八年级数学公式法1.doc
初二【数学(人教版)】因式分解——公式法(第一课时)
拓展提升
如图，100个正方形由小到大套在一起，从外向里相间画上阴影， 最里面一个小正方形没有画阴影，最外面一层画阴影，最外面的正方 形的边长为100cm，向里依次为99cm，98cm，…，1cm，那么在这个 图形中，所有画阴影部分的面积和是多少？
解：S阴影＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12) ＝(100+99)(100-99)＋(98+97)(98-97)＋…＋(2+1)(2-1) ＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1＝5050(cm2)． 答：阴影部分的面积和为5050cm2
初中数学
课后作业
1.下列各式能否用平方差公式分解因式？为什么？
(1) x2 y2
(2) x2 y2
(3) x2 y2
(4) x2 y2
4 y
(2) 9a2 4b2 (4) a4 16
3.已知x+2y=3, x2-4y2=-15,求x-2y的值和x, y的值.
初中数学
例 分解因式：
(1) x4 y4
(2) a3b ab
初中数学
例 分解因式：
(1) x4 y4
此时，因式分 解彻底了吗？
解：原式 (x2 )2 ( y2 )2 (x2 y2 )( x2 y2 ) 还可以继续分解！
(x2 y2 )( x y)( x y)
初中数学
例 分解因式：
初中数学
练习 分解因式：
(3) (a b)3 4(a b)
(4)am1 am1
解：原式 (a b)[(a b)2 4]
解：原式 am1(a2 1)
可以继续分解 (a b)(a b 2)(a b 2)
am1(a 1)(a 1)
八年数学公式法分解因式的解题方法与技巧
八年数学公式法分解因式的解题方法与技巧数学公式法分解因式是一种常用且重要的解题方法。
以下是八年级数学公式法分解因式的解题方法与技巧：1. 常见因式分解公式：① (a+b)^2=a^2+2ab+b^2② (a-b)^2=a^2-2ab+b^2③ a^2-b^2=(a+b)(a-b)④ a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)⑤ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)⑥ a^2+2ab+b^2=(a+b)^2⑦ a^2-2ab+b^2=(a-b)^2其中，(1)、(2)、(6)、(7) 属于平方公式，(3)、(4)、(5) 是关于立方的公式。
我们在解题时可以根据题目中的条件，选择合适的公式进行因式分解。
2. 把公因式提出来：对于如下式子：2a^2+4ab，我们可以先把公因式 2a 提出来，得到：2a^2+4ab=2a(a+2b)这样就完成了把公因式提出来的操作，接下来我们再根据不同的情况进行因式分解。
3. 进一步分解：有时候，我们需要进一步分解式子，来达到题目的要求。
例如，对于如下式子：9x^6-16y^4，我们可以根据公式 (5) 进行因式分解，得到：9x^6-16y^4=(3x^2)^3-(2y^2)^3=(3x^2-2y^2)(9x^4+6x^2y^2+4y^4)这个策略在解题时非常有用：先用一些基本公式进行初步因式分解，然后进一步分解，最后化简为一般式。
4. 通过多次转化得到结果：有时候，解题过程需要经过多次中间步骤，才能得出最终的结果。
这时候，我们需要耐心思考，灵活变通。
例如，对于如下式子：a^3+b^3+c^3-3abc，我们可以进行一下转化：a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=(a+b+c)((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)这两步转化虽然看上去有些麻烦，但是却是得到正确答案所必需的。
5. 注意符号：在进行因式分解时，特别要注意符号的处理。
八年级下册公式法
八年级下册公式法咱来说说八年级下册的公式法啊。
一、一元二次方程的公式法1. 首先得知道一元二次方程的一般形式是ax^2+bx + c = 0（a≠0）。
这个形式就像是一元二次方程的身份证，每个方程都能变成这个样子。
2. 然后呢，公式法就是用来求这个一元二次方程的解的超级武器。
这个武器就是x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}。
这个公式看起来有点复杂，但是只要你按照步骤来，就很简单啦。
3. 这里面的a、b、c就是方程ax^2+bx + c = 0中的系数。
比如说方程x^2+3x - 4 = 0，这里a = 1，b = 3，c=-4。
4. 那我们怎么用这个公式来解方程呢？- 第一步，先确定a、b、c的值。
- 第二步，计算b^2-4ac的值，这个值可重要啦，它就像是一个信号灯。
如果b^2-4ac>0，那方程就有两个不同的实数解，就像有两条不同的路可以走；如果b^2-4ac = 0，方程就只有一个实数解，就像只有一条路可走；要是b^2-4ac<0呢，方程就没有实数解啦，就像前面是堵墙，走不通了。
- 第三步，把a、b、b^2-4ac的值代入公式x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}，算出x 的值。
比如说对于方程x^2+3x - 4 = 0，a = 1，b = 3，c=-4。
先算b^2-4ac=3^2-4×1×(-4)=9 + 16=25>0，这就说明方程有两个不同的实数解。
然后把a = 1，b = 3，b^2-4ac = 25代入公式x=(-3±√(25))/(2×1)=(-3±5)/(2)。
得到x_1=(-3 + 5)/(2)=1，x_2=(-3-5)/(2)=-4。
二、因式分解中的公式法1. 平方差公式- 这个公式是a^2-b^2=(a + b)(a - b)。
就像是把一个东西拆成两个部分，你看a^2和b^2是两个平方数，中间是减号，就可以用这个公式分解。
人教版数学八年级上册 公式法(第1课时)
探究新知
素养考点 3 利用因式分解求整式的值
例3 已知x2–y2＝–2，x＋y＝1，求x–y，x，y的值．
解：∵x2–y2＝(x＋y)(x–y)＝–2，
x＋y＝1①，
∴x–y＝–2②. 联立①②组成二元一次方程组，
方法总结：在与x2–y2， x±y有关的求代数式
或未知数的值的问题中，
x
解得：
y
A．a2＋(–b)2
B．5m2–20mn
C．–x2–y2
D．–x2＋9
2. 将多项式x–x3因式分解正确的是( D )
A．x(x2–1)
B．x(1–x2)
C．x(x+1)(x–1)
D．x(1+x)(1–x)
3.若a+b=3，a–b=7，则b2–a2的值为(A )
A．–21 B．21 D．10
C．–10
巩固练习
用平方差公式进行简便计算:
(1)38²–37²
(2)213²–
87²
解(：3)(12)293²8–²–13771²² =((348)+9317×)(389–37)
=75
(2) 213²–87² =(213+87)(213–87) =300×126=37800
(3) 229²–171²
=(229+171)(229–171) =400×58=23200
课堂检测
拓广探索题
(1)992–1能否被100整除吗？ (2)n为整数，(2n+1)2–25能否被4整除？
解：(1)因为 992–1=(99+1)(99–1)=100×98，
所以992–1能被100整除.
(2)原式=(2n+1+5)(2n+1–5) =(2n+6)(2n–4) =2(n+3) ×2(n–2)=4(n+3)(n–2).
八年级上册数学公式法
八年级上册数学公式法
1.勾股定理：直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
公式：$a^2 + b^2 = c^2$
其中，$a$ 和 $b$ 是直角三角形的两条直角边，$c$ 是斜边。
2.平方差公式：$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$
用于计算两个数的平方差。
3.完全平方公式：$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ 和$(a-b)^2 = a^2 -
2ab + b^2$
用于计算一个数的平方，加上或减去两倍的该数与另一数的乘积，再加或减另一数的平方。
4.二次根式的乘法法则：$\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ (其中$a
\geq 0, b \geq 0$)
用于计算两个非负数的平方根的乘积。
5.二次根式的除法法则：$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$ (其
中 $a \geq 0, b > 0$)
用于计算一个非负数的平方根除以另一个非负数的平方根。
6.分式的乘法法则：$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$
用于计算两个分式的乘积。
7.分式的除法法则：$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times
\frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}$
用于计算一个分式除以另一个分式。
人教版八年级数学上册《公式法》第一课时参考课件
…… 把你发现的规律用含n的等式表示出来. 2. 对于任意的自然数n,(n+7)2-(n-5)2能被24整除吗?
为什么? (2n+1)2-(2n-1)2=8n
五、小结
1、利用平方差公式分解因式时，应看清楚是否 符合条件。必须是两个数或式的平方差的形式。 例如：①x2+y2 ②x2-y2 ③-x2+y2 ④-x2-y2 2、分解因式时，有公因式时应先提取公因 式，再看能否用公式法进行因式分解。
公式法(1)
一、情景导入 问题情景1：
看谁算得最快：①982-22 ②已知x+y=4，x-y=2，则x2-y2=______
问题情景2： 你能将多项式x2-4与多项式y2-25分解因
式吗？这两个多项式有什么共同的特点吗?
这两个多项式都可写成两个数的 平方差的形式。
二、回顾与思考
1、什么叫因式分解？ 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这
1、“手和脑在一块干是创造教育的开始，手脑双全是创造教育的目的。” 2、一切真理要由学生自己获得，或由他们ห้องสมุดไป่ตู้新发现，至少由他们重建。 3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 4、好的教师是让学生发现真理，而不只是传授知识。 5、数学教学要“淡化形式，注重实质.
6、“教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒、鼓舞”。2021年11月下午6时42分21.11.718:42November 7, 2021 7、“教师必须懂得什么该讲，什么该留着不讲，不该讲的东西就好比是学生思维的器，马上使学生在思维中出现问题。”“观
整式乘法
(完整版)因式分解——公式法教案
因式分解——公式法（1）一．教课内容人教版八年级上册数学十四章因式分解——公式法第一课时二．教材剖析分解因式与数系中分解质因数近似，是代数中一种重要的恒等变形，它是在学生学习了整式运算的基础上提出来的，是整式乘法的逆向变形。
在后边的学习过程中应用宽泛，如：将分式通分和约分，二次根式的计算与化简，以及解方程都将以它为基础。
所以分解因式这一章在整个教材中起到了承上启下的作用。
同时，在因式分解中表现了数学的众多思想，如：“化归”思想、“类比”思想、“整体”思想等。
所以，因式分解的学习是数学学习的重要内容。
依据《课标》的要求，本章介绍了最基本的两种分解因式的方法：提公因式法和运用公式法（平方差、完好平方公式）。
所以公式法是分解因式的重要方法之一，是现阶段的学习要点。
三．教课目的知识与技术：理解和掌握平方差公式的构造特色，会运用平方差公式分解因式过程与方法： 1. 培育学生自主研究、合作沟通的能力2.培育学生察看、剖析和创新能力，深入学生逆向思想能力和数学应企图识，浸透整体思想感情、态度与价值观：让学生在合作学习的过程中体验成功的愉悦，进而加强学好数学的梦想和信心四．教课重难点要点：会运用平方差公式分解因式难点：正确理解和掌握公式的构造特色，并擅长运用平方差公式分解因式易错点：分解因式不完全五．教课方案（一）温故知新1.什么是因式分解？以下变形过程中，哪个是因式分解？为何？22（1）（ 2x - 1） = 4 x- 4x + 1;(2)3x2 + 9xy - 3x = 3x( x+ 3y + 1);(3)x2 - 4+ 2x = ( x + 2)( x - 2) + 2x.2.我们已经学过的因式分解的方法是什么？将以下多项式分解因式。
（1） a3b3 - 2a2 b - ab ;( 2) - 9 x2 y + 3xy2 - 6 xy.【设计企图】经过复习因式分解的定义和方法，为持续学习公式法作好铺垫。
3.依据乘法公式进行计算：（1）（ x + 1）(x -1)；（2）（ x + 2 y）(x - 2 y).4.依据上题结果分解因式：（1） x2 - 1；（2） x 2 - 4 y 2 .由以上 3、 4 两题，你发现了什么？【设计企图】经过整式乘法中的平方差公式引出公式法因式分解进而引出课题。
数学运用公式法一
(反)
思
逸夫初级中学“三导三学五环节”导学案
年级：八年级科目：数学
课题
2.3运用公式法(一)
主备人
李驰
审核人
李驰
授课人
编号
04
授课
时间
班级
姓名
学习
目标
1、经历通过整式乘法的平方差的逆向得出公式法分解因式的方法的过程，发展学生的逆向思维。
2、：平方差公式分解因式.
难点：观察平方差特点并利用平方差公式分解因式
预习展示
分解下列因式（平方差公式）：
（1）、1-4x2；（2）、m2-4；（3）、x2-4y2；
（4）、3x3-12x；（5）、 。
学
习
流
程
引领探究
1、a2-b2= (a+b)(a-b)中a，b都表示单项式吗？它们可以是多项式吗？
2、(1)9(m+n)2-(m-n)2;（2）4(m+n)2-(m-n)2
有效检测
把下列各式分解因式
（1）-(x+y)2+z2
（2）9（a+b）2-4（a-b）2
（3）m4-16m4
（4）x2－（a+b－c）2
（5）
梳理拓展
1、对于任意的自然数 ， 能被24整除吗?为什么?
2、如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分拼成一个矩形，通过计算两个阴影部分的面积，可以得到一个矩形，通过计算两个阴影部分的面积，可以得到一个分解因式的公式，这个公式是怎样的？
学
习
流
程
学 案
导 案
导学预习
1、什么是因式分解？我们已经学过的因式分解的方法有什么？
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§15．5．2．1 公式法（一）
教学目标
（一）教学知识点
运用平方差公式分解因式．
（二）能力训练要求
1．能说出平方差公式的特点．
2．能较熟练地应用平方差公式分解因式．
3．初步会用提公因式法与公式法分解因式．•并能说出提公因式在这类因式分解中的作用．
4．知道因式分解的要求：把多项式的每一个因式都分解到不能再分解．（三）情感与价值观要求
培养学生的观察、联想能力，进一步了解换元的思想方法．
教学重点
应用平方差公式分解因式．
教学难点
灵活应用公式和提公因式法分解因式，并理解因式分解的要求．
教学方法
自主探索法．
教具准备
投影片．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
出示投影片，让学生思考下列问题．
问题1：你能叙述多项式因式分解的定义吗？
问题2：运用提公因式法分解因式的步骤是什么？
问题3：你能将a2-b2分解因式吗？你是如何思考的？
[生]1．多项式的因式分解其实是整式乘法的逆用，•也就是把一个多项式化成了几个整式的积的形式．
2．提公因式法的第一步是观察多项式各项是否有公因式，如果没有公因式，•就不能使用提公因式法对该多项式进行因式分解．
3．对不能使用提公因式法分解因式的多项式，不能说不能进行因式分解．[生]要将a2-b2进行因式分解，可以发现它没有公因式，•不能用提公因式法分解因式，但我们还可以发现这个多项式是两个数的平方差形式，所以用平方差公式可以写成如下形式：
[师]多项式的乘法公式的逆向应用，就是多项式的因式分解公式，如果被分解的多项式符合公式的条件，就可以直接写出因式分解的结果，这种分解因式的方法称为运用公式法．今天我们就来学习利用平方差公式分解因式．Ⅱ．导入新课
[师]观察平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）的项、指数、符号有什么特点？
（让学生分析、讨论、总结，最后得出下列结论）
（1）左边是二项式，每项都是平方的形式，两项的符号相反．
（2）右边是两个多项式的积，一个因式是两数的和，另一个因式是这两数的差．
（3）在乘法公式中，“平方差”是计算结果，而在分解因式，•“平方差”是得分解因式的多项式．
由此可知如果多项式是两数差的形式，并且这两个数又都可以写成平方的形式，那么这个多项式可以运用平方差公式分解因式．
出示投影片
[做下列填空题的作用在于训练学生迅速地把一个单项式写成平方的形式．•也可以对积的乘方、幂的乘方运算法则给予一定时间的复习，避免出现4a2=（4a）2•这一类错误]
填空：
（1）4a2=（）2；
（2）4
9
b2=（）2；
（3）0.16a4=（）2；（4）1.21a2b2=（）2；
（5）21
4
x4=（）2；
（6）54
9
x4y2=（）2．
例题解析：
出示投影片：
[例1]分解因式
（1）4x2-9 （2）（x+p）2-（x+q）
[例2]分解因式
（1）x4-y4（2）a3b-ab
可放手让学生独立思考求解，然后师生共同讨论，纠正学生解题中可能发生的错误，并对各种错误进行评析．
[师生共析]
[例1]（1）
（教师可以通过多媒体课件演示（1）中的2x，（2）中的x+p•相当于平方差公式中的a；（1）中的3，（2）中的x+q相当于平方差中的b，进而说明公式中的a与b•可以表示一个数，也可以表示一个单项式，甚至是多项式，渗透换元的思想方法）
[例2]（1）x4-y4可以写成（x2）2-（y2）2的形式，这样就可以利用平方差公式进行因式分解了．但分解到（x2+y2）（x2-y2）后，部分学生会不继续分解因式，针对这种情况，可以回顾因式分解定义后，•让学生理解因式分解的要求是必须进行到多项式的每一个因式都不能再分解为止．（2）不能直接利用平方差公式分解因式，但通过观察可以发现a3b-ab•有公因式ab，应先提出公因式，再进一步分解．
解：（1）x4-y4
=（x2+y2）（x2-y2）
=（x2+y2）（x+y）（x-y）．
（2）a3b-ab=ab（a2-1）=ab（a+1）（a-1）．
学生解题中可能发生如下错误：
（1）系数变形时计算错误；
（2）结果不化简；
（3）化简时去括号发生符号错误．
最后教师提出：
（1）多项式分解因式的结果要化简：
（2）在化简过程中要正确应用去括号法则，并注意合并同类项．
练一练：
（出示投影片）
把下列各式分解因式
（1）36（x+y）2-49（x-y）2
（2）（x-1）+b2（1-x）
（3）（x2+x+1）2-1
（4）
2
()
4
x y
-
-
2
()
4
x y
+
．
1．课本P196练习1、2．
Ⅳ．课时小结
1．如果多项式各项含有公因式，则第一步是提出这个公因式．
2．如果多项式各项没有公因式，则第一步考虑用公式分解因式．
3．第一步分解因式以后，所含的多项式还可以继续分解，•则需要进一步分解因式．直到每个多项式因式都不能分解为止．
Ⅴ．课后作业
1．课本P198习题15．5─2、7题．
2．预习“用完全平方公式分解因式”．
《三级训练》
板书设计
[例2]略
三、小结：（略）
§15．5．3．2 公式法（二）
教学目标
（一）教学知识点
用完全平方公式分解因式
1．理解完全平方公式的特点．
2．能较熟悉地运用完全平方公式分解因式．
3．会用提公因式、完全平方公式分解因式，•并能说出提公因式在这类因式分解中的作用．
4．能灵活应用提公因式法、公式法分解因式．
（三）情感与价值观要求
通过综合运用提公因式法，完全平方公式分解因式，进一步培养学生的观察和联想能力．通过知识结构图培养学生归纳总结的能力．教学重点
用完全平方公式分解因式．
教学难点
灵活应用公式分解因式．
教学方法
探究与讲练相结合的方法．
教具准备
投影片．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
问题1：根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法，•分析和推测什么叫做运用完全平方公式分解因式？能够用完全平方公式分解因式的多项式具有什么特点？
问题2：把下列各式分解因式．
（1）a2+2ab+b2
（2）a2-2ab+b2
[生]将整式乘法的平方差公式反过来写即是分解因式的平方差公式．同样道理，把整式乘法的完全平方公式反过来写即分解因式的完全平方公式．[师]能不能用语言叙述呢？
[生]能．两个数的平方和，加上（或减去）这两数的积的2倍，•等于这两个数的和（或差）的平方．
问题2其实就是完全平方公式的符号表示．即：a2+2ab+b2=（a+b）2，a2-2ab+b2（a-b）2．
[师]今天我们就来研究用完全平方公式分解因式．
Ⅱ．导入新课
出示投影片
下列各式是不是完全平方式？
（1）a2-4a+4
（2）x2+4x+4y2
（3）4a2+2ab+1
4
b2
（5）x2-6x-9
（6）a2+a+0.25
（放手让学生讨论，达到熟悉公式结构特征的目的）．结果：（1）a2-4a+4=a2-2×2·a+22=（a-2）2
（3）4a2+2ab+1
4
b2=（2a）2+2×2a·
1
2
b+（
1
2
b）2=（2a+
1
2
b）2
（6）a2+a+0.25=a2+2·a·0.5+0.52=（a+0.5）2
（2）、（4）、（5）都不是．
方法总结：分解因式的完全平方公式，左边是一个二次三项式，其中有两个数的平方和还有这两个数的积的2倍或这两个数的积的2倍的相反数，符合这些特征，就可以化成右边的两数和（或差）的平方．从而达到因式分解的目的．
例题解析
出示投影片
[例1]分解因式：
（1）16x2+24x+9 （2）-x2+4xy-4y2
[例2]分解因式：
（1）3ax2+6axy+3ay2（2）（a+b）2-12（a+b）+36
学生有前一节学习公式法的经验，可以让学生尝试独立完成，然后与同伴交流、总结解题经验．
[例1]（1）分析：在（1）中，16x2=（4x）2，9=32，24x=2·4x·3，所以16x2+14x+9是一个完全平方式，即
解：（1）16x2+24x+9
=（4x）2+2·4x·3+32
=（4x+3）2．
（2）分析：在（2）中两个平方项前有负号，所以应考虑添括号法则将负号提出，然后再考虑完全平方公式，因为4y2=（2y）2，4xy=2·x·2y．所以：
解：-x2+4xy-4y2=-（x2-4xy+4y2）
=-[x2-2·x·2y+（2y）]2
练一练：
出示投影片
把下列多项式分解因式：
（1）6a-a2-9；
（2）-8ab-16a2-b2；
（3）2a2-a3-a；
（4）4x2+20（x-x2）+25（1-x）2
Ⅲ．随堂练习
课本P198练习1、2．
Ⅳ．课时小结
学习因式分解内容后，你有什么收获，能将前后知识联系，做个总结吗？
（引导学生回顾本大节内容，梳理知识，培养学生的总结归纳能力，最后出示投影片，给出分解因式的知识框架图，使学生对这部分知识有一个清晰的了解）
Ⅴ．课后作业
课本P198练习15．5─3、5、8、9、10题．
《三级训练》
板书设计
（a2±
←整式乘法，两数平方和加（或减）两数积的2倍＝两数和（或差）的平。