆M ， 过圆心M 且与α成060，二面角的平面β截该球面得圆N.若该球的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为(A)7π (B)9π (c)11π (D)13π第Ⅱ卷注意事项：1答题前，考生先在答题卡上用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚，然后贴好条形码。
[高考数学]2011年全国高考文科数学试题及答案-全国
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2011年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修+选修II ）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页。
第Ⅱ卷3至4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。
．．．．．．．．．． 3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
一、选择题1．设集合U={}1,2,3,4,{}1,2,3,M ={}2,3,4,N =则=⋂（M N ）ðA ．{}12，B ．{}23，C ．{}2，4D ．{}1，42．函数0)y x =≥的反函数为A ．2()4x y x R =∈ B ．2(0)4x y x =≥C ．24y x =()x R ∈D ．24(0)y x x =≥3．权向量a,b 满足1||||1,2a b a b ==⋅=-,则2a b +=ABCD4．若变量x 、y 满足约束条件6321x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则23z x y -+的最小值为A ．17B ．14C ．5D ．3 5．下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是 A ．1a b >+ B ．1a b >-C ．22a b >D ．33a b >6．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差为22,24k k d S S +=-=，则k=A ．8B ．7C ．6D ．57．设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于A ．13B ．3C ．6D ．98．已知二面角l αβ--，点,,A AC l α∈⊥C 为垂足，点,B BD l β∈⊥，D 为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则CD=A ．2BCD ．19．4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有 A ．12种 B ．24种 C ．30种 D ．36种 10．设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，()f x =2(1)x x -，则5()2f -=A ．-12B ．1 4-C ．14D ．1211．设两圆1C 、2C 都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离12C C =A ．4B ．C ．8D ．12．已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成060，二面角的平面β截该球面得圆N ，若该球的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为A ．7πB ．9πC ．11πD ．13π第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚，然后贴好条形码。
2011年新课标高考数学文科试卷带详解
2011年普通高等学校招生全国统一考试文科数学一、选择题1.设集合U ={}1,2,3,4,{}1,2,3,M ={}2,3,4,N =则U =（）I ðM N ( )A.{}12，B.{}23，C.{}2，4D.{}1，4【测量目标】集合的基本运算（交集、并集）.【考查方式】已知全集和两个集合，求两个集合交集的补集.【参考答案】D【试题解析】{2,3},(){1,4}U M N M N =∴=ðQ I I2.函数0)y x =…的反函数为 （ ） A.2()4x y x =∈R B.2(0)4x y x =… C.24y x =()x ∈R D.24(0)y x x =…【测量目标】反函数.【考查方式】给出函数解析式，求其反函数.【参考答案】B【试题解析】由原函数反解得24y x =,又原函数的值域为0y …,所以函数0)y x =…的反函数为2(0)4x y x =…. 3.设向量a ，b 满足||||1==a b ,12=-a b g ,则2+=a b （ ）【测量目标】向量的模，向量的数量积.【考查方式】已知两向量的模及其数量积，求模.【参考答案】B【试题解析】2221|2|||4414()432+=++=+⨯-+=a b a a b b g ,所以2+=a b4.若变量x ，y 满足约束条件6321x y x y x +⎧⎪--⎨⎪⎩………，则=23z x y +的最小值为 ( )A.17B.14C.5D.3【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.【考查方式】给出约束条件，求出目标函数在此区域的最小值.【参考答案】C【试题解析】作出不等式组表示的可行域，从图中不难观察当直线=23z x y +过直线1x =与332y -=-的交点（1，1）时取得最小值,所以最小值为5.5.下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是 （ ）A.1a b >+B.1a b >-C.22a b >D.33a b >【测量目标】充分、必要条件.【考查方式】结合不等式的性质考查充分、必要条件.【参考答案】A【试题解析】即寻找命题P ,使P a b ⇒>,且a b >推不出P ,逐项验证知可选A.6.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k =（ ）A.8B.7C.6D.5【测量目标】等差数列的前n 项和.【考查方式】已知等差数列的首项、公差和关于前k 项和与前k +2项和的关系，求出k 值.【参考答案】D 【试题解析】解法一：2(2)(1)(1)[(2)12][12]442422k k k k k k S S k k k +++--=+⨯+⨯-⨯+⨯=+=，解得5k =. 解法二:221[1(1)2](12)4424k k k k S S a a k k k +++-=+=++⨯++⨯=+=，解得5k =. 7.设函数()cos (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移π3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于 ( ) A.13B.3C.6D.9 【测量目标】三角函数图象变换.【考查方式】根据三角函数图象平移后的特点求参数值.【参考答案】C【试题解析】由题意将()y f x =的图像向右平移π3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了π3是此函数周期的整数倍,得2ππ()3k k ω⨯=∈Z ,解得6k ω=,又0ω>,令1k =,得min 6ω=.8.已知直二面角l αβ--,点A α∈，AC l ⊥,C 为垂足,B β∈，BD l ⊥,D 为垂足,若2,1AB AC BD ===，则CD =( )【测量目标】二面角.【考查方式】通过给出二面角，相关线段的长度，利用线面垂直的性质，求出CD 的长度.【参考答案】C【试题解析】因为l αβ--是直二面角,AC l ⊥,∴AC ⊥平面β,AC BC ∴⊥BC ∴=又BD l ⊥,CD ∴=9. 4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有( )A. 12种B. 24种C. 30种D.36种【测量目标】乘法原理，组合数的应用.【考查方式】根据题目的要求，利用排列与组合，求出其中的不同选法.【参考答案】A【试题解析】解本题分两步进行：第一步选出2人选修课程甲有24C 6=种方法，第二步安排剩余两人从乙、丙中各选1门课程有22A 2=种选法，根据分步计数原理，有6212⨯=种选法.10. 设()f x 是周期为2的奇函数，当01x 剟时，()f x =2(1)x x -,则5()2f -= ( )A.12-B.14- C .14 D.12【测量目标】函数的奇偶性，周期性.【考查方式】已知函数的周期、奇偶性及在某区间的解析式，求另一区间内的函数值.【参考答案】A【试题解析】由()f x 是周期为2的奇函数,利用周期性和奇偶性得:5511111()(2)()()2(1).2222222f f f f -=-+=-=-=-⨯⨯-=-11.设两圆1C 、2C 都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离12C C = ( )A.4B.【测量目标】圆的方程与两点间的距离公式.【考查方式】给出两圆的位置关系和通过相同的点，计算圆心的距离.【参考答案】C【试题解析】由题意知：圆心在直线y x =上并且在第一象限,设圆心坐标为(,)(0)a a a >,则a =,即210170a a -+=,所以由两点间的距离公式可求出128C C ===.12.已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成60二面角的平面β截该球面得圆N .若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为 （ ）A.7πB.9πC.11πD.13π【测量目标】二面角的概念与球的性质.【考查方式】给出平面与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，求出圆的面积.【参考答案】D【试题解析】如图所示,由圆M 的面积为4π知球心O 到圆M 的距离OM =在Rt OMN △中,30OMN ︒∠=, ∴12ON OM ==,故圆N 的半径r ==,∴圆N 的面积为2π13πS r ==.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.(注意：在试卷上作答无效．．．．．．．．) 13.10(1)x -的二项展开式中，x 的系数与9x 的系数之差为 .【测量目标】二项式定理.【考查方式】直接给出二项式，利用二项式展开式的通项公式，求出系数的差.【参考答案】0【试题解析】由11010C ()(1)C r r r r r r T x x +=-=-得x 的系数为10-,9x 的系数为910C 10-=-,所以x 的系数与9x 的系数之差为0.14.已知3π(π,)2α∈,tan 2α=,则cos α= . 【测量目标】同角三角函数的基本关系式.【考查方式】已知正切值，在α角范围的条件下，求出余弦值.【参考答案】【试题解析】3π(π,)2α∈,sin tan =2cos ααα==,因为3π(π,)2α∈时，cos α小于零，所以cos α=15.已知正方体1111ABCD A BC D -中，E 为11C D 的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为 .【测量目标】异面直线所成角.【考查方式】给出正方体，求出在正方体中异面直线所成角的余弦值. 【参考答案】23【试题解析】取11A B 的中点M 连接EM ，AM ，AE ，则AEM ∠就是异面直线AE 与BC所成的角.设正方形的边长为x ，在△AEM 中，222(2)(3)52cos 2233x x x AEM x x +-∠==⨯ . 16.已知1F 、2F 分别为双曲线C : 221927x y -=的左、右焦点，点A C ∈，点M 的坐标为(2，0)，AM 为12F AF ∠的平分线．则2||AF = .【测量目标】双曲线的简单几何性质.【考查方式】已知双曲线的方程、点的坐标和角的平分线，通过双曲线的第一定义，求出2||AF 的值.【参考答案】6【试题解析】Q AM 为12F AF ∠的平分线，∴2211||||41||||82AF MF AF MF === ∴12||2||AF AF = 又点A C ∈，由双曲线的第一定义得12222||||2||||||26AF AF AF AF AF a -=-===.三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(本小题满分l0分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．) 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S .已知26,a =13630,a a +=求n a 和n S .【测量目标】等比数列的通项和前n 项的和.【考查方式】直接给出2a 的大小和13a a 和的关系，求出n a 和n s .【试题解析】设{}n a 的公比为q ,由题设得12116630a q a a q =⎧⎨+=⎩解得132a q =⎧⎨=⎩或123a q =⎧⎨=⎩，（步骤1） 当13,2a q ==时，132,3(21)n n n n a S -=⨯=⨯-；(步骤2)当12,3a q ==时，123,31n n n n a S -=⨯=-.（步骤3）18.(本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．) △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a b c 、、.已知s i n s 2s i n s i na A c a Cb B +=. (Ⅰ)求B ；（Ⅱ）若75,2,A b ︒==a c 求，.【测量目标】正弦定理和余弦定理.【考查方式】通过给出三角形的边、关于边与角的正弦余弦的等式，求出未知量.【试题解析】(I)由正弦定理得222a c b += （步骤1）由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-.故cos B =，因此45B = （步骤2） （II ）sin sin(3045)A =+sin 30cos 45cos30sin 45=+= （步骤3） 故sin 1sin A a b B =⨯==sin sin 602sin sin 45C c b B =⨯=⨯=（步骤4） 19.(本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．) 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立.(I)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；(II)求该地3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率.【测量目标】独立事件的概率、对立事件的概率、互斥事件的概率及次独立重复试验发生k 次的概率.【考查方式】考查了独立事件、对立事件、互斥事件的的相互关系，以及独立重复试验发生k 次的概率的应用.【试题解析】记A 表示事件：该地的1位车主购买甲种保险;B 表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险;C 表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；D 表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买；E 表示事件：该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买.(I)()0.5P A =, ()0.3P B =, C A B =+（步骤1）()()()()0.8P C P A B P A P B =+=+= （步骤2）(II)D =C ,P (D )=1-P (C )=1-0.8=0.2, （步骤3）P (E )=123C 0.20.80.384⨯⨯=. （步骤4）20.(本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．) 如图，四棱锥S ABCD -中，AB P CD ,BC CD ⊥，侧面SAB 为等边三角形.2,1AB BC CD SD ====.(I)证明：SD ⊥平面SAB . (II) 求AB 与平面SBC 所成角的大小.【测量目标】线面垂直的判定和线面角的计算、空间直角坐标系.【考查方式】通过给出四棱锥，利用等边三角形SAB 这个条件，作出有关辅助线.【试题解析】解法一：(Ⅰ)取AB 中点E ，连结DE ，则四边形BCDE 为矩形，2DE CB ==，连结SE ，则SE AB ⊥，SE =又1SD =,故222ED SE SD =+,所以DSE ∠为直角.（步骤1）由AB DE ⊥,AB SE ⊥,DE SE E =I ,得AB ⊥平面SDE ,所以AB SD ⊥.SD 与两条相交直线AB 、SE 都垂直.所以SD ⊥平面SAB .（步骤2）解法二：由已知易求得，1,SD AD =2,SA =于是222SA SD AD +=.可知SD SA ⊥,同理可得SD SB ⊥,又SA SB S =I .所以SD ⊥平面SAB .（步骤3） (Ⅱ)由AB ⊥平面SDE 知，平面ABCD ⊥平面SDE .作SF DE ⊥,垂足为F ,则SF ⊥平面ABCD ,SD SE SF DE ⨯==. 作FG BC ⊥,垂足为G ,则1FG DC ==.连结SG ,则SG BC ⊥.又,BC FG SG FG G ⊥=I ,故BC ⊥平面SFG ,平面SBC ⊥平面SFG .（步骤4） 作FH SG ⊥,H 为垂足,则FH ⊥平面SBC .SF FG FH SG ⨯==,即F 到平面SBC 的距离为7.由于ED BC P ,所以ED P 平面SBC ,E 到平面SBC 的距离d 也为7.设AB 与平面SBC 所成的角为α,则sin 7d EB α==,arcsin 7α=.（步骤5） 解法二：以C 为原点,射线CD 为x 轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -. 设(1,0,0)D ,则(2,2,0)A 、(0,2,0)B .又设(,,)S x y z ,则0,0,0x y z >>>.(Ⅰ)(2,2,),(,2,),(1,,)AS x y z BS x y z DS x y z =--=-=-u u r u u r u u u r ,由||||AS BS =u u r u u r 得=故1x =.（步骤1）由||1DS =u u u r 得221y z +=,又由||2BS =u u r 得222(2)4x y z +-+=,即22410y z y +-+=,故1,2y z ==（步骤2）于是1331(1,(1,(1,(0,2222S AS BS DS =--=-=uu r uu r uu u r , 0,0DS AS DS BS ==u u u r u u r u u u r u u r g g .故,DS AS DS BS ⊥⊥,又AS BS S =I ,所以SD ⊥平面SAB . （步骤3）(Ⅱ)设平面SBC 的法向量(,,)m n p =a ,则,,0,0BS CB BS CB ⊥⊥==a a a a u u r u u r u u r u u r g g .又3(1,(0,2,0)2BS CB =-=uu r uu r ,故30,2220m n p n ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩（步骤4） 取2p =得(=a ,又(2,0,0),AB =-u u u r所以，cos ,||||AB AB AB <>==a a a uu u r uu u r g uu u r g 故AB 与平面SBC所成的角为arcsin 7. （步骤5） 21.(本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．). 已知函数()32()3(36)+124f x x ax a x a a =++--∈R(Ⅰ)证明：曲线()y f x =在0x =处的切线过点(2,2)；（Ⅱ）若()f x 在0x x =处取得最小值，0(1,3)x ∈，求a 的取值范围.【测量目标】导数的几何意义，利用导数判断参数的范围.【考查方式】直接利用导数的几何意义，求出切线的斜率，然后易写出切线方程.第（II ）问是含参问题，对方程()0f x '=的判别式进行分类讨论.【试题解析】解：（I ）2()3636f x x ax a '=++-（步骤1）由(0)124,(0)36f a f a '=-=-得曲线()y f x =在0x =处的切线方程为(36)124y a x a =-+-，由此知曲线()y f x =在0x =处的切线过点（2，2）（步骤2）（II ）由()0f x '=得22120x ax a ++-=.（i ）当11a剟时，()f x 没有极小值；（步骤3）(ii)当1a >或1a <时，由()0f x '=得12x a x a =-=-+故02x x =,由题设知13a <-，（步骤4）当1a >时，不等式13a <-<无解；当1a <时，解不等式13a <-<得512a -<<综合(i)(ii)得a 的取值范围是5(,1)2-.（步骤5） 22.(本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．).已知O 为坐标原点，F 为椭圆C ：2212y x +=在y 轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为的直线l 与C 交与A 、B 两点，点P 满足0OA OB OP ++=u u r u u u r u u u r r .(I)证明：点P 在C 上；(II)设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上.【测量目标】椭圆的简单几何性质、点与曲线的位置关系、曲线交点坐标求法及四点共圆的条件.【考查方式】根据给出的椭圆方程与直线方程的关系，平面向量的坐标运算，求出曲线交点坐标和四点共圆的条件.【试题解析】(I)(0,1)F ,l 的方程为1y =+,代入2212y x +=并化简得2410x --=. （步骤1）设112233(,),(,),(,)A x y B x y P x y ,则12x x ==121212)21,x x y y x x +=+=++=(步骤2)由题意得312312()()1,x x x y y y =-+==-+=-所以点P 的坐标为(1)2--.经验证点P 的坐标(1)2--满足方程2212y x +=,故点P 在椭圆C 上（步骤3）(II)由P (1)2--和题设知，Q (2，PQ 的垂直平分线1l 的方程为y x =. ①设AB 的中点为M ,则1)2M ,AB 的垂直平分线2l 的方程为124y x =+. ②由①、②得1l 、2l 的交点为1()88N -.（步骤4）||NP ==21||||2AB x x=-=||4AM=,||MN==,||NA==（步骤5）故||||NP NA=,又||||NP NQ=, ||||NA NB=,所以||||||||NA NP NB NQ===,由此知A、P、B、Q四点在以N为圆心,NA为半径的圆上.（步骤6）（II）法二：22tan11PA PBPA PBk kAPBk k-∠==+214()3x x-==(步骤1)同理22tan11QB QAQA QBk kAQBk k-∠==++214()3x x-==-（步骤2）所以,APB AQB ∠∠互补，因此A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上.（步骤3）。
2011年全国高考文科数学试题及答案-山东
2011年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科数学本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，共4页，满分150分。
考试用时120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证证、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。
3．第II 卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按能上能下要求作答的答案无效。
4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
参考公式：柱体的体积公式：V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高。
圆柱的侧面积公式：S cl =，其中c 是圆柱的底面周长，l 是圆柱的母线长。
球的体积公式：343V R π=，其中R 是球的半径。
球的表面积公式：24S Rπ=，其中R 是球的半径。
用最小二乘法求线性回归方程系数公式：12241ˆˆ,ni ii ni x y nx ybay bx xnx==-==--∑∑， 如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共l0小题．每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的． 1．设集合 M ={x|（x+3）（x-2）<0}，N ={x|1≤x ≤3},则M ∩N = A ．[1,2） B ．[1,2] C ．（ 2,3] D ．[2,3] 2．复数z=22ii-+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若点（a,9）在函数3xy =的图象上，则tan=6a π的值为A ．0 BC ．1D4．曲线211y x =+在点P （1，12）处的切线与y 轴交点的纵坐标是A ．-9B ．-3C ．9D ．155．已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a b c ++=3，则222a b c ++≥3”，的否命题是 A ．若a +b+c≠3，则222a b c ++<3 B ．若a+b+c=3，则222a b c ++<3 C ．若a +b+c≠3，则222a b c ++≥3D ．若222a b c ++≥3，则a+b+c=36．若函数()sin f x x ω= （ω>0）在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω=A ．23B ．32C ．2D ．37．设变量x ，y 满足约束条件250200x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数231z x y =++的最大值为A ．11B ．10C ．9D ．8．58．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表广告费用x （万元）4 2 35 销售额y （万元）49263954根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9．4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为A ．63．6万元B ．65．5万元C ．67．7万元D ．72．0万元9．设M （0x ，0y ）为抛物线C ：28x y =上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、FM 为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则0y 的取值范围是A ．（0，2）B ．[0，2]C ．（2，+∞）D ．[2，+∞）10．函数2sin 2xy x =-的图象大致是11．下图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正（主）视图、俯视图如下图；②存在四棱柱，其正（主）视图、俯 视图如下图；③存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如下图．其中真命 题的个数是 A ．3 B ．2 C ．1 D ．012．设1A ，2A ，3A ，4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312A A A A λ= （λ∈R ），1412A A A A μ=（μ∈R ），且112λμ+=,则称3A ，4A 调和分割1A ，2A ,已知点C （c ，o ）,D（d ，O ） （c ，d ∈R ）调和分割点A （0，0），B （1，0），则下面说法正确的是 A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C ，D 可能同时在线段AB 上D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上第II 卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生，为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽 取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为 ． 14．执行右图所示的程序框图，输入l =2，m=3，n=5，则输出的y 的值是15．已知双曲线22221(0b 0)x y a a b -=＞，＞和椭圆22x y =1169+有相同的 焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为 ．16．已知函数f x （）=log (0a 1).a x x b a +-≠＞，且当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f x （）的零点*0(,1),,n=x n n n N ∈+∈则 ．三、解答题：本大题共6小题，共74分． 17．（本小题满分12分）在∆ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知cos A-2cos C 2c-a=cos B b．（I ）求sin sin CA的值；（II ）若cosB=14，5b ABC 的周长为，求的长. 18．（本小题满分12分）甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．（I ）若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；（II ）若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．19．（本小题满分12分）如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，1D D ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，AB=2AD ，11AD=A B ，BAD=∠60° （Ⅰ）证明：1AA BD ⊥；（Ⅱ）证明：11CC A BD ∥平面．20．（本小题满分12分）等比数列{}n a 中，123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且123,,a a a 中的任何两个数不在下表的同一列．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足：(1)ln n n n n b a a =+-，求数列{}n b 的前2n 项和2n S ．21．（本小题满分12分）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为803π立方米，且2l r ≥．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为(3)c c ＞．设该容器的建造费用为y 千元． （Ⅰ）写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域； （Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的r ．22．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:13x C y +=．如图所示，斜率为(0)k k ＞且不过原点的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线3x =-于点(3,)D m -．（Ⅰ）求22m k +的最小值；（Ⅱ）若2OG OD =∙OE ，（i ）求证：直线l 过定点；（ii ）试问点B ，G 能否关于x 轴对称？若能，求出此时ABG 的外接圆方程；若不能，请说明理由．参考答案一、选择题1——12 ADDCABBBCCAD 二、填空题13．16 14．68 15．22143x y -= 16．2 三、解答题 17．解：（I ）由正弦定理，设,sin sin sin a b ck A B C=== 则22sin sin 2sin sin ,sin sin c a k C k A C Ab k B B ---== 所以cos 2cos 2sin sin .cos sin A C C AB B--= 即(cos 2cos )sin (2sin sin )cos A C B C A B -=-， 化简可得sin()2sin().A B B C +=+ 又A B C π++=，所以sin 2sin C A =因此sin 2.sin CA = （II ）由sin 2sin CA =得 2.c a =由余弦定得及1cos 4B =得 22222222cos 14444.b ac ac Ba a a a =+-=+-⨯= 所以2.b a = 又5,a bc ++= 从而1,a =因此b=2。
2011年全国高考文科数学试题及答案-北京
2011年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（文）本试卷共5页，150分.考试时间长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知全集U=R,集合P=｛x ︱x 2≤1｝,那么A ．(-∞, -1]B ．[1, +∞）C ．[-1，1]D ．（-∞，-1] ∪[1，+∞）2．复数212i i -=+ A ．i B ．-i C ．4355i -- D ．4355i -+ 3．如果,0log log 2121<<y x 那么A ．y< x<1B ．x< y<1C ．1< x<yD ．1<y<x4．若p 是真命题，q 是假命题，则A ．p ∧q 是真命题B ．p ∨q 是假命题C ．﹁p 是真命题D ．﹁q 是真命题5．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是A ．32B ．C ．48D ．6．执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为2，则输入的P 值为A ．2B ．3C ．4D ．57．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元.若每批生产x 件，则平均仓储时间为8x 天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均没见产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品 A ．60件B ．80件 C ．100件D ．120件8．已知点A （0,2），B （2,0）．若点C 在函数y = x 的图像上，则使得ΔABC 的面积为2的点C 的个数为A ．4B ．3C ．2D ．1第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9．在ABC ∆中.若b=5，4B π∠=，sinA=13，则a=___________________. 10．已知双曲线2221y x b-=（b ＞0）的一条渐近线的方程为2y x =，则b = . 11．已知向量a=，1），b=（0，-1），c=（k.若a-2b 与c 共线，则k=________________.12．在等比数列{a n }中，a 1=12，a 4=4，则公比q=______________；a 1+a 2+…+a n = _________________. 13．已知函数32,2()(1),2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩若关于x 的方程f （x ）=k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是_______14．设A （0,0）,B （4,0）,C （t+4,3），D （t,3）（t ∈R ）.记N （t ）为平行四边形ABCD 内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则N （0）= N （t ）的所有可能取值为三、解答题6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（本小题共13分）已知函数()4cos sin()16f x x x π=+-. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期：（Ⅱ）求()f x 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 16．（本小题共13分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树.乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示.（1）如果X=8，求乙组同学植树棵树的平均数和方差；（2）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率.（注：方差],)()()[(1222212x x x ns n -+-+-= 其中为n x x x ,,,21 的平均数） 17．（本小题共14分）如图，在四面体PABC 中，PC ⊥AB ，PA ⊥BC,点D,E,F,G 分别是棱AP,AC,BC,PB 的中点.（Ⅰ）求证：DE ∥平面BCP ；（Ⅱ）求证：四边形DEFG 为矩形； （Ⅲ）是否存在点Q ，到四面体PABC 六条棱的中点的距离相等？说明理由.18．（本小题共13分）已知函数()()xf x x k e =-. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）求()f x 在区间[0,1]上的最小值.19．（本小题共14分）已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>右焦点为（,0），斜率为I 的直线l 与椭圆G 交与A 、B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P （-3,2）.（I ）求椭圆G 的方程；（II ）求PAB ∆的面积.20．（本小题共13分）若数列12:,,,(2)n n A a a a n ⋅⋅⋅≥满足11(1,2,,1)k k a a k n +-==⋅⋅⋅-，则称n A 为E 数列，记12()n n S A a a a =++⋅⋅⋅+.（Ⅰ）写出一个E 数列A 5满足130a a ==；（Ⅱ）若112a =，n=2000，证明：E 数列n A 是递增数列的充要条件是n a =2011；（Ⅲ）在14a =的E 数列n A 中，求使得()n S A =0成立得n 的最小值.参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）D （2）A （3）D （4）D （5）B （6）C （7）B （8）A二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）325 （10）2 （11）1 （12）2 2121--n （13）（0，1） （14）6 6，7，8，三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（Ⅰ）因为1)6sin(cos 4)(-+=πx x x f所以)(x f 的最小正周期为π（Ⅱ）因为.32626,46πππππ≤+≤-≤≤-x x 所以于是，当6,262πππ==+x x 即时，)(x f 取得最大值2；当)(,6,662x f x x 时即πππ-=-=+取得最小值—1．（16）（共13分）解（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，所以平均数为方差为（Ⅱ）记甲组四名同学为A 1，A 2，A 3，A 4，他们植树的棵数依次为9，9，11，11；乙组四名同学为B 1，B 2，B 3，B 4，他们植树的棵数依次为9，8，9，10，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，它们是：（A 1，B 1），（A 1，B 2），（A 1，B 3），（A 1，B 4），（A 2，B 1），（A 2，B 2），（A 2，B 3），（A 2，B 4），（A 3，B 1），（A 2，B 2），（A 3，B 3），（A 1，B 4），（A 4，B 1），（A 4，B 2），（A 4，B 3），（A 4，B 4）， 用C 表示：“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件，则C 中的结果有4个，它们是：（A 1，B 4），（A 2，B 4），（A 3，B 2），（A 4，B 2），故所求概率为.41164)(==C P （17）（共14分）证明：（Ⅰ）因为D ，E 分别为AP ，AC 的中点，所以DE//PC 。
大学文科数学及试题答案
东莞理工学院（本科）清考试卷参考答案2010 2011 学年第二学期《大学文科数学》清考试卷参考答案开课单位：数学教研室 考试形式：闭、开卷，允许带 入场题序得分评卷人一二总分一、选择填空题（共70 分每空2 分）1、设函数f (x )=4-x 2+ln(x -1)，则函数f (x )的定义域为（C ） A) (1,2), B) [1,2], C) (1,2], D) [1,2). éù=2、设f (x )=x ,j (x )=cos x ，则lim f ëj (x )û(Bp2x ®2) A) cosp 242, B) 0, C) 1, D) 1. 2éù¢=3、设f (x )=x ,j (x )=sin x ,j ëf (x )û({}C )A) sin 2x, B) 2sin x , C) 2x cos x 2, D) cos x 2. 4、极限limx ®1x2-1=(3x +3x -4B) A) 11, B) , C) 0, D) 1. 2335.极限lim 3x 3-x +1=(B x ®¥2x +x -1A) 1, B) ). 32, C) 0, D) . 236.下列命题中正确的是( A ) 11A) lim x ®¥x sin x =1, B) lim x ®0x sin x =1, 1sin xC) lim x sin =0, D) lim =0. x ®¥x ®0x x =æ+1öx÷，则lim f (x )=(B 7、若函数f (x )ç1) x ®+¥x èø1A) 1, B) e , C) e , D) 0. =æ+1öx÷，则lim f (x )=(A) 8、若函数f (x )ç1x ®0+x èøA) 1, B) e , C) 3x ®0f (x )=2，则9、设f (x )=x +ax +b ，且f (1)=3，lim 1, D) 0. e(D ) A) a =2,b =0, B) a =-2,b =1, C) a =2,b =-1, D) a =0,b =2. 10、设f (x )=1-x，则f ¢(0)=(1+x2A) A) -2, B) -1, C) 0, D) 2. 11、曲线y =-x +1单调上升区间为( A ) A) (-¥,0], B) (-¥,1], C) [0,+¥), D) [1,+¥). 212、曲线y =x 在点(1,1)的切线方程为( C ) A) y -1=-(x -1), B) y 11-=(x -1), 2C) y -1=2(x -1), D) y -1=x -1. 13、若f (x )=x +5x -1，则f5(5)(x )=( D ) A) 0, B) 12, C) 24, D) 120. 14、当x =(3B)时，函数f (x )=x-3x +2取得极大值，该极大值等于4；A) 1, B) -1, C) 0, D) 3. 15.当x =1时，函数f (x )=x -3x +1取得极小值，该极小值等于( B ). 3A) 0, B) -1, C) -2, D) -3. 16、设函数f (x )=ìísin x ,x ³0,pî3x 2,x <0.则òf (x )dx =(C) 0A) 0, B) 1, C) 2, D) 3. 17、设函数f (x )=ìísin x ³2x ,0,则f Cî3x ,x <0.-ò1(x )dx =() A) -1, B) 0, C) 1, D) -2. 18、设函数f (x )=ìísin x ,x ³0,p则Dî2x ,x <0.òf (x )dx =() -1A) 0, B) 1, C) 2, D) 3. 319、积分ò11x 2dx =(B) +A) p 2, B) pp p 3, C) 4, D) 6. 20.p积分ò(2x -cos x )dx =(A) 222A) p , B) p -1, C) p -2, D) p21、积分òx cos xdx =(C) 0A) 0, B) -1, C) -2, D) -3. 1x22、积分òe 2+1dx =(C)2(e 3A) e -1), B) e , C) 1e (e 2-1), D) 1e 3. 22123、若òke x dx =1，则数k =(B)A) 1, B) 1e -1, C) 11e, D) e +1. 2p. 24.曲线y =x ,y =x 围成的平面图形的面积的( C ) A) 1, B) 1, C) 1, D) 1. 223612æ10-1öææ1-10öç÷=-ç÷A B ç÷çç011÷，则AB =ç25、设矩阵=ç011÷，-ç÷çè001øè000øè--1-2öææ0öç11-÷ç1-÷1÷, B) ç011÷, A) ç01ç÷ç÷è000øè002øæ10ç-C) ç11çè0-1æ1ç026. 设矩阵A =ççæ100ö0ö÷ç÷0÷, D) ç110÷. ÷ç÷0øè-21-2øæ1-10öæ0-1öç÷T T =-÷B B ç01ç11÷1÷，则A =ç，÷-ç÷çè001øè00øèAö÷÷ ÷øCö÷÷ ÷øæ1-10öæ1-1-2öç÷ç÷01-1÷01-1÷A) ç, B) ç, 000002èøèøæ1ç-C) çç1è0æ100ö0ö÷ç÷ç÷. 10÷110, D) ÷ç---÷10ø2øè21-112öæç÷=-11÷，当l =(27、设矩阵A ç0ç÷è00l øæ121ö=çç021÷÷÷，则r (A )=(28.设矩阵A çè021øD)时，A =2；A) -2, B) -1, C) 1, D) 2. )A) 0, B) 1, C) 2, D) 3. 29.设A 为三阶方阵,且A =3,则-2A =(D )A) -6, B) 6, C) 24, D) -24. ææx 1öæ0ö1-10öç÷=-çx 2÷÷，b =çç0÷÷. 则当l ¹(1÷，x =ç30.设矩阵A ç0l ç÷ç÷ç÷è002øèx 3øè1øC)时，线性方程组Ax =b 有唯一解 A) -2, B) -1, C) 0, D) 1. D)是线性方程组Ax =b 的解 31、设向量x 1,x 2是线性方程组Ax =b 的两个解，则(A) x 1+x 2, B) x 1-x 2, C) 2x 1+x 2, D) 2x 1-x 2. 32、设向量x 1,x 2是线性方程组Ax =b 的两个解，则(A)是线性方程组Ax =0的解 A) x 1-x 2,B) x 1+x 2,C) 2x 1+x 2,D) 2x 1-x 2.æ110öç÷=-1÷33、设矩阵A çç0l 1-÷，当l ¹(01øè0D)时，矩阵A 可逆；A) -2,B) -1,C) 0,D) 1.112öæ-÷,M =æçA 34、设矩阵M =çè37øèö÷.øææ7-2ö7-3öç÷ç÷,,B) A) è-31øè-21øC) ç7ææ-ö3ö÷,D) ç12÷.è21øè3-7øæ100ö1ç÷-35.设矩阵M =ç020÷,则M =(B ).ç÷è003ø300100æöæöç÷ç÷,0÷A) ç020÷,B) ç01/2ç÷ç÷è001øè001/3ø--ææ00öç100ö÷ç1÷0÷.C) ç0-20÷,D) ç0-1/2--3ø01/3øè00è0二、填空题（共30 分每空3 分）1.设函数f (x )=arctan2.若函数y =5x =5e3.若函数f (x )=e x +1x 1，则函数f (x )的定义域为(x ÎR \{-2}) 2+xx ln x ，则y ¢=5x (1+ln x ) (n )(x )，则f (x )=(e +x 1) 1cos x 1-() 4. 极限lim =2x ®0x 2x +sin x ®+¥x 5. 极限x lim =(1) +æ+ö1ln x =ç1+26.不定积分 òx dx è2(1ln x )C ÷ø7. 定积分ò1-12xdx =(2) 111100A =çA 100=çæöæö÷÷8.设矩阵,则0101èøèø1239.行列式231=(321-12) x x x ìæx 1öæ-1öï1+32-23=0,ç÷=ç÷的通解为çx 2÷c ç1÷10.齐次线性方程组íç÷ç÷ïx x x 2-3=0.îè3øè1ø南京晓庄学院大学文科数学课程考试试卷2010 –2010– 2011 学年度第 2011学年度第一学期院（系）级 共共页教研室主任审核签名：院（系）领导审核签名：院（系）领导审核签名：命题教师：数信院公共教研室数信院公共教研室 校对人：校对人：班级姓名学号得分序号得分阅卷人复核人一二三四总分一、选择题（每小题3分，共15分）1.下列函数为初等函数的是( B )(A).sin x -2(B).y =2-cos xìx 2-1ì1+x x ¹1ï(C).y =ïíx 0-1x 1(D).y =íîx =î2.当x →0时，与sin x 等价的无穷小是( A )x <0x ³0(A)x +x (B)x sin x (C)3tan x (D)2x2f (0)-f (-x )x ®03设f ¢(0)存在，则lim ＝( D )x (A)-f ¢(0) (B)-2f ¢(0) (C)2f ¢(0) (D)f ¢(0)4.物体在某时刻的瞬时速度，等于物体运动在该时刻的（ D 物体在某时刻的瞬时速度，等于物体运动在该时刻的（ D ） D ）(A)函数值(A)函数值 (B)函数值 (B)极限 (B)极限 (C)极限 (C) 积分 (C)积分 (D)积分 (D)导数 (D)导数导数5.若f (x )的导函数是sin x ，则f (x )有一个原函数为（ C 有一个原函数为（ C ） C ）(A)1+cos x(B)x +sin x (C)x -sin x (D)1-cos x二、填空题（每小题3分，共15分）1.设函数cos x , x <0ì()在x =0点连续，则a =____1_____.f x =í-x a x ,0-³î2.设f (x )=x , 则,则f ¢[f (x )]= ____2x _ ____ .223．lim sin x =x ®+¥x4. 曲线.曲线y =1在点（1,1)在点（1,1)处的法线方程为1,1)处的法线方程为处的法线方程为y =xx5.(1-cos x )dx =x -sin x +c .ò三、计算题（每小题5分，共40分）1.求函数f (x )=ln(2x -1)+219-x 2的定义域.解：9-x >0且2x -1>0,所以函数f (x )=ln(2x -1)+2.设y =ln(2-x )，求其反函数19-x 2的定义域：1<x <32y y x 解：由e =2-x 得x =2+e 所以函数y =ln(2-x )的反函数是：y =2+e ，x Î(-¥,+¥)x (e x -1)3.求极限limx ®0sin 2xx (e x -1)lim x lim e x -11lim e x 1解：lim ==×=x ®0sin 2x x ®0sin x x ®0x ®01x 4.求极限limtan x -xx ®0x 3tan x -x=解：sec 2x -1limx ®0limx ®0x 323x =1-cos 2xx ®022x ®0sin 2x21=32lim3x cos x =lim 3x 5.已知y =ln(x +1)-ln x ，求dy解：因为y ¢x 2-12x1d x =2-所以dy =2x x x +1x(+1)6求y =e 2x cos x 的微分y ¢y x x 2x 解：¢=2e cos x -e sin x =e (2cos x -sin x )-1x7.求不定积分òx 2dx 22-é-ù=1x 11dx 解：=òx 2òêx 2x údx ûeë8.求定积分x 2ln xdxò1e1x x =d d ---ln x +Còx 2òx x 11解：ò1e é3ù-x 1ú =1(2e 3+1)x 2ln xdx =êx 3ln x9û19ë3四、综合应用题（每小题10分，共30分）1.证明方程x ×2-1=0至少有一个小于1的正实数根.x 解：令f (x )=x ×2-1，f (0)=-1<0 ,f (1)=1>0,f (x )闭区间[0,1]上连续，x 由根的存在性定理，有x Î(0,1)，使得f (x )=0 ,即x ×2-1=0至少有一个小于1的正实数根2.欲做一个体积为72立方厘米的带盖箱子，其底面长方形的两边成一比二的关系，怎样做法所用的材料最省？解：设底面长方形的两边的边长为x 厘米，2x 厘米，则高为表面积S =(x .2x ).2+(x .求导,x7236=2厘米x .2x x 36362162x x ).2(2.).24+=+x x 2x 2216S =8x -x 2=0所以在区间(0,+¥)上只有唯一的驻点x =3又因为在实际问题中存在最值，所以驻点x =3就是所求的最值点。
2011年高考全国卷文科数学解析版
2011年高考(全国卷)文科数学解析版第Ⅰ卷一、选择题（1）设集合{}1,2,3,4U =，{}1,2,3M =，{}2,3,4N =。
则()=U C M N（A ）{}1,2 （B ）{}2,3 （C ）{}2,4 （D ）{}1,4 [答案]（D ）[解析]依题意知答集中的元素不在集合M N 中，2M N ∈ ，∴排出（A ）、（B ）、（C ），故选（D ）。
（2）函数0)y x =≥的反函数为（A ）2()4x y x R =∈ （B ）2()4x y x =≥0 （C ）()24y x x R =∈ （D ）24()y x x =≥0[答案]（B ）[解析]依题意知原函数的值域不会是负数，即反函数的定义域是x ≥0，∴排出（A ）、（C ），又点()1,2在原函数上，∴点()2,1必在反函数上，再排出（D ），故选（B ）（3）设向量a 、b 满足1a b == ，12a b ⋅=- ,则2a b +=（A（B（C（D[答案]（B ）[解析]运用公式得：()22222222()(2)2244a b a ba b a b a b a b +=+=++⋅=++⋅1423=+-=2a b ∴+=，故选（B ）（4）若变量x 、y 满足约束条件6321x y x y x +≤⎧⎪-≤-⎨⎪≥⎩，则23z x y =+的最小值为（A ）17 （B ）14 （C ）5 （D ）3[答案]（C ）[解析]（如图）显然当目标函数23z x y =+过直线1x =与32x y -=-的交点(1，1) 时取得最小值5，故选（C ）（5）下面四个条件中，使a >b 成立的充分而不必要的条件是（A ）1a b >+ （B ）1a b >- （C ）22a b > （D ）33a b >[答案]（A ）[解析] 1a b b a b >+>⇒> ，而反之不成立，故选（A ）（6）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k =（A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）5[答案]（D ）[解析] 21211242422241112115k k k k k k S S a a a a k k +++++-=⇒+=⇒+=⇒=⇒+=⇒=故选（D ）（7）设函数()cos (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于（A ）13（B ）3 （C ）6 （D ）9 [答案]（C ）[解析]因为，()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合 所以，函数()cos (0)f x x ωω=>的周期的整数倍是3π即，2()63k k Z k ππωω⋅=∈⇒=，又0ω>，1k ∴=时，ω取得最小值6。
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1.7 积分应用 1. 由直线 x=a, x=b (a<b), x 轴 与曲线 y=f (x)>0(<0),围成的曲 边梯形D的面积
（1）设直线 设直线
y = f ( x)
D
O a x x + dx
b x
xHale Waihona Puke 与曲线所围曲边梯形的面积为A， 所围曲边梯形的面积为 ，则
b
dA = f (x) dx ⇒ A = ∫a f (x)dx.
a a b b
D
y = g(x)
O a
x x + dx
= ∫ [ f (x) −g(x) ]dx.
a
b
b x
如右图所示。 如右图所示。
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1.7 积分应用
不成立,则将x 轴向下平移充分大的k （2）若 g ( x) ≥ 0 不成立,则将 轴向下平移充分大的 个单位 轴上方，如下图所示。 至 x 1 ,使得图形 位于 x1轴上方，如下图所示。于是 轴 使得图形D
o
y2 = x
y = x−2
1
(1, −1)
2
4
x
f ( x ) = x , x ∈ [0,4]， − x , x ∈ [0,1] 围成， 围成， g ( x) = x − 2, x ∈ [1,4]
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1.7 积分应用
y
因此由公式1.7.1，有 ， 因此由公式
y =x
2
(4 , 2)
第一章微积分
1.7积分应用
1.7 积分应用
主要教学内容： 变化率的反问题（不讲） *变化率的反问题（不讲） 用定积分计算面积 定积分一般应用举例（不讲） *定积分一般应用举例（不讲） 可分离变量的微分方程（不讲） *可分离变量的微分方程（不讲） 几种数学模型（不讲） *几种数学模型（不讲）
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1.7 积分应用
（2）设直线 设直线
x轴与曲线
b
所围曲边梯形D 的面积为A， 所围曲边梯形 的面积为 ，则 于是由（ ） 于是由（1）有
y = − f ( x)
A = ∫ − f (x)dx
a
=−∫ f (x)dx.
a
b
O
a
利用图形关于x 轴的对称性，即得结果。） （ 利用图形关于 轴的对称性，即得结果。）
0 1
1
x
2 3 x3 1 1 = ( x2 − ) = . 3 3 0 3
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1.7 积分应用
所围图形的面积 例3. 计算抛物线 y2 = x与直线 y = x − 2 所围图形的面积 . y 解法一: 作为积分变量， 解法一:选取 x 作为积分变量，由 (4 , 2) 得交点 (1, −1) , (4, 2) ， 将图形看成由 x = 0, x = 4 与
y = x−2
A=
∫ =∫ [ = 2∫
0 1 0
4
[ f ( x ) − g ( x )] dx x − ( − x )] dx + x dx +
o
1
(1, −1)
2
4
x
∫
4
1
[ x − ( x − 2)]dx
1
0
∫
4
1
[ x − x ] dx + 6
2 3 1 2 3 4 x2 4 9 2 2 = 2⋅ x + x − +6 = . 0 3 1 3 2 1 2
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1.7 积分应用
解法二： 作为积分变量， 解法二：选取 y 作为积分变量，图形 2 是由 x = y 2与x = y + 2 围成， 于是 围成， 由公式1.7.2 有 由公式
A = ∫ [( y + 2) − y 2 ]dy
−1 2
y
x= y
( 4 , 2)
2
x = y+2
o
-1
D
y = f ( x)
bx
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1.7 积分应用 2. 由直线 x=a, x=b (a<b)与曲线y=f (x), y=g (x), f ( x) ≥ g ( x) 围成图形D的面积 A
y = f ( x)
（1）若 g ( x ) ≥ 0 ,则
A = ∫ f (x) dx − ∫ g(x) dx
(1, −1)
2
x
2 y3 2 9 y2 2 = + 2y − = . −1 3 −1 2 2 −1
上述两种解法哪个更简便？ 上述两种解法哪个更简便？
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1.7 积分应用
小结. 计算平面图形面积的步骤: 小结 计算平面图形面积的步骤 （1）作图，写出边界线的方程，并求出边界线彼此的交点坐标； ）作图，写出边界线的方程，并求出边界线彼此的交点坐标； （2）考察图形是否具有对称性，以简化计算，必要时分割图形； ）考察图形是否具有对称性，以简化计算，必要时分割图形； 计算， （3）对分割出的每块图形按照公式 ）对分割出的每块图形按照公式1.7.1或1.7.2计算，最后总合。 或 计算 最后总合。
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1.7 积分应用
§1.7.1 用定积分计算面积
1. 由直线 x=a, x=b (a<b), x 轴与曲线 y=f (x)>0(<0), 围成的曲边梯形D的面积 2. 由直线 x=a, x=b (a<b)与曲线y=f (x), y=g (x) ( f ( x) ≥ g ( x) ) 围成图形D的面积 3. 由直线y=c, y=d与曲线 x = ϕ ( y ), x = ψ ( y ) 围成图形 D的面积 4. 一般图形D的面积的计算
围成，因此由公式 围成，因此由公式1.7.1有 有
a
2
o xx +d x
a x
π 令 =asint x x2 4b a 2 2 A = 4∫ b 1− 2 d x = ∫ a − x d x = 4ab∫ 2 cost dsin t 0 0 a a 0
= 2ab∫ (1+ cos 2t) dt = 2ab( + 0) = π ab. 2 特别地， 特别地，当a=b 时，即得圆的面积公式 A = π a 2。
O
D2
D1
D3
a b c x
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1.7 积分应用
例1. 求椭圆 所围图形的面积 .
y
A = π a2
b
y
由对称性， 解: 由对称性，椭圆的面积是第一象限 图形面积的4 而这部分图形可看成 图形面积的4倍, 而这部分图形可看成
x 由 x = 0, x = a与 y = 0, y = b 1 − 2 a
d
x = ψ ( y)
ψ 公式1.7.2 A = ∫c [ϕ ( y ) − ( y)] d y 公式
c
注：此时积分变量为y 。 此时积分变量为
O
d
D
x = ϕ ( y)
x
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1.7 积分应用 4. 一般图形D的面积的计算
一般图形的面积计算可以通过与 x 轴或y 轴平行的直线分割D成前面 轴或 轴平行的直线分割 成前面 所列的图形，然后再进行计算总和。 所列的图形，然后再进行计算总和。 右图用x=a,x=b和x=c将整个图形 和 右图用 将整个图形 分为三个部分 D1 , D2 , D3 。 如果用与x 轴平行的直线分割D 如果用与 轴平行的直线分割 ， 情形怎么样？ 情形怎么样？
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谢谢！
A = ∫ [ f (x) − g(x)]dx.
a b
y = f ( x)
D
b
公式1.7.1 A = ∫a [ f ( x) − g( x)] dx. 公式 注：此时积分变量为x。 此时积分变量为 。
O a
y = g(x)
b x
x1
-k
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1.7 积分应用 3. 由直线y=c, y=d与曲线 x = ϕ( y) , x =ψ ( y) 围成图形D 的面积 A
2 0
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π
π
1.7 积分应用
例2. 计算两条抛物线 的面积。 的面积。 解: 由 在第一象限所围图形
y
y = x2
(1,1 )
y2 = x
) 得交点 (0, 0) , (1, 1
1
图形可看成由
o
围成，于是，由公式 围成，于是，由公式1.7.1有 有
A = ∫ ( x − x2 ) dx