大学文科数学全部公式课件
大学文科数学全部公式
A B AB A AB
3. 概率的计算方法
直接计算 P(A) A中包含的样本点个数
tan xdx ln cos x C . cot xdx ln sin x C .
不定积分的分部积分法
分部积分法常用于被积函数是两种不同类型函数乘积的积分，
如 x na x dx ， x n sin xdx ， x n arctan xdx ， e x cos xdx 等.
（4）若 lim
x 是 x 的 k 阶无穷小量.
k
L ( L 0, k 0) ，则称 x0 时，
重要结论：
1 x, 当 x 0 时, loga (1 x) ～ lna
ln( 1 x ) ～ x ,
e x 1 ～ x ,
a 1 ～ x lna ,
x
(1 x) 1 ～ x.
（1）齐次方程组(1)只有零解 R( A) n (未知量的个数). （2）齐次方程组(1)有非零解 R( A) n (未知量个数). 有n个未知数n个方程的齐次线性方程组 有非零解的充要条件是它的系数矩阵行列式 A 0.
求解齐次线性方程组的一般步骤：
① 对系数矩阵A施行初等行变换化为行最简矩阵； ② 由行最简矩阵写出对应的同解方程组； ③令同解方程组中的自由未知量分别为 c1 , c2 ,, cnr ,
1 y C ] ， 3
1 4 故原方程的通解为 x y Cy . 3
行列式的计算
三种常用方法
三角法 ： 根据行列式的特点，利用行列式的性 质，把它逐步化为三角行列式，然后求得其值。
降阶法 ： 利用行列式按行（列）展开法则降阶， 把它降为较低阶的行列式，然后求解；通常此法需 结合化简性质运用。 通过降阶法建立起行列式与其同形的 递推法 ： 较低阶的行列式的关系式--------递推关系式，然后由 递推关系式求解其值。
《大学文科数学》PPT课件
y − 8 = 12⋅(x − 2) ，即
12x − y − 16 = 0 ．
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1.3 导数与微分
注:(1) 一般情况下，给定函数y=f(x)在某个区间X 内 每一点都可导，这样可求出X 内每一点的导数y′(x)， x∈X．于是y′(x)成为X 内有意义的一个新函数，它 称为给定函数y = f(x)的导函数，且常常省略定义中 的字样“在x 点处关于自变量的”，甚至简称为 “f(x)的导数”．
表列出t = 2 开始的各个时间段内的平均速度：
t 时刻的瞬时速度：
在t=2 时刻的瞬时速度是：
v(2)=2g≈2×9.8=19.6(m/s)
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1.3 导数与微分
2. 经济学函数的边际（不作为基本要求）
边际：导数在经济理论中的别名．
设y=f(x)是某个经济学函数．经济学把自变量在 x0处变化一个单位所引起的函数变化称为函数f(x) 在x0 处的边际变化．自变量单位的大小可能引起 大小不同的误差．比如成本函数C=C(x)，自变量 x 是产量，用吨作单位与千克作单位，引起的成
量Δx 的微分，记作
d y = f′(x0) Δx .
注1. 微分依赖于两个因素：
(1)函数的导数f′(x0)；
(2)自变量的改变量Δx．
一旦x0 取定，导数f′(x0)也就取定，此时微分 仅与Δx 成正比，比例系数即 f′(x0)．
( x n ) ' nx n 1 ,
(log
a
x)'
1 x ln
a
, (ln
x)
1。 x
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1.3 导数与微分
大学文科数学-张国楚-定积分
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1.3求定积分过程中的辨证思维
无论是求曲边梯形的面积,还是求变力作 功,初等数学都无法解决,而高等数学可迎 刃而解. 定积分中的极限方法可以使有关常量与 变量、变与不变等矛盾的对立双方相互 转化，从而化未知为已知，体现了对立 统一法则。同时也体现了否定之否定法 则。
.
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1.4可积条件
定理1 （可积的必要条件） 若函数f（x）在[a，b] 上可积，则 f
根据定理1，
也是f(x)的一个原函数,而这两个
原函数之差为某个常数，所以
F（x） x f（t）dt C a
若令x = a，则因
a f（t）dt 0 a
得 C = F(a).于是
在上式中令x = b，就得到所要证明的公式
b f（x）dt F（b） F（a） a
.
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例1 计算 2 sin xdx 0
原型Ⅰ和Ⅱ的问题可以简洁地表述为:
⑴ 连续曲线y=f(x) ≥0 在[a,b] 上构成的曲边梯形的 面积为函数 y=f(x) 在[a,b] 上的定积分,即
s b f（x）dx a
⑵在连续变力F (x) 作用下,质点m 沿x 轴从点 a 位移 到点b 所作的功为F (x) 在[a,b] 上的定积分,即
第六章 定积分
求总量的问题
.
1
（一）教学目标
教学目标：要求学生掌握定积分的概念、 微积分基本定理、非正常积分、定积分 的应用；要求理解定积分的概念，会求 定积分与非正常，能利用定积分解决一 些几何问题；理解李善兰对我国近代数 学发展所起的作用。
.
2
（二）教学重点
教学重点：定积分的概念和性质、微积 分基本定理、定积分的换元积分法和分 部积分法、定积分在几何学中的应用。
泰勒公式ppt课件精选全文完整版
sin x
x
x3 3!
x5 5!
(1)m1 x2m1 (2m 1)
!
R2m
(
x)
其中 R2m (x)
s(in1()mxcos2(m2x1) ) x2m1 (0 1)
(2m 1) !
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类似地,可得
cos x
1 x2 2!
x4 4!
f (k)( x0 )
n!an f (n) ( x0 ). (k 0,1,2,, n)
代入 Pn ( x)中得
Pn ( x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2f(n)( x n!)(x
x0
)n
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三、泰勒(Taylor)中值定理
泰勒(Taylor)中值定理 如果函数 f ( x) 在含有 x0 的某个开区间(a, b) 内具有直到(n 1) 阶的导数,则
当 x在(a,b)内时, f ( x)可以表示为( x x0 )的一个 n次多项式与一个余项Rn ( x)之和:
f (x)
f ( x0 )
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例1:求函数 f (x) ex 的n阶麦克劳林展开式.
解:因为 f'x f''x fn x e x ，
所以 f0 f'0 f''0 fn 0 1 .
故
ex
1 x x2
大学文科数学全部公式
对于给定的矩阵$A = (a_{ij})$，其特 征多项式定义为$f(lambda) = det(A-lambda I)$，其中$I$是单位 矩阵。
特征值是特征多项式的根；特征值和 特征向量满足定义中的等式关系；特 征值和特征向量具有唯一性。
05
概率论与数理统计公式
ห้องสมุดไป่ตู้率论基础
概率的加法公式
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)
条件概率公式
P(A|B)=P(A∩B)/P(B)
全概率公式
贝叶斯公式
如果事件B1,B2,...,Bn两两互斥，则对于任意 事件A，有P(A)=∑P(Bi)×P(A|Bi)
如果事件B1,B2,...,Bn两两互斥，且 P(Bi)>0,i=1,2,...,n，则对于任意事件A，有 P(Bi|A)=P(Bi)×P(A|Bi)/∑P(Bj)×P(A|Bj)
大学文科数学全部公式
• 引言 • 代数公式 • 微积分公式 • 线性代数公式 • 概率论与数理统计公式
01
引言
主题简介
大学文科数学是针对非数学专业的学 生开设的数学课程，旨在培养学生具 备基本的数学素养和应用能力。
大学文科数学涵盖了微积分、线性代 数、概率论与数理统计等核心内容， 为学生提供数学基础知识，为后续专 业课程的学习奠定基础。
设$A = (a_{ij})$和$B = (b_{ij})$， 则$A+B = (a_{ij}+b_{ij})$。
矩阵的乘法
设$A = (a_{ij})$和$B = (b_{ij})$， 则$AB = C = (c_{ij})$，其中$c_{ij} = sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj}$。
大学文科数学_张国楚_导数与微分
第三章变量变化速度与局部改变量估值问题——导数与微分学之之博，未若知之之要，知之之要，未若行之之实.——朱熹：《朱子语类辑略》在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了.——恩格斯本章简介数学中研究导数、微分及其应用的部分叫做微分学，研究不定积分、定积分及其应用的部分叫做积分学.微分学与积分学统称为微积分学.微积分学，或称数学分析，是高等数学最基本最重要的组成部分，是现代数学很多分支的基础.它是人们认识客观世界、探索宇宙奥妙乃至人类自身的典型数学模型之一.恩格斯（F.Engels,德，1820－1895）指出：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了.”微积分发展史曲折跌宕，撼人心灵，是培养人们正确世界观、科学方法论和对人们进行文化熏陶的极好素材.然而，微积分教学存在着遗憾，正如美国数学家、数学教育家R. 柯朗（R.Courant,1888-1972）所指出的那样：“微积分，或者数学分析，是人类思维的伟大成果之一.它处于自然科学与人文科学之间的地位，使它成为高等教育的一种特别的有效工具.遗憾的是，微积分的教学方法有时流于机械，不能体现出这门学科乃是一种撼人心灵的智力奋斗的结晶”.我们在微积分教学中，要努力发掘微积分震撼心灵的力量.积分的雏形可追溯到古希腊和我国魏晋时期，而微分概念却姗姗来迟，16世纪才应运萌生.至17世纪，由天才的英国数学家、物理学家牛顿与德国哲学家、数学家莱布尼茨，在不同的国家，几乎同时在总结先贤研究成果的基础上，各自独立地创建了划时代的微积分，为数学的迅猛发展，科学的长足进步，乃至人类文化的昌盛作出了无与伦比的卓越贡献.本章与下章介绍一元微分学，俟后两章介绍一元积分学.本章介绍导数、微分的概念及其运算法则.1函数的局部变化率——导数1.1抽象导数概念的两个原型问题提出我们在解决实际问题时，除了需要了解变量之间的函数关系以外，有时还需要研究变量变化快慢的程度.例如物体运动的速度，城市人口增长的速度，国民经济发展的速度等，而这些问题只有在引进导数概念之后，才能解决.学习过程原型Ⅰ求变速直线运动的速度设一质点从点开始作变速直线运动，经秒到达点，求该质点在时刻的瞬时速度.分析（1）以为原点，沿质点运动的方向建立数轴——轴（图3.1）用表示质点运动的路程，则有（2）质点作匀速直线运动时，路程、时间、速度之间的关系：速度＝（3）想一想如何处理速度变与不变的矛盾？（4）分以下三步解决速度变与不变的矛盾①求增量给一个增量，则路程有了增量②求增量的比（局部以匀速代变速）③取极限（平均速度的极限值即为在时刻的瞬时速度）原型Ⅱ求曲线切线的斜率求曲线在点处的切线斜率分析如图3.2所示：（1）复习曲线在点处切线的概念曲线上两点和的连线是该曲线的一条割线，当点沿曲线无限趋近于点时，割线绕转动，其极限位置就是曲线在点处的切线.（2）复习过两点的直线斜率公式（3）提出问题如何以直代曲，实现曲与直矛盾的转化？（4）解决曲与直的矛盾即求曲线在点处的切线斜率的三个步骤.①求增量：给一个增量,则有②求增量比（局部以直代曲）③取极限（即割线斜率的极限就是切线的斜率）1.2导数概念问题提出从数学的角度考虑两个原型的共同点引入导数的概念（1）求一个变量相对于另一个相关变量的变化快慢程度，即变化率问题；（2）处理问题的思想方法相同；（3）数学结构相同.学习过程1、定义设函数在点的某一邻域内有定义，当自变量在点处有增量（点仍在该邻域内）时，相应的函数有增量如果与之比，当时的极限存在，则称这个极限值为在点处的导数，记作，即（3.1）亦可记作，注意（1）若极限（3.1）存在，则称函数在点处可导；（2）若极限（3.1）不存在，则称函数在点处不可导；（3）函数的平均变化率函数的平均变化速度称为函数的平均变化率.（4）函数f(x)在点x0处的瞬时变化率导数称为函数在点处的瞬时速度.（5）概括导数的概念导数是平均变化率的极限2、导数的力学意义导数的力学意义是变速直线运动的瞬时速度.3、导数的何意义导数的几何意义是曲线的切线斜率.4、求导数的步骤(1)给一个增量，求相应的函数增量；(2)求平均变化率；(3)求平均变化率的极限，即5、应用举例例1 求函数在点处的导数解（1）确定，即（2）求，即（3）求，即（4）取极限得6、函数在区间内可导如果函数y=f(x)在区间内的每一点处可导，则称函数在区间内可导.7、导函数若函数在区间内可导，则称为函数的导函数，记作，，或导函数的计算公式=(x) ==想一想与的区别与联系（1）区别是关于函数，是在点处的导数，是一个常数（2）联系是在点的函数值，即：8、应用举例例2 求函数在点处的导数解（注意利用与的关系）总结幂函数的导数例3 求常数函数的导数分析常函数的特点（当自变量从变到时，函数的增量为0即）解即常数函数的导数恒为零.例4 求的导数解任取，给一个增量，得,∴做一做求的导数1.3 求导过程中的哲学分析提出问题求函数在点处的导数的思想方法中主要体现了哪些辩证法？学习过程引导学生分析归纳出（1）体现了事物运动变化的观点和量变质变规律；（2）体现了事物相互联系的观点和矛盾转化的思想；（3）体现了否定之否定的规律.想一想求导过程中蕴涵的数学思想方法是什么？1.4 函数的连续性与可导性之间的关系提出问题函数的连续性与可导性有什么关系呢？学习过程定理2 如果函数在点处可导，那么在点处连续.注意（1）可导则连续；（2）连续不一定可导：例如在点处连续但不可导.做一做举例说明可导和连续的关系1.5高阶导数的概念提出问题在直线运动中，速度是位移关于时间的变化率，而加速度则是速度关于时间的变化率.对“变化率的变化率”的讨论，就引入了高阶导数的概念.学习过程1、二阶导数如果函数的导数可导，则称的导数叫做函数的二阶导数，记作即注意还可记作想一想二阶导数的物理意义是什么？2、阶导数设函数存在阶导数，并且阶导数可导，那么的导数，叫做函数的阶导数，记作.二阶和二阶以上的导数称为高阶导数做一做求的三阶导数小结（1）导数的定义；（2）导数的几何意义；（3）可导与连续的关系.作业必作题习题三 1选作题习题三 2思考题函数可导是否为连续的充要条件？求导数的方法——法则与公式2.1求导法则问题提出求变量的变化率—导数，是在理论研究和实践应用中经常遇到的一个普遍问题，但根据定义求导数往往很繁难，有时甚至不可行，那么能否找到求导数的一般法则或公式呢？学习过程1、函数和、差、积、商的求导法则定理设u=u(x),v=v(x)是x的可导函数，则（1）（υ±ν）′＝υ′±ν′（2）（Cυ）′＝Cυ′（C是常数）（3）（4）注意（1）有限个函数代数和的导数等于各个函数导数的代数和；（2）应用举例例1已知，求解＝例2 已知，求.解（注意对求导法则熟悉之后可以简化步骤）例3已知，求解例4已知,求解2、复合函数的求导法则设y=f〔（x）〕是由函数y=f（u）及u＝（x）复合而成的函数，并设函数u＝（x）在点x处可导，y=f（u）在对应点u=（x）处也可导，则有复合函数y=f〔（x）〕的求导法则：或=或＝（u）（x）注意其中表示y对x的导数，，(u)表示y对中间变量u的导数，、（x）表示中间变量u对x的导数.例5，求y′解（1）分解复合函数即令（2）据复合函数求导法则得想一想求复合函数的关键是什么？注意熟练之后可省略中间变量，从外向量，逐层求导例6，求解例7y=ln｜x｜，求分析函数中含有绝对值，所以首先应去掉绝对值符号，用分段函数表示函数解当x＞0时，当x＜0时，〔〕′3、用复合函数求导法则求隐函数的导数隐函数若方程F(x,y)＝0确定了y是x的函数，那么，这样的函数叫做隐函数.隐函数的求导方法例8 方程x2-y+lny=0确定了y是x的隐函数，求y′.分析（1）y是x的函数；（2）lny是x的复合函数解方程两端对x求导得解出y′，得例9例9 求圆x2+y2＝4上一点M o(－，)处的切线方程分析解题步骤（1）求出曲线在点M o处的切线斜率（即求），（2）根据直线的点斜式方程求出切线方程解方程两端对x求导得2x+2yy′＝0即亦即∴所求圆的切线方程做一做求的导数2.2基本初等函数的求导公式问题提出在第一节中我们学习了几个基本初等函数的求导公式如：那么其它初等函数的求导公式又如何呢？学习过程1、任意指数的幂函数y=xα（α∈R）的导数证明（xα）′=α xα－1证明在y=xα两边取自然对数得lny=αlnx （lny是x的复合函数）两边对x求导得∴想一想是如何证明的？（引入取对数求导法）取对数求导法（1）先对等式两端取自然对数；（2）利用复合函数求导法则求隐函数的导数；（3）求y对x的导数y′.2、指数函数y=a x（a＞0且a≠1）的导数利用对数求导法有lny＝xlna两边对x求导得∴y′＝ylna=a x lna即（a x）′＝a x lna注意（e x）′＝e x（性质良好，应用广泛）3、反三角函数的导数（1）求y=arcsinx,x∈（－1，1），的导数y′解由y=arcsinx得x＝siny在x=siny两端对x求导得1＝cosy·y′（2）公式（注意以上导数的求导法则及基本初等函数的求导公式为求初等函数的导数提供了方便）例10质量为m0的放射性物质，经过时间t以后，所剩的质量m与时间t的关系为m=m0e-kt（k为正数，是该物质的衰减系数），求该物质的衰减率.解物质的衰减率就是质量m对时间t的导数，即该式表明放射性物质的衰减率与质量成正比，而负号表示质量m随时间增大而减小。
大学文科数学-课件7
在自然界和社会生活中还大量存在着这样的现象, 它 在一定条件下可能发生, 也可能不发生, 这种现象叫 随机现象, 或称为偶然现象. 人们在长期的实践中经过研究, 发现随机现象虽然就 每次观察来说具有不确定性, 然而进行大量的观察后, 其结果却呈现出一种完全确定的规律性. 例如, 在研 究一对双胞胎出生的可能性时, 经大量观察, 一对双 胞胎出生的可能性为 1.169‰. 这表明当观察大量同 类随机现象后, 通常可以揭示出它的一种固有规律性,
很容易说明有 ænö æ n ö r n-r ÷ ÷ ç ç C = C 或 或 = C = C ÷ ÷ n r n n r n n ç ç ÷ è çr ø çn-r ÷ è ø 例 从总数为 8 的一堆纸牌中选择 3 张牌, 不同状态 数为 æ 8 ö 8⋅ 7⋅ 6 ÷ ç = = 56 ÷ ç ç 3! è 3÷ ø 定理 设 是正整数, 则有 æ n ö n æ n ö n-1 æ n ö n-2 2 ænö n n ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç + + + + x x y x y y . (x +y) =ç ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç ÷ ç ç ç çnø è0÷ ø è1÷ ø è2÷ ø è 这个代数恒等式就是著名的二项式定理.
n
出了正态分布曲线, 1812 年拉普拉斯 (Laplace 法,
1749 – 1827) 出版了《解析概率论》, 用微积分为工 具来研究概率, 故称这一时期为分析概率阶段, 1933 年前苏联著名数学家科尔莫戈罗夫 (Kolmogorov, 前苏, 1903 – 1987) 出版了《概率论基本概念》, 给 出了概率的公理化定义, 从而使概率论体系进一步完 善, 使之纳入到现代数学的范畴. 自此以后, 新成果 层出不穷, 形成了众多的分支. 统计学 (Statistics) 的基本形成是从英国的皮尔逊 (K. Pearson, 1857 – 1936) 和高尔登 (Galton, 1822 – 1911) 的记述统计学开始的. 虽然统计理论起源于古
大学文科数学-课件4
例
→ →
→
lntan2 x x2 . 例 计算: (b) lim x , (c) lim+ x +¥ e x0 lntan3 x
¥ 解 所有这些极限都属于未定式 . ¥ (b) x2 lim x x +¥ e 2x = lim x x +¥ e 2 = lim x x +¥ e = 0 (c) lntan2 x lim+ x0 lntan3 x
8cos2 x = lim x 0 24 1 = 3 例 æ 1ö ÷ ç ctg x - ÷ lim ç x 0 è xø x cos x - sin x = lim x 0 x sin x cos x - x sin x - cos x = lim x 0 sin x + x cos x -sin x = lim x 0 sin x + cos x x
-sin x = lim x 0 2 x cos x -sin x = lim x 0 2 x 1 =- 2 1 x2 lim ( cos x )
x 0
lncos x 2 x = lim e x 0 1 = e 2
lncos x x 0 x 2 =e lim
æ tg x öctg( x-a ) ÷ 例 lim ç . ÷ ç x a è tg a ø
0 解 所有这些极限都属于未定式 . 0 (a) e2 x - 1 lim x 0 x 2e2 x = lim x 0 1 = 2 (b) 1 + cos p x lim 2 x1 x - 2 x + 1 -p sin p x = lim x 1 2 x - 2 -p2 cos p x = lim x 1 2
值定理的正确性. 解 f ( 2 ) = 4 , f ( 5 ) = 25, f ¢( x ) = 4 x - 7, 则中值定 25 - 4 , x = 3.5. 由于2 < x < 5, 故定 理表明 4x - 7 = 5-2 理是正确的.