八年级数学下册因式分解.公式法课件北师大版
《公式法》因式分解PPT(第2课时)-北师大版八年级数学下册
课堂小结
1．要想运用完全平方公式分解因式, 必须紧扣完全平方公式的特点． （1）左边是三项式, 其中首末两项分别是两个数(或两个式子)的完全平方． 这两个项的 符号相同, 中间一项是这两个数(或两个式子)的积的2倍, 符号正负均可． （2）右边是两个数(或两个式子)的和(或者差)的平方．当中间的乘积项与首末两项符号相 同时, 是和的平方; 反之, 则是差的平方． 2． 因式分解的一般步骤: （1）“提”, 先看多项式各项, 有就提出来; （2）“套”, 尝试用乘法公式来分解; （3）“查”, 因式分解必须进行到不能再分解为止．
（1）这种方法的关键是 凑成完全平方式 ;
（2）用上述方法把a ²－8a+15因式分解．
合作探究
问题:阅读材料 我们知道对于二次三项式x²＋2ax＋a²这样的完全平方式, 可以用公式将它分解成（x+a）² 的形式, 但是对于二次三项式x²+2ax-3a²就不能直接应用完全平方公式了, 我们可以采用如下 的办法: x²+2ax-3a²=x²+2ax+a²-a²-3a² =（x+a）²-（2a）² =(x+3a)(x-a) （2）用上述方法把a ²－8a+15因式分解． 解:（2）a²-8a+15= a²-8a+16-16+15
=（a-4）²-1 =（a-3）（a-5）
举一反三
1． 若x ²+2（a+4）x+25是完全平方式, 求a的值. 解:∵x ²+2（a+4）x+25是完全平方式, ∴2（a+4）=±2×5, 解得a=1或a=-9. 故a的值是1或-9.
举一反三
2． 已知二次三项式x²﹣4x+m有一个因式是（x+3）, 求另一个因式以及m的值. 解:设另一个因式为（x+n）, 得 x2﹣4x+m=（x+3）（x+n） 则x ²﹣4x+m=x²+（n+3）x+3n ∴n＋3=-4, m=3n. 解得:n=﹣7, m=﹣21 ∴另一个因式为（x﹣7）, m的值为﹣21．
第11讲提公因式与公式法因式分解八年级数学下册同步讲义(北师大版)
第11讲提公因式与公式法因式分解目标导航1.了解整式乘法与因式分解之间的互逆关系；2. 会用提公因式法、运用公式法分解因式.知识精讲知识点01 因式分解的意义1、分解因式的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如：3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验．【知识拓展1】（2021秋•莱阳市期末）若4a4﹣（b﹣c）2分解因式时有一个因式是2a2+b﹣c，则另一个因式是（）A．2a2﹣b+c B．2a2﹣b﹣c C．2a2+b﹣c D．2a2+b+c【知识拓展2】（2022•沙坪坝区校级开学）下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（）A．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）B．2xy2＝2x•yC．（﹣x﹣1）2＝x2+2x+1D．x2+2x+2＝x（x+2）+2知识点02 公因式1、定义：多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式．2、确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．【知识拓展1】（2021秋•巴彦县期末）多项式8a3b2+12ab3c的公因式是（）A．abc B．4ab2C．ab2D．4ab2c【知识拓展2】（2021秋•广饶县期中）n为正整数，若2a n﹣1﹣4a n+1的公因式是M，则M等于（）A．a n﹣1B．2a n C．2a n﹣1D．2a n+1【即学即练1】（2021秋•莱阳市期末）多项式3x2y2﹣12x2y4﹣6x3y3的公因式是．【即学即练2】（2019春•邢台期末）已知：A＝3x2﹣12，B＝5x2y3+10xy3，C＝（x+1）（x+3）+1，问多项式A、B、C是否有公因式？若有，求出其公因式；若没有，请说明理由．知识点03 因式分解-提公因式法1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．2、具体方法：（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数．提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号．3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．4、提公因式法基本步骤：（1）找出公因式；（2）提公因式并确定另一个因式：①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同．【知识拓展1】（2021秋•淮阳区期末）下列各选项中因式分解正确的是（）A．x2﹣1＝（x﹣1）2B．x（x﹣y）+y（y﹣x）＝（x﹣y）2C．﹣2y2+4y＝﹣2y（y+2）D．x2+xy+x＝x（x+y）【即学即练1】（2021秋•兴城市期末）多项式m2﹣4m分解因式的结果是（）A．m（m﹣4）B．（m+2）（m﹣2）C．m（m+2）（m﹣2）D．（m﹣2）2【即学即练2】（2021秋•番禺区期末）已知x+y＝10，xy＝1，则代数式x2y+xy2的值为．【即学即练3】（2021秋•启东市期末）分解因式：2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y）＝．【知识拓展2】（2021秋•讷河市期末）因式分解：m（a﹣3）+2（3﹣a）．【即学即练1】．（2021秋•海口期末）把下列多项式分解因式．（1）﹣2a+32ab2；（2）x（y2+9）﹣6xy．【即学即练2】（2021秋•梅里斯区期末）因式分解（1）﹣3x3y2+6x2y3﹣3xy4；（2）3x（a﹣b）﹣6y（b﹣a）．知识点04因式分解-运用公式法1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2；2、概括整合：①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止．【知识拓展1】（2021秋•铅山县期末）分解因式：（a+2b）（a+4b）+b2．【即学即练1】（2021秋•博兴县期末）分解因式：（1）（3x﹣2）2﹣（2x+7）2；（2）（x2+2）2﹣6（x2+2）+9．【即学即练2】（2021秋•沐川县期末）分解因式：（a+2）（a+4）+1．【即学即练3】（2022•德城区校级开学）把下列各式分解因式：（1）16﹣x4；（2）4x（y﹣x）﹣y2．【知识拓展2】（2021秋•虹口区校级期末）已知，求ab．【知识拓展3】（2021秋•虎林市校级期末）（1）20032﹣1999×2001（公式法）；（2）16（a﹣b）2﹣9（a+b）2（分解因式）．知识点05提公因式法与公式法的综合运用提公因式法与公式法的综合运用．【知识拓展1】（2021秋•大余县期末）因式分解：（1）a3b﹣ab3；（2）2a3+12a2+18a．【即学即练1】（2021秋•鱼台县期末）分解因式：（1）a3﹣2a2b+ab2．（2）a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．【即学即练2】（2021秋•西平县期末）分解因式：（1）a3﹣10a2b+25ab2；（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．例1. 把下列各式因式分解（1）-+--+++a x abx acx ax m m m m 2213 （2）a a b a b a ab b a ()()()-+---32222例2. 把下列各式因式分解（1）324x xy - （2）3223288x y x y xy ++例3. 已知多项式232x x m -+有一个因式是21x +，求m 的值。
公式法PPT课件(北师大版)
2
2 92 − 4 2
4 −4 +16
3. 已知 + 2 = 3， 2 -4 2 =-15,求 − 2，，的值.
同学们，再见！
课题：公式法——平方差公式
复习引入
问题：什么叫因式分解?
把一个多项式化成几个整式的积的情势，这样的变
形叫做因式分解.
问题：我们已学过哪一种分解因式的方法?
提公因式法
复习引入
问题：整式乘法中的平方差公式是什么？
平方差公式：
(a+b)(a－b)=a2－b2
整式乘法
(a+b)(a－b) =a2－b2
a2－b2 =(a+b)(a－b)
－ =( + )( − )
公式左边：1.多项式有两项；
2.这两项异号；
3.两项是平方差.
公式右边： 两个数的和与两个数的差的乘积的情势。
练习：判断下列各式能否用平方差公式因式分解？
(1)
m 81
2
(2) 1 16b 2
√
=2 − 92
√
=12 − (4)2
×
不能转化为平方差情势
3.两项是平方差.
注：公式中的字母a，b可以代表数、字母，也可以代
表一个式子；分解因式时要把式子看作一个整体.
（整体思想）
归纳总结
۞2.利用平方差公式分解因式的步骤：
（1）若多项式中有公因式，应先提取公因式；
（2）剩余因式若有两项、异号，两项是平方差，
则用平方差公式继续分解因式；
۞3.分解因式一定要分解到每个因式都不能再分
=( + 1)( − 1)
先考虑能否用提取公因式法，再考虑能否用平方差公式
八年级数学北师大版初二下册--第四单元 4.3《公式法--第三课时：分组分解法及分解因式的方法》课件
知1－讲
例2 分解因式：－x2－2xy＋1－y2.
导引：按分组分解法，第一、二、四项提出负号后符 合完全平方式，再与“1”又组成平方差公式.
ìïïíïïî
4x－4 y＝96， x2－y2＝960，
但直接解方程组很烦琐，可利用平方差公式分解
因式：x2－y2＝(x＋y)(x－y)，再利用整体思想求
出x＋y的值，从而转化为二元一次方程组求解．
知2－讲
解：设大正方形的边长为x cm，小正方形的边长为y cm，
由题意得
ìïïíïïî
4x－4 y＝96，① x 2－y2＝960，②
知1－练
3 将多项式a2－9b2＋2a－6b分解因式为( D ) A．(a＋2)(3b＋2)(a－3b) B．(a－9b)(a＋9b) C．(a－9b)(a＋9b＋2) D．(a－3b)(a＋3b＋2)
知1－练
4 分解因式x2－2xy＋y2＋x－y的结果是( A ) A．(x－y)(x－y＋1) B．(x－y)(x－y－1) C．(x＋y)(x－y＋1) D．(x＋y)(x－y－1)
知1－练
5 分解因式： (1) ac＋ad＋bc＋bd＝__(_a_＋__b_)_(c_＋__d_)__； (2) x2－xy＋xz－yz＝___(_x_－__y_)(_x_＋__z_)_．
6 分解因式： a2－4ab＋4b2－1＝_(_a_－__2_b_＋__1_)_(a_－__2_b_－___1_) ．
2.分解技巧：分组分解是因式分解的一种复杂的方法， 让我们来须有预见性. 能预见到下一步能继续分解. 而“预见”源于细致的“观察”，分析多项式的特 点，恰当的分组是分组分解法的关键 .
八年级数学北师大版初二下册--第四单元 4.3《公式法--第二课时：用完全平方公式分解因式》课件
7 【2017·安顺】若代数式x2＋kx＋25是一个完全 平方式，则k＝___±__1_0__.
知识点 2 用完全平方公式分解因式
知2－导
用公式法正确分解因式关键是什么？
从项数看： 都是有3项
熟知公式特征！
从每一项看： 都有两项可化为两个数(或整式)的平方, 另一项为这两个数(或整式)的乘积的2倍.
容易忽视②⑤，注意②提出 1 ，⑤提出3以后 2
就能利用完全平方公式分解因式．
请完成《典中点》 Ⅱ 、 Ⅲ板块 对应习题！
A．b<c<a
B．a<c<b
C．b<a<c
D．c<b<a
知3－练
4 若一个长方形的面积是x3＋2x2＋x(x＞0)，且 一边长为x＋1，则其邻边长为__x_2_＋__x__．
1 知识小结
完全平方公式法： 两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍， 等于这两个数的和(或差)的平方． 即：a2±2ab＋b2＝(a±b)2.
（来自《完全平方公式进行因式分解的 是( D )
A．x2＋1
B．x2＋2x－1
C．x2＋x＋1
D．x2＋4x＋4
知2－练
3 (2016·长春)把多项式x2－6x＋9分解因式，结果正
确的是( A )
A．(x－3)2
B．(x－9)2
C．(x＋3)(x－3)
D．(x＋9)(x－9)
知1－导
a2 2ab b2 a2 2ab b2
我们把以上两个式子叫做完全平方式 . 两个“项”的平方和加上（或减去）这两“项” 的积的两倍
知1－讲
4-3 公式法课件2022-2023学年北师大版数学八年级下册
2
2
2
2
跟踪练习1
把下列各式因式分解.
1 2 2 − 2
解： 原式 =(ab)2-m2
=(ab+m)(ab-m)
(2)-16x2+81y2
原式 =81y2-16x2
=(9y)2-(4x)2
=(9y+4x)(9y-4x)
例题讲解
例2.把下列各式因式分解.
1 9 m n m n
2.会用平方差公式进行因式分解
3.使学生了解提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再
考虑用平方差公式分解
教学重难点
1.重点：会用平方差公式进行因式分解
2.难点：发展学生的逆向思维，渗透数学的
“互逆”、换元整体的思想
学习目标
1.经历通过整式乘法公式的逆向变形得出公式
法因式分解的过程，发展逆向思维和推理能力.
2.会用平方差公式进行因式分解.
平方差公式
公式法
完全平方公式
问题引入
模块一
1.计算下列各式
观察这些式子，等式两边
分别有什么共同特征？
9x 2 y 2
9m2 4n2
2
2
a
b
a
b
=
a
b
两数或式的和与差的乘积
结果都是二项式，其中每一项都
是某数或式的平方，且两项符号
相反（一正一负）
模块二
例题讲解
例1.把下列各式因式分解.
1 2
2 9a b
4
1 25 16x
2
解：1 25 16x =52 - (4x)2 =(5 + 4x) (5 - 4x)
北师大版八年级数学下册第四章因式分解章末复习课件(共42张)
章末复习
母题2 (教材P104复习题第1题) 把下列各式因式分解： (1)7x2-63； (2)a3-a； (3)3a2-3b2； (4)y2-9(x+y)2； (5)a(x-y)-b(y-x)+c(x-y)； (6)x(m+n)-y(n+m)+(m+n)； (7)(x+y)2-16(x-y)2； (8)a2(a-b)2-b2(a-b)2； (9)(x+y+z)2-(x-y-z)2； (10)(x+y)2-14(x+y)+49.
章末复习
相关题1 把下列各式分解因式： (1)5x2-15xy+10xy2； (2)a(x-2)+(2-x)2； (3)2x2y-8xy+8y； (4)(m2+n2)2-4m2n2.
章末复习
解：(1)原式＝5x(x－3y＋2y2)． (2)原式＝(x－2)(a＋x－2)． (3)原式＝2y(x2－4x＋4)＝2y(x－2)2. (4)原式＝(m2＋n2＋2mn)(m2＋n2－2mn)＝(m＋n)2·(m－n)2.
相关题3 求证：不论x取何实数, 多项式-2x4-12x3-18x2的值都不会是 正数.
证明：原式＝－2x2(x2＋6x＋9)＝－2x2(x＋3)2. ∵－2x2≤0，(x＋3)2≥0， ∴－2x2(x＋3)2≤0， ∴不论 x 取何实数，原式的值都不会是正数．
章末复习
专题四 因式分解的应用
【要点指点】 因式分解不仅在数值计算、代数式的化简求值等方 面有广泛的应用, 在解决实际问题时也同样重要.通过学习和应用 因式分解, 能使我们的视察能力、运算能力、逻辑思维能力、探究 能力得到提高．
《公式法》因式分解PPT课件(第2课时)
B. + −
C. − +
D. − + +
D
）
课堂检测
基础巩固题
3.如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是(
A . 11
B. 9
C. -11
)
B
D. -9
4.如果x2-mx+16是一个完全平方式,那么m的值为________.
±8
课堂检测
∴＋＋＝(＋) ＝112＝121.
连接中考
（2020•眉山）已知 + = − − ，则 −
. 4
的值为
解析：由 +
得
+
= − − ，
− + + = ，
即 − + + + + = ，
∵ − = , = ，
∴原式=2.
巩固练习
变式训练
已知－＋－＋＝，求＋＋的值．
解：∵x2－4x＋y2－10y＋29＝0，
∴(－)＋(－)＝.
∵(－) ≥ ，(－) ≥ ，
∴－＝，－＝，∴＝，＝，
是.
巩固练习
变式训练
将前面例题的（2）（3）（4）变为完全平方式？
（2） + ²;
+ ² + ；
（3） + − ；
+ + ；
（4） + + .
+ + .
探究新知
知识点 2
用完全平方公式因式分解